Fonction inverse Fonctions homographiques

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1 Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité Variations Courbe représentative Application à des encadrements Fonctions homographiques 5 2. Définition Résolution de f (x) = k, avec f fonction homographique Signe d une fonction homographique Table des figures Fonction impaire Courbe représentative de la fonction inverse Encadrements (fonction inverse) Exemple Encadrements (fonction inverse) Exemple Encadrements (fonction inverse) Exemple Liste des tableaux Tableau de valeurs de la fonction inverse

2 FONCTION INVERSE En préliminaire : rappels sur les quotients Calculer avec des quotients : 35, 36, 37 page 03 [TransMath] Transformer des expressions rationnelles : 4,42 page 03 2, 2, 3, 4 page 94 et 38, 39 et 43 page et 45 page 03 4 [TransMath] Fonction inverse. Définition Parité Définition : La fonction inverse est la fonction f définie sur R\ {0} par : f : x x Remarque : Pour tout x 0, x = x. On a donc f ( x) = f (x). On dit que la fonction inverse est impaire. Sa courbe est symétrique par rapport à l origine du repère (voir figure ). Figure Fonction impaire On peut donc limiter l étude de ses variations à l intervalle ]0 ; + [..2 Variations Courbe représentative Propriété : La fonction inverse est décroissante sur l intervalle ]0 ; + [. Démonstration : Soient a, b ]0 ; + [ avec a b. f (b) f (a) = b a = a b ab. Comme a b, a b est négatif. Comme a > 0 et b > 0, ab est positif. Par suite, f (b) f (a) 0, c est-à-dire f (a) f (b). L ordre est inversé donc f est décroissante sur ]0 ; + [. Remarques : Par symétrie par rapport à l origine, la fonction inverse est donc décroissante sur l intervalle ] ; 0[. On a donc le tableau de variations suivant : x 0 + x La double barre en zéro signifie que la fonction inverse n est pas définie en x = 0. Courbe représentative de la fonction inverse : Il suffit de faire un tableau de valeurs et de tracer la courbe sur l intervalle ]0 ; + [. L autre partie de la courbe se déduit par symétrie par rapport à l axe des ordonnées (voir tableau et figure 2). La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole.. Rappels sur les règles de calcul. 2. Ensemble de définition. 3. Mise sous le même dénominateur. 4. Calculs sur des expressions rationnelles. 2

3 .3 Application à des encadrements FONCTION INVERSE x 0, 25 0, x 4 2 0, 5 0, 25 Table Tableau de valeurs de la fonction inverse Figure 2 Courbe représentative de la fonction inverse Remarques :. La courbe représentative de la fonction inverse ne touche aucun des axes de coordonnées. Par contre, elle s en rapproche indéfiniment Il est faux de dire que la fonction inverse est décroissante sur R\ {0}. Par exemple, 3 < 2 et 3 < 2. L ordre n est ici en aucun cas inversé... On ne peut de toute façon étudier les variations d une fonction que sur un intervalle. Exercices : 46, 47 page , 6 page 95 et 7 page page 04 et 62 page page 08 8 [TransMath].3 Application à des encadrements Exemples :. On suppose que 0 < x < 4. Encadrer au mieux x. La fonction inverse est décroissante sur l intervalle ]0 ; 4[, donc elle inverse l ordre (voir figure 3). On a donc : x > 4. On peut aussi noter x ] 4 ; + [. 2. On suppose que x 2. Encadrer au mieux x. La fonction inverse est décroissante sur l intervalle [2 ; + [, donc elle inverse l ordre (voir figure 4). On a donc : 0 < x 2. On peut aussi noter ] 0 ; 2]. 3. On suppose que 2 x < 0. Encadrer au mieux x. La fonction inverse est décroissante sur l intervalle [ 2 ; 0[, donc elle inverse l ordre (voir figure 5). On a donc : x 2. On peut aussi noter ] ; 2]. Remarque : On peut aussi utiliser le tableau de variations de la fonction inverse (adapté à l intervalle donné) pour résoudre ces problèmes d encadrements. Exercices : 9, 0, page , 4, 5 page 97 0 [TransMath] 5. Calcul d images. 6. Encadrements de nombres. 7. Comparaison de courbes. 8. Le nombre d or. 9. Encadrer x. 0. Résolution d équations et d inéquations. 3

4 .3 Application à des encadrements FONCTION INVERSE Figure 3 Encadrements (fonction inverse) Exemple Figure 4 Encadrements (fonction inverse) Exemple 2 Figure 5 Encadrements (fonction inverse) Exemple 3 4

5 2 FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES 2 Fonctions homographiques 2. Définition Définition : Soit a, b, c et d quatre nombres réels tels que c 0. La fonction f définie par : f (x) = ax + b cx + d est appelée fonction homographique. Elle n est pas définie pour la valeur de x annulant le dénominateur. Remarque : La courbe représentative d une fonction homographique est une hyperbole. Exercices : 65, 66 page 06 76, 78 page page 0 et 68, 69 page 07 3 [TransMath] 2.2 Résolution de f (x) = k, avec f fonction homographique Exemple : Résoudre algébriquement l équation 3x+2 2x 8 = 3. Il faut que le dénominateur soit non nul, d où 2x 8 0, soit x 4. On utilise les produits en croix : 3x + 2 2x 8 = 3 3x + 2 = 3 (2x 8) 3x + 2 = 6x 24 9x = 26 x = 26 9 Cette valeur étant bien différente de la valeur interdite 4, on a S = { } Méthode :. Exclure les valeurs interdites. (celles qui annulent le dénominateur) 2. Utiliser les produits en croix pour éliminer les quotients. 3. Résoudre l équation obtenue. 4. Vérifier que les valeurs obtenues ne soient pas des valeurs interdites, qu il faudrait alors exclure de l ensemble des solutions. Exercices : 8, 9, 2 page page 0et 54, 55, 56 page 04 5 [TransMath] 2.3 Signe d une fonction homographique La règle des signes étant la même pour les produits et les quotients, on va pouvoir faire des tableaux de signes pour des quotients de manière analogue à ce que l on faisait pour des produits. Il faudra tout de même faire attention à ne pas oublier les valeurs interdites. Exemple : Signe de 3x+6 x 4 Il faut que x 4 0, soit x 4. La fonction affine f (x) = 3x + 6 est décroissante, et s annule pour x = 2. La fonction affine g (x) = x 4 est croissante, et s annule pour x = 4. On résume ces résultats dans un tableau de signes :. Détermination graphique. 2. Utilisation de fonctions homographiques. 3. Encadrer des quotients. 4. Résolution de f (x) = k, avec f fonction homographique. 5. Résolution d équations. 5

6 RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES x Signe de 3x Signe de x Signe de 3x+6 x Remarque : On peut utiliser ce tableau de signes pour résoudre des inéquations. Exercices : 22, 23, 24, 25 page 99 ; 32 page 0 et 58, 59, 60 et 63 page page 07 7 [TransMath] Références [TransMath] Transmath Seconde, Nathan (édition 200). 2, 3, 5, 6 6. Résolutions d inéquations. 7. Application aux fonctions. 6

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