1 ère STMG Activité n 6

1 ère STMG Activité n 6 Statistiques Exercice 1 On effectue des essais sur un échantillon de 220 lampes électriques afin de tester leur durée de vie exprimée en heures. Voici les résultats : Durée Effectifs Fréquences [1000; 1200[ 6 [1200; 1300[ 14 [1300; 1400[ 25 [1400; 1500[ 75 [1500; 1600[ 80 [1600; 1700[ 10 [1700; 1800[ 8 [1800; 2100[ 2 1. Compléter la colonne des fréquences. 2. Représenter cette série par un diagramme batons. 3. Déterminer la moyenne, l écart-type, la classe modale, et l étendue de cette série. 4. Peut-on déterminer la médianne de cette série? Exercice 2 Une machine fabrique des fers cylindriques pour le béton armé de diamètre théorique 25mm. On contrôle le fonctionnement de la machine en prélevant un échantillon de 100 pièces au hasard dans la fabrication. Les mesures des diamètres ont donné les résultats suivants à 0,1 mm près : Diamètre 24,1 24,3 24,5 24,7 24,9 25,1 25,3 25,5 25,7 25,9 Effectif 1 4 13 24 19 14 10 8 5 2 1. Calculer la moyenne m de cette série. 2. Déterminer la médianne M de cette série. 3. On estime que la machine a un fonctionnement "normale" si : l étendue de la série reste inférieure à 10% de la valeur moyenne; l écart entre la moyenne et la médianne est inférieur à 0,2; 95% des diamètres au moins sont dans l intervalle [m-0,8;m+0,8]. Cette machine a-t-elle un fonctionnement "normal"? Exercice 3 On considère la série suivante : Valeur x i 1 10 11 12 13 14 Effectif n i 10 30 20 20 10 10 1. Si l on remplace la valeur 1 par la valeur 9, quels sont (sans calculs) les paramètres modifiés parmi les suivants : moyenne médiane écart type étendue intervalle interquartile 2. Construisez un diagramme en boîtes : 1 ère STMG Activité n 6 1

(a) dans le cas où la première valeur est égale à 1. (b) dans le cas où la première valeur est égale à 9. Exercice 4 1. Lors d une journée de promotion, on a relevé le montant (en C = ) des achats effectués par les clients d un magasin. Le schéma suivant représente le diagramme en boîte obtenu. Les extréminités de ce diagramme correspondent aux montants minimal et maximal des achats effectués par les clients. 10 20 30 40 50 60 70 80 Diagrammes en boïtes des achats effectués dans le magasin lors de la journée de promotion Quels sont les renseignements que l on peut lire sur ce diagramme concernant les achats effectués dans le magasin lors de la journée de promotion? 2. Le tableau ci-dessous donne les montants en euro, arrondis à l unité, des achats effectués par les 80 clients du magasin pendant une journée ordinaire. 2 3 5 5 5 8 8 8 8 10 10 10 10 10 10 10 11 13 14 14 14 20 20 20 20 20 20 21 24 24 25 26 30 30 30 30 30 30 31 33 33 35 36 38 38 38 38 38 39 39 39 39 39 40 40 40 40 40 40 40 40 40 42 42 42 43 43 43 44 44 45 45 45 45 45 46 46 47 55 60 (a) Déterminer le pourcentage de clients ayant effectué des achats entre 30 et 40C = inclus. (b) Déterminer le pourcenrage de clients ayant effectué des achats pour un montant ne dépassant pas 25C =. (c) Déterminer la médiane, le premier quartile Q 1 et le troisième quartie Q 3 de la série des montants d achats donnée par le tableau ci-dessus. (d) Construire le diagramme en boîte de cette série. (e) Le magasin a annoncé sa journée de promotion par une distribution de tracts sur lesquels était indiqué : "Grande journée de promotion! Dépensez moins!". Au vu des deux diagrammes en boite précédents, quelle analyse peut-on faire de ce message publicitaire? 1 ère STMG Activité n 6 2

Exercice 5 L histogramme suivant indique la répartition des élèves d un lycée en fonction de leur taille en cm. On suppose que, à l intérieur de chaque classe, la répartition est régulière. 1. Quelle est la classe modale? Justifier. 2. Dans quelle classe se trouve la médiane de cette série? Justifier. 3. On précise que 20 élèves mesurent entre 150 et 160cm. (a) Quelle est le nombre d élèves de ce lycée? (b) Calculer la moyenne de la taille des élèves au millimètre. 150 160 170 175 180 200 Exercice 6 On considère la série statistique suivante : Notes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Effectifs 1 6 5 7 12 10 7 4 6 3 0 1. Déterminer la moyenne m et l écart-type s de cette série statistique. 2. Quel pourcentage de l effectif totale l intervalle [m s; m + s] contient-il? 3. Déterminer le réel t tel que l intervalle [m t; m + t] contienne 95% de l effectif total. Exercice 7 Le tableau de l annexe présente pour les vainqueurs des sept dernières éditions du Tour de France, la distance parcourue en km, et leur vitesse moyenne en km/h. Le tout est répertorié dans une feuille de calcul. L annexe sera à compléter et à rendre avec votre copie. Les valeurs demandées pourront être rentrées directement dans les cellules. Les formules demandées, quant à elles, devront être indiquées en clair sur la copie. PARTIE A EXPLOITATION D UNE FEUILLE DE CALCUL AUTOMATI- SÉE 1 ère STMG Activité n 6 3

distance (km) 1. On rappelle l égalité : vitesse (km/h) =. Quelle formule a-t-il fallu saisir temps (h) en F2 pour calculer le temps de parcours du Tour 1990, avant de la recopier vers le bas jusqu en F18, pour obtenir les temps de parcours de chaque Tour? 2. On a choisi pour les cellules de la colonne F un format d affichage «Nombre à 2 décimales». Compléter les cellules F15 à F18 en arrondissant au centième. Interpréter le contenu de la cellule. 3. Quelle formule a-t-il fallu rentrer en E19 pour obtenir la moyenne des valeurs des cellules E2 à E18? 4. On appellera «vitesse moyenne cumulée depuis 1990» la vitesse moyenne qu aurait eue le coureur imaginaire qui aurait gagné tous les Tours depuis 1990. Par exemple, pour calculer la vitesse moyenne cumulée en 2000, on divisera la distance totale des Tours depuis 1990 à 2000 par la somme des temps de parcours des vainqueurs. On a calculé dans la colonne G les vitesses moyennes cumulées depuis 1990, pour les années 1994 à 2006. Quelle formule faut-il rentrer en G12 (à recopier de G3 à G18) pour obtenir ce résultat? 5. Compléter les cellules G3 à G5. 6. Expliquer pourquoi les deux résultats affichés on G18 et E19 sont différents. PARTIE B - STATISTIQUES Dans cette partie, la série statistique étudiée est la liste des vitesses moyennes (colonne E du tableur) dont les valeurs ordonnées sont les suivantes : 38,38 38,62 38,7 38,74 39,19 39,23 39,24 39,5 39,57 39,98 39,98 40.,07 40,8 40,56 40,79 40,96 41,65 1. Quelle est la valeur médiane de la série? Justifier. 2. Indiquer les quartiles Q1 et Q3 puis le minimum et le maximum de la série. 3. Représenter ces données dans une «boîte à moustaches» (ou diagramme en boîte) dont les extrémités seront les minimum et maximum en utilisant le support donné dans l annexe. 4. Placer les points correspondant aux vitesses moyennes des 4 dernières années. 5. Exprimer par une phrase utilisant le mot «quartile» la position dans la série de ces 4 valeurs. ANNEXE PARTIE A - Source : Site officiel du Tour de France 1 ère STMG Activité n 6 4

A B C D E F G 1 Année Prénom Nom Distance (km) Vitesse moyenne (km/h) Temps de parcours (heures) Vitesse moyenne depuis 1990 (km/h) 2 1990 Greg LEMOND 3 504 38,62 90,73 3 1991 Miguel INDURAIN 3 914 38,74 101,03 4 1992 Miguel INDURAIN 3 983 39,50 100,84 5 1993 Miguel INDURAIN 3 714 38,70 95,97 6 1994 Miguel INDURAIN 3 978 38,38 103,65 38,79 7 1995 Miguel INDURAIN 3 653 39,19 93,21 38,85 8 1996 Bjarne RIIS 3 907 39,23 99,59 38,91 9 1997 Jan ULLRICH 3 950 39,24 100,65 38,95 10 1998 Marco PANTANI 3 850 39,98 96,30 39,06 11 1999 Lance ARMSTRONG 3 870 40,28 96,08 39,18 12 2000 Lance ARMSTRONG 3 663 39,57 92,57 39,22 13 2001 Lance ARMSTRONG 3 454 40,07 86,20 39,28 14 2002 Lance ARMSTRONG 3 278 39,88 82,20 39,32 15 2003 Lance ARMSTRONG 3 427 40,96 39,42 16 2004 Lance ARMSTRONG 3 391 40,56 39,49 17 2005 Lance ARMSTRONG 3 607 41,65 39,62 18 2006 Floyd LANDIS? 3 657 40,79 39,68 19 39,73 Partie B 37 38 39 40 41 42 Exercice 8 Les deux parties de l exercice peuvent être traitées de façon indépendante. Un site de vente de livres par Internet désire réaliser une étude statistique de sa clientèle, 1 ère STMG Activité n 6 5

afin de prévoir l évolution de ses ventes pour les années à venir. PARTIE 1 : L âge de la clientèle La première partie de l étude concerne l âge de la clientèle. Pour répondre à cette question, les responsables de l étude utilisent un échantillon de 2100 clients, parmi les plus réguliers du site. Les résultats sont résumés dans le tableau ci-dessous : Classe d âge [18 ;20[ [20 ;24[ [24 ;30[ [30 ;36[ [36 ;46[ [46 ;56[ 56 ans total et + Effectif 190 300 360 450 400 200 200 2 100 On assimilera la dernière classe d âge à l intervalle [56; 76[. On fera l hypothèse de l uniforme répartition de l effectif dans chaque classe d âge. 1. À l aide du quadrillage figurant en annexe 1, représenter ces données par un histogramme où un carreau représente 20 individus. 2. En utilisant les centres des classes pour valeurs du caractère, déterminer l âge moyen m et l écart type s de la série. On ne demande pas de justification, les valeurs seront arrondies au dixième. 3. Hachurer clairement l histogramme pour faire apparaître l effectif correspondant à la classe d âge [m s ; m+s]. Calculer le pourcentage de clients de cette classe d âge par rapport à l effectif de l échantillon (arrondir à 1 %). PARTIE 2 : L évolution de la fréquentation La seconde partie de l étude porte sur l évolution du nombre moyen de connexions par jour, calculé sur une année. Le tableau ci-dessous indique ce nombre pour les quatre dernières années : Année 2006 2007 2008 2009 Fréquentation 2 678 2 879 3 095 3 327 Ainsi, durant l année 2006, le site de vente de livres par Internet a compté une moyenne de 2678 connexions par jour. 1. (a) Calculer le taux d accroissement de la fréquentation entre 2006 et 2007 (réponse en pourcentage arrondi à 0,1 %). (b) Calculer de même le taux d accroissement annuel de cette fréquentation sur les années suivantes. Que constate-t-on? 2. Au vu de ces résultats, constatant que le taux d accroissement annuel est constant sur la période 2006-2009, les responsables de l étude décident de modéliser la fréquentation future du site par une suite géométrique (u n ) de premier terme u 0 = 3327 et de raison 1, 075. L indice n indique le nombre d années après 2009. (a) Justifier le choix de 1,075 comme raison à l aide de la question 1. (b) Calculer u 1 et interpréter ce résultat. 3. Avec cette modélisation : (a) Quelle fréquentation peut-on prévoir pour l année 2015? 1 ère STMG Activité n 6 6

(b) Au cours de quelle année dépassera-t-on le nombre moyen de 6 000 connexions par jour? Annexe 1 à rendre avec la copie 20 individus 1820 âge (ans) Aide à la construction de l histogramme (utilisation non obligatoire et donc tableau non évalué) Classe d âge [18; 20[ [20; 24[ [24; 30[ [30; 36[ [36; 46[ [46; 56[ [56; 76[ Effectif 190 300 360 450 400 200 200 Nombre de carreaux 9,5 15 Largeur 1 2 Hauteur 9,5 7,5 Exercice 9 Une société de location de véhicules possède un parc de 800 véhicules de trois marques différentes A, B et C. Dans chacune des marques, la société possède deux modèles de véhicules : «Essence» ou «Diesel». Partie I : Répartition des véhicules On sait que : 62,5 % des véhicules de la société sont des modèles «Diesel»; parmi les modèles «Diesel», 60 % sont de marque A, la moitié des autres modèles «Diesel» est de marque B, le reste de marque C; 10 % des véhicules de la société sont des modèles «Essence» et de marque A ; un quart des véhicules de la société est de marque B. 1. Le tableau de l annexe 1, à rendre avec la copie, présente la répartition des effectifs des véhicules. Compléter ce tableau. 2. Quelle est la proportion, en pourcentage, des véhicules de marque B parmi les modèles «Diesel»? 1 ère STMG Activité n 6 7

3. Quelle est la proportion, en pourcentage, des modèles «Essence» parmi les véhicules de la marque B? Partie II : Étude des immobilisations des véhicules «Diesel» Durant l année, chaque véhicule peut être immobilisé pour subir des entretiens, des réglages, des vidanges, des réparations, etc. Pour l ensemble des 500 véhicules «Diesel» de la société, on a étudié, au cours de l année 2005, le nombre de journées d immobilisation. On a obtenu la série statistique S suivante : Nombre de journées d immobilisation Nombre de véhicules concernés 1 2 3 4 5 6 7 8 11 34 86 121 120 88 28 12 1. Calculer la moyenne x de la série S (le résultat sera arrondi à 0,1 près). 2. Déterminer la médiane m de la série S. 3. Déterminer le premier quartile Q 1 de la série S. On admet que le troisième quartile Q 3 est égal à 6. 4. En utilisant l axe représenté en annexe 1, à rendre avec la copie, tracer le diagramme en boîte de la série S. Partie III : Étude du coût d utilisation d un véhicule Une personne souhaite louer un véhicule de cette société pour une durée d une semaine. Il hésite entre un véhicule «Essence» ou un véhicule «Diesel». Le coût d utilisation du véhicule pendant cette semaine est composée du prix fixe de la location et du coût du carburant qui lui, dépend du nombre de kilomètres parcourus. 1. Le graphique de l annexe 1, à rendre avec la copie, donne le coût d utilisation (exprimé en euro) en fonction du nombre de centaines de kilomètres pour un véhicule «Diesel». Déterminer par lecture graphique ce coût pour un trajet de 600 km. 2. Pour un véhicule «Essence», le prix de la location pour une semaine est de 250 C =. La consommation de ce carburant est de 8 litres d essence pour une centaine de kilomètres parcourus. Le prix de l essence est de 1,25 C =. On appelle f la fonction qui, au nombre x de centaines de kilomètres parcourus par un véhicule «Essence», associe le coût d utilisation f(x) en euro. (a) Calculer le coût d utilisation de ce véhicule pour un trajet de 600 km. (b) Exprimer le coût d utilisation f(x) en fonction du nombre x de centaines de kilomètres parcourus. (c) Tracer sur le graphique de l annexe 1 la représentation graphique de la fonction f. (d) Déterminer à partir de combien de kilomètres, il est plus économique pour cette personne de louer un véhicule «Diesel». Annexe 1 (À rendre avec la copie) Tableau 1 ère STMG Activité n 6 8

Diagramme en boîte Nombre de véhicules Marque A Marque B Marque C Total «Diesel» 100 «Essence» Total 800 1 10 Graphique Coût d utilisation en euros 370 360 350 340 330 320 310 300 290 280 270 260 250 240 230 220 210 200 0 5 10 15 Centaines de kilomètres 1 ère STMG Activité n 6 9