Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés.
|
|
- Alexis Girard
- il y a 2 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R distincts. On suppose de plus que ces cercles ne sont pas tangents. On se donne un point A sur C. Construire un cercle tangent à C et tangent en A à C. 1. Rappel : Il existe exactement deux homothéties transformant le cercle C en le cercle C. Démonstration. Si une telle homothétie existe son rapport est nécessairement égal à R /R (qui est distinct de 1 par hypothèse) et son centre K, qui appartient à la droite (OO ) (on a supposé O O ) est tel que KO KO = R R. Comme O O et R R, il existe deux points I et J de la droite (OO ) vérifiant la relation ci-dessus (le barycentre J de (O(R ),O (R)) et le barycentre I de (O(R ),O ( R))). Il y a donc au plus deux homothéties transformant C en C. Notons h I (resp. h J ) l homothétie de centre I (resp. J) qui transforme O en O. L image de C par cette homothétie est un cercle (c est toujours vrai) de centre O. Vu la définition de I (resp. J) son rapport est égal à R R (resp. R R ) et par conséquent elle transforme C en le cercle de centre O et de rayon R c est-à-dire en C. Pour construire les points I et J, on utilise le fait qu une homothétie transforme une droite en une droite parallèle. En particulier si A est un point de C son image par h I (resp. h J ) appartient à l intersection de C avec la parallèle à (OA) passant par O. Cette parallèle coupe C en deux points B 1 et B 2. Les points I et J sont les intersections de la droite (OO ) avec les droites (AB 1 ) et (AB 2 ). Nous avons démontré l existence des homothéties h I et h J. Ceci implique l existence de toutes les intersections utilisées pour la construction de I et J. Remarque 1 : On peut noter que si la droite (IA) (resp. (JA)) est tangente à C en A alors elle est aussi tangent à C en B 1 (resp. B 2 )(conservation de l orthogonalité par homothétie). Remarque 2 : En particulier si les deux cercles sont tangents en A, l un des deux points B 1 ou
2 2 Nicole Bopp B 2 est confondu avec A qui est donc le centre de l une des deux homothéties. Réciproquement si le centre de l une des deux homothéties, par exemple I, appartient à C, alors la tangente en I à C est invariante par h I et est donc aussi tangente à C. En conclusion les deux cercles C et C sont tangents si et seulement si l un des centres d homothéties appartient à C. 2. Analyse. Supposons construit un cercle Γ de centre Ω tangent en A à C et tangent à C. On note A le point de contact avec C et on désigne par ρ le rayon du cercle Γ. Remarquons que le centre Ω de Γ appartient aux droites (OA) et (OA ). On considère les transformations suivantes : l homothétie H A de centre A transformant O en Ω et donc C en Γ ; l homothétie H A de centre A transformant Ω en O et donc Γ en C. La composée H A H A de ces deux homothéties admet pour application linéaire asociée λ.id où λ = ρ R R ρ = R R 1. C est donc une homothétie (et pas une translation) qui transforme le cercle C en cercle C. Nous avons démontré qu il existe deux telles homothéties h I et h J. On en conclut que H A H A = h I ou H A H A = h J. Supposons que H A H A = h I. On a alors en particulier H A (A) = h I (A). A I. En effet si A et I sont confondus, le point I appartient à C ce qui implique que I, point fixe de l homothétie h I, appartient aussi à C. Ceci implique que les cercles C et C se coupent en I qui est un point appartenant à la droite (OO ) et donc que ces cercles sont tangents en I. Or cette situation est exclue par hypothèse. A h I (A). En effet si A est un point fixe de h I soit c est le centre de h I mais c est impossible car A I, soit h I est égale à l identité ce qui est aussi impossible puisque les cercles C et C sont distincts. A (IA). Notons tout d abord que la droite (IA) est bien définie puisque A I. Les points A, A et H A (A) sont alignés (un point, son image par une homothétie et le centre de l homotéhtie sont alignés). Puisque H A (A) = h I (A), on en déduit que A appartient à la droite (Ah I (A)) (cette droite est bien définie car A h I (A) ) qui est aussi la droite (IA). Par conséquent, dans le cas où H A H A = h I, le point A, contact de C et Γ est déterminé de manière unique par les trois conditions A C ; A (IA) ; A h I (A).
3 Cercles tangents 3 Il y a donc au plus un cercle Γ dont le centre est nécessairement un point de (OA) (O A ) équidistant de A et A. Il y a de même au plus un cercle Γ dans le cas où H A H A = h J déterminé par les conditions analogues où on remplace I par J. 3. Synthèse. Étudions la construction qui fait intervenir le point I (ce sera analogue pour le point J). Comme A C la droite (IA) (nous avons démontré que I A) coupe le cercle C au point h I (A). Cas 1. La droite (IA) est tangente à C. Dans ce cas elle est aussi tangente à C et il n existe pas de point A appartenant à (IA) C, distinct de h I (A). Il n y a pas de cercle Γ tangent à C et à C en A. Cas 2. La droite (IA) n est pas tangente à C. Dans ce cas elle coupe C en deux points distincts et donc aussi C en deux points distincts : l un est h I (A) et nous notons A le second point. Cas 2.1. Les droites (OA) et (O A ) sont parallèles. Comme les droites (OA) et (O h I (A)) sont parallèles par définition de h I, ceci implique que les points O, A et h I (A) sont alignés. Comme la droite (A h I (A)) contient aussi les points I et A (par définiton de A ), on en déduit que A appartient à la droite (IO ) = (OO ). Il en est de même pour A et le milieu Ω de AA est bien le centre d un cercle qui convient : en effet le cercle de centre Ω passant par A contient A et est tangent à C en A et à C en A. Cas 2.2. Les droites (OA) et (O A ) sont sécantes. Notons Ω leur point d intersection. Démontrons que ΩA = ΩA. Les droites (OA) = (ΩA) et (O h I (A)) sont parallèles, le point A appartient à la droite (A h I (A)) et le point Ω appartient à la droite (OA). On déduit du théorème de Thalès que A Ω A O = AΩ h I (A)O. Comme h I (A) et A sont sur le cercle C de centre O on en déduit que ΩA = ΩA. Le cercle Γ de centre Ω passant par A, passe donc aussi par A. Il est tangent au cercle C en A (mêmes tangentes en A) et au cercle C en A.
4 4 Nicole Bopp Remarque : Il est possible que les points A et A soient confondus. En effet si A est un point d intersection des deux cercles, nécessairement la droite (IA) coupe C en h I (A) et en A, d où A = A. Dans ce cas le cercle Γ sera réduit à un point. Pour écrire l égalité des rapports déduite du théorème de Thalès nous avons choisi pour dénominateurs des longueurs dont nous étions assurés qu elles n étaient pas nulles. Les numérateurs par contre s annulent dans le cas où A = A. Conclusion. Si le point A n appartient pas à l une des tangentes communes aux deux cercles, il existe deux cercles Γ et Γ tangents en A à C et tangents à C. Ces deux cercles sont réduits à un point si A C C. Si le point A appartient à l une des tangentes communes, il n en existe plus qu un.. Comme on l a montré ci-dessus, pour construire ces cercles, on commence par déterminer le point A (resp. A ) du cercle C appartenant à la droite (IA) (resp. (JA)) et différent de h I (A) (resp. h J (A)). Puis on construit le point Ω (resp. Ω ) intersection de (OA) et (O A ) (resp. (O A ) si ces droites se coupent ou milieu de AA (resp. ((AA )) si elles sont confondues. Construction avec cabri. La difficulté consiste à permettre au logiciel de choisir le point A différent de h I (A) et que ce choix persiste même lorsque A traverse une tangente commune. Expérimentalement cela fonctionne bien si on construit les points I et J à partir du point A que l on va déplacer. Évidemment I et J ne dépendent pas du point A et auraient pu être construits indépendamment de A, mais dans ce cas cabri n arrive plus à choisir A quand A traverse une tangente commune. Commentaires. C est en rédigeant soigneusement les démonstrations que l on voit apparaître les cas particuliers. Dans la synthèse il faut vérifier à chaque étape que les objets dont on parle (les droites définies par deux points, les intersections de droites, de cercles ou de cercles et droites) sont bien définis. L utilisation d un logiciel de géométrie dynamique, permet aussi de voir apparaître certains cas particuliers, mais pour implanter la construction il faut déjà savoir la faire dans le cas général. On peut alors revenir à la démonstration pour comprendre les situations particulières.
5 Cercles tangents 5 Exemples de positions des cercles Cas générique. Cas où A est proche de la tangent commune passant par J. Cas où les deux cercles se coupent et où A est proche d un de leur point d intersection.
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Démonstration des propriétés géométriques du plan niveau collège
Démonstration des propriétés géométriques du plan niveau collège Propriété : Si un point est sur un segment et à égale distance de ses extrémités alors ce point est le milieu du segment. Si un point est
Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation )
Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation ) Introduction : On se place dans plan affine euclidien muni
Démontrer le caractère injectif / surjectif / bijectif d une application
Démontrer le caractère injectif / surjectif / bijectif d une application Il s agit donc de montrer une propriété commençant par un symbole. La démonstration débute donc par : Soit (x 1, x 2 ) E 2. La propriété
Fragments de géométrie du triangle
Fragments de géométrie du triangle Pierre Jammes (version préliminaire du 2 août 2013) 1. Dénitions On donne ici les dénitions des principaux objets mis en jeu dans le début du texte. Dans le plan euclidien,
un repère orthonormé de l espace.
Terminale S GEOMETRIE Ch 13 DANS L ESPACE. Soit ( O ; i, j, k ) un repère orthonormé de l espace. I) Droites et plans dans l espace : Propriété 1 : Soient A et B deux points de l espace. AB est l ensemble
Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015
Énoncé Dans tout le problème, K est un sous-corps de C. On utilisera en particulier que K n est pas un ensemble fini. Tous les espaces vectoriels considérés sont des K espaces vectoriels de dimension finie.
Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors
N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux
Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte - Session 2009
Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte - Session 2009 L usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur. I - Activités numériques II - Activités
Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications
Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications Introduction : Cette leçon s inscrit dans la continuité de la précédente. On supposera connu
BJ - RELATIONS BINAIRES
BJ - RELATIONS BINAIRES Définitions Soit A et B deux ensembles non vides, et G une partie de A B. On dit qu un élément x de A est relié à un élément y de B par une relation binaire de graphe G, si le couple
Le raisonnement par récurrence
Le raisonnement par récurrence Nous notons N l ensemble des entiers naturels : N = {0,,, } Nous dirons naturel au lieu de entier naturel Le principe du raisonnement par récurrence Soit A une partie de
Résumé de cours sur les coniques. Lycée Brizeux - PCSI B. Année 2010-2011
Résumé de cours sur les coniques. Lycée Brizeux - PCSI B. Année 010-011 novembre 010 I Définition d une conique en terme d équation cartésienne On se place dans le repère orthonormé direct (0, i, j ).
Cours de terminale S Suites numériques
Cours de terminale S Suites numériques V. B. et S. B. Lycée des EK 13 septembre 2014 Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier
Une axiomatisation du plan euclidien
Nicole opp Strasbourg, avril 2007 Une axiomatisation du plan euclidien Le but de ce texte est de montrer comment on peut axiomatiser le plan euclidien d une manière qui se rapproche, autant que faire se
5 ème Chapitre 4 Triangles
5 ème Chapitre 4 Triangles 1) Médiatrices Définition : la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment (cours de 6 ème ). Si M appartient à la médiatrice du
SYSTÈMES CENTRÉS DANS LES CONDITIONS
YTÈME ENTRÉ DAN LE ONDITION DE GAU Table des matières 1 ystèmes centrés focaux 2 1.1 oyer image Plan focal image................................ 2 1.2 oyer objet Plan focal objet.................................
Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4
Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4 Exercice 1 Ecrire un programme de construction de la figure suivante. On utilisera seulement deux mesures : le rayon du cercle est 8 cm, la largeur d
Développement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Limites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Deux disques dans un carré
Deux disques dans un carré Table des matières 1 Fiche résumé 2 2 Fiche élève Seconde - version 1 3 2.1 Le problème............................................... 3 2.2 Construction de la figure avec geogebra...............................
Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale
Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application
Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Le corps R des nombres réels
Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du
Concours de recrutement interne PLP 2009
Concours de recrutement interne PLP 2009 Le sujet est constitué de quatre exercices indépendants. Le premier exercice, de nature pédagogique au niveau du baccalauréat professionnel, porte sur le flocon
UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES
UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010 N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES 1 Les énoncés La plupart des phrases que l on rencontre dans un livre
Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres
Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire
LEÇON N 5 : 5.1 Probabilité conditionnelle. Pré-requis : Opérations sur les ensembles, cardinaux ; Espaces probabilisés ; Calcul de probabilités.
LEÇON N 5 : Probabilité conditionnelle, indépendance de deux événements (on se limitera au cas où l ensemble d épreuves des fini). Applications à des calculs de probabilité. Pré-requis : Opérations sur
Introduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Produit scalaire dans l Espace
Produit scalaire dans l Espace Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 014/015 Table des matières 1 Produit scalaire du plan 1.1 Différentes expressions du produit scalaire............................... 1.
Vidéo partie 1. Logique Vidéo partie 2. Raisonnements Exercices Logique, ensembles, raisonnements
Exo7 Logique et raisonnements Vidéo partie 1. Logique Vidéo partie 2. Raisonnements Exercices Logique, ensembles, raisonnements Quelques motivations Il est important d avoir un langage rigoureux. La langue
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Savoir que AB= CD équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. Connaître les coordonnées (x B x A ; y B y A ) du vecteur AB
Chapitre 3 La notion de vecteurs CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Vecteurs Définition de la translation qui transforme un point A du plan en un point B. Vecteur AB associé. Égalité de deux vecteurs
Cours de Mathématiques Seconde. Généralités sur les fonctions
Cours de Mathématiques Seconde Frédéric Demoulin 1 Dernière révision : 16 avril 007 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini 1 frederic.demoulin (chez) voila.fr gilles.costantini
Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés
Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : notion de vecteur, transformation de points par translation et vecteurs égaux Exercice 2 : parallélogramme
Bissectrices. Daniel Perrin
Bissectrices Daniel Perrin Introduction Le but de ce texte est d essayer de donner une référence fiable sur la question des bissectrices, pour traiter notamment l exposé de CAPES intitulé Droites remarquables
Rotations définies comme composées de réflexions
Rotations définies comme composées de réflexions Notes pour la préparation à l oral du CPES - Strasbourg - Novembre 2006 La méthode la plus économique pour définir une rotation consiste à dire que c est
Représentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Nombres complexes et géométrie euclidienne
19 Nombres complexes et géométrie euclidienne Le corps C des nombres complexes est supposé construit voir le chapitre 7. On rappelle que C est un corps commutatif et un R-espace vectoriel de dimension,
Exercice 2. Exercice 3
Feuille d eercices n 10 Eercice 1 Une voiture parcours 150 km. Elle effectue une première partie du trajet à la vitesse moyenne de 80 km/h. On notera la longueur de cette partie, eprimée en km Suite à
Fonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
RECHERCHE DE CHEMIN MINIMAL
REHERHE DE HEIN INIL par Yvon KWLSK, Sofiane SERUTU et Jérémy VEIRN, élèves de troisième au collège dulphe DELEGRGUE de ourcelles lès Lens (Pas de alais) 2003 Enseignant : Stéphane RERT (collège DELEGRGUE
Applications des nombres complexes à la géométrie
Chapitre 6 Applications des nombres complexes à la géométrie 6.1 Le plan complexe Le corps C des nombres complexes est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Il est donc muni d une structure naturelle
Fonctions homographiques
Fonctions homographiques On donne ci-dessous deux définitions des fonctions homographiques, et on montre que ces deux définitions sont équivalentes. On décrit la courbe représentative d une fonction homographique.
Leçon 1: les entiers
Leçon 1: les entiers L ensemble N des entiers naturels Compter, dresser des listes, classer et comparer des objets interviennent dans de multiples activités humaines. Les nombres entiers naturels sont
Chap.3 Lentilles minces sphériques
Chap.3 Lentilles minces sphériques 1. Les différents types de lentilles minces sphériques 1.1. Les différentes formes de lentilles sphériques 1.2. Lentilles minces Centre optique 1.3. Lentille convergente
L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1
. Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s
2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES
2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1 Définition Une matrice n m est un tableau rectangulaire de nombres (réels en général) à n lignes et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice. Notation.
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires
BREVET BLANC Corrigé 15 avril 2013
REVET LN orrigé 15 avril 2013 *********************** Exercice 1 : On donne ci-dessous les représentations graphiques de trois fonctions. es représentations sont nommées 1, 2, 3. L une d entre elles est
Logique informatique 2013-2014. Examen
Logique informatique 2013-2014. Examen 30 mai 2013. Durée 3h. Tous les documents sont autorisés. Seuls les résultats du cours peuvent être utilisés sans démonstration. Le barême et la longueur des solutions
Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités
Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations
Chapitre 5 : Géométrie dans l'espace
Source : site Bacamahts (G.Constantini) et Mathématiques 2 nde (Terracher) I. Règles de base de la géométrie dans l'espace Il existe une et une seule droite de l'espace passant par deux points distincts.
CORRECTION BREVET BLANC
Partie numérique Exercice 1 : CORRECTION BREVET BLANC Question 1 : on teste les trois valeurs en remplaçant x par la valeur. La solution est Question 2 : Les solutions sont et -2 Question 3 : on fait deux
Un point pondéré est un couple ( A, a ) formé d un point A et d un coefficient réel a.
Cours 2 BARYCENTRES Définition Un point pondéré est un couple ( A, a ) formé d un point A et d un coefficient réel a 2 Barycentre d un système de plusieurs points pondérés On se place par exemple dans
Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Calculer à la règle non graduée et au compas.
Calculer à la règle non graduée et au compas. Elèves : RUNDSTADLER Ilina 5 ème MARION Alice 4 ème THOMMES Emeline 4 ème GRANDJEAN Bixente 3 ème MACEL Eric 3 ème WU Louise 3 ème Enseignants : HIRIART Louisette
Espaces vectoriels de dimension finie
Chapitre 14 Espaces vectoriels de dimension finie Dans tout le chapitre K désigne R ou C. 14.1 Espaces vectoriels de dimension finie 14.1.1 Bases et dimension Ò Ø ÓÒ ½ º½ Espace vectoriel de dimension
Utilisation de l outil numérique via «géogébra» pour la pratique de la géométrie au cycle 3. Déroulement de l animation :
Utilisation de l outil numérique via «géogébra» pour la pratique de la géométrie au cycle 3 Déroulement de l animation : - 0] Préambule (30 min) a) Introduction b) Programme du cycle 3 - I] Première prise
Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
BACCALAURÉAT BLANC 2013
BACCALAURÉAT BLANC 203 Série S Corrigé Exercice. a) On traduit les données de l énoncé et on représente la situation par un arbre pondéré. PF ) = 2, PF 2) = 3, P F ) = 5 00 = 20, P F 2 ) =,5 00 = 3 3,5,
PARTIE 1 : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points)
COLLÈGE LA PRÉSENTATION BREVET BLANC Février 2010 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES classe de 3 e Durée : 2 heures Présentation et orthographe : points Les calculatrices sont autorisées, ainsi que les instruments
Baccalauréat S Métropole 21 juin 2011
Baccalauréat S Métropole 1 juin 011 EXERCICE 1 Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment. 4 points Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 10 4. Dans un pays,
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Par contre, lorsque P est finie, l inclusion f(p ) P implique l égalité f(p ) = P car, f
Université Lyon 1 Algèbre générale S.P. Groupes III I. Groupe symétrique et géométrie. On se donne un ensemble E (souvent un espace euclidien ou une partie de cet espace) et une bijection f : E E (souvent
MON CAHIER DE VACANCES n 1. MATHEMATIQUES 3 ème 2
MON CAHIER DE VACANCES n 1 MATHEMATIQUES 3 ème 2 Ce cahier appartient à. Ce cahier est à rapporter le vendredi 6 Novembre 201, à Mme Viault. Les exercices sont à rédiger, sur ce livret, le plus sérieusement
Thème : Application affines en terminale
6 ième ASSEMBLEE GENERALE de l Association des Professeurs de Mathématiques de la Région de Sikasso et Sympathisants Thème : Application affines en terminale BOUGOUNI 2010-2011 Présenté par : APROMARS/
Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
5. Options américaines Une option américaine peut être exercée à n importe quelle instant compris entre
5. Options américaines Une option américaine peut être exercée à n importe quelle instant compris entre 0 et l échéance N. Définition 5.1. Une option américaine est définie par une suite (h n ) n=0..n,
1 Comptage de solutions et escaliers
Licence Informatique Systèmes polynomiaux, que signifie : résoudre? Feuille de TD numéro 11 1 Comptage de solutions et escaliers Question 1. On considère le système suivant p1 := 2*x*y^2 + 3*x^2-5*y^3
Fonction polynôme du second degré : Forme canonique
Fonction polynôme du second degré : Forme canonique I) Introduction. Soit g(x) = a(x - s)²+h. Toute fonction polynôme du second degré peut s écrire sous cette forme. Le passage de la forme développée à
À propos des matrices échelonnées
À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E
La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques
La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques III. Cercles 1. Cercle d'euler 2. Droite d'euler 3. Théorème de Feuerbach 4. Milieux des segments joignant
avec des nombres entiers
Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0
DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Chapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
G - DIVISION HARMONIQUE
G - DIVISION HARONIQUE Théorème 1 Etant donnés une droite D, deux points A et B distincts de D, et un réel k 1, il existe un point de D et un seul tel que A B = k. En effet si l on note a, b, x les abscisses
Exercice 1 Le plan est muni d'un repère. On donne les points, et. 1/ Soit D le point tel que ABCD est un parallélogramme.
Devoir Maison A rendre le mercredi 2 mai 2nde 1 Le plan est muni d'un repère. On donne les points, et. 1/ Soit D le point tel que ABCD est un parallélogramme. Calculer les coordonnées du point D. 2/ a)
Applications linéaires
Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison
La médiatrice d un segment
EXTRT DE CURS DE THS DE 4E 1 La médiatrice d un segment, la bissectrice d un angle La médiatrice d un segment Définition : La médiatrice d un segment est l ae de smétrie de ce segment ; c'est-à-dire que
Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés
Énoncé Soit E un espace vectoriel sur IK (IK = IR ou lc). Soit f un endomorphisme de E. On pose f 0 = Id E, et pour tout entier k 1, f k = f f k 1. 1. Montrer que (Im f k ) k 0 et (Ker f k ) k 0 forment
Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels.
Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l année 28-29 1 Partiel Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. On suppose a + c = b + d = 1 et a b 1. ( ) a b c d 1. Soient (x 1,x
Le théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre
PARTIE 1 : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points)
COLLÈGE LA PRÉSENTATION BREVET BLANC Février 2011 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Classe de 3 e Durée : 2 heures Présentation et orthographe : 4 points Les calculatrices sont autorisées, ainsi que les instruments
Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln
Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln Thèmes. fonction ln, théorème des valeurs intermédiares, suite définie par récurrence : majoration, minoration, monotonie, convergence, eistence.
ACTIVITES NUMERIQUES ( 18 points )
Copie numéro :.. 4 points sont attribués pour l orthographe, le soin, les notations et la rédaction. L utilisation de la calculatrice est autorisée. NE PAS OUBLIER DE RENDRE L ANNEXE AVEC LA COPIE! ACTIVITES
Leçon 6. Savoir compter
Leçon 6. Savoir compter Cette leçon est une introduction aux questions de dénombrements. Il s agit, d une part, de compter certains objets mathématiques (éléments, parties, applications,...) et, d autre
CHAPITRE 4 FORMES NORMALES SYSTEMES COMPLETS DE CONNECTEURS 1
Université Paris 7 U3MI36 CHAPITRE 4 FORMES NORMALES SYSTEMES COMPLETS DE CONNECTEURS 1 4.1 Formes normales Définitions : 1) Une formule F est sous forme normale disjonctive si et seulement si il existe
MATHÉMATIQUES ET SCIENCES HUMAINES
MATHÉMATIQUES ET SCIENCES HUMAINES B. MARCHADIER Dépendance et indépendance de deux aléas numériques images Mathématiques et sciences humaines, tome 25 (1969), p. 2534.
CHAPITRE 6 Les vecteurs
A/ Vecteurs Cours de Mathématiques Classe de Seconde Chapitre 6 Les Vecteurs CHAPITRE 6 Les vecteurs 1) Définition et exemples a) Définition Soient deux points A et B. On appelle vecteur AB "la flèche"
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE
TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE P. Pansu 16 mai 2005 1 Qu est-ce que la topologie? C est l étude des propriétés des objets qui sont conservées par déformation continue. Belle phrase, mais qui nécessite d
Quadrature n 74 (2009) 10 22. Online Material
Quadrature n 74 (009) 10 Online Material E. Brugallé, Online Material Un peu de géométrie tropicale Solutions des exercices Erwan Brugallé Université Pierre et Marie Curie, Paris 6, 175 rue du Chevaleret,
TD2 Fonctions mesurables Corrigé
Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles
Correction de l épreuve intermédiaire de mai 2009.
Licence de Gestion. 3ème Année Année universitaire 8-9 Optimisation Appliquée C. Léonard Correction de l épreuve intermédiaire de mai 9. Exercice 1 Avec les notations du cours démontrer que la solution
Définition et caractérisations des applications affines, en particulier par le barycentre, et si possible en coordonnées.
Université Claude Bernard Lyon I Agrégation de Mathématiques : Algèbre & géométrie Année 2006 2007 Applications affines A ne pas rater Définition et caractérisations des applications affines, en particulier
() Compléments de géométrie 1 / 33
Compléments de géométrie () Compléments de géométrie 1 / 33 1 Compléments de géométrie dans le plan complexe 2 Calcul barycentrique 3 Transformations du plan complexe () Compléments de géométrie 2 / 33
Angles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.