Fonctions homographiques

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1 Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie sur ] ; 0[ ]0 ; + [= R ;. L équation f() = 0, c est-à-dire = 0 n admet pas de solution, donc la courbe représentative H de f ne coupe pas l ae des abscisses.. Pour tout réel < 0, < 0. Donc sur ] ; 0[, f() < 0 et H est en-dessous de l ae des abscisses. 4. Pour tout réel > 0, > 0. Donc sur 0 ; + [, f() > 0 et H est au-dessus de l ae des abscisses. 5. Pour tout réel 0, f( ) = = = f(). On dit que la fonction f est impaire. Sa courbe représentative admet l origine O du repère comme centre de symétrie. La fonction f est appelée fonction inverse.. Sens de variation Théorème : La fonction inverse est strictement décroissante sur ] ; 0[ et sur ]0 ; + [ (mais elle n est pas décroissante sur R ). Démonstration :.. Étude des variations de f sur ] ; 0[ Soient et deu réels de l intervalle ] ; 0[, tels que <. Déterminer le sens de variation de f revient à comparer f( ) et f( ), c est-à-dire à déterminer le signe de f( ) f( ). f( ) f( ) =. En mettant les deu fractions au même dénominateur, on obtient : f( ) f( ) =, soit f( ) f( ) =. Or : < donc 0 <. Le numérateur de la fraction est donc positif. ] ; 0[ donc < 0. De même, ] ; 0[ donc < 0. Par conséquent, > 0 (le produit de deu nombres négatifs est un nombre positif). Le dénominateur de la fraction est donc positif. Le numérateur et le dénominateur de f( ) f( ) sont positifs. Par conséquent, f( ) f( ) > 0 et donc f( ) > f( ). Nousavonsdonc montréque si et sontdeuréelsdel intervalle ] ; 0[,tels que < alorsf( ) > f( ). L ordre étant changé, la fonction inverse est strictement décroissante sur ] ; 0[. Étude des variations de f sur ]0 ; + [ Soient et deu réels de l intervalle ]0 ; + [, tels que <. Comme précédemment, on a : f( ) f( ) =. Or : < donc 0 <. Le numérateur de la fraction est donc positif. ]0 ; + [ donc > 0. De même, ]0 ; + [ donc > 0. Par conséquent, > 0 (le produit de deu nombres positifs est un nombre positif). Le dénominateur de la fraction est donc positif. Le numérateur et le dénominateur de f( ) f( ) sont positifs. Par conséquent, f( ) f( ) > 0 et donc f( ) > f( ). Nousavons donc montréque si et sont deuréels de l intervalle ]0 ; + [, tels que < alors f( ) > f( ). L ordre étant changé, la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0 ; + [. Remarque : on aurait pu déduire le sens de variation de f sur ]0 ; + [ de celui de f sur ] ; 0[ : en effet, f étant impaire, sa courbe représentative est symétrique par rapport au point O. Donc si f est strictement décroissante sur ] ; 0[[ alors f est strictement décroissante sur ]0 ; + [. Isabelle Morel

2 Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Conséquence : Deu nombres de même signe et leurs inverses ne sont pas rangés dans le même ordre. Applications :. Comparer les nombres π et 0,. 0 < π < 0,. Ces deu nombres sont dans l intervalle ]0 ; + [ et la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0 ; + [. Par conséquent, l ordre est inversé et π > 0,.. Voir eercice corrigé du livre page 6.. Soit un réel non nul tel que. Que peut-on en déduire pour les nombres : (a)? (b) +? (a) donc prend des valeurs positives et négatives. Il faut donc séparer l étude en deu cas : Si < 0 alors, la fonction inverse étant strictement décroissante sur ] ; 0[, l ordre est changé et. Par conséquent, ] ; ]. Si 0 < alors, la fonction inverse étant strictement décroissante sur ]0 ; + [, l ordre est changé et. Par conséquent, [ ; + [. Conclusion : Si est un réel non nul tel que alors ] ; ] [ ; + [. (b) Commençons par écrire le programme de calcul associé : ) Prendre un nombre ) Lui ajouter ) Prendre l inverse du nombre obtenu 4) Multiplier par. On a donc : + + Ajouter Prendre l inverse; 8 et sont des nombres positifs et la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0 ; + [ l ordre est donc changé 8 + Multiplier par avec < Conclusion : Si est un réel non nul tel que alors + [ 4 ; 4 ]. Isabelle Morel

3 Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0. Courbe représentative La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole, de centre l origine O(0, 0) du repère. Eercice : Résoudre dans R l inéquation <, en s aidant de la courbe représentative de la fonction inverse. Bilan. La fonction inverse est la fonction f définie sur R par f() =.. f est strictement décroissante sur ] ; 0[ et sur ]0 ; + [.. La courbe représentative de f est une hyperbole ne coupant pas l ae des abscisses. Elle est en-dessous de l ae des abscisses sur ] ; 0[ et au-dessus sur ]0 ; + [. 4. La courbe représentative de f est impaire : elle admet l origine O du repère comme centre de symétrie. 5. Le tableau de variations de f est : 0 + Variations 0 + de ց ց 0 Isabelle Morel

4 Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Soient a, b, c et d des réels tels que c 0. On appelle fonction homographique toute fonction f définie par f() = a+b c+d. f est définie si et seulement si c+d 0, c est-à-dire si et seulement si d c. Donc f est définie sur R\{ d c }. Eemples :. Voir TP Géogébra.. Soit f la fonction définie par f() = +. Déterminer l ensemble de définition de f. Solution : Le dénominateur d une fraction ne peut pas être nul, donc f est définie si et seulement si 0. Or, = 0 =. Donc f est définie sur R\{ }.. Soit g la fonction définie par g() = +6. (a) Déterminer l ensemble de définition D g de g. (b) À l aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation de g sur D g. (c) Montrer cette conjecture. (d) Dresser le tableau de variations de g. (e) Tracer la courbe représentative de g. Solution : (a) g est définie si et seulement si Or +6 = 0 =. Donc D g = R\{ }. (b) Á l aide de la calculatrice, on conjecture que g est strictement croissante sur ] ; [ et sur ] ; + [. (c) Étude des variations sur ] ; [ Soient et deu réels de ] ; [ tels que <. ( ) < < ( ) < < 6 Multiplier par avec > 0 ( ) +6 < +6 < 0 Ajouter 6 ( ) 0 > +6 > +6 ( ) 0 < +6 < +6 ( ) < +6 < +6 Prendre l inverse : de deu nombres négatifs La fonction inverse est strictement décroissante sur ] ; 0[ donc l ordre change Multiplier par avec < 0 Ajouter Par conséquent, si < alors g( ) < g( ). L ordre est conservé donc la fonction g est strictement croissante sur ] ; [. Par symétrie, elle l est aussi sur ] ; + [. (d) Le tableau de variations de g est alors : + Variations + de ր ր g Nous admettrons le théorème suivant : La courbe représentative d une fonction homographique est une hyperbole de centre de symétrie le point I( d c ; a c ). Isabelle Morel 4

5 Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 4 Les équations et les inéquations quotient Eercices :. Résoudre dans R l équation + 5 =.. Résoudre dans R l inéquation On cherche les valeurs interdites : 5 = 0 = 5. Donc 5 est la valeur interdite de l équation. () + 5 = 0 () + ( 5) = 0 Dans R\{5}, 5 () +8 5 = 0 () +8 = 0 () = 8 L équation () admet donc une seule solution possible : = 8. Or, 8 n est pas valeur interdite de l équation. Donc S = { 8}. On cherche les valeurs interdites : 6 = 0 =. Donc l inéquation admet une unique valeur interdite : =. Cherchons alors les zéros de l inéquation : + = 0 =. Nous pouvons alors faire un tableau de signes : Signe de signe de à droite du zéro Signe de signe de à droite du zéro Signe de donc S = [ ; [ Travail personnel :. Retravailler le cours, en faisant, sans regarder la solution, les différents eercices.. Faire les eercices du cours du livre pages à 5.. Faire les eercices résolus du livre pages 6 à 0. Eercices :. Calculer avec la fonction inverse : page. Variations de la fonction inverse : et 4 page. Ensemble de définition d une fonction homographique : 44 page 4 4. Transformation d écriture : 85 page 6 5. Résolution graphique d équation et d inéquation : 0 page 6. Résolution d équation : 95 page. Résolution d inéquation : 4 page Algo : 4 page 4 et TD page 9. Logique : 9 page 4 et 89 page Devoir maison : eercices 89 page 49 et 8 page 48. Isabelle Morel 5

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