4 e A - programme 2011 mathématiques ch.d1 cahier élève Page 1 sur 12 Ch.D1 : Proportionnalité Activité 1 page 108 Représentations graphiques et tableaux Les tableaux et graphiques suivants concernent des conversions de mesures de grandeurs : Ta ble a u 1 Ta ble a u 2 Températ ure en F* 14 32 41 9 9 Prix en 10 1 20 Températ ure en C -10 0 1 3 Prix en F 32,8 6,6 98,4 131,2 Ta ble a u 3 Ta ble a u 4 Dist ance en ft * 0 10 1 Dist ance en M* 0 10 1 Dist ance en m 0 1,24 3,048 4,72 Dist ance en km 0 9,26 18,2 27,78 Ta ble a u ** V = 40, B = 0 Valeur de R (codage RVB* * ) 0 0 10 200 2 Valeur de H (codage HSI* ) 120 49,1 23,4 14,9 10,9 8,4 * Le mille marin M est une unité de mesure utilisée dans la marine. Le degré Fahrenheit ( F) est une unité de mesure de température et le pied (ft) est une unité de mesure de longueur, utilisées au Royaume-Uni. Les codages RVB et HSI sont des codages de couleur : R indique la valeur du Rouge, H la valeur de la teinte (Hue en anglais). 30 2 20 1 10 4 3 2 1 Graphique 1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Graphique 4 40 30 20 10 0-10 120 80 60 40 20 0 0 10 200 20 Graphique Graphique 2 10 20 30 40 0 60 70 80 90 130 120 110 90 80 70 60 0 40 30 20 10 Graphique 3 0 10 1 20 1) Associe chaque graphique au tableau qui lui correspond. 0 10 1 20 2 2) Parmi les conversions proposées précédemment, quelles sont celles qui correspondent à des situations de proportionnalité? 3) Qu'ont en commun les graphiques qui correspondent à des situations de proportionnalité? 4) Recopie et complète la phrase suivante : «Si une situation est de proportionnalité alors elle est représentée graphiquement par.».
4 e A - programme 2011 mathématiques ch.d1 cahier élève Page 2 sur 12 Activité 2 page 109 Représentation graphique et proportionnalité 1) Comment peux-tu construire facilement la représentation graphique d'une situation de proportionnalité? 2) Fin novembre 2006, le cours de l'euro en dollar des États-Unis s'établit comme suit : 1 = 1,32 $ USD. En prenant en abscisse 1 cm pour 1 et en ordonnée 1 cm pour 1 $ USD, et en plaçant un point bien choisi, représente graphiquement la conversion euro-dollar USD. y 1 14 13 12 11 10 9 8 7 6 4 3 2 1 0 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 x 3) À l'aide du graphique, donne une valeur approchée en $ USD de 6 puis de 7. 6 7,9 $ 7 9,2 $ 4) À l'aide du graphique, donne une valeur approchée en de 3 $ USD puis de 1 $ USD. 3 $ 2,3 1 $ 11,4 ) Recopie puis complète le tableau suivant avec les valeurs exactes ou arrondies au centième : Euro ( ) 6 7 Dollar USD ($ USD) 3 1 Source : Banque de France http://www.banque-france.fr/. 6 2,27 11,36 7 7,76 USD $ USD 7,92 3 1 9,24 132 6) Compare avec ce que tu as trouvé au 2) et au 3).
4 e A - programme 2011 mathématiques ch.d1 cahier élève Page 3 sur 12 Activité 3 page 109 Quatrième proportionnelle 1) Réduction à l'unité a) 6 kg de pommes coûtent 9,60. Calcule le prix d'un kilogramme de pommes. b) Combien coûtent 7 kg de ces mêmes pommes? 9,60 6 = 1,6 1 kg 1,60 1,60 7 = 11,2 7 kg 11,20 2) Utilisation de la proportionnalité a) Six cédéroms coûtent 102. Combien coûtent trois de ces mêmes cédéroms? b) Combien coûtent neuf de ces mêmes cédéroms? kg 6 1 9,60 kg 6 1 7 9,60 1,60 102 2 = 1 1 CD 6 3 102 102 + 1 = 13 13 3) Produits en croix a) Écrire que le tableau ci-contre est un tableau de proportionnalité revient à dire que les produits en croix a d et b c sont égaux. Calcule les produits en croix pour les tableaux suivants et dis si ce sont des tableaux de proportionnalité : Masse en kg 1 33,7 Prix en 4 9 Distance en m 3 4, Durée en min 12,2 18,4 CD 6 3 9 102 1 Grandeur 1 a c Grandeur 2 b d Volume en L 4,2 Prix en, 7,1 1 9 = 13 4 33,7 = 13 3 18,4 =,2 12,2 4, = 4,9 4 7,1 = 28,6,,2 = 28,6 b) Complète les tableaux de proportionnalité en utilisant l'égalité des produits en croix : Masse en kg 11... Distance en m 3 4, Volume en L...,4 Prix en 4 1,2 Durée en min 12,87... Prix en 23,4 17, 11 1,2 = 41,8 kg 11 41,8 4 4 1,2 12,87 4, 3 23,4,4 17, = 19,30 m 3 4, min 12,87 19,30 = 7,2 L 7,2,4 23,4 17, 4) Au choix! Complète les tableaux de proportionnalité suivants en utilisant la méthode de ton choix : Masse en kg 11... Distance en m 3,9 4, Volume en L... 6 Prix en 4 12 Durée en min 23,01... Prix en 21 18 11 3 = 33 23,01 4, 3,9 = 26, kg 11 33 4 12 m 3,9 4, min 23,01 26,
4 e A - programme 2011 mathématiques ch.d1 cahier élève Page 4 sur 12 21 3 = 7 L 7 6 21 18
4 e A - programme 2011 mathématiques ch.d1 cahier élève Page sur 12 1 GRANDEURS PROPORTIONNELLES 1.1 Quatrième proportionnelle ex. 1 PROPRIÉTÉ 1 Dans une situation de proportionnalité, la quatrième proportionnelle est le quatrième nombre (x) calculé à partir de trois autres nombres déjà connus (a, b et c). Le tableau ci-contre est un tableau de proportionnalité. On a : b a = x c. Et donc : a x = b c (égalité des produits en croix). Exemple 1 : Calcule le prix x de trois baguettes grâce au tableau de proportionnalité suivant. Solution : Le prix du pain est proportionnel au nombre de baguettes achetées. L'égalité des produits en croix donne : x = 4,2 3. Donc : x = 4,2 3 = 12,7 = 2,. Exercice n 4 page 114 Impact Un automobiliste n'échappe pas aux lois de la physique. Ainsi la force d'impact d'un véhicule lancé à 120 km/h est 16 fois plus grande que celle d'un véhicule qui roule à 30 km/h. La force d'impact d'un véhicule est-elle proportionnelle à sa vitesse? 30 16 1 Nom bre de baguett es Prix en a b c x? a, b et c sont différents de zéro. différent s de zéro. 4,2 3 x? http://commons.wikimedia.org = 480 120 1 16 km/h 30 120 Exercice n page 114 Fusibles Une installation électrique correctement conçue est protégée par des fusibles dont la valeur limite est donnée en ampères (A). La valeur limite d'un fusible est proportionnelle à la puissance maximale en watts (W) supportée par l'installation. Ainsi un fusible de 16 A peut supporter une puissance maximale de 3 00 W. a) Quelle puissance maximale peut supporter un fusible de 30 A? b) Quelle doit être la valeur limite d'un fusible pour une puissance maximale de 20 W? 30 3 00 = 6 62, A 16 30 16 W 3 00 20 30 A 6 62, W 16 20 3 00 = 24 20 W 24 A Exercice n 1 page 113 Quatrième proportionnelle Calcule x, y et z dans le tableau de proportionnalité cicontre. Taille d'un fichier (en Mo) x 2,7 740 z Durée de téléchargement (en s) 208 44 y 10 x 208 = 2,7 208 2,7 x = x = 13 44 44 740 y = 2,7 740 44 y = y = 11 840 44 2,7 z 10 = 2,7 10 2,7 z = z = 0,62 44 44 Exercice n 6 page 114 Au marché Lucie achète 1,2 kg de carottes et paye 1,02. a) Combien coûtent 2 kg de carottes? b) Quelle masse de carottes peut-elle acheter avec 1,36?
1,02 2 1,2 = 1,7 4 e A - programme 2011 mathématiques ch.d1 cahier élève Page 6 sur 12 2 kg 1,70 1,2 1,36 = 1,6 1,36 1,6 kg 1,02 Exercice n 7 page 114 Fuite Une chasse d'eau qui fuit dans la maison de Gérard laisse échapper 1 L d'eau en 3 h. a) Quelle quantité d'eau est perdue en une semaine? b) 1 m 3 d'eau coûte,20. Que coûtera cette fuite à Gérard au bout d'un an s'il ne la répare pas? 1 = 7 = 7 24 = 168 h L 1 1 168 3 = 840 840 L 1 m 3 = 1 000 dm 3 = 1 000 L 1 an = 2 2 840 = 43 680 L = 43 680 dm 3 = 43,68 m 3 43,68,2 = 227,136 43,68 m 3 227,14 1,2 2 1,02 1,36 h 3 168 Exercice n 8 page 114 Bien manger Un patient obèse typique verra son poids augmenter de quelque 20 kg en 10 ans. Ceci signifie un excès d'apport quotidien de 30 à 40 kilocalories au début du processus d'obésité [ ]. Un excès quotidien de cette ampleur correspond initialement à moins d'un demi-sandwich. (Per Björntorp. Obesity. The Lancet, 1997) Entre quelles valeurs se situe l apport calorique quotidien de deux sandwiches? 30 2 0, = 140 40 2 0, = 160 30 40 0, 2 140 160 Exercice n 9 page 11 Tabagisme Les jeunes de 12 à 2 ans qui fument régulièrement consomment en moyenne 10 cigarettes par jour. (source : www.tabac-info-service.fr) a) En supposant qu'un fumeur commence à l'âge de 14 ans à ce rythme, et continue jusqu'à 2 ans, combien de cigarettes aura-t-il fumées? Fumer peut entraîner une mort lente et douloureuse b) Le prix moyen d'une cigarette est 0,2 en 2006. Quelle est la somme consacrée par ce fumeur à l'achat de ses cigarettes en 2006? 2 14 = 11 = 11 36 = 4 01 4 01 4 01 10 = 40 10 40 10 0,2 40 10 1 = 10 037, 10 037,0 0,2 1 40 10 1.2 Représentation graphique ex. 2 et 3 PROPRIÉTÉ 2 Si on représente, dans un repère, une situation de proportionnalité alors on obtient des points alignés avec l'origine du repère. Exemple 2 : Le périmètre p d'un carré est proportionnel à son côté c puisqu'on a p = 4c. Représente graphiquement le périmètre en fonction du côté.
Distance d'arrêt (m ) Alcoolém ie (g/l) Prix en euros 4 e A - programme 2011 mathématiques ch.d1 cahier élève Page 7 sur 12 Solution : 1) On choisit des valeurs pour le côté c. 2) On calcule les valeurs correspondantes du périmètre p. côté c 1 2 3 4 (en cm ) 4 périm ètre p 4 8 12 16 (en cm ) 3) On place les points dans un repère comme ci-contre. PROPRIÉTÉ 3 Si une situation est représentée par des points alignés avec l'origine du repère, alors c'est une situation de proportionnalité. Exemple 3 : Ces graphiques représentent-ils des situations de proportionnalité? Justifie. Solution : p (cm ) 16 12 8 4 1 2 3 4 c (cm ) Oui, car les points sont alignés avec l'origine du repère. Non, car les points sont alignés mais pas avec l'origine du repère. Non, car les points ne sont pas alignés. Exercice n 2 page 113 Représente une situation de proportionnalité À la halle aux fruits, le kilogramme de clémentines est vendu 2,20. Représente graphiquement le prix à payer en fonction de la masse de clémentines achetées (prends 1 cm pour 1 kg en abscisse et 1 cm pour 1 en ordonnée). 7 6 Prix en fonction de la m asse 4 3 (1 ; 2,2) 2,20 2 1 0 0 1 2 3 Masse en kg Exercice n 3 page 113 Situations proportionnelles? À l'aide des graphiques et en justifiant, réponds aux questions. a) L'alcoolémie (concentration d'alcool dans le sang) est-elle proportionnelle au temps? b) La distance d'arrêt est-elle proportionnelle à la vitesse? 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 Au cours d'un repas 0 1 2 3 4 6 7 8 9 10 Tem ps Mom ent (heures) d'absorption 160 140 120 80 60 40 20 0 0 30 Sur route sèche 0 90 110 130 Vitesse (km /h)
4 e A - programme 2011 mathématiques ch.d1 cahier élève Page 8 sur 12 Exercice n 1 page 114 Promenade a) Ce graphique illustre-t-il une situation de proportionnalité? b) La promenade dure 3 h et s'effectue à la même vitesse. Complète le tableau ci-contre : Distance (en km) 40 Durée (en min) 4 16 10 1 40 30 4 120 16 Exercice n 2 page 114 Distance d'arrêt La distance d'arrêt d'une voiture est-elle proportionnelle à sa vitesse? Justifie ta réponse à l'aide du graphique suivant qui représente la distance d'arrêt d'une voiture en fonction de sa vitesse : Exercice n 3 page 114 Rémi Ce tableau indique la taille de Rémi en fonction de son âge. a) Est-ce une situation de proportionnalité? Age (en années) 2 10 12 Taille (en cm) 80 12 10 b) Représente graphiquement l'évolution de la taille de Rémi en fonction de son âge. Peux-tu répondre à la question a) sans faire de calculs? Justifie. 2 = 200 80 = 400 2 80
y 4 e A - programme 2011 mathématiques ch.d1 cahier élève Page 9 sur 12 140 120 80 60 40 20 0 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 x 2 APPLICATIONS DE LA PROPORTIONNALITÉ 2.1 Vitesse ex. 4 à 6 DÉFINITION 1 Si un mobile parcourt une distance d en un temps t, alors la vitesse moyenne v de ce mobile est le quotient de d par t : v = d t. On a aussi, d'après l'égalité des produits en croix : d = vt et t = d v. Exemple 4 : Sur un parcours de 60 km, la vitesse moyenne d'un cycliste est de 30 km/h. Calcule la durée de son trajet. Solution : d = vt donc t = d 60 km = = 2 h On calcule la durée t en appliquant la formule. v 30 km/h La durée de son trajet est donc de 2 h. Rappel : 1 h = 3 600 s 1 km = 1 000 m Exemple : Convertis 4 km/h en m/s et 2, m.s 1 en km.h 1. Solution : 4 km/h signifie que l'on parcourt 2, m.s 1 signifie que l'on parcourt 4 km en 1 h 2, m en 1 s 3 6 0 0 4 000 m en 1 h 1 m Donc : 4 km/h = 1 m/s. en 1 s 3 6 0 0 3 6 0 0 0,002 km en 1 s 9 km en 1 h Donc : 2, m.s 1 = 9 km.h 1. 3 6 0 0 Exercice n 4 page 113 Durée d'un trajet Un TGV a parcouru 40 km à 240 km/h de moyenne. Calcule la durée du trajet. TGV 40 km 240 km/h 1 h 240 km km 40 240 h x 1
4 e A - programme 2011 mathématiques ch.d1 cahier élève Page 10 sur 12 x = 40 1 240 = 2,2 0,2 0,2 h= 0,2 60 = 1 min TGV 2 h 1 min 40 km Exercice n page 113 Conversion de vitesse En France, la vitesse maximale autorisée sur autoroute est 130 km/h. Convertis cette vitesse en m/s. 130 km/h 1 3 600 130 km 130 000 m 1 km 130 000 d s 3 600 1 d = 130 000 1 3 600 = 32 9 36,1 m 130 km/h 36,1 Exercice n 6 page 113 Conversion de vitesse (bis) Après 10 min de vol, la fusée Ariane atteint 8 112 m.s 1. Convertis cette vitesse en km.h 1. 10 8 112 m s 1 1 s 8 112 m 3 600 s s 1 3 600 m 8 112 d d = 3 600 8 112 = 29 203 200 m 29 203,2 km 10 min 29 203,2 km h 1 Exercice n 21 page 116 Records a) Le record du monde du m est détenu au 1/06/2006 par Asafa Powell en 9,77 s. Quelle a été sa vitesse en m/s lors de sa course? b) Le record du monde du 10 000 m est détenu au 26/08/200 par Kenenisa Bekele en 26 min 17,3 s. Quelle a été sa vitesse en m/s puis en km/h lors de sa course? 1 9,77 10,24 m s 9,77 1 10,24 m/s 26 min 17,3 s = 26 60 + 17,3 = 1 77,3 s 10 000 1 1 77,3 6,34 6,34 m/s. 10 3 600 1 77,3 22,82 22,82 km/h. m 10 000 s 1 77,3 1 km 10 s 1 77,3 3 600 Exercice n 22 page 116 En route vers les vacances Cynthia est partie de chez elle à 8 h 30 et est arrivée à son lieu de vacances à 16 h 0 après avoir parcouru 62 km en voiture. Quelle a été la vitesse moyenne du trajet? 16 h 0 8 h 30 = 8 h 20 = 8 60 + 20 = 00 min km 62 62 60 = 7 00 min 00 60 7 km/h
Pour connaître le pourcentage... 4 e A - programme 2011 mathématiques ch.d1 cahier élève Page 11 sur 12 Exercice n 24 page 116 L'éruption du Mont Saint Helens en 1980 Une nuée ardente composée de gaz surchauffés, de cendre, de pierre ponce et de roche pulvérisée s échappe latéralement à une vitesse initiale de 30 km/h et accélère rapidement pour atteindre les 1 080 km/h. (http://fr.wikipedia.org) Quelle distance (en km) la nuée ardente a-t-elle parcourue en 30 s à sa vitesse maximale? 1 h = 60 min = 60 60 = 3 600 s 1 080 30 = 9 3 600 9 km 30 s km 1 080 s 3 600 30 Exercice n 2 page 116 Histoire de trains Le TGV «Nord» part de Lille à 10 h 20 vers Paris à la vitesse de 227 km.h 1 et le TGV «Sud» part de Paris à 10 h 30 vers Lille à la vitesse de 239 km.h 1. La distance Lille-Paris est environ de 220 km par le train. Ces deux trains vont-ils se croiser avant 10 h 3? 227 33 10 h 3 10 h 20 = 33 min = 124,8 km 227 60 min 60 33 TGV 124,8 km 33 min 239 33 60 = 131,4 TGV 131,4 km 33 min 124,8 + 131,4 > 220 10 h 3 km 239 min 60 33 2.2 Pourcentages ex. 7 Exemple 6 : 2 filles et 20 garçons de deux classes de 4 e ont effectué un devoir commun. 60 % des filles et 0 % des garçons ont obtenu la moyenne. Calcule le pourcentage d'élèves qui ont obtenu la moyenne dans l'ensemble de ces deux classes. Solution : 1) Nombre de filles qui ont obtenu la moyenne : 60 60 2 2 filles = filles = 1 filles. 2) Nombre de garçons qui ont obtenu la moyenne : 0 0 20 20 garçons = garçons = 10 garçons. 3) On calcule le nombre total d'élèves dans les deux classes : 2 + 20 = 4 élèves. On calcule le nombre d'élèves ayant eu la moyenne : 1 + 10 = 2 élèves. Nom bre d'élèves qui ont obtenu la m oyenne Nom bre TOTAL d'élèves 2 4 n? L'égalit é des produit s en croix donne : 4 n = 2 Donc : n = 2 4 n 6 Donc environ 6 % des élèves des deux classes ont obtenu la moyenne. Exercice n 7 page 113 Cacao et pourcentage Pour faire un gâteau, je fais fondre une tablette de g de chocolat dont la teneur en cacao est de 70 % avec une tablette de 200 g dont la teneur en cacao est de 8 %. a) Calcule la masse de cacao contenue dans le mélange ainsi constitué. b) Quel est le pourcentage de cacao dans ce mélange? 70 % g 70 g 8 % g 8 g 300 g 200 g 8 2 = 170 g 70 + 170 = 240 g g 240 p
4 e A - programme 2011 mathématiques ch.d1 cahier élève Page 12 sur 12 g 300 80 % 3 p = 240 3 = 80 Exercice n 12 page 11 Prix a) Julien obtient une réduction de 1 % sur un vélo valant 18. Quel est le montant de la réduction obtenue par Julien? b) Patrick a obtenu une réduction de 27 sur une console de jeu qui valait 22. Quel pourcentage de réduction a-t-il obtenu? c) Saïd a obtenu une baisse de 4 sur un appareil photo, soit une baisse de 30 % du prix initial. Quel était le prix initial de l'appareil photo? 18 1 = 23,7 18 1 23,70 27 22 4 30 = 12 = 10 12 % 10 22 27 30 4 Exercice n 13 page 11 Placement Luc a placé un capital de 1 00 à sa banque le 1er janvier 2007 à un taux d'intérêts annuel de 6 %. Cela signifie que chaque année la banque rajoute au capital 6 % de ce capital. Quel sera le capital de Luc le 01/01/2008? Quel sera le capital de Luc le 01/01/2009? Quel pourcentage de son capital de départ Luc aura-t-il gagné en deux ans? 1 00 106 = 1 90 1 00 106 1 90 1 90 106 = 1 68,4 90 + 9,4 = 18,4 18,4 1 00 = 12,36 1 68,40 18,40 12,36 % 1 90 106 1 00 18,4