PROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond.

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1 PROBLEME(12) Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40m, la largeur est 5,20m et la hauteur est 2,80m. Il comporte une porte de 2m de haut sur 0,80m de large, et trois baies vitrées de 2m de haut sur 1,60m de large. Première partie : Peinture des murs et du plafond. Les murs et le plafond doivent être peints. L'étiquette suivante est collée sur les pots de peinture : Peinture pour murs et plafond - Séchage rapide. Contenance : 5 litres Utilisation recommandée : 1 litre pour 4m². 1) a) Calculer l'aire du plafond. 6,4 5,2 = 33,28 m² b) Combien de litres de peinture faut-il alors pour peindre le plafond? 33,28 : 4 = 8,32 L 2) a) Prouver que la surface de murs à peindre est de 53,76 m². 2 6,4 2, ,2 2,8 2 0, ,6 = 53,76 m² b) Combien de litres de peinture faut-il alors pour peindre les murs? 53,76 : 4 = 13,44 L 3) De combien de pots de peinture l'entreprise doit-elle donc disposer pour ce chantier? (13,44+8,32) : 5 = 4,352. Il lui faut donc 5 pots. Deuxième partie : Pose d'un carrelage sur le sol. 13 x + 15 y = 3,43 1) Résoudre le système suivant : { 16 x + 10 y = 3,46 On { multiplie la première équation par 2 et la deuxième par 3. J'obtiens le système suivant : - 26 x + 30 y = 6,86 On calcule la différence membre à membre entre ces deux équations : 48 x + 30 y = 10,38 26x 48x = 6,86 10,38-22x = -3,52 et donc x = (-3,52) : (-22) = 0,16 En remplaçant x par sa valeur dans la première équation, on obtient : 13 0, y = 3,43 donc 15y = 3,43 2,08 = 1,35 donc y = 1,35 : 15 = 0,09 Vérification : 13 0, ,09 = 3,43 et 16 0, ,09 = 3,46 (0,16 ; 0,09) est la solution de ce système. 2) L'entreprise veut recouvrir le sol du local de la première partie par du carrelage. Elle désire utiliser deux types de dalles de forme carrée, mais de dimensions différentes. Si elle recouvre le sol avec 130 dalles du premier type et 150 dalles du deuxième type, il lui restera à la fin 1,02 m² de carrelage en trop. Avec 160 dalles du premier type et 100 dalles du deuxième type, il en restera 1,32 m². a) En utilisant entre autres la question 1), trouver l'aire d'une dalle de chaque type. Si x est l'aire d'une dalle du premier type et y celle du deuxième type, alors on a : { 130 x y = 33,28+1,02=34,3 160 x y = 33,28+1,32=34,6 Il s'agit du système de la question 1) dans lequel chaque membre des équations a été multiplié par 10. Sa solution est (0,16 ; 0,09). L'aire de la première dalle est 0,16 m² et celui de la deuxième 0,09 m² b) En déduire les dimensions de chaque type de carreau. Le côté du premier type de dalle est 0,16 = 0,4 m et celui du deuxième type 0,09 =0,3 m

2 Troisième partie : Coût du dallage. Pour l'ensemble de ses chantiers, l'entreprise se fournit auprès de deux grossistes. Les tarifs proposés pour des paquets de 20 dalles sont : Grossiste A : 48 euros le paquet, livraison gratuite. Grossiste B : Une livraison de 36 euros quelle que soit la commande, plus 42 euros le paquet. 1) Quel est le prix pour une commande de 9 paquets : a) avec le grossiste A? 48 9=432 b) avec le grossiste B? = 414 2) Exprimer en fonction du nombre n de paquets : a) le prix P A en euros d'une commande de n paquets avec le grossiste A. P A (n) = 48 n b) le prix P B en euros d'une commande de n paquets avec le grossiste B. P B (n)= n 3) a) Représenter graphiquement chacun de ces deux prix en fonction de n, dans le repère donné en annexe. P A (5) = 48 5=240 P A est une fonction linéaire, donc sa représentation est une droite qui passe par l'origine et par le point de coordonnées (5 ; 240) P B (0) = =36 et P B (7) = =330 P B est une fonction affine, donc sa représentation est une droite qui passe par les points de coordonnées (0 ; 36) et (7 ; 330) b) Quel est, selon le nombre de paquets achetés, le tarif le plus avantageux? Pour moins de 6 paquets, le tarif P A est le plus avantageux. A partir de 6 paquets, c'est le tarif P B qui l'est. ANNEXE :

3 GEOMETRIE Exercice 1 : QCM Indique sur ta copie le numéro des questions, accompagné de la bonne réponse à choisir parmi R1, R2 et R3. Chaque bonne réponse vaut 1 point ; une mauvaise réponse n'entraîne pas de malus. Questions : R1 R2 R3 Dans le pentagone régulier cicontre, l'angle BAC mesure : D'après le codage de cette figure, ABCD est un : Rectangle Losange Parallélogramme quelconque. Si les droites d et d' sont parallèles, alors les angles x et y sont : Alternesinternes Correspondants Supplémentaires Dans un triangle ABC rectangle en B, si sin( BAC) = 3 5 alors cos( BAC) =... 0,5 0,8 0,4 Exercice 2 : 1) Tracer un cercle de centre O et de rayon 3cm, puis tracer [AB] un de ses diamètres. 2) Tracer un point D sur ce cercle tel que AD=4cm. 3) Démontrer que ABD est un triangle rectangle. Si on joint un point d'un cercle aux extrémités d'un diamètre, alors on obtient un triangle rectangle en ce point. Ici, D est un point du cercle de diamètre [AB] donc ABD est rectangle en D 4) En déduire la longueur de [BD], arrondie à 1 mm. Dans ABD rectangle en D, d'après le théorème de Pythagore : AB² = AD² + BD² 6² = 4² + BD² BD² = = 20 BD 4,5 cm 5) Calculer la mesure de l'angle BAD, arrondie à 1. Dans ABD rectangle en D, cos( BAD ) = 4/6 donc BAD = cos -1 ( 4 : 6 ) 48

4 Exercice 3 : A l'occasion des Jeux Olympiques de Londres sera testé un nouveau type de plongeoir, dont un schéma est donné ci-contre. Les pieds [DB] et [CA] se coupent en I, et on connaît les longueurs suivantes : DI=30cm ; DB=90cm ; CI = 20cm DC=36cm et IA= 40cm. 1) La planche (CD) est-elle parallèle au sol (AB)? Justifier. DI/IB=30/(90-30)=0,5 et CI/IA=20/40=0,5 D,I et B sont alignés dans le même ordre que C,I et A. D'après la réciproque du théorème de Thalès, (DC) et (AB) sont parallèles. 2) Calculer la longueur AB. (DB) et (CA) se coupent en I et (DC) // (AB). D'après le théorème de Thalès 30/60=20/40=36/AB et donc AB=36 40:20 = 72cm. 3) DIC est-il un triangle rectangle? Justifier. DC²=36²=1296 DI²+IC²=30²+20²= D'après Pythagore, le triangle ne peut pas être rectangle. Exercice 1 : PARTIE NUMERIQUE 1. A= Calculer A en donnant le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. A= = = = = B= , , a) Calculer B sous forme décimale B= 5 3, = 19, ,5 = 1, ,3 10 1, = ( 5) = = b) Donner le résultat sous la forme d'une écriture scientifique = 1, C= Ecrire C sous la forme a b, où a et b sont deux nombres entiers. C= = = =3 3

5 Exercice 2 : Voici les effectifs et les salaires des employés d'une Petite et Moyenne Entreprise (PME). Ouvrier Ouvrier Cadre Cadre Catégorie simple qualifié moyen supérieur Dirigeant Effectif Salaire en Quel est l'effectif total de cette PME? = Calculer le salaire moyen (arrondi à l'unité). M=( )/102 = / Calculer le salaire médian. 102 = La salaire médian est donc entre le 51ème salaire (1300 ) et le 52ème salaire (1300 ). m = Déterminer l'étendue des salaires. e= = Les dirigeants décident une augmentation de 8% du montant du salaire d'un ouvrier simple. Calculer le nouveau salaire de cet ouvrier. Une augmentation de 8% correspond à une multiplication par 1+8/100 = 1,08. Le nouveau salaire est donc 950 1,08=1026 Exercice 3 : On considère le programme de calcul ci-dessous : Choisir un nombre de départ. Ajouter 1. Calculer le carré du résultat obtenu. Lui soustraire le carré du nombre de départ. Ecrire le résultat final. 1. a) Vérifier que lorsque le nombre de départ est 1, on obtient 3 au résultat final. (1+1)²-1² = 4-1 = 3 b) Lorsque le nombre de départ est 2, quel résultat final obtient-on? (2+1)²-2² = 9 4 = 5 c) Le nombre de départ étant x, exprimer le résultat final en fonction de x. (x + 1)² x² 2. On considère l'expression P = (x + 1)² x² Développer puis réduire l expression P. (x + 1)² x² = x² + 2x + 1 x² = 2x Quel nombre de départ doit-on choisir pour obtenir un résultat final égal à 15? 2x + 1 = 15 2x =14 x=7

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