PLAN DE SEQUENCE La proportionnalité au CM2 Introduction pour l enseignant Cette séquence sur la proportionnalité au CM2 s articule avec un travail préparatoire en CM1 permettant d introduire la notion de proportionnalité. Il est en effet essentiel de consacrer un temps pour des manipulations à partir de bandes de papier, de cubes afin que les élèves visualisent concrètement la notion de proportionnalité et de faire référence à des situations de la vie courante (achats, recettes ) Domaine d activité Organisation et gestion de données Période novembre - décembre Niveau CM2 Compétence(s) visée(s) [BO n 3 19 juin 2008] Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité en utilisant des procédures variées (dont la règle de 3) Objectifs généraux - Les élèves seront capables d identifier des problèmes relevant de la proportionnalité, d expliciter et comparer les différentes stratégies de résolution. - Ils seront capables de comprendre et manipuler les relations entre les nombres pour résoudre les problèmes de proportionnalité - Les élèves identifieront le sens de la règle de trois par le passage à l unité dans la résolution de problèmes relevant de la proportionnalité Outils utilisés - Le Petit Phare CM2 manuel de l élève Edition Hachette Education - Des situations de proportionnalité http://pernoux.perso.orange.fr - Apprentissages numériques et résolution de problèmes CM2 cycle 3 Hatier Ermel Les problèmes utilisés pour la séquence ainsi que des exemples de productions d élèves sont proposés en annexes dans la deuxième partie de ce document Dans le déroulement de la séquence proposée ci-dessous : - les tableaux des données sont organisés avec une grandeur par ligne - les opérations effectuées sur les colonnes utilisent la linéarité Ex : 10 objets coutent 22 euros. Combien coutent 15 objets? Linéarité additive 15, c est 10 + 5 et 10 c est 5+5 Donc 5 objets coutent 11 euros et 15 objets coutent 22+ 11 = 33 euros Linéarité multiplicative 15 c est une fois et demie plus que 10 donc 15 objets coutent 22X 1,5 = 33 euros - le coefficient de proportionnalité s applique quand on passe d une grandeur à une autre Progression En CE2 : L approche de la proportionnalité se fait à travers l étude de problèmes multiplicatifs (le prix de 1 est connu, on cherche le prix de n) En CM1 : Approche par la manipulation, la linéarité avec le rapport quantité / prix la recette CM2 : Proportionnalité non proportionnalité/ pourcentages/ échelles/ distance-durée / construction graphique et lecture de données. 1
La séquence a été élaborée et testée en classe avec Mme Christiane Mangin, directrice de l école du Louvarou à Jarrie. Séances Objectif de la séance 1 Résoudre des problèmes et savoir expliquer sa démarche Reconnaître une situation de proportionnalité Consignes - Activités des élèves Rappel : évoquer avec les élèves le travail effectué sur les problèmes de proportionnalité en CM1. Présenter la fiche comportant 4 problèmes (annexe 1) et le déroulement de la séance (temps de recherche, mise en commun et synthèse) Consigne : Résoudre au moins 2 problèmes de la liste (+ si vous pouvez). Vous expliquerez ensuite comment vous les avez résolus. Vous avez 15 min. Mise en commun : un groupe explique sa démarche. Le PE note la procédure au tableau. - Confronter et compléter avec les procédures des autres groupes. - Observer et dégager les éléments qui permettent de reconnaitre une situation faisant appel à la proportionnalité : Si 5 gâteaux coutent 12, alors 20 gâteaux coutent 4 fois plus. On multiplie le nombre de gâteaux par 4 et le prix par 4 Si 5 gâteaux coutent 12 alors 25 gâteaux coutent 5 fois plus On multiplie le nombre de gâteaux par 5 et le prix par 5 On dit que le prix est proportionnel au nombre de gâteaux. Durée - Matériel 15 min Annexe 1 : problèmes 1,2, 3, 4 Cahier d essai 30min Paul 10 ans René 14 ans Paul 20 ans René 24 ans On ne peut pas dire que René est de 2x plus âgé que Paul parce que 2x 14 = 28 On multiplie l âge de Paul par 2 mais on ne peut pas multiplier l âge de René par 2. On ne peut pas dire que l âge de René est proportionnel à celui de Paul. Synthèse à élaborer avec les élèves Nous savons reconnaitre une situation de proportionnalité et une situation de non proportionnalité Ex : Si 5 gâteaux coutent 12 alors 25 gâteaux coutent 5 fois plus. On multiplie le nombre de gâteaux par 5 et le prix par 5 On dit que le prix est proportionnel au nombre de gâteaux. 2 Identifier différentes stratégies pour résoudre un problème de proportionnalité 2 Déroulement et consigne : résoudre un problème de proportionnalité et identifier toutes les stratégies possibles. Trouver une présentation adaptée pour organiser les données sous forme de tableau. Problème A: Recette des bananes flambées Laisser les élèves chercher en binôme. Mise en commun : relever les différentes procédures des élèves. Le PE propose ensuite d organiser les données dans un tableau : une grandeur par ligne. Annexe 2 Problème A Phase de lecture individuelle + début de recherche 5 min Phase de recherche par 2 10 min
Construire un tableau à partir de données - Faire remarquer aux élèves que les procédures reviennent à faire des opérations entre les colonnes. - Faire remarquer que parfois il y a des relations multiplicatives simples entre les lignes (10g de sucre x2 quantité de beurre) Beurre (en g) 20 120 50 90 Sucre (en g) 10 Nombre de bananes 4 8 Mise en commun pour expliciter la situation 1 : 15 min Synthèse : la séance vise à apprendre aux élèves à organiser les données d un problème de proportionnalité dans un tableau et à faire le lien avec leurs procédures. Le rôle du PE est de mettre en évidence les opérations possibles entre les colonnes ; linéarité additive ou multiplicative Beurre (en g) (20 :2) = 10 20 20x2 = 40 3 x40 = 120 40 + 10= 50 90 Sucre (en g) 10 :2= 5 10 10x2 = 20 3x20= 60 20+5=25 25+20= 45 Nombre de bananes (4 :2)= 2 4 4x 2= 8 3x8= 24 8+2 = 10 18 *Remarque pour le PE : Quand on passe de la quantité de beurre à la quantité de sucre et inversement, on applique le coefficient de proportionnalité entre les lignes (diviser ou multiplier par 2) 3 Utiliser un tableau dans des situations très simples de proportionnalité : utiliser la linéarité pour compléter un tableau de proportionnalité Séance d entrainement : résoudre le problème B par groupe de 2 et rappeler la séance précédente pour suggérer la mise en tableau des données. Mise en commun : identifier avec les élèves, les opérations faites sur les colonnes : additions, multiplication, division Synthèse à élaborer avec les élèves On peut les nombres des deux colonnes pour trouver le résultat de la 3 ème colonne. Annexe 2 Problème B Phase de lecture individuelle 5min Phase de recherche par 2 15 min Nombre de livres 4 6 10 Prix payé en 26 39 65 Phase de Le prix des 10 livres est de (26+39) = 65 structuration : 15min On peut multiplier (ou diviser) les nombres d une colonne par un nombre pour trouver le résultat de la 3 ème colonne. Nombre de livres 4 18 9 Prix payé en 26 117 58,5 4 Comprendre et utiliser la règle de 3 pour résoudre un problème ; 1 ère étape 3 Le prix de 16 livres est de (4X4) + ( 4 :2) = 18 (26x4) + (26 :2) = 117 Le prix de 9 livres est de 117 : 2 = 58,5 * Remarque pour le PE : pour introduire le passage à l unité, il est important de choisir les données du problème de manière à ce qu il n y ait pas d autre solution que de passer par l unité. Laisser les élèves résoudre le problème C Mise en commun ; identifier le passage à l unité et arriver à la présentation des données dans un tableau (insérer le passage à l unité entre les 2 colonnes) Nombre de gâteaux 4 1 7 Prix des gâteaux en euro 4,80 Autres problèmes pour entrainer les élèves au Annexe 2 Problèmes C et D Phase de recherche individuelle ou en binôme. 30 min
passage à l unité : Problème D et problèmes de Petit Phare CM2 p 125) Synthèse : Dans une situation de proportionnalité parfois on ne peut pas faire autrement que de passer par l unité pour calculer les autres données. Passage à l unité : on calcule le prix d un gâteau : 4,80 : 4 = 1,20 On utilise l unité pour calculer le prix de 7 gâteaux : 7x 1,20 = 8,40 4bis Etape 2 : appliquer la règle de 3 Problème D Laisser les élèves résoudre le problème (passage par l unité). A l issue de la mise en commun, expliquer que l on peut poser 1 seule opération : c est la règle de 3 (10, 8 : 8) x 7 = 9,45 On peut vérifier avec la calculatrice que (10,8 : 8) x 7 = (10,8 x 7) : 8 Proposer de réinvestir avec 11 roses. Remarque pour le PE : si nécessaire, laisser la calculatrice aux élèves pour soulager les calculs dans les premiers problèmes. Synthèse ; relier la règle de 3 au passage à l unité (qui a du sens pour les élèves). Observer que cela revient au passage à l unité écrit en une seule ligne. 5 Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité en utilisant des procédures variées (dont la règle de 3) Proposer des problèmes de proportionnalité permettant aux élèves différentes procédures dont la règle de 3. Consigne : par groupe de 2, résoudre au moins 3 problèmes. Annexe 3 45 min Mise en commun : observer et confronter les procédures utilisées. Vérifier que les élèves savent organiser les données des problèmes et utiliser la règle de 3 Bilan des séances testées en classe : 1. La recherche à partir de 4 problèmes dont certains ne relèvent pas de la proportionnalité a motivé les élèves. Le temps de recherche et de mise en commun a permis d identifier les différentes stratégies de résolution (linéarité additive et multiplicative, approche du passage à l unité). Les élèves n organisent pas spontanément les données dans un tableau. 2. Le passage à l unité est compris par la plupart des élèves. Il est important d introduire la règle de 3 en lien avec le passage à l unité afin que les élèves comprennent l utilité et identifient la place des nombres dans les 2 opérations (X et : ) 4
Annexe 1 Problème 1 5 gâteaux coûtent 12. Combien coûtent 20 gâteaux? Combien coûtent 25 gâteaux? Problème 2 Aujourd hui, Paul a 10 ans et son frère René a 14 ans. Quand Paul aura 20 ans, quel sera l'âge de René? Quand Paul aura 30 ans, quel sera l'âge de René? Problème 3 Un magasin propose 3 boîtes de pâté pour 2. Combien paiera-t-on 6 boîtes, 9 boîtes, 24 boîtes, 114 boîtes? Si on a payé 20, 112, combien de boîtes a-t-on achetées à chaque fois? Problème 4 Un carré de 1 cm de côté a une aire égale à 1 cm². Quelle est l'aire d'un carré de 2 cm de côté? Quelle est l'aire d'un carré de 6 cm de côté? 5
Annexe 2 Problème A Recette des bananes flambées Pour 4 bananes il faut 10 g de sucre et 20 g de beurre. Combien faut-il d ingrédients pour 8 bananes? Calcule les autres ingrédients pour 120g de beurre, pour 50g de beurre et pour 90 g de beurre. Problème B Une école achète des livres de poche. Le prix de 4 livres est de 26 et le prix de 6 livres est de 39. Combien coutent 10 livres? Combien coutent 16 livres? Combien coutent 9 livres? Problème C Michel achète 4 gâteaux pour 4,80. Combien va-t-il payer pour 7 gateaux? Problème D Paul achète des roses toutes au même prix. Un bouquet de 8 roses coute 10,80. On veut calculer le prix de 7 roses. Problème E Lors de l essorage le tambour d une machine à laver effectue 5700 tours en 6 minutes. Combien de tours fait ce tambour lors d un essorage qui dure 5 minutes? 6
Annexe 3 Problème 1 4 feutres coutent 3 euros. Combien coutent 14 feutres? 22 feutres? Problème 2 A la grande braderie Pauline et Jean ont acheté en commun un lot de 9 DVD de jeux pour 108. Pauline prend 4 DVD et Jean en prend 5. Combien chacun déboursera-t-il? Problème 3 Madame, Stamp poste 25 lettres identiques pour un montant de 47,50. Calcule le prix des timbres collés les 15 lettres, sur 32 lettres? Problème 4 7 kg d abricots coutent 9, 50. Combuien coutent 5 kg d abricots? 12 kg d abricots? Problème 5 Voici un prospectus envoyé par un apiculteur. MIEL DE LAVANDE MIEL DE ROMARIN Seau de 4 kg : 39,84 Seau de 3 kg : 28,68 Quel est le miel vendu au meilleur prix? Jeanne affirme qu il est plus économique d acheter le miel au supermarché à 2, 15 le pot de 250g. A-t-elle raison? 7
SEANCE 1 8
SEANCE 2 9
SEANCE 5 10