CNAM UE MVA 210 Ph. Durand Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul dierentiel 2

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1 CNAM UE MVA 210 Ph. Duran Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul ierentiel 2 Jeui 26 octobre Formes iérentielles e egrés 1 Dès l'introuction es bases u calcul iérentiel, nous avons mis en evience e nouveaux objets mathématiques: Les formes iérentielles e égrés 1 appellées encore 1-formes iérentielles. Dénition Une 1-forme iérentielle, sur un ouvert U e R n est une application e U ans L(R n, R) (ual e R n ). C'est onc l'objet ω éni par: ω(x) = ω 1 (x)x 1 + ω 2 (x)x ω n (x)x n Si chaque ω i est e classe C k on ira que ω est e classe C k. 1.1 Introuction; passage u local au global Si on revient aux notions e base en topologie es espaces vectoriels normés, on observe qu'un ouvert peut avoir une forme assez compliquée ès que la imension épasse 1. La seule garantie est qu'il est voisinage e chacun e ses points onc qu'il contient une boule ouverte autour e chacun 'eux. La boule ouverte ans R n est un objet particulièrement simple: c'est un objet local qui pourra toujours être choisi aussi petit qu'on veut. En revanche l'ouvert a une taille xé; c'est un premier exemple 'objet global. Les formes iérentielles sont historiquement le premier 1

2 outil permettant à Poincaré e bâtir "l'analyse situs", (ancien nom pour topologie) et 'apprehener la topologie globale en élaborant les premiers outils e la topologie algébrique. 1.2 Forme ierentielle e egré un sur un ouvert e R Soit f une fonction continue sur un ouvert e R; alors une forme iérentielle continue s'ecrit: ω(x) = f(x)x On verra un peu plus loin ce qu'est une forme fermée; comme toute fonction continue sur un intervalle U e R amet es primitives on conclue à l'existence 'une fonction F telle que: F (x) = f(x)x ω est onc la iérentielle e cette fonction: ω = F Quan une forme iérentielle vérie cette assertion on it qu'elle est exacte: Dans R toute forme e egré un (au moins continue) est exacte. Donc en particulier toute forme fermée est exacte. On verra que trivialement toute forme exacte est fermée (fermée signie ω = 0, et onc f = 0.) Retenons ans R : formes fermées = formes exactes Ce resultat n'est plus vrai ans R 2. En fait on peut montrer la nature topologique e l'ouvert est liée a ce resultat. Voici quelques énitions qui permettent e mieux cernér la complexité 'un ouvert e taille plus grane que 1 Dénitions On it qu'un ouvert U est connexe s'il n'existe pas e partition e U en eux ouverts isjoints. Si ce n'est pas le cas, chacun es ouverts est appellé composante connexe. On it qu'un ouvert U est connexe par arcs si eux points quelconques e U peuvent 2

3 être joint par un chemin. On it qu'un ouvert U est étoilé quan on peut retracter cet ouvert sur l'un e ses points. On it qu'un omaine U est convexe si eux quelconques e ses points peuvent être joint par un segment. Exemples R -{0} est connexe, connexe par arc, non étoilé, non convexe. 1.3 Topologie es ouverts e R ou R 2 Un ouvert e R est toujours une réunion isjointe 'ouverts étoilés. De plus, le simple fait 'enlever un point à un ouvert e R ne change pas fonamentalement sa topologie; on a encore une reunion 'ouverts étoilés simplement on augmente le nombre e composantes connexes. En revanche ans R 2 on a pas la même chose. Si on enlève un point à une boule ouverte (cas particulier 'ouverts étoilés) on n'obtient plus un ouvert étoilé. La signature e ces iérences peut être mesurée au niveau es forme iér- -entielles. On peut montré que localement toute forme fermée est exacte mais que ce résultat ne subsiste globalement que pour es ouverts étoilés. Dénitions Soit ϕ une application iérentiable 'un ouvert U e R n ans un ouvert V e R p. si ω est une forme iérentielle e egré 1 sur V la transposée (ou l'image réciproque ou pull-back en anglais) e la 1-forme iérentielle ϕ ω énie par: x U, ϕ ω(x) = ω(ϕ(x))ϕ (x). Remarque: si U est un ouvert e R et a, b eux points e U, on peut consierer le segment [a, b]. ϕ est alors une application iérentiable e [a, b] ans V appelée chemin. Une application es formes ierentielles e egrés 1 est le calcul es intégrales curvilignes. 3

4 1.4 Intégrale curviligne Soit ϕ est alors une application iérentiable e [a, b] ans U ouvert e R n et e classe C 1 ; On appélle intégrale curviligne e la forme ω sur le chemin ϕ le nombre: b a ϕ ω = b a ω(ϕ(t))ϕ (t)t. Remarque Comme on est ans R n la forme est connue ans un système e cooronnées et le chemin ϕ est l'application iérentiable qui au "temps" t associe la position x(t): ω(x) = ω 1 (x)x 1 + ω 2 (x)x ω n (x)x n x(t) = ϕ(t) = (x 1 (t),...x n (t)) Cette intégrale a une importance capitale en physique elle représente la circulation 'un champ e vecteurs (ans l'ientication entre l'espace es champs e vecteurs et son ual, l'espace es formes) le long 'une courbe. Dans le cas ou la forme est exacte, ce champ e vecteurs est un champ e graient et l'intégrale ne épen pas u chemin suivi. 2 Forme iérentielle fermée, forme exacte 2.1 Dénition Soit ω = ω 1 x 1 + ω 2 x ω n x n Une forme iérentielle e egré 1. On it qu'elle est exacte si elle est la iérentielle 'une fonction: ω = f Alors on peut écrire ω sous la forme: ω = ω 1 x 1 + ω 2 x ω n x n = f x 1 x 1 + f x 2 x f x n x n on it aussi que ω provient 'un champ e graients ans l'ientication espace, espace ual. 4

5 Une forme iérentielle est fermée si elle vérie: (i, j) N 2, ω i x j ω j x i = 0 On verra, que pour une forme quelconque, cela signie annuler la erivée exterieur ω = 0 ou vectoriellement rotω = 0: Par exemple pour l'analyse à eux variables le rotationnel (ou la 'erivée exterieur) e la un- forme: ω(x, y) = ω 1 (x, y)x + ω 2 (x, y)y est simplement la fonction: f(x,y) = ω 2 ω 1 x y Plus exactement cette fonction correspon à la composante u champ e rotationnels associé à la érivée exterieur e la forme ω c'est à ire la eux forme: ω(x, y) = ( ω 2 x ω 1 y )x y Exercice Ecrire le rotationnel pour une 1-forme ans l'espace. Remarques exemples -On voit imméiatement qu'une forme e egré 1 sur R est fermée. -Toute forme iérentielle fermée e egré 1 et e classe C 1 est exacte : c'est une conséquence u théorème e Schwarz. -La réciproque est fausse: 2.2 Théorème (exercice) soit ω(x, y) = x y x 2 +y 2 y x 2 +y 2 x la forme iérentielle énie sur U un ouvert e R 2 contenant un isque privé u point (0,0). Alors ω est fermée mais non exacte. 5

6 2.3 Plan e émonstration -1) Vérier que ω est fermée -2) Ecrire la iérentielle 'une fonction f en cooronnées polaires. -3) Supposer que ω = f et montrer que l'on aboutit à une contraiction en calculant ω le long 'un isque fermé entourant l'origine. 2.4 Lemme e Poincaré (ans R 2 ) Pappelons qu'un ouvert U est étoilé par rapport à un e ses points x 0 quan quel que soit le point x e U, le segment 'extremitées x 0 et x est contenu ans l'ouvert. Théorème Si U est un ouvert étoilé e R 2, toute forme iérentielle fermée est exacte. Demonstration posons: ω(x, y) = P (x, y)x + Q(x, y)y On introuit la fonction continue: f(x, y) 1 = (xp (tx, ty) + yq(tx, ty))t 0 f x(x, y) = 1 0 (P (tx, ty) + txp x(tx, ty) + tyq x(tx, ty))t Mais: (P (tx, ty) t = xp x(tx, ty) + yp y(tx, ty) et comme ω est fermée: (P (tx, ty) t = xp x(tx, ty) + yq x(tx, ty) et nalement: f x(x, y) 1 = ( (tp (tx, ty))t 0 t 6

7 'où: f x(x, y) = P (x, y) On fait e même avec l'autre érivée partielle. 3 Epilogue, mathématique cohomologie e De Rham Nous allons ans cette section faire une synthèse es notions rencontrées: 3.1 "Contenu topologique" 'un ouvert U e R Prenons une fonction numérique f ont l'ensemble e énition est un ouvert e R. Pour simplier, on suppose f e classe C sur U. l'ensemble es fonctions en questions est noté C (U) et peut être vu comme l'ensemble es 0-formes i'erentielles e classes C sur U encore noté Ω (U). On peut iérentier f on obtient une 1- formes iérentielles (Cela correspon en physique a prenre l'opérateur graient).le processus s'arrête alors car on ne peut pas ériver une 1-forme iérentielle (les eux formes sont nulles pour l'analyse à une variable. On a alors le schema suivant: C (U) Ω 1 (U) 0 Dire que la iérentielle 'une fonction (ou son graient) est nulle s'est ire que f appartient au noyau e Ker onc que f est localement constante. (i.e constante par composante connexes. Ce noyau renseigne onc sur la connexité e U. En mathématique, on pose H 0 (U) = Ker 3.2 "Contenu topologique" 'un ouvert U e R 2 Prenons une fonction numérique f à eux variables ont l'ensemble e énition est un ouvert e R 2. Pour simplier, on suppose f e classe C sur U. l'ensemble es fonctions en questions est noté C (U) et peut être vu comme l'ensemble es 0-formes iérentielles e classes C sur U encore noté Ω (U). On peut iérentier f on obtient une 1-formes iérentielles (Cela correspon en physique à prenre l'opérateur graient).le processus peut continuer ans R 2 la érivée 'une 1- forme est son rotationnel, (voir la énition plus haut).on a alors une êche e plus ans le schema vu ci-essus: C (U) Ω 1 (U) Ω 2 (U) 0 7

8 Dire que la iérentielle 'une fonction (ou son graient) est nulle s'est ire que f appartient au noyau e Ker onc que f est localement constante. (i.e constante par composante connexes. Ce noyau renseigne onc sur la connexité e U. En mathématique, on pose H 0 (U) = Ker. Mais on peut ire es choses supplémentaires: Dire qu'une 1 forme est exacte, c'est ire qu'elle provient e la iérentielle 'une fonction (ou 'un champ e graients) elle alors ans l'image e l'opérateur :Im. On sait alors que son rotationnel est nul (Une forme exacte est fermé). L'obstruction a la réciproque e cette assertion est exactement ce qui est contenu ans le premier groupe e cohomologie :H 1 (U) = Ker/Im.n e la petite histoire... Et premisses 'une belle théorie topologique et algébrique. 8