Modélisation poroélastique isotrope transverse et phénomènes couplés dans le fluide interstitiel : application à l os cortical

THÈSE DE DOCTORAT DE L UNIVERSITÉ PARIS XII VAL DE MARNE École Doctorale de Sciences et d Ingénierie : Matériaux Modélisation Environnement Spécialité : Mécanique présentée le 18 juillet 2006 par AGNÈS RÉMOND pour obtenir le grade de Docteur de L UNIVERSITÉ PARIS XII VAL DE MARNE Modélisation poroélastique isotrope transverse et phénomènes couplés dans le fluide interstitiel : application à l os cortical Composition du Jury : M. Jacques Huyghe Professeur, Rapporteur Technische Universiteit, Eindhoven M. Djimédo Kondo Professeur, Rapporteur Université des Sciences et Technologies de Lille M. Alain Meunier Directeur de la Recherche et des Études Cliniques, Abbott Spine M. Salah Naïli Professeur, Directeur de thèse Université Paris 12 M. Vincent Pensée Maître de conférences, Université Marne la Vallée M. Lalaonirina Rakotomanana Professeur, Université de Rennes 1 Laboratoire de Mécanique Physique B 2 OA (UMR 7052 CNRS SPI) Faculté des Sciences et Technologie, Université de Paris XII Val de Marne 61, avenue du Général de Gaulle 94010 Créteil Cedex (FRANCE)

If you don t make mistakes, you re not working on hard enough problems. And that s a big mistake. (F. Wikzek) Le chemin de cette thèse a été semé d erreurs et riche d enseignements à ce titre. Pour sa rigueur et son souci du mot juste, je tiens à remercier Salah Naïli qui m a proposé cette thèse et a suivi mon travail. L apprentissage de l autonomie aura été aussi précieux que périlleux. Je tiens à remercier particulièrement Jacques Huyghes pour sa disponibilité à l occasion du congrès de la Société de Biomécanique et d avoir accepté d être rapporteur de ce travail de thèse. Ma reconnaissance va à Djimédo Kondo, non seulement pour son rôle de rapporteur mais aussi pour ces encouragements au Congrès Français de Mécanique à Nice. Je souhaite remercier Alain Meunier, Vincent Pensée, et Lalaonirina Rakotomanana d avoir participé au jury de ma thèse. Leurs discussions ont toujours été fructueuses et m ont permis de faire évoluer ce travail. Merci à Didier Geiger, Christian Oddou et Christian Ribreau pour leurs explications du système universitaire et leurs discussions sur la recherche. Merci à Henriette, Brigitte, Isabelle, Chantal pour leur nombreux coups de main. Ils ont été essentiels au bon déroulement de cette thèse. Je ne sais pas qui de Quentin ou de Thibault a le plus de mérite. Ces quatre années passées n auraient pas été les mêmes sans cette charmante compagnie. Merci à tous les deux. Merci aussi à Sébastien et Edouard pour leur présence au début de ma thèse. Merci à Julien, Isabelle, Yoshi et Magali pour ces merveilleuses discussions, qu elles aient été autour de la recherche ou de la vie en général, elles ont souvent été très efficaces pour me redonner la motivation dont on a tant besoin pour finir. Merci à Monsieur Leblanc de m avoir laissé le tutoyer depuis le début, d avoir été là quand le moral était bas, de continuer à siffler dans les couloirs et de ne pas oublier d engueuler gentiment ses étudiants. Many thanks to Pr. Ken Fischer and Pr. Lisa Friis for making me learn what research is about, for your emails, for your time while I was in KU. Thank you Pr. Cowin, for welcoming me in your lab and trusting me with calculations and

work, it made a huge difference. Many thanks to Pr. Bizios for helping me put things into perspective and encouraging me when it was most needed. Pour leur accueil à Créteil et l aventure associative qui a si bien su compléter ma thèse, merci à Joseph et Marie-Thérèse, Hédi, Ali, Abdel, Ouiza, Yves, Isabelle, Louis et Marie-Pierre, au Centre Social des Petits Prés Sablières et à l Union Locale. Merci à la section GV du CALM de m avoir appris à respirer. Pour tout un tas de raisons, pour leurs encouragements, leur soutien et leur présence, merci à Fabien et Estelle, Audrey et Nicolas, Gregory, Benedict, Éric, Édouard, Luis et Juliette, Yoshiyuki et Caroline, Élodie et Quentin, Martin et Clémentine, Hugues et Sophie, Laurent et Sophie, Marion et Vincent. Pour le nombre de fois où elle a patiemment écouté mes petits soucis sans se plaindre, Céline mérite la thèse de l amitié. Merci pour ces dîners et sorties qui m ont aidé à garder l équilibre. Pour avoir demandé plus souvent que de raison alors c est pour quand? (c était bien de ma thèse dont vous parliez?) merci à la famille Rémond, à la famille Guyonneau, en particulier à Antoine, et à la famille Cherreau. Être si bien entourée m a permis de mener à bien ces recherches sans perdre de vue ce qui m importe le plus. Merci Papa et Maman de m avoir abonné à Science et Vie Junior, de m avoir permis de partir aux États-Unis, de m avoir donné envie de revenir. Merci à François de toujours m aider, à sa manière, à mettre les choses en perspective. Merci à Jean de comprendre mon amour des mathématiques et d avoir fait un vraie classe prépa... Pour le repassage qu il fait depuis quatre ans, pour les bons petits plats qu il prépare, pour avoir relu les innombrables fautes de ma thèse, pour son souci de l application de mes recherches au traitement des chondromes, pour faire le clown à chaque fois que j ai besoin de rire, pour ses doutes et son soutien indéfectible, pour l extraordinaire et pour le quotidien, merci Christophe. Agnès RÉMOND Juillet 2006

Résumé L objet de ce travail est de mieux comprendre les caractéristiques de l écoulement du fluide interstitiel dans la matrice osseuse à l aide d une modélisation. Les contraintes de cisaillement créées par cet écoulement au niveau des cellules osseuses sont supposées agir sur la mécanotransduction du remodelage osseux. Un modèle de fluide interstitiel est développé par la théorie des mélanges en incluant les couplages entre phénomènes physiques, chimiques et mécaniques. L homogénéisation périodique est ensuite utilisée pour comparer les phénomènes électro-osmotique et hydraulique. Les résultats montrent qu il n est pas nécessaire de prendre en compte les premiers à l échelle de l ostéon. Un modèle poroélastique de ce dernier est enfin présenté pour étudier l influence de l hétérogénéité du matériau. Le problème est traité analytiquement et numériquement (éléments finis). L écoulement du fluide, et donc les signaux de mécanotransduction, est modifié lorsque la perméabilité varie. Mots-clé Poroélasticité / Théorie des mélanges / Biomécanique / Os / Perméabilité Abstract This work aims to better understand interstitial fluid flow within the bone matrix through the help of modelling. Shear stresses on cells membranes induced by this flow are supposed to be part of the mechanotransduction process of bone remodelling. A model for the interstitial fluid is developed using mixture theory and including coupling between physical, chemical and mechanical effects. Periodic homogenization is then used to compare electro-osmotic and hydraulic contributions to the flow. It is shown that the first one can be neglected at the osteon s scale. A poroelastic model is finally presented to study the influence of the porous media inhomogeneity. This problem is solved analytically and numerically (finite elements). Fluid flow, and thus mechanotransduction signals, are modified when permeability varies. Keywords Poroelasticity / Mixture theory / Biomechanics / Bone / Permeability

iv

Table des matières 1 Le tissu osseux 5 1.1 Physiologie de l os................................... 5 1.1.1 Rôle de l os................................... 5 1.1.2 Les différents types d os............................ 6 1.1.3 Les différentes parties de l os long...................... 6 1.1.4 Fractures, tumeurs et maladies........................ 7 1.2 Les types de tissu osseux................................ 8 1.2.1 L os trabéculaire................................ 8 1.2.2 L os cortical................................... 9 1.2.3 Les cellules osseuses.............................. 9 1.3 L ostéon......................................... 10 1.3.1 Description de l ostéon............................. 10 1.3.2 Formation de l ostéon............................. 11 1.4 Les échelles spatiales et les niveaux de porosité................... 12 1.4.1 Porosité vasculaire............................... 12 1.4.2 Porosité lacuno-canaliculaire......................... 13 1.4.3 Porosité de la matrice osseuse......................... 14 1.5 Le remodelage osseux................................. 14 1.5.1 Le remodelage osseux surfacique....................... 15 1.5.2 Le remodelage osseux volumique....................... 15 1.5.3 Mécanotransduction du remodelage osseux................. 16 1.6 Mesures expérimentales de certaines propriétés de l os............... 16 1.6.1 Mesures mécaniques.............................. 16 1.6.2 Potentiels d écoulement............................ 17 1.6.3 Méthodes des traceurs............................. 18 1.7 Modélisation du tissu osseux............................. 18 1.7.1 Modèles à plusieurs échelles.......................... 19 1.7.2 Écoulement du fluide et perméabilité..................... 19 1.8 Conclusions....................................... 20 2 La théorie des mélanges 21 2.1 Introduction....................................... 21 2.2 Bases de la théorie des mélanges........................... 22 2.3 Hypothèses et équations................................ 23 2.3.1 Cinématique.................................. 24 2.3.2 Lois de conservation.............................. 26 2.3.3 Fractions volumiques comme inconnues du problème............ 30 2.4 Lois de comportement................................. 31 2.4.1 Nombre de lois de comportement nécessaires................ 31 2.4.2 Variables indépendantes............................ 32

vi TABLE DES MATIÈRES 2.4.3 Hypothèse d équiprésence........................... 33 2.4.4 Principe d invariance matérielle ou objectivité................ 33 2.4.5 Degré de symétrie du matériau........................ 34 2.4.6 Hypothèse de linéarité............................. 35 2.5 Exploitation de l inégalité d entropie......................... 35 2.5.1 Introduction de multiplicateurs de Lagrange................. 36 2.5.2 Écriture de l inégalité d entropie....................... 36 2.5.3 Restrictions liées à l exploitation de l inégalité d entropie.......... 38 2.6 Conclusions....................................... 39 3 Un modèle du fluide interstitiel 41 3.1 Introduction....................................... 41 3.2 Modèles du fluide interstitiel............................. 42 3.2.1 Focalisation sur le fluide interstitiel...................... 42 3.2.2 Recensement des phénomènes physiques pertinents............. 43 3.2.3 Quelques exemples de modèles de fluides multiphasiques.......... 44 3.2.4 Modèle du fluide interstitiel.......................... 46 3.3 Équations décrivant le modèle............................. 47 3.3.1 Lois de comportement nécessaires....................... 47 3.3.2 Introduction des conditions supplémentaires................. 47 3.4 Lois de comportement................................. 49 3.4.1 Variables indépendantes............................ 49 3.4.2 Conditions liées à l exploitation de l inégalité d entropie.......... 51 3.4.3 Propriétés à l équilibre............................. 53 3.4.4 Linéariser autour de l équilibre........................ 55 3.4.5 Influence de la température.......................... 58 3.5 Conditions aux limites................................. 58 3.6 Conclusions....................................... 58 4 Un modèle couplé d écoulement pour le fluide interstitiel 61 4.1 Introduction....................................... 61 4.1.1 Origine des couplages à l échelle du fluide.................. 61 4.1.2 Description multiphysique du fluide..................... 62 4.2 Géométrie et niveaux de porosité........................... 63 4.3 Description du fluide à l échelle du pore....................... 66 4.3.1 Électrostatique................................. 66 4.3.2 Mouvement de la solution d électrolyte.................... 67 4.3.3 Transport des ions............................... 67 4.4 Changement de variables dans le fluide........................ 68 4.4.1 Notion de bulk équivalent........................... 68 4.4.2 Pression virtuelle de bulk........................... 69 4.4.3 Équations reformulées............................. 70 4.5 Changement d échelle pour la géométrie cylindrique................ 71 4.5.1 Méthode de changement d échelle....................... 71 4.5.2 Variables lentes et rapides........................... 71 4.6 Solution du problème posé............................... 72 4.6.1 Discussion sur l équation de Poisson-Boltzmann............... 73 4.6.2 Approximation de Debye-Hueckel à l échelle mésoscopique......... 74 4.6.3 Loi de Darcy modifiée............................. 76 4.6.4 Échelle microscopique............................. 78 4.7 Résultats et discussion................................. 79

TABLE DES MATIÈRES vii 4.7.1 Échelle mésoscopique : écoulement du fluide dans les canalicules...... 79 4.7.2 Échelle microscopique : écoulement du fluide dans la matrice de collagène et d hydroxyapatite.............................. 83 4.7.3 Perspectives................................... 84 4.8 Conclusion....................................... 85 5 Modèle poroélastique de l ostéon 87 5.1 Introduction....................................... 87 5.2 Théorie de la poroélasticité.............................. 88 5.3 Modèles de l ostéon : état de l art........................... 89 5.3.1 Premier modèle de l ostéon.......................... 89 5.3.2 La question des potentiels d écoulement................... 89 5.3.3 Variations de la pression............................ 91 5.3.4 La modélisation fine des canalicules..................... 92 5.3.5 Modèle du tissu osseux cortical prenant en compte les ostéons....... 93 5.4 Équations de la poroélasticité............................. 94 5.4.1 Variables indépendantes et lois de comportement.............. 94 5.4.2 Lois de comportement............................. 95 5.4.3 Équations du mouvement........................... 96 5.4.4 Loi de Darcy.................................. 97 5.4.5 Équation de conservation de la masse.................... 97 5.4.6 Conditions aux limites et initiales....................... 98 5.4.7 Compressibilité................................. 98 5.5 Modélisation poroélastique d un ostéon........................ 99 5.5.1 Géométrie.................................... 99 5.5.2 Isotropie transverse............................... 99 5.5.3 Propriétés poroélastiques........................... 99 5.5.4 Quelques remarques sur la perméabilité................... 100 5.5.5 Spécification des conditions aux limites................... 101 5.5.6 Chargement................................... 102 5.6 Méthodes de résolution................................. 103 5.6.1 Équations et inconnues............................ 103 5.6.2 Solution analytique............................... 104 5.6.3 Méthode numérique.............................. 105 5.7 Résultats........................................ 107 5.7.1 Validation du modèle numérique....................... 107 5.7.2 Rôle de la fréquence et du taux de déformation............... 108 5.7.3 Pression en fonction de la fréquence..................... 109 5.7.4 Vitesse moyennée en fonction du rayon de l ostéon............. 110 5.7.5 Vitesse moyennée radiale en fonction de la fréquence............ 111 5.7.6 Vitesse moyennée radiale en fonction de la fréquence pour différents rayons 111 5.7.7 Variations de la perméabilité......................... 113 5.7.8 Variations du coefficient de Poisson...................... 116 5.8 Discussion sur les hypothèses du modèle....................... 118 5.8.1 Résolution analytique............................. 119 5.8.2 Hypothèses sur le chargement et sur l influence de l inertie......... 119 5.8.3 Hypothèse d imperméabilité de la surface cémentante........... 119 5.8.4 Hypothèse d homogénéité de la matrice poreuse solide........... 120 5.9 Implications pour le remodelage osseux........................ 120 5.9.1 Lien entre chargement mécanique et mécanotransduction......... 120 5.9.2 Comparaison avec le modèle de Zeng et al.................. 120

viii TABLE DES MATIÈRES 5.9.3 Chargement mécanique cyclique et fréquence................ 121 5.9.4 Déformations et vitesse moyennée radiale q r................. 122 5.9.5 Variation de la perméabilité.......................... 122 5.9.6 Variations du coefficient de Poisson...................... 123 5.10 Conclusions....................................... 124 A Annexe A 129 A.1 Équations de la poroélasticité............................. 129 A.1.1 Hypothèses sur la géométrie.......................... 130 A.1.2 Conditions aux limites............................. 131 A.1.3 Équation vérifiée par la pression....................... 131

Introduction L os est constitué d un matériau dont l originalité principale est sa capacité à se régénérer lorsqu il est affaibli. Cette faculté exceptionnelle lui permet de résister aux sollicitations quotidiennes et de s auto-réparer lorsque de micro-fractures apparaissent suite à un effort. Les phénomènes de remodelage osseux associés sont encore incomplètement compris. De la même manière, la croissance et la réparation du tissu osseux lors de fractures importantes présentent de nombreuses questions. Comprendre le processus de réparation et de remodelage osseux a de nombreuses implications : de l ingénierie de substituts osseux utilisant des biomatériaux à la délivrance ciblée de médicaments induisant ou freinant le remodelage, sans oublier la définition d exercices sollicitant l os de manière mécanique afin de le maintenir en bonne santé ou d améliorer la qualité du tissu formé pour la réparation d une fracture. Pour le mécanicien, le rôle d un stimulus d origine mécanique de l os est mis en avant dans le processus de remodelage osseux. La biomécanique de l os permet d étudier et de comprendre les phénomènes physiques intervenant dans le comportement mécanique du tissu osseux. Le lien entre remodelage osseux et chargement mécanique du tissu peut alors être esquissé. Le tissu osseux est un milieu poreux saturé par un fluide interstitiel. Parmi les signaux qui permettent aux cellules de le régénérer, certains auteurs suggèrent les contraintes de cisaillement générées par l écoulement du fluide interstitiel dans la matrice poreuse de l os. Les caractéristiques de cet écoulement à l échelle des pores du réseau lacuno-canaliculaire ne sont pas observables directement à l heure actuelle. Le travail de modélisation apporte une aide à la compréhension des nombreux phénomènes mécaniques et physico-chimiques qui sont mis en jeu dans la mécanotransduction du remodelage osseux, i.e. la transmission de signaux induisant une réponse des cellules. La difficulté d observer et de mesurer cet écoulement interstitiel implique le recours à un travail de modélisation pour en estimer les caractéristiques géométriques, mécaniques, physiques et chimiques. Un modèle de fluide interstitiel doit donc inclure les couplages entre phénomènes physiques, chimiques et mécaniques. En effet, les cellules osseuses sont sensibles aux contraintes de cisaillement générées sur leur membrane par l écoulement du fluide dans le réseau lacuno-canaliculaire. Or le

2 Introduction comportement de ce fluide est complexe et la détermination de ces contraintes de cisaillement nécessite une modélisation fine du comportement du fluide. Sa composition peut être modifiée par son interaction avec les cellules. Ces échanges chimiques, auxquels s ajoutent d éventuelles réactions entre les composants du fluide, doivent donc être pris en compte dans la description de l écoulement interstitiel. Dans ce travail de thèse, nous proposons des modèles du tissus osseux permettant de prendre en compte de tels interactions et couplages, comme ceux exposés dans les chapitres 2 et 3. L échelle pertinente pour étudier le rôle de l écoulement interstitiel dans le remodelage osseux est celle de l ostéon, structure unitaire de l os cortical. C est un cylindre creux formé lors du processus de remodelage osseux et dont le matériau poreux présente un réseau de lacunes reliées entre elles par de petits canaux, les canalicules. Ce travail s attache, en particulier, à étudier la circulation du fluide interstitiel dans le réseau de pores à l échelle de l ostéon, en tentant de relier l écoulement aux signaux de mécanotransduction du remodelage osseux. Les couplages électro-osmotique et osmotique à l échelle du fluide doivent être pris en compte dans la modélisation du tissu osseux. Néanmoins, leur influence à l échelle de l ostéon peut être faible lorsqu ils sont comparés au couplage hydro-mécanique. Une technique de changement d échelle permet d estimer l importance relative de ces termes à l échelle du tissu connaissant leur comportement à l échelle du fluide. Le couplage hydro-mécanique fait que la déformation mécanique du tissu osseux participe au mouvement de ce fluide. Or, les propriétés mécaniques du matériau osseux sont susceptibles de varier selon l individu, l âge et même spatialement. Il est donc intéressant de proposer un modèle permettant de suivre l influence de ces propriétés sur la réponse osseuse. Cette modélisation à l échelle de l ostéon permet d étudier l influence des variations des propriétés mécaniques sur l écoulement du fluide et donc sur les signaux de mécanotransduction. Le chapitre 1 présente le tissu osseux, sa constitution et son organisation. Le processus de remodelage osseux est décrit pour introduire les différents phénomènes étudiés dans les modélisations exposées dans les chapitres suivants. En particulier, quelques expériences effectuées sur le tissu osseux permettant d apporter un éclairage intéressant dans le cadre de ce travail sont présentées dans cette première partie. Ces expériences servent à décrire le rôle du fluide dans le remodelage osseux. Ce chapitre liminaire a donc pour principal but de proposer une description du tissu osseux, de l ostéon et des cellules. Enfin, certaines caractéristiques géométriques et mécaniques du tissu osseux utilisées dans les modèles sont introduites. Le chapitre 2 présente les équations de la théorie des mélanges. Ces dernières sont introduites sous une forme cohérente et synthétique pour être utilisées dans le but d obtenir

Introduction 3 les lois qui décrivent le comportement d un mélange. La démarche se place dans un cadre thermodynamique rigoureux et l introduction des termes d échanges entre les constituants du mélange est détaillée. Ce chapitre donne le cadre général de la théorie des mélanges sans introduire d approximations. L application de la théorie exposée dans le deuxième chapitre à un mélange de phases modélisant le fluide interstitiel, dans le tissu osseux, est donnée dans le chapitre 3. La théorie des mélanges est développée pour obtenir la forme des lois de comportement du mélange modélisant le fluide interstitiel. L électroneutralité de la solution est incluse ainsi que la propriété de saturation. L exploitation de l inégalité d entropie permet de donner la forme générale des lois de comportement. Dans le chapitre 4, une approche multi-échelle est utilisée afin de quantifier les éventuels effets dus aux couplages entre le transport, l électrostatique et les effets chimiques. Ainsi un modèle couplé d écoulement pour le fluide interstitiel est utilisé pour prouver que, dans le réseau lacuno-canaliculaire, les phénomènes électro-osmotique et osmotique demeurent faibles en comparaison à l effet moteur d origine hydraulique. Forts de la tendance qui s est dégagée dans la partie précédente, nous proposons dans le dernier chapitre 5 un modèle poroélastique de l ostéon couplant écoulement hydrodynamique dans les pores et élasticité de la phase solide. La résolution analytique des équations associées au modèle de l ostéon permet de montrer l influence des paramètres principaux influençant l écoulement du fluide. Lorsque ces paramètres sont décrits par des champs, leur influence est étudiée en résolvant les équations par la méthode des éléments finis, ce qui est le cas par exemple de la perméabilité. Les résultats obtenus par ces deux méthodes sont discutés et leur implication sur le remodelage osseux est analysée. Les phénomènes multiphysiques mis en jeu dans le processus de remodelage osseux sont nombreux et complexes. La modélisation de certains des phénomènes permet d envisager une meilleure compréhension du rôle de l écoulement du fluide interstitiel dans la mécanotransduction du remodelage osseux. La description fine du fluide interstitiel aide à mieux comprendre les phénomènes à l échelle de l écoulement. Pour l ostéon, le rôle important de la perméabilité montre qu il est nécessaire de prendre en compte ses variations. Les travaux présentés dans ce mémoire permettent d apporter quelques éléments de réponse à certaines questions fondamentales pour comprendre le remodelage osseux. Quelle modélisation du fluide interstitiel est nécessaire? Quels sont les phénomènes physiques microscopiques à prendre en compte à l échelle macroscopique? Quelle est l influence des propriétés physiques dans la réponse mécanique du tissu osseux?

4 Introduction

Chapitre 1 Le tissu osseux Résumé : Pour mieux comprendre le remodelage osseux et obtenir une modélisation mécanique du tissu osseux appropriée, une description rapide de l organisation structurale de l os, des cellules jouant un rôle dans le remodelage osseux est donnée. Le processus de remodelage osseux est ensuite décrit ainsi que la mécanotransduction associée. Enfin certains modèles physiques de ces tissus et de leur évolution sont décrits. 1.1 Physiologie de l os Dans ce travail, l os est considéré comme un matériau au sens du mécanicien. Il s agit néanmoins de ne pas oublier que chaque os joue aussi un rôle en tant qu organe. Un bref rappel et quelques notions sur la physiologie de l os sont donnés pour obtenir les modélisations du tissu osseux qui nous intéressent. 1.1.1 Rôle de l os Les os sont des organes qui s articulent pour constituer le squelette. Chez l être humain, ils assurent plusieurs fonctions. Le système squelettique a une fonction mécanique pour permettre le mouvement, le maintien de posture et la locomotion. La mise en mouvement se fait par les muscles attachés aux os par des ligaments. Les os jouent alors un rôle de levier pour lequel la rigidité est un élément indispensable. La protection des organes est aussi l un des rôles des os. Celle-ci est essentiellement assurée par les os plats. Par exemple, cette protection est assumée au niveau du crâne et des côtes. La fonction hématopoïétique, i.e. la production des globules rouges, des globules blancs et des plaquettes au sein de la moelle osseuse rouge située au niveau de la partie creuse interne des os longs, est aussi un rôle clé de l os. Les os sont enfin un réservoir de minéraux pour l organisme. Ils contiennent le calcium et le magnésium nécessaires à un bon métabolisme. Les échanges de minéraux sont

6 Le tissu osseux importants pour garantir la bonne santé du tissu osseux puisque les cristaux minéraux apportent la rigidité au tissu. 1.1.2 Les différents types d os Plusieurs types d os peuvent être distingués dans le squelette humain. Les os longs ont un rôle prédominant pour la locomotion. Le fémur ou l humérus sont des exemples typiques d os longs associés à la locomotion. La structure de l os long est décrite dans la section 1.1.3. Les différentes parties de l os et l ostéon, qui est la structure étudiée dans le présent travail, y sont introduites. Les os plats, tels que les os du crâne, ont un rôle de protection des organes. Ils sont constitués de deux couches corticales d os compact entre lesquelles se trouve de l os spongieux. On parle parfois de structure sandwich. Les os courts ont la même structure que les os longs mais leur taille et l épaisseur de la couche corticale justifient leur classification en os courts. Les phalanges sont des exemples d os courts. Les os dont la forme est irrégulière sont désignés par le nom d os particuliers. Les vertèbres, éléments constitutifs de la colonne vertébrale, sont par exemple qualifiés d os particuliers. Leur structure est identique à celle des os courts, une couche mince de corticale autour d os spongieux. 1.1.3 Les différentes parties de l os long Pour les os longs, plusieurs parties caractéristiques peuvent être identifiées. La diaphyse est la partie longue cylindrique creuse constitué par la couche corticale. La rigidité de l os est lié à l épaisseur et à la rigidité de cette diaphyse. Les épiphyses sont les extrémités de l os distale et proximale (voir figure 1.1). Ce sont les zones où les os s articulent entre eux. Elles sont recouvertes en partie par du cartilage articulaire. La métaphyse est une zone du cartilage de croissance avant la complète maturation de l os. Son développement est important pour une bonne croissance de l os. Le périoste est la couche externe de l os long. C est une membrane fibreuse et vasculaire. Son rôle important dans la création du tissu osseux à la périphérie de l os ainsi que sa possible utilisation pour l ostéoinduction du remodelage osseux ont été mis en évidence [18]. Le canal médullaire est la cavité centrale d un os long. Il contient la moelle osseuse. L endoste est la membrane interne de l os compact. L endoste couvre aussi les trabécules dans l os spongieux. L endoste est une membrane monocouche qui contient des

1.1. Physiologie de l os 7 Fig. 1.1: Vue en coupe d un os long cellules ostéoprogénitrices qui peuvent se transformer en ostéoblastes. Ces dernières sont les cellules à l origine de la formation du tissu osseux. 1.1.4 Fractures, tumeurs et maladies De nombreuses pathologies peuvent affecter l os ou le tissu osseux. Il ne s agit pas de donner une liste exhaustive mais plutôt à travers quelques exemples d illustrer les problèmes qui se posent, certaines solutions existantes à l heure actuelle et des études pour améliorer ces solutions. La présence d une tumeur, qui peut être cancéreuse, peut nécessiter d enlever une partie de l os pour éviter une prolifération de cellules malignes. De même les os courts peuvent se résorber naturellement à la suite de fractures de fatigue. Dans ces cas, l absence de tissu osseux pause alors un problème mécanique au niveau de l os. Les espaces peuvent être comblés de plusieurs manières : ciment, autogreffe ou implant artificiel. en particulier, le génie tissulaire dans le domaine du tissu osseux permet de développer des implants artificiels qui comblent l espace où le tissu osseux a été enlevé [117]. Les prédispositions génétiques ou la dégradation liée à une maladie telle que l ostéoporose peuvent conduire à la fragilité d un os. Les conséquences liées à la fragilité des os sont les chutes et les fractures que celles-ci en soient les causes ou les conséquences [60]. Le remplacement du col du fémur ou d une autre articulation, par exemple, le genou peut être lié à un problème de cartilage. Alors les surfaces de cartilage dégradé et en contact sont

8 Le tissu osseux une des causes de la douleur. Néanmoins, l os est aussi affecté par de telles pathologies puisqu une partie de l os est enlevée pour venir fixer la prothèse. L ostéointégration est une technique utilisée pour fixer la prothèse à l os. Cette technique consiste à traiter la surface de la prothèse de telle sorte que le tissu osseux puisse pénétrer dans une épaisseur de matériau et ainsi fixer la prothèse à l os. L interaction entre les surfaces de la prothèse et du tissu osseux reste une phénomène peu compris et dont la maîtrise est encore difficile [98, 140]. Les prothèses peuvent aussi être fixées par l utilisation de ciment. La fixation par ciment est étudiée pour améliorer ses caractéristiques en utilisant la porosité de l os ou en couplant l utilisation de l ostéointégration en parallèle [11, 12, 24, 153]. 1.2 Les types de tissu osseux Deux types d os sont généralement considérés : l os trabéculaire et l os cortical. De manière générale, le tissu osseux est un tissu complexe à plusieurs échelles dont l organisation, la structure et la composition varie selon de nombreux critères : la maturité, la croissance, l âge, le type d os, l espèce animale (on s intéresse particulièrement à l application pour l Homme mais de nombreuses expériences sont réalisées chez l animal), le chargement mécanique, etc. 1.2.1 L os trabéculaire Fig. 1.2: Vue en coupe d une tête du fémur

1.2. Les types de tissu osseux 9 L os trabéculaire (ou os spongieux) est un os moins dense constitué de travées et de plaques appelés trabécules. Il est situé à l intérieur des os. Sa structure est constitué de travées et de plaques faites de matrice osseuse. On trouve une structure en lamelles pour les trabécules. Elles sont composées de cristaux d hydroxyapatite et de fibres de collagène. Les pores sont remplis de moelle osseuse. Le métabolisme du remodelage osseux pour l os trabéculaire est plus important puisque les surfaces spécifiques d échange avec le tissu de la matrice osseuse sont plus larges [104]. Ses pores contiennent de la moelle osseuse. Sa microstructure est modifiée par le remodelage osseux. L orientation des plaques et des travées suit généralement les lignes de contraintes principales. Cela a donné lieu à l interprétation sous la forme de la loi de Wolff [47, 48, 67]. Cette loi qui lie l augmentation de la rigidité de l os au chargement mécanique exercé sur cette organe est depuis nuancée [44,59]. Les orientations variées des trabécules peuvent être observées sur la figure 1.2. 1.2.2 L os cortical C est un os dense situé à la périphérie et formant une couche à l extérieur des os longs. Sa porosité est faible relativement à celle de l os trabéculaire et il est constitué d une structure à plusieurs échelles. Il est formé d ostéons qui sont renouvelés au cours du remodelage osseux [104]. Les différentes échelles de porosité sont décrites dans la section 1.4. 1.2.3 Les cellules osseuses Les cellules ostéoprogénitrices Les cellules ostéoprogénitrices sont des cellules souches indifférenciées provenant du mésenchyme. Elles se différencient en cellules ostéoblastiques. Elles sont situés sur l endoste et le périoste de l os, ainsi que sur les surfaces des canaux de Havers et les canaux de Volkmann (cf la section 1.3). Ces cellules sont utilisées en génie tissulaire pour obtenir un tissu osseux qui pourra être greffé pour combler un défaut [117]. Les ostéoblastes Les ostéoblastes sont les cellules qui fabriquent le tissu osseux. Elles apposent la matrice extracellulaire de l os qu elles vont ensuite minéraliser pour donner le tissu osseux. Lors du processus de remodelage, certaines cellules ostéoblastiques sont recouvertes de matrice extracellulaire. Cela crée une lacune où l ostéoblaste est bloqué et devient

10 Le tissu osseux un ostéocyte. Certains ostéoblastes à la surface de remodelage deviennent des cellules bordantes qui peuvent donner sous l influence de stimuli de nouveaux ostéocytes. Les ostéoclastes Les ostéoclastes sont des cellules multinucléées issues de monocytes. Elles dégradent le tissu osseux lors du processus de remodelage osseux en s attaquant aux surfaces de résorption. L ancien tissu osseux présent est résorbé. Les ostéoclastes et les ostéoblastes participent de concert au processus de remodelage osseux ; les premières détruisant l ancien tissu osseux et les secondes en apposant du nouveau tissu. Le métabolisme des ostéoclastes est influencé par la calcitonine, une hormone qui peut freiner la résorption du tissu osseux. Les ostéocytes Les ostéocytes sont les cellules mécanosenseurs de la mécanotransduction. Ces cellules sont des ostéoblastes coincés dans les lacunes de l os compact. Les tentacules des ostéocytes sont contenues dans des canaux appelés canalicules et sont fixés à la paroi des lacunes par des fibres [167]. Les ostéocytes sont aussi présentes dans le tissu osseux trabéculaire lorsque les trabécules sont suffisamment grandes. Les ostéocytes peuvent communiquer entre elles par l intermédiaire des gap jonctions [45]. Cette liaison établie au niveau des membranes cellulaires des ostéocytes voisins permet la transmission de messages chimiques lorsqu une des cellules est excitée. Au niveau de l os, un de ces messages chimiques est la présence ou concentration de calcium intercellulaire. Un des mécanisme envisagé pour la mécanotransduction du remodelage osseux est la stimulation par le fluide interstitiel circulant dans ces canaux des tentacules des ostéocytes situées dans les canalicules [45,56]. 1.3 L ostéon 1.3.1 Description de l ostéon Un ostéon est un cylindre constitué de lamelles concentriques d os. Sa matrice est poreuse. Sa porosité est constituée de lacunes et de canalicules interconnectées entre elles. Les canalicules sont des petits canaux qui lient les lacunes entre elles. Dans chaque lacune, un ostéocyte est bloqué suite au processus du remodelage osseux. L ostéocyte a les filaments de sa membrane qui se situent dans les canalicules. Les signaux qui maintiennent l os en bonne santé sont partiellement liés à l écoulement de fluide dans les canaliculi. Les contraintes visqueuses à la membrane des cellules sont un des mécanismes de la mécanotransduction. L ostéon a été beaucoup étudié en tant que structure unitaire

1.3. L ostéon 11 (au sens mécanique) de base du tissu (au sens matériau) osseux cortical. Il est presque toujours idéalisé par un cylindre lorsqu il s agit de tissu osseux secondaire. Sur la figure Fig. 1.3: Schématisation d un ostéon en coupe adapté de [28] 1.3, un ostéon est schématisé. La surface correspondant à la ligne cémentante est la surface extérieure limite de l ostéon. Le canal intérieur est le canal haversian dans lequel se place un ou plusieurs vaisseaux sanguins pour alimenter les cellules présentes dans les lacunes. Les ostéoblastes qui ont apposé la matrice osseuse se sont transformés en ostéocytes lorsqu ils sont bloqués dans la matrice osseuse. Ils sont donc entourés par une couche de fluide dans une lacune. Les ostéocytes communiquent entre eux par des tentacules qui se trouvent dans les canalicules. Les canalicules sont de longs canaux de petits diamètres qui lient les lacunes entre elles. Les dimensions caractéristiques de l ostéon sont de l ordre de 150 µm à 250 µm pour le rayon extérieur et de 50 µm pour le rayon du canal haversian. 1.3.2 Formation de l ostéon L ostéon est une structure biologique construite à l issue du processus de remodelage osseux par une unité de remodelage osseux. Les six phases du remodelage osseux conduisant à la formation d un nouvel ostéon sont séquentielles et s ordonnent de la façon suivante [104] : l activation, phase pendant laquelle les cellules précurseurs sont recrutées au point où l unité de remodelage osseux débute ; la résorption, phase pendant laquelle les ostéoclastes attaquent le tissu osseux existant ;

12 Le tissu osseux l inversion, phase pendant laquelle les ostéoblastes contrebalancent l activité des ostéoclastes; la surface correspondant à la ligne cémentante est créée dans cette phase à la surface de l unité de remodelage osseux où la résorption s est arrêtée ; la formation de la matrice osseuse ; les ostéoblastes fabriquent la matrice en apposant la matrice organique de fibres de collagène en lamelles concentriques en partant de l extérieur vers l intérieur jusqu à la formation du canal haversian ; la minéralisation ; l apport de minéraux entre les fibres de collagène en deux temps, une minéralisation primaire suivie d une minéralisation secondaire ; la quiescence ; l ostéon est formé et les ostéoclastes disparaissent ; les ostéoblastes se transforment soit en ostéocytes, soit en cellules tapissant le canal haversian, soit disparaissent. Les ostéons formés lors du processus de remodelage osseux sont appelés ostéons secondaires en opposition aux ostéons primaires créés au moment de la formation de l os. L observation a montré que les ostéons secondaires sont orientés selon la direction des contraintes mécaniques appliquées à l os [31, 44, 138]. 1.4 Les échelles spatiales et les niveaux de porosité Le comportement du tissu osseux est dépendant de l échelle de description. Pour l os cortical, trois niveaux de porosité doivent être considérés [43]. Les trois échelles correspondantes sont : l échelle de l ostéon (ou échelle vasculaire), l échelle des lacunes et des canalicules, et enfin, l échelle des micropores de la matrice d hydroxyapatite. Bien qu organisée de manière complexe, cette porosité reste faible de l ordre de 5%. Les différentes échelles d une couche d os cortical sont représentées sur la figure 1.4. 1.4.1 Porosité vasculaire Au niveau de la couche d os compact, on peut distinguer deux niveaux de porosité. Le premier niveau correspond au système vasculaire du tissu osseux cortical. Les pores sont les canaux haversiens de l ostéon lesquels sont alignés avec les ostéons car ils constituent leur canal intérieur. Les canaux de Volkmann sont eux perpendiculaires aux ostéons et appartiennent aussi à la porosité vasculaire. Une bonne vascularisation est un élément essentiel pour la bonne santé de l os et est ainsi l un des challenges du génie tissulaire pour la production d implants au-delà d une certaine taille [28].

1.4. Les échelles spatiales et les niveaux de porosité 13 Fig. 1.4: Os cortical (adapté de [28]) 1.4.2 Porosité lacuno-canaliculaire La porosité lacuno-canaliculaire est constituée des lacunes et des canalicules. Les lacunes et les canalicules constituent un réseau inter-connecté dans lesquels les ostéocytes sont captifs. Les ostéocytes ont des tentacules qui permettent la communication entre cellules au niveau des gap junctions. Lorsque l ostéon s est formé et que la matrice osseuse s est calcifiée, les cellules se trouvent enfermées dans le tissu osseux, les lacunes abritent le corps des cellules alors que les canaliculi abritent les tentacules des ostéocytes. Il s agit de la porosité la plus petite si on suppose que le fluide inclus dans la matrice poreuse reste fixe par rapport à celle-ci. L écoulement du fluide interstitiel et l interaction avec les cellules a donc lieu dans les pores que sont les canaux et les lacunes. Leur géométrie et la présence des fibres liant les tentacules ostéocytaires à la paroi du canalicule rendent la description de l écoulement dans ces canaux complexe et l estimation par le calcul de la perméabilité difficile [160]. En même temps, les dimensions et la variabilité des matériaux vivants mis en jeu rendent les mesures de cette perméabilité difficiles voire impossibles [2, 107]. Cette porosité lacuno-canaliculaire est de plus en relation avec la porosité vasculaire dont les pores contiennent les vaisseaux sanguins. Les mesures de porosité sont donc nécessairement faites en prenant en compte les deux niveaux de porosité. Lorsque le comportement mécanique de l ostéon seul est considéré, la porosité vasculaire devient extérieure au système et n est pas prise en compte au niveau de la description du comportement de l ostéon.

14 Le tissu osseux 1.4.3 Porosité de la matrice osseuse L échelle correspondant aux micro-pores contenus dans la matrice de collagène apatatite peut aussi être envisagée. Cela pose un certain nombre de problème car les dimensions caractéristiques sont à la limite de remettre en cause les hypothèses de la mécanique des milieux continus puisque les pores sont à l échelle de quelques nanomètres [94]. Dans la littérature, les avis divergent sur la possible circulation du fluide à ce niveau de porosité [43, 83, 94, 107, 160]. Dans ce travail, on fait l hypothèse que dans l os mature le fluide contenu dans cette porosité peut s écouler si la taille des pores est suffisante. Il est probable que dans l os en formation, avant la minéralisation du tissu osseux, l écoulement du fluide soit possible entre les fibres de collagène [104]. La différence au niveau de l écoulement entre les porosités lacuno-canaliculaire et de la matrice osseuse est discutée dans le chapitre 3. 1.5 Le remodelage osseux Le remodelage osseux est un phénomène biologique naturel qui renouvelle le tissu osseux par un cycle de résorption et d apposition. La structure et l orientation du tissu osseux peuvent ainsi compenser les efforts mécaniques appliqués à l os [44]. Le tissu osseux existant est détruit par l action des cellules ostéoclastiques. L apposition de nouveau tissu osseux se fait par la progression d un structure appelée unité de remodelage osseux [104]. Le phénomène de remodelage osseux agit par apposition ou résorption dans l os trabéculaire. La structure osseuse se réarrange comme on peut l observer sur des coupes d os telle que la figure 1.1. Le chargement mécanique de l os joue un rôle dans le processus de remodelage osseux. Des expériences sur l animal ont montré que le tissu osseux était renouvelé de manière significative sur les os du dindon lorsque l os était soumis à un chargement mécanique [89]. Le type de chargement mécanique et sa fréquence lorsque celui-ci est dynamique sont des critères dont il est nécessaire de tenir compte. En particulier, le chargement cyclique induit un remodelage osseux plus important que celui d un chargement statique discontinu [91]. La fréquence du chargement mécanique cyclique semble jouer un rôle significatif. Il semble qu au-delà d une certaine fréquence le remodelage osseux soit moins influencé [130]. De nombreuses lois ont été proposées pour décrire le remodelage osseux, la plus connue étant certainement la loi de Wolff [48]. Cette loi formulée au 19 e siècle lie non seulement l état du tissu osseux à son chargement mécanique mais inclut aussi le fait que les évolutions temporelle et spatiale du tissu osseux sont influencés par ce chargement. Cette loi est discutée dans sa formulation, en particulier car elle ne prend pas en compte le

1.5. Le remodelage osseux 15 caractère dynamique du chargement nécessaire au remodelage osseux [44]. Établir le lien entre chargement mécanique et remodelage osseux est un sujet d étude car cela permettrait de le stimuler ou au contraire de le modérer pour maintenir et améliorer l état du tissu osseux. Deux grands types de remodelage osseux peuvent être distingués : le remodelage interne et le remodelage surfacique. 1.5.1 Le remodelage osseux surfacique Le remodelage osseux surfacique induit une modification de la forme de l os en accroissant le rayon extérieur de l os par exemple. Il y a donc une augmentation du volume de l os. Les observations expérimentales montrent que la sollicitation mécanique de l os induit un remodelage surfacique [131]. Les rôles précurseurs des cellules de l endoste et du périoste sont probables. Un lien entre le remodelage osseux surfacique et l écoulement de fluide dans une section d os a été proposée par Qin [124]. Les zones où le gradient de pression est le plus grand sont les mêmes que celles où le remodelage osseux est le plus important. 1.5.2 Le remodelage osseux volumique Pour le remodelage osseux volumique, une partie de l os est résorbé puis il y a une apposition de nouveau tissu osseux par une unité de remodelage osseux. Il n y a donc pas de variation de volume de l os mais un changement de la microstructure et de la composition du tissu osseux qui a été remodelé. Le remodelage osseux dit volumique est donc un processus de renouvellement [104]. L unité de remodelage osseux est une assemblage de cellules dont le déplacement et les actions résorbante et apposante résulteront en un nouvel ostéon, aussi appelé ostéon secondaire. Les expériences de chargement mécanique sur les os ont montré que les contraintes mécaniques appliquées à l os ont des conséquences sur l orientation et la densité des ostéons secondaires créés. Le processus de renouvellement d un ostéon est de l ordre de 200 jours [104]. Les chargements mécaniques sont plus courts de l ordre de quelques jours à quelques semaines mais la stimulation liée au chargement mécanique permet d induire le remodelage osseux qui se poursuit après la fin de la sollicitation mécanique [33, 89 91, 131]. Les expériences montrent aussi que lorsque l os n est pas sollicité mécaniquement, il a tendance devenir plus fragile d un point de vue mécanique [131].

16 Le tissu osseux 1.5.3 Mécanotransduction du remodelage osseux La mécanotransduction est la transmission de signaux par un moyen mécanique. Dans le cas de l os, les contraintes visqueuses dues à l écoulement du fluide interstitiel sur la paroi des cellules est un des mécanismes de la mécanotransduction [31, 43, 44]. La traduction du chargement mécanique en signaux pour le remodelage osseux a été étudiée au travers de plusieurs modèles [41, 160]. Les signaux électriques liés à la circulation de fluides chargés dans les pores de l os cortical font peut-être aussi partie des signaux de mécanotransduction du remodelage osseux. Le rôle du fluide interstitiel dans la mécanotransduction n a pas encore été observé de manière directe mais il est fondé sur trois observations expérimentales : la réaction de cellules aux contraintes de cisaillement induites par le fluide [52,77], la faible influence de la déformation directe aux niveaux relevés dans le tissu osseux [46,160,165] et l influence du chargement mécanique cyclique [31,89]. L importance de bien comprendre la mécanotransduction est évidente puisqu elle est non seulement capitale pour comprendre le phénomène de remodelage osseux, mais aussi pour établir des protocoles pour le génie tissulaire pour l os. En effet, une compréhension fine du mécanisme naturel permettra de le répliquer au mieux pour obtenir, par exemple, de l os artificiel à réimplanter ou pour stimuler le remodelage osseux naturel. Les problèmes liés à la compréhension de la mécanotransduction viennent des problèmes d échelles spatiales et temporelles : on travaille à l ordre du micromètre, on compare des variations en cisaillement de l ordre de la seconde à des variations en croissance cellulaire qui est de l ordre du jour (voire plusieurs jours). De plus la chimie mise en jeu lors de l écoulement et les interactions avec les cellules jouent sûrement un rôle prépondérant dans la mécanotransduction. Le fluide interstitiel est influencé par la sécrétion des cellules stimulées par la circulation du fluide [52, 62, 77, 83]. La sécrétion par les cellules de certains composés chimiques telles que le calcium est liée aux gradients de concentration de certains composés chimiques présents dans le fluide. 1.6 Mesures expérimentales de certaines propriétés de l os 1.6.1 Mesures mécaniques Les mesures expérimentales mécaniques de Carter et al. [35] montrent que la rigidité de l os est liée à sa masse volumique et au taux de déformation appliqué au tissu osseux. Les résultats sont donnés pour les tissus osseux cortical et trabéculaire. Des expériences plus récentes corroborent ses similarités dans le comportement mécanique de ces deux types

1.6. Mesures expérimentales de certaines propriétés de l os 17 d os. Ashman et al. [6,7] ont montré que les propriétés mécaniques du tissu osseux peuvent être déterminées par la propagation d ondes ultrasonores. Cette méthode non intrusive a l avantage d éviter un possible endommagement lié aux contraintes mécaniques appliqués à l échantillon d os testé. Plus récemment des expériences sur l os ont permis de mettre en évidence les propriétés poroélastiques du tissu osseux [34]. Une étude récente sur des séries d expérience montre que le lien entre les propriétés élastiques anisotropes et la masse volumique de l os est établi [161]. Le problème peut être inversé pour obtenir une prédiction de la masse volumique du tissu osseux en fonction des propriétés élastiques [128]. La nano-indentation permet de déterminer les propriétés élastiques du tissu osseux localement [57, 69]. L influence de la location sur les propriétés élastiques peut donc être évaluée. Ces méthodes permettent par exemple de mettre en évidence la différence de rigidité entre les ostéons secondaires et les zones interstitielles du tissu osseux plus ancien [126]. Les méthodes ultrasonores ont été comparées à la technique de nano-indentation pour montrer que l anisotropie du tissu osseux n est pas une limitation liée aux méthodes d indentation pour l évaluation des caractéristiques mécaniques de l os [149]. 1.6.2 Potentiels d écoulement Des potentiels électriques provoqués par l écoulement du fluide interstitiel peuvent être observés dans le tissu osseux. Ces potentiels électriques sont la conséquence de l écoulement du fluide interstitiel qui transporte des ions. Les ions chargés en mouvement génèrent un courant électrique que l on peut mesurer. Ces potentiels électriques dépendent de la structure du tissu osseux et du type de chargement imposé en traction ou en compression. Ces potentiels électriques d écoulement ont été mesurés lorsque les échantillons d os étaient soumis à un chargement mécanique en contraintes [132, 141]. Les expériences de MacGinitie et al. [100] montrent que les potentiels d écoulement et les courants associés dépendent de la structure du tissu osseux de l ostéon et de l orientation du chargement mécanique. Le chargement mécanique est une flexion quatre points du spécimen de tissu osseux. Le tissu peut comporter des canaux haversian du type os compact ou du tissu osseux lamellaire. Ils montrent que la structure du tissu osseux peut influencer l amplitude du potentiel électrique mais ne joue pas de rôle pour le courant électrique associé en amplitude et sur la cinétique des deux. Ils proposent donc que la géométrie et en particulier le diamètre des pores de la porosité vasculaire soit prépondérant pour expliquer les variations du potentiel électrique observées. Des modèles multiphysiques ont été développés pour expliquer l origine des phénomènes observés [118, 122, 132, 133, 160, 168].

18 Le tissu osseux 1.6.3 Méthodes des traceurs Les études expérimentales utilisent aussi des traceurs pour mieux connaître la forme et la taille des pores aux différents niveaux de porosité du tissu osseux [83]. Les traceurs sont des substances chimiques dont les composés sont de différentes tailles de l ordre du nanomètre à la dizaine de nanomètres. Leur circulation et leur détection à travers des méthodes de coloration et d observations microscopiques à différentes échelles permettent d évaluer une taille minimale pour les canaux dans lesquels ils s écoulent [36]. Selon Knothe Tate et al. [85], le chargement mécanique pourrait accroître la circulation des traceurs les plus gros. Différents traceurs sont ainsi injectés dans le système vasculaire du rat. Les rats sont anesthésiés pour que le chargement physiologique n ait pas lieu. Il s agit d observer la diffusion des traceurs. Dans ce travail, il n y a pas de discussion sur le rôle du système vasculaire. La diffusion est liée à la circulation des traceurs dans le fluide et du fluide dans les vaisseaux liés à la circulation vasculaire. Plusieurs observations sur la taille des différents traceurs utilisés sont données. En premier lieu certains traceurs restent au niveau des pores vasculaires. D autres constitués de molécules de taille plus petite et à poids moléculaire inférieur, au contraire, vont jusqu aux ostéocytes coincés dans les lacunes. Les traceurs, à ce niveau, ne semblent pas pénétrer les cellules elles-mêmes. La matrice d hydroxyapatite ne semble pas être perméable aux traceurs les plus petits. Il est émis l hypothèse d une réaction avec des protéines empêchant cette circulation. La perméabilité des tissus, lorsqu on compare l os immature de rat à l os mature, montre que les tissus immatures ont des espaces plus grands pour la circulation du fluide et sont donc plus perméables. Le traceur ferritin avait été identifié comme jouant un rôle particulier de par sa petite taille et sa pénétration observée dans la matrice d hydroxyapatite [83]. Le problème associé avec les halo observés sont en fait des artefacts liés à l expérimentation et mettent en doute le caractère spécifique de la circulation de ce traceur et surtout sa pénétration dans les pores de la matrice osseuse [36]. 1.7 Modélisation du tissu osseux Le tissu osseux a été modélisé aux différentes échelles. Les premiers modèles sont des modèles de type matériau élastique incluant ou non une dépendance des propriétés mécaniques en temps et en espace [42]. La modélisation du remodelage osseux a conduit à une modélisation plus fine du tissu. Les modèles multi-échelles sont présentés puis les modèles déstinés à évaluer la perméabilité.

1.7. Modélisation du tissu osseux 19 1.7.1 Modèles à plusieurs échelles Les modèles à l échelle des travées et des plaques de l os trabéculaire ont été construits pour prendre en compte la variation de la microstructure du tissu [64,72,150,152]. Le comportement mécanique de l os dépend du type de tissu osseux, de l âge, de la maturation, et de la présence ou non de pathologies. Des modèles utilisant la notion de tenseur de fabrique, fabric tensor, ont été développés pour étudier la loi de Wolff et la dépendance de l orientation du nouveau tissu osseux en fonction des contraintes mécaniques appliquées à l os [48, 147]. Un modèle de mise en cascade des échelles a été construit pour lier le comportement mécanique de la microstructure de l os compact à son comportement macroscopique [51]. Le tissu osseux peut aussi être vu comme un milieu multiphasique dont les propriétés peuvent être déduites des propriétés de ses phases. Une approche multi-échelle et multiphasique a été développée pour estimer les propriétés de différents types de tissu osseux à partir des propriétés de chacun des principaux constituants de la matrice osseuse : l hydroxyapatite, le collagène, le fluide et la moelle osseuse [68]. 1.7.2 Écoulement du fluide et perméabilité Le rôle majeur de l écoulement du fluide dans la mécanotransduction du remodelage osseux a été mis en lumière et a introduit la nécessité de modéliser cet écoulement [43]. Des modèles animaux, chez le rat, ont été utilisés en liaison avec les méthodes des traceurs décrites dans la section 1.6.3. Plusieurs modèles ont été développés pour décrire le comportement du fluide dans le tissu osseux [84, 142]. Dans ces travaux, un modèle poroélastique du tissu osseux est résolu par la méthode des éléments finis. Les résultats sur l écoulement du fluide interstitiel sont introduits dans un système d équations de diffusion pour estimer la circulation des traceurs ou des nutriments dans les pores du tissu osseux cortical. Un modèle numérique d homogénéisation a aussi été développé pour étudier l influence de différents paramètres géométriques et physiques dans le comportement du tissu osseux [29, 66, 144]. Outre les problèmes associés à la démarche numérique, les résultats obtenus ne sont pas encore validés par des expériences puisque la variabilité biologique ne permet pas une comparaison directe. Néanmoins l étude paramétrique montre que les temps de relaxation du fluide dans les pores vasculaires et dans la porosité lacuno-canaliculaire sont très différents aux échelles qui nous intéressent. Ces modèles permettent de faire l hypothèse que les variations de pression du fluide aux deux échelles sont séparables, et donc pour le modèle de l ostéon de ne s intéresser qu à un niveau de porosité. Les modèles de l ostéon en tant qu élément unitaire de l os cortical sont détaillés dans

20 Le tissu osseux le chapitre 5. 1.8 Conclusions Une description du tissu osseux, de sa structure, de ses cellules et de son renouvellement par le processus de remodelage osseux a été proposée dans ce chapitre. Les bases du processus de remodelage osseux ainsi que les mécanismes plausibles de sa mécanotransduction ont été décrits. Des indications sur les méthodes de mesures des propriétés mécaniques de l os ainsi que les observations sur les effets du chargement mécanique ont été détaillées. Sans prétendre à l exhaustivité, les notions de biologie, de physiologie et de biomécanique abordées dans ce chapitre doivent permettre d aborder les travaux de modélisation présentés dans les chapitres suivants.

Chapitre 2 La théorie des mélanges Résumé : La théorie des mélanges est une théorie de la mécanique des milieux continus qui permet de décrire le comportement d un milieu multiphasique. Les équations de la théorie des mélanges sont présentées pour décrire la démarche pour obtenir les lois de comportement d un mélange qui sera explicité dans le chapitre suivant. Les équations de conservation pour les constituants et les règles de sommation pour les termes d interaction entre ces constituants sont introduites. L inégalité d entropie est alors utilisée pour déduire des restrictions sur les lois de comportement des constituants et du mélange. Ce chapitre synthétise les équations et les donne sous leur forme générale. La forme de ces équations et de certains termes est discutée. 2.1 Introduction Ce chapitre présente la forme générale des équations de la théorie des mélanges. Les équations sont présentées et les différents termes sont introduits pour que les notations et la nature des termes physiques soient correctement introduites. Les différences sur la forme des équations existantes dans la littérature sont indiquées et discutées. Les différents principes à prendre en compte pour obtenir les lois de comportement de chaque constituant et du mélange sont détaillés. La présentation volontairement générale de ce chapitre est spécifié dans le chapitre suivant. La théorie des mélanges permet de décrire le comportement d un milieu continu constitué de plusieurs phases qui interagissent entre elles. Il peut s agir, en particulier, d un milieu composé par un fluide et un solide : on a alors affaire soit à un milieu poreux, soit à un milieu granulaire en suspension. Un mélange de deux solides sera appelé composite. Un mélange de deux fluides sera appelé fluide multiphasique. Chaque constituant ou phase du mélange se comporte comme un constituant pur. La description de son comportement inclut les phénomènes thermiques, mécaniques et chimiques. Les échanges de masse, de quantité de mouvement et d énergie entre les différents constituants du mélange sont aussi

22 La théorie des mélanges potentiellement possibles. Par hypothèse, le comportement du mélange peut être décrit comme celui d un constituant pur. Les interactions entre constituants obéissent donc à des règles telle que les interactions ne se voient pas à l extérieur du mélange. Les lois de comportement doivent donc être établies pour décrire non seulement le comportement de chaque constituant, mais aussi celui du mélange. 2.2 Bases de la théorie des mélanges La théorie des mélanges s appuie sur les travaux de Truesdell, issus des travaux de Fick sur les lois de diffusion de constituants et de la chaleur [25]. Elle postule la description du comportement de chaque constituant et du mélange comme un composé pur. En introduisant les interactions entre les constituants, cette théorie fait apparaître en plus des lois de comportement de chaque constituant, des lois descriptives pour ces termes d interactions. Cette théorie utilise alors les arguments tirés des lois de la thermodynamique pour obtenir des informations sur la forme et les dépendances de ces lois de comportement. Alors que la forme des équations décrivant le comportement des mélanges est acceptée par de nombreux auteurs, l exploitation du second principe de la thermodynamique est encore discutée [8, 106]. En particulier, les résultats de la thermostatique ne sont pas directement pris en compte. La théorie des mélanges telle que décrite par Bowen [25] postule l existence de l entropie massique de chaque constituant et du mélange. Le second principe de la thermodynamique est alors écrit pour le mélange. L argument avancé par Coleman et Noll [38] est alors utilisé pour obtenir les restrictions sur les lois de comportement. Cette démarche a été utilisée avec succès pour la modélisation des tissus biologiques et sera poursuivie dans ce travail [65, 75]. Parallèlement, Müller [108] a développé la théorie des mélanges en postulant que le flux d entropie massique apporté au mélange devait être vu comme une quantité pour laquelle il était nécessaire d introduire une équation constitutive. Il a aussi montré qu il était nécessaire de considérer les gradients des masses volumiques partielles dans la liste des variables indépendantes décrivant le comportement du mélange. Pour sa part, Liu [95] a introduit l utilisation des multiplicateurs de Lagrange pour exploiter l inégalité d entropie et obtenir les restrictions sur les lois de comportement. On notera enfin la démarche plus singulière de Klisch qui ne présuppose pas l existence de l entropie [81, 82]. Dans ces travaux, l auteur construit la fonction d entropie comme une fonction limite d un état d équilibre. Ces travaux ne sont néanmoins pas assez avancés et développés pour obtenir des lois de comportement décrivant un mélange. On mentionnera aussi la démarche précautionneuse de Maugin qui pose l hypothèse de

2.3. Hypothèses et équations 23 l état local d accompagnement qui a tout instant défini la relation entre entropie massique et température par la relation de la thermostatique [106]. Les équations obtenues de cette manière sont en accord avec la thermostatique et ne présupposent pas l existence de l entropie. Il indique que cette démarche ne diffère pas néanmoins de la démarche utilisée par Coleman et Noll [38] lorsque l écart vis-à-vis de l état d équilibre est suffisamment petit. Il propose d introduire des variables internes pour décrire la dépendance des lois de comportement par rapport aux constituants du mélange mais ces variables ne sont pas contrôlables pour chaque constituant. Elles représentent en effet la prise en compte de phénomènes physiques câchés à l échelle de description, telles que les micro-fissures d un matériau plastique. 2.3 Hypothèses et équations La théorie des mélanges permet de considérer les interactions chimiques entre les constituants, les échanges de quantité de mouvement et les échanges énergétiques. Des arguments thermodynamiques permettent de définir des restrictions sur les termes mis en jeu, et même dans certains cas, de les définir en fonction d autres termes. Comme pour un milieu continu classique, les variables usuelles sont introduites pour chacun des constituants du mélange. De plus, des termes d interaction entre les constituants apparaissent et s ajoutent aux inconnues du problème. Il s agit ensuite de définir les lois de comportement qui lient les contraintes, les échanges de chaleur, les réactions chimiques et l énergie aux masses volumiques, vitesse ou déformations et température. La description du comportement d un mélange formé de plusieurs constituants est la même que pour les milieux continus. En un point, tous les constituants sont présents et leur volume relatif est donné par la fraction volumique φ a. Cette fraction volumique est définie par le rapport entre le volume V a du constituant a et le volume V du mélange autour du point considéré. Dans ce cas, la fraction volumique est : φ a = V a V. (2.1) C est une des hypothèses clé de la théorie des mélanges puisque celle-ci suppose que les constituants du mélange peuvent être présents partiellement au même point. Les équations de conservation sont détaillées afin de préciser les notations, lesquelles ne sont pas homogènes dans la littérature, et pour mettre en évidence l originalité de la démarche poursuivie dans le chapitre suivant.

24 La théorie des mélanges 2.3.1 Cinématique Dans un mélange, on fait l hypothèse qu en chaque point les particules de chaque constituant du mélange sont présentes dans une proportion donnée par leur fraction volumique φ a. Pour une particule de constituant a, sa position dans la configuration de référence est notée X a. Le mouvement de la particule X a est défini par l application χ a telle que : x a = χ a (X a, t), (2.2) où x a est la position spatiale de la particule X a à l instant t. Il est sous-entendu que la configuration de référence est définie par la configuration du mélange à l instant t = t 0. La vitesse de la particule du constituant a est définie par : v a = χ a t (X a, t). (2.3) La fraction volumique φ a du constituant a dans le mélange est définie par la relation suivante : ρ a = φ a γ a, (2.4) où γ a est la masse volumique intrinsèque (aussi appelée masse volumique réelle) et ρ a la masse volumique partielle. La masse volumique intrinsèque est la masse volumique du constituant a lorsque celui-ci est considéré pur. La masse volumique ρ a du constituant a est celle définie dans le mélange. La fraction volumique φ a représente le volume relatif occupé par le constituant a dans le mélange considéré. Pour un point du mélange donné, sa valeur peut varier de 1 pour laquelle le mélange n est fait que de ce constituant à 0 pour laquelle ce constituant n est pas présent dans le mélange en ce point. La concentration d un constituant peut donc varier spatialement ou temporellement. Les constituants du mélange sont considérés comme compressibles. La masse volumique partielle de chaque constituant peut donc varier du fait de deux phénomènes physiques distincts au niveau du mélange. D une part, la variation de la fraction volumique φ a d un constituant peut varier temporellement en un point donné et induire la variation de la masse volumique partielle ρ a. D autre part, la masse volumique intrinsèque γ a du constituant a peut varier lorsque le mélange subit une variation de pression. Le volume relatif occupé par le constituant ne varie pas mais les caractéristiques du constituant dans le mélange sont modifiées dans ce volume. Pour un constituant incompressible, on fait l hypothèse que les variations de la masse volumique intrinsèque γ a sont négligeables. Les seules variations possibles sont donc liées à la variation des fractions volumiques. Cette hypothèse pour les constituants du mélange est parfois appelée incompressibilité au sens de Bowen car il a introduit cette hypothèse dans un de ses articles [27] et il en discute les conséquences sur la modélisation du mélange. Dans le cas où les constituants sont

2.3. Hypothèses et équations 25 incompressibles, la fraction volumique φ a et la masse volumique partielle ρ a ne sont plus des variables indépendantes l une de l autre. La masse volumique ρ du mélange est définie par la somme des masses volumiques partielles des n constituants du mélange : ρ = n ρ a. (2.5) a=1 De manière générale, les quantités relatives aux constituants seront notées avec un indice indiquant le constituant et la quantité associée au mélange sera notée par le même symbole, mais sans indice. La vitesse moyenne du mélange est définie par la somme des vitesses pondérées par le rapport entre la masse volumique partielle ρ a de chacun des constituants du mélange et celle du mélange ρ. Ainsi, le coefficient de pondération pour la vitesse v a du constituent a est ρ a. La vitesse est donnée par : ρ v = 1 ρ n ρ a v a. (2.6) a=1 L introduction de cette vitesse permettra de décrire le mélange et de simplifier les équations décrivant son comportement pour obtenir celle décrivant un constituant pur. par : La vitesse de diffusion du constituant a relativement à celle du mélange est définie u a = v a v. (2.7) Le tenseur gradient de la transformation F a est donnée par : F a = GRAD (χ a (X a, t)), (2.8) où GRAD est l opérateur gradient relatif aux variables lagrangiennes. Le tenseur gradient des vitesses L a est défini par : L a = grad (v a (x, t)), (2.9) où grad désigne l opérateur gradient relatif aux variables eulériennes. La partie symétrique ( ) de ce tenseur sera notée, de manière classique, D a = 1 2 L T a + L a où l opérateur transposé est noté par l exposant T. Une des spécificités de la théorie des mélanges est d avoir à introduire les dérivées temporelles suivant les mouvements des constituants et du mélange. La dérivée temporelle de la fonction α en suivant le mouvement de la particule de constituant a s écrit : D (a) α Dt = α t + v a grad(α), (2.10)

26 La théorie des mélanges et celle suivant le mouvement du mélange: 2.3.2 Lois de conservation Dα Dt = α + v grad(α). (2.11) t Les lois de conservation sont écrites pour chaque constituant qui se comporte comme un composé pur pour lequel les termes liés aux actions extérieures sont à la fois dues à la présence des autres constituants dans le mélange et aux actions extérieures au mélange. Des termes sont donc ajoutés aux équations de conservation pour inclure les interactions avec les autres constituants. Ils seront notés par des symboles avec un accent circonflexe. Les équations de conservation pour le mélange sont ensuite écrites en faisant l hypothèse que le mélange se comporte comme un milieu pur (ou unique) et donc de telle sorte que les équations de conservation classiques soient retrouvées. Les implications pour chaque équation de conservation sur les termes d interaction sont alors déduites. Conservation de la masse L équation de conservation de la masse pour le constituant a est donnée par : D (a) ρ a Dt + ρ a div v a = ρ a ĉ a, (2.12) où ρ a ĉ a est le terme d apport de masse pour le constituant a lié à l interaction avec les autres constituants. L opérateur de divergence relatif aux variables eulériennes est noté div. Cette équation de conservation de la masse peut aussi s écrire en fonction de la masse volumique intrinsèque γ a et de la fraction volumique φ a. Dans ce cas, l équation s écrit : D (a) φ a γ a Dt + φ a γ a div v a = φ a γ a ĉ a, (2.13) Cette équation est bien de la même forme que l équation de conservation de la masse pour un constituant pur lorsque φ a = 1 et que la dérivée en suivant le mouvement de ce constituant se réduit à la dérivée en suivant le composé pur. L équation (2.13) se réduit à : D (a) φ a Dt + φ a div v a = φ a ĉ a, (2.14) lorsque le constituant a est supposé incompressible (i.e. la masse volumique intrinsèque γ a est constante). En utilisant les équations (2.5) et (2.6), l équation de conservation de la masse pour le mélange s écrit : Dρ Dt + ρdiv v = 0. (2.15)

2.3. Hypothèses et équations 27 La forme classique de l équation de conservation de la masse pour un constituant pur est retrouvée. Les termes d apport de masse ρ a ĉ a doivent donc vérifier la relation : n ρ a ĉ a = 0. (2.16) a=1 Cette dernière équation signifie qu il n y a pas de gain ou de perte de masse pour le mélange ; que le seul moyen d avoir un échange est que celui-ci ait lieu entre les constituants du mélange. Conservation de la quantité de mouvement L équation de conservation de la quantité de mouvement pour le constituant a est donnée par : ρ a v a t + div(ρ a v a v a ) = div T a + ρ a b a + ˆp a + ρ a ĉ a v a, (2.17) où T a est le tenseur des contraintes partielles pour le constituant a, b a est la densité massique des forces extérieures agissant sur le constituant a et le terme (ˆp a + ρ a ĉ a v a ) représente les forces agissant sur le constituant a par l interaction des autres constituants. Le symbole désigne le produit tensoriel. Les forces agissant sur le constituant a par l interaction des autres constituants peuvent être séparées en deux. Précisément, la force ˆp a est l apport de quantité de mouvement associé à l interaction avec les autres constituants en l absence de réactions chimiques. La force ρ a ĉ a v a est l apport au constituant a de quantité de mouvement associée à l apport de masse ρ a ĉ a. L équation de conservation de la quantité de mouvement (2.17) se simplifie lorsque l équation (2.12) est utilisée [25] en : ρ a D (a) v a Dt = div T a + ρ a b a + ˆp a. (2.18) De la même manière que pour la conservation de la masse, on suppose que le mélange se comporte comme un constituant pur. En utilisant les règles de sommation données par les équations (2.5) et(2.6), l équation de conservation de la quantité de mouvement se simplifie en : ρ Dv = div T + ρb, (2.19) Dt où le tenseur des contraintes du mélange T est défini par : T = n {T a ρ a u a u a }. (2.20) a=1 Cette relation montre que le tenseur des contraintes du mélange est défini par la somme des contraintes de chaque constituant et des contraintes associées aux vitesses de diffusion.

28 La théorie des mélanges Les forces extérieures qui s appliquent aux mélanges sont la somme des forces extérieures appliquées aux constituants du mélange : ρb = n ρ a b a. (2.21) a=1 Pour obtenir l équation (2.19), la somme des termes d interaction doit vérifier : n (ˆp a + ρ a ĉ a u a ) = 0. (2.22) a=1 Lorsqu il n y a pas de réactions chimiques, l équation (2.22) se réduit à : n ˆp a = 0, (2.23) a=1 i.e. la somme des apports de quantité de mouvement liés à l interaction entre les constituants est nulle. Conservation du moment de la quantité de mouvement Les tenseurs des contraintes partielles vérifient l équation du moment de la quantité de mouvement : T a T T a = ˆM a, (2.24) où le tenseur ˆM a représente le moment de la quantité de mouvement apportée au constituant a. La différence entre le tenseur des contraintes pour le mélange donné par l équation (2.20) et le tenseur transposé implique que la somme des apports des moments de la quantité de mouvement soit nulle, ce qui se traduit par : n a=1 ˆM a = 0. (2.25) Le tenseur des contraintes du mélange est donc bien symétrique : T = T T. (2.26) Premier principe de la thermodynamique La conservation de l énergie (ou bilan d énergie) pour le constituant a s écrit : ( ε a + 1 ) ( t 2 v2 a + div ε a + 1 ) 2 v2 a = div ( ) T T a v a q a + ρa r a + ρ a b a v a +ˆε a + ˆp a v a + ρ a ĉ a (ε a + 1 ) (2.27) 2 v2 a

2.3. Hypothèses et équations 29 où ε a est l énergie interne massique, q a le vecteur flux de chaleur et r a la densité volumique du taux de chaleur reçue par le constituant a. Les échanges entre les constituants apportent de l énergie sous forme d énergie massique supplémentaire liée à l apport de quantité de mouvement ˆp a v a, sous forme d énergie massique supplémentaire liée à l apport de masse ( par le terme ρ a ĉ a εa + 1 2 a) v2 et sous forme d énergie massique supplémentaire de toute autre origine. La loi de bilan d énergie pour le constituant a se simplifie en utilisant les équations (2.12) et (2.28) [25]. L équation se réécrit alors : ρ a D (a) ε a Dt = tr(t T a L a ) divq a + ρ a r a + ˆε a. (2.28) Dans l équation (2.28), l opérateur trace est désigné par tr. La loi de bilan d énergie pour le mélange est obtenue en utilisant les lois de sommation définies précédemment et celles données ci-dessous. Le vecteur flux de chaleur q pour le mélange est défini par : q = n a=1 ( qa T T a u a + ρ a ε a u a ) + 1 2 n ρ a u 2 au a. (2.29) a=1 On observe que ce vecteur courant inclut les contributions des tenseurs des contraintes partielles des constituants et de la diffusion de l énergie massique des constituants dans le mélange. La densité volumique du taux de chaleur reçue par le mélange est la somme pondérée de la densité volumique du taux de chaleur reçue par chaque constituant : r = 1 ρ n ρ a r a. (2.30) a=1 L énergie massique intrinsèque ε I du mélange est définie par : ε I = 1 ρ n ρ a ε a, (2.31) a=1 et l énergie massique du mélange ε par : ε = ε I + 1 ρ n a=1 1 2 ρ au 2 a. (2.32) où la contribution en énergie cinétique des vitesses de diffusion u a constituants est incluse. La loi de bilan de l énergie pour le mélange est donnée par : de chacun des ρ Dε Dt = tr(tt L) divq + ρr + n ρ a u a b a. (2.33) a=1

30 La théorie des mélanges Le terme n ρ a u a b a peut être inclus dans la densité volumique du taux de chaleur a=1 reçue par le mélange [109]. On peut remarquer que ce terme disparaît de l équation (2.33) lorsqu on réduit le mélange au comportement d un constituant pur puisque dans ce cas les vitesses de diffusion u a sont nulles. De plus, si les forces extérieures b a agissant sur chaque constituant sont identiques, ce terme disparaît puisque la somme des vitesses de diffusion est nulle. La condition sur les termes d apport d énergie massique peut donc être déduite et s écrit : n a=1 ( (ˆε a + u a ˆp a + ρ a ĉ a ε a + 1 )) 2 u2 a = 0. (2.34) De la même manière que pour la somme des apports de quantité de mouvement, la somme de tous les échanges d énergie massique ayant lieu à l intérieur du mélange ne doit pas affecter le comportement vu de l extérieur du mélange. On suppose que tous les constituants du mélange ont la même température. Dans ce cas, la densité volumique du taux de chaleur r a reçue par chaque constituant est définie par l équation de bilan d énergie pour ce constituant. Seule l équation de bilan d énergie pour le mélange est nécessaire pour décrire le comportement du mélange [8]. 2.3.3 Fractions volumiques comme inconnues du problème Lorsqu on souhaite prendre en compte les effets d immiscibilité entre constituants, les fractions volumiques s ajoutent à la liste des variables inconnues. Il est alors nécessaire de définir une équation supplémentaire d évolution ou de comportement pour décrire l évolution de la fraction volumique au cours du temps. Suivant une idée de Goodman et Cowin [63] aussi introduite par Bedford et Drumheller [14], et utilisée par Bowen [27] et Svendsen et Hutter [143], une équation supplémentaire est introduite pour la conservation de la fraction volumique. Pour chaque constituant incompressible, l équation suivante est introduite : D (α) φ α Dt + φ α div v α = φ αˆn α, (2.35) où le terme φ αˆn a peut être interprété comme la variation du volume du constituant a liée seulement à la seule variation de la fraction volumique. Cette nouvelle équation permet de fermer le système. L immiscibilité peut alors être incluse comme phénomène physique. Lorsque le constituant a est supposé incompressible, l équation nécessaire pour compléter le système s écrit γ a = γ 0 a. En effet, dans ce cas, la masse volumique intrinsèque du constituant a est constante. Ainsi, l équation de conservation de la masse (2.12) se réduit à l équation (2.14) et les termes d apport de masse volumique partielle et de fraction

2.4. Lois de comportement 31 volumique sont égaux, soit ˆn a = ĉ a. Cette dernière égalité explique pourquoi les termes d apport ont été introduits sous les formes ρ a ĉ a et φ αˆn α. 2.4 Lois de comportement Les lois de comportement permettent de caractériser une classe de milieux matériels selon les phénomènes physiques à modéliser. Elles sont formulées en fonction de variables indépendantes choisies de manière appropriée pour décrire le ou les phénomènes physiques souhaités. Ces lois de comportement viennent alors compléter les équations de conservation. Néanmoins leur formulation doit être compatible avec le second principe de la thermodynamique. Cette seconde loi, aussi appelée sous une de ses formes l inégalité d entropie ou inégalité de Clausius-Duhem, impose une contrainte mathématique sur l entropie massique dont la valeur ne peut que croître. Les lois de comportement doivent aussi respecter le principe d objectivité. Les lois de comportement sont donc la clé de voûte des descriptions mécanique, chimique et thermique du comportement d un milieu matériel dans son environnement et quelles que soient les forces extérieures s appliquant sur le milieu matériel considéré. 2.4.1 Nombre de lois de comportement nécessaires Pour un mélange de n constituants à la même température, les inconnues sont listées dans le tableau 2.1. On suppose que les tenseurs des contraintes partielles sont symétriques. Tab. 2.1: Liste des inconnues d un mélange à n constituants inconnue type nombre d inconnues scalaires masse volumique partielle ρ a scalaire 1 n vitesse v a vecteur 3 n terme d apport de masse ĉ a scalaire 1 n tenseur des contraintes partielles T a tenseur symétrique 6 n apport de quantité de mouvement ˆp a vecteur 3 n énergie massique ε a scalaire 1 n vecteur flux de chaleur q vecteur 3 fraction volumique φ a scalaire 1 n apport de fraction volumique ˆn a scalaire 1 n Cela donne donc (17 n + 3) inconnues scalaires. Le fait que tout les constituants ont

32 La théorie des mélanges la même température a été pris en compte. De cette manière, la loi du bilan d énergie pour le mélange est la seule à utiliser. Puisque les tenseurs des contraintes partielles ont été supposés symétriques, cela implique que M a = 0 pour chaque constituant. Les équations de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de la fraction volumique donnent 5 n équations scalaires. Les règles de sommation pour les termes d interaction ou termes d apport donnent 4 équations supplémentaires. L équation de bilan de l énergie donne une relation scalaire supplémentaire. Il y a donc (12 n 1) variables dépendantes pour lesquels il faut déterminer des lois de comportement. Ces variables dépendantes sont les composantes des tenseurs des contraintes partielles T a supposés symétriques, soit 6 n scalaires, les énergies massiques ε a, soit n scalaires, les termes d apport de masse ĉ a, soit n scalaires, les termes d apport de fraction volumique ˆn a, soit n scalaires, les termes d apport de quantité de mouvement ˆp a, soit 3 n scalaires, et le vecteur flux de chaleur q, soit 3 scalaires. Les lois de comportement doivent être au nombre de (12 n + 3) et vérifier les 4 règles de sommation pour les termes d interaction, ce qui nous donne bien les (12 n 1) équations nécessaires pour les inconnues. 2.4.2 Variables indépendantes Les variables indépendantes sont les quantités choisies pour décrire le comportement local du milieu matériel considéré. Pour que tous les phénomènes physiques significatifs soient inclus, certains principes doivent être respectés. Les variables indépendantes sont choisies en fonction du type de milieu et de la finesse de description de son comportement que l on souhaite obtenir. Par exemple, pour un fluide compressible pour lequel les phénomènes de viscosité sont à prendre en compte, les variables indépendantes sont la masse volumique, le tenseur gradient de la vitesse et la température. La température intervient dans l inégalité d entropie laquelle sera utilisée pour déduire des restrictions sur les lois de comportement du milieu considéré. Ces lois de comportement sont des fonctions d une ou plusieurs variables indépendantes. De plus, le comportement du milieu considéré peut dépendre non seulement de la valeur des variables indépendantes mais aussi des gradients de ces variables. On obtient ainsi une théorie du premier gradient. En particulier pour la théorie des mélanges, Müller à montré qu il est nécessaire d inclure les gradients

2.4. Lois de comportement 33 de masse volumique pour ne pas obtenir un mélange dit simple [108]. Pour un mélange simple, il est impossible de faire dépendre les propriétés d un constituant de la masse volumique des autres constituants. C est un cas très particulier de la thermochimie. Plusieurs restrictions doivent être imposées aux variables indépendantes et aux lois de comportement avant d exploiter l inégalité d entropie. 2.4.3 Hypothèse d équiprésence L équiprésence est une hypothèse qui consiste à supposer à priori que toutes les lois de comportement dépendent des variables indépendantes de tous les constituants. Un constituant peut avoir un comportement différent selon qu il est dans un mélange ou lorsqu il est considéré pur. Dans ce cas, son comportement dans un mélange peut dépendre des variables indépendantes associées aux autres constituants présents dans ce mélange. Cette hypothèse entraîne néanmoins des difficultés de traitement au niveau mathématique et est parfois levée au profit de l hypothèse de séparation des phases [158]. Dans ce cas, les lois de comportement de chaque constituant ne dépendent que des variables indépendantes de ce constituant. Les termes d interaction peuvent dépendre de l ensemble des variables indépendantes. 2.4.4 Principe d invariance matérielle ou objectivité De nombreuses discussions ont eu lieu pour définir de manière rigoureuse le principe d invariance matérielle. On trouvera des références dans Bowen [25] et dans le livre de Müller [109]. Le principe d invariance retenu ici est que les lois de comportement ne sont pas modifiées par un changement de référentiel lequel est défini par la combinaison d une rotation de type solide rigide et d une translation. Soient R et R deux référentiels. Par le changement de référentiel R à R, le mouvement change comme suit : x = c(t) + Q(t)x, (2.36) où c(t) est un vecteur dépendant du temps (qui correspond à la translation du référentiel) et Q est une transformation linéaire orthogonale dépendante du temps (qui correspond à une rotation de type solide rigide et vérifie donc QQ T = Q T Q = I). Cette relation définit à chaque instant un changement de repère spatial donc un changement d observateur ou de référentiel d observation. Une fonction scalaire ψ(x, t) définie sur un milieu matériel en mouvement est dite objective s il on a : ψ (x, t) = ψ(x, t), (2.37)

34 La théorie des mélanges Considérons maintenant une fonction f(x, t) à valeurs vectorielles dans le référentiel R et dont la représentation dans R est donnée par f (x, t). Cette fonction définie sur un milieu matériel en mouvement est dite objective si : f (x, t) = Qf(x, t). (2.38) Une fonction T à valeurs tensorielles (du second ordre) est dite objective si : T (x, t) = QT(x, t)q T. (2.39) Le principe d invariance matérielle stipule que les lois de comportement doivent être invariantes dans tout changement de référentiel. Lorsque l on postule une loi de comportement, il est nécessaire de vérifier qu elle est objective, i.e. indépendante de l observateur. Cette exigence s exprime en général par le biais d une relation entre des quantités elles-mêmes objectives, i.e. indépendantes de l observateur. Il faut donc discerner parmi toutes les grandeurs qui ont été introduites celles qui sont objectives de celles qui ne le sont pas : seules les premières peuvent intervenir dans les lois de comportement. Il faut toutefois préciser qu il ne suffit pas qu une loi fasse intervenir uniquement des grandeurs objectives pour être elle-même objective. En particulier, le terme de translation c(t) doit se simplifier. Cela implique que les variables indépendantes que sont la vitesse de chaque constituant v a ne peut pas intervenir dans la définition des lois de comportement. La liste des variables indépendantes inclut donc les différences des vitesses. Il est usuel d utiliser les vitesses de diffusion u a ou la différence entre les vitesses v a et la vitesse d un constituant v 1 par exemple. Dans le cas de milieu poreux la vitesse du matériau poreux solide est généralement utilisée pour tenir ce rôle. 2.4.5 Degré de symétrie du matériau Les milieux matériels ont des comportements dont les propriétés peuvent avoir des directions privilégiées. Par exemple un matériau renforcée avec des fibres aura une résistance plus importante à la traction dans la direction des fibres que dans la direction perpendiculaire si les fibres ont une rigidité plus importante que la matrice. Le degré des symétries matérielles du milieu doit donc être pris en compte dans la modélisation. De nombreuses discussions ont eu lieu sur la manière dont les symétries matérielles doivent être introduites. Le principe est que l équation constitutive doit rester inchangée pour un groupe de transformations appliquées aux variables indépendantes. Ce groupe est caractéristique de transformations correspondant au degré de symétrie considéré. Les règles mathématiques induites limitent alors la forme des lois de comportement relatives au milieu matériel

2.5. Exploitation de l inégalité d entropie 35 considéré. Par exemple, un fluide réagit de la même manière dans toutes les directions. Cette propriété d isotropie implique donc qu un changement de repère ne modifie pas l équation constitutive du fluide [25, 109]. 2.4.6 Hypothèse de linéarité Pour des phénomènes proches d un état d équilibre, la dépendance des lois de comportement peut être approchée par une dépendance linéaire des variables indépendantes. Les lois de comportement se simplifient alors en utilisant le principe d invariance. Le détail de ces dépendances est donné par Müller [109]. Une fonction scalaire ψ ne peut alors dépendre que de scalaire ce qui se traduit par : ψ(s, v, T) = ψ(s), (2.40) où s est un scalaire, v un vecteur et T un tenseur de la liste des variables indépendantes. Pour une fonction vectorielle f, la seule combinaison possible est donnée par : f(s, v, T) = α(s)v, (2.41) où α(s) est une fonction scalaire dépendant seulement du scalaire s. Un tenseur du second ordre F doit vérifier : F(s, v, T) = β(s, tr(t))i + γ(s)(t s tr(t)i) + δ(s)t a, (2.42) où β(s, tr(t)), γ(s) et δ(s) sont des fonctions scalaires des variables indépendantes. Les exposants s et a indiquent resepctivement les parties symétrique et antisymétrique du tenseur T, et I le tenseur identité. Ces hypothèses de linéarité en une variable peuvent être étendues au cas de fonction linéaires de plusieurs scalaires, vecteurs et tenseurs 2.5 Exploitation de l inégalité d entropie Les restrictions données sur les lois de comportement doivent aussi vérifier le second principe de la thermodynamique. Ce principe s écrit sous la forme d une inégalité dans laquelle la production d entropie est nécessairement positive ou nulle. La production d entropie est liée aux échanges de chaleur du système considéré avec son environnement. Il est donc possible d utiliser cette inégalité pour obtenir des restrictions sur les lois de comportement. Ces restrictions peuvent renseigner sur les phénomènes physiques inclus dans la modélisation en fonction des variables indépendantes et sur la manière dont les lois de comportement dépendent d une ou plusieurs variables indépendantes. Ensuite l exploitation de conditions supplémentaires, dont l équilibre, permet d étendre ces restrictions.

36 La théorie des mélanges 2.5.1 Introduction de multiplicateurs de Lagrange L exploitation de l inégalité d entropie pour obtenir des lois de comportement doit prendre en compte les équations de conservations présentées dans la section 2.3.2. Ces équations peuvent soit être substituées pour ne faire apparaître que des groupements de termes utiles à l exploitation de l inégalité, soit être ajoutées à l inégalité d entropie par l introduction de multiplicateurs de Lagrange [95, 108]. L introduction des lois de conservation dans l inégalité par les multiplicateurs de Lagrange a été introduit par Liu [95]. Il a montré qu il était équivalent d obtenir les restrictions sur les lois de comportement soit (i) en substituant les lois de conservation dans l inégalité d entropie, soit (ii) en ajoutant à l inégalité d entropie ces lois de conservation via un coefficient appelé multiplicateur de Lagrange. La difficulté est alors d identifier la signification physique de ces multiplicateurs de Lagrange. Cette méthode peut aussi être étendue pour introduire d autres contraintes sur les lois de comportement telles que la saturation ou l électroneutralité. Ces deux conditions sont utilisées dans le chapitre 3 pour la modélisation du fluide interstitiel de l os. 2.5.2 Écriture de l inégalité d entropie Avant d écrire l inégalité d entropie, il est nécessaire d introduire la définition de l entropie massique η du mélange laquelle est donnée par : η = 1 n ρ a η a, (2.43) ρ a=1 où l entropie massique de chaque constituant est notée η a. L existence de chaque terme d entropie massique pour chacun des constituants et pour le mélange est postulée. La forme locale de l inégalité d entropie pour le mélange est supposée s écrire sous la forme [25] : ρ Dη Dt + div ( ) h ρr θ θ 0, (2.44) où θ désigne la température du mélange (et donc de chaque constituant) et h le vecteur d apport de chaleur pour le mélange. Pour obtenir l inégalité d entropie, un certain nombre de substitutions et de calculs doivent être effectués. La définition de l entropie massique du mélange (2.43) est utilisée pour remplacer l entropie massique du mélange par celle des constituants. On fait l hypothèse que le vecteur d apport de chaleur h est lié aux vecteurs flux de chaleur q a par la relation : h = k + n (q a + ρ a θη a u a ), (2.45) a=1 où k est un vecteur supplémentaire d apport de chaleur. Ce vecteur peut être vu comme la différence entre la chaleur apportée à chaque constituant, le flux d entropie lié à la

2.5. Exploitation de l inégalité d entropie 37 diffusion des constituants et l apport de chaleur global au mélange. Cette nouvelle inconnue sera donc ajoutée à la liste des inconnues pour lesquelles une équation constitutive est nécessaire. Ce terme est pris nul par Bowen dans les développements de ses travaux [25 27]. Néanmoins il doit être pris en compte si l on souhaite inclure dans la modélisation les vitesses de diffusion u a et les gradients des masses volumiques [106,108]. La densité volumique du taux de chaleur r reçue par le mélange dans l équation (2.44) est remplacée par son expression dans la loi de bilan d énergie (2.33). Puisque la température est unique pour tous les constituants, l énergie libre massique du constituant a est introduite par : ψ a = ε a θη a, (2.46) et l énergie libre massique pour le mélange par : ψ I = 1 n ρ a ψ a. (2.47) ρ Le potentiel chimique du constituant a est défini par le tenseur K a : a=1 K a = ψ a I 1 ρ a T T a. (2.48) Il est introduit pour faire apparaître le potentiel chimique lorsque le tenseur des contraintes partielles T a du constituant a se réduit à un tenseur isotrope, dont le scalaire peut être identifié à un terme de pression. Les substitutions sont alors faites dans l inégalité d entropie (2.44) pour obtenir l inégalité suivante : n a=1 D (a) Ψ a Dt ρη Dθ Dt h g θ + div(k) n tr(ρ a K a L a ) a=1 n ( u a ˆp a + 1 ) 2 ρ aĉ a u 2 a 0, a=1 (2.49) où Ψ a = ρ a ψ a est l énergie libre par unité de volume du constituant a et g = grad(θ) est le gradient de température. La condition (2.34) concernant l apport d énergie massique a été utilisée. L énergie libre massique intrinsèque du mélange est définie par ψ I = ε I ηθ. L énergie libre intrinsèque Ψ I par unité de volume du mélange est définie par : n Ψ I = Ψ a. (2.50) a=1 L inégalité d entropie 2.34 est une forme générale pour laquelle la seule hypothèse introduite est le fait que tous les constituants du mélange ont la même température θ. Puisque cette inégalité doit toujours être respectée, certains termes doivent être nuls car ils sont facteurs des variables indépendantes ou de leur gradient qui peuvent varier indépendamment. La manière d obtenir ces restrictions est décrite dans la section suivante.

38 La théorie des mélanges 2.5.3 Restrictions liées à l exploitation de l inégalité d entropie L inégalité d entropie doit être vérifiée quel que soit le processus thermodynamique considéré. L expression de la dérivée de l énergie libre volumique Ψ a du constituant a et la divergence du vecteur supplémentaire d apport de chaleur k sont remplacées par leurs expressions de dérivées partielles en fonction des variables indépendantes dans l inégalité d entropie (2.49). Les restrictions pour les lois de comportement peuvent alors être déduites en utilisant l argument introduit par Coleman et Noll [38]. Les facteurs de quantité qui peuvent prendre des valeurs arbitraires lors d un processus thermodynamique sont nécessairement nuls pour avoir une production d entropie massique positive. Autrement dit d après l illustration donné par Wang et Hutter [158], l inégalité d entropie peut s écrire sous la forme : α X + δ 0, (2.51) où α et X sont des vecteurs et δ un scalaire. Les composantes du vecteur X sont les gradients et les dérivées temporelles des variables indépendantes introduites pour la modélisation. Il faut néanmoins vérifier que ces gradients spatiaux ou temporels n ont pas été inclus dans la liste des variables indépendantes car dans ce cas, ils ne doivent pas être inclus dans le vecteur X. L inégalité d entropie doit être vérifiée quelles que soient les variations du vecteur X. Une condition nécessaire et suffisante pour que l inégalité soit vérifiée quel que soit X est donnée par : α = 0 et δ 0. (2.52) À titre d exemple une des restrictions obtenues sur l énergie libre volumique du mélange est introduite ici. La dérivée de l énergie libre d un constituant s écrit : D (a) Ψ a Dt = Ψ a θ D (a) θ Dt +..., (2.53) si la température θ est incluse dans la liste des variables indépendantes. Dans ce cas l inégalité d entropie peut se réécrire sans détailler les autres termes qui ne dépendent pas de la dérivée temporelle de la température et dont la somme est σ θ. Ainsi l inégalité d entropie (2.34) prend la forme : (Ψ I + ρη) Dθ Dt n a=1 Ψ a θ u a g + σ θ 0, (2.54) où la dérivée temporelle de la température Dθ peut varier et prendre n importe quelle Dt valeur. Une variation brutale de la température donnera ainsi une valeur importante au terme Dθ, négative pour une chute de température ou positive pour une augmentation. Dt

2.6. Conclusions 39 Dans ce cas, il est possible de trouver une configuration pour laquelle : σ θ < (Ψ I + ρη) Dθ Dt + n a=1 Ψ a θ u a g, (2.55) ce qui reviendrait à contredire l inégalité d entropie même dans le cas où σ θ est positif. L énergie libre volumique Ψ I intrinsèque du mélange doit donc nécessairement vérifier : où la définition de Ψ I donné par l équation (2.47) est utilisée. ρη = Ψ I θ, (2.56) Le résultat donné par l équation (2.56) est identique à l hypothèse introduite par Maugin sur l état local d accompagnement lequel est un résultat classique pour un composé pur [106]. L exploitation des restrictions mathématiques données par l inégalité d entropie permet d obtenir des lois de comportement ou des indications sur leur forme. Pour cela il est nécessaire de choisir une liste de variables indépendantes qui décrivent le mélange et les constituants en fonction de leurs caractéristiques comme le type de milieu matériel et les symétries imposées à celui-ci. Cette démarche est poursuivie dans le chapitre 3 pour modéliser le fluide interstitiel du tissu osseux. 2.6 Conclusions Ce chapitre présente les bases de la théorie des mélanges et de l utilisation d arguments thermodynamiques pour obtenir une description aussi précise que possible du comportement d un mélange de constituants. Même si cette théorie est reconnue et utilisée pour la modélisation de tissus biologiques [15, 61, 65, 75, 87, 105, 112] ou des sols [14, 16, 26, 40], la démarche qui exploite l inégalité d entropie fait encore l objet de discussions. En particulier, le vecteur supplémentaire de flux d entropie qui a été introduit dans ce travail n est généralement pas pris en compte. Pour des mélanges simples au sens de Bowen [25], ce terme se simplifie et n affecte donc pas les lois de comportement. Pour des théories du premier gradient ou d ordre supérieur, la prise en compte des gradients de vitesse et de masse volumique ne permet pas de simplifier le vecteur supplémentaire de flux d entropie [143]. Puisque les travaux de Müller [108] ont montré qu il était nécessaire d introduire les gradients de masse volumique partielle pour les fluides, c est dans cette optique que ce travail est développé et que le vecteur supplémentaire de flux d entropie est introduit. La démarche introduite dans ce chapitre permet dans le chapitre 3 de décrire le comportement d un mélange de fluides modélisant le fluide interstitiel.

40 La théorie des mélanges

Chapitre 3 Un modèle du fluide interstitiel Résumé : Le fluide interstitiel circulant dans la matrice poreuse de l os a une composition qui varie d un individu à l autre, temporellement et spatialement, et dont les constituants élémentaires sont nombreux. La modélisation de ce fluide en tant que mélange permet de prendre en compte sa nature multiphasique et les interactions liées à la présence d ions chargés en son sein. La théorie des mélanges est utilisée pour obtenir des lois de comportement pour les constituants et le mélange. 3.1 Introduction Le fluide interstitiel qui circule dans le réseau lacuno-canaliculaire et dans les autres réseaux de pores de l os est un fluide complexe. Même s il n est pas encore complètement compris, le rôle qu il joue dans la mécanotransduction du remodelage osseux est reconnu [31, 43]. Ses caractéristiques biochimiques sont variables selon l individu, le type d os et l environnement des cellules. À l échelle du pore, de telles fluctuations peuvent avoir une influence sur le comportement des ostéocytes bloqués dans les lacunes. La composition de ce fluide complexe reste mal connue car difficile à déterminer. Il s agit d une phase aqueuse contenant des macromolécules et des ions. Les concentrations des espèces qui le composent sont fortement tributaires des échanges inhérents au métabolisme cellulaire. Cette complexité soulève de nombreuses questions et difficultés quant aux comportements du fluide et de ses constituants. En particulier, un tel écoulement du fluide interstitiel ne peut être observé de manière directe, à cette échelle, avec les méthodes expérimentales disponibles à l heure actuelle. Une description géométrique du réseau de pores sera ainsi nécessaire pour analyser dans le chapitre suivant les effets de couplage dont le fluide peut être le siège. En ce qui concerne le présent chapitre, son objectif est de développer les lois décrivant le comportement du fluide interstitiel en prenant en compte la présence des ions et les phénomènes liés à la saturation de la solution. Pour cela, nous nous appuierons sur la méthode développée dans le chapitre 2.

42 Un modèle du fluide interstitiel 3.2 Modèles du fluide interstitiel Il n existe pas de modèle élaboré du fluide interstitiel de l os à ce jour. Cela s explique par de nombreuses raisons: (i) le rôle primordial du fluide dans la modélisation du comportement de l os n est que récent [120] ; (ii) les caractéristiques physiques et mécaniques du fluide interstitiel sont difficilement mesurables de manière directe ; (iii) la composition de ce fluide varie spatialement dans un même organe, entre organes et au cours du temps. Il est nécessaire de prendre en compte le caractère multiphasique de ce fluide et les nombreuses interactions interne au fluide pour obtenir une modélisation pertinente du remodelage osseux. Si les modèles du tissu osseux prennent en compte le rôle de l écoulement à l échelle de la matrice poreuse, ils proposent souvent une description simplifié du fluide interstitiel [43]. 3.2.1 Focalisation sur le fluide interstitiel Un modèle du fluide en soi Le fluide qui s écoule dans les pores d un ostéon ne représente qu une faible partie de la matière organique présente. En effet, les cellules et leurs membranes occupent une grande partie de cet espace. Pourtant, leurs propriétés ne permettent ni de les assimiler au fluide en mouvement (trop visqueux), ni de les prendre en compte dans la modélisation du milieu poreux solide (trop mou). La modélisation de ce fluide interstitiel est donc complexe et nécessite de prendre en compte ces deux phénomènes que sont non seulement la circulation du fluide interstitiel mais aussi le faible mouvement des cellules et de la matière organique dans les pores. La modélisation du fluide permet de s affranchir de ce problème puisqu elle se place à l échelle du fluide qui circule dans les pores du milieu poreux. Les parois de ces pores et les membranes des cellules interviendront alors pour définir les conditions aux limites pour le fluide. Il s agit de développer un nouveau modèle pour faire le lien entre le chargement mécanique et le transport des macro-molécules présentes dans le fluide interstitiel. Sans présager des résultats obtenus dans les chapitres suivants, la modélisation du fluide interstitiel en soi permet d étudier l influence de phénomènes physiques à l échelle du fluide et de mieux appréhender le rôle de celui-ci dans la mécanotransduction. En particulier, le transport de macro-molécules dans le fluide interstitiel peut être explicité à l échelle du fluide et non pas à celle du milieu poreux où la prise en compte d un volume élémentaire représentatif nécessite de considérer un volume de taille bien supérieure aux pores ; ce qui ne permet pas de décrire finement des variations locales à l échelle d un pore.

3.2. Modèles du fluide interstitiel 43 Complexité du fluide interstitiel Les fluides biologiques sont généralement des mélanges dont le comportement mécanique n est pas toujours compris. L écoulement du fluide dans l os joue un rôle significatif dans le maintien ou la modification de l environnement des cellules emprisonnées dans les pores de la matrice osseuse [31]. Le fluide interstitiel sert de vecteur au transport des nutriments par sa circulation dans les canalicules. Sa composition est variable car les cellules peuvent absorber certains constituants et en éliminer d autres. Ce travail propose d inclure ces variations temporelles et spatiales dans la modélisation du comportement mécanique du fluide interstitiel. Si le rôle de l écoulement du fluide interstitiel a été décrit en relation avec le chargement mécanique [43], le fluide interstitiel lui-même n a été que peu étudié. 3.2.2 Recensement des phénomènes physiques pertinents Échanges chimiques Les échanges chimiques dans l os cortical ont lieu au niveau de la membrane cellulaire et de la paroi des pores. Ils concernent, en particulier, les ions de type calcium et potassium présents dans la matrice osseuse. La concentration en ions est régulée par les échanges avec la matrice osseuse [104]. Les échanges chimiques au niveau des cellules participent à la mécanotransduction du remodelage osseux [30]. La prise en compte des réactions chimiques au niveau des constituants d un mélange oblige à inclure les effets liés à la création de masse. L inclusion de ces effets dans la modélisation permet d appréhender de manière plus fine la compréhension du phénomène de remodelage osseux. Phénomènes électro-chimiques Des phénomènes électriques ont été observés lors d expériences sur le tissu osseux. La matrice osseuse possède des charges électriques fixes négatives qui interagissent à la surface des parois des pores dans lesquels le fluide s écoule [104]. Des potentiels électriques d écoulement apparaissent lors de la circulation du fluide interstitiel qui par advection transporte les ions dissous dans celui-ci. Ces potentiels électriques associés à l écoulement du fluide ont été décrits dans un modèle poroélastique du tissu osseux [49, 168]. Molenaar et al. [111] ont développé un modèle du tissu osseux en incluant les charges électriques. Mais ce modèle ne prend pas en compte la compressibilité relative de l os et du fluide. De plus, il se place à l échelle du tissu osseux. Son volume élémentaire représentatif est par conséquent plus large que les pores de la matrice osseuse où l écoulement de fluide a lieu. Les phénomènes liés à la présence de charges électriques à l échelle du pore peuvent

44 Un modèle du fluide interstitiel alors être négligeables à ce niveau d échelle. Contraintes de cisaillement L écoulement du fluide interstitiel dans les pores génère des contraintes de cisaillement sur les parois des cellules. Elles réagissent à ce signal mécanique par l expression de certaines protéines ou la sécrétion de certaines substances telles que le calcium. Ce processus fait probablement partie du mécanisme de remodelage osseux [30]. Des expériences sur des tapis de cellules osseuses ont montré que ces dernières sécrétaient des substances lorsqu elles étaient exposées à un écoulement de fluide induisant des contraintes de cisaillement [77]. Le transport de ces substances par le fluide joue aussi un rôle dans l expression des cellules voisines [52]. Une modélisation fine du fluide permet donc de mieux comprendre ce phénomène. Les phénomènes physiques à l échelle du fluide sont nombreux et complexes. Mieux appréhender la prédominance de certains phénomènes permet aussi d envisager des méthodes thérapeutiques plus adaptées. Compressibilité et immiscibilité La compressibilité du fluide doit être prise en compte dans la modélisation poroélastique de l ostéon [43]. De plus, certaines substances utilisées pour déterminer le chemin suivi par le fluide peuvent ne pas se mélanger au fluide interstitiel. Pour ces deux raisons, il est nécessaire de prendre en compte la compressibilité et l immiscibilité des phases du mélange. Des applications de la théorie des mélanges à ce type de modélisation sont détaillées dans la section 3.2.3. Modèles de l ostéon Plusieurs modèles de l ostéon ont été proposés pour étudier l influence du chargement mécanique osseux sur l écoulement du fluide et donc sur le remodelage osseux [160, 166, 168]. Ces modèles considèrent le fluide s écoulant dans les pores de la porosité lacunocanaliculaire. L écoulement moyen du fluide obtenu par ce type de méthode ne donne qu une indication sur les variations spatiales à l échelle de l ostéon. Pour comprendre l influence du comportement du fluide interstitiel sur ces signaux de mécanotransduction, il est nécessaire d étudier l écoulement de celui-ci à l échelle des pores, et en particulier, de prendre en compte sa nature multiphasique. 3.2.3 Quelques exemples de modèles de fluides multiphasiques Même si dans le domaine de la biomécanique, le fluide interstitiel n a pas reçu beaucoup d attention, des modèles de fluides multiphasiques ont été développés pour d autres

3.2. Modèles du fluide interstitiel 45 applications. Ceux-ci sont mentionnés ici avec leurs limitations. Les mélanges dit simples Müller [108] a été le premier, à la fin des années soixante, à utiliser le formalisme de la théorie des mélanges pour développer un modèle de mélange binaire pour des constituants qui ne réagissent pas chimiquement. Il a montré que les gradients des masses volumiques doivent être inclus dans la liste des variables indépendantes, sans quoi nous obtiendrions uniquement le modèle d un mélange simple. Müller [110] a ensuite développé un modèle de mélanges binaires avec une dissipation linéaire en incluant les phénomènes de diffusion et les réactions chimiques. Les mélanges incluant la compressibilité et l immiscibilité Au début des années soixante-dix, un mélange de fluides incompressibles a été développé par Craine [50]. La plupart des modèles de fluides ont été développés pour un mélange de fluides incompressibles ou miscibles [125]. Lorsque les fluides constituants le mélange sont incompressibles ou miscibles, la fraction volumique de chaque fluide n est pas une variable indépendante. Si l incompressibilité des phases est supposée, les masses volumiques sont proportionnelles aux fractions volumiques puisque la masse volumique intrinsèque est constante. Si l immiscibilité n est pas considérée, les fractions volumiques n ont pas besoin d être incluses dans la liste des variables indépendantes. Les équations pour le cas d un mélange binaire de fluides visqueux ont été décrites par Vrentas et Vrentas [154]. Les fractions volumiques ne sont pas prises en compte. La théorie des mélanges a été aussi utilisée pour étudier les écoulements granulaires [158]. Néanmoins l hypothèse de séparation des variables est introduite dans ces modèles et conduit à un mélange simple tel que Müller le décrit [108]. L immiscibilité dans la théorie des mélanges est encore un sujet de discussion; on pourra consulter à ce propos l article de Drumheller [55]. Les composés ioniques Le fait de prendre en compte les composés ioniques dans un fluide modélisé par la théorie des mélanges a été utilisé pour des écoulements fluides en milieu poreux [65, 75, 87, 112]. Le modèle de Huyghe [75] utilise la démarche présentée dans ce travail pour obtenir les équations de comportement d un milieu poreux saturé par un fluide transportant une phase anionique et une phase cationique. À notre connaissance, un modèle du comportement du fluide interstitiel seul n avait pas encore été développé.

46 Un modèle du fluide interstitiel 3.2.4 Modèle du fluide interstitiel Le fluide modélisé dans le présent travail est par nature multiphasique. Il s agit donc de décrire le comportement du mélange et de chacune des phases afin de pouvoir observer dans un processus dynamique des phénomènes physiques qui résultent d une sollicitation donnée. Les phénomènes qui induisent les écoulements peuvent être de type mécanique, chimique ou électrostatique. Par exemple, un gradient de pression induira un écoulement. Un gradient de concentration d une espèce induira un écoulement de type diffusif de cette espèce dans le mélange de façon à ce que le gradient de concentration diminue. De la même manière, un gradient de potentiel électrique génère un écoulement électro-osmotique de fluide. Les trois phénomènes à prendre en compte séparément sont donc ici les phénomènes mécaniques liés à l écoulement des fluides, les phénomènes chimiques liés aux réactions et aux gradients de concentration chimique, et les phénomènes électrostatiques liés à la présence de charges électriques et à l électroneutralité de la solution. Ces trois phénomènes peuvent être couplés. Dans ce travail, le fluide interstitiel circulant dans la matrice osseuse est modélisé par un mélange de fluides dont certains constituants représentent les phases ioniques. La concentration des ions peut donc être modélisée dans le mélange en tenant compte des phénomènes physiques tels que l interaction entre les phases ioniques ou l apparition de potentiels électriques générés par l écoulement. L effet de ces charges ioniques est intégré dans le modèle présenté. Il est en outre étudié à l échelle du fluide et non pas à l échelle plus grande d un matériau poreux dans lequel le fluide circule [65, 75, 87, 112]. Les phénomènes électrostatiques peuvent donc être décrits à l échelle d un pore et non pas à l échelle d un volume élémentaire représentatif du milieu poreux. La compressibilité des fluides reste faible, en particulier pour les ordres de grandeurs de pression observables dans l os (de l ordre de 10 6 Pa). Néanmoins, la prise en compte de la compressibilité du fluide permet de considérer les compressibilités relatives de la matrice poreuse et du fluide y circulant. Pour l os, il est nécessaire de prendre en compte ces deux compressibilités [43]. Certaines phases du mélange sont immiscibles, tels que les traceurs utilisés pour étudier la circulation du fluide (voir section 1.6.3). La prise en compte des phénomènes liés à l immiscibilité des phases nécessite d inclure les fractions volumiques dans la liste des variables indépendantes [27]. Puisque les constituants sont supposés incompressibles, l immiscibilité conduit à augmenter le nombre d équations nécessaires pour décrire le modèle [137]. En effet, dans ce cas, les masses volumiques partielles interviennent dans l équation de conservation de la masse mais les fractions volumiques sont des variables indépendantes sans équations supplémentaires. Ce problème est résolu par l introduction d équations supplémentaires pour la fraction volumique de chaque constituant [143]. L immiscibilité

3.3. Équations décrivant le modèle 47 et la compressibilité peuvent alors être intégrées à la modélisation. La solution est supposée saturée ce qui revient à prendre en compte dans la modélisation tous les constituants présents dans un volume de mélange. Cette contrainte est introduite dans le système d équations via un multiplicateur de Lagrange. Il permet de rendre compte de l influence de chacun des constituants sur les autres. La théorie des mélanges présentée dans le chapitre 2 est utilisée pour obtenir les lois de comportement du mélange et de ses constituants. 3.3 Équations décrivant le modèle Le fluide interstitiel est modélisé par un mélange de n fluides compressibles et visqueux. Certaines phases peuvent être ioniques et l électroneutralité de la solution est prise en compte via un multiplicateur de Lagrange. Les équations du modèle sont décrites. Des conditions supplémentaires non seulement pour l électroneutralité de tout volume de la solution mais aussi pour la saturation de cette solution sont introduites pour décrire de manière précise les phénomènes physiques mis en jeu dans le comportement du mélange. 3.3.1 Lois de comportement nécessaires Les équations de conservations introduites dans la section 2.3.2 s appliquent aux n fluides présents dans le mélange. Le bilan des inconnues présentes dans ces équations fait apparaître la nécessité d introduire des lois de comportement pour chacun des fluides du mélange. Certains phénomènes physiques tels que la saturation de la solution ou l électroneutralité de tout volume de solution peuvent être modélisés en rajoutant des équations reliant les inconnues ou en introduisant de nouvelles équations dans l inégalité d entropie par l intermédiaire des multiplicateurs de Lagrange. L utilisation de l inégalité d entropie permet d obtenir des informations sur les lois de comportement. Par la suite, la nomenclature est identique à celle du chapitre 2. Pour le mélange qui modélise le comportement du fluide interstitiel, des lois de comportement sont nécessaires pour les tenseurs des contraintes partielles T a, les énergies massiques ε a, les termes d apport de masse ĉ a, les termes d apport de fraction volumique ˆn a, les termes d apport de quantité de mouvement ˆp a et le vecteur flux de chaleur q. 3.3.2 Introduction des conditions supplémentaires Les équations de conservation introduites dans la section 2.3.2 ont été prises en compte par substitution dans l inégalité d entropie. Des équations supplémentaires peuvent être prises en compte par l introduction de multiplicateurs de Lagrange, comme cela a été

48 Un modèle du fluide interstitiel présentée dans la section 2.5.1. Les deux conditions à prendre compte sont l électroneutralité de la solution et la saturation du mélange. Condition de saturation Le mélange de fluide est supposé saturé. Cela signifie qu un volume représentatif du mélange est rempli par les constituants qui le composent, i.e. il n y a aucun vide ou constituant dont le comportement n est pas pris en compte. Cette hypothèse se traduit par une relation entre les fractions volumiques ; la condition de saturation s écrit : n φ a = 1. (3.1) a=1 Cette condition montre que toutes les fractions volumiques des constituants ne sont pas indépendantes. Par exemple, la fraction volumique du premier constituant peut être déterminée par les (n 1) autres fractions volumiques. La dérivée en temps de cette quantité (pour introduire les variations de fractions volumiques) est une contrainte mathématique à utiliser pour l obtention de la forme des lois de comportement. Elle est combinée avec l équation de conservation de la fraction volumique (2.35) pour chaque constituant. Cette nouvelle équation est alors ajoutée à l inégalité d entropie par l introduction d un multiplicateur de Lagrange [95]. Le multiplicateur de Lagrange qui introduit la condition de saturation est noté λ s. Électroneutralité pour les fluides ioniques Certains constituants du mélange peuvent être ioniques. Néanmoins, un volume donné du mélange doit être neutre du point de vue électrique en l absence de charges électriques extérieures. Les anions et cations doivent donc être en quantité égale pour que le mélange reste neutre. Cette condition d électroneutralité s écrit : i=+, ν i z i = 0, (3.2) où ν i et z i sont respectivement le nombre de moles et la valence du constituant i [123]. La concentration molaire du constituant i peut être exprimée comme une fonction de la fraction volumique du constituant i dans le mélange. Dans ce cas, l équation qui les lie s écrit : φ i V i = ν i V m, (3.3) où V i est le volume molaire du constituant i et V m est un volume élémentaire du mélange. Cette dernière relation est combinée avec l équation de conservation de la fraction volumique (2.35) en supposant que les constituants ioniques ne réagissent pas dans le

3.4. Lois de comportement 49 mélange (ˆn i = 0). L équation s écrit alors: i=+, τ i ( φ i div(v i ) u i grad(φ i )) = 0, (3.4) où τ i = z i V i. Le terme τ i sera supposé nul pour les constituants non ioniques. L électroneutralité est imposée via un autre multiplicateur de Lagrange λ e. Nouvelle forme de l inégalité d entropie Lorsque les contraintes d électroneutralité et de saturation sont introduites dans l inégalité d entropie 2.49, celle-ci prend la forme : n a=1 D (a) Ψ a Dt n + div(k) tr(ρ a K a L a ) ρη Dθ Dt h g θ a=1 n ( u a ˆp a + 1 ) 2 ρ aĉ a u 2 a a=1 n λ s (φ aˆn a φ a div(v a ) u a grad(φ a )) a=1 λ e τ i ( φ i div(v i ) u i grad(φ i )) 0. i=+, (3.5) L inégalité d entropie doit être vérifiée quel que soit le phénomène physique ou chimique apparaissant dans le mélange. Les lois qui décrivent le comportement des constituants et du mélange doivent donc respecter cette inégalité. 3.4 Lois de comportement 3.4.1 Variables indépendantes Les lois de comportement qu il est nécessaire d introduire ont été identifiées dans la section (2.4.1). Les conditions auxquelles elles sont sujettes concernent leur forme et leur dépendance vis-à-vis des variables indépendantes. Deux lois de comportement supplémentaires sont nécessaires pour l entropie massique η a (ou l énergie libre massique ψ a ) et pour le vecteur d apport de chaleur h qui apparaissent dans l inégalité d entropie (3.5). La température du mélange (supposée identique pour tous les constituants) est une nouvelle inconnue qui s ajoute à la liste des variables indépendantes. Toutes les lois de comportement peuvent donc aussi dépendre de cette dernière. Pour exploiter l inégalité d entropie et obtenir des conditions sur les lois de comportement, les constituants du mélange doivent être identifiés ainsi que les variables indépendantes qui décrivent leur comportement. Il s agit d un mélange de n fluides supposés

50 Un modèle du fluide interstitiel compressibles et visqueux. Les échanges thermiques sont pris en compte par l introduction de la température du mélange et de son gradient dans la liste des variables indépendantes. Les (6 n) + 2 variables indépendantes sont donc : ρ a, φ a, grad(ρ a ), grad(φ a ), θ, g = grad(θ), u a, D a pour a = 1,..., n dans un mélange à n constituants. La partie symétrique du gradient des vitesses est utilisée car les tenseurs des contraintes partielles qui sont les tenseurs, à priori, dépendant des variables indépendantes, sont supposés symétriques. Dérivée de l énergie libre volumique La dérivée de l énergie libre volumique Ψ a du constituant a apparaît dans l inégalité (2.49). Elle peut être écrite en utilisant les dérivées partielles par rapport aux variables indépendantes. Cette dérivée s écrit alors : D (a) Ψ a n ( Ψa D (a) ρ b = + Ψ ) a D (a) φ b Dt ρ b Dt φ b Dt b=1 n ( Ψa D (a) grad(ρ b ) Ψ a + + grad(ρ b ) Dt grad(φ b ) b=1 n ( ) Ψa D (a) D b n ( ) Ψa D (a) u c + + D b Dt u c Dt b=1 + Ψ a θ D (a) θ Dt + Ψ a g D (a) g Dt. c=2 ) D (a) grad(φ b ) Dt (3.6) Les équations de conservation de la masse (2.12) et les équations de conservation de la fraction volumique ont été utilisées pour remplacer les termes de dérivées des masses volumiques partielles et des fractions volumiques. Cette substitution est nécessaire pour obtenir des termes arbitraires au sens de Coleman et Noll [38, 108] dans l inégalité d entropie exploitée ensuite. Divergence du vecteur supplémentaire d apport de chaleur Le vecteur supplémentaire d apport de chaleur k est défini par sa divergence. On a la relation : div(k) = n { k grad(ρ b ) + k } grad(φ b ) ρ b φ b b=1 n { } k + grad(ρ b ) grad(grad(ρ k b)) + grad(φ b ) grad(grad(φ b)) b=1 n { k + grad(d b ) + k grad(u b ) + k D b u b θ g + k } g grad(g). b=1 Ces deux dernières expressions sont utilisées dans l inégalité d entropie. (3.7)

3.4. Lois de comportement 51 3.4.2 Conditions liées à l exploitation de l inégalité d entropie L inégalité d entropie doit être vérifiée quels que soient les phénomènes physiques qui affectent le mélange. L expression de la dérivée de l énergie libre volumique Ψ a du constituant a et la divergence du vecteur supplémentaire d apport de chaleur k sont remplacées par leurs expressions données par (3.6) et (3.7) dans l inégalité d entropie (3.5). Les conditions pour les lois de comportement peuvent alors être déduites en utilisant l argument introduit par Coleman et Noll [38]. Il peut s énoncer comme suit : les facteurs de quantité qui peuvent prendre des valeurs arbitraires lors d un processus thermodynamique sont nécessairement nuls pour avoir une production d entropie massique positive. Autrement dit d après l illustration donnée par Wang et Hutter [158], l inégalité d entropie peut s écrire sous la forme : α X + δ 0, (3.8) où α et X sont des vecteurs et δ un scalaire. L inégalité d entropie doit être vérifiée pour toutes les variations de X qui est la liste des gradients et des dérivées temporelles des variables indépendantes pour a = 1,..., n : grad(ρ a ) t, grad(φ a), v a t t, D a t, θ t, g t, (3.9) grad(grad(ρ a )), grad(grad(φ a )), grad(d a ), grad(g). Les gradients des masses volumiques partielles, des fractions volumiques, des vitesses de diffusion et de la température n apparaissent pas car ils sont inclus dans la liste des variables indépendantes. Les dérivés temporelles des masses volumiques partielles et des fractions volumiques ne figurent pas dans la liste parce qu ils sont substitués en utilisant les équations de conservation de la masse et de la fraction volumique respectivement [108]. Condition sur l énergie libre volumique du mélange L inégalité d entropie est écrite pour le mélange. Les conditions obtenues sur l énergie libre volumique sont donc pour celle du mélange définie par ψ I. L énergie libre volumique intrinsèque ψ I du mélange ne peut dépendre que des masses volumiques partielles des constituants (ρ 1, ρ 2,..., ρ n ), des fractions volumiques (φ 1, φ 2,..., φ n ) et de la température θ. L énergie libre volumique intrinsèque ψ I du mélange vérifie aussi : η = ψ I θ. (3.10) Ce résultat est classique pour un composé pur [106]. Même si cela ne peut être obtenu directement en utilisant l inégalité d entropie, on fait l hypothèse que les énergies libres massiques des constituants ψ a ne dépendent pas des vitesses de chacun des constituants

52 Un modèle du fluide interstitiel et dépendent seulement des masses volumiques partielles des constituants (ρ 1, ρ 2,..., ρ n ), des fractions volumiques (φ 1, φ 2,..., φ n ) et de la température θ. Si on utilise l hypothèse de séparation des variables, ce résultat peut être obtenu rigoureusement. Condition sur le vecteur supplémentaire d apport de chaleur Le vecteur supplémentaire d apport de chaleur k ne dépend que des vitesses de diffusion (u 1, u 2,..., u n ) puisque seulement (n 1) de ces vitesses de diffusion sont indépendantes, des masses volumiques partielles des constituants (ρ 1, ρ 2,..., ρ n ), des fractions volumiques (φ 1, φ 2,..., φ n ) et de la température θ. L équation constitutive pour le vecteur supplémentaire d apport de chaleur k doit respecter le principe d invariance matérielle. En outre, on suppose que le vecteur k doit être isotrope. Dans ce cas, son équation s écrit sous la forme [109] : k = n k a (ρ 1,..., ρ n, φ 1,..., φ n, θ) v a, (3.11) a=1 où k a est une fonction scalaire des masses volumiques partielles (ρ 1, ρ 2,..., ρ n ), des fractions volumiques (φ 1, φ 2,..., φ n ) et de la température θ. Seuls (n 1) facteurs k a sont indépendants les uns des autres. On choisit donc d écrire k 1 comme l opposé de la somme des autres facteurs k a. Il est intéressant de noter que l on ne peut obtenir la relation k = 0 directement lorsque les vitesses de diffusion (u 1, u 2,..., u n ) sont incluses dans la liste des variables indépendantes. Müller [108] a montré que cette simplification pouvait être évitée en introduisant une équation constitutive pour le vecteur supplémentaire d apport de chaleur k. Néanmoins,l interprétation physique de ce terme reste obscure et la définition du vecteur d apport de chaleur h est souvent réduite à la version donnée par Bowen [25] : h = n (q a + ρ a θη a u a ). (3.12) a=1 Une discussion plus complète à propos de ce terme et de la forme qu il prend dans le cas où des variables indépendantes supplémentaires sont introduites se trouve dans l article de Svendsen et Hutter [143]. Production d entropie Les résultats obtenus sur l énergie libre massique ψ I du mélange et sur le vecteur supplémentaire d apport de chaleur k sont introduits dans l inégalité d entropie donnée par l équation (3.5). Cette équation est alors réécrite (en utilisant les équations (2.56) et (3.11)) sous la forme d une inégalité pour la production d entropie massique σ :

3.4. Lois de comportement 53 σ = où µ a est défini par : ( ) n µ a + k n a (v b v a ) Ψ n b div v a tr(ρ a K a L a ) v a=1 ( a b=1 ( a=1 )) n n k a ˆf a grad(ρ b ) + k a grad(φ b ) u a ρ a=1 b φ b b=1 n ( Ψ I (ρ a + 1 ) ρ a=1 a 2 ρ au 2 Ψ I a) ĉ a + (φ a λ s φ a ) ˆn a φ ( a m θ k ) g 0, θ (3.13) µ a = ρ a Ψ I ρ a + φ a Ψ I φ a + λ s φ a + λ e τ a φ a, (3.14) lequel est le potentiel chimique lié à un état d équilibre lorsque qu il n y pas de vecteur supplémentaire d apport de chaleur k. Le vecteur ˆf a est défini par : ˆf a = ˆp a Ψ n I grad(ρ a ) + ρ a ( ) b=1 ΨI + λ s + λ e τ a grad(φ a ) + φ a Le vecteur m est défini par : m = h n a=1 Ψ a ρ b grad(ρ b ) n b=1 Ψ a φ b grad(φ b ). (3.15) θ Ψ a θ u a. (3.16) L influence du vecteur supplémentaire d apport de chaleur k apparaît dans le vecteur h. La contribution de ce terme k n a pas été simplifiée puisque les vitesses et leurs gradients ont été inclus dans la liste des variables indépendantes. Néanmoins, pour un état d équilibre, la contribution k disparaît puisqu il s écrit comme fonction des vitesses de diffusion u a lesquelles sont nulles à l équilibre. Il n y pas donc pas de terme en divergence dans l inégalité d entropie à l état d équilibre [106]. 3.4.3 Propriétés à l équilibre Les lois de comportement obtenues par l exploitation de l inégalité d entropie restent très générales, et ne donnent à ce stade, que peu d informations sur le comportement du mélange et de ces constituants. Considérer un état d équilibre permet de déduire des conditions supplémentaires et de retrouver certaines expressions classiques pour les potentiels chimiques des constituants. L entropie massique du mélange augmente si des réactions chimiques, des échanges de fractions volumiques entre les constituants, des phénomènes de conduction de chaleur ou

54 Un modèle du fluide interstitiel de diffusion ont lieu. Dans ce cas, la production d entropie massique σ est nécessairement positive d après l équation (3.13). Cette production d entropie est nulle lorsque les variables dites dynamiques sont nulles. Celles-ci sont les vitesses des constituants, les gradients de ces vitesses et le gradient de la température. De plus, pour obtenir un état d équilibre pour lequel il n y pas de production d entropie, il est nécessaire de postuler la nullité des échanges chimiques ĉ a = 0 et la nullité des échanges de fractions volumiques ˆn a = 0. Pour obtenir cet état d équilibre, les lois de comportement caractéristiques doivent donc vérifier des conditions supplémentaires déduites de la formulation mathématique de cet équilibre. La production d entropie σ est donc une fonction positive ou nulle qui atteint son minimum zéro pour une valeur des variables dont elle dépend. Pour que ce minimum soit atteint, une condition nécessaire mais non suffisante, est que les dérivées partielles de la production d entropie σ par rapport aux variables dynamiques soient nulles. Ces conditions se traduisent par des conditions sur les lois de comportement pour les constituants du mélange. Les propriétés obtenues à l état d équilibre sont notées avec un exposant e sur la quantité. Tenseur potentiel chimique du fluide à l équilibre Le tenseur des contraintes de chaque constituant peut s exprimer en fonction du tenseur potentiel chimique par la relation (2.48). Le tenseur potentiel chimique K a à l équilibre se réduit à un tenseur isotrope, i.e. proportionnel au tenseur identité. Il s écrit : Le terme ρ a Ψ I ρ a ρ a K e a = ( ) Ψ I Ψ I ρ a + φ a + λ s φ a + λ e φ a τ a + ρ a φ k a I. (3.17) a peut être identifié à une pression de type hydraulique pour un fluide compressible. Le terme φ a Ψ I φ a correspond à la pression engendrée par l écart des fractions volumiques entre les configurations actuelles et de référence. Le multiplicateur de Lagrange λ s est une pression dite de saturation qui correspond au fait que le mélange est saturé à tout instant. Le multiplicateur de Lagrange λ e est proportionnel au potentiel électroosmotique classique dont le facteur de proportionnalité est la constante de Faraday F [75]. Ce multiplicateur de Lagrange permet de prendre en compte la diffusion des ions liée aux phénomènes électro-osmotiques. Une prise en compte de ces phénomènes est proposée dans une modélisation du fluide interstitiel dans le chapitre 4. Pour les constituants ioniques, Ψ I Ψ I les contributions relatives des termes ρ a + φ a et λ e φ a τ a doivent être comparées ρ a φ a pour vérifier que le premier terme peut être négligé par rapport au second [151]. Dans l expression du tenseur potentiel chimique K e a du fluide à l équilibre défini par (3.17), le

3.4. Lois de comportement 55 dernier terme vient du vecteur supplémentaire d apport de chaleur k qui contribue donc à l équilibre du mélange au niveau des contraintes entre les constituants [143]. Vecteur d apport de chaleur h à l équilibre Une autre relation est obtenue pour le vecteur d apport de chaleur h lequel est noté h e à l équilibre. Ce vecteur est nul à l équilibre : h e = 0. (3.18) Pour obtenir ce résultat, on utilise le fait que les vitesses de diffusion sont nulles pour l état d équilibre, et donc, que k est nul. Termes d apport de quantité de mouvement à l équilibre Le terme représentant l apport de quantité de mouvement, associé à l interaction avec les autres constituants en l absence de réactions chimiques, à l équilibre est noté ˆp e a. Le terme ˆp e a est lié aux gradients des masses volumiques partielles et des fractions volumiques. Son équation constitutive à l équilibre s écrit : ˆp e a = Ψ n I Ψ a grad(ρ a ) grad(ρ b ) ρ a ρ b ( b=1 ) ΨI n + + λ s + λ e Ψ a τ a grad(φ a ) grad(φ b ) φ a φ ( b b=1 ) n k a + grad(ρ b ) + k a grad(φ b ) ρ b φ b b=1 (3.19) Il est notable dans l équation (3.19) que le vecteur k influence l apport de quantité de mouvement entre les constituants du mélange. Réactions chimiques à l équilibre Les réactions chimiques et les échanges entre les constituants au niveau de leur fraction volumique respective sont nécessairement nulles pour atteindre le minimum de la production d entropie à l état d équilibre. L hypothèse est donc que : ĉ e a = 0 et ˆn e a = 0 pour a = 1,..., n. (3.20) 3.4.4 Linéariser autour de l équilibre Bien que l état d équilibre permette de déterminer des conditions supplémentaires sur les lois de comportement, les équations ne sont plus alors valables qu à cet état.

56 Un modèle du fluide interstitiel Elles ne sont plus légitimes pour un changement d état du mélange. Néanmoins, si ces changements sont suffisamment proches d un état d équilibre, on peut utiliser les relations de la thermostatique et supposer l existence de l entropie. Dans ce cas, il est possible de linéariser les lois de comportement autour de l état d équilibre précédemment défini. L inégalité d entropie est réécrite : ( n ( σ = tr ρ a K d a + n (v b v a ) Ψ b v a ) L a ) a=1 b=1 n ( Ψ I (ρ a + 1 ) ρ a 2 ρ au 2 Ψ I a) ĉ a + (φ a λ s φ a ) ˆn a φ a n ( ˆf d m d a u a θ k ) g > 0, θ a=1 a=1 (3.21) où K d a, h d et ˆf d a sont les termes dissipatifs respectivement du tenseur potentiel chimique du fluide, du vecteur d apport de chaleur h et du terme introduit par l équation (3.15). Par exemple, la part dissipative du tenseur des contraintes partielles du fluide K d a est définie par : K d a = K a K e a. (3.22) Les phénomènes dissipatifs qui induisent une production d entropie massique pour le mélange sont supposés être suffisamment faibles pour que les lois de comportement puissent être linéarisées autour de l état d équilibre défini précédemment. Donc les équations définissant les termes de dissipation peuvent être au mieux linéaires par rapport aux variables dynamiques que sont les vitesses, leurs gradients et le gradient de température mais aussi les gradients de masse volumique partielle et de fraction volumique. De plus, on fait l hypothèse que la production d entropie associée à chaque phénomène physique est indépendant. Les phénomènes de dissipation liés aux variations de température sont supposés indépendants des phénomènes chimiques ou mécaniques. Cette hypothèse est classiquement utilisée lors de l exploitation de l inégalité d entropie pour obtenir des conditions sur les lois de comportement [106]. Tenseur potentiel chimique autour de l équilibre La partie dissipative du tenseur potentiel chimique du fluide K d a est donnée par l équation : n K d a = (2ν ab D b λ ab tr(d b )I) (3.23) b=1 où ν ab et λ ab sont des coefficients caractéristiques du fluide a dans un mélange de n fluides. Les coefficients ν ab et λ ab peuvent dépendre de la température. Ils sont introduits sous cette forme pour que l équation constitutive se ramène à celle d un fluide visqueux

3.4. Lois de comportement 57 classique lorsqu on fait l hypothèse de séparation des variables. La part dissipative du tenseur potentiel chimique K d a peut aussi dépendre du gradient de la température qui a été exclue par hypothèse de séparation des phénomènes physiques à l origine de la production d entropie. Vecteur d apport de chaleur h autour de l équilibre La partie dissipative du vecteur d apport de chaleur a pour équation constitutive linéarisée : h d = κg, (3.24) ce qui permet d obtenir la loi de Fourier pour le mélange et où κ est le coefficient de conductivité thermique. Les échanges de température ne seront pas étudiés car les variations de température sont supposées ne jouer aucun rôle significatif dans l écoulement du fluide interstitiel. Termes d apport de quantité de mouvement autour de l équilibre La partie dissipative de l apport de quantité de mouvement pour le constituant a est donnée par : n ˆp d a = ω ab (v b v a ), (3.25) b=1 où ω ab est un coefficient caractéristique de l interaction entre les fluides a et b, lequel doit vérifier la condition : n ω ab = 0, b=1 pour respecter le principe d objectivité qui spécifie, dans le cas des mélanges, que les équations constitutives ne peuvent dépendre que de toutes les vitesses sauf une. Conditions supplémentaires obtenues par les dérivées secondes Pour vérifier mathématiquement que la production d entropie atteint son minimum zéro, les dérivées premières de σ ont été calculées pour obtenir des conditions sur les lois de comportement à l équilibre. Pour que la production d entropie σ soit positive, les dérivées partielles secondes doivent être positives. Ces conditions donnent alors une indication sur le signe ou sur les valeurs extrémales des coefficients introduits dans la modélisation tels que les coefficients ν ab et λ ab.

58 Un modèle du fluide interstitiel Un mot sur les échanges de masse ou de volume Les échanges chimiques ou termes d apport de masse entre les constituants ĉ a peuvent être déterminés par les réactions chimiques possibles et leur cinétique. Des éléments de stoechiométrie viennent alors compléter les équations [25, 123]. Les échanges entre les volumes des constituants sont plus difficiles à évaluer. La prise en compte de la compressibilité du fluide est nécessaire dans un modèle de fluide interstitiel de l os [43]. Néanmoins les variations liées à la compressibilité restent probablement faibles au niveau des constituants fluide. 3.4.5 Influence de la température L influence de la température peut être négligée dans une première approche. Dans ce cas, les équations qui décrivent la conservation de masse et la conservation de quantité de mouvement pour chacun des constituants ne dépendent pas de la température. Les équations de conservation d énergie peuvent alors être résolues de manière indépendante. Le problème peut alors se réduire à un problème mécanique et chimique. Pour le modèle développé, les lois de comportement à définir sont donc celles correspondantes aux tenseurs des contraintes T i des constituants, leurs masses volumiques partielles ρ a et leurs fractions volumiques φ a. 3.5 Conditions aux limites Le choix des conditions aux limites à imposer devient donc complexe puisqu il s agit de définir des conditions pour chacun des constituants ou pour le mélange. On pourra consulter à ce propos les travaux de Rajagopal et Tao [125]. La difficulté essentielle tient à la définition de plusieurs contraintes partielles aux bords du domaine pour modéliser l effort surfacique. Pour le mélange de fluides, les conditions aux limites sont données sur la continuité des potentiels chimiques à l interface entre le mélange et les frontières du domaine dans lequel le fluide s écoule. Le potentiel chimique sur les parois doit donc être défini. Les travaux récents de Mauck et al. [105] mettent en lumière l importance de ses conditions sans toutefois inclure les échanges chimiques. 3.6 Conclusions Des modèles de transport de fluides chargés au travers de milieu poreux s appuyant sur la théorie du mélange ont été développés à l échelle du milieu poreux pour étudier

3.6. Conclusions 59 l écoulement du fluide [65, 75, 87, 112]. Néanmoins, le fait de se placer à cette échelle ne permet pas de prendre en compte les forces visqueuses développées par le fluide qui s écoule dans les pores du milieu poreux, et en particulier, sur les parois des pores. Le modèle développé dans ce chapitre permet de prendre en compte la contribution des ions à l échelle du fluide et d étudier cette influence à l échelle de l ostéon. La théorie des mélanges permet d obtenir les équations décrivant le comportement d un mélange de fluides dans un cadre général incluant les effets visqueux. Les équations obtenues dans ce chapitre sont générales et permettent de prendre en compte non seulement l électroneutralité de la solution lorsqu elle comporte des ions mais aussi la saturation lorsque tous les constituants sont pris en compte. Les couplages entre les phénomènes électro-chimiques et mécaniques sont introduits dans ce modèle. Le cadre rigoureux de description développé dans ce chapitre inclut en particulier les échanges chimiques entre les fluides visqueux constitutifs du mélange. Néanmoins, il reste difficile de tirer des résultats concrets applicables à cette étape dans le cadre de ce travail de thèse. En effet, les phénomènes physiques qui s expriment à l échelle du pore sont difficilement mesurables, ce qui rend l identification physique des coefficients introduits dans les lois de comportement très délicate. Une technique de changement d échelle proposée dans le chapitre suivant permet de lier les phénomènes physiques à l échelle microscopique à ceux observés à l échelle macroscopique. L identification des phénomènes à l échelle macroscopique est alors déduite de la description microscopique proposée. Une autre question, au delà de la modélisation fine du comportement du fluide s écoulant dans les pores, est de savoir s il est nécessaire d inclure les phénomènes physiques observés à l échelle du fluide dans la modélisation macroscopique de l ostéon. C est l objet de l étude du chapitre suivant.

60 Un modèle du fluide interstitiel

Chapitre 4 Un modèle couplé d écoulement pour le fluide interstitiel Résumé : Un modèle d écoulement couplé pour le fluide interstitiel dans deux niveaux de porosité du tissu osseux cortical est introduit pour comparer les contributions des effets hydrauliques, électro-osmotiques et osmotiques. L écoulement du fluide est décrit à l échelle des pores. Une méthode de changement d échelle est utilisée pour comparer les phénomènes physiques à l échelle supérieure. Les résultats sont discutés en regard des expériences où des potentiels électriques ont été observés dans l os. La contribution des effets hydrauliques, électro-osmotiques et osmotiques est estimée pour vérifier qu il n est pas nécessaire de les inclure à l échelle mésoscopique. 4.1 Introduction Le fluide interstitiel circule au travers des différents niveaux de porosité du tissu cortical. La géométrie des pores dans lesquels le fluide interstitiel circule est mal connue. Pourtant l écoulement du fluide dans ceux-ci joue un rôle dans la mécanotransduction du remodelage osseux [45]. Comprendre les phénomènes physiques induisant ou freinant l écoulement du fluide interstitiel est nécessaire pour mieux appréhender le remodelage osseux. L écoulement du fluide est influencé par différents effets : hydraulique, chimique, électrique et mécanique. Les phénomènes électriques ont été observés dans le tissu osseux dès les années cinquante [13, 164]. Pourtant l origine de ces phénomènes et leur rôle éventuel dans les transferts hydrauliques ne sont toujours pas bien compris [121]. 4.1.1 Origine des couplages à l échelle du fluide Un aspect important à prendre en compte est la présence de charges au niveau de la surface des pores de la matrice osseuse [104]. Cette présence est susceptible de favoriser les effets de couplages électrocinétiques. Pour compenser cette concentration de charges

62 Un modèle couplé d écoulement pour le fluide interstitiel négatives à la paroi des pores du tissu osseux, une couche de cations se forme à proximité de la surface. Ces cations sont dit adsorbés sur la surface formant la couche immobile de Stern. Par ailleurs, un nombre important de cations mobiles dans la solution vont eux aussi servir à écranter ce déficit de charge surfacique, ce qui génère une surconcentration cationique à proximité de la paroi du pore. D autre part, il apparaît une surconcentration anionique loin de cette surface. On parle alors du développement de doubles couches diffuses. Une telle distribution des ions dans la solution peut être décrite par un modèle de fluide multiphasique tel que celui développé dans le chapitre 3 ou par les équations classiques de l électro-statique, où la distribution des charges et le champ électrique sont reliés par l équation de Poisson-Boltzmann [76]. Les charges sont transportées lorsque le fluide interstitiel circule dans les pores ce qui induit un phénomène électrique au niveau macroscopique, les courants électriques liés à l écoulement. Un potentiel électrique apparaît alors pour s opposer au mouvement des charges, il s agit du potentiel d écoulement. Les variations de l écoulement induisent une variation de ce potentiel électrique qui à son tour influence, par effet couplé, le mouvement des charges mobiles. Le flux électro-osmotique apparaît alors par effet d entraînement visqueux associé au flux cationique [73]. Enfin, il n est pas exclu que les variations spatiales des concentrations ioniques puissent générer des effets d osmose chimique, se traduisant par un mouvement du solvant des zones à faibles concentrations ioniques vers celles à fortes concentrations [65]. 4.1.2 Description multiphysique du fluide Les descriptions mécaniques classiques du tissu osseux cortical utilisent la théorie de la poroélasticité pour intégrer le rôle du fluide interstitiel dans les pores de la matrice élastique [49,66,101,122,129]. La plupart de ces modèles s appuient sur une description du mouvement de la phase fluide ne tenant pas compte des effets moteurs dus aux couplages électro-chimiques. Ainsi, ces auteurs parlent de potentiels d écoulement en introduisant une hypothèse de flux nul qui permet d identifier le potentiel de courant à partir du flux hydraulique. On peut se questionner sur la légitimité de ne pas tenir compte des effets électro-osmotique et osmotique comme effets moteurs de la circulation du fluide interstitiel. Le but de ce chapitre est d apporter une réponse à cette question en proposant un modèle multiphysique décrivant le mouvement de la phase fluide dans le réseau lacunocanaliculaire. L élaboration de ce modèle s inspire directement des travaux de Moyne et Murad [113] et Lemaire et al. [92]. Afin de cerner le rôle de chacun des phénomènes physiques dans l écoulement du fluide interstitiel, celui-ci est décrit à l échelle des pores et une technique d homogénéisation est utilisée pour pouvoir comparer les effets couplés à l échelle macroscopique. Deux échelles

4.2. Géométrie et niveaux de porosité 63 d écoulement sont ici considérées : l échelle des canalicules et l échelle de la matrice de collagène et d hydroxyapatite. Ces deux niveaux de porosité peuvent jouer un rôle dans la mécanotransduction du remodelage osseux. La porosité à chaque échelle est supposée présenter une géométrie assez régulière pour pouvoir appliquer une méthode de changement d échelle et comparer la contribution des termes hydraulique, électro-osmotique et osmotique sur l écoulement du fluide interstitiel. Le but de ce travail est de préciser s il est nécessaire d inclure à l échelle de l ostéon les phénomènes électro-osmotique et osmotique qui contribuent au moins partiellement à l écoulement du fluide. La comparaison avec l échelle de la matrice d hydroxyapatite permet aussi de mettre en relief le niveau de porosité pertinent pour l apparition des potentiels électriques d écoulement. Pour étudier la pertinence d inclure certains phénomènes couplés, un modèle de l écoulement du fluide interstitiel est développé. La géométrie des pores à chaque échelle est tout d abord décrite. Les équations décrivant l écoulement du fluide sont ensuite données par les lois classiques de l électrostatique et de l hydrodynamique. Le changement d échelle est alors opéré et les résultats à chaque échelle sont discutés. 4.2 Géométrie et niveaux de porosité La structure de l os cortical a été décrite dans la section 1.2.2. La structure est organisée en cylindres minéralisés que sont les ostéons. Ceux-ci sont centrés sur les canaux haversians dont le diamètre est de l ordre de 50 µm. À ce niveau de porosité, les canaux de Volkmann sont les larges canaux qui traversent l ostéon pour laisser passer les vaisseaux sanguins, les nerfs et le fluide interstitiel. Les pores dans l os sont de tailles variables. Les cavités peuvent aller de cavités visibles jusqu à la taille de l espace entre molécules. Les ordres de grandeurs de la taille de ces pores sont donc à considérer. Pour chacune des échelles spatiales, la taille des pores correspond à différentes structures du tissu osseux. La perméabilité dépend de l organisation et de la taille caractéristique de ces microstructures Les mesures de perméabilités sont donc généralement étalées sur plusieurs ordres de grandeur [5]. Les trois niveaux de porosité du tissu osseux cortical ont été décrits dans la section 1.4. Ces niveaux de porosité sont détaillés dans ce chapitre pour préciser les échelles considérées ainsi que le système de coordonnées associées à la géométrie. Les niveaux de porosité sont, du plus large au plus petit, la porosité correspondant aux espaces vasculaires (tels que les canaux haversiens et les canaux de Volkmann), la porosité associée aux lacunes et aux canalicules, et enfin, la porosité associé aux espaces dans la matrice de collagène et d hydroxyapatite. Dans ce travail, l échelle associée à la porosité vasculaire (ou à celle de la longueur

64 Un modèle couplé d écoulement pour le fluide interstitiel de l ostéon) est appelée échelle macroscopique comme indiquée sur la figure 4.1. L échelle correspondant à la taille caractéristique des canalicules est notée échelle mésoscopique et est présentée sur la figure 4.2. Cette échelle est le niveau de porosité considéré dans le modèle poroélastique du chapitre 5. L échelle microscopique est celle des micropores présents dans la matrice de collagène et d hydroxyapatite représentée sur la figure 4.3. Fig. 4.1: Représentation schématique de l ostéon : échelle macroscopique (adapté de [28]). Dans le tissu osseux cortical, le transport des nutriments entre le sang et les ostéocytes a lieu grâce à la circulation à travers les vaisseaux sanguins et à la circulation du fluide interstitiel dans les pores lacuno-canaliculaires et micropores de la matrice osseuse. Les vaisseaux sanguins présents dans les canaux haversiens peuvent favoriser le transport ou au contraire drainer les canaux en fonction de la pression sanguine régulée par un sphincter au niveau de l artère. Le rôle de la pression sanguine dans la circulation du fluide semble néanmoins être faible [157]. On s intéresse par conséquent dans ce travail plus particulièrement à la circulation du fluide dans les canalicules et dans les micropores. L écoulement du fluide dans les pores vasculaires n est donc pris en compte qu à travers les conditions aux limites qui peuvent varier en vitesse ou en pression. Un canalicule peut être modélisé par un capillaire, de section circulaire, dont le diamètre est de l ordre de quelques centaines de nanomètres. Le rayon du canalicule est noté R C. Le tentacule de l ostéocyte présent dans le canalicule est modélisé par un cylindre

4.2. Géométrie et niveaux de porosité 65 Fig. 4.2: Représentation schématique d un canalicule : échelle mésoscopique. Fig. 4.3: Représentation schématique de l ostéon : échelle microscopique des micropores de la matrice de collagène et d hydroxyapatite.

66 Un modèle couplé d écoulement pour le fluide interstitiel aligné selon l axe du canalicule. La présence de fibres liant le tentacule de l ostéocyte à la paroi du canalicule rend cette alignement plausible [167]. Le tentacule de l ostéocyte a un rayon, noté R M, de l ordre de 50 nm. Les lacunes ne sont pas modélisées et les perturbations sur l écoulement associées à leur présence sont supposées négligeables. Les micropores de la matrice de collagène et d hydroxyapatite ne sont pas encore bien connus. Ils correspondent à l espace entre les fibres de collagène et les cristaux d apatite. La taille caractéristique de ces micropores a été mesurée par Holmes et al. [71]. Leur taille varie typiquement entre 5 nm et 12.5 nm. Dans le présent modèle, les micropores sont modélisés par des cylindres creux de section circulaire. Leur rayon est noté R m. Les résultats concernant ce niveau de porosité sont détaillés dans l article de Lemaire et al. [94]. La géométrie des micropores étant supposée cylindrique, les équations décrivant l écoulement du fluide interstitiel utilisées dans ce modèle sont traitées en coordonnées cylindriques aux deux échelles mésoscopique et microscopique. Quelle que soit l échelle considérée, l écoulement se développe dans la direction longitudinale du pore (selon la coordonnée z) alors que les champs locaux (potentiel électrique, concentrations ioniques, champ des vitesses) peuvent aussi varier dans la direction radiale (selon la coordonnée r). 4.3 Description du fluide à l échelle du pore Le fluide interstitiel est décrit à l échelle locale. Les propriétés physiques sont supposées identiques à tous les niveaux de porosité considérés. Le fluide est constitué d une solution aqueuse, mélange d eau et d un sel entièrement dissocié formés d ions monovalents (par exemple, le chlorure de sodium). Les effets stériques et d hydratation sont négligés ; on fait l hypothèse que le liquide est un fluide électrolyte non structuré avec des ions modélisés par des charges ponctuelles. 4.3.1 Électrostatique Les effets du champ magnétique sont négligés. Les équations de Maxwell se réduisent donc à l équation de Poisson [74]. Cette équation s écrit : φ = F εε 0 (n + n ), (4.1) où φ est le potentiel électrique dans la phase fluide, n + et n sont respectivement les concentrations des cations et des anions. Les termes ε 0 et ε désignent respectivement la permittivité du vide et la constante diélectrique du solvant. La constante F est la constante de Faraday et désigne l opérateur laplacien.

4.3. Description du fluide à l échelle du pore 67 Pour les canalicules, les conditions aux limites sont obtenues en imposant la continuité du potentiel électrique à la paroi du canalicule et à la membrane du tentacule de l ostéocyte. Les différents potentiels électriques aux surfaces des pores de la matrice aux échelles mésoscopique et microscopique et à la membrane cellulaire ont des origines différentes. Sur la membrane cellulaire, la charge négative est liée à la présence d acides gras tandis que la charge négative au niveau de la matrice du tissu osseux est due à plusieurs autres phénomènes physiques. Les potentiels électriques de surface sont donc a priori différents selon la surface considérée. Ces potentiels électriques de surface sont difficilement mesurables et quantifiables. Pour cette raison, le potential zeta, i.e. le potentiel à la surface qui sépare les ions absorbés des ions diffus, donne une bonne approximation du potentiel électrique de surface à introduire comme conditions aux limites. Les mesures du potentiel zeta varient néanmoins selon les conditions expérimentales. Par exemple, Berreta et Pollack [20] proposent une valeur du potentiel zeta de 3.55 mv alors que Kim et al. [80] ont mesuré des potentiels zeta de l ordre de 20 mv. La dépendance des résultats à ces valeurs est discutée. 4.3.2 Mouvement de la solution d électrolyte L électrolyte est supposé incompressible et newtonien. Les équations décrivant son comportement sont celles de l électro-hydrodynamique. Les effets de la gravité et les effets d inertie sont négligés. Les équations se réduisent alors à celles décrivant un écoulement de Stokes dans le cas stationnaire [88] : µ f v grad(p) = F (n + n )E, (4.2) où v est la vitesse du fluide, p sa pression, µ f la viscosité dynamique du fluide et E le champ électrique. L équation de conservation de la masse pour le fluide se simplifie dans le cas incompressible en : div(v) = 0, (4.3) où div désigne l opérateur divergence. Les conditions aux limites associées à ces équations sont des conditions d adhérence à la paroi, i.e. une vitesse nulle à la paroi des pores. 4.3.3 Transport des ions Les concentrations en ions sont supposées être suffisamment faibles pour pouvoir négliger l interaction entre ceux-ci. La diffusion des espèces ioniques peut alors être décrite

68 Un modèle couplé d écoulement pour le fluide interstitiel par une diffusion binaire des cations et anions par rapport au fluide. Le mouvement des ions peut être la conséquence de trois phénomènes physiques : la diffusion brownienne, le transport convectif avec le fluide et l électro-migration. La diffusion brownienne est caractérisée par les coefficients de diffusion dans l eau D + pour les cations et D pour les anions. L électro-migration est due au champ électrique présent dans la solution. Les équations de transport pour les ions s écrivent alors : n ± + div(n ± v) = div( D ±n ± t Rθ grad(µ± )), (4.4) où µ ± sont les potentiels électro-chimiques des cations et des anions, θ la température absolue (dont on fait l hypothèse qu elle est constante pour les modèles de tissu biologiques considérés) et R la constante des gaz parfaits. Pour des solutions supposées infiniment diluées, les potentiels électro-chimiques s écrivent [99, 123] : µ ± = ±F φ + Rθ ln(n ± ) + f(θ, p), (4.5) où ln est la fonction logarithme néperien. La fonction f dépend de la pression. L hypothèse généralement admise est que ses variations en fonction de ce paramètre restent faibles. L équation de Nerst-Planck est obtenue en combinant les équations (4.4) et (4.5) [134]. Cette équation s écrit : n ± t + div(n ± v) = div(d ± (grad(n ± ) ± n ± grad( φ))) = div(d ± exp( φ)grad(n ± exp(± φ))), où le potentiel électrique réduit est défini par φ = F φ/rθ. (4.6) 4.4 Changement de variables dans le fluide Pour obtenir la description macroscopique du comportement du fluide, il est nécessaire d effectuer un changement de variables qui s appuie sur le concept d une solution équivalente. Cette approche est utilisée pour décrire les transports couplés dans les milieux poreux dont la matrice poreuse solide est chargée électriquement. Cette démarche a été utilisée pour décrire le comportement d argiles [54,92,93,113]. Le problème est ainsi reformulé en fonction de nouvelles variables. Une procédure de changement d échelle est alors utilisée pour distinguer les variables lentes et les variables rapides variant respectivement aux échelles macroscopique et microscopique des phénomènes physiques considérés. 4.4.1 Notion de bulk équivalent Un bulk est une solution fictive en équilibre thermodynamique avec le fluide réel. Il vérifie l électroneutralité en tout point. On peut donc écrire pour chaque particule de la

4.4. Changement de variables dans le fluide 69 phase fluide : n + b = n b = n b, (4.7) où n + b et n b sont les concentrations du bulk en cations et en anions respectivement. La concentration n b est appelée concentration de bulk. L approche de Sasidhar et Ruckenstein [136] introduit le potentiel électrique lié à la migration des charges au travers d une membrane. Ce potentiel électrique se développe dans le fluide afin de maintenir l électroneutralité. Il est donc lié à la concentration des espèces contenues dans le bulk construit à un état d équilibre thermodynamique et est noté ψ b. Les potentiels électrochimiques des ions de la solution et du bulk, solution virtuelle équivalente, peuvent donc être égalés pour obtenir deux relations pour les anions et les cations : µ ± b = µ± = ±F φ + Rθ ln(n ± ) = ±F ψ b + Rθ ln(n b ). (4.8) La différence entre le potentiel électrique φ et le potentiel électrique de bulk ψ b introduit un nouveau potentiel ϕ qui représente l écart du point de vue électrique entre le point de la solution réelle et le même point du bulk virtuel équivalent. Les équations (4.8) permettent d obtenir les distributions de Boltzmann pour les espèces ioniques [76] : n ± = n b exp( ϕ), (4.9) où le potentiel électrique ϕ est réduit par ϕ = F ϕ/rθ. Ce potentiel électrique peut donc être identifié à un potentiel de double couche. 4.4.2 Pression virtuelle de bulk De la même manière, une pression virtuelle de bulk peut être définie en utilisant l équilibre thermodynamique du fluide. L électroneutralité de l eau donne l équilibre de son potentiel chimique : p + Rθ n w ln( ρ l M w n w + n + + n ) = p b + Rθ n w b ln( ρ l M w n w b + 2n ), (4.10) b où ρ l est la masse volumique de la solution, n w et n w b sont respectivement les concentrations molaires de l eau dans la solution et dans le bulk et M w est la masse molaire de l eau. Comme les concentrations ioniques peuvent être négligées par rapport à la concentration de l eau dans la solution, la masse volumique de la solution peut être approchée par : ρ l n w M w n w b M w. (4.11) Les équations (4.10) et (4.11) sont combinées pour obtenir : p b = p Rθ(n + n + 2n b ). (4.12)

70 Un modèle couplé d écoulement pour le fluide interstitiel La pression osmotique peut être définie selon Donnan [53] par la relation de van t Hoff π = Rθ(n + n + 2n b ). Cette relation permet de décomposer la pression hydraulique en un terme de bulk p b et un terme osmotique π : p b = p π. (4.13) 4.4.3 Équations reformulées Les variables de bulk permettent d écrire le problème sous une nouvelle forme. L équation de Poisson (4.1) écrite en fonction du potentiel électrique réduit est combinée avec les distributions de Boltzmann pour les espèces ioniques (4.9) et donne ainsi l équation classique de Poisson-Boltzmann : ( ψ b + ϕ) = 1 sinh ϕ, (4.14) L 2 D où le terme L D représente la longueur de Debye [74] qui caractérise l épaisseur de la double couche diffuse et est définie par L D = εε 0 Rθ/2F 2 n b. L équation de Stokes est reformulée en utilisant la décomposition de la pression hydraulique donnée par l équation (4.13) : grad(p) = grad(p b ) + grad(π). (4.15) Le gradient de pression osmotique grad(π) est exprimé à l aide de l équation de Boltzmann (4.9) dans la relation de van t Hoff : grad(π) = grad(2rθn b (cosh( ϕ) 1)) = 2Rθ(cosh( ϕ) 1)grad(n b ) + 2RT n b sinh( ϕ)grad( ϕ). (4.16) Les équations (4.15) et (4.16) sont substituées dans l équation de Stokes (4.2), en notant que φ = ϕ + ψ b. L équation de Stokes en fonction des variables de bulk est alors obtenue : µ f v grad(p b ) 2Rθ(cosh ϕ 1)grad(n b ) + 2Rθn b sinh ϕ grad( ψ b ) = 0. (4.17) Dans cette expression, trois contributions à l écoulement du fluide peuvent être identifiées : une contribution hydraulique correspondant au gradient de pression du bulk ; une contribution osmotique correspondant au gradient de concentration du bulk ; une contribution électro-osmotique correspondant au gradient du potentiel électrique du bulk.

4.5. Changement d échelle pour la géométrie cylindrique 71 Les distributions de Boltzmann (4.9) pour les ions et le gradient chimique de l équation de Nernst-Planck (4.6) peuvent aussi être réécrits. Le potentiel électrique est décomposé comme précédemment et l équation de Nernst-Planck devient : (n b exp( ϕ)) t + div(n b exp( ϕ)v) = div(d ± (exp( ϕ)( n b ± n b ψ b ))). (4.18) 4.5 Changement d échelle pour la géométrie cylindrique 4.5.1 Méthode de changement d échelle Les deux types de pores dans lesquels le fluide interstitiel de l os s écoule, et auxquels on s intéresse, ont une géométrie cylindrique. La démarche générale de changement d échelle sera donc détaillée pour une seule géométrie et les résultats seront ensuite présentés pour chaque échelle. Les échelles sont dites globale et locale pour différencier l échelle de l écoulement du fluide longitudinal et l échelle du diamètre du pore. Les variables fluctuant à l échelle du diamètre du pore sont appelées variables rapides et celles variant à l échelle de l écoulement variables lentes. La démarche a été justifiée dans [113, 114] et elle est introduite dans cette section pour mettre en relief l avantage d utiliser les variables de bulk dans la méthode de changement d échelle. Les méthodes d homogénéisation ont été largement développées et des présentations peuvent être trouvées dans le livre de Sanchez-Palencia [135] et l article de Auriault par exemple [9]. L application de la méthode aux équations présentées dans ce chapitre est détaillée dans [94]. Les équations sont réécrites pour faire apparaître d quantités sans dimension caractéristique de l échelle microscopique. L estimation de ces quantités est un des points essentiels de la procédure de changement d échelle. Le choix de l ordre de grandeur de ces coefficients et les conséquences de ceux-ci sont discutés dans l article de Moyne et Murad [113]. Les lois d échelles proposées par ces auteurs sont utilisées pour réécrire le modèle mécanique. 4.5.2 Variables lentes et rapides Une distinction doit être établie entre les variables dites lentes, qui sont indépendantes de la coordonnée rapide r et les variables rapides qui dépendent à la fois des coordonnées r et z [113]. Dans le fluide, les variables lentes sont la pression du bulk p b, la concentration du bulk n b et le potentiel électrique du bulk ψ b. Les variables rapides sont le potentiel

72 Un modèle couplé d écoulement pour le fluide interstitiel électrique de double couche ϕ et la vitesse du fluide v. En considérant la géométrie cylindrique, les équations établies dans la section 4.4.3 peuvent être simplifiées. L équation de Poisson-Boltzmann n apparaît pas à l échelle de l écoulement du fluide, l échelle globale. Elle s écrit à l échelle locale : d 2 ϕ dr + 1 d ϕ 2 r dr = 1 sinh ϕ. (4.19) L 2 D Si la longueur de Debye L D est faible par rapport au diamètre du pore, l approximation de Debye-Hueckel peut être introduite et l équation peut être linéarisée pour obtenir après une simplification par Rθ/F : d 2 ϕ dr + 1 dϕ 2 r dr = 1 ϕ. (4.20) L 2 D Le mouvement du fluide en régime permanent ne dépend que de la coordonnée radiale r et est uniquement longitudinale : v = u(r)z, (4.21) où z est le vecteur unitaire associé à la direction longitudinale et u(r) la composante longitudinale de la vitesse v selon l axe z. Cette relation est introduite dans l équation de Stokes (4.17) pour obtenir : ( d 2 u µ f dr dp b 2 dz + 1 ) du 2Rθ (cosh ϕ 1) dn b r dr dz + 2Rθn b sinh ϕ d ψ b dz Enfin, l équation de Nerst-Planck (4.18) est modifiée en : = 0. (4.22) (n b exp( ϕ)) t + (n b exp( ϕ)u) z = z (D ± exp( ϕ)( n b z ± n ψ b b )). (4.23) z La description locale du fluide est réécrite à l échelle de l écoulement. Cette description dans une configuration cylindrique est ensuite utilisée pour traiter les deux niveaux de porosité considérés, la porosité lacuno-canaliculaire et la porosité de la matrice d hydroxyapatite. 4.6 Solution du problème posé La nouvelle description de l écoulement du fluide après le changement d échelle est écrite pour décrire l écoulement du fluide dans la porosité lacuno-canaliculaire et dans les pores de la matrice d hydroxyapatite modélisés par des cylindres. L équation de Poisson-Boltzmann (4.19) est tout d abord discutée. Puis une loi de Darcy modifiée est introduite pour prendre en compte les différents phénomènes physiques.

4.6. Solution du problème posé 73 4.6.1 Discussion sur l équation de Poisson-Boltzmann La solution de l équation de Poisson-Boltzmann (4.19) est nécessaire pour évaluer le potentiel électrique de double couche apparaissant dans l équation de Stokes (4.22) qui détermine l écoulement. La solution pour l équation de Nernst-Planck (4.23) doit être déterminée aux deux échelles. L approximation de Debye-Hueckel (4.20) peut être utilisée si le potentiel électrique de double couche réduit reste faible [74]. Ce dernier reste faible lorsque le rayon du pore est important en comparaison à l épaisseur de Debye (de l ordre de quelques nanomètres). Pour les pores plus petits, cette approximation n est plus possible et une approximation semi-analytique ou des calculs numériques sont nécessaires pour obtenir la distribution du potentiel issu de l équation de Poisson-Boltzmann (4.19) dans la géométrie cylindrique. Dans le cas des pores où des calculs numériques sont nécessaires, une méthode de volumes finis a été utilisée pour évaluer le potentiel électrique de double couche. Les figures 4.4, 4.6 et 4.5 montrent les différences entre les solutions numériques de l équation de Poisson-Boltzmann (4.19) et la solution analytique obtenue en utilisant l approximation de Debye-Hueckel (4.20). Ces tracés sont donnés pour trois valeurs du rapport entre le rayon d un pore cylindrique et la longueur de Debye. Le rayon du capillaire est noté R P. Le potentiel électrique de la paroi est de 3.55 mv (valeur du potential zeta donnée par Berreta et Pollack [20]). Lorsque le potentiel électrique de double couche est petit en comparaison avec le rayon caractéristique du pore, (voir la figure 4.4 pour R P /L D = 50), l approximation de Debye-Hueckel est une bonne approximation de la solution de l équation de Poisson- Boltzmann (4.19). Par contre, cette approximation n est plus valable lorsque le rapport R P /L D décroît comme le montre les figures 4.6 et 4.5. Dans ce cas, l approximation de Debye-Hueckel surestime la valeur absolue du potentiel électrique de double couche. Le problème réside dans le fait que les longueurs géométriques ne doivent pas être trop petites pour respecter les hypothèses de la mécanique des milieux continus. Les courbes obtenues pour un rayon de pore du même ordre de grandeur de la longueur de Debye sur la figure 4.6 ne peuvent dans ce cas qu être une illustration de la différence entre les calculs. Aux dimensions de l ordre du nanomètre, une autre description de l écoulement du fluide serait nécessaire. L électrolyte doit être décrit plus finement. En particulier, les forces d hydratation, les effets stériques et les forces de Van der Walls ne peuvent plus être négligées à l échelle moléculaire. Dans ce travail, les pores de la matrice de collagène et d hydroxyapatite, qui sont les plus petits pores considérés, sont supposés suffisamment grands pour pouvoir utiliser les outils de la mécanique des milieux continus.

74 Un modèle couplé d écoulement pour le fluide interstitiel Fig. 4.4: Variations du potentiel électrique de double couche réduit ϕ en fonction de r/r P. Comparaison entre la solution numérique de l équation de Poisson-Boltzmann equation (ligne continue) avec la solution calculée par l approximation de Debye-Hueckel (.) pour un rayon de pore R P = 50L D. 4.6.2 Approximation de Debye-Hueckel à l échelle mésoscopique Puisque les calculs numériques peuvent être longs pour obtenir l approximation de la solution de l équation de Poisson-Boltzmann (4.19), la solution analytique utilisant l approximation de Debye-Hueckel est préférée lorsqu elle est valide, pour le niveau de porosité des canalicules. Le potentiel électrique de double couche est alors obtenu analytiquement par l approximation donnée par la relation : ϕ(r) = a 1 I 0 ( r L D ) + a 2 K 0 ( r L D ), (4.24) où I n et K n désigne les fonctions de Bessel modifiées respectivement de première et seconde espèce et d ordre n ; les constantes a 1 et a 2 sont déterminées en utilisant la condition de continuité du potentiel électrique de double couche à la paroi du canalicule (r = R C ) et à la membrane du tentacule de l ostéocyte ( osteocyte process ) (r = R M ). La solution pour le potentiel électrique de double couche s écrit alors à l échelle mésoscopique : ϕ(r) = ϕ(r C)(I 0 ( r L D )K 0 ( R M LD ) I 0 ( R M LD )K 0 ( r L D )) + ϕ(r M )(I 0 ( R C L D )K 0 ( r L D ) I 0 ( r L D )K 0 ( R C L D )). I 0 ( R C L D )K 0 ( R M LD ) I 0 ( R M LD )K 0 ( R C L D ) (4.25)

4.6. Solution du problème posé 75 Fig. 4.5: Variations du potentiel électrique de double couche réduit ϕ en fonction de r/r P. Comparaison entre la solution numérique de l équation de Poisson-Boltzmann equation (ligne continue) avec la solution calculée par l approximation de Debye-Hueckel (.) pour un rayon de pore R P = 10L D. Fig. 4.6: Variations du potentiel électrique de double couche réduit ϕ en fonction de r/r P. Comparaison entre la solution numérique de l équation de Poisson-Boltzmann equation (ligne continue) avec la solution calculée par l approximation de Debye-Hueckel (.) pour un rayon de pore R P = L D.

76 Un modèle couplé d écoulement pour le fluide interstitiel 4.6.3 Loi de Darcy modifiée Puisque le potentiel électrique de double couche peut être calculé à chaque niveau de porosité, la solution de l équation de Stokes (4.17) peut être obtenue pour décrire l écoulement du fluide. Dans cette équation, trois mécanismes peuvent être distingués. Après projection sur l axe z, l équation (4.22) permet identifier les termes : ( d 2 u µ f dr + 1 du 2 r dr dp ) b 2Rθ (cosh ϕ 1) dn b dz dz + 2Rθn b sinh ϕ d ψ b dz = 0. (4.26) Le terme de pression est caractéristique d un écoulement de Poiseuille. Le terme suivant, où le gradient du potentiel chimique apparaît, correspond à la contribution osmotique de l écoulement. Le dernier terme qui implique le gradient du potentiel électrique est la part électro-osmotique de l écoulement. Vitesse de Poiseuille Puisque le problème est linéaire, la vitesse peut être décomposée en trois termes qui correspondent aux trois effets mentionnés précédemment : u = u P + u C + u E, (4.27) où u P désigne la vitesse associée à l écoulement de Poiseuille, u C désigne la vitesse associée aux phénomènes d osmose et u E la vitesse associée aux phénomènes d électro-osmose. La vitesse de Poiseuille u P est solution, à chaque échelle, de l équation suivante : dp ( b d 2 dz + µ u P f dr + 1 ) du P = 0. (4.28) 2 r dr Les conditions aux limites sont des conditions de non-glissement à la paroi. Pour chaque échelle, la vitesse de Poiseuille peut être moyennée sur la section transverse correspondante S pour donner : < u P >= 1 S S u P ds = K P dp b dz, (4.29) où K P = κ P /µ f représente la perméabilité de Poiseuille (κ P étant la perméabilité intrinsèque de Poiseuille). Cette perméabilité de Poiseuille est un paramètre dépendant exclusivement de la géométrie des pores et de la viscosité du fluide. Pour la géométrie annulaire à l échelle mésoscopique, les conditions de non-glissement sont u P (R M ) = 0 et u P (R C ) = 0, où R C et R M désignent le rayon du canalicule et du tentacule de l ostéocyte ( osteocyte process ) respectivement. La vitesse de Poiseuille u P est calculée par : u P (r) = r 2 ln( R M R C ) + R 2 Mln( R C r ) + R2 Cln( r 4µ f ln( R C R M ) R M ) dp b dz, (4.30)

4.6. Solution du problème posé 77 En utilisant la relation (4.29) avec S = π(r 2 C R2 M ), la perméabilité de Poiseuille K P dans les pores lacuno-canaliculaires est évaluée et s écrit : K P = 1 8 Vitesse électro-osmotique RC 2 (ln( R C ) 1) + R R M(ln( 2 R C ) + 1) M R M µ f ln( R C R M ) Utilisant la linéarité du problème, la vitesse électro-osmotique u E l équation : 2Rθn b sinh ϕ d ψ ( b d 2 dz + µ u E f dr 2 + 1 r, (4.31) est solution de ) du E = 0. (4.32) dr L équation de Poisson-Boltzmann (4.19) permet de remplacer le terme en sinus hyperbolique par l opérateur laplacien appliqué au potentiel électrique de double couche pour transformer cette équation en : g(r). d 2 g dr + 1 dg 2 r dr = 0, avec g(r) = 2Rθn bl 2 d ψ b D dz ϕ(r) + µ fu E (r). (4.33) Cette équation est résolue pour obtenir une expression analytique pour la fonction De la même manière que pour la vitesse de Poiseuille, la vitesse électro-osmotique à chaque échelle est moyennée sur la section droite correspondante, donnant l expression de la perméabilité électro-osmotique K E pour chaque niveau de porosité : < u E >= 1 d u E ds = K ψ b E S dz. (4.34) S Ce terme dépend de la géométrie des pores, des conditions aux limites pour le potentiel électrique et de la longueur de Debye. La perméabilité électro-osmotique K E quantifie la part électro-osmotique de l écoulement du fluide et est exprimé par : Rθn b L 2 D µ f ln( R M RC )(RM 2 R2 C )(I 0( R C )K L 0 ( R M D LD ) I 0 ( R M LD )K 0 ( R C )) L D K E = [ ϕ(r C )RC 2 ((1 + 2 ln( R M RC ))I 0 ( R C L D )K 0 ( R M LD ) + ( 1 + 2 ln( R C R M ))I 0 ( R M LD )K 0 ( R C L D )) + ϕ(r M )RM 2 ((1 + 2 ln( R C R M ))I 0 ( R C L D )K 0 ( R M LD ) + ( 1 + 2 ln( R M RC ))I 0 ( R M LD )K 0 ( R C L D )) + ϕ(r C )RM 2 ( I 0( R C L D )K 0 ( R M LD ) + I 0 ( R M LD )K 0 ( R C L D )) + ϕ(r M )RC 2 ( I 0( R C L D )K 0 ( R M LD ) + I 0 ( R M LD )K 0 ( R C L D )) +4 ϕ(r C )R C L D (I 1 ( R C L D )K 0 ( R M LD ) ln( R C R M ) + I 0 ( R M LD )K 1 ( R C L D ) ln( R C R M )) +4 ϕ(r M )R M L D (I 1 ( R M LD )K 0 ( R C L D ) ln( R C R M ) + I 0 ( R C L D )K 1 ( R M LD ) ln( R C R M )) +4 ϕ(r C )R M L D (I 1 ( R M LD )K 0 ( R M LD ) ln( R M RC ) + I 0 ( R M LD )K 1 ( R M LD ) ln( R M RC )) ] +4 ϕ(r M )R C L D (I 1 ( R C L D )K 0 ( R C L D ) ln( R M RC ) + I 0 ( R C L D )K 1 ( R C L D ) ln( R M RC )). (4.35)

78 Un modèle couplé d écoulement pour le fluide interstitiel Vitesse osmotique L écoulement dû aux phénomènes osmotiques est décrit par l équation : 2Rθ(cosh ϕ 1) dn ( b d 2 dz + µ u C f dr 2 + 1 r ) du C = 0. (4.36) dr Le potentiel électrique de double couche étant calculé par l approximation de Debye- Huckel, on résoud numériquement cette équation pour évaluer la vitesse osmotique u C. La vitesse osmotique u C est alors moyennée à chaque échelle pour introduire la perméabilité osmotique K C : < u C >= 1 S S u C ds = K C dn b dz. (4.37) Nouvelle loi de Darcy Les équations de l écoulement correspondante à chaque contribution physique peuvent être résolues en parallèle. L écoulement moyen dans les canalicules, à l échelle mésoscopique, ou dans les micropores, à l échelle microscopique, peut ainsi être décrit par un loi de Darcy modifiée qui s écrit : dp b < u >=< u P > + < u E > + < u C >= K P dz K d ψ b E dz K dn b C dz. (4.38) Les perméabilités à chaque échelle doivent être estimées pour évaluer la contribution sur l écoulement du fluide de chacun des effets hydraulique, électro-osmotique et osmotique. 4.6.4 Échelle microscopique Les mêmes équations sont résolues pour les pores de la matrice de collagène et d hydroxyapatite, qui sont modélisés comme des capillaires. À cette échelle microscopique, l absence de solution analytique pour le potentiel électrique de double couche empêche l obtention d une solution analytique pour la perméabilité électro-osmotique. La perméabilité électro-osmotique à l échelle microscopique est donc obtenue par des calculs numériques. La méthode des volumes finis a été utilisée pour évaluer le potentiel électrique de double couche puisque l approximation de Debye-Hueckel n est pas valable à cette échelle. Les différentes contributions pour la vitesse peuvent être déduites de ce calcul, des conditions aux limites à la paroi du pore cylindrique (u(r m ) = 0) et de la condition d axisymétrie. Cette démarche est détaillée dans l article de Lemaire et al. [94].

4.7. Résultats et discussion 79 4.7 Résultats et discussion Une loi de Darcy modifiée (4.38) a été proposée pour décrire l écoulement du fluide à l échelle des canalicules (ou échelle mésoscopique). Une telle approche peut être étendue à l échelle des micropores (ou échelle microscopique). La forme donnée à la loi de Darcy permet de comparer, à chaque échelle, le rôle des trois effets identifiés qui génèrent l écoulement du fluide : les gradients hydraulique, électro-osmotique et osmotique. Pour tous les résultats présentés, la concentration de la solution virtuelle de bulk est constante et vaut 0.01 mol/l. L électrolyte est caractérisé par sa permittivité relative ε = 75.34 et sa viscosité µ f = 0.65 cpo (µ f = 0.65 10 3 Pl). La loi de Darcy modifiée (4.38) est utilisée pour déterminer la contribution des termes de Poiseuille, d électro-osmose et d osmose sur l écoulement à l échelle mésoscopique. Quelques remarques sur les phénomènes couplés à l échelle microscopique sont proposées en fin de chapitre. 4.7.1 Échelle mésoscopique : écoulement du fluide dans les canalicules L écoulement de l électrolyte dans les canalicules est analysé dans cette section. Pour obtenir la description qualitative de cet écoulement, des valeurs doivent être données pour les gradients de pression hydraulique, du potentiel électrique de courant et de la concentration du bulk. Les ordres de grandeur de ces données ainsi que leurs variations doivent être adaptées à l échelle considérée. L échelle de l écoulement est celle correspondant au rayon de l ostéon soit environ 160 µm [120]. Le gradient hydraulique qui apparaît dans la loi de Darcy modifiée (4.38) de ce modèle est le gradient de pression de bulk virtuel. Dans la littérature, les gradients proposés sont des gradients de pression hydraulique. Il est donc nécessaire de vérifier que la pression osmotique de Donnan π introduit par l équation (4.13) peut en première approximation être négligée. Pour les concentrations ioniques physiologiques (de 0.01 à 0.5 mol/l), la pression osmotique est de l ordre de π 0.1 bar (10 4 Pa). Cette pression osmotique peut donc être négligée si la pression hydraulique est plus importante que 10 3 Pa. Dans la littérature, les estimations de la pression sont généralement liées à la modélisation d un é- coulement [157, 160, 168, 170, 171]. Dans le chapitre 5, les résultats obtenus avec le modèle poroélastique de l ostéon ont montré que la pression du fluide dépend du chargement mécanique appliqué et de la fréquence de ce dernier. Les travaux de Gururaja et al. [66] vont dans le même sens. Le modèle développé par Wang et al. [157] utilise comme paramètre une pression de l ordre de 0.1 bar (10 4 Pa) (qui correspond environ à la pression

80 Un modèle couplé d écoulement pour le fluide interstitiel sanguine). Piekarski and Munro [120] ont eux identifiés les variations de pressions de l ordre du bar ce qui est plus faible que les valeurs de l ordre de plusieurs bars obtenues par Zhang et al. [171]. Les valeurs de pression ne sont donc connues que par leur ordre de grandeur, mais négliger la pression osmotique reste une hypothèse acceptable. Les variations des potentiels électriques associés à l écoulement du fluide sont estimées à partir des mesures expérimentales de Starkebaum et al. [141]: δ ψ b = (F/Rθ)δψ b = (F/Rθ) 0.002 V, où δ représente la variation de la quantité prise en compte. Les variations des concentrations ioniques sont de 0.01 mol/l. Les équations (4.29), (4.34) et (4.37) donnent les ordres de grandeur de la vitesse de Poiseuille ( < u P > = K P (δp b /δz)), de l effet électro-osmotique ( < u E > = K E (δ ψ b /δz)) et de l effet osmotique ( < u C > = K C (δn b /δz)). Influence de la géométrie L influence des paramètres décrivant la géométrie est étudiée dans le cas d un potentiel électrique constant de 3.55 mv (Berreta et Pollack [20]). La pression de bulk est identique à celle du modèle de Wang et al. [157] 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 Poiseuille Electro osmose Osmose 0 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 R / R C M Fig. 4.7: Variations de < u i > / < u > en fonction de R C /R M, où < u i > désigne successivement < u P > (ligne continue), < u E > (...) ou < u C > ( ). La figure 4.7 donne pour un rayon fixé du tentacule de l ostéocyte (R M = 55 nm) l évolution de chacun des effets de Poiseuille, d électro-osmose et d osmose sur la vitesse d écoulement du fluide lorsque le rapport R C = R C /R M augmente (ce qui correspond à

4.7. Résultats et discussion 81 une augmentation du rayon du canalicule R C ). L effet osmotique est négligeable et l effet électro-osmotique reste de l ordre de quelques pourcents pour un faible espace entre le tentacule de l ostéocyte et la paroi du canalicule. Ce dernier effet électro-osmotique devient négligeable dès que R C = R C /R M atteint 1.5. Pour expliquer cette tendance, il est nécessaire de se souvenir de l approximation de Debye-Hueckel introduite dans les calculs. Le terme osmotique apparaît en cosinus hyperbolique dans l équation (4.36). Son développement limité fait donc apparaître un terme d ordre deux. Le terme électro-osmotique, lui, apparaît comme un sinus hyperbolique et son développement limité fait apparaître un terme du premier ordre. Il n est donc pas surprenant que l effet osmotique soit faible en comparaison de l effet électro-osmotique. À cette échelle mésoscopique, l influence sur l écoulement du fluide interstitiel de l effet osmotique peut donc être négligé alors que l effet électro-osmotique peut avoir une influence à prendre en compte. La figure 4.7 montre toutefois que pour la géométrie et les valeurs considérées, l effet de Poiseuille est quasiment le seul effet qui influence l écoulement du fluide significativement. La perméabilité de Poiseuille ne dépend que de la géométrie. La taille observée des canalicules [167] est suffisamment grande pour que l effet hydraulique soit le seul significatif. La figure 4.8 montre que cette tendance de prédominance de l effet de Poiseuille est confirmée lorsque le potentiel électrique varie ( 3.55 mv et 20 mv) et que l osmose est négligée. Deux cas sont étudiés pour une dimension du tentacule de l ostéocyte fixée (R M = 50 nm): i) R C = 1.5; et ii) R C = 2.5. Le deuxième cas correspond à la taille des canalicules observées par You et al. [167]. Les courbes de la figure 4.8 montrent que l électro-osmose reste faible lorsque R C devient plus important. L effet électro-osmotique augmente avec le potentiel électrique et lorsque le gradient hydraulique diminue. Néanmoins, cet effet électro-osmotique reste faible pour toutes les valeurs de gradients de pression considérées. Ces résultats montrent qu à l échelle mésoscopique, l effet de Poiseuille est le phénomène moteur le plus important pour générer l écoulement du fluide dans les canalicules. La loi de Darcy classique s avère alors suffisante pour décrire cet écoulement. Influence des microfibres dans l espace du canalicule L influence de la présence de fibres sur la proportion relative des différents effets induisant l écoulement du fluide interstitiel est étudiée pour un maillage de fibres dans l espace entre le tentacule de l ostéocyte et la paroi du canalicule. Ces microfibres ont été introduites dans un modèle de la porosité lacuno-canaliculaire par Cowin et al. [49] puis observés expérimentalement par You et al. [167].

82 Un modèle couplé d écoulement pour le fluide interstitiel Fig. 4.8: Part de la vitesse électro-osmotique pour deux configurations géométriques en fonction du gradient de pression p b : i) R C = 1.5, potentiel électrique de 3.55 mv (ligne fine), et 20 mv ( ); ii) R C = 2.5, potentiel électrique de 3.55 mv (ligne épaisse) et 20 mv (.). L organisation géométrique des fibres est décrite par deux paramètres : leur rayon R F (0.6 nm selon Cowin et al. [49] et 3.65 nm selon You et al. [167]) et la distance entre les fibres d F (7 nm selon Cowin et al. [49]). En utilisant un modèle d écoulement dans un milieu fibré peu dense introduit par Tsay et Weinbaum [146], Weinbaum et al. [160], Cowin et al. [49] obtiennent des valeurs inférieures pour la perméabilité de Poiseuille à l échelle des canalicules. Une des conséquences possibles est que la proportion des effets électro-osmotiques et hydrauliques soit différente lorsque la présence des fibres est prise en compte. Pour étudier l influence de la présence des fibres, la vitesse moyennée de l écoulement en présence de fibres < u P (fibres) > lié aux gradients hydrauliques est calculée pour les valeurs de perméabilité obtenues par Cowin et al. [49]. Le rapport entre la vitesse moyenne d écoulement en présence de fibres et en l absence de fibres est tracée en fonction du rayon du canalicule (rayon normalisé par la valeur du rayon extérieur du canalicule R C ). Ce rapport est tracé pour deux valeurs du rayon R M du tentacule de l ostéocyte. L introduction des microfibres a pour conséquence un écoulement de Poiseuille plus

4.7. Résultats et discussion 83 Fig. 4.9: Rapport entre les vitesses d écoulement de Poiseuille en présence et en l absence de fibres : cas selon [49] (R F = 0.6 nm et d F = 7 nm) pour R M = 30 nm ( ) et R M = 60 nm (ligne épaisse). faible. En utilisant le maillage imaginé par Cowin et al. [49], la diminution est bien plus grande pour les larges valeurs de R C. Mais la différence induite sur la valeur de perméabilité de Poiseuille n est pas suffisamment significative pour bouleverser les résultats obtenus sur les effets multiphysiques en l absence de fibres. L influence des microfibres est surtout importante pour les larges valeurs de R C. Or ce cas est le plus défavorable pour les effets électro-osmotiques. En effet, les effets électroosmotiques sont plus importants lorsque R C est faible. La présence de fibres n induit donc pas une variation significative de la proportion relative des effets physiques induisant l écoulement du fluide interstitiel dans les canalicules. 4.7.2 Échelle microscopique : écoulement du fluide dans la matrice de collagène et d hydroxyapatite Si les phénomènes couplés ne sont pas significatifs à l échelle mésoscopique, cette tendance n est pas vérifiée à l échelle microscopique. Les phénomènes osmotiques et électroosmotiques ne peuvent plus être négligés à cette échelle. La figure 4.10 est tracée pour une valeur importante du potentiel électrique ( 20 mv) et des variations du gradient hydraulique correspondant à la pression sanguine. Les contributions de l osmose et de l électro-osmose à cette échelle ne sont plus négligeables. Cette tendance est d autant plus

84 Un modèle couplé d écoulement pour le fluide interstitiel marquée que les rayons des pores de la matrice de collagène et d hydroxyapatite sont faibles. Fig. 4.10: Comparaison entre les effets de Poiseuille (blanc), électro-osmotique (gris) et osmotique (noir) pour une valeur forte du potentiel électrique ( 20 mv) et des variations de la pression de 0.08 bar (8 10 3 Pa). Sur la figure 4.10, le rôle du potentiel électrique est mis en avant. Pour un potentiel électrique plus important, les effets électro-osmotique et osmotique ne sont plus négligeables et la prise en compte de leur influence sur l écoulement peut permettre une description plus fine du mouvement du fluide interstitiel. Ces résultats indiquent que les effets couplés ne peuvent pas être négligés à l échelle microscopique alors qu ils sont très faibles à l échelle mésoscopique. Plus les pores sont petits et plus le potentiel électrique à la paroi est important, plus il est nécessaire d inclure les effets électro-osmotiques et osmotiques dans la modélisation de l écoulement du fluide interstitiel à l échelle microscopique. 4.7.3 Perspectives Ce travail montre que le rôle des phénomènes électro-chimiques peut devenir important à l échelle microscopique mais reste négligeable à l échelle mésoscopique. Á l échelle mésoscopique on peut donc tenir compte uniquement des effets hydrauliques pour décrire l écoulement du fluide dans le réseau lacuno-canaliculaire.

4.8. Conclusion 85 L écoulement du fluide peut aussi dépendre d autres facteurs tels que l âge, les sécrétions hormonales ou l exercice physique. Par exemple, les variations avec l âge peuvent être pris en compte par des modifications de la microstructure, la minéralisation du tissu osseux et les dimensions des pores. Les variations biochimiques ne sont pas introduites dans cette modélisation mais peuvent être introduites au travers de conditions aux limites et l introduction termes sources correspondant à de possibles échanges entre les niveaux de porosité. Le modèle de fluide interstitiel développé dans le chapitre 3 peut permettre d inclure ces phénomènes. De la même manière, le rôle du canal haversien et son influence sur la circulation du fluide interstitiel dans les canalicules peuvent être intégrés par le biais des conditions aux limites. Les échanges de masses entre les niveaux de porosité pourraient améliorer cette modélisation puisqu ils permettraient de coupler les différentes échelles introduites ici. L introduction des influences des systèmes neuronaux tels que les gaps junctions, des échanges hormonaux au niveau des cellules et du métabolisme seraient des prolongements logiques pour améliorer la description de l écoulement du fluide dans le tissu osseux. 4.8 Conclusion Un modèle de l écoulement du fluide interstitiel à deux niveaux de porosité de l os a été proposé dans le cadre de ce travail. L approche multi-échelle et l introduction des phénomènes hydraulique, électrique et osmotique a permis d analyser les différents couplages à l origine de l écoulement du fluide. Ce modèle utilise une géométrie cylindrique pour les deux échelles considérées. Un changement de variables est introduit par identification à une solution virtuelle équivalente. Ce changement de variable permet de réécrire les équations et de moyenner spatialement les solutions pour faire apparaître les perméabilités associées à chaque phénomène. À l échelle mésoscopique, l écoulement du fluide est quantitativement essentiellement dû au gradient hydraulique, même lorsque la modélisation inclut des fibres pour modéliser les structures attachant les tentacules de l ostéocyte présents dans les canalicules. La loi de Darcy classique est donc suffisante à ce niveau de porosité pour décrire l écoulement moyen du fluide dans les canalicules. Néanmoins cette loi devient moins précise lorsqu on descend d échelle pour étudier l écoulement dans les micropores. À de tels niveaux de pores, l expression des couplages électro-chimiques n est plus négligeable. La conclusion principale est qu à l échelle mésoscopique, les effets hydrauliques sont les seuls effets significatifs dans l écoulement du fluide interstitiel dans le réseau lacunocanaliculaire. Les phénomènes liés aux gradients de pression hydraulique sont donc les seuls pris en compte pour étudier le lien entre chargement mécanique de l ostéon et écou-

86 Un modèle couplé d écoulement pour le fluide interstitiel lement du fluide interstitiel. Un modèle poroélastique de l ostéon est développé dans le chapitre suivant pour étudier le lien entre chargement mécanique et écoulement du fluide interstitiel ainsi que l influence des variations de la perméabilité.

Chapitre 5 Modèle poroélastique de l ostéon Résumé : L écoulement du fluide interstitiel dans le réseau lacuno-canaliculaire de l ostéon est impliqué dans la mécanotransduction du remodelage osseux. Un modèle poroélastique de l ostéon est développé pour étudier cet écoulement. Les équations décrivant ce modèle sont résolues par une méthode analytique puis par la méthode des éléments finis pour des cas où la résolution analytique est hors de portée. La méthode des éléments finis permet de résoudre les équations du modèle poroélastique pour des propriétés hétérogènes du matériau constitutif de l ostéon. Les résultats sur l écoulement du fluide interstitiel sont présentés. Ils sont ensuite discutés pour leur implication sur le remodelage osseux. L étude sur la perméabilité permet de montrer que c est le paramètre prépondérant pour la description de l écoulement. 5.1 Introduction La modélisation du comportement mécanique de l ostéon permet de mieux comprendre l écoulement du fluide interstitiel dans le réseau lacuno-canaliculaire. Cet écoulement joue un rôle dans la mécanotransduction du remodelage osseux. Or, ce dernier dépend aussi du chargement mécanique du tissu osseux [89]. Dans le modèle poroélastique de l ostéon présenté dans ce chapitre, la déformation de la matrice osseuse induite par le chargement mécanique de l os est couplée à l écoulement du fluide interstitiel. Dans la section 5.2, la théorie de la poroélasticité est brièvement introduite. Quelques modèles existants de l ostéon présentés dans la littérature sont décrits dans la section 5.3. Leurs principales limitations, telles que la non prise en compte de l isotropie transverse ou de l hétérogénéité des propriétés poroélastiques de la matrice osseuse, sont dépassées dans le modèle présenté ici. Les équations de la poroélasticité utilisées pour développer le modèle sont alors données dans la section 5.4 en partant de la théorie des mélanges introduite dans le chapitre 2. La modélisation du comportement de l ostéon et la description des caractéristiques du modèle sont données dans la section 5.5. Les méthodes de résolution, une méthode analytique pour le cas homogène et la méthode des éléments finis dans un cadre plus général, sont

88 Modèle poroélastique de l ostéon détaillées dans la section 5.6. Les résultats de simulation du comportement poromécanique de l ostéon sont présentés dans la section 5.7 et discutés dans les sections 5.8 et 5.9. 5.2 Théorie de la poroélasticité La poroélasticité est une théorie de mécanique des milieux continus introduite par Biot dès les années 40 [21, 22]. Elle permet de décrire le comportement mécanique d un milieu poreux constitué d un matrice solide élastique et d un fluide saturant les pores. Cette théorie peut être obtenue : (i) à partir de considérations empiriques comme Biot l a introduite [21], (ii) par une méthode de changement d échelle [10], (iii) par la théorie des mélanges [26, 27, 40]. La théorie de la poroélasticité s appuie sur des observations anciennes effectuées par Darcy. Ces observations portent sur l écoulement du fluide dans des milieux poreux tels que les sols. Elle permet de décrire le comportement des milieux poreux déformables saturés, i.e. dont les pores sont remplis de fluide. Des exemples de ce type de milieux sont les sols [102, 145] ou les tissus biologiques tels que le cartilage ou l os [43, 87]. La première démarche théorique envisageable est de décrire au niveau microscopique les constituants, fluide et solide, modélisés séparément et d introduire un terme représentant l interaction entre ces phases. La méthode de changement d échelle permet d obtenir un modèle macroscopique du comportement du matériau poreux à l échelle du matériau à partir de considérations microscopiques à l échelle du pore. Un telle démarche est appliquée à l os cortical, dans la section 4.5, pour obtenir une valeur de la perméabilité par une technique particulière de changement d échelle, l homogénéisation périodique. La perméabilité est le paramètre macroscopique caractérisant l écoulement du fluide dans les pores. Une autre technique permettant d obtenir un modèle de comportement poroélastique peut être développée à partir de la théorie des mélanges. Cette approche revient à raisonner sur un volume élémentaire représentatif formé par les volumes partiels de chaque constituant du milieu (typiquement une phase solide et une phase fluide). Il s agit alors de décrire le comportement du mélange de ces constituants pour lesquels il est nécessaire de préciser les lois de comportement et le terme d interaction (formulé à priori). Ces lois de comportement et la définition du terme d interaction permettent d obtenir un modèle de comportement poroélastique. Les développements de la théorie des mélanges ont été brièvement décrits dans la section 2.3. Des hypothèses simplificatrices sont ensuite introduites pour obtenir les équations décrivant le comportement poroélastique du matériau. Cette théorie a été utilisée pour modéliser l écoulement du fluide interstitiel dans le réseau lacuno-canaliculaire de l ostéon. Les équations de la poroélasticité sont données en

5.3. Modèles de l ostéon : état de l art 89 lien avec la théorie des mélanges dans la section 5.4. 5.3 Modèles de l ostéon : état de l art 5.3.1 Premier modèle de l ostéon Le premier modèle de l ostéon incluant le rôle et le comportement du fluide date de la fin des années 70 [120]. L ostéon est modélisé par un assemblage de cylindres de section droite circulaire concentriques séparés par des couches de fluide. La circulation du fluide est associée aux gradients de pression entre les cylindres. Chaque cylindre est supposé se déformer et donc induire une variation du volume de fluide contenu entre ces cylindres. La déformation des cylindres est une conséquence de la déformation du tissu osseux. La variation du volume a pour conséquence une variation de la pression du fluide. La différence de pression entre deux espaces inter cylindres conduit à un écoulement du fluide des zone de plus haute pression aux zones de basse pression. Ce premier modèle physique a inspiré le développement de modèles liant la déformation mécanique du tissu osseux poreux et la circulation du fluide interstitiel. Ces modélisations du comportement mécanique de l ostéon sont détaillées dans les sections suivantes. Elles établissent un lien entre l écoulement du fluide et le mécanique en s appuyant sur la théorie de la poroélasticité développée par Biot [21, 22]. De tels modèles prennent en compte l interaction entre le fluide interstitiel et la matrice osseuse poreuse. Ils donnent un lien physique entre la déformation du solide et les gradients de pression lesquels sont à l origine de l écoulement du fluide interstitiel. 5.3.2 La question des potentiels d écoulement L écoulement du fluide interstitiel ne peut pas être observé expérimentalement de manière directe à l heure actuelle. Des méthodes indirectes permettent néanmoins d obtenir des informations sur la nature et les caractéristiques de cet écoulement. Une des observations expérimentales faites sur le tissu osseux cortical est l apparition de potentiels électriques lorsque ce tissu est sollicité mécaniquement [132, 141]. Le rôle des potentiels électriques est encore mal compris mais ils sont supposés être liés aux signaux de mécanotransduction du remodelage osseux [45]. On a tout d abord pensé qu ils étaient associés à la piézo-électricité [164]. Mais le rôle de l écoulement du fluide est maintenant supposé être à l origine de ces potentiels [78, 133, 168]. Des modèles de l ostéon ont donc été développés pour établir le lien entre l écoulement du fluide et les potentiels électriques observés. Les potentiels électriques dit d écoulement ( streaming potentials ) ont été observés lors d expériences de flexion sur des os entiers. La forme de ces potentiels électriques

90 Modèle poroélastique de l ostéon est caractérisée par un seuil au niveau du canal haversien de l ostéon et un changement de direction le long du rayon de l ostéon lié à la flexion du tissu osseux [168]. De nombreux auteurs ont construit des modèles afin d expliquer les phénomènes physiques à l origine des potentiels électriques [78, 133, 168]. Le point de départ est de considérer que les ions sont transportés par le fluide interstitiel. Le transport advectif de ces ions présents dans le fluide crée les variations spatiales du potentiel électrique. Une des questions principales est alors de déterminer le niveau de porosité dans lequel le fluide s écoule qui est à l origine des potentiels électriques. Sans prétendre à l exhaustivité, un certain nombre de réponses données par différents auteurs sont présentées ainsi que leurs limitations. Johnson et al. [78] ont développé un modèle physique en utilisant la description d un matériau poroélastique introduite par Biot [21,22]. Ils obtiennent une estimation du temps caractéristique de diffusion du fluide interstitiel. Ils argumentent alors qu au vu des dimensions des niveaux de porosité de l os, les lacunes et les canalicules sont probablement les pores où les phénomènes électro-mécaniques ont lieu. Ils discutent la pertinence de l utilisation de la loi de Darcy dans les canalicules et dans les canaux haversiens. En effet, ceux-ci étant considérés comme dépourvus de tous débris, l écoulement pourrait ne plus être laminaire et les termes inertiels ne plus être négligeables. Néanmoins, dans le tissu osseux in vivo, la présence dans le réseau lacuno-canaliculaire des cellules et des tentacules des ostéocytes a été observée [167]. Cela freine significativement l écoulement et permet d utiliser la loi de Darcy. De plus, la résolution des équations du problème poroélastique est effectuée dans le cas d une matrice isotrope alors qu une propriété d isotropie transverse de l ostéon serait plus réaliste. De plus, le fluide est considéré comme incompressible alors que les compressibilités du fluide et de la matrice osseuse poreuse devraient être prises en compte [43]. Petrov et al. [118] ont construit un modèle de l écoulement du fluide dans l ostéon et ne résolvent pas les équations de la poroélasticité par la méthode des éléments finis. À l aide d hypothèses simplificatrices, ils montrent que le potentiel électrique est lié à l écoulement du fluide. Ces hypothèses sont les hypothèses de symétrie d Onsager et surtout celle de flux nul. Cette dernière n est pas nécessaire et le modèle de Lemaire et al. [94] montre que celle-ci peut être évitée dans une modélisation incluant les phénomènes multiphysiques. Le modèle de Petrov et al. [118] est proposé pour étudier l influence de concentrations de contraintes au niveau du canal haversien de l ostéon. Les résultats montrent que les potentiels électriques sont liés aux zones de contraintes maximales. Cela est une conséquence directe de l hypothèse de débit de charges nulles laquelle donne alors une relation de proportionnalité entre le potentiel électrique et la pression. La pression du fluide interstitiel est liée aux déformations de la matrice osseuse poreuse élastique, lesquelles sont une

5.3. Modèles de l ostéon : état de l art 91 conséquence directe de l état local de contraintes. Dans le cadre d un modèle du tissu à plusieurs échelles, Cowin et al. [46, 160] essaient de déterminer le lieu où les potentiels électriques induit par la circulation du fluide apparaissent. Deux hypothèses sont avancées quant au niveau de porosité origine de ce phénomène électrique. La première est que l écoulement du fluide à prendre en compte a lieu dans les pores de la matrice d hydroxyapatite dont les dimensions sont de l ordre de 5 à 12.5 nanomètres. La seconde hypothèse stipule que l écoulement de fluide a lieu dans les lacunes et les canalicules d un diamètre de l ordre 250 nanomètres. Cette hypothèse est testée à l aide du modèle développé par Cowin et al. [46]. À ce niveau de porosité, il est nécessaire d inclure la présence des fibres dans les canalicules lesquelles influencent l écoulement. Les effets électromécaniques sont alors beaucoup plus importants. Cette modélisation est comparée à celle de Salzstein et al. [132]. La valeur du potentiel électrique varie en fonction des mesures et la détermination du niveau de porosité pertinent reste difficile à évaluer. L hétérogénéité des propriétés du tissu osseux est discutée mais n est pas incluse dans la modélisation poroélastique. Les modèles présentés dans cette section s intéressent aux potentiels électriques comme un indicateur de l écoulement du fluide interstitiel dû aux gradients de pression ; les effets moteurs de l électro-osmose n étant pas pris en compte. Parallèlement, un effort a donc été fourni pour mieux comprendre le rôle des variations spatiales et temporelles de la pression vis-à-vis de l écoulement du fluide. Les principaux modèles sont présentés dans la section suivante. 5.3.3 Variations de la pression L écoulement du fluide est donc un des éléments clé de la modélisation du comportement mécanique de l ostéon. Le flux hydraulique est une réponse directe à un gradient de pression du fluide. Il est donc intéressant d estimer la distribution de pression du fluide interstitiel dans l os pour décrire son écoulement. Le modèle de Kufahl et al. [86] diffère des précédents modèles poroélastiques. Il considère le tissu osseux comme un matériau élastique dans lequel sont présentes des inclusions sphériques connectées entre elles par de minces canaux. La déformation de la matrice induit une variation de volume des inclusions sphériques et ainsi un gradient de pression entre les inclusions sphériques. L influence du gradient de pression sur la déformation de la matrice poreuse n est pas pris en compte. Ce gradient de pression résulte en un écoulement du fluide présent dans les canaux. La circulation du fluide est donc indirectement liée à la déformation de la matrice osseuse. Le couplage inverse reste néanmoins faible et peut être négligé dans une première approximation [130]. Leurs résultats semblent montrer qu il

92 Modèle poroélastique de l ostéon existe un diamètre optimale pour les canalicules. Ils ne prennent néanmoins pas en compte les obstacles présents dans les canalicules lesquels peuvent modifier l écoulement entre les lacunes. La perméabilité est donc surestimée. Un point important est qu ils considèrent un chargement cyclique puisqu un chargement statique n induirait pas de variation de volume. L influence de la fréquence n est pas étudiée. Le modèle poroélastique permet de prendre en compte les couplages entre les phénomènes de déformation de la matrice poreuse et la circulation du fluide interstitiel. La distribution de pression obtenue à partir d un modèle poroélastique de tissu osseux a été analysée par Zhang et Cowin [169]. Leur solution analytique pour une géométrie parallélépipèdique d un fragment de tissu osseux cortical permet d étudier l influence d une fuite à la paroi. La surface peut alors être considérée comme semi-imperméable. Les champs de pression dans les pores d une poutre de tissu osseux cortical et dans un ostéon modélisé par un cylindre creux ont été comparés [171]. Cette comparaison montre que le comportement du cylindre creux peut être approché par celui de la poutre lorsque la différence entre les rayons extérieur et intérieur est faible devant le rayon intérieur. Cette condition n est pas vérifiée pour l ostéon puisque son épaisseur est comprise entre 100µm et 200µm alors que le rayon du canal haversien est de l ordre de 50µm. La méthode des éléments finis a été utilisée pour résoudre les équations de la poroélasticité sur cette géométrie parallélépipèdique. Une application au cas du tissu osseux a été développée par Manfredini et al. [103]. Le problème est résolu en utilisant le logiciel Abaqus. Ils ont comparé leurs résultats au problème résolu de manière analytique par Zhang et Cowin [169] pour une géométrie parallélépipédique. La géométrie rectangulaire rend la transposition au modèle de l ostéon difficile. Ces résultats permettent néanmoins de montrer que la méthode des éléments finis est un outil puissant pour résoudre des problèmes pour lesquels la résolution analytique n est pas possible. 5.3.4 La modélisation fine des canalicules Les modèles de l ostéon à plusieurs échelles, ou liant plusieurs échelles ont été proposés dans la littérature. Le modèle de Weinbaum et al. [160] montre non seulement le lien entre le chargement du tissu osseux et l écoulement du fluide à l échelle de la porosité lacunocanaliculaire, mais aussi le lien possible avec les signaux de mécanotransduction. Il utilise la poroélasticité pour obtenir une approximation du champ de pression du fluide interstitiel. L équation de Brinkman est introduite pour calculer la perméabilité d un canalicule en tenant compte de la présence des fibres dans les canalicules. Ces différents niveaux de porosité ont été décrits dans la section 1.4. Les lacunes ne sont pas prises en compte dans la description de l écoulement du fluide interstitiel. C est un des premiers modèles qui

5.3. Modèles de l ostéon : état de l art 93 avance l argument que les cellules ne sont pas sensibles à la pression du fluide interstitiel mais aux faibles variations des contraintes de cisaillement induites par l écoulement du fluide. Les résultats du modèle en terme de temps de relaxation de l écoulement du fluide sont comparés aux mesures faites par Salzstein et al. [132] lors d essais de flexion à quatre points. Le même modèle est utilisé par Zeng et al. [168] pour évaluer la largeur entre les fibres au niveau du canalicule. La perméabilité de la matrice osseuse de l ostéon est estimée en fonction de la perméabilité d un canalicule. La perméabilité de ce canalicule est calculée à partir de la distance entre les fibres en utilisant le modèle de Tsay et Weinbaum [146]. L écart entre les fibres donne la valeur de la perméabilité au niveau d un canalicule. Les potentiels d écoulements sont calculés avec l hypothèse de flux nul. Le potentiel d écoulement est donc lié directement à l écoulement du fluide. Les résultats du modèle en terme d amplitude et de phase du potentiel électrique en fonction du chargement mécanique cyclique sont comparés aux résultats des expériences de flexion [132,141]. Une étude paramétrique permet de caler la distance inter fibres pour obtenir les potentiels électriques observés expérimentalement [141]. La perméabilité et la fréquence de chargement sont les paramètres les plus influents sur l écoulement du fluide dans le réseau lacuno-canaliculaire. 5.3.5 Modèle du tissu osseux cortical prenant en compte les ostéons Un modèle poroélastique du tissu cortical incluant un ostéon en formation dans le tissu osseux à travers la description de l unité de remodelage osseux a été introduit par Smit et al. [138]. Le modèle développé consiste à considérer un milieu poroélastique dans lequel une cavité remplie de fluide modélise l unité de remodelage osseux. Le principal résultat de cette étude est le fait que l écoulement du fluide autour du cône de découpe de l ostéon (qui est la zone où les ostéoblastes attaquent le tissu osseux existant) permettrait d expliquer l orientation et l avancement de celui-ci. Cela donne des indications sur le phénomène de remodelage osseux pour lequel on observe que les ostéons secondaires sont alignés avec les directions principales de contraintes [31, 138]. Quelques modèles multi-échelles de l os cortical ont été développés pour étudier l écoulement du fluide à travers les différents niveaux de porosité [101,142,144,156]. Par exemple, un modèle couplant poroélasticité et transport moléculaire a été proposé par Steck et al. [142]. Il est utilisé pour estimer le transport moléculaire des substances présentes dans le fluide interstitiel. Les auteurs se focalisent sur les conséquences pour l écoulement du fluide interstitiel à l échelle du tissu. Les approximations liées à l association entre

94 Modèle poroélastique de l ostéon poroélasticité et transport moléculaire ne sont pas discutées. Un modèle poroélastique de l ostéon est développé dans la suite en incluant l isotropie transverse pour la description de ses propriétés mécaniques ainsi que la possible hétérogénéité spatiale du matériau poroélastique. 5.4 Équations de la poroélasticité Les équations de la théorie des mélanges ont été introduites dans le chapitre 2. Cette théorie s appuie sur une modélisation à l échelle macroscopique des phases solides et fluide. Les termes d interaction entre les constituants du mélange sont introduits pour décrire l influence réciproque de chacune des phases sur les autres [25, 108]. L obtention des équations de la poroélasticité par la théorie des mélanges a été obtenue par différents auteurs [27, 39, 40, 96, 159]. Les développements qui suivent donnent les principales étapes de la démarche et surtout les hypothèses qui sous tendent les simplifications. 5.4.1 Variables indépendantes et lois de comportement Pour obtenir les équations de la poroélasticité à partir de la théorie des mélanges, les lois de comportement nécessaires à la description du comportement de chacune des phases fluide et solide sont détaillées. L influence des variations de température ne sera pas prise en compte donc la température θ n intervient pas dans les équations. Matrice poreuse solide Pour la phase solide, les déformations de la matrice poreuse sont introduites à partir de l utilisation du tenseur du gradient de transformation F s = GRAD(U s ) introduit par l équation 2.8 pour laquelle U s désigne le vecteur déplacement de la phase solide et GRAD l opérateur gradient relatif aux variables lagrangiennes. Pour décrire les déformations de la matrice poreuse, en particulier dans le cadre des petites perturbations, des tenseurs intermédiaires sont introduits. Le tenseur des dilations de Cauchy-Green C s est défini par : C s = F T s F s. (5.1) Le tenseur des déformations de Green-Lagrange E s est défini par : E s = 1 2 (C s I), (5.2) où I désigne le tenseur identité. En introduisant le tenseur gradient du déplacement H s = (F s I), le tenseur E s peut aussi s écrire : E s = 1 ( ) Hs + H T s + H T s H s. (5.3) 2

5.4. Équations de la poroélasticité 95 Pour décrire le modèle de comportement poroélastique, l hypothèse des petites perturbations est faite pour la matrice poreuse solide. Dans ce cas, les opérateurs par rapport aux variables lagrangiennes et eulériennes peuvent être confondus. On se place autour d un état d équilibre pour le mélange considéré. L écart avec cet état d équilibre est supposé suffisamment petit pour négliger les termes d ordre supérieur. Pour la phase solide, l état d équilibre est supposé être l état non déformé caractérisé par F s = I. Dans ce cas, le tenseur des déformations de Green-Lagrange E s peut être approché par le tenseur des déformations linéarisés ε [37] défini par : ε = 1 ( ) Hs + H T s, (5.4) 2 ce qui revient à négliger le terme du deuxième ordre H T s H s. Le tenseur ε est donc la variable indépendante choisie pour le solide. Fluide interstitiel La modélisation de la phase fluide à l échelle macroscopique nécessite d introduire sa masse volumique ρ f. De la même manière que pour la matrice poreuse solide, l hypothèse d un état proche d un état d équilibre conduit à des simplifications. Cet état d équilibre est caractérisé pour le fluide par ρ f = ρ 0 f où ρ0 f est la masse volumique de l état de référence. On introduit la quantité m laquelle est définie par Biot [23] : m = J s ρ f ρ 0 f, (5.5) où J s est le jacobien de la transformation F s (déterminant du tenseur F s ). La quantité m représente la variation de quantité de fluide lorsque le mélange se déforme. On introduit la quantité ξ définie par : ξ = m, (5.6) ρ 0 f qui représente la variation de volume de fluide lors d une variation de volume du mélange. 5.4.2 Lois de comportement Les lois de comportement pour décrire un matériau constitué par une matrice poreuse élastique déformable, saturée par un fluide interstitiel, sont alors obtenues en exploitant l inégalité d entropie dans le cas d une linéarisation autour d un état d équilibre [26,40]. Le comportement du matériau poroélastique peut être modélisé en considérant des relations linéaires entre le tenseur des contraintes σ et la pression p, le tenseur des déformations ε et la variation de volume de fluide ξ. Les coefficients apparaissant dans ces relations

96 Modèle poroélastique de l ostéon linéaires peuvent être mesurés dans les cas drainé ou non-drainé. Une discussion sur ce point figure dans l article de Loret et al. [97]. Les relations entre coefficients dans les cas drainés et non drainés y sont détaillés. La matrice et le fluide sont supposées compressibles. La loi de comportement pour le mélange est : σ = C ε α p, (5.7) où σ désigne le tenseur des contraintes totales. Le tenseur du quatrième ordre de rigidité C dépend des constantes élastiques drainées de la matrice solide. La pression du fluide interstitiel est notée p. Le tenseur du second ordre des coefficients de Biot est noté α. Il dépend de la compressibilité relative des phases solide et fluide du matériau poroélastique considéré. Dans le d une matrice solide isotrope, le tenseur α est isotrope, i.e. : α = α I. Le coefficient α peut alors être écrit [43, 127] : α = 1 K, (5.8) K s où K représente le module de compressibilité du mélange et K s le module de compressibilité du mélange drainé. Dans le cas où les phases sont supposées toutes les deux incompressibles, on obtient α = 1. Pour l os, la compressibilité de la matrice osseuse et du fluide interstitiel rendent nécessaire de la prendre en compte [43]. La loi de comportement pour le tenseur des contraintes du fluide interstitiel se réduit à un terme de pression : p = M (ξ tr (α ε)). (5.9) Le module de Biot est noté M. Ce coefficient lie la variation de pression à la variation du volume de fluide contenu dans les pores. En outre, tr désigne l opérateur trace. 5.4.3 Équations du mouvement Les équations du mouvement pour le milieu poroélastique s écrit (voir l équation (2.19) dans le chapitre 2) : div σ = 0, (5.10) où les forces de volume et d inertie sont négligées. Les équations s écrivent en utilisant la loi de comportement pour σ : div (Cε) α grad(p) = 0, (5.11) où grad désigne l opérateur gradient. Le tenseur α est supposé constant.

5.4. Équations de la poroélasticité 97 5.4.4 Loi de Darcy En ignorant les phénomènes de dissipation liés à la température, la dissipation pour le mélange s écrit sous la forme d un produit entre une force et un vecteur flux correspondant. En négligeant les effets liés aux forces volumiques et à l inertie, cette dissipation liée à la vitesse relative entre le fluide et le solide s écrit : w ρ f ( grad(p)) 0, (5.12) où le vecteur w représente le débit massique de fluide défini par : w = ρ f (v f v s ) = ρ f q, (5.13) où v f et v s désignent respectivement les vitesses des phases fluide et solide comme définies par l équation 2.3. La vitesse darcéenne est désignée par q. Supposer que la dissipation est faible autour d un état d équilibre permet d écrire un relation entre les vecteurs q et grad(p) : q = K grad(p), (5.14) où le tenseur de perméabilité K est introduit. Cette relation correspond à la loi de Darcy. Cette loi relie donc la vitesse moyenne d écoulement du fluide à travers le milieu poreux au gradient de pression. Elle est à l origine issue des travaux empiriques de Darcy. Le tenseur K désigne la perméabilité de la structure poreuse saturée de fluide interstitiel, laquelle dépend de la perméabilité intrinsèque k et de la viscosité dynamique du fluide interstitiel µ f. Dans le cas d une perméabilité isotrope, le tenseur de perméabilité s écrit sous la forme : K = k µ f I. (5.15) Le paramètre clé de la loi de Darcy est la perméabilité du milieu poreux. Ce paramètre permet d introduire l interaction entre le fluide et la matrice poreuse. Les calculs effectués dans la section 4.6.3 permettent d obtenir une estimation de cette valeur pour un modèle de la géométrie des pores du tissu osseux en tenant compte des phénomènes de couplage électrique, chimique et hydraulique. 5.4.5 Équation de conservation de la masse L équation de conservation de la masse de fluide est introduite pour être combinée à la loi de Darcy afin d obtenir une relation entre la pression et la quantité de fluide présente dans les pores. Les échanges chimiques entre les phases fluide et solide sont considérés comme négligeables. Les variations sont faibles autour d un état d équilibre (i.e. un état non déformé

98 Modèle poroélastique de l ostéon pour le solide et une masse volumique constante pour le fluide). L équation de conservation de la masse pour le fluide s écrit alors [127] : ξ t + div(q) = 0. (5.16) La loi de Darcy (5.14) est combinée avec la loi de conservation de la masse pour le fluide (5.16) et l équation (5.9) pour obtenir : 1 p M t + tr(α ε) div(k grad(p)) = 0. (5.17) t Cette combinaison permet de faire apparaître une équation où les inconnues sont la pression du fluide p et le tenseur des déformations de la phase solide ε. 5.4.6 Conditions aux limites et initiales Les conditions aux limites doivent être données d une part pour la phase solide en déplacements ou en contraintes, et d autre part, pour la phase fluide pour la pression ou son gradient, ce dernier étant lié à la vitesse moyenne d écoulement par la loi de Darcy (5.14). On considère, en outre, que le milieu poreux élastique est au repos pour t < 0. 5.4.7 Compressibilité Une des simplifications possibles de la modélisation poroélastique est de considérer que les phases sont toutes deux incompressibles. L incompressibilité de chacune des phases n implique pas nécessairement l incompressibilité du mélange [27]. L équation de comportement pour un fluide incompressible se simplifie alors en : ξ = tr (α ε). (5.18) Ainsi la variation de volume ξ de fluide est liée directement à la variation de volume du solide laquelle est obtenue via la trace du tenseur des déformations ε. Si la différence entre les compressibilités des phases est trop importante, celles-ci doivent être prises en compte. Pour l os, la compressibilité de la matrice solide (hydroxyapatite) est 6 fois plus grande que celle de l eau ce qui montre la nécessité de travailler avec des phases compressibles [43]. Cette compressibilité est prise en compte dans les équations de la poroélasticité à travers le module de Biot M et le tenseur des coefficients de Biot α. Lorsque l hypothèse d incompressibilité des phases est utilisée, l inverse du module de Biot est nul et le tenseur des coefficients de Biot se réduit au tenseur unité. Les modèles du cartilage sont généralement développés avec cette hypothèse [58, 105, 162, 163].

5.5. Modélisation poroélastique d un ostéon 99 5.5 Modélisation poroélastique d un ostéon Un modèle de l ostéon est développé en utilisant la théorie de la poroélasticité. Un seul niveau de porosité est considéré, celui de la porosité lacuno-canaliculaire. L ostéon est idéalisé pour sa géométrie par un cylindre creux infiniment long. La géométrie utilisée est donc axisymétrique. Le chargement mécanique et les conditions aux limites de ce modèle sont précisées. Les équations du modèle poroélastique sont résolues de manière analytique pour le régime quasi-statique avec des propriétés poroélastiques constantes. Les équations de ce problème sont ensuite résolues à l aide de la méthode des éléments finis pour introduire des variations spatiales de certains paramètres poroélastiques. 5.5.1 Géométrie L ostéon est supposé être entier et le modèle s applique donc au cas d un ostéon secondaire se formant dans le tissu osseux cortical [104]. Il est idéalisé par un cylindre creux dont le centre est occupé par un vaisseau sanguin et des tissus mous. Ses dimensions sont un rayon extérieur r o de l ordre 150µm à 250µm et un rayon intérieur r i d environ 50µm correspondant au rayon du canal haversien [44]. La hauteur de l ostéon peut aller jusqu à quelques millimètres [104]. Le faible rapport entre l épaisseur du cylindre creux (différence entre les rayons extérieur et intérieur) et la hauteur 150 = 0.15 permet de faire 1000 l hypothèse que les phénomènes radiaux ne sont pas influencés par l aspect longitudinal des phénomènes. 5.5.2 Isotropie transverse La géométrie cylindrique de l ostéon et sa structure naturelle de type lamellaire incitent à poser l hypothèse d isotropie transverse comme simplification de l orthotropie de ses propriétés élastiques. Ainsi nous considérons que les propriétés élastiques et la perméabilité présentent une symétrie isotrope transverse. Cela permet, de plus, de travailler avec un modèle axisymétrique. 5.5.3 Propriétés poroélastiques Les propriétés élastiques de la phase solide peuvent être évaluées par différentes méthodes expérimentales. Par exemple, les mesures ultrasonores utilisent la propagation des ondes à travers le tissu osseux pour obtenir ses propriétés poroélastiques [6, 34, 79]. La méthode de nano-indentation permet de mesurer les propriétés élastiques de la matrice osseuse au niveau du tissu osseux [7, 19, 70]

100 Modèle poroélastique de l ostéon La perméabilité est difficilement mesurable de manière directe vu les échelles des tissus mises en jeu. Des modèles mimétiques de la porosité lacuno-canaliculaire ont été développés pour pallier à ce problème [2]. Néanmoins la variabilité de la forme du réseau des canalicules autour d une lacune rend l évaluation de la valeur de la perméabilité difficile. En particulier, les variabilités spatiales et temporelles de la texture osseuse incitent à ne considérer les valeurs que comme des estimations. Ceci est d ailleurs aussi vrai pour les propriétés élastiques du tissu osseux [149, 172]. Les coefficients nécessaires pour la modélisation de l ostéon sont présentés. Les propriétés élastiques de la matrice osseuse dans le cas transverse isotrope peuvent être données à partir de 5 coefficients : les modules d Young E r et E z, les coefficients de Poisson ν r et ν z, et le module de cisaillement G. La matrice de compliance s écrit alors en fonction de ses coefficients [1]. Les valeurs des constantes poroélastiques de la matrice poreuse solide supposée transverse isotrope sont données dans le tableau 5.1. Le fluide interstitiel est un fluide complexe dont la composition et les propriétés varient temporellement et spatialement. Une modélisation fine a été proposée dans le chapitre 3. Dans une première approximation et dans le cadre de la poroélasticité, ce fluide interstitiel est assimilé à une solution saline. Ses caractéristiques sont données dans le tableau 5.1 Le tenseur des coefficients de Biot est supposé isotrope transverse et s écrit : α = α rr 0 0 0 α rr 0 0 0 α zz (5.19) 5.5.4 Quelques remarques sur la perméabilité La perméabilité du tissu osseux est un paramètre essentiel pour décrire l écoulement du fluide dans la matrice poreuse. L évaluation de la perméabilité a été faite à l aide de nombreux modèles du tissu osseux. Le modèle de Weinbaum et al. [160] en donne une estimation à travers le calcul du débit dans un canalicule par l équation de Brinkman et du nombre de canalicule dans une section de tissu. Des développements plus récents ont permis d affiner les estimations de la perméabilité en incluant les variations du nombre de canalicules et de leur orientation autour d une lacune [17]. Des mesures expérimentales ont été aussi réalisées sur des modèles de géométrie des pores lacuno-canaliculaire recréés à une échelle physique de l ordre du centimètre [3]. La conformation géométrique permet d obtenir une estimation de la valeur de la perméabilité à la condition que les phénomènes physiques puissent être mis en relation aux deux échelles. En particulier, l utilisation de la loi de Darcy doit être vérifiée.

5.5. Modélisation poroélastique d un ostéon 101 Tab. 5.1: Valeurs des constantes élastiques ( [44]) Symbole Valeur (unité) E r E z 17 GPa 12 GPa ν r 0.30 ν z 0.30 G 9 GPa K 13 GPa M 0.3 α rr 0.15 α zz 0.15 k 10 20 m 2 k zz 10 20 m 2 µ f 10 3 Pa.s Pour obtenir les valeurs de perméabilité à travers la description de la géométrie des pores, une méthode de changement d échelle est utilisée comme précisé dans la section 4.5. Le tenseur de perméabilité s écrit : K = 1 µ f k 0 0 0 k 0 0 0 k zz (5.20) La valeur de k est donnée dans le tableau 5.1. La porosité prise en compte est celle constituée par les canalicules et l influence des lacunes pour l écoulement est supposée négligeable. Les cellules et les lacunes peuvent être considérées comme des obstacles à l écoulement, néanmoins celui-ci a essentiellement lieu dans les canalicules qui forment le réseau où circule le fluide entre les lacunes. L influence des lacunes est donc négligée. 5.5.5 Spécification des conditions aux limites L ostéon est modélisé comme un cylindre creux dont les propriétés poroélastiques isotropes transverses ont été décrites. Le canal haversien est le canal intérieur de l ostéon. La pression dans ce canal est considérée comme une pression de référence. En effet ses dimensions sont suffisamment grandes pour permettre aux variations de pression du fluide de rester suffisamment faibles pour être négligeables [171]. Le canal haversien a un diamètre de l ordre de 50 µm lequel est à comparer au diamètre d un canalicule de l ordre de

102 Modèle poroélastique de l ostéon 0.2 µm [167]. De plus de nombreux canalicules débouchent dans le canal haversien. Cette condition se traduit par : p = 0 en r = r i, (5.21) où r i désigne le rayon intérieur de l ostéon lequel est aussi le rayon du canal haversien. La surface extérieure qui délimite l ostéon est appelée surface cémentante. Cette surface se forme au cours du remodelage osseux. La condition aux limites sur la surface cémentante nécessite de savoir si le fluide peut soit s écouler librement, partiellement ou ne pas s écouler du tout, en fonction de la pression. Les observations biologiques indiquent que peu de canalicules traversent la surface cémentante favorisant l hypothèse d imperméabilité [156]. La condition aux limites pour la surface extérieure est donc idéalisée en : p r = 0 en r = r o, (5.22) où r o désigne le rayon extérieur de l ostéon. Cela revient à considérer que les pores qui se trouvent à cet endroit sont obstrués par la surface cémentante. Les contraintes sur la surface du canal haversien liées à la partie solide de la matrice osseuse sont considérées comme négligeables par rapport aux contraintes de pression induites par le fluide. Cela donne une condition aux limites pour les contraintes sur la surface interne σr = 0 en r = r i, où r désigne le vecteur radial unitaire. Le déplacement radial de la surface extérieure pour r = r o est contraint à une valeur nulle. Au delà de la perméabilité de la surface cémentante, la perméabilité de l ostéon au niveau du tissu dont il est constitué peut elle aussi être variable. Il s agit alors de déterminer une loi d évolution spatiale et de modéliser l écoulement moyen avec une perméabilité variable. Cela permet de prendre en compte de manière plus précise la typologie de l écoulement du fluide interstitiel dans les lacunes et canaliculi de l ostéon. La variation de la perméabilité n a été que peu étudiée puisqu elle nécessite généralement d utiliser des méthodes numériques pour résoudre les équations qui deviennent inabordables d un point de vue analytique. C est un modèle simplifié macroscopique de l ostéon au sein du tissu osseux. L objectif de cette modélisation est de rendre compte de l influence du chargement mécanique de l ostéon sur l écoulement du fluide. En effet, ce dernier permet le maintien d un bon environnement pour les cellules et leur excitation par les contraintes visqueuses à leur membrane. 5.5.6 Chargement Le chargement appliqué à l ostéon est obtenu via un déplacement longitudinal cyclique imposé sur la face supérieure de l ostéon (et un déplacement longitudinal nul sur la face

5.6. Méthodes de résolution 103 inférieure). Cela se traduit par : U s z = ε 0 h sin(ω t ) en z = h, (5.23) 2π où ε 0 h est l amplitude de déplacement, ω la pulsation définie par ω = 2πf (f désigne la fréquence du chargement). Un chargement statique induirait un mouvement du fluide puis une relaxation de la structure. Les chargements physiologiques correspondent aux activités physiques de l homme ou de l animal tels que les mouvements de marche ou le chargement indirect par les muscles lorsque ceux-ci sont utilisés pour maintenir une posture [89]. Ces chargements sont cycliques à de basses fréquences. Le chargement du tissu osseux induit une déformation longitudinale de l ostéon idéalisé comme un cylindre creux. L ostéon est en effet suffisamment petit par rapport à la taille de l os pour que le chargement en compression soit le plus significatif [120]. La géométrie, les propriétés poroélastiques, les conditions aux limites et le chargement permettent de simplifier le problème en un problème axisymétrique. 5.6 Méthodes de résolution Les équations obtenues dans la section 5.4 associées aux conditions aux limites et initiales sont résolues de manière analytique pour des paramètres constants. Une méthode des éléments finis est développée pour des caractéristiques matérielles variables spatialement. Les équations de la poroélasticité sont écrites et résolues dans le cas de coordonnées cylindriques. Les coordonnées radiales et longitudinales sont notées respectivement r et z. Aucune variable ne dépend de l angle polaire θ (à ne pas confondre avec la température) car le modèle est axisymétrique. Les propriétés poroélastiques sont supposées isotropes transverses selon l axe de symétrie de révolution défini par celui de l ostéon. 5.6.1 Équations et inconnues Les équations décrivant le comportement de l ostéon sont les trois équations scalaires données par l équation de conservation la quantité de mouvement : div (Cε) α grad(p) = 0, (5.11) où le tenseur des déformations ε est symétrique et a donc six composantes inconnues qui doivent vérifier les 6 conditions de compatibilité (ce qui revient à considérer les composantes du vecteur déplacement U s de la phase solide). La pression p est une inconnue scalaire supplémentaire.

104 Modèle poroélastique de l ostéon solide : On redonne l équation (5.17) liant pression et déformations de la matrice poreuse 1 p M t + tr(α ε) div(k grad(p)) = 0, (5.18) t qui est la quatrième équation scalaire nécessaire. Ces équations sont complétées par les conditions aux limites détaillées dans la section 5.5.5. 5.6.2 Solution analytique La méthode de résolution analytique est inspirée de la méthode décrite dans l article de Zeng et al. [168]. Elle fait apparaître l équation différentielle de Bessel dont les solutions sont connues. Pour les équations décrivant le modèle poroélastique de l ostéon dans le cas décrit précédemment et en prenant une condition aux limites de déplacement nul au rayon extérieur r = r o, une solution analytique peut être obtenue. Les détails du calculs sont données dans l annexe A. Le champ de pression p est donnée par la fonction : p(r, t) = M(α zz 2α rr ν z )ε 0 g(r, t), (5.24) où ε 0 est l amplitude de la déformation longitudinale. La fonction g(r, t) dépend du rayon r et du temps t et est donnée par : g(r, t) = Re K iω 1( r iω c o)i 0 ( r) + I iω c 1( r c o)k 0 ( iω K 1 ( r iω c o)i 0 ( r iω c i) + I 1 ( r c o)k 0 ( iω c r) iω c r i) 1 e iωt. (5.25) L opérateur Re donne la partie réelle de l expression complexe. Les fonctions I j et K j sont les fonctions de Bessel modifiées d ordre j de première et seconde espèces respectivement. La constante c est dite de consolidation pour le matériau poroélastique considéré et est définie par : c = k µ f C 11 M Mα 2 rr + C 11, (5.26) E r (E z E r νz 2 ) où C 11 = est le premier terme du tenseur de rigidité drainé (1 + ν r )(E z E z ν r 2E r νz 2 ) C de la matrice poreuse solide. Les contraintes de cisaillement sur la membrane des cellules sont liés directement à l écoulement du fluide dans la porosité lacuno-canaliculaire. La vitesse darcéenne radiale q r est donc calculée en utilisant la loi de Darcy (5.14) : q r = k µ f p r, (5.27)

5.6. Méthodes de résolution 105 et cette l expression se développe en : q r = k µ M(α zz 2α rr ν z )ε 0 Re iω K 1( c K 1 ( qui a les dimensions d une vitesse. iω r iω c o)i 1 ( r) I iω c 1( r c o)k 1 ( iω r iω c o)i 0 ( r iω c i) + I 1 ( r c o)k 0 ( iω c r) iω e iωt, r c i) (5.28) En outre, de par la séparation des variables radiale et longitudinale, la déformation longitudinale associée à ce déplacement est écrite : ε zz = ε 0 sin(f t), (5.29) où ε 0 désigne l amplitude de la déformation longitudinale résultante. Cette solution analytique permet d étudier l influence des paramètres mécaniques tels que la perméabilité et ses variations au cours du temps. De plus, les résultats du problème de poroélasticité obtenus par la méthode des éléments finis peuvent être comparés à cette solution analytique. 5.6.3 Méthode numérique Méthode éléments finis La résolution numérique se fait par la méthode des éléments finis. Cette méthode classique pour résoudre des équations aux dérivées partielles s appuie sur le découpage du domaine physique en un maillage sur lequel la solution des équations va être approchée. Les détails de la méthode appliquée aux équations de la poroélasticité sont décrits par exemple dans l ouvrage de Coussy [39]. La résolution des équations a été implémentée dans le logiciel commercial Femlab. Il s agit d un logiciel de calcul numérique dont l atout principal est de pouvoir faire des couplages entre les modes présent dans une librairie. Cette librairie contient les équations aux dérivées partielles de problèmes physiques classiques tels que l élasticité ou l écoulement d un fluide newtonien. Ces équations sont disponibles mais surtout elles peuvent être couplées entre elles. La méthode de résolution utilise donc cet avantage en abordant la poroélasticité comme un phénomène physique couplé : la déformation élastique d une matrice solide poreuse est couplée à l écoulement d un fluide modélisé par la loi de Darcy. Équations réécrites L équation de conservation de quantité de mouvement est écrite d après l équation (5.11) :

106 Modèle poroélastique de l ostéon div (Cε) = α grad(p), (5.11) où le terme α grad(p) lié à la pression du fluide est interprété comme une force extérieure s appliquant au solide. La loi de conservation de la masse combinée à la loi de Darcy (5.17) s écrit : 1 p M t div(k grad(p)) = tr(α ε). (5.18) t Le terme tr(α ε) apparaît comme un terme source pour la loi de conservation de la t masse du fluide. Les conditions aux limites sont spécifiées pour chaque phase solide ou fluide. Les équations correspondant aux comportements élastique et de fluide darcéen en configuration axisymétrique sont disponibles dans le logiciel Femlab. Les équations sont donc associées dans un modèle multiphysique pour résoudre les équations de la poroélasticité. Maillage La section du cylindre est maillée avec des éléments quadrangles formant un maillage régulier. L interpolation sur les éléments est définie par des polynômes quadratiques de Lagrange. Cela permet d assurer la continuité des gradients de pression. Ceci est nécessaire puisqu ils sont utilisés dans le calcul du terme d interaction de l équation (5.11). Paramètres pour le calcul numérique Un amortissement de type Rayleigh a été ajouté aux équations décrivant le comportement de la matrice poreuse élastique. Le système peut ainsi être résolu de manière plus rapide. Les calculs ont été menés avec un coefficient de Rayleigh égal à 1, 0.1 et 0.01. Le solveur Direct (UMFPACK) implémenté dans Femlab est utilisé pour résoudre les équations dynamiques. Bien que le problème soit quasi-statique, il est nécessaire de résoudre les équations pour la partie élastique en dynamique pour obtenir le terme dépendant du temps qui intervient dans l équation (5.11). Le pas de temps est calculé afin de rester sous un seuil critique calculé à partir de la fréquence de chargement f. Les résultats sont obtenus pour des conditions de chargement définies par la fréquence de chargement f et l amplitude de la déformation longitudinale résultante ε 0. Pour un chargement cyclique à une fréquence donnée, l amplitude du taux de déformation ε 0 s écrit : ε 0 = ε 0 f (5.30) Ces conditions de chargement sont choisies pour que le taux de déformation ε 0 soit identique pour tout les chargements. Il peut ainsi être comparé aux taux de déformation

5.7. Résultats 107 utilisés dans la simulation des signaux de mécanotransduction pour le remodelage osseux [31, 148]. Les taux de déformation ε 0 sont compris dans l intervalle [10 4, 10 3 ]. La solution du problème poroélastique est calculée pour les valeurs listées dans le tableau 5.1 et pour une géométrie définie par un rayon intérieur de r i = 50µm et un rayon extérieur de r o = 150µm [44]. 5.7 Résultats 5.7.1 Validation du modèle numérique Un amortissement est introduit dans le système d équations lors de sa résolution numérique. Cet amortissement joue le rôle d une viscosité numérique laquelle permet une convergence plus rapide. L étude de son impact sur les résultats montre qu il n y a pas d effet significatif pour les valeurs de chargement considérées dans le modèle de l ostéon. Pour un coefficient de Rayleigh de 1, valeur la plus élevée, aucune influence sur les valeurs obtenues pour la pression et la vitesse moyennée q n est constatée. Les effets de l amortissement ont été évalués en comparant les valeurs de la pression p et de la vitesse moyennée q pour chaque fréquence et propriétés élastiques étudiées. Les résultats sont présentés pour les coefficients de Rayleigh de 1 et 0.01. Les erreurs relatives sont évaluées pour la pression et la vitesse moyennée q en utilisant les relations : ep max = max p n p a p a, ev max = max v n v a v a, (5.31) où la fonction max prend le maximum de la quantité en parcourant l ensemble des points du maillage. En outre, les quantités p n et p a désignent respectivement les champs de pression obtenus analytiquement et numériquement. La même notation est utilisée pour les champs de vitesse. Les résultats montrent que plus la fréquence est haute, plus les erreurs sur la vitesse sont importantes. Toutefois les résultats ne sont pas affectés par la variation du coefficient d amortissement entre 1 et 0.01 alors que le temps de calcul l est de manière significative, puisqu il est divisé par 10 sur un ordinateur de bureau. Un coefficient de Rayleigh de 1 est donc choisi pour les calculs. Les phénomènes physiques étudiés sont cycliques à basses fréquences. Le régime transitoire n est pas prépondérant pour cette étude puisqu il est court lorsqu il est comparé au temps de chargement correspondant aux chargements physiologiques. De plus, les termes d inertie dans les cas étudiés sont aussi négligeables. L approximation quasi-statique peut donc aussi être justifiée pour la résolution analytique. Les résultats pour la pression et la vitesse moyennée

108 Modèle poroélastique de l ostéon 6 5 ep max (%), ev max (%) 4 3 2 1 0 0 5 10 15 20 f (Hz] Fig. 5.1: Erreurs maximales relatives sur la pression ep max pour des coefficients de Rayleigh de 0.01 (+) et de 1 ( ) ; ev max pour des coefficients de Rayleigh de 0.01 ( ) et de 1 ( ) radiale q r sont présentés ci-dessous. Les résultats numériques sont comparés à la solution analytique pour valider la méthode numérique. L influence de la fréquence et du taux de déformation longitudinale ainsi que les variations spatiales sont analysées. L influence de l introduction de variations spatiales de la perméabilité et des coefficients de Poisson est montrée. 5.7.2 Rôle de la fréquence et du taux de déformation La solution analytique pour la pression du fluide interstitiel obtenue dans la section 5.6.2 est utilisée pour déterminer les variations de pression lors du chargement de l ostéon. La pression varie de sa valeur de référence prise à p = 0 sur la surface intérieure en r = r i à sa valeur maximale sur la surface extérieure pour un rayon r o où l écoulement n est pas possible par définition de la condition aux limites d imperméabilité de cette surface. Le terme en pression est pondéré par le tenseur des coefficients de Biot α. La différence entre les compressibilités du solide et du fluide donne un transfert incomplet des contraintes dans le fluide. Les coefficients de Poisson jouent un rôle important dans la variation

5.7. Résultats 109 de la pression. En effet, ils lient les déformations longitudinales de la matrice poreuse et l écoulement radial induit. Les coefficients de Poisson de la matrice solide donne en effet le rapport entre la déformation imposée dans une direction et la déformation induite dans l autre. La déformation dans la direction radiale est la conséquence de la déformation longitudinale imposée et induit l écoulement du fluide. Les résultats obtenus sont indépendants de la variable longitudinale par hypothèse de séparation des variables dans la méthode de résolution analytique. 5.7.3 Pression en fonction de la fréquence En utilisant la solution analytique, les variations de la pression pour un état quasistatique à la surface cémentante sont tracées en fonction de la fréquence de chargement pour différentes amplitudes de déformation sur la figure 5.2. L amplitude de la pression du fluide est d autant plus importante que l amplitude de la déformation est importante dans la plage étudiée (ε 0 = [10 4, 10 3 ]). 1.2 10 7 1 10 7 8 10 6 p Pa 6 10 6 4 10 6 2 10 6 0 0 5 10 15 20 f Hz Fig. 5.2: Pression sur la surface cémentante en fonction de la fréquence de chargement pour une déformation ε 0 = 0.001 (ligne continue fine), ε 0 = 0.002 (- -), ε 0 = 0.005 (ligne continue épaisse), ε 0 = 0.01 (- -) La figure 5.2 montre que la pression dépend fortement de la fréquence lorsque celle-ci est basse. Lorsque la fréquence de chargement est au dessus de 10 Hz, la pression est quasi constante et est proportionnelle à la déformation imposée. Aux plus basses fréquences, le fluide peut circuler librement pendant le chargement à travers la matrice poreuse et la pression n augmente pas à la surface cémentante.

110 Modèle poroélastique de l ostéon 5.7.4 Vitesse moyennée en fonction du rayon de l ostéon La vitesse radiale q r est obtenue via la loi de Darcy (5.14). C est une quantité moyennée spatialement de la vitesse d écoulement dans les pores de la matrice osseuse. Les calculs analytiques montrent que la vitesse radiale q r est proportionnelle au taux de déformation ε 0. Pour chaque rayon, on recherche la vitesse maximale qr max atteinte sur une période. Cette vitesse est normée par sa valeur qmax i au rayon intérieur r i. Ce rapport est tracé en fonction du rayon de l ostéon pour différentes valeurs de fréquence sur les figures 5.3 et 5.4. La fréquence n a pratiquement pas d influence sur la distribution spatiale de cette vitesse moyennée radiale q r. 1 0.8 qr max qi max 0.6 0.4 0.2 0 0.00006 0.00008 0.0001 0.00012 0.00014 r m Fig. 5.3: Vitesse moyennée normalisée en fonction du rayon de l ostéon pour différentes fréquences de chargement f = 1Hz (ligne continue fine), f = 2Hz( ), f = 10Hz (ligne continue épaisse), f = 20Hz(- -) (r o = 150µm) Pour un rayon extérieur de l ostéon plus important, la fréquence a une influence sur la distribution spatiale de q r comme le montre la figure 5.4. À égale distance des surfaces intérieure et extérieure de l ostéon, la valeur de vitesse moyennée radiale q r est divisée par 2 lorsque la fréquence f varie de 1 Hz à 20 Hz. Pour ces fréquences, la vitesse radiale q r est d autant plus faible que l on s approche des couches extérieures de l ostéon. Cette vitesse proche de zéro indique que les cellules localisées à la périphérie de l ostéon pourraient être moins excitées par les contraintes de cisaillement dues à l écoulement du fluide sur leurs membranes cellulaires.

5.7. Résultats 111 1 0.8 qr max qi max 0.6 0.4 0.2 0 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 r m Fig. 5.4: Vitesse moyennée normalisée en fonction du rayon de l ostéon pour différentes fréquences de chargement f = 1Hz (ligne continue fine), f = 2Hz( ), f = 10Hz (ligne continue épaisse), f = 20Hz (- -)(r o = 250µm) 5.7.5 Vitesse moyennée radiale en fonction de la fréquence Le taux de déformation du tissu osseux influence le remodelage osseux [148]. Avec la solution analytique, on peut imposer un chargement de telle sorte que le taux de déformation longitudinale ε 0 soit constant pour différentes fréquences de chargement. Par exemple, pour obtenir ε 0 = 0.002s 1 on impose ε 0 = 0.002 pour une fréquence de f = 1 Hz ou ε 0 = 0.001 pour une fréquence de f = 2 Hz. La figure 5.5 montre la variation de la vitesse moyennée radiale q r en fonction de la fréquence imposée pour ε 0 fixé. La vitesse moyennée radiale q r est tracée pour sa valeur maximale au rayon r = r i. La valeur est maximale pour une fréquence autour de f = 2.5 Hz. Le pic est proportionnelle à l amplitude de la déformation longitudinale ε 0 induite par le chargement appliqué. La fréquence pour laquelle le pic apparaît dépend des caractéristiques géométriques et poroélastiques de l ostéon. 5.7.6 Vitesse moyennée radiale en fonction de la fréquence pour différents rayons Pour une amplitude ε 0 = 0.0002, la vitesse moyennée radiale q r en fonction de la fréquence est tracée pour différentes valeurs du rayon r de l ostéon sur la figure 5.6. Pour de faibles valeurs du rayon, l augmentation de la fréquence implique une aug-

112 Modèle poroélastique de l ostéon 2 10 10 1.5 10 10 qr 1 10 10 5 10 11 0 0 5 10 15 20 f Fig. 5.5: Vitesse moyennée au rayon intérieur en fonction de la fréquence pour différentes taux de déformation ε 0 = 0.002 (ligne continue fine), ε 0 = 0.001 (- -), ε 0 = 0.0002 (ligne continue épaisse), ε 0 = 0.0001 (- -). 1.4 10 10 1.2 10 10 1 10 10 8 10 11 qr 6 10 11 4 10 11 2 10 11 0 0 10 20 30 40 f Hz Fig. 5.6: Vitesse radiale en r = r i fonction de la fréquence pour différents rayons de l ostéon r = r i = 50µm (ligne continue fine), r = 75µm (- -), r = 100µm (linge continue épaisse), r = 125µm (- -) (pour ε 0 = 0.0002).

5.7. Résultats 113 mentation de la vitesse radiale q r. L influence de la variation de la fréquence f est plus importante pour des valeurs inférieures à 10 Hz. Pour les valeurs de rayon supérieures à r = 75µm, l augmentation de la fréquence induit tout d abord un accroissement de la vitesse radiale q r puis une faible diminution. On observe même un plateau pour la vitesse pour ε 0 = 0.001. 5.7.7 Variations de la perméabilité La perméabilité est l indicateur macroscopique de l interaction entre le fluide et la matrice poreuse. La distribution de pression est influencée par la valeur de la perméabilité de l ostéon et ses possibles variations spatiales. Une valeur de référence pour la perméabilité intrinsèque est prise pour le modèle de l ostéon : k = 10 20 m 2. Cette valeur n est qu une estimation issue de modélisations et de calculs indirects. Les variations spatiales de la perméabilité sont difficiles à estimer [44]. Les observations montrent qu il y a moins de canalicules connectant les lacunes dans les couches extérieures de l ostéon [17, 167]. S il y a moins de canalicules entre les lacunes, il est probable que la perméabilité décroisse de l intérieur vers l extérieur de l ostéon. Pour étudier l impact de ces variations, quatre cas de variations affines de la perméabilité en fonction du rayon r sont envisagés. La perméabilité au rayon intérieur r i de l ostéon est notée k i et celle au rayon extérieur r o est notée k o. La perméabilité est une fonction affine entre ces deux rayons. Lors d un cycle de chargement mécanique, la pression p varie temporellement. Le champ de pression atteint sa valeur maximale en tous les rayons au même instant du cycle de chargement. Cet instant est celui pour lequel la pression est maximale sur la surface cémentante. Le champ de pression à cet instant est noté p max. La distribution de p max en fonction du rayon est tracée sur la figure 5.7 pour un chargement à une fréquence de 2Hz. Ce tracé montre que la pression augmente jusqu au bord du domaine défini par la surface cémentante ce qui s explique par la condition de débit nul au travers de cette surface. Les pressions pour des rayons inférieurs au rayon moyen de l ostéon ne sont pas influencées par la variation de la perméabilité dont la valeur est elle divisée par un ordre de grandeur entre les rayons intérieurs et extérieurs. La perméabilité au rayon intérieur a la plus grande influence sur la distribution de pression, et en particulier, sur la valeur maximale atteinte à l extérieur de l ostéon. Pour des perméabilités identiques au rayon intérieur et une perméabilité au rayon extérieur divisée par deux (cas ) ou divisée par dix (cas ), plus la perméabilité diminue, plus la pression atteinte à la surface cémentante est importante. Lorsque la perméabilité est deux fois plus importante à la surface du canal haversien

114 Modèle poroélastique de l ostéon 4.5 x 105 4 3.5 3 p max (Pa) 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 r (m) x 10 4 Fig. 5.7: Pression maximale en fonction du rayon pour des variations de la perméabilité : k i = 10 20 m 2 à k o = 0.5 10 20 m 2 (+), k i = 10 20 m 2 à k o = 0.1 10 20 m 2 ( ), k i = 2 10 20 m 2 à k o = 10 20 m 2 ( ), et une perméabilité constante k = 10 20 m 2 (ligne continue), (fréquence de chargement 2Hz) qu à la surface cémentante, la pression maximale atteinte à la surface cémentante est inférieure à la pression obtenue pour une perméabilité constante. La valeur maximale de la pression est significativement réduite pour tous les rayons. La vitesse radiale q r représente la valeur moyenne de la vitesse d écoulement dans les canalicules. Elle peut donc être liée à la vitesse locale dans ces canalicules et donc aux contraintes de cisaillement exercées sur les membranes des cellules. Comme pour la pression, la valeur maximale de q r est tracée en fonction du rayon pour deux fréquences de chargement f = 1 Hz et f = 20 Hz. Les quatre même variations de la perméabilité affine en fonction de r sont utilisées sur les figures 5.7, 5.8 et 5.9. Pour des faibles valeurs de fréquence proche de 1 Hz, les variations de la perméabilité ne conduisent pas à une modification significative de la vitesse radiale qr max d après la figure 5.8. Les variations de la pression compensent les variations affines de la perméabilité. L influence de la perméabilité sur la vitesse radiale q r reste très faible. Pour de plus hautes fréquences (figure 5.9), mais en restant dans la gamme de fréquences de chargement physiologique de l os [148], les variations sur la vitesse moyennée radiale q r existent mais restent faibles lorsqu elles sont comparées aux effets sur la distribution de pression.

5.7. Résultats 115 8 x 10 8 7 6 q rmax (m s 1 ) 5 4 3 2 1 0 0.5 1 1.5 r (m) x 10 4 Fig. 5.8: Vitesse radiale q r maximale en fonction du rayon de l ostéon pour des variations affines de la perméabilité : k i = 10 20 m 2 à k o = 0.5 10 20 m 2 (+), k i = 10 20 m 2 à k o = 0.1 10 20 m 2 ( ), k i = 2 10 20 m 2 à k o = 10 20 m 2 ( ), et une perméabilité constante k = 10 20 m 2 (ligne continue), (fréquence de chargement 1Hz) 7 x 10 8 6 5 q r max (m s 1 ) 4 3 2 1 0 0.5 1 1.5 r (m) x 10 4 Fig. 5.9: Vitesse radiale q r maximale en fonction du rayon de l ostéon pour des variations affines de la perméabilité : k i = 10 20 m 2 à k o = 0.5 10 20 m 2 (+), k i = 10 20 m 2 à k o = 0.1 10 20 m 2 ( ), k i = 2 10 20 m 2 à k o = 10 20 m 2 ( ), et une perméabilité constante k = 10 20 m 2 (ligne continue), (fréquence de chargement 20Hz)

116 Modèle poroélastique de l ostéon Ces résultats montrent que la vitesse radiale q r n est pas autant influencée que les distributions de pression lorsque la perméabilité varie. En effet, les déformations de la matrice poreuse sont uniformes spatialement d après les résultats tant numériques qu analytiques. La vitesse radiale q r génère donc une variation de la pression lorsque la perméabilité est variable. Ces résultats mettent en exergue l importance du lien entre déformation longitudinale et écoulement du fluide interstitiel dans la direction radiale. Le coefficient de Poisson, lequel lie les déformations longitudinale et radiale, apparaît donc comme un paramètre clé de la modélisation. Les variations de ce paramètre seront étudiées dans la section qui suit. 5.7.8 Variations du coefficient de Poisson Le coefficient de Poisson est un paramètre élastique relie la contrainte dans une direction à la déformation dans une autre lors d un test de traction ou de compression simple. Dans le cas le l ostéon, le comportement de la matrice osseuse poreuse est supposée isotrope transverse. Le coefficient de Poisson intéressant pour le chargement imposé à l ostéon est celui qui lie la déformation longitudinale à la déformation radiale, soit le coefficient de Poisson noté ν z. La déformation radiale induit les variations de pression qui permettent l écoulement dans cette direction. La valeur du coefficient de Poisson est directement lié à la compressibilité du matériau considéré. Pour étudier l influence de ce paramètre sur le comportement poroélastique du matériau, et en particulier, sur l écoulement du fluide interstitiel, deux variations du coefficient de Poisson en fonction du rayon ont été introduites. La valeur de référence du coefficient de Poisson est prise égale à ν z = 0.30. L influence du coefficient de Poisson est étudiée pour une variation affine du coefficient de Poisson. Le coefficient de Poisson au rayon intérieur r i de l ostéon est notée ν i et celui au rayon extérieur r o est notée ν o. Les résultats pour la distribution de la pression en fonction du rayon sont tracés sur les figures 5.11 et 5.10. Ces résultats sont tracés pour deux instants du cycle de chargement indiqués par la phase de la fonction sin, la phase 45 à t = π et la phase 4f 90 à l instant t = π pour une fréquence de chargement égale à 2f 1 Hz. Pour la phase 90, le maximum de la pression est atteinte. Si le coefficient de Poisson augmente avec le rayon, modélisant un matériau devenant plus incompressible, la pression augmente de manière significative au voisinage du rayon extérieur. Si le coefficient de Poisson décroît avec le rayon, la distribution de pression reste significativement inférieure à la distribution observée pour le cas de référence (ν = 0.30). La vitesse qr max est tracée en fonction du rayon de l ostéon sur la figure 5.12. La fréquence de chargement pour ce tracé est de 20 Hz. Les variations du coefficient de

5.7. Résultats 117 3.5 x 105 3 2.5 2 p (Pa) 1.5 1 0.5 0 0.5 0.5 1 1.5 r (m) x 10 4 Fig. 5.10: Pression en fonction du rayon pour des variations affines du coefficient de Poisson : ν i = 0.15 à ν o = 0.30 (+), ν i = 0.45 à ν o = 0.30 ( ), et un coefficient de Poisson ν = 0.30 (ligne continue). Pour t = π 4f, f = 1Hz. 2.5 x 105 2 1.5 p (Pa) 1 0.5 0 0.5 0.5 1 1.5 r (m) x 10 4 Fig. 5.11: pression en fonction du rayon pour des variations affines du coefficient de Poisson : ν i = 0.15 à ν o = 0.30 (+), ν i = 0.45 à ν o = 0.30 ( ), et un coefficient de Poisson ν = 0.30 (ligne continue). Pour t = π 8f, f = 1Hz.

118 Modèle poroélastique de l ostéon Poisson n influencent que relativement peu qr max. Pour un coefficient de Poisson décroissant avec le rayon (courbe ), la vitesse qr max est légèrement supérieure au cas correspondant à un coefficient cosntant. Elle est légèrement inférieure pour un coefficient de Poisson croissant (courbe +). Pour ces fréquences, l influence de la compressibilité est donc plus faible sur la vitesse moyennée du fluide que sur la distribution de pression. 1 x 10 7 0.9 0.8 0.7 0.6 q r max 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.5 1 r (m) 1.5 x 10 4 Fig. 5.12: Vitesse qr max en fonction du rayon pour des variations linéaires du coefficient de Poisson : ν i = 0.15 à ν o = 0.30 (+), ν i = 0.45 à ν o = 0.30 ( ), et un coefficient de Poisson ν = 0.30 (ligne continue). f = 20Hz. Il est intéressant de noter que, de la même manière que pour la perméabilité, la distribution de pression est influencée par la variation du coefficient de Poisson mais que la vitesse q r est peu affectée. Ce résultat est notable sur la figure 5.12. 5.8 Discussion sur les hypothèses du modèle Des hypothèses simplificatrices ont été faites pour idéaliser le comportement de l ostéon décrit par les équations de la poroélasticité. Ces hypothèses sont discutées à partir des résultats obtenus dans la section 5.7.

5.8. Discussion sur les hypothèses du modèle 119 5.8.1 Résolution analytique La résolution analytique des équations du problème associé au modèle poroélastique de l ostéon mettent en évidence l influence significative de certains paramètres. En particulier, la vitesse moyennée radiale q r dépend de la fréquence pour son amplitude mais aussi pour sa distribution le long du rayon de l ostéon. La fréquence de chargement joue donc un rôle dans la répartition spatiale de l écoulement. 5.8.2 Hypothèses sur le chargement et sur l influence de l inertie Le modèle a été étudié dans le cas quasi-statique. La résolution par la méthode des éléments finis a montré que les termes d inertie sont en effet négligeables. En effet, seules les fréquences correspondant à des chargements mécaniques excluant les chocs ont été utilisées. Il s agit de faibles fréquences, inférieures à 30 Hz et pour lesquelles l hypothèse quasi-statique est vérifiée. L isotropie transverse est une autre approximation du modèle de l ostéon développée dans le présent travail. Elle est néanmoins plus réaliste vis-à-vis des observations expérimentales que l isotropie utilisée dans les modèles précédents [86, 118, 139, 155, 168, 171]. La difficulté réside dans le fait que les propriétés mécaniques de l ostéon sont difficilement mesurables et que celles-ci varient spatialement. Une estimation indirecte de ces propriétés peut être obtenue par le développement de modèles similaires à celui-ci. La comparaison entre les résultats expérimentaux et numériques pourra se faire via les potentiels d écoulement par exemple [139]. 5.8.3 Hypothèse d imperméabilité de la surface cémentante La surface extérieure de l ostéon joue un rôle significatif dans la modulation de la distribution de pression à l intérieur de l ostéon. La surface cémentante est supposée parfaitement imperméable dans ce modèle. Cette hypothèse s appuie sur le fait que peu de canalicules traversant cette frontière entre les ostéons et le tissu interstitiel ont été observé expérimentalement [44]. De plus, un modèle développé par Wang et al. [156] a étudié l influence de la perméabilité relative de cette frontière, qu est la surface cémentante, dans un modèle de tissu d os cortical. Cette étude paramétrique montre que si un écoulement est possible entre les ostéons au niveau des surfaces cémentantes, il n a pas d influence sur la distribution de pression du fluide interstitiel.

120 Modèle poroélastique de l ostéon 5.8.4 Hypothèse d homogénéité de la matrice poreuse solide La matrice poreuse de l ostéon est supposée homogène. Ces propriétés matérielles sont transverses isotropes alignées avec l axe de l ostéon. L ostéon a une structure en lamelles concentriques (environ 16) lesquelles peuvent avoir des propriétés élastiques différentes [4,70]. Pour le modèle poroélastique, cette hétérogénéité au niveau des lamelles impliquent une description à une échelle inférieure à celle des lacunes. Dans ce cas, il est nécessaire donc de prendre en compte un volume élémentaire représentatif inférieur à celui utilisé pour le modèle poroélastique. En effet, dans un modèle poroélastique, les pores ne sont pas décrits explicitement. 5.9 Implications pour le remodelage osseux 5.9.1 Lien entre chargement mécanique et mécanotransduction Les distributions de pression et de vitesse radiale ont été obtenues pour étudier l écoulement du fluide dans un modèle de l ostéon. L écoulement du fluide crée sur la membrane des cellules des contraintes de cisaillement qui pourraient appartenir aux signaux de mécanotransduction du remodelage osseux [30, 43, 83]. En établissant le lien entre les caractéristiques du chargement mécanique et les distributions de pression et de vitesse, il est possible d étudier l influence du chargement mécanique sur les signaux de mécanotransduction. En effet, les signaux de mécanotransduction du remodelage osseux sont une conséquence de la réaction des cellules aux contraintes de cisaillement générées par l écoulement du fluide sur leurs membranes. De plus, il a été observé expérimentalement que le tissu osseux se maintient en masse, et voit même sa masse volumique augmenter dans certains cas lorsque l os est chargé mécaniquement de façon cyclique [89, 124]. Différents modèles du tissu osseux ont été développés pour expliquer ce phénomène. À l échelle de l ostéon, ce modèle poroélastique permet d étudier non seulement l influence du chargement mécanique mais aussi des variations de paramètres poroélastiques dont les valeurs ne sont pas mesurables directement par les dispositifs expérimentaux actuellement disponibles. 5.9.2 Comparaison avec le modèle de Zeng et al. Zeng et al. [168] ont développé un modèle similaire pour décrire l écoulement du fluide interstitiel dans un ostéon. Le problème poroélastique correspondant aux phénomènes physiques décrivant l écoulement est simplifié en un problème de déformation élastique du matériau induisant l écoulement du fluide. Leur solution s appuie donc sur le problème

5.9. Implications pour le remodelage osseux 121 élastique équivalent. La déformation élastique de la matrice poreuse induit le déplacement du fluide dans les pores de la porosité lacuno-canaliculaire. La solution donne la même distribution de pression que dans la solution poroélastique présentée dans la section5.7. L amplitude de la pression calculée par Zeng et al. est néanmoins inférieure à celle du problème poroélastique ; la différence est de l ordre de 6%. Cela confirme l hypothèse que la pression du fluide n influence que peu le comportement mécanique de la matrice poreuse élastique qui constitue l ostéon. Les faibles valeurs de la porosité (de l ordre de 5%) et de la pression du fluide interstitiel (autour du MP a) expliquent cette différence non significative. En revanche, en ce qui concerne l écoulement du fluide, la situation est significativement différente. En outre, la distribution de pression étant voisine, les résultats obtenus à partir du modèle poroélastique permettent d extrapoler les conclusions concernant les signaux de mécanotransduction du modèle de Zeng et al. que sont les contraintes de cisaillement à la surface des cellules osseuses. 5.9.3 Chargement mécanique cyclique et fréquence Les expériences de Burr et al. [32] montrent que le taux de formation de tissu osseux est proportionnel au taux de chargement mécanique appliqué sur les os dans les expériences de chargement cyclique lorsqu on reste dans le cadre de chargements physiologiques. Le modèle de l ostéon développé ici montre que l amplitude de la vitesse d écoulement du fluide interstitiel est proportionnel au taux de déformation du tissu osseux. De nombreux auteurs suggèrent que les signaux de mécanotransduction du remodelage osseux, que sont les contraintes de cisaillement à la surface des membranes des cellules, sont liés à l écoulement moyen à travers la matrice poreuse qui modélise le tissu de l ostéon. Deux cas étudiés sont intéressants pour les signaux de mécanotransduction. Il s agit d une part de la combinaison petites amplitudes de déformations ε 0 = 0.0001 et hautes fréquences de la plage considérée (f = 20 Hz) et d autre part, amplitudes de déformations plus importantes ε 0 = 0.001 et plus faibles fréquences (f = 1 Hz). Ces fréquences et amplitudes de déformations correspondent au chargement mécanique résultant d activités journalières telles que la marche. Pour les plus hautes fréquences, les muscles agissant pour le maintien de posture déforment l os mais de manière plus faible [89]. La fréquence a une influence directe sur l écoulement du fluide et donc sur les contraintes de cisaillement en résultant. Le paramètre prédominant est l amplitude du taux de déformation longitudinale ε 0 qui pour le chargement cyclique considéré est proportionnel au produit de la fréquence et de l amplitude de la déformation longitudinale.

122 Modèle poroélastique de l ostéon 5.9.4 Déformations et vitesse moyennée radiale q r Le modèle poroélastique de l ostéon permet d établir un lien entre la déformation longitudinale de l ostéon et la vitesse radiale q r, vitesse caractéristique de l écoulement du fluide dans les pores de la porosité lacuno-canaliculaire. Le profil de la vitesse radiale q r montre que les contraintes de cisaillement sont plus importantes à l intérieur de l ostéon, près du canal haversien qu à sa périphérie, près de la surface cémentante. À la périphérie de l ostéon, la vitesse radiale q r est plus faible puisque la pression augmente au niveau de la surface cémentante. Au niveau de la surface cémentante, la condition aux limites de débit nul ou de gradient de pression nul implique qu il n y a pas d écoulement à travers cette surface. La pression au niveau de la surface cémentante atteint donc une valeur maximale. Comme le montre la figure 5.6, la vitesse radiale q r à la périphérie de l ostéon atteint des valeurs plus importantes pour des chargements mécaniques cycliques de fréquences plus faibles. En effet, pour des fréquences de chargement plus importantes, le fluide ne peut pas se relaxer dans les pores de la porosité lacuno-canaliculaire lorsque les pores de la matrice osseuse se dilatent en volume. La vitesse radiale q r augmente dans la zone interne de l ostéon mais diminue plus rapidement à la périphérie de l ostéon pour des fréquences de chargement plus grandes. On est donc en présence d un effet de seuil joué par la fréquence de chargement mécanique au delà duquel les lamelles extérieures de l ostéon ne sont plus atteintes par le fluide. Les ostéocytes les plus éloignés du canal haversien ne sont pas atteint par le fluide, et dans ce cas, on peut supposer que d autres phénomènes jouent un rôle pour compenser cela [119]. La diffusion d espèces chimiques peut par exemple avoir lieu lorsque l os est au repos. La figure 5.6 montre qu il existe une fréquence de chargement optimale pour obtenir une vitesse radiale q r maximale pour tout l ostéon. Les fréquences de chargement mécanique cyclique autour de f = 2.5 Hz induisent un maximum pour la vitesse radiale q r. Ce résultat indique que les déformations associées à un chargement physiologique, i.e. pour des fréquences faibles, les signaux de mécanotransduction sont plus importants. 5.9.5 Variation de la perméabilité La méthode des éléments finis permet de résoudre les équations du problème poroélastique associé au modèle de l ostéon pour des cas plus complexes, et en particulier, en prenant en compte certaines hétérogénéités. La perméabilité du tissu qui constitue l ostéon résulte du réseau entre les lacunes jointes par les canalicules. Le nombre de canalicules liant deux lacunes varie spatialement dans l ostéon [17, 44]. Cette variation a été incluse dans la modélisation du comportement de l ostéon en introduisant une perméabilité variable. La perméabilité variable est

5.9. Implications pour le remodelage osseux 123 supposée décroissante avec le rayon. Les résultats du calcul montrent que la pression du fluide interstitiel atteint son maximum à la périphérie de l ostéon où la perméabilité est plus faible qu à l intérieur. La distribution de pression a la même allure pour une variation affine de la perméabilité en fonction du rayon ou pour une perméabilité constante. La distribution de la vitesse radiale q r ne varie pas de manière significative. Les deux phénomènes que sont l augmentation de la pression et de la diminution de la perméabilité se compensent pour donner une vitesse radiale q r. Leur graphe est similaire au cas d une perméabilité constante. Cela montre que la perméabilité est déterminante pour la distribution de pression du fluide interstitiel mais n influence pas la vitesse d écoulement du fluide pour les chargements mécaniques cycliques étudiés. La pression du fluide interstitiel est aussi supposée intervenir dans la mécanotransduction du remodelage osseux [115, 116]. Les variations de la perméabilité pourraient donc avoir une influence sur les maxima atteints par la pression du fluide interstitiel. Une pression plus importante peut amener à s interroger sur la compressibilité des tissus présents dans les pores de la porosité lacuno-canaliculaire. Ces tissus sont pris en compte pour le calcul de la perméabilité, et celle-ci, peut aussi varier du fait de leur déformation. 5.9.6 Variations du coefficient de Poisson L hypothèse d une matrice poreuse homogène a été supposée comme pré-requis au développement du modèle poroélastique. Néanmoins la variation des coefficients de Poisson permet d introduire l hétérogénéité de la matrice poreuse, et en particulier, les différences entre les lamelles constituant l ostéon [104]. La valeur du coefficient de Poisson décroît au cours de la formation de l ostéon. En effet, le tissu constitutif de l ostéon se minéralise et devient moins compressible par rapport à la compressibilité du fluide interstitiel. De par la minéralisation successive des lamelles, les propriétés de la matrice poreuse varient spatialement [70]. Les coefficients de Poisson sont de plus l indicateur du degré de compressibilité de la matrice poreuse modélisée par un matériau élastique. La distribution de pression est influencée par les variations spatiales des coefficients de Poisson. De la même manière que pour les variations de la perméabilité, la vitesse radiale q r n est pas affectée significativement par la variation de ce paramètre. L écoulement du fluide n est donc pas influencée directement par la variation du coefficient de Poisson. L écoulement du fluide interstitiel est donc influencé par d autres phénomènes. Néanmoins les variations de la pression peuvent avoir une incidence directe sur le comportement des cellules dans les lacunes. Les signaux de mécanotransduction associés à la formation et à l orientation de l ostéon pourraient donc être liés à l amplitude de la distribution de pression du fluide interstitiel alors que l écoulement alimentant les cellules garde des caractéristiques

124 Modèle poroélastique de l ostéon similaires au cours du processus. 5.10 Conclusions Le modèle de l ostéon développé ici permet de décrire et d analyser le rôle primordial du chargement mécanique sur l écoulement du fluide dans la matrice poreuse déformable. En particulier, l influence de la perméabilité montre qu il est nécessaire de connaître non seulement sa valeur mais aussi ses probables variations spatiales. Les résultats sur l écoulement du fluide interstitiel montrent en effet que la perméabilité est le paramètre prépondérant pour la description de l écoulement. La prise en compte de cette hétérogénéité a pu être incluse grâce à une méthode originale d implémentation des équations de la poroélasticité dans un logiciel d éléments finis. Cette méthode de couplage entre plusieurs phénomènes physiques peut être étendue aux phénomènes physico-chimiques pour décrire le comportement du tissu osseux.

Conclusion Cette conclusion est une synthèse des principaux résultats de cette thèse et propose quelques pistes pour prolonger ce travail. Principaux résultats Le chapitre 1 présente la description du tissu osseux et introduit les structures biologiques modélisées dans ce travail de thèse. Les expériences pertinentes pour l étude du remodelage osseux y sont détaillées ainsi que celles concernant l écoulement du fluide interstitiel dans la matrice osseuse. Pour obtenir une modélisation du fluide interstitiel, la théorie des mélanges a été développée dans les chapitres 2 et 3. Le chapitre 2 donne une synthèse des bases de la théorie des mélanges dans un cadre général puisque les échanges chimiques sont inclus. Le cadre théorique proposé pour obtenir les lois de comportement caractéristiques d un mélange permet de prendre en compte les couplages électro-chimiques et mécaniques. La théorie des mélanges est alors utilisée dans le chapitre 3 pour décrire un mélange de fluides visqueux compressibles en incluant les réactions chimiques. L inégalité d entropie est introduite avec un flux d entropie défini par une relation constitutive. Les lois de comportement sont alors déduites sous leur forme générale pour chaque constituant du mélange. Les termes d interactions entre les constituants sont eux aussi définis à l aide des restrictions liées à l inégalité d entropie. Le développement de lois de comportement générales montre que la viscosité des fluides du mélange peut être modéliser à condition de ne pas faire d hypothèse sur la forme du flux d entropie. Ce terme apparaît alors dans les tenseurs des contraintes et dans les termes d apport de quantité de mouvement. Les lois de comportement ainsi obtenues sont écrites sous une forme générale ; une linéarisation autour de l équilibre permet de faire apparaître des coefficients caractéristiques des phénomènes physiques modélisés. Les coefficients intervenant dans les lois de comportement à ce stade restent difficile à évaluer. Cette situation nous a conduits à développer un modèle multi-échelle qui permet de décrire les phénomènes macroscopiques à partir des lois microscopiques régissant le comportement du fluide.

126 Conclusion Ce modèle a permis d étudier les effets électro-osmotique et hydraulique dans le fluide. L homogénéisation périodique est utilisée pour obtenir une loi de Darcy modifiée prenant en compte non seulement les effets hydrauliques, mais aussi les effets osmotiques et électro-osmotiques. L étude des différents termes intervenant dans cette loi (pour des valeurs de gradients de potentiel électrique, de concentration et de pression applicables à l ostéon)montre que les effets osmotiques et électro-osmotiques sont négligeables en comparaison des effets hydrauliques. Ils peuvent néanmoins jouer un rôle à l échelle des micro-pores de la matrice osseuse. Pour la modélisation à l échelle de l ostéon, la loi de Darcy hydraulique suffit pour décrire l écoulement du fluide interstitiel. La modélisation poroélastique de l ostéon a permis d étudier l influence des paramètres sur l écoulement du fluide interstitiel. La solution analytique développée montre que l amplitude de la vitesse d écoulement est proportionnelle au taux de déformation appliqué au tissu osseux. En supposant que les signaux de mécanotransduction du remodelage osseux sont liés à l écoulement du fluide interstitiel, ce résultat apporte une explication plausible à l observation que le remodelage osseux peut être stimulé par un chargement fort à faible fréquence ou un chargement faible à plus forte fréquence. L étude par la méthode des éléments finis illustre le fait que la poroélasticité peut être décrite à l aide d un couplage entre la théorie de l élasticité et la loi de Darcy. Des paramètres poroélastiques non homogènes ont été pris en compte. La perméabilité du tissu osseux constitutif de l ostéon varie spatialement. Pour illustrer l influence de cette variabilité, le problème poroélastique associé au modèle de l ostéon a été résolu pour une perméabilité dont la variation est affine. La valeur clé quant à la distribution de pression est la perméabilité au rayon interne de l ostéon, i.e. la perméabilité au niveau du canal haversien. Le rôle du coefficient de Poisson a aussi été étudié puisqu il est lié à la compressibilité du tissu osseux. Cette dernière peut évoluer au cours du temps en fonction de la minéralisation de l ostéon. La variation du coefficient de Poisson longitudinal influence les distributions de la pression et de la vitesse d écoulement du fluide interstitiel essentiellement au niveau de leurs amplitudes. L étude de l influence de ces hétérogénéités montre qu il est nécessaire de les inclure pour obtenir une meilleure estimation de l écoulement du fluide dans l ostéon. Perspectives En apportant des éléments de réponse concernant le stimulus des signaux de mécanotransduction du remodelage osseux et la modélisation des phénomènes associés, ce travail pose de nouvelles questions. Le travail sur la théorie des mélanges est à poursuivre. Les lois de comportement sont

Conclusion 127 identifiées mais les coefficients introduits restent à évaluer à cette étape. Leur identification par voie expérimentale est complexe. Néanmoins, cette piste de réflexion peut déboucher sur une modélisation intéressante des fluides biologiques. Les échanges chimiques entre les phases sont décrits dans la théorie des mélanges présentée dans ce travail. Les effets de ces échanges chimiques entre les phases fluide et solide dans le modèle poroélastique sont à considérer pour modéliser par exemple les effets de la minéralisation et son impact sur la solidité de l os. L hétérogénéité au niveau lamellaire de l ostéon peut être modélisée de manière plus fine en prenant en compte les variations à l échelle de chaque lamelle. L homogénéisation périodique peut ainsi apporter des informations sur les variations des paramètres poroélastiques et déboucher sur un modèle plus précis de l ostéon. Les résultats sur l écoulement du fluide, pour des paramètres poroélastiques hétérogènes nous incite à nous demander s il n existe pas une taille critique de l ostéon à partir de laquelle toutes les cellules ne sont plus atteintes par le fluide. Cette dernière piste pourrait être associée au développement d un modèle de maturation de l ostéon au cours du remodelage osseux. Les échanges chimiques au cours de la minéralisation et l orientation des ostéons sont des éléments clés dans la compréhension du remodelage osseux de l os cortical.

128 Conclusion

Annexe A Annexe A Résumé : Quelques étapes de calcul permettant d obtenir la solution analytique des équations associées au modèle de l ostéon sont détaillées dans cette annexe. À partir des relations énoncées dans la section 5.4 et des hypothèses sur la géométrie du modèle de l ostéon décrite dans la section 5.5, on écrit les équations d un milieu poroélastique saturé d un fluide ; les deux phases sont supossées prises compressibles. Les conditions aux limites sont précisées. Le problème est énoncé dans la base locale cylindrique. En utilisant le caractère axisymétrique de la géométrie, on dérive de ces équations la relation analytique vérifiée par la pression. A.1 Équations de la poroélasticité Les équations de la poroélasticité sont écrites dans le cas de coordonnées cylindriques. Les coordonnées radiales et longitudinales sont notées respectivement r et z. L angle polaire est noté θ (à ne pas confondre avec la température). Les relations entre déplacements et déformations en théorie des petites perturbations s écrivent pour des coordonnées cylindriques : ε rr = ur ε θθ = 1 r r u θ θ ε zz = u z ε rθ = 1 2 ε rz = 1 2 ε θz = 1 2 + u r r z ( 1 u r + u θ r θ r ( uz + ) u r r z ( uθ + 1 u z z r θ u θ r ) ) (A.1)

130 Annexe A Les équations sont écrites pour un cylindre transverse isotrope. Les relations entre les contraintes totales et les déformations sont données par : σ rr C 11 C 12 C 13 0 0 0 σ θθ C 12 C 22 C 13 0 0 0 σ zz σ = C 13 C 13 C 33 0 0 0 rθ 0 0 0 C 44 0 0 σ θz 0 0 0 0 C 55 0 σ rz 0 0 0 0 0 C 55 ε rr ε θθ ε zz ε rθ ε θz ε rz α rr α rr α zz 0 0 0 p (A.2) La loi de comportement pour la pression p du fluide s écrit : p = M (ξ (α rr ε rr + α rr ε θθ + α zz ε zz )) (A.3) Les équations d équilibre pour le milieu poroélastique en l absence de forces extérieures et pour des coordonnées cylindriques sont : σ rr r + 1 r σ rθ θ + σ rz z + σ r σ θ r = 0 σ rθ r + 1 r σ θθ θ + σ θz z + 2σ rθ r = 0 (A.4) σ rz r La loi de Darcy s écrit : q = + 1 r q r q θ q z σ θz θ = 1 µ f + σ zz z + k 0 0 0 k 0 0 0 k zz σ rz r = 0 p r 1 p r θ p z (A.5) L équation de conservation de la masse de fluide s écrit : ξ t + div(q) = 0. (A.6) A.1.1 Hypothèses sur la géométrie Les champs de déplacement et de pression sont supposées indépendants de θ. On pose U s = u r r + u z z et on suppose que : u r z = 0 (A.7) u z r = 0. (A.8)

A.1. Équations de la poroélasticité 131 où r et z sont deux vecteurs unitaires de la base locale. L écoulement sera supposé selon la direction r soit: p z = 0 (A.9) A.1.2 Conditions aux limites Les conditions aux limites sont : en r = r i, pression hydrostatique, p = 0 libre de contrainte suivant r, σ r = 0 en r = r 0, imperméabilité, p r = 0 libre de contrainte suivant r, σ r = 0 en z = 0, le déplacement suivant z, u z = 0 en z = h, le déplacement suivant z, u z = ε 0 h sin(f t) A.1.3 Équation vérifiée par la pression Équations de type Navier Des équations similaires aux équations de Navier sont déduites des équations d équilibre : en projection sur r, en projection sur z, C 11 ( 2 u r r 2 + r ( ur ) ) p α rr r r = 0 (A.10) 2 u z C 33 z = 0 (A.11) 2 La déformation longitudinale ε zz ne dépend pas de z et u z varie linéairement avec z. Avec les conditions aux limites sur u z, on obtient: et u z = ε 0 z sin(f t) ε zz = ε 0 sin(f t) (A.12) (A.13)

132 Annexe A Équation de diffusion À partir de l équation (A.6), de l équation de Darcy (A.5) et de la relation (A.3) entre pression, déformations et quantité de fluide, l équation de diffusion suivante est obtenue ( ξ 2 t c ξ r + 1 ) ξ = 0, (A.14) 2 r r où c désigne la constante de consolidation définie par : c = κ µ f M C 11 C 11 + α 2 M. (A.15) La solution de la variation de la quantité de fluide peut alors s écrire dans le cas d un chargement cyclique de pulsation ω : ( ) iω iω ξ(r, t) = Re[ A 1 I 0 ( c r) + A 2K 0 ( c r) exp(iωt)], (A.16) où I i et K i sont les fonctions de Bessel modifiées de première et seconde espèces respectivement; les constantes A 1 et A 2 sont à déterminer en fonction des conditions aux limites. La solution en pression se déduit alors de l équation de Darcy (A.5) couplée à l équation de conservation (A.6) et s écrit: p = c K (ξ(r, t) ξ(r i, t)), (A.17) en notant que la pression est nulle au rayon intérieur, soit p(r i, t) = 0. En utilisant la condition aux limites de flux nul sur la surface extérieure p r = 0 (en r = r o ), on obtient une relation entre A 1 et A 2. La première équation de Navier est alors intégrée par rapport à la variable r et cela donne la relation entre déplacement radial et pression : C 11 r r (u rr) = α rr p + h(t), (A.18) où h(t) est une fonction qui ne dépend que du temps. Le déplacement radial et la pression ne dépendent pas de la variable z. La relation entre pression, déformations de la matrice poreuse et quantité de fluide permet de la reformuler en : 1 M p = ξ α 1 rr r r (u rr) α zz (ε 0 sin(f t)). (A.19) Les équations (A.18), (A.19) et la condition aux limites de pression nulle en r i permettent d écrire : h(t) = C 11 α rr (ξ(r i, t) α zz (ε 0 sin(f t)) (A.20)

A.1. Équations de la poroélasticité 133 L équation vérifiée par le déplacement radial peut donc s écrire : 1 r r (u rr) = α rr p + 1 (ξ(r i, t) α zz (ε 0 sin(f t)), C 11 α rr (A.21) En intégrant l équation (A.18) et en prenant la constante d intégration nulle (pas de déplacement de solide rigide), on obtient : ( ( u r = αrrc C 11 B Re[ K K 1 ( ( ) + α rrc C 11 ξ(r K i, t) r 2 1 α rr + α zz α rr (ε 0 sin(f t)) r 2, ) ) iω r iω c o)j 1 ( r) J iω c 1( r iω c o)k 1 ( r) exp(iωt)] c (A.22) La condition aux limites sur σ rr en r = r i (σ r (r i, t) = 0), permet de déterminer la valeur de la constante B qui correspond à l amplitude de la variation de la quantité de fluide ξ en fonction de l amplitude de la sollicitation. avec La solution en pression s écrit alors: p(r, t) = p a Re K iω 1( r iω c o)i 0 ( r) + I iω c 1( r c o)k 0 ( iω K 1 ( r iω c o)i 0 ( r iω c i) + I 1 ( r c o)k 0 ( p a = M(α zz 2α rr ν z )ε 0. iω c r) iω c r i) 1 e iωt, (A.23) (A.24) La solution complète en régime permanent d un cylindre creux sollicité avec un chargement cyclique est obtenue.

134 Annexe A

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