Complément d information concernant la fiche de concordance

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1 Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours sur la notion de pourcentages ; Page 3 Deux exercices intitulés : «Évolution des subventions» et «Crédit avec frais de report» Page 6 pour travailler la notion de pourcentage ; Un rappel sur l étude du signe d une expression ; Page 8 Un premier rappel de cours sur l étude des fonctions numériques ; Page 9 Trois exercices intitulés «Élasticité des prix», «Du coût marginal au coût moyen» et Page 6 «Étude de fonction» pour travailler la notion d étude d une fonction. Complément d information concernant la fiche de concordance Vous devez avoir en votre possession la fiche de concordance «mathématiques» afin de savoir quels sont les chapitres à revoir et les devoirs du CNED à rendre. Je vous conseille par ailleurs de vous procurer un manuel de terminale ES si ce n est pas déjà fait, je vous propose le suivant : «Hyperbole Terminale ES : enseignement obligatoire et de spécialité». Vous ne devez revoir que les chapitres à 0 ainsi que le chapitre 3 de ce manuel. Pour les regroupements à venir Afin que chaque regroupement vous soit le plus utile possible, je vous invite à reprendre et à terminer ce que nous aurons fait lors des séances précédentes et à faire les devoirs que je vous ai conseillé d envoyer pour correction au CNED. De plus, vous pouvez commencer à revoir les différentes notions du programme avant chaque regroupement à l aide du planning suivant : Samedi 0 décembre 20 : les pourcentages (Tome 3, séquence, chapitre ) et les fonctions (généralités) (Tome 2, séquences à 5) ; Samedi 7 janvier 202 : les suites (Tome 3, séquence, chapitre 2) et les fonctions (fonctions logarithme, exponentielle et puissance) (Tome 2, séquences 7 et 8) ; Samedi 28 janvier 202 : les statistiques (Tome 3, séquence 2, chapitre 2) et les fonctions (calcul intégral) (Tome 2, séquence 6) ; Samedi février 202 : les probabilités (Tome 3, séquence 3) et les fonctions ; Samedi 7 mars 202 : à déterminer suivant vos besoins ; Samedi 7 avril 202 : à déterminer suivant vos besoins. Je suis à votre disposition pour toutes vos questions : Page

2 RENTRÉE 20 MATIÈRE CHAPITRES À ÉTUDIER DANS LES DOCUMENTS FOURNIS PAR LE CNED Mathématiques Les documents fournis par le CNED ont été entièrement renouvelés l année dernière. Vous y trouverez l intégralité du cours au programme du DAEU. Cependant, il est inutile de s attarder sur le tome. Il faut le lire, puis y revenir en fonction des besoins. DEVOIRS À RENDRE Les chapitres à revoir au préalable sont indiqués sur chaque sujet. Devoirs et 2 (janvier) Devoirs 3 et 5 (février) Devoirs 4 et 6 (mars) Devoir 7 (avril) CONSEILS POUR LA PRÉPARATION L examen portera sur une partie du programme actuel de la classe de terminale ES (enseignement obligatoire et le complément sur les suites de l enseignement de spécialité). DOCUMENTS UTILES Un manuel de terminale ES (obligatoire et spécialité) ou tout autre livre d aide aux élèves de terminale ES (rappels de cours, fiches méthodes, exercices corrigés...) selon votre convenance. Des annales du baccalauréat de terminale ES (obligatoire et spécialité) DESCRIPTIF DE L ÉPREUVE Durée : 3 heures Matériel accepté : calculatrice Un formulaire pourra être fourni avec le sujet. Page 2

3 LA NOTION DE POURCENTAGE I. Définition : Un pourcentage est une façon d'exprimer un nombre comme une fraction de cent, généralement en utilisant le signe %. On utilise le pourcentage seulement lorsqu'un nombre représente une proportion ou une fraction d'un ensemble. Un pourcentage seul ne signifie rien. Il faut toujours préciser à quelle grandeur il se rapporte (5% de la population, 80% du temps, 0% de chances ). D'usage très fréquent dans le monde actuel puisqu'on le rencontre en statistique comme en économie, le pourcentage est une notion qui peut induire de nombreuses erreurs de raisonnement. II. Premier savoir-faire : Appliquer un pourcentage : Exemple : Dans un lycée, 500 élèves ont passé le bac. Le taux de réussite est égal à 75%. Combien d élèves ont eu leur bac? 75% de 500 se traduit mathématiquement par l opération suivante : : On effectue alors le calcul : = = élèves ont obtenu leur bac dans ce lycée. Remarque : Pour effectuer ce calcul, on peut aussi multiplier 500 par le nombre décimal : 75/00 = 0, % de 500 s écrit alors 0, = 375 III. Deuxième savoir-faire : Calculer un pourcentage : Exemple : Dans un établissement scolaire de 700 élèves, 75 sont des demi-pensionnaires. Quel est leur pourcentage? On a le tableau de proportionnalité suivant : Demi-pensionnaires 75 x Nombre total d élèves On peut aussi signaler que 75 élèves On cherche x tel que = x 00 On peut par exemple utiliser la méthode du produit en croix On a : x = = % des élèves de cet établissement sont demi-pensionnaires. sur 700 correspondent à soit 0,25 ou encore 25 (on a mis la 00 fraction précédente sur 00). Page 3

4 IV. Troisième savoir-faire : Pourcentage d augmentation ou de réduction : Exemple : Un commerçant vend une table 70. Pendant les soldes, il baisse son prix de 0%. Quel est son nouveau prix? Calculons la remise : 0 70 = 0, 70 = 7 donc la remise est de 7 00 Calculons le prix après la remise 70 7 = 63 donc le prix soldé est 63 A la fin des soldes, il ré-augmente son prix de 0%. Combien vaut désormais la table? Calculons l augmentation : 0 63 = 0, 63 = 6,3 donc l augmentation est de 6,3 00 Calculons le prix après les soldes : ,3 = 69,3 donc le prix après les soldes est de 69,3 Attention!!! Réduire de 0% puis augmenter de 0% ne permet pas d obtenir le même prix qu au départ. On ne peut ni ajouter, ni soustraire des pourcentages puisqu il s agit de proportion sur des quantités différentes. Remarque et astuce importante : La méthode précédente fonctionne très bien lorsqu il n y a qu une variation à utiliser et aucun «retour en arrière» à effectuer. Il existe une méthode plus efficace et qui permet d effectuer des opérations successives. Si on diminue de 0% le prix de la table, on effectue le calcul suivant : = = ( ) 70 = ( 0,) 70 = 0,9 70 = 70 = Autrement dit : Effectuer une réduction de 0 % revient à ne prendre que 90 % de la quantité de départ, c'est-à-dire à multiplier par ( 0 00 ) = = 0,90 De même pour l augmentation : = ( + ) 63 =, 63 = 63 = 69, Autrement dit : Effectuer une augmentation de 0 % revient à prendre 0 % de la quantité de départ, c est-à-dire à multiplier par ( ) = 0 00 =,0 Page 4

5 V. Composer des pourcentages : Exemple : Dans un collège, l effectif a augmenté de 0% entre 2007 et 2008 puis de 20% entre 2008 et De quel pourcentage, l effectif du collège a-t-il augmenté entre 2007 et 2009? Soit x l effectif du collège en Lors de l augmentation de 0 % entre 2007 et 2008, l effectif est multiplié par ( + 0 ) =,0 donc 00 l effectif est,0x. Lors de l augmentation de 20 % entre 2008 et 2009, l effectif est multiplié par ( + 20 ) =,20 donc 00 l effectif est,20,0x =,32x. Entre 2007 et 2009, l effectif du collège est passé de x à,32x. Il a été multiplié par,32. Or,32 = L effectif a donc augmenté de 32%. Page 5

6 EXERCICE : ÉVOLUTION DES SUBVENTIONS La subvention accordée par une entreprise à son club sportif était de pour l année Depuis 2002, l évolution de la subvention en pourcentage d une année sur l autre est celle décrite dans le tableau ci-dessous : Année Évolution en + 7% + 5% + 0% + 9% + 6% pourcentage Par exemple, le taux d évolution de la subvention de 2004 à 2005 est une augmentation de 0%. a. Calculer, pour chacune des années, le montant de la subvention attribuée (en euros). Les résultats seront arrondis à l unité. b. Le responsable sportif se plaint d une diminution continuelle des subventions depuis l année Quelle confusion fait-il? 2. On admet que le montant de la subvention en 2007 est de a. Calculer le pourcentage de diminution ou d augmentation de la subvention de 2002 à b. Si le taux d évolution de la subvention d une année à l autre était fixe et égal à t %, quelle serait la valeur de t arrondie à 0 3 près qui donnerait la même augmentation de la subvention entre 2002 et 2007? c. Avec ce même taux d évolution t, quelle serait la subvention, arrondie à l unité, en 2008? EXERCICE : CRÉDIT AVEC FRAIS DE REPORT Publicité : Vous utilisez aujourd hui 760 de votre réserve de crédit disponible. 3 mois plus tard vous pouvez : Soit rembourser ces 760 en une seule fois, en plus un forfait de 2,7 de frais de report. Taux mensuel de 0,92 %. Soit rembourser ces 760 en douceur sur 0 mois! Votre premier versement au bout de trois mois est de 2,7 (frais de report), suivi de 0 mensualités. A partir de la fin du 4 è mois : 9 mensualités de 82,32 et une 0 è ajustée (solde). Taux mensuel de,33 % (hors assurance facultative).. Quel est le coût du crédit lorsque l on choisit le premier type de remboursement, sachant que les intérêts des trois premiers mois correspondent aux frais de report? 2. On choisit le deuxième type de remboursement : a. Calculer les intérêts versés le 4 è mois. b. Quel est le capital restant dû avant le remboursement de la première mensualité de 82,32? c. Quel est le capital restant dû une fois la première mensualité remboursée de 82,32? 3. Reprendre la question précédente pour le 5 è mois. 4. Ecrire une formule permettant de calculer le capital S restant dû à partir du capital du mois précédent. Page 6

7 5. Remplir le tableau d amortissement suivant afin de trouver la dernière mensualité ajustée (les résultats seront arrondis à 0 2 près). Échéances Mois Mensualité en Intérêts du mois en Capital restant dû en ,7 4 82, , , , , , ,32 82, , Quel est le coût total du crédit? 7. Quel pourcentage par rapport à la somme empruntée représente le coût du crédit? Page 7

8 ÉTUDE DU SIGNE D UNE EXPRESSION I. Signe de ax + b, a 0 : On détermine la valeur de x qui annule ax + b puis on applique la règle «signe de a après le 0». x b a + ax + b Signe de a 0 Signe de a II. Signe de ax 2 + bx + c, a 0 : On calcule le discriminant = b 2 4ac (sauf cas évident) puis : Si < 0, on applique la règle «toujours du signe de a» : x + ax 2 + bx + c Signe de a Si = 0, on calcule la racine double : x = b et on applique la règle «toujours du signe de a et s annule 2a en x» : x x + ax 2 + bx + c Signe de a 0 Signe de a Si > 0, on calcule les deux racines : x = b et x 2a 2 = b + et on applique la règle «du signe de 2a a à l extérieur des racines» : x x x 2 + ax 2 + bx + c Signe de a 0 Signe de a 0 Signe de a III. Dans les autres cas : On peut utiliser les variations d une fonction ou résoudre une inéquation pour déterminer le signe d une expression. Page 8

9 FONCTIONS I. Généralités : a. Ensemble de définition : Définitions : Une fonction f définie sur D f associe à chaque réel x de D f un unique réel noté f( x ). D f est appelé l ensemble de définition de f. f( x ) est l image de x par f. Tout réel x de D f tel que f( x ) = y est dit antécédent de y par f. Principe général pour déterminer l ensemble de définition d une fonction : Si l expression de f( x ) admet un quotient, alors x appartient à l ensemble de définition D f si et seulement si le dénominateur est non nul. Si l expression de f( x ) admet une racine carrée, alors x appartient à l ensemble de définition D f si et seulement si l expression sous la racine est positive. b. Courbe représentative Dans un repère donné, la courbe représentative de la fonction f est l ensemble des points M de coordonnées ( x ; f( x ) ) où x décrit l ensemble de définition de f. Une équation de la courbe est y = f( x ). Remarque : Recherche graphique de l image d un réel : Recherche graphique des antécédents d un réel : L image d un réel a est l ordonnée du point de la Les éventuels antécédents d un réel b sont les courbe d abscisse a : abscisses des points de la courbe d ordonnée b : Page 9

10 c. Fonction croissante ou décroissante sur un intervalle Soit I un intervalle contenu dans l ensemble de définition de la fonction f. f est dite croissante sur I si pour tous réels a et b tels que a < b, on a f ( a ) < f( b ). Autrement dit, les images sont rangées dans le même ordre que les réels de départ. f est dite décroissante sur I si pour tous réels a et b tels que a < b, on a f( a ) > f( b ). Autrement dit, les images sont rangées dans l ordre contraire que les réels de départ. II. Continuité : a. Notion de continuité : On peut définir mathématiquement la notion de continuité d une fonction mais cette définition relativement compliquée. Graphiquement, on peut reconnaître une fonction continue sur un intervalle par le fait que le tracé de la courbe représentative de la fonction sur cet intervalle peut se faire sans lever le crayon de la feuille. Théorème : Continuité des fonctions de références Toute fonction polynôme est continue sur. La fonction inverse est continue sur * - et sur * +. Elle n est pas définie en 0. La fonction racine carrée est continue sur +. Théorème : Conservation de la continuité par les opérations usuelles Soient f et g deux fonctions continues sur I. Les fonctions f + g, f g et k f ( k ) sont continues sur I. Si de plus g( x ) 0 pour tout x de I, le quotient f est continu sur I. g Si f est continue sur I et si g est continue sur f( I ), la composée gof (f suivie de g) est continue sur I. Page 0

11 b. Théorème des valeurs intermédiaires et équation f( x ) = k : Théorème des valeurs intermédiaires : Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et soient a I et b I. Pour tout réel k compris entre f( a ) et f( b ), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f( c ) = k. Autrement dit : l équation f( x ) = k a au moins une solution c comprise entre a et b. Si de plus la fonction est strictement monotone sur l intervalle I, alors le réel c est unique. On utilise la méthode du «balayage» pour en déterminer une valeur approchée. III. Limites : a. Définitions : Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle admettant + comme borne supérieure. On dit que f a pour ite + en + ou que f( x ) tend vers + quand x tend vers + lorsqu on peut toujours trouver un x assez grand pour que f( x ) soit aussi grand que l on veut. On écrit alors que f( x ) = + x + On peut définir de même f( x ) = +, x x f( x ) = + et f( x ) = x On dit qu une fonction f a pour ite le réel l en + (ou que f( x ) tend vers l quand x tend vers + ) lorsqu on peut toujours trouver un x assez grand pour que f( x ) soit aussi proche de l que l on veut. On écrit alors que f( x ) = + x l On peut définir de même f( x ) = x l Page

12 Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a ; b[. On dit que f a pour ite + en a (par valeurs supérieures) lorsqu on peut toujours trouver un x assez proche de a (x > a) pour que f( x ) soit aussi grand que l on veut. On écrit alors que f( x ) = + x a x a On peut définir de même f( x ) =, f( x ) = + x a x a x a x a et f( x ) = x a x a Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant a ou de borne a. On dit que f a pour ite le réel l en a lorsqu on peut toujours trouver un x assez proche de a pour que f( x ) soit aussi proche de l que l on veut. On écrit alors que f( x ) = l. x a Si f est définie en a alors f( x ) = f( a ) x a b. Limites des fonctions de référence : x x2n = + x x = 0- x + x = + x + x2n = + x 0 x 0 x = x x2n + = x 0 x 0 x = x + x2n + = + x + x = 0+ Propriété : En + et en, une fonction polynôme a la même ite que son terme de plus haut degré. En + et en, une fonction rationnelle (c est à dire, un quotient de deux polynômes) a la même ite que le rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. c. Opérations sur les ites : Limite d une somme : Si f a pour ite et si g a pour ite Alors f + g a pour ite l l l + l l + + l Forme indéterminée Page 2

13 Limite d un produit : Si f a pour ite et si g a pour ite Alors f g a pour ite l l l l l 0 + (signe de l) l 0 (signe de l) ± Forme indéterminée Limite d un quotient : Si f a pour ite et si g a pour ite Alors f a pour ite g l l 0 l l l ± 0 l 0 ± ± ± Forme indéterminée ± l ± 0 Forme indéterminée d. Asymptotes : Asymptotes verticales : o Elles n existent que pour x tendant vers un nombre fini. o Si f( x ) = ± alors la droite d équation x = a est asymptote verticale x a à la courbe de f. Asymptotes horizontales : o Elles n existent que pour x tendant vers un «infini» (elles peuvent être asymptotes en un infini, ou aux deux infinis). o Si f( x ) = l alors la droite d équation y = l est asymptote horizontale x ± à la courbe de f. o Pour étudier la position relative entre l asymptote et la courbe de f, il suffit d étudier le signe de : f( x ) l. Asymptotes obliques : o Elles n existent que pour x tendant vers un «infini» (elles peuvent être asymptotes en un infini, ou aux deux infinis). o Si f( x ) ( ax + b ) = 0 alors la droite d équation y = ax + b est x ± asymptote oblique à la courbe de f. o Pour étudier la position relative entre l asymptote et la courbe de f, il suffit d étudier le signe de : f( x ) ( ax + b ). Page 3

14 IV. Variation d une fonction Dérivation : a. Variations d une fonction : Pour étudier les variations d une fonction f sur un intervalle I : On dérive la fonction f ; On étudie le signe de la fonction dérivée f sur l intervalle I à l aide d un tableau de signes ; On dresse le tableau de variation de la fonction f sur I en utilisant la propriété suivante. Propriété : f étant une fonction dérivable sur I, pour tout intervalle J inclus dans I : Si f ( x ) > 0 pour tout x de J alors f est strictement croissante sur J. Si f ( x ) < 0 pour tout x de J alors f est strictement décroissante sur J. Si f ( x ) = 0 pour tout x de J alors f est constante sur J. b. Dérivées des fonctions usuelles : Fonction f Fonction dérivée f k 0 ax + b a x n ; n * n x n x x 2 x n ; n n * x n x 2 x c. Opérations sur les dérivées : Fonction Fonction dérivée u + v u + v ku ; k ku uv u v + uv u u u 2 u v u v uv v 2 u n ; n * n u u n d. Tangente à une courbe : Définition et propriété : Si f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I contenant le réel a, alors la tangente à la courbe de f au point d abscisse a est la droite passant par le point A ( a ; f( a ) ) et dont le coefficient directeur est égal à f ( a ). Une équation de cette droite est y = f( a ) + f ( a ) ( x a ). Page 4

15 V. Primitive : a. Définition et propriétés : F est une primitive de f sur un intervalle I si F est dérivable sur I et si pour tout x de I, F ( x ) = f( x ). Si F 0 est une primitive de f sur un intervalle I alors toutes les primitives de f sur I sont de la forme : F( x ) = F 0 ( x ) + C où C est une constante réelle. Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I. b. Primitives des fonctions usuelles : Fonction f Fonction primitive F a ax x n + x n ; n * n + x n ; n * ( n )x n 2 x x c. Formules générales : Forme de f une primitive de f u n + u u n ; n * n + u u n ; n > ( n )u n u 2 u u Page 5

16 EXERCICE : ÉLASTICITÉ DES PRIX Pour un certain article, on a pu établir que sa demande est fonction du prix p, en euros, et vérifie : f( p ) = 00, où p ]5 ; + [. p 5 On appelle élasticité de la demande par rapport au prix p le réel : E( p ) = p f ( p ) f( p ). On admettra que ce réel, sans unité, indique le pourcentage de variation de la demande pour un accroissement de % d un prix p donné. L élasticité E( p ) est négative quand une augmentation du prix entraîne une diminution de la demande.. Vérifier que la fonction de demande f est décroissante. 2. Déterminer la fonction élasticité pour la fonction de demande f. 3. Etudier les variations de la fonction E donnée par : E( p ) = p sur ]5 ; + [. p 5 4. Etudier les ites de E aux bornes de ]5 ; + [. 5. Calculer l élasticité de la demande pour un prix donné de Pour quel prix p 0 une augmentation de % du prix conduit-elle à une diminution de,5% de la demande? EXERCICE : DU COÛT MARGINAL AU COÛT MOYEN Une entreprise fabrique q milliers d objets, q appartenant à l intervalle [0 ; 5]. Le coût marginal en euros de cette production est défini sur [0 ; 5] par : C m ( q ) = 3q 2 36q La fonction coût total C est une primitive sur [0 ; 5] de la fonction coût marginal C m. On sait de plus que les coûts fixes s élèvent à 200. Déterminer l expression de C( q ). 2. La fonction coût moyen C M est définie par C M ( q ) = C( q ) sur l intervalle ]0 ; 5]. q a. Déterminer l expression de C M ( q ). b. Calculer C M ( q ) et vérifier que l on a, pour tout q de ]0 ; 5] : C M ( q ) = 2( q 0 )( q2 + q + 0 ) q 2 c. Etudier le signe de C M ( q ) et dresser le tableau de variation de C M sur ]0 ; 5]. d. Combien d objets faut-il fabriquer pour que le coût moyen soit minimal? e. Calculer le coût moyen et le coût marginal correspondant. Que remarque-t-on? Page 6

17 Soit f une fonction définie par : f( x ) = x3 x 2 + 3x + 5 x EXERCICE : ÉTUDE DE FONCTION. Quel est son ensemble de définition? c 2. Mettre f sous la forme : f( x ) = ax + b + x En déduire les ites de f( x ) en + et en. 4. Montrer que la courbe de f admet la droite D d équation y = x comme asymptote en + et en. 5. Calculer la dérivée de f. Montrer que f s écrit pour tout x : f ( x ) = ( x )2 ( x 2 + 2x + 9 ) ( x ) 2 6. En déduire les variations de f. 7. Montrer qu il existe un et un seul point A de la courbe de f notée C f tel que la tangente à C f en A soit parallèle à D. 8. Tracer la courbe représentative de f dans le repère orthonormé suivant : y x Page 7

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