Sujet 2013-201 EXERCICE 1 Torsion : (3 points 15 min) On étudie ici une griffe de jardin, outil servant aux jardiniers du dimanche à aérer la terre ou à désherber. En fonctionnement, cet outil est planté (considéré encastré) dans la terre au niveau du point noté A, et l utilisateur exerce deux efforts perpendiculaires au manche (partie DC) aux points D et C que l on estime à 00 N maxi chacun. On souhaite réaliser cette pièce à l aide d un axe de diamètre D. On étudie la partie AB, sollicitée en torsion. Données géométriques : b = DB = BC = 200 mm a = AB = 1200 mm Données Matériau : E = 210 GPa Re = 20 MPa admح = 150 MPa 1. Déterminer le moment de torsion appliqué à la barre AB C est un couple : Mt = 2. b. = 160 N. m 2. Déterminer le diamètre minimal du tube permettant la résistance de l outil. Contrainte de cisaillement maxi dans la section : τ max = Mt. D < τ Io 2 adm avec Io = π.d 32 On en déduit l expression de D : 3 D > 16.Mt π.τ adm D > 17,58 mm ITII 1/5
Sujet 2013-201 EXERCICE 2 Traction : ( points 15 min) Une éprouvette de traction en alliage d aluminium de type AUG (Caractéristiques matériau : E = 80 000 MPa ; = 0,32 ) de section carrée de coté a et de longueur L = 200 mm est soumise à un effort normal de 0 kn. La contrainte Iadm vaut 200 MPa et l allongement % admissible vaut 0,2%, c'est-à-dire L L = 0,002. Déterminez taille de la section a σ mini qu il faut pour respecter la contrainte admissible imposée et la taille de la section a A% mini qu il faut pour respecter l allongement admissible imposé. Conclure. A la contrainte admissible : σ max = S = a² < σ adm a > σ adm a > 1,1 mm A l allongement admissible : ε max = σ max = = < E E.S E.a² ( L) L adm a > E.( L L ) adm a > 15,81 mm Conclusion : C est à la déformation que la dimension de la section est la plus pénalisante. a > 15,81 mm ITII 2/5
Sujet 2013-201 EXERCICE 3 Torseur de cohésion : (6 points 5 min) La poutre ci-contre est posée sur deux appuis en A et C, soumise à une charge uniformément répartie p suivant y de B à C, un couple C (intensité p. L 2 ) autour de z en B. 1. Exprimez les actions aux appuis. Système matériel isolé : SMI={La poutre} On applique le Principe ondamental de la Statique : Somme des moments en A autour de z : Somme des forces sur y : C + p. λ. dλ + 2. L. Y C = 0 Y A + p. dλ + Y C = 0 L C + 3 2. p. L² + 2. L. Y C = 0 Y A + p. L + Y C = 0 2. L. Y C = C 3. p. 2 L2 = p. L 2 3. p. 2 L2 Y A = 1. p. L Y C = 5. p. L 2. Exprimez les éléments différents de zéro du torseur d action de cohésion. Zone AB : Coté gauche Ty(x) = [Y A] L Ty(x) = 1. p. L Mfz(x) = [ Y A. x] Zone BC : Coté droit Ty(x) = p. dλ + Y C x Ty(x) = p. (2. L x) 5. p. L Ty(x) Mfz(x) = x p. (λ x). dλ + (2. L x). Y C Mfz(x) = 1. p. L. x = p. x + 3. p. L Mfz(x) = p. ( x)² 5. (2. L x). p. L 2 3. Tracez les diagrammes de variation des éléments du torseur d action de cohésion en précisant les valeurs particulières. Ty Mfz ITII 3/5
Sujet 2013-201 EXERCICE : lexion (7 points 5 min) La poutre métallique (E = 200 GPa) à section carrée de coté a ci-contre est soumise à l action d une charge répartie (p = 208 N/m) orientée suivant l axe y. Soit l = 1,5 m. On peut montrer que le moment fléchissant est donné par la relation ci-dessous : Mfz(x) = 1.p. 2 x2 1.p. l. x 2 1. Déterminer le lieu (sans calcul) et l expression de la flèche maxi. (Démarche à justifier) Lieu de la flèche maxi : La flèche est maxi au milieu puisque le problème est symétrique dans son chargement et dans sa géométrie. Hypothèses : Matériau homogène, continu et isotrope ; Elasticité linéaire ; Petites perturbations Rotation de la section droite par rapport à la fibre neutre négligée. Cela implique que l on néglige l effort tranchant pour traduire le déplacement de la poutre. Ainsi γ = 0 dv dx = θ Déformations transversales : E. I Gz. dv(x)2 = E. I dx 2 Gz. dθ(x) dx = Mfz = 1.p. 2 x2 1.p. l. x 2 1 ère intégration : E. I Gz. dv(x) dx = 1 6.p. x3 1.p. l. x² + C 1 2 nd intégration : E. I Gz. v(x) = 1 2.p. x 1 12.p. l. x3 + C 1. x + C 2 Conditions aux limites pour déterminer les constantes C 1 et C 2 En x = 0 il y a un appui, donc pas de déplacement v(0) = 0. On détermine la constante C 2 : E. I Gz 0 = 1.p. 2 0 1.p. l. 12 03 + C 1 0 + C 2 C 2 = 0 En x = l il y a un appui, donc pas de déplacement v(l) = 0. On détermine la constante C 1 : E. I Gz 0 = 1.p. 2 (l) 1.p. l. 12 (l)3 + C 1 l = 0 C 1 = 1.p. l3 2 Bilan E. I Gz. v(x) = 1 2.p. x 1 12.p. l. x3 + 1 2.p. l3. x E. I Gz. dv(x) dx = 1.p. 6 x3 1.p. l. x² + 1.p. l3 2 La flèche maximale vaut donc : v ( l 2 ) = v max = 1 E.I Gz. [ 1 2.p. (l 2 ) 1 12.p. l. (l 2 )3 + 1 2.p. l3 ( l 2 )] v max = 5.p.l 38.E.I Gz ITII /5
Sujet 2013-201 2. La flèche maxi ne doit pas dépasser la portée divisée par 1000. Exprimer puis calculer la valeur de a minimale. Détermination des dimensions de la section droite On connaît la flèche maxi autorisée : v max l 1000 5.p.l l 38.E.I Gz 1000 Quelle valeur pour Iz? Dans le cas d une section carrée a a, le moment quadratique Iz est donné par la relation : Iz = a 12 Calcul de a : a 625.p.l3.E a 8,205 mm ITII 5/5