TABLEAUX STATISTIQUES

1 TABLEAUX STATISTIQUES 1 Vocabulaire Quel est le caractère statistique étudié? la marque des voitures. Il est : qualitatif. Les modalités du caractère sont : A, B, C et autres. Quel est le caractère statistique étudié? la puissance fiscale. Il est quantitatif et discret. Les valeurs du caractère sont : 5 ; 7 ; 9 ; 11. Quel est le caractère statistique étudié? le prix de vente des voitures. Il est quantitatif et continu. Calculer l amplitude de la classe [3 ; 5 [ : 5 3 = 2. Calculer le centre (ou la valeur centrale) de cette classe : 5 + 3 = 4. 2 2 Effectifs Les valeurs du caractère sont notées x i ; les effectifs sont notés n i. Par exemple, x 2 =7; n 3 = 15. Le nombre de voitures dont la puissance est inférieure ou égale à 9 est 7. Placer ce nombre dans le Puissance en CV Effectif tableau. x ECC ECD i n i Le nombre de voiture dont la 5 2 2 8 puissance est supérieure ou 7 35 55 6 égale à 9 est 25. Placer ce 9 15 7 25 nombre dans le tableau. Finir 11 1 8 1 de compléter le tableau. 3 Fréquences Puissance en CV Effectif Fréquence x i n i ƒ i 5 2,25 7 35,4 375 9 15,1 875 11 1,125 Calculer le pourcentage de voitures dont la puissance est 5 CV, par rapport à l effectif total. n 1 = 2 effectif total 8 =,25. 5

calculer des effectifs et des fréquences cumulés? Reprendre le tableau 3 et le compléter. Prix en Effectif n i ECC ECD Fréquence ƒ i FCC [3 ; 5 [ 17 17 8,21,21 1 FCD [5 ; 7 [ 3 47 63,38,59,79 [7 ; 9 [ 21 68 33,26,85,41 [9 ; 11 [ 12 8 12,15 1,15 ECC 2 = n 1 + n 2 = 17 + 3 = 47. ECD 2 = N n 1 =8 17=63. FCC 2 =ƒ 1 +ƒ 2 =,21 +,38 =,59. FCD 2 =1 ƒ 1 =1,21=,79. ƒ 2 = n 2 N = 3 8 =,375. Exercice page 6 Compléter le tableau. Âge Effectif n i ECC ECD Fréquence ƒ i FCC FCD [2 ; 3[ 138 138 6,23,23 1 [3 ; 4[ 221 359 462,37,6,77 [4 ; 5[ 156 515 241,26,86,4 [5 ; 6[ 85 6 85,14 1,14 Quel est le pourcentage de salariés âgés d au moins 4 ans? 4 %. Quel est le nombre de salariés de moins de 5 ans? 515. 6

2 REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES D UNE SÉRIE STATISTIQUE 1 Diagramme à secteurs Calculer les mesures des angles a 2, a 3, a 4 et compléter le tableau. Tracer les secteurs correspondants dans le disque. Autres Marque A a 1 = 81 Marque Effectif n i Angle A 18 a 1 =81 18 45 126 B 28 a 2 =126 C 1 a 3 =45 Marque C Marque B Autres 24 a 4 =18 Total 8 36 a 1 = 18 36 =81. 8 2 Diagramme en bâtons Compléter le graphique. 3 Histogramme Compléter le graphique. Effectifs 35 Effectifs 3 1 2 15 1 1 17 21 12 Prix en 5 7 9 11 Puissances 3 5 7 9 11 exploiter un histogramme? Durée en min. Effectif n i Fréquence ƒ i [ ; 5[ 2,21 [5 ; 1[ 35,37 [1 ; 15[ 26,27 [15 ; 2[ 14,15 Total 95 1 7

Exercice page 8 Effectifs 221 2 138 156 1 85 2 2 Âge 3 4 5 6 (échelle 1/2) 3 POLYGONE DES EFFECTIFS (OU DES FRÉQUENCES) CUMULÉS CROISSANTS lire et exploiter le polygone des effectifs cumulés croissants? On a représenté le montant des achats (en ) par client dans un magasin au cours d une journée en traçant le polygone des effectifs cumulés croissants. 6 55 Nombre de clients cumulés 4 15 1 5 Montant des achats en 2 4 6 8 1 8

Première colonne : utiliser les nombres portés en abscisse pour compléter cette colonne. Deuxième colonne : pour chaque borne supérieure de classe, lire l ordonnée correspondante. Troisième colonne : les effectifs Montant ECC Nombre des achats en de clients n s obtiennent par différence de i deux ECC successifs. [ ; 2[ 5 5 [2 ; 4[ 15 1 [4 ; 6[ 4 25 [6 ; 8[ 55 15 [8 ; 1[ 6 5 Exercice page 1 Âge des salariés Effectif ECC [2 ; 3[ 54 54 [3 ; 4[ 12 174 [4 ; 5[ 95 269 [5 ; 6[ 82 351 1. 2. 36 22 2 ECC Effectifs 12 15 1 95 82 4 2 3 35 4 45 5 6 Âge 54 3. Environ 15 salariés. 4. Environ 14 salariés. 2 Âge 2 3 4 5 6 9

4 PARAMÈTRES DE POSITION : MODE ET MÉDIANE 1 Mode Série 1 Quel est l effectif le plus élevé de cette série? 35. Donner la valeur du caractère qui correspond à cet effectif : 7. Série 2 Quel est l effectif le plus élevé de cette série? 3. Donner la classe qui correspond à cet effectif : [5 ; 7 [. 2Médiane Série 1 Calculer la moitié de l effectif total N : N 2 =4. Quelle est la puissance de la 4 e voiture? 7. De la 41 e? 7. Série 2 Calculer la moitié de l effectif total N : N 2 =4. À quelle classe appartient le 4 e prix? [5 ; 7 [. déterminer graphiquement une médiane? Calculer la moitié de l effectif total N : N =4. 2 ECC Sur le polygone des ECC de cette série, déterminer graphiquement l abscisse du point d ordonnée N 2 : 6 5. 47 4 17 1 3 5 7 6 5 Prix en 9 11 1

1. Classe modale : [4 ; 6[. Classe contenant la médiane : [4 ; 6[. 2. Exercices 5 49 ECC page 12 3. Lecture graphique de la médiane 43 min. 42 25 2 19 1 8 5 Durée (en min) 1 2 4 43 6 8 1 5 PARAMÈTRES DE POSITION : MOYENNE Moyenne Série 1 Puissances x i Effectifs n i x i n i 5 2 1 7 35 245 9 15 135 11 1 11 Total N = 8 59 Compléter la dernière colonne du tableau. Calculer la puissance moyenne x des voitures : x x 1 n 1 + x 2 n 2 + x 3 n 3 + x 4 n 4 = = 59. N 8 Arrondir au dixième : 7,4 CV. 11

Série 2 Prix en Centre de la classe x i Effectifs n i x i n i [3 ; 5 [ 4 17 68 [5 ; 7 [ 6 3 18 [7 ; 9 [ 8 21 168 [9 ; 11 [ 1 12 12 Total N = 8 536 Compléter la 2 e et la dernière colonne du tableau. Calculer le prix moyen x des voitures. x x 1 n 1 + x 2 n 2 + x 3 n 3 + x 4 n 4 536 = = =6 7. N 8 calculer une moyenne? Montant des Effectifs Centre de ni x i chèques en n i la classe x i [ ; 3[ 28 15 42 [3 ; 6[ 85 45 3 825 [6 ; 9[ 68 75 5 1 [9 ; 12[ 19 15 1 995 Total N = 2 11 34 Compléter le tableau. Calculer la moyenne : i = p x n i x i i = 1 = = N 11 34 2. Le montant moyen des chèques est 56,7. Exercice page 14 Calculer la durée moyenne du trajet : 42,8 minutes, soit environ 43 min. 12

6 PARAMÈTRES DE DISPERSION 1 Étendue Série 1 Donner la plus petite valeur du caractère : 5. Donner la plus grande valeur du caractère : 11. Calculer la différence de ces deux valeurs : 6. 2 Écart type Compléter ce tableau relatif à la série 1. On a trouvé à la fiche précédente x = 7,4. Puissances Effectifs (x i x ) (x i x ) 2 n i (x i x ) 2 x i n i 5 2 2,4 5,76 115,2 7 35,4,16 5,6 9 15 1,6 2,56 38,4 11 1 3,6 12,96 129,6 Total N = 8 288,8 Calculer le nombre V, moyenne des carrés des écarts à la moyenne. n 1 (x 1 x ) 2 + + n 4 (x 4 x ) 2 V = = 288,8 =3,61. N 8 Calculer le nombre : = 3,61 =1,9. calculer un écart type? Montant des chèques en Centre de la classe x i Effectifs n i (x i x ) (x i x ) 2 n i (x i x ) 2 [ ; 3[ 15 28 41,7 1 738,89 48 688,92 [3 ; 6[ 45 85 11,7 136,89 11 635,65 [6 ; 9[ 75 68 18,3 334,89 22 772,52 [9 ; 12[ 15 19 48,3 2 332,89 44 324,91 Total N = 2 127 422 13

i = p n i (x i x ) 2 i = 1 127 422 On calcule la variance : V = = N 2 =637,11. On calcule l écart-type : = V = 637,11 =25,24. Exercice page 16 Calculer l écart type de la série (dont la moyenne a été calculée dans l exercice de la fiche précédente) : 19,5 min. 7 SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES 1 Représentation graphique : nuage de points Représenter ce tableau dans le repère ci-dessous. Ne pas joindre les points obtenus. y 16 Tensions 15 14 G 13 12 11 35 4 45 5 55 6 65 7 Âges x 14

2 Point moyen d un nuage de points Calculer l âge moyen : x = 35 + 4 +45 +5 +55 +6 +65 + 7 = 52,5. 8 Calculer la tension moyenne : y 11,8 + 12,8 +12,6 +13,1+15 + 15,5 + 15,1 + 15,7 = = 13,95. 8 On a donc G(52,5 ; 13,95). Placer ce point sur le graphique. représenter une série statistique à deux variables? y 4 3 2 G 1 1 2 4 6 1 x calculer les coordonnées du point moyen? L abscisse de G est : x =,5 + 1 +2 + 4,5 + 6 + 7 + 7,5 + 8 + 9,5 + 1 = 5,6. 1 L ordonnée de G est : y =,1+,4+,9+ 1,8 + 2+ 2,7+ 3+4+5+4,8 = 2,47. 1 Le couple des coordonnées de G est ( 5,5 ; 2,47). 15

Exercice page 18 1. 2. G (32,8 ; 52,2) y 8 6 5 4 3 2 1 12 G 38 45 52 x 1 2 3 4 5 8 ÉTUDES DE SITUATIONS 1 Calcul de la médiane Calculer N 2 où N est l effectif total : N 2 = 4. Donner la classe où se trouve cette 4 e valeur : [5 ; 7 [. Donner l effectif cumulé correspondant à la borne inférieure : 17. Donner l effectif cumulé correspondant à la borne supérieure : 47. Effectuer les soustractions : Me 5 = 2 23 3. 2 23 Finir de résoudre l équation : Me = 5 + 3 6 533. 16

2 Droite d ajustement d un nuage de points 1. Représenter graphiquement ce tableau par un nuage de points. CA en k 2 16 12 G 8 4 1 2 3 Nombre de salariés 2. Calculer les coordonnées du point moyen G. x G = x 13 + 14 + 21 + 25 + 26 + 28 + 3 + 31 = = 23,5. 8 y G = y 7 + 66 + 16 + 142 + 18 + 17 + 21 + 235 = = 147. 8 3. Une équation de (D) est de la forme y = ax + b. a =8,7. Donc y = 8,7 x + b. (D) passe par le point G. Donc les coordonnées G vérifient l équation de (D). 147 = 8,7 23,5 + b. D où b = 57,45. Une équation de (D) est : y =8,7x 57,45. 4. À l aide de l équation trouvée, prévoir le chiffre d affaires hebdomadaire avec 4 employés : 29,55 k. 17

1 1. Verre 22 % Végétaux 28 % Plastique 19 % Encombrants 21 % Papiers 1 % 2. Encombrants 2 1. 3. 2. 3. Problèmes page 21 Verre Papiers Effectifs 22% 1% 11 21% 28% Végétaux 19% Plastiques Âge Fréquence Effectif [15 ; 25[,2 6 [25 ; 35[,37 111 [35 ; 45[,25 75 [45 ; 55[,1 3 [55 ; 65[,8 24 Total 1 3 3 1. Classe modale : [1, ; 1,4[. Moyenne : 1,27 kg ; écart type :,44 kg. 2. Non. L écart type est supérieur à 3 g. 4 1. 2. 2 Nombre Fréquence en d employés Effectif % 1 38 19 2 42 21 3 68 34 4 34 17 5 18 9 Total 2 1 Effectifs 5 1. 38 42 68 34 18 1 2 3 4 5 Nombre d'employés Durée (en min) Effectif Fréquences ECC [ ; 1[ 8,16 8 75 [1 ; 2[ 83,166 163 6 [2 ; 3[ 87,174 25 [3 ; 4[ 95,19 345 [4 ; 5[ 91,182 436 1 15 25 35 45 3 24 55 65 Âge [5 ; 6[ 64,128 5 Total 5 1 2. 3 min. 18

3. ECC 3. ECC 5 6 4 5 3 2 4 3 2 1 5 Durée (en min) 1 Taille (cm) 1 2 3 4 5 6 15 16 17 18 19 2 4. 5 %. 5. 53 %. 6. 3 min. 4. 175,2 cm ; 8,9 cm. 5. 175,4 cm. 6 1. Taille (cm) Effectif Fréquence Fréquence cumulée [15 ; 16[ 48,8,8 [16 ; 17[ 6,1,18 [17 ; 18[ 354,59,77 [18 ; 19[ 18,18,95 [19 ; 2[ 3,5 1 6 2. Effectifs 354 7 1. x =34,4kg; = 11,8 kg. 2. a. b. 2 Masse en kg Effectif ECC [ ; 1[ 4 4 [1 ; 2[ 2 24 [2 ; 3[ 36 6 [3 ; 4[ 86 146 [4 ; 5[ 36 182 [5 ; 6[ 14 196 [6 ; 7[ 4 2 Total 2 Effectifs cumulés croissants 1 48 6 18 3 166 15 16 17 18 19 2 Taille (cm) 1 6 4 34 2 5 1 2 3 4 5 6 7 Masse en kg 19

c. 166 34 = 132. d. 66 %. La condition de rentabilité est réalisée. 8 1. Tonnage 75 7 65 6 G 55 5 Rang des années 45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 2. G (5,5 ; 57,9). 3. Voir graphique. 4. 7 tonnes ; 72,2 tonnes. p 1. y i 1 9 8 7 P 6 G 5 4 1 2 25 3 35 38 x i 2. G (29 ; 56). 3. a. Voir graphique. b. 38. 9 1. Voir graphique ci-après. 2. G (3,5 ; 27 7). 3. Voir graphique ci-après. 4. 42. q 1. y 2 8 Cylindrée en cm 3 y i 42 36 3 28 G 26 24 22 2 18 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x i 2 5 2 3 2 1 1 9 G 1 7 1 5 1 3 1 1 A 9 x 3 4 5 6 7 8 9 Puissance 2. a. G (62 ; 1 86). b. Voir graphique. c. y =34x 32. 3. a. 92 CV. b. 91 chevaux DIN. 2

9 ÉQUATIONS, INÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ 1 Équation du premier degré à une inconnue Calculer le loyer en fonction de x : x 3. Calculer la part de la nourriture en fonction de x :,3 x. Montrer que l'énoncé se traduit par : x = x +,3 x + 641,2 3 Salaire total = loyer + nourriture + 641,2. Montrer que l'équation peut se mettre sous la forme : l,lx = 1 923,6 x x,3 x =641,2; 2x,9x = 1 923,6 3 3 3 3 d où 2x,9x = 1 923,6. En déduire x : x = 1 923,6 = 1 748,73. 1,1 Vérifier et rédiger la solution du problème : loyer : 582,91 ; nourriture : 524,62 ; 528,91 + 524,62 + 641,2 = 1 748,73 ; le salaire mensuel de Paul est 1 748,73. 2 Inéquation du premier degré à une inconnue Calculer en fonction de x le prix à payer sans abonnement : 11x. Calculer en fonction de x le prix à payer avec abonnement : 4 + 8x. Montrer que l'inéquation peut se mettre sous la forme : 3x < 4 8x 11x < 4 d où 3x < 4. En déduire x en divisant les deux membres par 3 : x > 4 d'où x > 4. 3 3 Rédiger la solution du problème : L abonnement est plus avantageux si on joue 14 h ou plus. résoudre une équation? Montrer que l on a successivement 2x 1=6x + 6 puis 4x =7: 2x 1= 6 x +6 d où 2x 1 = 6x + 6 et 2x 6x=6+1 6 6 donc 4x = 7. En déduire la solution : x = 7 = 1,75. 4 21

résoudre une inéquation? Montrer que l on a 4 (x 1) > 4x :. 4 4 x 1 4 > 4x 4, d où 4 (x 1) > 4x. Poursuivre la résolution : 4 x + 1>4x ; x +5>4x ; 5 > 5x. Finalement, on obtient : x <1. Les solutions appartiennent à l intervalle : ] ; 1[. Graphiquement : 1 x Exercices page 26 1 x =2; x = 17 9. 2 t > 2 3 ; x > 2,4. 1 SYSTÈMES DE DEUX ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ 1Résolution par substitution Quelle égalité traduit le premier transport? 8 x + y = 76. Quelle égalité traduit le second transport? 12 x + y = 18. Exprimer y en fonction de x dans la première équation : y = 76 8 x. Reporter dans la seconde équation : 12x +(76 8 x) = 18. Résoudre l équation en x obtenue : 4 x =32 x =,8. En déduire la valeur de y : y =76,8 8 = 12. Vérifier et rédiger la solution du problème : 8,8 + 12 = 76 ; 12,8 + 12 = 18. 2Résolution par addition Multiplier les deux membres de l équation (1) par 1: 8 x y = 76. Résoudre l équation en x obtenue après addition : 4 x =32d où x =,8. 22

En déduire la valeur de y : y =76,8 8 = 12. Écrire la solution du système : (,8 ; 12). résoudre un système du premier degré? 1. Résolution par substitution : de la première équation on tire y =8 2 x. on porte dans la seconde équation : 3(8 2x) x 3=. on résout cette équation : 24 6 x x 3= 7 x = 21 ; x =3. on en déduit l autre inconnue : y =8 2 3=2. La solution du système est le couple : (3 ; 2). 2. Résolution par addition : on multiplie les deux membres de la seconde équation par 2 : 6 y 2 x 6=. on additionne les deux équations : y +6y 6=8. on résout l équation obtenue : 7 y = 14 d où y =2. on en déduit l autre inconnue : 2 x =8 2=6 d où x =3. La solution du système est le couple : (3 ; 2). Exercices 1 a. (,5 ;,4) b. ( 2;3) page 28 y 2 Les coordonnées du point d intersection donnent la solution du système. 2 1 1 3 x 23

11 ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ 1 Définition Donner les valeurs de a, b, c dans chacune des équations. Équation a b c 3x 2 +2x 1= 3 2 1 x 2 2x 3= 1 2 3 2x 2 +5x = 2 5 2 Résolution graphique d une équation du second degré Écrire chacune des équations sous la forme f(x) = : y 3 (1) x 2 2x =3. (2) x 2 2x = 1. (3) x 2 2x = 2. 1 Résoudre graphiquement les équations : (1) 2 solutions : x = 1; x =3. (2) 1 solution : x = 1. (3) Pas de solution. 1 1 2 1 3 x 3 Résolution algébrique d une équation du second degré Calculer, pour chacune des équations précédentes, le nombre = b 2 4ac : (1) =4+12=16; (2) =4 4 = ; (3) =4 8= 4. Vérifier que, quand >, les deux solutions sont données par les formules : x' = b 2a = 2 4 = 1 et x" = b+ 2 2a = 2 +4 = 3. 2 Vérifier que, quand =, la solution est donnée par la formule : x= b = 2 =1. 2a 2 Vérifier que, quand <, il n y a pas de solution. 24

résoudre une équation du second degré? Équation (1) : on détermine a =3; b =2; c = 1 on calcule = b 2 4ac :4+12=16 on conclut suivant le signe de : il y a 2 solutions x' = 2+4 = 1 ; x" = 2 4 = 1. 6 3 6 Équation (3) : on détermine a =2; b =5; c = on calcule = b 2 4ac : 25 = 25 on conclut suivant le signe de : il y a 2 solutions : x' = 5+5 =; x" = 5 5 = 5. 4 4 2 Mettre x en facteur : 2x 2 +5x =x(2x + 5). Résoudre l équation x(2x +5)=: x =; 2x +5= donne x = 5 2. Exercices 1 x' =2; x" =3 ; Pas de solution pour 3x 2 +2x +5= ; t' =t" = 1,5 ; x' =; x" = 1,5. page 3 2 x' = 1 13 2,3 2 et x" = 1+ 13 1,3 ; 2 x' 1,35 et x",15. 12 FACTORISATION DU TRINÔME ax2 + bx + c 1 Cas où > Calculer le nombre =b 2 4ac : 25 + 24 = 49. En déduire les solutions de l équation 2x 2 + 5x 3 = : x' = 5 7 = 3 et x" = 5+7 = 1. 4 4 2 Vérifier que l on a 2x 2 + 5x 3 = 2(x x')(x x") : 2(x +3) ( x 1 2 ) =(x + 3)(2x 1) = 2x2 +6x x 3=2x 2 +5x 3. 25