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1 Terminale STSS Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t ) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant 60 subit une augmentation de 5 % Montant de l'augmentation : = 300 = b) Calcul d un effectif : Dans une classe, les 15 élèves qui pratiquent le russe représentent 60 % de l effectif total. Combien y a-t-il d élèves dans la classe? On obtient : = 25 élèves c) Recherche d un pourcentage : Un commerçant fait une réduction de 36 sur un article coûtant 450. Quel est le pourcentage de réduction? On obtient : (ou = 0,08 = 8 %) = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % ? 36? 3) Coefficient multiplicatif : Augmenter un nombre de t % revient à le multiplier par t 12 Exemple : Augmenter de 12 % revient à multiplier par 1, Diminuer un nombre de t % revient à le multiplier par t Exemple : Diminuer de 12 % revient à multiplier par 0, ) Pourcentage d'évolution : Une valeur V I (valeur initiale) passe à la valeur V F (valeur finale). Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre : t = V F V I V I = valeur finale valeur initiale valeurinitiale Remarque : si t > 0, l'évolution correspond à une hausse ( V F > V I ). si t < 0, l'évolution correspond à une diminution ( V F < V I ). 5) Fréquence (ou proportion) : La fréquence (ou proportion) d'une sous-population A d'effectif n parmi une population E d'effectif N est : p = Nombre d ' éléments de A Nombre d ' éléments de E = n N

2 Terminale STSS Suites numériques Synthèse 1) Suites arithmétiques : Une suite (u n ) est une suite arithmétique si on passe d'un terme au suivant en ajoutant à chaque fois un même nombre r appelé raison de la suite. Pour tout entier naturel n : u n+1 = u n + r Propriétés : Le terme général d une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r est : u n = u 0 + n r. Autre expression : u n = u p + (n - p) r La somme des (n + 1) premiers termes d une suite arithmétique est : u 0 + u u n = n 1 u 0 u n 2 = nombre de termes premier terme dernier terme 2 Sens de variation : Une suite arithmétique de raison r est : - croissante, si r > 0 ; - décroissante, si r < 0 ; - constante, si r = 0. Représentation graphique : La représentation graphique d'une suite arithmétique est constituée de points alignés. 2) Suites géométriques : Une suite (u n ) est une suite géométrique si on passe d'un terme au suivant en multipliant à chaque fois par un même nombre q appelé raison de la suite géométrique. Pour tout nombre entier naturel n, on a : u n+1 = q u n. Propriétés : Le terme général d une suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q est : u n = u 0 q n. Autre expression : u n = u p q n-p. La somme des (n + 1) premiers termes d une suite géométrique de raison q avec q 1 est : u 0 + u u n = u 0 1 qn 1 1 q nombrede termes 1 raison = premier terme 1 raison Sens de variation : Une suite géométrique de raison q est : - croissante, si q > 0 ; - décroissante, si 0 < q < 1 ; - constante, si q = 0.

3 Terminale STSS Statistiques Synthèse I - Statistiques à une variable On appelle mode d'une série statistique une valeur du caractère dont l'effectif associé est le plus grand. On appelle classe modale d'une série statistique classée, une classe dont l'effectif associé est le plus grand. On appelle étendue d'une série statistique la différence entre la plus grande valeur du caractère et la plus petite. - La moyenne d une série statistique permet de positionner la série : x = n 1 x 1 n 2 x 2... n p x p N - La variance est la moyenne des carrés des écarts de chaque valeur à la moyenne : n variance V = 1 x 1 x 2 n 2 x 2 x 2... n p x p x 2. N - L écart type est la racine carrée de la variance (noté V) : σ = V. L écart type (noté σ) permet de mesurer la dispersion d une série statistique autour de la moyenne, c est-à-dire l importance des écarts de chaque valeur à la moyenne. - La médiane M e d'une série statistique est une valeur telle que 50 % de l'effectif soit au-dessous et 50 % au dessus. - Le premier quartile Q 1 d'une série statistique est la plus petite valeur telle que 25 % au moins des valeurs soient inférieures ou égales à Q 1. - Le troisième quartile Q 3 d'une série statistique est la plus petite valeur telle que 75 % au moins des valeurs soient inférieures ou égales à Q 3. - L intervalle [Q 1 ; Q 3 ] est appelé intervalle interquartile ; le nombre Q 3 Q 1 est appelé écart interquartile. - Ces paramètres peuvent être représentés sur un diagramme en boîte : minimum Q médiane Q 3 maximum 1 II - Série statistique à deux variables 1) Nuage de points : On observe que dans certains cas, il semble exister un lien entre 2 caractères d une population (ex : entre poids et taille, entre l épaisseur d un mur et sa résistance thermique...). On définit alors une série statistique à 2 variables x et y, prenant des valeurs x 1,, x n et y 1,, y n. a) Représentation graphique d une série double : Le plan P étant muni d un repère orthogonal, on peut associer au couple (x i ; y i ) de la série statistique double, le point M i de coordonnées x i et y i. L ensemble des points M i obtenus constitue le nuage de points représentant la série statistique. b) Point moyen : On appelle point moyen d un nuage de n points M i de coordonnées (x i ; y i ), le point G de coordonnées x ; y ; x et y sont les moyennes respectives des séries (x i ) et (y i ). 2) Ajustement affine : On trace une droite D d'équation y = a x + b passant au voisinage des points du nuage de points, en s efforçant d équilibrer le nombre de points situés au dessus et au dessous de la droite D : on dit que l'on procède à un ajustement affine. On choisit en général une droite passant par le point moyen du nuage.

4 1) Vocabulaire : Terminale STSS Probabilités Synthèse - L'ensemble des éventualités constitue l'univers. - Toute partie de l'univers est un événement. - Un événement élémentaire est un événement comportant une seule éventualité. - L'événement contraire de A se note A : il comprend les événements élémentaires qui ne sont pas dans A. - L'événement "A et B" se note A B : il comprend les événements élémentaires faisant partie de A et de B. - L'événement "A ou B" se note A B : il comprend les événements élémentaires faisant partie de A ou de B. - Deux événements A et B sont incompatibles lorsque l'intersection est vide ( A B = ). 2) Propriétés : - L'univers est muni d'une probabilité p qui, à chaque événement élémentaire associe un réel compris entre 0 et 1. - La somme des probabilités des événements élémentaires est égale à 1. - La probabilité d'un événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent. - La somme des probabilités de deux événements contraires est 1 : p(a) + p A = 1. - Si A et B sont deux événements quelconques : p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) Si A et B sont incompatibles, alors : p(a B) = p(a) + p(b). - Si les événements élémentaires sont équiprobables, alors : p(a) = nombre d ' éléments de A nombre d ' éléments de l ' univers 3) Probabilité conditionnelle : Soit A un événement quelconque et B un événement de probabilité non nulle. La probabilité que l'événement A soit réalisé sachant que B est réalisé est une probabilité conditionnelle. Elle est notée p B (A) ou p(a/b) et est définie par : p B (A) = Conséquences : Si p(b) 0, p(a B) = p(b) p B (A). p A B p B. p A B Si p(a) 0, p A (B) = ce que l'on peut écrire p(a B) = p(a) p p A A (B). Ainsi, si p(a) 0 et p(b) 0 on a p(a B) = p(a) p A (B) = p(b) p B (A). On peut représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré. (arbre sur lequel on a placé les probabilités correspondant à chaque branche) - la somme des probabilités portées sur les branches issues d'un même noeud est égale à 1 - la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées sur ses branches - la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y aboutissent 4) Indépendance de deux événements : Dire que deux événements A et B sont indépendants signifie que p(a B) = p(a) p(b). Lorsque p(a) 0, on obtient p A (B) = p(b) car p(a B) = p(a) p A (B). Par conséquent la réalisation de A n'influence pas la réalisation de B : B ne dépend pas de A. De même, lorsque p(b) 0, on a p B (A) = p(a) : A ne dépend pas de B.

5 Terminale STSS Fonction dérivée Synthèse 1) Nombre dérivé : Soit f une fonction définie en a. On appelle nombre dérivé d une fonction f en a le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse a. On note ce nombre f (a). Si une fonction f admet en a un nombre dérivé, on dit que f est dérivable en a. 2) Equation de la tangente : Une équation de la tangente à la courbe en A(a ; f(a)) est de la forme : y = f (a) x + b. (pour trouver b, on remplace x et y par les coordonnées de A). Une équation de la tangente à la courbe en A(a ; f(a)) s'écrit : y = f ' (a) (x - a) + f (a). 3) Fonction dérivée : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en toute valeur x de I. La fonction qui a tout x de I associe f (x), est appelée fonction dérivée de f et on la note f. 3) Opérations sur les fonctions dérivées : Les propriétés suivantes sont admises. f(x) f ' (x) Validité a (constante) 0 R x 1 R x 2 2 x R x n (n entier naturel non nul) 1 x n x n 1 x 1 2 x R 1 x 2 R - {0} On considère u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. La fonction u + v est dérivable sur I et (u + v) = u + v. La fonction k u (où k est un nombre) est dérivable sur I et (k u) = k u. ] 0 ; + [ 4) Signe de la dérivée et sens de variation : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si pour tout x de I, f (x) > 0 alors f est strictement croissante sur I. Si pour tout x de I, f (x) < 0 alors f est strictement décroissante sur I. Si pour tout x de I, f (x) = 0 alors f est constante sur I.

6 Terminale STSS Fonction logarithme décimal Synthèse 1) Définition : La fonction logarithme décimal, notée log, est la fonction définie et strictement croissante sur ] 0 ; + [ qui vérifie : log(1) = 0 et log(10) = 1 et telle que : log(a x b) = log(a) + log(b) (pour tous nombres a et b strictement positifs). 2) Représentation graphique : La fonction logarithme décimal est : - strictement positive sur ] 1 ; + [ - strictement négative sur ] 0 ; 1 [ 3) Propriétés algébriques : a et b étant deux réels strictement positifs, on a : log(a x b) = log(a) + log(b) log( 1 a) = - log(a) log( a b) = log(a) - log(b) log(a n ) = n log(a) log ( a )= 1 2 log(a) Terminales STSS et ST2S Fonction exponentielle Synthèse 1) Définition : Soit a un réel strictement positif. La fonction exponentielle de base a est la fonction f définie sur R, par f(x) = a x. 2) Sens de variation : Si a > 1, la fonction a x est strictement croissante sur R. Si 0 < a < 1, la fonction a x est strictement décroissante sur R. Si a = 1, la fonction 1 x est constante sur R. 3) Propriétés algébriques : Quels que soient les réels a et b strictement positifs et les réels x et y : a 0 = 1 a 1 = a a x > 0 a x. a y = a x+y a x = 1 a x (a x ) y = a x y (a b) x = a x. b x a x a y = a x-y a b x= a x b x 4) Exemple de résolution d'équation : 3 x = 21 L'équation : 3 x = 21 équivaut à log(3 x ) = log(21), c'est-à-dire à : x log(3) = log(21) On en déduit : x = log(21) log (3)

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