Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en Énoncé.

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1 Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère les nombres :A = ; B = (5 2-7)( ) En faisant apparaître les différentes étapes des calculs: 1 ) Ecrire A sous la forme d'une fraction irréductible. 2 ) Ecrire B sous la forme d'un nombre entier. Exercice 2 (3 points) On donne : D = ( 2x - 3)( 5x + 4) + (2x - 3) 2. 1 ) Montrer, en détaillant les calculs, que D peut s'écrire: D = (2x- 3)(7x + 1) 2 ) Résoudre l'équation: (2x - 3)(7x + 1) = 0. Exercice 3 (6 points) Une salle de spectacles propose des spectacles pour un tarif A et des spectacles pour un tarif B. Laura réserve 1 spectacle au tarif A et 3 spectacles au tarif B. Elle paie 480 F. Michel réserve 2 spectacles au tarif A et 1 spectacle au tarif B. Il paie 410 F. On cherche à calculer le prix d'un spectacle au tarif A et le prix d'un spectacle au tarif B. Pour faire ces calculs, ton professeur te propose de résoudre le système suivant : x + 3y 2 x + y = = ) Que représentent dans le système ci-dessus les lettres x et y? 1

2 2 ) Quelle information donnée par l'énoncé est traduite par l'équation x + 3y = 480? 3 ) Quelle information donnée par l'énoncé est traduite par l'équation 2x + y = 410? 4 ) Résoudre le système. II- ACTIVITES GEOMETRIQUES (12 points) Exercice 1 (6 points) La figure ci-dessous est donnée à titre d'exemple pour préciser la disposition des points. Ce n'est pas une figure en vraie grandeur. On donne : Les points K, O, L sont alignés ; O est entre K et L ; 0K = 2 cm ; OL = 3,6 cm. Les points J, O, N sont alignés ; O est entre J et N; 0J = 3 cm ; 0N = 5,4 cm. Le triangle OKJ est rectangle en K. 1 ) Calculer l'angle OJK (on donnera l'arrondi au degré près). 2 ) Démontrer que les droites (JK) et (LN) sont parallèles. 3 ) Déduire de la question 2., sans effectuer de calculs, que les angles OJK et ONL sont égaux. 2

3 Exercice 2 (6 points) Un plan coupe une sphère de centre O et de rayon 10 cm selon un cercle (C) de centre H. La distance OH du centre de la sphère à ce plan P vaut 6 cm. La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur. Cette figure représente la sphère et le cercle (C). Le point A est un point du cercle (C). 1 ) En utilisant uniquement les données de l'énoncé, tracer en vraie grandeur le triangle OHA, rectangle en H. On laissera les traits de construction apparents. 2 ) Calculer le rayon du cercle (C). III- PROBLEME (12 points) Dans ce problème, l'unité de longueur est le centimètre et l'unité d'aire est le centimètre carré. La figure ci-dessous est donnée à titre d'exemple pour préciser la disposition des points. Ce n'est pas une figure en vraie grandeur. ABC est un triangle tel que AC = 20 cm, BC = 16 cm et AB = 12 cm. F est un point du segment [BC]. La perpendiculaire à la droite (BC) passant par F coupe [CA] en E. On a représenté sur la figure le segment [EB]. 3

4 Première partie 1 ) Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B. 2 ) Calculer l'aire du triangle ABC. 3 ) Démontrer, en s'aidant de la question 1., que la droite (EF) est parallèle à la droite (AB). Deuxième partie On se place dans le cas où CF = 4 cm. 1 ) Démontrer que EF =3 cm. 2 ) Calculer l'aire du triangle EBC. Troisième partie On se place dans le cas où F est un point quelconque du segment [BC], distinct de B et de C. Dans cette partie, on pose CF =x, x étant un nombre tel que : 0< x < ) Montrer que la longueur EF, exprimée en cm, est égale à. 2 ) Montrer que l'aire du triangle EBC, exprimée en cm 2, est égale à 6x. 3 ) Pour quelle valeur de x l'aire du triangle EBC, exprimée en cm 2, estelle égale à 33? 4 ) Exprimer en fonction de x l'aire du triangle EAB. Pour quelle valeur exacte de x l'aire du triangle EAB est-elle égale au double de I'aire du triangle EBC? 4

5 Corrigé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère les nombres :A = ; B = (5 2-7)( ) En faisant apparaître les différentes étapes des calculs: 1 ) Ecrire A sous la forme d'une fraction irréductible. A = = = 15 9 = 5 3. Vérification avec la calculatrice HP 30S. Procédure calculatrice Affichage à l écran 1[a b /c]3+2[a b /c]3 2[a b /c]5[enter] / 5 2 ) Ecrire B sous la forme d'un nombre entier. B = (5 2-7)( ) = (5 2 ) 2 7 2, car (a + b)(a b) = a² - b². B = = 1. Vérification avec la calculatrice HP 30S. Procédure calculatrice Affichage à l écran [(]5[ ]2[)]-7[)][(]5[ ]2[)]+7[ENTER] (5 (2)-7)(5 1. 5

6 Exercice 2 (3 points) On donne : D = ( 2x - 3)( 5x + 4) + (2x - 3) 2. 1 ) Montrer, en détaillant les calculs, que D peut s'écrire: D = (2x- 3)(7x + 1) D = ( 2x - 3)( 5x + 4) + (2x - 3) 2. = (2x 3)(5x x 3) D = (2x 3)(7x +1). 2 ) Résoudre l'équation: (2x - 3)(7x + 1) = 0. Un produit de deux facteurs est nul si et seulement si l un au moins des deux facteurs est nul : 2x 3 = 0 ou 7x + 1 = 0; 2x = 3 ou 7x = -1 ; x = 2 3 ou x = Les solutions de l équation produit sont x = = 2 3 et x = Exercice 3 (6 points) 1 ) x représente le prix d un spectacle au tarif A et y représente le prix d un spectacle au tarif B. 2 ) L'équation x + 3y = 480 est une traduction mathématique (et même algébrique) du fait que Laura paie 480 F pour 1 spectacle au tarif A et 3 spectacles au tarif B. 3 ) L'équation 2x + y = 410 est une traduction mathématique (et même algébrique) du fait que Michel paie 410 F pour 2 spectacles au tarif A et 1 spectacle au tarif B. x 3y 2 x y 4 ) + = + = les y, on obtient : x + 3y 6 x 3 y = = 480, si on multiplie la seconde équation par 3 pour éliminer En ajoutant membre à membre les deux équations on 1230 obtient 5x = 750 et x = Par suite y = = = Le prix d un spectacle au tarif A est de 150 F et le prix d un spectacle au tarif B est de 110 F. 6

7 Vérification à la calculatrice HP 30S. Procédure calculatrice [MODE] 2 Affichage à l écran L [2 nd ][)] + 3[2 nd ][(][2 nd ][ENTER]480 X + 3Y = 480 [2 nd ][ ]2[2 nd ][)]+[2 nd ][(] [2 nd ][ENTER]410 0, 2X + Y =410 [ENTER] X Y 150. > Le couple solution de ce système linéaire est donc bien (x ; y) = (150; 110). X Y L L L L

8 II- ACTIVITES GEOMETRIQUES (12 points) Exercice 1 (6 points) La figure ci-dessous est donnée à titre d'exemple pour préciser la disposition des points. Ce n'est pas une figure en vraie grandeur. On donne : Les points K, O, L sont alignés ; O est entre K et L ; 0K = 2 cm ; OL = 3,6 cm. Les points J, O, N sont alignés ; O est entre J et N; 0J = 3 cm ; 0N = 5,4 cm. Le triangle OKJ est rectangle en K. 1 ) Calculer l'angle OJK (on donnera l'arrondi au degré près). Le triangle OJK es rectangle en K, on peut donc utiliser le sinus de l angle OJK et on obtient sin( OJK ) = 2. 3 Utilisation de la touche [sin -1 ] de la HP 30S, obtenue en faisant [2 nd ] [sin]. Après avoir vérifier que la mesure d angles sélectionnée est bien le degré ( doit figurer en haut de l écran). Procédure calculatrice [2 nd ][sin]2 3[ENTER] Affichage à l écran sin -1 (2/3) Par suite, l arrondi au degré près de l angle OPM est égal à 42. 8

9 2 ) Démontrer que les droites (JK) et (LN) sont parallèles. D après la réciproque du théorème de Thalès appliquée dans le triangle OJK, (JK) et (LN) sont parallèles puisque (LK) et (NJ) sont sécantes en O ; K, O et L sont alignés ainsi que les points J, O et N, dans le même ordre et OK OL = ON = 1,8. OJ 3 ) Déduire de la question 2., sans effectuer de calculs, que les angles OJK et ONL sont égaux. Les angles OJK et ONL, alternes-internes correspondant à deux droites parallèles (LN) et (JK), sont donc égaux. Exercice 2 (6 points) Un plan coupe une sphère de centre O et de rayon 10 cm selon un cercle (C) de centre H. La distance OH du centre de la sphère à ce plan P vaut 6 cm. La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur. Cette figure représente la sphère et le cercle (C). Le point A est un point du cercle (C). 1 ) En utilisant uniquement les données de l'énoncé, tracer en vraie grandeur le triangle OHA, rectangle en H. On laissera les traits de construction apparents. Le milieu de l hypoténuse dans un triangle rectangle est également le centre du cercle circonscrit à ce triangle. Par conséquent, pour construire le triangle OHA, rectangle en H, on trace d abord un demi-cercle de diamètre [OA] avec OA = 10 cm, puis un arc de cercle de centre O et de rayon 6 cm recoupant le précédent demi-cercle en un point H. 9

10 2 ) Calculer le rayon du cercle (C). Le triangle OHA est rectangle en H, nous pouvons donc y appliquer le théorème de Pythagore pour en déduire l égalité de Pythagore : OH 2 + AH² = OA 2. Soit 6² + AH² = 10², AH² = 10² - 6² = = 64 et AB = 8 cm. Vérification à la calculatrice HP 30S. AH = 10² 6² d où : Procédure calculatrice Affichage à l écran [ ] 10 [x²] - 6[x²][ENTER] (10² - 6²) 8. 10

11 III- PROBLEME (12 points) Dans ce problème, l'unité de longueur est le centimètre et l'unité d'aire est le centimètre carré. La figure ci-dessous est donnée à titre d'exemple pour préciser la disposition des points. Ce n'est pas une figure en vraie grandeur. ABC est un triangle tel que AC = 20 cm, BC = 16 cm et AB = 12 cm. F est un point du segment [BC]. La perpendiculaire à la droite (BC) passant par F coupe [CA] en E. On a représenté sur la figure le segment [EB]. Première partie 1 ) Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B. D après la réciproque du théorème de Pythagore, si l égalité de Pythagore est vérifiée dans le triangle ABC alors ABC est rectangle. AC² = 20² = 400. AB² + BC² = 16² + 12² = = 400. AC² = AB²+ BC² donc, d après la réciproque du théorème de Pythagore ABC est rectangle en B. Vérification à la calculatrice HP 30S. Procédure calculatrice Affichage à l écran 16[x²] + 12[x²][ENTER] 16² + 12²

12 2 ) Calculer l'aire du triangle ABC. L aire du triangle ABC est égale à 96 cm 2 car : (BA BC)/2 = (16 12)/2 = 96 3 ) Démontrer, en s'aidant de la question 1, que la droite (EF) est parallèle à la droite (AB). D après la question 1 ), ABC est rectangle en B, soit (BA) (BC), or par hypothèse, (EF) (BC) et par conséquent (BA) // (EF) puisque ces deux droites sont perpendiculaires à une même droite, la droite (BC). Deuxième partie On se place dans le cas où CF = 4 cm. 1 ) Démontrer que EF =3 cm. Les droites (CA) et (CB) sont sécantes en C, E (AC), F (BC) et (BA) // (EF) on peut donc appliquer le théorème de Thalès dans le triangle BAC et on obtient : CF = CE = EF. CB CA AB Par suite, 4 = EF et EF = 48 = Finalement, EF =3 cm. 2 ) Calculer l'aire du triangle EBC. L aire du triangle EBC est égale à 24 cm 2 car (EF BC)/2 = 3 8 =

13 Troisième partie On se place dans le cas où F est un point quelconque du segment [BC], distinct de B et de C. Dans cette partie, on pose CF =x, x étant un nombre tel que : 0< x < ) Montrer que la longueur EF, exprimée en cm, est égale à 4 3 x. Les droites (CA) et (CB) sont sécantes en C, E (AC), F (BC) et (BA) // (EF) on peut donc appliquer le théorème de Thalès dans le triangle BAC et on obtient : CF = CE = EF. CB CA AB Par suite, x = EF et EF = 12 x = 3 x ) Montrer que l'aire du triangle EBC, exprimée en cm 2, est égale à 6x. On désigne par A(x) l aire du triangle EBC avec EF = 4 3 x. A(x) = (EF BC)/2 = 4 3 x 8 = 4 24 x = 6x. 3 ) Pour quelle valeur de x l'aire du triangle EBC, exprimée en cm 2, estelle égale à 33? 6x = 33, soit x = 6 33 = 5,5. Pour x = 5,5 cm, A(x) = 33 cm 2. 13

14 4 ) Exprimer en fonction de x l'aire du triangle EAB. Pour quelle valeur exacte de x l'aire du triangle EAB est-elle égale au double de I'aire du triangle EBC? On désigne par f(x) l aire du triangle EAB et par T celle du triangle ABC. Nous avons vu précédemment que T = 96 cm 2. Par suite, f(x) = 96 A(x) = 96 6x. Remarque. f est une fonction affine alors que A est une fonction linéaire. Recherchons x tel que f(x) = 2A(x). 96 6x = 12x 18x = 96 et x = 96 = Vérification à la calculatrice HP 30S. Procédure calculatrice [MODE] 2 Affichage à l écran L 18[2 nd ][)][2 nd L ][ENTER]96 18X = 96 [2 nd ][ ][2 nd ][)][2 nd ][ENTER][2 nd L ][(] 18X = 96, X = Y L [ENTER] X Y [2 nd L ][PRB][ENTER] X >F D 5 u 1/3. [2 nd ] [a b L /c][enter] Ans > a b /c d /c 16 / 3 14