Chapitre 1 : Évolution COURS

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1 Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir déterminer une notion à partir d une autre. Savoir déterminer la valeur d arrivée en connaissant la valeur de départ (ou l inverse) et également le taux d évolution ou le coefficient multiplicateur ou l indice en base. Savoir déterminer si une évolution est une hausse ou une baisse à partir de la donnée du taux d évolution, du coefficient multiplicateur ou de l indice en base. Savoir déterminer le coefficient multiplicateur global et le taux d évolution global d une succession de plusieurs évolutions. Savoir déterminer le coefficient multiplicateur et le taux d évolution de l évolution réciproque d une évolution donnée. Savoir déterminer la racine n-ième d un réel strictement positif. Savoir déterminer le coefficient multiplicateur moyen et le taux d évolution moyen à partir d une évolution globale. TABLE DES MATIÈRES I Taux d évolution (rappels) 2 II Indice en base 3 II.1 Indice simple en base II.2 Indices multiples en base III Évolutions successives (rappels) 6 III.1 Deux évolutions successives III.2 Plusieurs évolutions successives IV Évolution réciproque (rappels) 8 V Taux d évolution moyen - Racine n-ième 10 V.1 Racine n-ième V.2 Taux d évolution moyen

2 I TAUX D ÉVOLUTION (RAPPELS) Dans cette section, on rappelle les notions élémentaires, vues en classe de première, liées à une évolution. DÉFINITION Soient et y 2 deux nombres réels strictement positifs. 1) On appelle variation absolue de à y 2 la différence y 2. 2) On appelle variation relative ou taux d évolution le quotient t = y 2. Le taux d évolution est souvent exprimé sous la forme d un pourcentage. 3) On appelle coefficient multiplicateur le nombre réel C := y 2. REMARQUE. L égalité reliant et y 2 est y 2 = C, c est pourquoi C est appelé le coefficient multiplicateur. On peut reformuler ces définitions en français, comme ci-dessous. REMARQUE. Si on dit que est la valeur de départ et que y 2 est la valeur d arrivée, alors on a 1) 2) 3) variation absolue = valeur d arrivée valeur de départ ; valeur d arrivée valeur de départ taux d évolution = ; valeur de départ coefficient multiplicateur = valeur d arrivée valeur de départ. EXEMPLE. Un produit coûtait initialement 200 euros. Il subit un évolution et coûte désormais 250 euros. La valeur de départ est donc 200 et la valeur d arrivée y 2 est ) La variation absolue est y 2 = = 50. Il faut additionner 50 à 200 pour obtenir ) Le taux d évolution est Le produit a subi une augmentation de 25%. 3) Le coefficient multiplicateur est t = y = = 0,25 = 25%. 200 C := y 2 = = 5 4 = 1,25. Il faut multiplier 200 par 1,25 pour obtenir

3 EXERCICE 1 Un produit évolue de 500 euros à 450 euros. Calculer la variation absolue, le taux d évolution et le coefficient multiplicateur de cette évolution. La propriété suivante montre comment obtenir le taux d évolution si on connaît le coefficient multiplicateur et inversement. PROPRIÉTÉ (LIEN ENTRE TAUX D ÉVOLUTION ET COEFFICIENT MULTIPLICATEUR) 1) Si on connaît le taux d évolution t, alors on trouve le coefficient multiplicateur C par la formule suivante : C = 1 + t 2) Si on connaît le coefficient multiplicateur C, alors on trouve le taux d évolution t par la formule suivante : t = C 1 y 1 y 2 (1 + t) REMARQUE IMPORTANTE 1) Si le taux d évolution est positif, alors la situation correspond à une hausse. 2) Si le taux d évolution est négatif, alors la situation correspond à une baisse. 3) Si le coefficient multiplicateur est supérieur à 1, alors la situation correspond à une hausse. 4) Si le coefficient multiplicateur est inférieur à 1, alors la situation correspond à une baisse. EXEMPLES. 1) Si on sait que le taux d évolution est t = 25%, alors le coefficient multiplicateur est C = 1 + t = = 1,25. Cette situation correspond à une hausse car 1,25 > 1. 2) Si on sait que le coefficient multiplicateur est C = 1,25, alors le le taux d évolution est t = C 1 = 1,25 1 = 0,25 = 25%. EXERCICE 2 1) On considère une évolution dont le taux d évolution est 15%. Déterminer le coefficient multiplicateur et dire s il s agit d une hausse ou d une baisse. 2) On considère une évolution dont le coefficient multiplicateur est 0,75. Déterminer le taux d évolution et dire s il s agit d une hausse ou d une baisse. II INDICE EN BASE Dans cette section, on introduit la notion d indice en base pour une évolution, et on étudie les liens entre cette notion, le taux d évolution et le coefficient multiplicateur vus dans la section précédente. 3

4 II.1 INDICE SIMPLE EN BASE DÉFINITION Soient et y 2 deux valeurs d une même grandeur. On appelle indice simple en base de la valeur y 2 par rapport à la valeur, et on note I, le réel I := y 2. L indice est donc fois le coefficient multiplicateur. REMARQUE. Comme et y 2 sont deux valeurs d une même grandeur, l indice simple n a pas d unité. REMARQUE IMPORTANTE 1) Si l indice est inférieur à, alors la valeur a subi une baisse. 2) Si l indice est supérieur à, alors la valeur a subi une hausse. EXEMPLE. De 2010 à 2012, le prix de l essence sans plomb 95 passe de 1,3 par litre à 1,6 par litre. L indice en base du prix en 2012 par rapport au prix en 2010 est donc I = 1, ,3 L indice est supérieur à ce qui correspond bien à une augmentation. EXERCICE 3 Le prix d un forfait téléphonique est à 15,99 par mois alors qu il était auparavant à 19,99 par mois. Déterminer l indice en base du nouveau prix du forfait par rapport à l ancien. MÉTHODE (CALCULER UNE VALEUR À PARTIR D UN INDICE) Si on connaît d une part l indice en base et d autre part la valeur de départ ou la valeur d arrivée y 2, alors on peut déterminer l autre valeur en transformant la formule I = y 2 selon la valeur cherchée : = y 2 I ou y 2 = I. EXEMPLES. 1) On considère un magasin dans lequel ont été vendus 15 vélos la première semaine. On sait que l indice en base du nombre de vélos vendus la deuxième semaine par rapport au nombre de vélos vendus la première semaine est 180. Le nombre de vélos vendus la deuxième semaine est = 27. 2) On considère une tablette qui coûte 210 euros suite à une baisse. On sait que l indice en base du prix après réduction par rapport au prix initial est 70. Le prix initial de la tablette est 210 /70 = 300. EXERCICE 4 La population mondiale en 2010 est d environ personnes. L indice en base de la population mondiale en 2010 par rapport à celle en 1950 est 276. L indice en base de la population mondiale en 1960 par rapport à celle en 1950 est ) Déterminer la population mondiale en ) En déduire la population mondiale en

5 PROPRIÉTÉ (LIEN ENTRE INDICE ET TAUX D ÉVOLUTION) 1) Si un indice passe de à I, alors le taux d évolution correspondant est t = I. 2) Si le taux d évolution est t, alors l indice simple de base est I = (1 + t). Pour résumer, l indice en base est le nombre I tel que l évolution qui fait passer de à y 2 fait passer de à I. y 1 y 2 (1 + t) I (1 + t) Finalement, pour déterminer la valeur initiale, la valeur finale ou l indice en connaissant les deux autres, il suffit de faire un produit en croix. EXEMPLES. 1) Si un indice passe de à 80, alors son taux d évolution est EXERCICE 5 80 t = = 0,2 = 20%. 2) Si le taux d évolution est 30%, alors l indice simple de base est ( I = ) = ) Soit une évolution de taux d évolution 40%. Déterminer l indice simple de base correspondant. 2) Soit une évolution d indice simple de base égale à 65. Déterminer le taux d évolution correspondant. THÉORÈME (LIEN ENTRE TAUX D ÉVOLUTION, COEFFICIENT MULTIPLICATEUR ET INDICE) Le diagramme suivant résume les liens entre le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d un évolution. Indice I en base coefficient multiplicateur C I = C = I t = C 1 C = 1 + t I = (1 + t) t = I taux d évolution t 5

6 II.2 INDICES MULTIPLES EN BASE Si on a une série chronologique de valeurs, y 2, y 3,... correspondant par exemples aux années 1,2,3,..., alors on note la série d indices en base de la première valeur I 1,1 =, I 2,1 = y 2, I 3,1 = y 3,... EXEMPLE. Année Salaire mensuel net moyen en France ( constants) Indice base en Ceci permet de comparer l évolution de deux séries chronologiques dont les ordres de grandeur sont différents comme les salaires en France et au Luxembourg ou dont les unités sont différentes comme le prix d un produit et le nombre de produits vendus. REMARQUE. Il est tout à fait possible de choisir une autre valeur que la première valeur de la série comme base (correspondant à ). Si on choisit la 3 e valeur, alors on note les indices I 1,3, I 2,3, I 3,3 =... III III.1 ÉVOLUTIONS SUCCESSIVES (RAPPELS) DEUX ÉVOLUTIONS SUCCESSIVES Dans cette section, on considère deux évolutions successives de à y 2 puis de y 2 à y 3. On s intéresse alors à l évolution globale de à y 3. Une question naturelle est de se demander comment obtenir le coefficient multiplicateur C global de l évolution globale si on connaît les coefficients multiplicateurs C 1 et C 2 des première et deuxième évolutions. PROPRIÉTÉ (COEFFICIENT MULTIPLICATEUR GLOBAL) Si une valeur subit une évolution de coefficient multiplicateur C 1 puis une évolution de coefficient multiplicateur C 2, alors le coefficient multiplicateur global C global est le produit des coefficients multiplicateurs : C global = C 1 2. C C 1 y 2 2 y 3 C global = C 1 2 EXEMPLE. Si une valeur subit une évolution de coefficient multiplicateur 1,2 puis une évolution de coefficient multiplicateur 0,8, alors la valeur a subi une évolution global de coefficient multiplicateur EXERCICE 6 C global = 1,2 0,8 = 0,96. La population mondiale en 1950 est d environ Le coefficient multiplicateur de l évolution de la population mondiale de 1950 à 1960 est 1,2. Le coefficient multiplicateur de l évolution de la population mondiale de 1960 à 2010 est 2,3. Déterminer directement la population mondiale en REMARQUE IMPORTANTE Attention, le taux d évolution global n est pas égal à la somme des taux d évolution : t global t 1 + t 2. 6

7 EXEMPLE. Si le prix d un produit augmente de 10% puis augmente de 30%, alors le produit n a pas augmenté de 40% en tout. MÉTHODE Pour obtenir le taux d évolution t global de l évolution globale, on peut effectuer les étapes suivantes. 1) On détermine le coefficient multiplicateur C 1 de la première évolution puis le coefficient multiplicateur C 2 de la deuxième évolution. 2) On calcule le coefficient global C global = C ) On calcule le taux d évolution global par la formule t global = C global 1. EXEMPLE. Un effectif augmente de 10% puis diminue de 20%. Calculons le taux d évolution global. 1) On a t 1 = 10% et t 2 = 20%. On calcule alors les coefficients multiplicateurs des deux évolutions : C 1 = = 1,1. et C 2 = = 0,8 2) On calcule le coefficient global 3) On calcule enfin le taux d évolution global C global = C 1 2 = 1,1 0,8 = 0,88. t global = C global 1 = 0,88 1 = 0,12 = 12% On peut conclure que l effectif a diminué de 12%. On remarque qu il n a pas subi une évolution de 10% 20% = 10%. EXERCICE 7 Un produit subit une réduction de 50% puis une augmentation de 50%. Calculer le taux d évolution global. Que remarquez-vous? On peut également utiliser la propriété suivante obtenue à partir de la propriété sur le coefficient multiplicateur global en remplaçant les coefficient multiplicateurs par les taux d évolution auxquels on ajoute 1. PROPRIÉTÉ ( TAUX D ÉVOLUTION GLOBAL) Si une valeur subit deux évolutions de taux d évolution t 1 et t 2, alors le taux d évolution global t global est égal à t global = (1 + t 1 ) (1 + t 2 ) 1. (1 + t ) (1 + t 1 y 2 ) 2 y 3 (1 + t 1 )(1 + t 2 ) 7

8 III.2 PLUSIEURS ÉVOLUTIONS SUCCESSIVES Nous pouvons généraliser les propriétés obtenues dans le cas de deux évolutions à une situation où l on a plusieurs évolutions. PROPRIÉTÉ (COEFFICIENT MULTIPLICATEUR GLOBAL) Si une valeur subit n évolutions de coefficients multiplicateurs C 1,C 2,...,C n, alors le coefficient multiplicateur global C global est le produit des coefficients multiplicateurs : C global = C n. Comme auparavant, pour déterminer le taux d évolution global t global, on peut calculer d abord le coefficient multiplicateur global C global puis calculer t global = C global 1. La propriété suivante donne une formule plus directe pour déterminer le taux d évolution global à partir des taux d évolution de chaque évolution. PROPRIÉTÉ ( TAUX D ÉVOLUTION GLOBAL) Si une valeur subit n évolutions de taux d évolution t 1, t 2,..., t n, alors le taux d évolution global t global est égal à t global = (1 + t 1 ) (1 + t 2 )... (1 + t n ) 1. 1 y 2 2 y 3 y n n y n+1 (1 + t 1 ) (1 + t 2 ) (1 + t n ) (1 + t 1 )(1 + t 2 )...(1 + t n ) 1 n IV ÉVOLUTION RÉCIPROQUE (RAPPELS) Lorsqu une valeur subit une évolution, on peut se demander quelle est l évolution réciproque. Par exemple, si un produit subit une réduction de 50%, de combien faudrait-il l augmenter pour qu il revienne au prix initial (nous avons vu que l augmenter de 50% n est pas la bonne réponse). Ceci nous amène à la notion d évolution réciproque. DÉFINITION Si, après deux évolutions, la valeur finale est égale à la valeur de départ, alors on dit que les deux évolutions sont réciproques. REMARQUE. Les effets des évolutions réciproques s annulent. On dit la deuxième évolution compense la première. Les propriétés suivantes nous montrent calculer le coefficient multiplicateur et le taux d évolution de l évolution réciproque. PROPRIÉTÉ (COEFFICIENT MULTIPLICATEUR RÉCIPROQUE) Pour un coefficient multiplicateur C, le coefficient multiplicateur réciproque C est donné par C = 1 C 8

9 Démonstration. Si une valeur subit une évolution de coefficient multiplicateur C puis une évolution de coefficient multiplicateur C, alors nous avons vu dans la section précédente, que le coefficient multiplicateur qui correspond à l évolution globale est C. Or si le prix d arrivée est égal au prix de départ, cela signifie que son coefficient multiplicateur est 1 donc C = 1, ce qui revient à dire C = 1 C. PROPRIÉTÉ ( TAUX D ÉVOLUTION RÉCIPROQUE) Pour un taux d évolution t, le taux d évolution réciproque t est donné par t = t 1. Si on connaît le coefficient multiplicateur C de la première évolution, alors la formule s écrit t = 1 C 1. ( ) t 1 C y 2 (1 + t) Démonstration. Si on note C le coefficient multiplicateur de l évolution et C le coefficient multiplicateur de l évolution réciproque, alors on doit avoir C = (1 + t) ( 1 + t ) = 1, c est-à-dire 1 + t = t, d où l on déduit finalement t = t 1. En remplaçant 1 + t, par C, on obtient bien t = 1 C 1. EXEMPLE. Si le prix d un produit subit une baisse de 50%, ce qui correspond à t = 50, alors il faut lui faire subir une évolution de taux t = t 1 = = 1 0,5 1 = 2 1 = 1 = %, c est-à-dire qu il faut lui faire subir une augmentation de % donc doubler son prix pour le faire revenir à son prix initial. 9

10 EXERCICE 8 Déterminer le taux d évolution réciproque d une évolution de taux d évolution t = 40%. REMARQUE IMPORTANTE 1) Si une valeur subit une baisse puis une hausse de même ampleur, alors elle a globalement subi une baisse. 2) Si une valeur subit une hausse puis une baisse de même ampleur, alors elle a globalement subi une baisse. V TAUX D ÉVOLUTION MOYEN - RACINE n-ième Nous avons vu comment calculer l évolution globale lorsqu une valeur a subi plusieurs évolutions successives. Dans cette section, nous allons nous intéresser au problème dans l autre sens : si on connaît l évolution globale d une valeur qui a subi plusieurs évolutions, comment peut-on déterminer l évolution moyenne? V.1 RACINE n-ième Commençons par étudier un outil mathématique qui permettra de traiter les situations où une valeur subit la même évolution plusieurs fois de suite. DÉFINITION Soit a un réel strictement positif et n un entier naturel non nul. On appelle racine n-ième de a, et on note x = a 1 n ou x = n a, l unique solution positive de l équation x n = a, où on rappelle que x n = x x {{... x. x est multiplié n fois REMARQUE. On admet qu il existe toujours une et une seule racine n-ième d un réel strictement positif. EXEMPLE. On a = 2 car 2 3 = 8 et 2 est positif. EXERCICE 9 Déterminer , et V.2 TAUX D ÉVOLUTION MOYEN On considère une valeur qui subit chaque année la même évolution, c est-à-dire qui est multipliée chaque année par le même coefficient multiplicateur annuel C, que l on ne connaît pas. Après n années, le coefficient multiplicateur global est C global = C {{... = C n. n fois Par conséquent, le coefficient multiplicateur annuel C vérifie C n = C global, c est-à-dire que C est la racine n-ième du coefficient multiplicateur global : C = ( C global ) 1 n. 10

11 y 1 y 2 y 3 y n y n+1 global {{ = C n n fois DÉFINITION Si une valeur suit n évolutions successives de taux d évolution global T global, alors on appelle taux d évolution moyen le taux t moyen vérifiant ( 1 + tmoyen ) n = 1 + Tglobal, c est-à-dire t = ( 1 + T global ) 1 n 1 On appelle coefficient multiplicateur moyen, et on note C moyen, le réel C moyen = 1 + t moyen. (1 + t moyen ) (1 + t moyen ) (1 + t moyen ) y 2 y 3 y n y n+1 (1 + T global ) EXEMPLE. Si un prix baisse globalement sur un an de 50%, on cherche à déterminer la baisse moyenne mensuelle. On applique alors la formule avec T = 50% et n = 12 : donc ( 1 + t moyen = ) = 0,5 12 0,94 t moyen = 0,94 1 = 0,06 = 6%, c est-à-dire que l effectif a subi en moyenne une baisse de 6% chaque mois (et non pas 4% %). EXERCICE 10 Le nombre de personnes connectées à internet dans le monde a augmenté de 450% en 10 ans. Calculer le taux d évolution annuel moyen d évolution. 11

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