Quiz de bienvenue On considère le ket associé à un état physiquement acceptable pour un système décrit par l hamiltonien. La relation est-elle toujours vraie? 1. Oui. 2. Oui, dès lors que est indépendant du temps. 3. Non. Table ronde animée par Philippe Grangier sur 30 ans de cryptographie quantique mardi 02/09 de 18h à 20h. ENSAM, 151 Bd de l Hôpital, Paris voir site web du département de physique pour les modalités d inscription Graphe des votes
Physique quantique avancée Emilian Dudas, Jérôme Faure, Karyn Le Hur, Luca Perfetti, Pascale Senellart, Jean-Eric Wegrowe, Manuel Joffre Poursuite de l apprentissage des principes fondamentaux (Pauli) Nouvelles méthodes pour traiter des problèmes plus complexes (3D) Exploitation des symétries du système (translation, rotation, ) Méthodes d approximation (perturbations, variations, ) Structure de la matière : atomes, molécules, solides Quelques exemples de technologies quantiques (horloges atomiques, spectroscopie infrarouge, détecteurs à puits quantiques, etc.) www.orolia.com
Ressources pédagogiques Jean-Louis Basdevant & Jean Dalibard Chapitres 1 à 17 (sauf 15.1-15.3) http://www.enseignement.polytechnique.fr/profs/physique/manuel.joffre/phy430 - Diapos et simulations présentées en amphi - Guide de lecture du livre (correspondance amphis chapitres) - Questionnaires en ligne (chaque semaine avant lundi 9h00) Participation au QCM contribue à la note de PC (avec Devoirs à la Maison et participation en PC) - Boîtiers de vote électronique
Amphi 1 : Les principes de la physique quantique Etat quantique d un système Mesure Evolution temporelle Commutation des observables Relire le chapitre 5 Refaire le contrôle PHY311 du 2 juillet 2014
1. Etat quantique d un système
Principe 1 : espace de Hilbert et vecteur d état A chaque système physique est associé un espace de Hilbert approprié L état du système est défini par un vecteur normé appelé ket Base hilbertienne TF Cas du mouvement d une particule ponctuelle
Rappels sur la notation de Dirac Bra Bracket Ket Soit un opérateur linéaire agissant dans Elément de matrice Vecteur ligne Matrice carrée Vecteur colonne
Projecteur sur le ket est un opérateur. est un projecteur. est le projecteur sur l état
Point de vue matriciel
La relation de fermeture
Exemples d espaces de Hilbert Système Espace de Hilbert Etat quantique Particule ponctuelle Ensemble de deux particules (ex : H) Vibration d une molécule diatomique Etat de polarisation d un photon Spin 1/2 Espace de dimension 2 Espace de dimension 2
Produit tensoriel de deux espaces de Hilbert Soit un système quantique (a) décrit par l espace de Hilbert Soit un système quantique (b) décrit par l espace de Hilbert de base de base Si (a) est dans l état et (b) est dans l état, alors l état du système quantique global est noté produit tensoriel L espace de Hilbert associé au système quantique global est appelé espace produit tensoriel et est noté La forme générale d un état est : Etats factorisés Etats intriqués
Plusieurs degrés de liberté d une même particule Particule sans spin base de Particule de spin ½ base de
Système constitué de plusieurs particules (a) (b) Deux particules de spin ½ Deux spins ½ (sans prise en compte des degrés de liberté externes)
2. Mesure
Principe 2 : Mesure d une grandeur physique Une grandeur physique A est représentée par un opérateur auto-adjoint (ou hermitien) appelé observable. Les valeurs propres de sont réelles. Théorème spectral : Les vecteurs propres de constituent une base de Le résultat d une mesure de est l une des valeurs propres de. Si le système est dans l état, la probabilité de mesurer est Après la mesure de, le système est projeté dans l état
Exemple de mesure : l expérience de Stern et Gerlach Laser MESURE Schrödinger OU Evolution Réversible Evolution irréversible
Effet de la dégénérescence des espaces propres Cas non dégénéré Cas dégénéré Dimension espace propre = 1 Dimension espace propre = Probabilité de mesurer Projecteur Etat après mesure
Mesure dans un espace produit tensoriel Soit un ensemble de deux particules de spins ½ placées dans l état On mesure la grandeur. Quelle est la probabilité de trouver, et dans cette éventualité, quel est l état du système après la mesure? A. 0 B. ½ C. 1 D. E. F. Graphe des votes
3. Evolution temporelle
Principe 3 : Equation de Schrödinger En l absence de mesures, l évolution du vecteur d état par l équation de Schrödinger est donnée L opérateur est l Hamiltonien. C est l observable énergie. Pour un système isolé, l Hamiltonien est indépendant du temps: Exemple de système isolé : atome d hydrogène (amphi 4) Exemple de système non isolé : spin ½ dans un champ magnétique tournant (RMN PHY311 amphi 7)
Evolution temporelle d un système isolé Pour un système isolé, il est fructueux de rechercher les états propres de puis de développer sur cette base propre: avec
Evolution temporelle suite à une mesure d énergie Dans un puits infini, on effectue une mesure d énergie qui donne la valeur E 2. Après la mesure, la position moyenne de la particule dans le puits : 1. oscille à la fréquence E 1 /h, 2. oscille à la fréquence E 2 /h, 3. oscille à la fréquence (E 2 - E 1 )/h, 4. n oscille pas. E 3 E 2 E 1 Graphe des votes
Superposition linéaire dans un puits infini
4. Commutation des observables Algèbre non commutative : en général,
Quelques règles utiles sur les commutateurs Définition Un commutateur sert à remettre à l «endroit» un produit de deux opérateurs Bilinéarité du commutateur Par exemple : Commutateur entre un produit d opérateurs et un autre opérateur
Observables qui ne commutent pas Il est impossible de connaître précisément à la fois A et B. Relation d incertitude de Heisenberg (PC1) Si on prépare le système dans un état associé à une incertitude Da sur la grandeur A, alors la relation d incertitude impose une borne inférieure sur l incertitude Db de la grandeur B dans cet état. Si on mesure la grandeur A avec une précision Da, alors la relation d incertitude impose une borne inférieure sur l incertitude Db de la grandeur B dans l état du système après la mesure. Exemple (exercice)
Observables qui commutent Tout sous-espace propre de est stable par (exercice) Il existe une base propre commune à et (exercice) Après des mesures successives des grandeurs A et B, le système est dans un sous-espace propre commun à A et B. Les grandeurs physiques correspondantes sont donc connues avec certitude : Da = 0, et Db = 0. Si ne dépend pas explicitement du temps et si, alors la grandeur est une constante du mouvement (d après Th. d Ehrenfest) :
En résumé Principe 1 : Principe 2 : mesure Principe 3 : Chapitre 5 Mesure dans le cas dégénéré (utilisation des projecteurs) Relation d incertitude de Heisenberg Il existe une base propre commune à et