Electromagnétisme TD n o 2 : Potentiel électrostatique Charges ponctuelles Ex 1 Doublet de charges opposées Deux charges ponctuelles opposées q et q sont placées respectivement en A et B sur l axe (Ox), à une distance a de part et d autre du point O. On note E(M) le champ électrostatique et V(M) le potentiel électrostatique créés par ces deux charges en un point M de l axe (Ox). 1.1. Quelle est la direction du champ électrostatique E(M)? 1.2. Donner l expression du champ électrostatique E(M) en fonction de q, a et x. 1.3. Donner l expression du potentiel électrostatique V(M) en fonction de q, a et x. 1.4. Retrouver l expression du champ électrostatique E(M). 1.5. Tracer l allure des courbes V(x) et E x (x). 1.6. Analyser l existence de positions d équilibre pour une charge ponctuelle Q mobile sur l axe (Ox) Ex 2 Polygone régulier Un ensemble de n charges ponctuelles identiques égales à q est réparti dans le plan (Oxy) sur les n sommets d un polygone régulier de centre O et de rayon R (sur la figure est représenté le cas d un hexagone). On note V(M) le potentiel électrostatique créé en un point M de l axe (Oz) par cette distribution. 2.1. Donner l expression du potentiel électrostatique V(M) en fonction de n, q, R et z. 2.2. En déduire l expression du champ électrostatique E(M). 2.3. Tracer l allure des courbes V(z) et E z (z). 2.4. Existe-t-il des positions d équilibre pour une charge ponctuelle Q mobile sur l axe (Oz)? Analyser leur stabilité. Ex 3 Surface équipotentielle Une distribution de charge D est contenue dans un plan (Oxy). Elle est constituée par la charge q placée au point A( 1, 0) et par la charge 2q placée au point B(+1, 0). On note V(M) le potentiel électrostatique créé en un point M(x, y). 2015/2016 1/5
3.1. Quelle est la relation simple entre AM et BM pour tout point M de l équipotentielle V = 0? 3.2. Montrer que l équipotentielle V = 0 est un cercle C. Déterminer la position de son centre C ainsi que de son rayon. Ex 4 Equilibre d une boule chargée Deux boules identiques A et B sont distantes de D = 1 m et fixes. Elles portent initialement une même charge q. On met en contact avec la boule A une boule C identique aux deux autres, portant initialement une charge nulle. 4.1. Quelle est la charge q acquise par la boule C? 4.2. Exprimer puis calculer la distance x 0 entre la boule A et la boule C lorsque cette dernière est dans une position d équilibre. 4.3. L équilibre est-il stable ou instable? Ex 5 Expérience de Rutherford Une fine feuille d or (Z = 79) est bombardée par des particules α, c est-à-dire des noyaux d hélium. Ces particules sont projetées avec une énergie cinétique E 0 = 10 MeV. On constate qu une faible partie des particules incidentes est renvoyée dans la direction opposée, à cause de leur «rebond» sur les noyaux d or. Données : 1 ev = 1,6 10 19 J ;m proton m neutron 1,6 10 27 kg ; e = 1,6 10 19 1 C ; 4πε 0 9 10 9 N m 2 C 2 En traduisant la conservation de l énergie mécanique entre la position initiale A des particules α et leur position d approche minimale B, exprimer la distance d approche minimale d au noyau en fonction des données. Calculer d. Ex 6 Topographie On considère un doublet de charges q A et q B placées respectivement aux points A( 1, 0) et B(+1, 0) du plan (Oxy). 2015/2016 2/5
Sur la carte de champ ci-dessus, les lignes courbes correspondent aux équipotentielles (régulièrement réparties en valeurs de potentiel) et les flèches indiquent la direction du champ électrostatique local. 6.1. Tracer l allure des lignes de champ. 6.2. Quels sont les signes des charges q A et q B? 6.3. Quelle est en valeur absolue la charge la plus grande? 6.4. Sachant que le rapport des valeurs absolues des charges est égal à 2, montrer que l équipotentielle V = 0 correspond dans le plan (Oxy) à un cercle C dont on déterminera son rayon R et son centre C. Ex 7 Cristal ionique La cohésion d un cristal ionique est assurée par les interactions électrostatiques entre les ions, la répulsion entre les nuages électroniques imposant une distance minimale entre voisins. La disposition des ions sur le réseau réalise l énergie potentielle minimale du système appelée énergie réticulaire. Celle-ci est principalement donnée par l énergie potentielle d interaction du système constitué par les ions supposés ponctuels. Déterminer l énergie molaire réticulaire d un cristal ionique (A +, B ) dans le cas d un cristal à une dimension constitué d une chaîne alternée infinie d ions monoatomiques A + et B distants de d = 0,28 nm. Distributions continues Ex 8 Spire chargée Soit une spire d axe (Oz), de rayon R, portant la densité linéique de charge uniforme lambda 8.1. Calculer le potentiel électrostatique créé par cette distribution en un point M de l axe (Oz). En déduire l expression du champ électrostatique sur l axe. 8.2. Calculer indépendamment le champ électrostatique créé en point de l axe Oz par cette distribution. Vérifier que vous retrouvez le résultat de la question précédente. 8.3. Déterminer le maximum du champ électrostatique et représenter l allure du module E(z) du champ ainsi que celle du potentiel V(z). Ex 9 Interaction disque - charge ponctuelle On considère un disque (O, R) chargé en surface avec une densité surfacique σ uniforme σ > 0. On note (Oz) l axe perpendiculaire en O au disque. 2015/2016 3/5
9.1. Déterminer le potentiel V en tout point de l axe (Oz) 9.2. Soit une charge ponctuelle q (avec q > 0) mobile sur (Oz). Le disque est supposé percé en O de façon à ce que la charge puisse éventuellement le traverser. On suppose que le potentiel V calculé précédemment n est pas modifié par cette ouverture. Calculer en fonction de z l énergie potentielle E p de la charge. En déduire la position d équilibre de la charge (on négligera le poids de la particule). Celle-ci est-elle stable ou instable? Ex 10 Lignes bifilaires 10.1. Un fil rectiligne infini est chargé uniformément. On note λ la densité linéique de charge et Oz la direction du fil. 10.1.a. Calculer le champ électrostatique en tout point de l espace privé du fil. 10.1.b. En déduire l expression du potentiel électrostatique en un point M. 10.2. On considère désormais deux fils rectilignes infinis, parallèles à l axe (Oz), passant par A(a, 0, 0) et B( a, 0, 0), portant respectivement les densités linéiques de charges +λ et = λ, avec λ > 0. On note r 1 et r 2, les distances respectives de M aux deux fils. On choisit O comme référence des potentiels : V(O) = 0 On travaillera en coordonnées cartésiennes. 10.2.a. Discuter des symétries de la distribution, puis calculer le potentiel V(M). Ex 11 10.2.b. Donner les équations des surfaces équipotentielles. 10.2.c. Tracer dans le plan (xoy) l allure des lignes de champ et de l intersection des surfaces équipotentielles avec le plan (xoy). Noyau d Uranium On assimile le noyau de 235 U à une boule de rayon a, de centre O, et de charge Q uniformément répartie avec la 92 densité volumique ρ. On admet que la permittivité à l intérieur, comme à l extérieur du noyau s identifie à celle du vide. 11.1. Que vaut la charge totale Q portée par le noyau 235 92 U? 11.2. Exprimer ρ, la densité volumique de charge, en fonction de Q et a. 11.3. Déterminer la charge q(r) contenue dans une sphère de centre O, de rayon r a, prise au sein du noyau. 11.4. Déterminer la charge dq contenue entre une sphère de rayon r et une sphère de rayon r + dr, au sein du noyau. 11.5. Calculer le potentiel au point O, centre du noyau, en fonction de ε 0, Q et a. Ex 12 Modèles de Bohr ou de Yukawa 12.1. L atome d Hydrogène dans le modèle planétaire de Bohr est constitué par un proton fixe (q = +e au point O) et un électron mobile (q = e sur une trajectoire circulaire de centre O et de rayon r)/ 12.1.a. Déterminer l énergie mécanique (cinétique + potentielle) de l électron en fonction de e, ε 0 et r. 12.1.b. Bohr postula que le moment cinétique de l électron L avait son module quantifié L = nh 2π où n est le nombre quantique principal et h la constante de Planck. En déduire la quantification du rayon de la trajectoire puis le rayon fondamental a 0. 12.1.c. Exprimer l énergie mécanique de l atome d hydrogène. 2015/2016 4/5
Données numériques : a 0 53 pm ; E i = 13,6 ev (énergie d ionisation). 12.2. L atome d hydrogène dans le modèle de Yukawa correspond à un proton fixe (q = +e au point O) et un nuage électronique à symétrie sphérique de densité volumique : ρ(r) = e ( 4πa 2 0 r exp r ) a 0 12.2.a. Vérifier que cette densité volumique traduit la probabilité de présence de l électron dans tout l espace. 12.2.b. Le potentiel créé par cette distribution en un point M (OM = r) est de la forme : ( e V(r) = 4πε 0 r exp r ) a 0 (potentiel de Yukawa). En déduire le champ E en tout point M(r). 12.2.c. Donner l expression du potentiel créé par le seul nuage électronique au point M(r). Quelle est l énergie potentielle d une charge q = +e placée en ce point M(r). En déduire l énergie potentielle du proton placé au point O dans le champ du nuage électronique. Conclure. 2015/2016 5/5