OPT.1. Modèle scalaire des ondes lumineuses

OPT.1. Modèle scalaire des ondes lumineuses I. Introduction : bref historique II. La lumière : une onde électromagnétique, modèle scalaire 1) Rappels de PTSI sur les ondes 2) La lumière une onde électromagnétique 3) La vibration lumineuse : modèle scalaire réel et complexe III. Caractéristiques des détecteurs et définition de l intensité lumineuse IV. Lien avec l optique géométrique V. Déphasage entre 2 points A et B d un rayon lumineux VI. Sources lumineuses 1) Processus d'émission lumineuse 2) Différents types de sources 3) Modèle fréquentiel d'une source quasi-monochromatique 4) Modèle temporel d'une source quasi-monochromatique VII. Conclusion : expression de la vibration lumineuse Lycée privé Sainte Geneviève. O.S. PT*/PT OPT.1 1

I. Introduction : bref historique 1610 : Galilée : Première lunette astronomique 1621 : Snell (exp) puis Descartes (théo) : lois de la réfraction 1661 : Fermat : interprétation par minimisation du temps de parcours 1675 : Newton propose un modèle corpusculaire de la lumière. 1690 : Huygens propose un modèle ondulatoire. 1810 : Young étudie les interférences : conforte le modèle ondulatoire. 1812 : Fresnel étudie la diffraction en s appuyant sur les idées de Huygens. 1864 : Maxwell. La lumière est une onde électromagnétique. 1887 : Michelson avec interféromètre : C ident. dans toutes les directions 1905 : Einstein introduit la notion de photon pour expliquer l effet photoélectrique et le rayonnement du corps noir : retour théorie corpusculaire. 1926 : de Broglie traite les particules matérielles comme des ondes (dualité onde/corpuscule fin de l opposition!) début de la mécanique quantique. II. La lumière : une onde électromagnétique, modèle scalaire 1) Rappels de PTSI sur les ondes On parle de phénomène ondulatoire lorsqu une grandeur physique varie à la fois dans... L onde est produite par une source et se propage avec une certaine...dans le milieu. Il y a propagation d énergie mais pas de... Si l onde engendre un mouvement de particules, elles restent au voisinage de leur position d équilibre (bouchon du pécheur). Il est intéressant d'étudier les vibrations... car une superposition de vibrations sinusoïdales permet de reconstruire tout type de vibration (décomposition en série de Fourier ou sa généralisation : transformée de Fourier). On s'intéresse donc à une vibration de la forme : A x fixé : fonction sinusoïdale du temps de période : A t fixé : fonction sinusoïdale de l espace de période : Lycée privé Sainte Geneviève. O.S. PT*/PT OPT.1 2

Vitesse de propagation : On s'intéresse par exemple maximum de la courbe : Pulsation et nombre d'onde Expressions équivalentes : et : pulsation et nombre d'onde ou : relation de dispersion : retard temporel (temps mis par l'onde pour se propager.) http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/ondes/cuve_ondes/interference_ondes_circulaires.html 2) La lumière une onde électromagnétique Dans le cours d électromagnétisme nous verrons que la lumière visible peut être décomposée localement (série de Fourier) comme une somme d Ondes Planes Progressives Monochromatiques (OPPM) : La grandeur qui vibre est Lycée privé Sainte Geneviève. O.S. PT*/PT OPT.1 3

Mais lorsqu on réalise des expériences en lumière non polarisée et avec des faisceaux faiblement inclinés les uns par rapport aux autres on peut adopter un modèle scalaire pour l onde lumineuse. On introduit la vibration lumineuse qui représente la composante du champ électrique sur une direction quelconque du plan d onde (Oyz ici) : Dans le vide la vitesse de propagation est. On a donc : Ordres de grandeur : Dans le vide : =. m/s ;... ; = 1/T... Dans un milieu transparent, la lumière se propage moins vite que dans le vide, on introduit l indice optique du milieu (n>1) : la fréquence (et donc la période T) est inchangée, mais la longueur d onde est modifiée (ainsi que le nombre d onde et le retard temporel) : Exemples : Verres : 1,50 < n < 1,75 ; Eau liquide : n = 1,33 ; Air : n air = 1,0003 1 = n vide Lycée privé Sainte Geneviève. O.S. PT*/PT OPT.1 4

3) Vibration lumineuse : modèle scalaire réel et/ou complexe Vibration lumineuse : modèle scalaire réel: Généralisation avec le vecteur d'onde Avec : Notation complexe : Comme toujours avec les signaux sinusoïdaux il est intéressant d'introduire la notation complexe : On associe à : Lycée privé Sainte Geneviève. O.S. PT*/PT OPT.1 5

III. Caractéristiques des détecteurs et définition de l intensité lumineuse Les détecteurs sont sensibles à... transportée par l onde lumineuse : Vecteur Poynting : Les détecteurs sont... par rapport à la période de l onde lumineuse. Exemples de temps de réponse : œil :... photodiode rapide : 10-9 s photomultiplicateur de course :10-12 s A comparer à T :... L œil humain (grâce aux cônes) perçoit les fréquences correspondant à des longueurs d onde dans le vide :... d où la def. du domaine visible. Conclusion : définition de l'intensité en notation réelle A priori on ne peut pas utiliser la notation complexe car... Mais on a la propriété : (à vérifier) Dans le cas de la vibration lumineuse on a donc : Ainsi en notation complexe : Lycée privé Sainte Geneviève. O.S. PT*/PT OPT.1 6

IV. Lien avec l optique géométrique L optique «géométrique», vue en première année, permet de prévoir la formation des images dans des cas simples, en évitant de considérer le caractère ondulatoire de la lumière. L optique géométrique est à l optique physique ce que la mécanique newtonienne est à la mécanique quantique : une approximation! Elle est valable pour... et en l'absence d'interférences!. Rayon lumineux : Définition ondulatoire : les rayons lumineux sont les lignes de champ du vecteur de Poynting : Ils correspondent donc à la direction de propagation de l énergie. Définition expérimentale : un rayon lumineux est un pinceau de lumière infiniment fin. Comme 0,6 m, un pinceau de quelques mm de large, ne subit pas de phénomènes de diffraction et peu représenter un rayon lumineux. Principe de Fermat : Le rayon lumineux allant d un point A à un point B correspond au chemin le plus rapide pour aller de A à B. Temps de parcours infinitésimal : Temps de parcours total : Il s agit donc de minimiser le chemin optique : Dans le cas d un milieu homogène et le plus court chemin est la ligne droite. Sinon : mirages Lycée privé Sainte Geneviève. O.S. PT*/PT OPT.1 7

Définition : Surface d onde = Théorème de Malus : Après un nombre quelconque de réflexions et de réfractions les rayons lumineux sont toujours perpendiculaires aux surfaces d onde. Exemple onde plane : = Les surfaces d onde sont des plans Exemple onde sphérique : Les surfaces d onde sont Effet d une lentille : En plaçant une source ponctuelle au foyer d une lentille on transforme une onde sphérique en onde plane : Remarques : L onde plane n est qu un modèle : tronqué ici! La lentille retarde davantage le rayon central que les rayons extrêmes Pratique pour calculer la différence de phase entre différents trajets Lycée privé Sainte Geneviève. O.S. PT*/PT OPT.1 8

Stigmatisme et conditions de Gauss. Stigmatisme rigoureux : tout rayon issu de A passe par A ; A est l image de A. Le seul système optique rigoureusement stigmatique est le miroir plan. Stigmatisme approché : dans les conditions de Gauss (cad pour des rayons proches de l axe et faiblement inclinés sur l axe) tout rayon issu de A passe par A ; A est l image de A. Qualitativement on peut dire que, pour avoir un point A lumineux, il faut que les rayons lumineux issus de A arrivent en phase en A (interférences constructives), il faut donc que le chemin optique soit le même pour tous les rayons : [AA ] = constante. Ceci est cohérent avec le principe de Fermat qui indique que les rayons lumineux correspondent au chemin le plus rapide entre 2 points. Le temps de parcours doit donc être le même pour tous les rayons allant de A à A'! Ainsi on retiendra que dans les conditions de Gauss : le chemin optique [AA ] est le même quel que soit le rayon reliant un objet A à son image A. Ainsi, sur le schéma suivant, les rayons vont se rencontrer en M dans le plan focal image de la lentille. M est conjugué d un point objet à l infini qui émet une onde plane. On peut affirmer que les chemins optiques [HM] et [H M] sont égaux puisque H et H sont sur le même plan d onde. Du moins dans les conditions de Gauss! H' f' x M F' H Lycée privé Sainte Geneviève. O.S. PT*/PT OPT.1 9

Résultats d optique géométrique à connaitre : (mininum vital : revoir son cours de sup) Lois de Snell-Descartes : Notion de stigmatisme, objet/image, réel/virtuel Conditions de Gauss / stigmatisme Relations de conjugaison des lentilles minces (à savoir redémontrer) : Descartes : 1 1 1 p' p f ' p' p 2 ' f ' Newton : ' f ' ; f ' Rayons fondamentaux pour les tracés de rayons Notion de grandissement et de grossissement Notion de diffraction : Lycée privé Sainte Geneviève. O.S. PT*/PT OPT.1 10

V. Déphasage entre 2 points A et B d un rayon lumineux La différence de phase élémentaire entre 2 points M et M situés sur le rayon infiniment proche l un de l autre est donc : Avec l abscisse curviligne le long du rayon lumineux Ce qui revient tout simplement à considérer qu'entre les 2 points M et M' infiniment proche, on peut considérer une propagation rectiligne sur une distance ds. Ainsi : Soit : Le déphasage est donc directement relié au chemin optique défini précédemment On peut aussi exprimer et interpréter ce déphasage avec le retard temporel correspondant : avec : Déphasages supplémentaires dans des cas particuliers. (ADMIS) Réflexion sur une surface métallique (ou miroir) : déphasage supplémentaire de, soit un chemin optique de 0/2. A B I (B)-(A) = 2 (nai+nib)+ 2 [AB]+ = 0 0 Réflexion sur un milieu plus réfringent (n 2 >n 1 ) : il y a également un déphasage de introduit par la réflexion. n1 n2 A I B Passage par un point de convergence : (B)-(A) = A 2 [AB]+ 0 B Il n y a pas de déphasage supplémentaire dans le cas de la réfraction et dans celui de la réflexion sur un milieu moins réfringent (n 1 >n 2 ) Lycée privé Sainte Geneviève. O.S. PT*/PT OPT.1 11

VI. Sources lumineuses 1) Processus d émission lumineuse : L interaction lumière/matière est caractérisée par 3 types d interactions photon/atome : Absorption : Un atome d énergie initiale E p en présence d un photon d énergie appropriée h np = E n E p, absorbe ce dernier et subit une transition qui l amène dans l état excité d énergie E n. E n h np E n Emission spontanée : L atome dans l état d énergie E n se désexcite spontanément en émettant un photon d énergie h np = E n E p. Le photon émis possède une énergie déterminée mais sa phase, sa direction de propagation et sa polarisation sont aléatoires. C est le processus d émission spontanée qui prédomine dans les sources lumineuses habituelles et leur donne leur caractère incohérent et peu directionnel. E p E n E p E p E n E p h np Emission stimulée : Se produit lorsque un atome dans un état excité E n se trouve en E n E n présence d un champ électromagnétique dont les photons possèdent h np une fréquence np accordée sur la transition atomique. Les photons incidents induisent la désexcitation de l atome avec h np h np émission d un photon possédant exactement les mêmes caractéristiques que le photon incident : même énergie, même E p E p direction de propagation, même phase et même état de polarisation. A partir de chaque photon incident, on obtient deux photons identiques, d où la possibilité d une amplification par réaction en chaîne. Le processus d émission stimulé est à la base du fonctionnement des lasers. 2) Différents types de sources lumineuses Lampe spectrale (Na ou Hg par ex.) : Dans une lampe spectrale, une ampoule contient un gaz sous basse pression. Sous l effet de décharges électriques, les atomes du gaz se désexcitent et émettent un spectre de raies discrètes caractéristique du gaz considéré. En plaçant un filtre interférentiel devant la lampe, on peut obtenir une source quasi monochromatique. Source de lumière blanche : Une source de lumière blanche possède un spectre d émission continu, qui contient toutes les longueurs d onde du domaine visible ex : soleil, lampe à incandescence. La répartition spectrale émise dépend de la température du corps (rayonnement du corps noir) et non de sa matière. Lumière laser : La lumière laser se distingue de toutes les autres sources de lumière par une très grande directivité et par un spectre d émission quasi monochromatique constitué d une raie unique beaucoup plus fine que les raies des lampes spectrales. Les lasers les plus couramment utilisés en laboratoire sont le laser Hélium/Néon ( 0m = 632,8 nm) et les diodes laser. Lycée privé Sainte Geneviève. O.S. PT*/PT OPT.1 12

3) Modèle fréquentiel d'une source quasi-monochromatique : Une source n est jamais parfaitement monochromatique, elle présente une largeur de raie. Ainsi on va donner la représentation spectrale de la source par une courbe I ou plutôt I en fonction de la fréquence. Cette courbe a en général l aspect d une bosse (gaussienne), mais on la modélise le plus souvent par une fonction rectangle qui permet de simplifier grandement les calculs sans changer la généralité des effets. I I Cette largeur de raie a plusieurs causes : - La «largeur naturelle de raie». Elle est due au fait que tout niveau excité d un atome ou d une molécule a une certaine durée et vie et est défini avec une certaine incertitude en énergie (donc en fréquence du photon qu il ou elle émet en se désexcitant). Cet effet est en général masqué par d autres plus importants. - L effet Doppler intervient également puisque les atomes qui émettent ont en général une vitesse d agitation thermique élevée. Ainsi la fréquence que voit l observateur n est pas exactement celle qui est émise (dans un référentiel où l atome est au repos). L observateur voit donc toute une gamme de fréquences autour de la fréquence 0 selon que la vitesse de l atome est grande ou petite, vers lui ou pas L effet Doppler masque largement la largeur naturelle de raie. - Enfin, les collisions entre atomes ou molécules vont être un facteur d élargissement supplémentaire. Il sera particulièrement marqué dans les lampes à haute pression, plus lumineuses mais où les collisions sont plus nombreuses. 4) Modèle temporel d'une source quasi-monochromatique : Quel que soit la source d élargissement nous pouvons construire un modèle temporel qualitativement équivalent en disant que la source émet des successions de trains d ondes (sinusoïdes de phase constante et de durée finie : c ), chaque train d onde ayant une phase à l origine aléatoire par rapport aux autres. Le spectre d une telle onde a en effet une largeur spectrale : = 1/ c Ordre de grandeur : ; A comparer à la période de l onde lumineuse :... Un train d onde a donc un très grand nombre de périodes pour un laser quasi monochromatique, et un très petit nombre pour la lumière blanche! A comparer au temps de réponse des détecteurs usuels :... La durée du train d onde reste petite par rapport à ce temps de réponse! On définit aussi la longueur du train d'onde : Lycée privé Sainte Geneviève. O.S. PT*/PT OPT.1 13

VII. Conclusion : expression de la vibration lumineuse S il n y a pas de problème de polarisation, on peut utiliser un modèle scalaire pour une vibration quasisinusoïdale : avec Avec : chemin optique ; : (t) : phase à l origine (constante pendant la durée d un train d onde ) Nous sommes ainsi armés pour interpréter les phénomènes où il faut considérer le fait que la lumière est une onde et qu elle subit des phénomènes de diffraction et d interférences. Ces phénomènes sont observables quotidiennement comme l illustrent les photos ci-dessous : Interférences sur un film d eau savonneuse Diffraction à travers un voilage de rideau Lycée privé Sainte Geneviève. O.S. PT*/PT OPT.1 14