007 E / Situation Pourquoi le format de nos feuilles de papier est-il de cm 9,7 cm? En fait il n'en a pas toujours été ainsi. Jusque dans les années 70, le format courant était de cm 7 cm. Pourquoi donc a-t-on changé la hauteur de nos feuilles? Voici une piste de recherche : l'époque du changement coïncide avec l'apparition des photocopieurs et de la réduction de documents. Pour réduire intégralement un format original, il faut disposer d'un sous format qui ait la même forme. Or pour des raisons évidentes d'économie, les sous formats s'otiennent les uns à partir des autres par division en deux. S'il en est ainsi, les sous formats peuvent-ils avoir la même forme que le format de départ?... A vous de mener l'enquête...
007 E / Plan de travail - Prenez une feuille 9,7. Coupez-la en deux dans sa hauteur. Répétez l'opération sur l'un des morceaux. Ainsi de suite cinq fois. Disposez les morceaux de la façon suivante : Que constatez-vous? - Faites de même avec une feuille 7. Que constatez-vous? - Pour confirmer vos oservations, complétez les taleaux suivants : Largeur Hauteur Feuille 9,7 Demi-feuille Quart de feuille Huitième de feuille Seizième de feuille Pente de la diagonale Largeur Hauteur Feuille 7 Demi-feuille Quart de feuille Huitième de feuille Seizième de feuille Pente de la diagonale Reportez les résultats sur papier millimétré. - la largeur sera portée en ascisse, - la hauteur en ordonnée. Donnez une valeur approchée des pentes d'alignement.
007 E / Plan de travail - La droite d'alignement du format 9,7 occupe une position moyenne. Sa pente est-elle la moyenne des pentes du format 7? Moyenne arithmétique? Moyenne géométrique? Trouvez la valeur exacte de cette moyenne. - Remarquez que ce résultat se généralise à n'importe quel format. En déduire les formats pour lesquels il y a une seule droite d'alignement. - La feuille 9,7 correspond au format normalisé A c'est-à-dire qu'elle est otenue en coupant fois en deux le format A0. Pourquoi le format A0 a-t-il été choisi comme format de ase? 7 - En déduire les équations qui définissent le format A0. Donnez les dimensions exactes des formats normalisés. Format Largeur Hauteur A0 A A A A - Comment faut-il régler la photocopieuse pour passer d'un format à l'autre (pourcentage de réduction et pourcentage d'agrandissement)?
007 E / Aide - et - Si des morceaux ont la même forme, leurs coins supérieurs droits doivent être alignés avec le coin inférieur gauche. - Pente de la diagonale : hauteur / largeur. - La moyenne arithmétique de deux nomres est la moitié de leur somme. La moyenne géométrique de deux nomres est la racine carrée de leur produit. Pour trouver la valeur exacte de la moyenne utilisez les valeurs fractionnaires des pentes. - Reprendre le taleau de la question - dans le cas général d'un format de hauteur h et de largeur l. - Calculez la surface du format A0. 7 - Le format A0 a une diagonale de pente et une surface de mètre carré. - Vérifiez que l'on passe d'une ligne à la suivante en divisant les mesures par
007 E / - On constate un alignement : les coins supérieurs droits sont tous alignés avec le coin inférieur gauche. Les morceaux ont tous la même forme. - On constate deux alignements différents. Il existe deux formes différentes pour les sousformats. Les morceaux sont de deux sortes : ceux qui ont la forme de la feuille entière et ceux qui ont la forme de la demi-feuille. - Largeur Hauteur Pente de la diagonale Feuille 9,7,7 Demi-feuille,, Quart de feuille 0,,,7 Huitième de feuille 7, 0,, Seizième de feuille, 7,,7 Une valeur approchée de la pente d'alignement est : p (,7 +,) /, (l'alignement n'est pas parfait). Largeur Hauteur Pente de la diagonale Feuille 7,7 Demi-feuille,, Quart de feuille 0,,,7 Huitième de feuille,7 0,, Seizième de feuille,,7,7 Les valeurs approchées des pentes d'alignement sont : p,7 et p, [graphique page suivante]
007 E / hauteur en cm 0 9 7 Format x 9,7 0 9 Format x 7 7 largeur en cm 0 7 9 0 -
007 E 7/ p + p - * Moyenne arithmétique de p et p :,09 * Moyenne géométrique de p et p : p, p p est très proche de la moyenne géométrique de p et p La moyenne géométrique exacte de p et p est : 7 p p, - Ce résultat se généralise à n'importe quel format : Feuille Demi-feuille Quart de feuille Huitième de feuille Seizième de feuille Largeur Hauteur Pente de la diagonale h l h l l l h/ l h / h h / h l/ h/ l / l l / l h/ l/ h / h h / h l/ h/ l / l On trouve un alignement de pente h/l et un alignement de pente l/h. Le produit des pentes d'alignement est toujours. La moyenne géométrique des pentes d'alignement est toujours Les formats pour lesquels il y a un seul alignement ont forcément une diagonale de pente Ils vérifient la formule h l Le format 9,7 ne vérifie pas parfaitement cette condition, mais en est très proche.
007 E / - La feuille A0 s'otient en multipliant les dimensions de la feuille A par. Soit cm, cm. Sa surface vaut 9 979 cm. Elle est très proche de m. Le format A0 a été choisi pour avoir une surface de m. 7 - Le format A0 est complètement défini par les équations : h l hl (h et l en mètres). En éliminant l, on trouve : h soit h h D où h et l h On en déduit les sous formats (en mètres) : FORMAT LARGEUR HAUTEUR A0 A A A A
007 E 9/ - On divise par d'une ligne à la suivante : : x : Donc on multiplie par pour agrandir et on divise par pour réduire (ou encore on multiplie par ) Le pourcentage d'agrandissement est donc : -, 0,, % Le pourcentage de réduction est : - - 0,707 0,9 9, %
007 E 0/ Synthèse La situation de la PAGE BLANCHE est l'occasion d'un travail de synthèse sur des notions très diverses : - pente d'une droite, - moyennes arithmétiques et géométriques, - agrandissement et réduction d'une figure, - système d'équations. Elle est également l'occasion de la découverte du calcul sur les nomres irrationnels (tel que ). En effet dans cette situation, pentes, moyennes et coefficients d'agrandissement sont irrationnels. On tome sur des jeux d'écritures surprenants, tels que : ou Toutes ces écritures proviennent du fait que la racine se "distriue" sur la multiplication et la division : a. a. a a Par contre, attention!!! Il n'en va pas de même pour l'addition et la soustraction : a + a + a - a - [Voir les travaux d'approfondissement page suivante]
007 E / Exercices Mettre sous la forme a (a étant un nomre entier) 7 x x 0 0 - + 0 Mettre sous la forme a (a et étant des nomres entiers) 9 0 9 x + Associer les cases identiques A B C D
007 E / Mettre sous la forme a x x 7 x 9 x x x x x x 0 x 0 x 0 0 0 0 - + 0 - + Mettre sous la forme 0 9 0 9 a x 9 x x + x
007 E / Associer les cases identiques A B C D A B B D B C C D A D C