Quand le bruit est à l origine de comportements périodiques

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Quand le bruit est à l origine de comportements périodiques"

Transcription

1 1/17 Quand le bruit est à l origine de comportements périodiques Christophe Poquet Université Paris Dauphine, CEREMADE 28 juin 2014 En collaboration avec G.Giacomin, K.Pakdaman et X.Pellegrin (Paris 7).

2 2/17 Périodicité en neurosciences Groupes de neurones à l origine d émissions électriques périodiques dans les centres neuronaux dédiés à la respiration, chez les mammifères.

3 2/17 Périodicité en neurosciences Groupes de neurones à l origine d émissions électriques périodiques dans les centres neuronaux dédiés à la respiration, chez les mammifères. Un tel neurone observé isolément n a pas de comportement périodique.

4 2/17 Périodicité en neurosciences Groupes de neurones à l origine d émissions électriques périodiques dans les centres neuronaux dédiés à la respiration, chez les mammifères. Un tel neurone observé isolément n a pas de comportement périodique. phénomène dû à l interaction et au bruit.

5 2/17 Périodicité en neurosciences Groupes de neurones à l origine d émissions électriques périodiques dans les centres neuronaux dédiés à la respiration, chez les mammifères. Un tel neurone observé isolément n a pas de comportement périodique. phénomène dû à l interaction et au bruit. Cette apparition de périodicité a pu être obtenue par simulation de différents modèles de neurones.

6 2/17 Périodicité en neurosciences Groupes de neurones à l origine d émissions électriques périodiques dans les centres neuronaux dédiés à la respiration, chez les mammifères. Un tel neurone observé isolément n a pas de comportement périodique. phénomène dû à l interaction et au bruit. Cette apparition de périodicité a pu être obtenue par simulation de différents modèles de neurones. Ce type de phénomène est présent dans d autres systèmes (polymères, réactions chimiques...).

7 2/17 Périodicité en neurosciences Groupes de neurones à l origine d émissions électriques périodiques dans les centres neuronaux dédiés à la respiration, chez les mammifères. Un tel neurone observé isolément n a pas de comportement périodique. phénomène dû à l interaction et au bruit. Cette apparition de périodicité a pu être obtenue par simulation de différents modèles de neurones. Ce type de phénomène est présent dans d autres systèmes (polymères, réactions chimiques...). point clé : excitabilité.

8 3/17 Systèmes excitables Un système excitable admet un état de repos stable, et répond de manière non linéaire aux perturbations : en cas de petite perturbation, il revient rapidement à son état de repos stable, si l amplitude de la perturbation dépasse un certain seuil, il passe d abord par son état d excitation avant de revenir à l état de repos. Stimulation Système excitable Réponse

9 4/17 Systèmes excitables bruités en interaction Ingrédients : Population de N systèmes excitables

10 4/17 Systèmes excitables bruités en interaction Ingrédients : Population de N systèmes excitables bruit excitations aléatoires

11 4/17 Systèmes excitables bruités en interaction Ingrédients : Population de N systèmes excitables bruit excitations aléatoires interaction corrélations entres les excitations

12 4/17 Systèmes excitables bruités en interaction Ingrédients : Population de N systèmes excitables bruit excitations aléatoires interaction corrélations entres les excitations N loi des grands nombres

13 4/17 Systèmes excitables bruités en interaction Ingrédients : Population de N systèmes excitables bruit interaction N excitations aléatoires corrélations entres les excitations loi des grands nombres Constat : Il peut y avoir apparition de phénomènes périodiques pour le système global, lorsque le bruit est bien dosé (ni trop fort, ni trop faible).

14 4/17 Systèmes excitables bruités en interaction Ingrédients : Population de N systèmes excitables bruit interaction N excitations aléatoires corrélations entres les excitations loi des grands nombres Constat : Il peut y avoir apparition de phénomènes périodiques pour le système global, lorsque le bruit est bien dosé (ni trop fort, ni trop faible). Question : Est-il possible de démontrer ce type de phénomène, pour un modèle simple?

15 5/17 Choix du système isolé Considérons le système unidimensionnel (ϕ S 1 := R/2πZ) dϕ(t) = V (ϕ(t))dt, où V(θ) = θ acosθ (et donc V (θ) = 1+asinθ). a < 1 a >

16 6/17 Active Rotators Introduit par Kuramoto, Sakaguchi, Shinomoto (1988). Considérons le système de phases (ϕ j S 1 ) : dϕ j (t) = δv (ϕ j (t))dt K N N sin(ϕ j (t) ϕ i (t)) dt+σdb j (t), i=1 où V est un potentiel (par exemple V(θ) = θ acosθ), {B j } j=1...n est une famille de mouvements Browniens indépendants, δ, K et σ sont des constantes positives.

17 7/17 Mesure empirique Définissons la mesure empirique du système : µ N,t (dθ) = 1 N N δ ϕj (t)(dθ). j= π

18 N = 4000, K = 2, a = 0.7, δ = 0.5 8/17

19 N = 4000, K = 2, a = 1.4, δ = 0.5 9/17

20 N = 4000, K = 2, a = 1.1, δ = /17

21 11/17 Loi des grands nombres Rappel : dϕ j (t) = δv (ϕ j (t))dt K N N sin(ϕ j (t) ϕ i (t)) dt+σdb j (t) = δv (ϕ j (t))dt+j µ N,t (ϕ j (t))dt+σdb j (t), avec J(θ) = Ksinθ. i=1

22 11/17 Loi des grands nombres Rappel : dϕ j (t) = δv (ϕ j (t))dt K N N sin(ϕ j (t) ϕ i (t)) dt+σdb j (t) = δv (ϕ j (t))dt+j µ N,t (ϕ j (t))dt+σdb j (t), avec J(θ) = Ksinθ. i=1 Si µ N,0 (dθ) p 0 (θ)dθ lorsque N, alors la mesure empirique µ N,t admet une limite déterministe lorsque N, qui est la solution de l EDP t p t (θ) = σ2 2 2 θ p t(θ) θ [p t (θ)j p t (θ)]+δ θ [ pt (θ)v (θ) ].

23 N =, K = 2, a = 1.1, δ = /17

24 13/17 Idées de preuve Pour δ petit, l EDP t p t (θ) = σ2 2 2 θ p t(θ) θ [p t (θ)(j p t )(θ)]+δ θ [ pt (θ)v (θ) ] est une perturbation de t p t (θ) = σ2 2 2 θ p t(θ) θ [p t (θ)(j p t )(θ)].

25 13/17 Idées de preuve Pour δ petit, l EDP t p t (θ) = σ2 2 2 θ p t(θ) θ [p t (θ)(j p t )(θ)]+δ θ [ pt (θ)v (θ) ] est une perturbation de t p t (θ) = σ2 2 2 θ p t(θ) θ [p t (θ)(j p t )(θ)]. Il s agit de l EDP limite correspondant au système de N rotateurs ne subissant que l interaction et le bruit : dϕ j (t) = K N N sin(ϕ j (t) ϕ i (t))dt+σdb j (t). i=1

26 N = 1000, K = 2, σ = 1 14/17

27 15/17 Idées de preuve 2 Si l interaction est assez forte K > σ 2, l EDP avec δ = 0 admet une famille de solutions stationnaires :

28 15/17 Idées de preuve 2 Si l interaction est assez forte K > σ 2, l EDP avec δ = 0 admet une famille de solutions stationnaires : ψ ψ

29 16/17 Idées de preuve 3 Revenons au modèle perturbé : t p t (θ) = θ p t(θ) θ [p t (θ)(j p t )(θ)]+δ θ [ pt (θ)v (θ) ].

30 16/17 Idées de preuve 3 Revenons au modèle perturbé : t p t (θ) = θ p t(θ) θ [p t (θ)(j p t )(θ)]+δ θ [ pt (θ)v (θ) ]. Le cercle de solutions stationnaires est déformé de manière régulière en une courbe invariante pour la dynamique perturbée : ψ π 0 π

31 17/17 Perspectives Preuve pas entièrement satisfaisante : fait intervenir un système à l équilibre, alors que l excitabilité est un phénomène loin de l équilibre.

32 17/17 Perspectives Preuve pas entièrement satisfaisante : fait intervenir un système à l équilibre, alors que l excitabilité est un phénomène loin de l équilibre. Preuve pour des modèles plus complexes, plus réalistes (par exemple de neurones)?

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté Chapitre 4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 4.1 Introduction Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à

Plus en détail

Trépier avec règle, ressort à boudin, chronomètre, 5 masses de 50 g.

Trépier avec règle, ressort à boudin, chronomètre, 5 masses de 50 g. PHYSQ 130: Hooke 1 LOI DE HOOKE: CAS DU RESSORT 1 Introduction La loi de Hooke est fondamentale dans l étude du mouvement oscillatoire. Elle est utilisée, entre autres, dans les théories décrivant les

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

Analyse et Commande des Systèmes Non Linéaires

Analyse et Commande des Systèmes Non Linéaires Analyse et Commande des Systèmes Non Linéaires J. Lévine Centre Automatique et Systèmes école des Mines de Paris 35 rue Saint Honoré 77305 Fontainebleau Cedex E-mail : Jean.Levine@ensmp.fr Mars 2004 2

Plus en détail

PHYSIQUE NON-LINÉAIRE

PHYSIQUE NON-LINÉAIRE Université d Orléans Faculté des Sciences Licence de physique 3ème année PHYSIQUE NON-LINÉAIRE Thierry Dudok de Wit Université d Orléans Janvier 2012 Table des matières 1 Introduction 2 2 Les systèmes

Plus en détail

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés.

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R

Plus en détail

Systèmes de communications numériques 2

Systèmes de communications numériques 2 Systèmes de Communications Numériques Philippe Ciuciu, Christophe Vignat Laboratoire des Signaux et Systèmes CNRS SUPÉLEC UPS SUPÉLEC, Plateau de Moulon, 91192 Gif-sur-Yvette ciuciu@lss.supelec.fr Université

Plus en détail

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses

Plus en détail

De la détresse émotionnelle à l actualisation du potentiel des membres de l entourage. La vision familiale. Série 1, numéro 1

De la détresse émotionnelle à l actualisation du potentiel des membres de l entourage. La vision familiale. Série 1, numéro 1 De la détresse émotionnelle à l actualisation du potentiel des membres de l entourage La vision familiale Série 1, numéro 1 En l espace de 25 ans, le profil de la famille québécoise s est transformé de

Plus en détail

Les impulsions laser sont passées en quarante ans de la

Les impulsions laser sont passées en quarante ans de la Toujours plus court : des impulsions lumineuses attosecondes Les impulsions laser «femtoseconde» sont devenues routinières dans de nombreux domaines de la physique. Elles sont exploitées en particulier

Plus en détail

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale. MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire

Plus en détail

Notes sur le temps en physique (classique)

Notes sur le temps en physique (classique) Notes sur le temps en physique (classique) Titre : Jean-Philippe Uzan Institut d Astrophysique de Paris Le sujet imposé par Annick était le temps en cosmologie. Ce qu un physicien peut faire, c est parler

Plus en détail

Androids as an Experimental Apparatus: Why Is There an Uncanny Valley and Can we Exploit It?

Androids as an Experimental Apparatus: Why Is There an Uncanny Valley and Can we Exploit It? Androids as an Experimental Apparatus: Why Is There an Uncanny Valley and Can we Exploit It? Karl F. MacDorman 1 The Uncanny Valley : Le terme d Uncanny Valley a été défini par Masahiro Mori, chercheur

Plus en détail

IV. La ressemblance entre apparentés

IV. La ressemblance entre apparentés IV. La ressemblance entre apparentés La ressemblance entre apparentés est un phénomène de constatation courante chez l homme. Cependant, les proverbes «tel père, tel fils» et «à père avare, fils prodigue»

Plus en détail

Chapitre 2. Les Processus Aléatoires Non Stationnaires 1. Chapitre 2. Tests de Non Stationnarité et Processus Aléatoires Non Stationnaires

Chapitre 2. Les Processus Aléatoires Non Stationnaires 1. Chapitre 2. Tests de Non Stationnarité et Processus Aléatoires Non Stationnaires Chapitre 2. Les Processus Aléatoires Non Stationnaires 1 Chapitre 2 Tests de Non Stationnarité et Processus Aléatoires Non Stationnaires Chapitre 2. Les Processus Aléatoires Non Stationnaires 2 Dans le

Plus en détail

Quelleestlavaleurdel intensitéiaupointm?

Quelleestlavaleurdel intensitéiaupointm? Optique Ondulatoire Plan du cours [1] Aspect ondulatoire de la lumière [2] Interférences à deux ondes [3] Division du front d onde [4] Division d amplitude [5] Diffraction [6] Polarisation [7] Interférences

Plus en détail

Peut-on imiter le hasard?

Peut-on imiter le hasard? 168 Nicole Vogel Depuis que statistiques et probabilités ont pris une large place dans les programmes de mathématiques, on nous propose souvent de petites expériences pour tester notre perception du hasard

Plus en détail

Utilisation des intégrales premières en mécanique. Exemples et applications.

Utilisation des intégrales premières en mécanique. Exemples et applications. Sébastien Bourdreux Agrégation de Physique Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand Utilisation des intégrales premières en mécanique. Exemples et applications. septembre 2003 Correcteur : Pascal DELLOUVE

Plus en détail

Classe de première L

Classe de première L Classe de première L Orientations générales Pour bon nombre d élèves qui s orientent en série L, la classe de première sera une fin d étude en mathématiques au lycée. On a donc voulu ici assurer à tous

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE PICARDIE JULES VERNE THÈSE D HABILITATION À DIRIGER DES RECHERCHES

UNIVERSITÉ DE PICARDIE JULES VERNE THÈSE D HABILITATION À DIRIGER DES RECHERCHES UNIVERSITÉ DE PICARDIE JULES VERNE THÈSE D HABILITATION À DIRIGER DES RECHERCHES Spécialité : Mathématiques Analyse de Quelques Problèmes Elliptiques et Paraboliques non Linéaires Dégénérés : Existence,

Plus en détail

TD 9 Problème à deux corps

TD 9 Problème à deux corps PH1ME2-C Université Paris 7 - Denis Diderot 2012-2013 TD 9 Problème à deux corps 1. Systèmes de deux particules : centre de masse et particule relative. Application à l étude des étoiles doubles Une étoile

Plus en détail

= b j a i φ ai,b j. = ˆBa i φ ai,b j. = a i b j φ ai,b j. Par conséquent = 0 (6.3)

= b j a i φ ai,b j. = ˆBa i φ ai,b j. = a i b j φ ai,b j. Par conséquent = 0 (6.3) I Commutation d opérateurs Chapitre VI Les relations d incertitude I Commutation d opérateurs Un des résultats importants établis dans les chapitres précédents concerne la mesure d une observable  : une

Plus en détail

Premier modèle - Version simple

Premier modèle - Version simple Chapitre 1 Premier modèle - Version simple Les individus vivent chacun six générations successives d adultes, chacune d une durée de dix ans, sans distinction faite entre les individus d une même génération.

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version

Plus en détail

Cours de Physique statistique

Cours de Physique statistique Licence de Physique Fondamentale et Appliquée Année 2014-2015 Parcours Physique et Applications UNIVERSITÉ PARIS-SUD mention Physique ORSAY Cours de Physique statistique Compilation de textes de A. Abada,

Plus en détail

Moteurs pas à pas Michel ABIGNOLI Clément GOELDEL Principe des moteurs pas à pas Structures et modèles de description Alimentation Commande

Moteurs pas à pas Michel ABIGNOLI Clément GOELDEL Principe des moteurs pas à pas Structures et modèles de description Alimentation Commande Moteurs pas à pas par Michel ABIGNOLI Professeur d Université à l ENSEM (École Nationale Supérieure d Électricité et de Mécanique de Nancy) et Clément GOELDEL Professeur d Université à la Faculté des Sciences

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version

Plus en détail

RO04/TI07 - Optimisation non-linéaire

RO04/TI07 - Optimisation non-linéaire RO04/TI07 - Optimisation non-linéaire Stéphane Mottelet Université de Technologie de Compiègne Printemps 2003 I Motivations et notions fondamentales 4 I1 Motivations 5 I2 Formes quadratiques 13 I3 Rappels

Plus en détail