Thermodynamique 4 Machines thermiques Illustrations : Exp du bateau à eau, machine Bollée Simulation gtulloue // cycles moteur A savoir - Définir une machine thermique - Bilan énergétiques et entropiques sur un cycle, inégalité de Clausius - Définir la performance d une machine thermique - Les signes des transferts thermiques et des travaux échangés par le système dans un moteur, un réfrigérateur, une pompe à chaleur dithermes. - L existence d une performance maximale (rendement ou efficacité de Carnot) imposée par le deuxième principe pour toute machine thermique ditherme. Savoir faire - Représenter le schéma de principe d une machine thermique cyclique ditherme en y indiquant le travail et les transferts thermiques mis en jeu. - Identifier un cycle moteur ou récepteur d après le sens de parcours du cycle sur un graphique. - Calculer la performance d une machine thermique d une machine fonctionnant avec des sources idéales (ex1,2,4,5) ou des pseudo-sources (ex3 ) - Retrouver l expression du rendement ou de l efficacité de Carnot (ex 1, 3.2b, 5.2c) Utiliser le premier principe dans un écoulement stationnaire sous la forme h 2 -h 1 =w u +q pour étudier une machine thermique.
Plan du chapître : I/ Machines thermiques 1/ définition 2/ Bilan énergique et entropique d une machine thermique polytherme a/ Bilan énergétique b/ Bilan entropique et inégalité de Clausius 3/ Différents cas de machines thermiques a/ monotherme b/ ditherme c/ Diagramme de Raveau 4/ Performance d une machine thermique II / Machines dithermes et modèle de Carnot 1/ Moteur ditherme a/ Rendement b/ Théorème de Carnot c/ Cycle de Carnot 2/ Récepteur ditherme a/ Cycle inverse b/ Etude comparée des récepteurs classiques ditherme III / Exemple de machines thermiques usuelles : le moteur à explosion 1/ présentation 2/ cycle de Beau de Rochas 3/ Rendement IV/ Cas de machines ouvertes 1/ 1 er principe avec un écoulement stationnaire 2/ Application à une éolienne
Thermodynamique 4 Machines thermiques Introduction : Historiquement, c est avec l invention des machines thermiques que la thermodynamique est née en tant que science. Les notions de température, d énergie, de travail et de chaleur, ont été introduites pour modéliser le fonctionnement des machines à vapeur, et améliorer leur rendement. Toutes les machines thermiques sont basées sur le même principe que la machine à vapeur du 19e siècle : de l énergie thermique (issue de la combustion de charbon, de pétrole, ou de la fission nucléaire) est convertie en énergie mécanique (rotation d une turbine ou d un arbre) par l intermédiaire d un fluide (liquide ou gaz, par exemple de l eau ou de l air) qui subit un cycle de transformations. La modélisation thermodynamique des machines a permis d imaginer des dispositifs fonctionnant en sens inverse (conversion d énergie mécanique ou électrique en chaleur), ce qui est la base des appareils de refroidissements : réfrigérateur, climatiseur I ) Machines thermiques 1) définition : Une machine thermique est un système capable de convertir un transfert thermique Q en travail W ou inversement. Dans les machines, la circulation d un fluide (air, eau, fréon...) permet les échanges d énergie entre la machine et le milieu extérieur. Pour fonctionner en continu la machine doit effectuer des cycles de transformations (retour à l état initial) : on parle donc de machines thermiques cycliques. S il y a échange de matière avec l extérieur, la machine est ouverte, sinon elle est fermée. Exemples de machines «ouvertes» : Fermées : 2) Bilan énergétique et entropique d une machine polytherme cyclique. Une machine est polytherme si elle échange de la chaleur avec plusieurs thermostats (de températures T1, T2, Tn) au cours d un cycle. Au cours d un cycle, la machine thermique échange - Un travail W avec l extérieur - Des transferts thermiques Qi avec les thermostats (sources) de températures Ti.
Bilan énergétique pour un cycle: appliquer le 1 er principe de la thd pour en déduire une relation entre W et les Qi (i variant de 1 à n). Bilan entropique pour un cycle: appliquer le 2 nd principe de la thd pour en déduire une inégalité entre les Qi (i variant de 1 à n), c est l inégalité de Clausius. Dans quel cas a- t- on l égalité? 3) Différents cas de machines thermiques Si la machine fournit du travail (W<0), c est un moteur, sinon c est un récepteur (W>0). 3)a) Machine monotherme : (n=1) A partir des deux bilans précédents, en déduire le signe de Q et W. En déduire sa nature : moteur ou récepteur? Vous avez ici démontré le 2 nd principe de la thd énoncé par Kelvin (ou Thomson). 3)b) Machines dithermes : (n 1) Le thermostat de température plus élevé est appelé source chaude, de température Tc, et celui de température plus basse Tf est la source froide. Le système reçoit respectivement Qc et Qf des sources chaude et froide au cours d un cycle.
Par convention, on représente les échanges d énergie vers le système (quelque soit le sens réel des échanges). Source chaude Qc Fluide (système) Qf Source froide W Turbine, piston Ecrire les bilans en énergie et en entropie sur un cycle pour cette amchine thermique. En déduire Qc en fonction de W et Qf, et une inégalité sur Qc. 3)c) Diagramme de Raveau : On représente les droites d équation : Qc = - Qf et Qc =!T c T f Q f Qc Qf Identifier ces droites en justifiant. Hachurer la zone interdite par le second principe. Identifier la zone moteur et la zone récepteur.
Quels sont les signes de Qc et Qf pour le moteur? Comparer au transfert thermique «naturel» entre une source chaude et une source froide. Numéroter de 1 à 3 les zones «récepteur» en partant du haut en allant vers le bas. Repérer les signes de Qc et Qf pour chaque zone. Et placer dans ces zones les exemples classiques : chauffage central, réfrigérateur (on refroidit la source froide), pompe à chaleur (on réchauffe la source chaude). Une zone paraît inutile, laquelle? Que dire des signes de Qc et Qf dans le cas d un réfrigérateur ou d une pompe à chaleur? Comparer au cas du moteur. 4) Performance d une machine thermique Elle est définie par : performance = transfert d!énergie UTILE transfert d!énergie dépensé Si cette performance est entre 0 et 1 par nature, on parle de rendement (cas du moteur) et on la note η, sinon on parle d efficacité e (pour réfrigérateur et pompe à chaleur, e 1).
II) Machines dithermes et modèle de Carnot 1) Moteur ditherme Rappeler les signes de W, Qc et Qf : Dans un moteur ditherme, le système reçoit de l énergie de la source.. et en donne à la source. Tout en fournissant un travail. 1) a) rendement : Définir le rendement du moteur et l exprimer en fonction de Qf et Qc. En déduire un encadrement de ce rendement. Dans quel cas a- t- on le rendement maximal? 1)b) Théorème de Carnot : (compléter) Le rendement η d un moteur réel ditherme fonctionnant entre les sources de température T c et T f est inférieur à celui η rev d un moteur réversible entre ces deux même sources avec : η rev = 1- T f T c <1 AN : Tc = 600 C,Tf = 20 C, calculer η rev. Que se passe- t- il si la température de la source froide diminue (hiver)? 1)c) Cycle de Carnot Carnot imagine un cycle moteur ditherme réversible constitué de - deux isothermes réversibles (fluide en contact respectivement avec la source chaude et la source froide) - séparées par deux adiabatiques réversibles
Représentation du cycle de Carnot en coordonnées de Clapeyron : P A B D C Identifier les transformations adiabatiques et isothermes (Tc et Tf). Dans quel sens le cycle doit- il être parcouru pour qu il soit moteur? Que représente alors l aire délimitée par le cycle? V Représentation du cycle de Carnot en coordonnées (T, S): T S Identifier les transformations adiabatiques et isothermes. Identifier les points A,B,C et D sur ce graphique. Dans quel sens le cycle est- il parcouru? Que représente l aire élémentaire T.dS lors d une évolution réversible? Que représente l aire délimitée par le cycle?
II)2) Récepteurs dithermes a) Cycle de Carnot récepteur : C est le même que le cycle moteur mais parcouru dans l autre sens! Dans ce cas sa représentation en coordonnées (T, S) devient (compléter) : En déduire le signe de Qc, de Qf et de W : Compléter : Dans ce cas, le système..du travail pour..de l énergie à la source froide et la..à la source chaude. Le transfert d énergie a donc lieu entre les sources dans le sens Selon ce qui nous intéresse, on a une machine différente : - Avec à la diminution d énergie de la source froide, on peut fabriquer un réfrigérateur (ou un climatiseur). - Avec l augmentation d énergie de la source chaude, on peut fabriquer une pompe à chaleur. b. Etude comparée des récepteurs Réfrigérateur Climatiseur Pompe à chaleur Source chaude Source froide But du système Efficacité AN : déterminer l efficacité maximale Tc = 20 C et Tf = 4 C Tc = 20 C et Tf = 4 C Tc = 20 C et Tf = 4 C
Brève Analyse : * Comment évoluent les efficacités du réfrigérateur et du climatiseur si Tc augmente? * Justifier qu une pompe à chaleur est d autant plus efficace que la différence de température entre l intérieur de la maison et l extérieur est faible. Comparer avec l efficacité thermique d un radiateur électrique. A quoi sert l énergie dépensée par une pompe à chaleur?
III) Exemple : le moteur à explosion III)1) Présentation : Etudions le cycle à 4 temps d un moteur essence à combustion interne (au sein du moteur). Si on considère que le système est le cylindre (système ouvert) de volume variable V cylindre, on peut utiliser le diagramme de Watt Pression dans le cylindre Volume du cylindre Si le système est le fluide, donc l ensemble (air admis + carburant), on peut utiliser les coordonnées de Clapeyron (Pression du gaz en fonction du volume du gaz V ou du volume massique v du gaz). Il peut y avoir des différences entre ces 2représentations notamment s il y a liquéfaction du fluide alors V cylindre > V fluide. Dans notre cas, on considérera que l essence est totalement vaporisée et donc que tout le fluide est gazeux, à savoir V cylindre = V gaz. Schéma d un élément du moteur: Schéma des étapes d un cycle moteur 4 temps de type Beau de Rochas
1 er temps 2 ème temps 3 ème temps 4 ème temps V ì V î Vì Vî Identifier les temps moteur et les temps récepteur. A combien de tours correspond un cycle? III)2) Cycle de Beau de Rochas et modèle Le diagramme réel de Watt du cycle de Beau de Rochas est de la forme : Pour évaluer théoriquement le rendement de ce moteur, on le modélise de la façon suivante : i) Le fluide est assimilé à un gaz parfait de quantité constante tout au long du cycle (presque vrai car 80% du diazote de l air est inerte). ii) Le fluide ne subit aucune évolution chimique et son énergie thermique lui vient d une source chaude fictive extérieure lors d une isochore CD.
iii) iv) Pour éviter les étapes d admission- refoulement, on suppose que le retour passe EA par B et que les étapes AB et BA se compensent. On se ramène alors à un système fermé. Le diagramme correspond alors au cycle Beau de Rochas : constitué de deux isochores séparés par deux isentropiques III)3) Rendement du moteur de Beau de Rochas Posons a = Vmax, le taux de compression du moteur. Vmin Identifier Qc et Qf pour ce cycle. En déduire la définition du rendement η puis son expression en fonction de a et de γ.
IV ) Cas de machine thermiques ouvertes 1) Premier principe pour un écoulement stationnaire Un gaz s'écoule dans un élément mécanique : conduite, tuyère, échangeur thermique, turbine, compresseur, etc. L'évolution d'un fluide gazeux dans une installation industrielle est schématisée par la figure 1 ci- dessous.le fluide gazeux s'écoule dans la direction et le sens de l'axe horizontal x ' x. Le volume ν délimité par les plans A ' B ' et CD constitue un volume de contrôle qui peut, éventuellement, contenir une machine : compresseur, turbine, etc. Le fluide entre dans ν par une conduite cylindrique dont l'aire de la section droite est notée Σ l et dont l'axe, parallèle à x ' x, est situé à l'altitude z l dans le champ de pesanteur. Il en ressort par une conduite z cylindrique, dont la z 2 section droite a une aire Σ 2 et dont l'axe, parallèle à x ' z 1 x, est situé à l'altitude z 2 dans le champ de pesanteur. On désigne par c le vecteur vitesse des particules fluides et on admet que la c!!!! c!!!! viscosité du fluide est négligeable, le vecteur vitesse reste donc constant en tout point d'un plan de section droite perpendiculaire à l'écoulement. On désigne par m, p, T,V, E, E c, E p, U, H et S, respectivement, la masse, la pression, la température, le volume, l'énergie totale, l'énergie cinétique macroscopique, l'énergie potentielle de pesanteur, l'énergie interne, l'enthalpie et l'entropie du fluide. Les valeurs massiques des différentes grandeurs extensives seront représentées par des lettres minuscules. Ces grandeurs seront affectées de l'indice 1 ou de l'indice 2 suivant qu'elles caractériseront l'état du gaz à l'entrée ou à la sortie du volume ν. On suppose l écoulement stationnaire. * Le but est d établir la variation d énergie totale du système ouvert ν entre t et t+dt.
Méthode : On se ramène à un système fermé pour lequel on peut appliquer le premier principe. Démonstration ( à comprendre, mais non exigible) a) Création du système fermé : A l'instant t le système fermé considéré, désigné par S(t) sur la figure 1, occupe le volume compris entre les plans AB et CD. Il comprend le fluide contenu dans ν à cet instant et le fluide qui va entrer dans ν pendant la durée dt. Son énergie totale est notée E (t). A l'instant t + dt ce même système, désigné par S(t + dt), occupe le volume délimité par les plans A ' B ' et C ' D '. Il comprend le fluide contenu dans ν à l'instant t + dt et le fluide qui est sorti de ν pendant la durée dt. Son énergie totale est notée E (t + dt). b) Application du premier principe au système fermé S Entre les instants t et t + dt le fluide gazeux reçoit les quantités algébriques d'énergie δ Q par transfert thermique (chaleur), δ Wp par transfert mécanique dû au travail des forces de pression d'entrée et de sortie et δ Wu par travail mécanique utile avec une machine qui se trouve dans ν. Le premier principe de la thermodynamique appliqué au système fermé S entre t et t+dt s écrit : de = δ Wp+ δ Wu + δ Q c) Description de de Le système fermé S résulte de l association du volume de contrôle ν et des masses entrante ou sortante. Aussi, en utilisant l extensivité de l énergie totale : de = variation d énergie dans ν + (énergie de la masse sortante énergie de la masse entrante) de = E ν (t+dt)- E ν (t) + dm 2 (u 2 + ½ c 2 2 + gz 2 ) dm 1 (u 1 + ½ c 1 2 + gz 1 ) d) Utilisation du régime stationnaire : En régime stationnaire, aucune grandeur physique ne dépend du temps. Ainsi l énergie E ν dans le volume de contrôle ν et sa masse m ν ne varient pas au cours du temps. Donc : E ν (t+dt) = E ν (t) et m ν (t+dt) = m ν (t) ; La conservation de la masse, implique que la masse entrant dans ce volume de contrôle ν entre t et t+dt est la même que la masse sortante, soit : dm 2 = dm 1.
Alors, de = dm ( (u 2 + ½ c 2 2 + gz 2 ) (u 1 + ½ c 1 2 + gz 1 ) ) e) Description de δ Wp δ Wp = travail des forces pressantes en entrée+ pressantes en sortie δ Wp = (- p 1 dv 1 ) + (- p 2 dv 2 ) travail des forces dv 1 = variation de volume du gaz entrant (le volume diminue) = - dm.v 1 dv 1 = variation de volume du gaz sortant (le volume augmente) = + dm.v 2 avec v 1, v 2 volumes massiques respectifs des fluides en 1 et 2. Alors, δ Wp = - p 1 dv 1 - p 2 dv 2 = p 1. (dm.v 1 ) - p 2. dm.v 2 = dm.( p 1. v 1 p 2. v 2 ) f) Ecriture finale du bilan d énergie : dm ( (u 2 + ½ c 2 2 + gz 2 ) (u 1 + ½ c 1 2 + gz 1 ) ) = dm.( p 1. v 1 p 2. v 2 ) + δ Wu +δ Q donc dm ( (u 2 + ½ c 2 2 + gz 2 + p 2. v 2 ) (u 1 + ½ c 1 2 + gz 1 + p 1. v 1 ) ) = δ Wu + δ Q Utilisons l enthalpie massique : h = u+p.v, et l énergie mécanique massique e m = ½ c 2 + gz Il vient : dm. Δ 1 2 h + em = δwu + δq (1) Si on divise (1) par la masse, il vient : Δ 1 2 h + em = δw u + δq, (à savoir) avec δw u et δq respectivement le travail utile massique et le transfert thermique massique. Si on divise (1) par dt, on fait apparaître dm/dt = Dm débit massique (en kg/s), et δwu = P dt u puissance utile, δq = P dt th puissance thermique, alors : Dm. Δ 2 1 h + em = P u + P th (1 er principe industriel, à savoir)
2) Application à une éolienne air P 1, T 1, c 1 EOLIENNE air P 1, T 1, c 2 = 0 (hypothèse simpliste! ) Wu Le premier principe industriel s écrit : Dm. Δ!! h + em = P! + P!! Ici, T = cte, si l air est assimilable à un gaz parfait, alors Δ!! h = 0 De plus ici, Δ!! e! = Δ!! e! et P th = 0 Soit Dm. Δ!! e! = P! = Dm (0!! c!! ) En dt, l air passant par l éolienne est comprise dans le cylindre de volume Sc 1 dt, avec S la surface décrite par l éolienne. La masse dm traversant l éolienne pendant dt est : dm = ρs c 1 dt S Donc Dm = ρs c 1 C 1 dt Alors, Pu = - ½ ρs c 1 3 Ordre de grandeur : ρ = 1,2 kg/m 3, c 1 2,9m, alors Pu = - 2,0 kw = 8 m/s = 29 km/h, S = π. R 2, si 2R = Un calcul plus précis donne en fait, P= 16/27. (½ ρs c 1 3 ), ce qui donne ici 1,2 kw. La puissance réelle recueillie est encore inférieure du fait des frottements mécanique et de la conversion mécanique/ électrique qui n est pas de 100%! Doc internet : Comptoir éolien, WIT481000W, éolienne domestique, 1890 Cette éolienne domestique est conçue pour fonctionner dans un site à faible et à moyenne vitesse de vent (3,0 m/s et plus). Cette éolienne a un énorme avantage: elle démarre avec du vent faible et atteint sa puissance nominale à 8m/s au lieu de 12m/s chez la plupart de produits sur le marché. Données Techniques: Puissance nominale : 1000W Vitesse nominale : 8m/s Diamètre du rotor : 2,9m