I. Ensemble de définition d'une fonction
|
|
- Eléonore Grondin
- il y a 2 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux fonctions et leur représentation graphique. 1. Démontrer que la fonction racine carrée est croissante sur [0;+ [. 2. Justifier les positions relatives des courbes représentatives des fonctions x x, x x 2 et x x Aucune technicité dans l utilisation de la valeur absolue n est attendue. Sens de variation des fonctions u+ k, 1 λ u, u et u la fonction u étant connue, k étant une fonction constante et λ un réel., Exploiter ces propriétés pour déterminer le sens de variation de fonctions simples. On nourrit la diversité des raisonnements travaillés dans les classes précédentes en montrant à l aide de contre-exemples qu on ne peut pas énoncer de règle générale donnant le sens de variation de la somme ou du produit de deux fonctions. L étude générale de la composée de deux fonctions est hors programme. I. Ensemble de définition d'une fonction Définition 1. Soit D un intervalle ou une réunion d'intervalles de R. Une fonction f de D dans R est une correspondance qui à tout nombre x D fait associer un nombre réel et un seul noté ƒ(x). On note : f : D R x a y = f ( x) Le nombre y s'appelle l image de x, et x s'appelle un antécédent de y par la fonction f dans D. Définition 2. L'ensemble ou domaine de définition d'une fonction ƒ est l'ensemble de tous les réels x pour lesquels ƒ(x) existe ou est calculable. On le note D f. Pour tout x R [ x D f si, et seulement si, f(x) existe et est unique ] Remarque Lorsqu'on étudie une fonction, il est nécessaire de donner d'abord son domaine de définition. On peut alors l'étudier sur tout intervalle I contenu dans D f. 1ère S Généralités sur les fonctions Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy Page 1/12
2 On distingue, en général, deux conditions d'existence : C1 : Une expression algébrique dans un dénominateur doit être différente de zéro ; C2 : Une expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle. D'autres conditions s'ajouteront en étudiant de nouvelles fonctions. Exemples : Ex. 1 ) Soit ƒ la fonction définie par f (x)=3 x 2 5 x+7 Cette fonction est définie pour tout nombre x R et ne pose aucun problème d'existence. Donc son domaine de définition est D f =R. Ex. 2 ) Soit ƒ la fonction définie par f (x)= 3 x2 5 x 2 4 x+3 f(x) contient une expression au dénominateur. Donc, il faut chercher et exclure les valeurs interdites (v.i.) qui annulent le dénominateur. Soit x R x est une valeur interdite ssi x 2 4 x+3=0 On résout une équation du second degré: Δ=b 2 4 ac=( 4) =16 12=4 Δ=4>0 donc cette équation admet deux solutions : x 1 =1 et x 2 =3. Les valeurs interdites sont 1 et 3. Donc le domaine de définition est D f =R {1;3}. Ex. 3 ) Soit ƒ la fonction définie par f (x)= 3 x 2 6. f(x) contient une expression sous la racine carrée. Donc, il faut chercher et exclure les valeurs interdites (v.i.) qui rendent négative cette expression, ou bien chercher directement les valeurs pour lesquelles cette expression est positive ou nulle. Soit x R x D f ssi 3 x On obtient une inéquation du second degré que nous savons résoudre. On cherche les racines et on applique le théorème [ou on (re)fait un tableau de signes] : x D f ssi 3 x ssi 3( x 2 2) 0 ssi x ssi (x 2)( x+ 2) 0 Les racines sont donc x 1 = 2 et x 2 = 2. Or, on sait que «un trinôme du second degré est du signe de a à l'extérieur des racines». Donc 3 x ssi x 2 ou x 2. Conclusion : Le domaine de définition de f est D f = ] ; 2 ] [ 2 ; + [. (les bornes sont comprises). 1ère S Généralités sur les fonctions Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy Page 2/12
3 Remarque. Pour la fonction définie par f (x)= 3 x les bormes seront exclues car x 2 2 la racine est aussi au dénominateur, donc les deux conditions doivent être vérifiées. 2. Comparaison de fonctions Définition 3. Soit I un intervalle de R. Soient ƒ et g deux fonctions définies sur I. On dit que les fonctions f et g sont égales sur I si et seulement si : Pour tout x Ι : [ ƒ(x) = g(x) ] On note alors : ƒ = g sur I. Exemples : Soient f et g deux fonctions définies sur I = R par f(x) = x et g(x) = x 2 x Les domaines de définition de f et g sont D f =R et D g =R {0}. Dores et déjà, ces deux fonctions ne sont pas égales sur R, puisque pour x = 0, f(0)=0 et g(0) n'existe pas! Alors que, sur R {0} ou tout intervalle ou réunion d'intervalles I de R {0}, on a bien : 0 I donc pour tout 0 I : f(x) = x et g(x) = x²/x = x donc f(x) = g(x). Conclusion. Les deux fonctions f et g ne sont pas égales sur R, mais elles sont égales sur R {0} ou tout intervalle ou réunion d'intervalles I de R {0}. Définition 4. Soit I un intervalle ou une réunion d'intervalles de R. Soient ƒ et g deux fonctions définies sur I. On dit que : est inférieure à g sur I lorsque : pour tout x I : [ f (x) g( x) ] ou encore pour tout x I : [ f (x) g( x) 0 ]. On note : f g sur I. ƒ est positive sur I lorsque : pour tout x I : [ f (x) 0 ]. On note : f 0 sur I. f est majorée sur I s'il existe M R tel que : pour tout x I : [ f (x) M ]. f est minorée sur I s'il existe m R tel que : pour tout x I : [ f (x) m ]. f est bornée sur I s'il existe deux réels m et M tels que : pour tout x I : [ m f ( x) M ] (ƒ est donc minorée et majorée). Exemples : Ex. 1 ) Comparer les fonctions ƒ et g définies sur R par : pour tout x R : f (x)=x et g ( x)= x 2. 1ère S Généralités sur les fonctions Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy Page 3/12
4 Pour cela, nous allons étudier le le signe de la différence ƒ(x) g(x). Pour tout x R on a : f (x) g ( x)= x x 2 =x(1 x). Nous avons 2 racines 0 et 1. Donc le «trinôme» est du signe de a = 1, à l'extérieur des racines. Pour tout x R : ƒ(x) g(x) < 0 ssi x ] ;0 [ ]1; + [. donc f < g sur ] ;0 [ ]1; + [ et ƒ(x) g(x) > 0 ssi x ]0 ;1[. donc f > g sur ]0 ;1[ Illustration graphique : Ex.2 ) Soit g la fonction définie sur R par : pour tout x R g ( x)=2+sin x. Montrer que la fonction g est bornée et donner un encadrement de g(x) sur R. On sait que pour tout x R : 1 sin x +1 donc, en ajoutant 2 aux trois membres, on obtient : pour tout x R : sin x 2+1 Donc pour tout x R : 1 g (x) 3 Par conséquent, g est bornée et la courbe de g est entièrement comprise entre les deux droites d'équations y = 1 et y = 3. Ex.3 ) Soit h la fonction définie sur R { 2} par : h(x)= 3 x+2 2 x+4. Montrer que la fonction g est bornée sur [ 1 ; 5] et donner un encadrement de h(x). Rappel des propriétés des inégalités : Pour tout a,b,c, et k R : Vues en 3ème: Vues en Seconde : Addition & soustraction Addition membre à membre P 1 : Si a < b, alors a+c < b+c et a c < b c P 4 : Si a < b et c < d, alors a+ c < b+d Multiplication et division Multiplication membre à membre (nb positifs) P 2 : Si a < b, et k >0, alors ka < kb et a/k < b/k P 5 : Si 0 < a < b et 0 < c < d, alors 0< ac < bd P 3 : Si a < b, et k<0, alors ka > kb et a/k > b/k Inverse : (entre nombres strictement positifs) P 6 : Si 0 < a < b, alors 1/a > 1/b 1ère S Généralités sur les fonctions Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy Page 4/12
5 4. Sens de variation d'une fonction Définition 5. Soit I un intervalle de R et soit ƒ une fonction définie sur I. On dit que : ƒ est croissante sur I lorsque : pour tous u et v dans I : Si u < v alors ƒ(u) ƒ(v) ƒ est strictement croissante sur I lorsque : pour tous u et v dans I : Si u < v alors ƒ(u) < ƒ(v) ; la fonction f conserve le sens des inégalités. ƒ est décroissante sur I lorsque : pour tous u et v dans I : Si u < v alors ƒ(u) ƒ(v) ƒ est strictement décroissante sur I lorsque : pour tous u et v dans I : Si u < v alors ƒ(u) > ƒ(v) ; la fonction f change le sens des inégalités. ƒ est monotone sur I si ƒ est croissante sur I ou décroissante sur I. ƒ est strictement monotone sur I si ƒ est strictement croissante sur I ou strictement décroissante sur I. Remarques : 1 ) Il est clair que ces notions ne sont valables que sur un intervalle. Un exemple classique est celui de la fonction inverse f : x 1. Cette fonction définie sur x R {0} est strictement décroissante sur chacun des deux intervalles ] ; 0 [ et ] 0 ; + [, mais elle n'est pas décroissante globalement sur R {0}. 2 ) En classe de seconde, nous avons appris le sens de variation de certaines fonctions de référence : les fonctions affines x a x+b, la fonction carrée x x 2, la fonction cube x x 3 et la fonction inverse f : x 1 x Dans ce chapitre, nous allons donner le sens de variation de nouvelles fonctions de référence : la fonction racine carrée x x et la fonction valeur absolue x x.. 4. Parité d'une fonction Définition 6. Soit D un intervalle ou une réunion d'intervalles de R. On dit que D est symétrique par rapport à zéro ou que D est centré en zéro, si et seulement si : Pour tout x R : [ x D ssi x D ] Exemples. R, R {0}, [ 2 ; 2], R { 1;+1} sont symétriques par rapport à zéro. R { 1}, [1 ;+ [ ne sont pas symétriques par rapport à zéro. 1ère S Généralités sur les fonctions Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy Page 5/12
6 Définition 5. Soit D un intervalle ou une réunion d'intervalles R et ƒ une fonction définie sur D. On dit que la fonction ƒ est paire lorsque : (2 conditions) 1 ) le domaine de définition D est symétrique par rapport à zéro ; 2 ) et pour tout x D : [ f ( x)= f (x) ] Théorème 1. Dans un repère orthogonal, la courbe représentatative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Exemple :(modèle) La fonction carrée x x 2 définie sur R est une fonction paire car R est symétrique par rapport à zéro et pour tout x R : f ( x)=( x) 2 =x 2 = f (x) Définition 6. Soit D un intervalle ou une réunion d'intervalles R et ƒ une fonction définie sur D. On dit que la fonction ƒ est impaire lorsque : (2 conditions) 1 ) le domaine de définition D est symétrique par rapport à zéro ; 2 ) et pour tout x D : [ f ( x)= f ( x) ] Théorème 2. Dans un repère orthogonal, la courbe représentatative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'origine O du repère. Exemple :(modèle) La fonction cube x x 3 définie sur R est une fonction impaire car D f = R est symétrique par rapport à zéro et pour tout x R : f ( x)=( x) 3 = x 3 = f ( x) 1ère S Généralités sur les fonctions Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy Page 6/12
7 5. La fonction racine carrée 5.1 ) Étude de la fonction racine carrée Tout nombre positif ou nul x admet une racine carrée notée x. C'est le nombre positif ou nul dont le carré est égal à x. Le domaine de définition de la fonction f : x x est donc D f = [0 ; + [. Le domaine de définition n'est pas symétrique par rapport à zéro, donc la fonction racine carrée n'est ni paire, ni impaire. Par conséquent, sa courbe n'est pas symétrique par rapport à l'axe (Oy) ni par rapport à O. Théorème 3. La fonction f : x x définie sur [0 ; + [, est strictement croissante sur son domaine de définition D f = [0 ; + [. Soit u et v [0 ; + [. Supposons que u < v. Donc 0 u < v. Donc u v < 0. Comme u 0 on a u 0 et comme v > u, on v>0 donc u+ v>0 donc 0. On a alors, en multipliant par l'expression conjuguée (I.R. n 3) : f (u) f (v)= u v= ( u v)( u+ v) = u v ( u+ v) <0. ( u+ v) En effet, par hypothèse u v < 0 et u+ v>0, le dernier quotient est négatif. Donc f (u) f (v)<0. Par conséquent, f (u)< f (v). Conclusion. La fonction f : x x est strictement croissante sur [0 ; + [. 5.2 ) Tableau de variations x 0 + f(x) ) Tableau de valeurs Un tableau de quelques valeurs permet la construction de la courbe : x ) Tracé de la courbe f(x) Dans un repère orthonormé (O, I, J) on a : ère S Généralités sur les fonctions Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy Page 7/12
8 5.5 ) Comparaison des fonctions x, x et x² Sur l'intervalle [0 ; + [, on considère les trois fonctions f : x x, g : x x et h : x x 2. Ces trois fonctions sont strictement croissantes sur [0 ; + [. On peut faire une étude algébrique comparative deux à deux de ces trois fonctions. [Voir ci-dessus]. Nous pouvons également les comparer graphiquement. On peut résumer ces donnée de la manière suivante : Pour tout x [0 ;1] f (x) g( x) h( x). Donc, f g h sur [0 ;1]. Pour tout x [1; + [ : f (x) g( x) h( x). Donc, f g h sur [1; + [. Remarque : La courbe C f est le symétrique de la courbe C h par rapport à la droite C g. La droite C g d'équation «y = x» s'appelle la première bissectrice. La deuxième bissectrice est la droite d'équation «y = x». 1ère S Généralités sur les fonctions Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy Page 8/12
9 6. La fonction valeur absolue 6.1 ) La valeur absolue d'un nombre Définition 7. Pour tout nombre réel x, la valeur absolue de x notée x, est égale à x si x est positif ou nul et à ( x) si x est négatif. On écrit : x lorsque x 0 Pour tout x R : x ={ xlorsque x 0 En fait la notion de valeur absolue d'un nombre réel est la même que la notion de distance à zéro de ce nombre, vue en classe de 5ème pour apprndre les nombres relatifs. Exemples. a) 5 = 5 ; π 5 = (π 5) = 5 π puisque π 5 < 0. b) x 2 = { x 2 si x 2 2 x si x 2 Remarques. (P1) : Pour tout x R : x = x (P2) : Pour tout x R : x = 0 si et seulement si x = ) La valeur absolue d'un nombre La valeur absolue est définie pour tous les nombres réels. Donc le domaine de définition de la fonction f : x x est donc D f = R. Le domaine de définition est symétrique par rapport à zéro. De plus, pour tout x R f( x) = x = x = f(x). Donc la fonction f est paire ; sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe (Oy). En fait, la fonction f : x x est une fonction affine par morceaux. En effet : - Sur l'intervalle ] ; 0], f est égale à la fonction strictement décroissante x x ; - Sur l'intervalle ]0; + [, f est égale à la fonction strictement croissante x x. Théorème 4. La fonction f : x x définie sur R, est strictement décroissante sur l'intervalle ] ; 0] ; et strictement croissante sur l'intervalle [0 ; + [. 1ère S Généralités sur les fonctions Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy Page 9/12
10 6,3 ) Tableau de variations 6.4 ) Tracé de la courbe f(x) Dans un repère orthonormé (O, I, J) on a : x Fonctions associées 7.1 ) Variations de la fonction : x u(x)+k Soit D un intervalle ou une réunion d'intervalles de R. Théorème 5. Soit u une fonction définie sur D et k un nombre réel fixé. On définit la fonction f sur D par ƒ(x) = u(x)+k pour tout x D. Alors : 1. les fonctions u et u+k varient dans le même sens sur D ; 2. dans un repère (O ; i ; j ), la représentation graphique de la fonction u+k se déduit de celle de u par la translation de vecteur w de coordonnées (0 ; k ). w=k. j 1ère S Généralités sur les fonctions Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy Page 10/12
11 7.2 ) Variations de la fonction : x λ.u(x) Soit D un intervalle ou une réunion d'intervalles de R. Théorème 6. Soit u une fonction définie sur D et λ un nombre réel fixé. On définit la fonction f sur D par ƒ(x) = λ.u(x) pour tout x D. Alors : 1. Si λ est positif, les fonctions u et λ.u varient dans le même sens sur D ; 2. Si λ est négatif, les fonctions u et λ.u varient dans en sens contraires sur D. Remarques. 1 ) Dans un repère (O ; i ; j ), les courbes d'équations y = λ.u(x) et y = λ.u(x) sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. 2 ) Si λ >1, alors la courbe de λ.u est plus fine que la courbe de u. Et si λ < 1, alors la courbe de λ.u est plus large que la courbe de u. 7.3 ) Variations de la fonction : x u( x) Soit D un intervalle de R. Théorème 6. Soit u une fonction définie sur D et telle que pour tout x D, u(x) est positif ou nul. On définit la fonction f sur D par f (x)= u(x). Alors les fonctions u et u varient dans le même sens sur D. Démonstration Supposons que u est croissante sur D. Montrons qu'il en est de même pour u. Soient a et b deux nombres dans D. Supposons que a < b. Par hypothèse, u est croissante sur D, donc elle conserve le sens des inégalités. Donc u(a) < u(b). Or, u(a) 0 et u(b) 0 et on sait que la fonction racine carrée est croissante sur [0; + [, donc u(a)< u(b). Donc f (a)< f (b). Ce qui prouve que la fonction f est également croissante. On démontre aussi que : si u est décroissante sur D, il en est de même pour u. 1ère S Généralités sur les fonctions Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy Page 11/12
12 7.3 ) Variations de la fonction : x 1 u( x) Soit D un intervalle ou une réunion d'intervalles de R. Théorème 6. Soit u une fonction définie sur D et telle que pour tout x D, u(x) est non nul et garde un signe constant. On définit la fonction f définie sur D par f (x)= 1. u(x) Alors les fonctions u et 1/u varient dans en sens contraires sur l'intervalle D. Démonstration Supposons que u est croissante sur D. Montrons que 1/u est décroissante sur D. Soient a et b deux nombres dans D. Supposons que a < b. Par hypothèse, u est croissante sur D, donc elle conserve le sens des inégalités. Donc u(a) < u(b) et par suite u(b) u(a) > 0. Or, u(a) 0 et u(b) 0 et u(a).u(b) > 0. Donc : f (a ) f (b)= 1 u (a ) 1 u(b) = u (b) u(a) u (a)u (b) >0. Donc f (a)> f (b). Ce qui prouve que la fonction f est décroissante. Conclusion. Les deux fonctions u et 1/u varient en sens contraire sur D. On démontre aussi que : si u est décroissante sur D, alors la fonction 1/u est croissante. Exemple. Étudier le sens de variation de la fonction x f ( x)= 1 x 1 sur D=]1 ;+ [. La fonction u: x u(x)=x 1 est définie, non nulle et strictement croissante sur D. Donc la fonction f est strictement décroissante sur D. On a le tableau de variations et la courbe comme suit : x 1 + u(x) f(x) 1ère S Généralités sur les fonctions Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulanges - Massy Page 12/12
Fonctions de référence Variation des fonctions associées
DERNIÈRE IMPRESSION LE 9 juin 05 à 8:33 Fonctions de référence Variation des fonctions associées Table des matières Fonction numérique. Définition.................................. Ensemble de définition...........................3
FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque
FNCTINS I Généralités sur les fonctions Définitions Soit D une partie de l'ensemble IR. n définit une fonction f de D dans IR, en associant à chaque réel de D, un réel et un seul noté f() et que l'on appelle
Fonction inverse Fonctions homographiques
Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................
Cours de Mathématiques Seconde. Généralités sur les fonctions
Cours de Mathématiques Seconde Frédéric Demoulin 1 Dernière révision : 16 avril 007 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini 1 frederic.demoulin (chez) voila.fr gilles.costantini
Cahier de vacances - Préparation à la Première S
Cahier de vacances - Préparation à la Première S Ce cahier est destiné à vous permettre d aborder le plus sereinement possible la classe de Première S. Je vous conseille de le travailler pendant les 0
FONCTIONS DE REFERENCE
FONCTIONS DE REFERENCE I. Rappels de la classe de seconde 1) Sens de variation d'une fonction Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. - Dire que f est croissante sur I (respectivement
Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES
Capitre 4 Dérivation Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Dérivation Nombre dérivé d une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable
I. Parité et périodicité d'une fonction
Chapitre 4 Fonctions sinus et cosinus Term. S Ce que dit le programme : Fonctions sinus et cosinus Connaître la dérivée des fonctions sinus et cosinus. Connaître quelques propriétés de ces fonctions, notamment
Raisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
La fonction carré Cours
La fonction carré Cours CHAPITRE 1 : Définition CHAPITRE 2 : Sens de variation CHAPITRE 3 : Parité et symétrie CHAPITRE 4 : Représentation graphique CHAPITRE 5 : Equation du type CHAPITRE 6 : Inéquation
CHAPITRE 7 Fonction carré et fonction inverse
CHAPITRE 7 Fonction carré et fonction inverse A) La fonction "carré" : f() = ² ) Domaine de définition Elle est définie sur ℝ complet (on peut toujours multiplier deu nombres entre eu). 2) Sens de variation
Fonction polynôme du second degré : Forme canonique
Fonction polynôme du second degré : Forme canonique I) Introduction. Soit g(x) = a(x - s)²+h. Toute fonction polynôme du second degré peut s écrire sous cette forme. Le passage de la forme développée à
( ) = ax. On dit que f est une fonction linéaire. ( ) = b. On dit que f est une fonction constante.
Chapitre : Fonctions de référence I Fonctions affines Définition d'une fonction affine f est une fonction affine si, et seulement si, il existe deux réels a et b tels que pour tout x, f x ( ) = ax + b
Savoir que AB= CD équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. Connaître les coordonnées (x B x A ; y B y A ) du vecteur AB
Chapitre 3 La notion de vecteurs CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Vecteurs Définition de la translation qui transforme un point A du plan en un point B. Vecteur AB associé. Égalité de deux vecteurs
Fonctions homographiques
Fonctions homographiques On donne ci-dessous deux définitions des fonctions homographiques, et on montre que ces deux définitions sont équivalentes. On décrit la courbe représentative d une fonction homographique.
Primitives Cours maths Terminale S
Primitives Cours maths Terminale S Dans ce module est introduite la notion de primitive d une fonction sur un intervalle. On définit cette notion puis on montre qu une fonction admet une infinité de primitives
I Exercices. 1 Définition de suites. 2 Sens de variation d une suite
I Exercices 1 Définition de suites Pour toutes les suites (u n ) définies ci-dessous, on demande de calculer u 1, u, u 3 et u 6 1 u n = 7n n + { u0 = u n+1 = u n + 3 3 u n est le n ième nombre premier
Mathématiques Contrôle commun de Seconde Mardi 01 mars 2011 Durée de l épreuve : 2 heures
Mathématiques Contrôle commun de Seconde Mardi 01 mars 011 Durée de l épreuve : heures L usage de la calculatrice est autorisé. Aucun prêt de matériel n est toléré. La qualité de la rédaction et le soin
CH1 : Langages de la continuité Limites
CH : Langages de la continuité Limites I. Continuité- Théorème des valeurs intermédiaires. Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. Lorsque la courbe représentative de f ne présente
Démonstrations exigibles au bac
Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée
Objectifs: connaître les propriétés des fonctions élémentaires pour pouvoir étudier des fonctions plus complexes.
FONCTIONS DE REFERENCE Objectifs: connaître les propriétés des fonctions élémentaires pour pouvoir étudier des fonctions plus complexes. I. LES FONCTIONS ELEMENTAIRES ce sont les touches «fct» de la calculatrice
Fonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Cours Mathématiques PACES UHP-Nancy
Cours Mathématiques PACES UHP-Nancy V. Latocha PACES UHP septembre 2010 remerciements à D. Schmitt et V. Ries V. Latocha (PACES UHP) Cours mathématiques Paces septembre 2010 1 / 48 1 Fonctions d une variable
Devoir surveillé n 1 : correction
E1A-E1B 013-01 Devoir surveillé n 1 : correction Samedi 8 septembre Durée : 3 heures. La calculatrice est interdite. On attachera une grande importance à la qualité de la rédaction. Les questions du début
Chapitre 11. Premières Notions sur les fonctions
Chapitre 11 Premières Notions sur les fonctions 1. Exemples Exemple 1 La distance parcourue par une automobile en un temps donné varie en fonction de sa vitesse. Faire deux phrases utilisant les mots suivants.
Cours fonctions, expressions algébriques
I. Expressions algébriques, équations a) Développement factorisation Développer Développer un produit, c est l écrire sous forme d une somme. Réduire une somme, c est l écrire avec le moins de termes possibles.
La fonction exponentielle
La fonction exponentielle L expression «croissance exponentielle» est passée dans le langage courant et désigne sans distinction toute variation «hyper rapide» d un phénomène. Ce vocabulaire est cependant
Le second degré. Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d un problème :
Chapitre 1 Ce que dit le programme Le second degré CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Second degré Forme canonique d une fonction polynôme de degré deux. Équation du second degré, discriminant.
Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD
Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD Les supports de cours ne sont pas complets, ils ne contiennent ni les démonstrations,
Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.
Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et
Suites numériques Rappels sur les suites (classe de 1ère)
Chapitre 01 Suites numériques Rappels sur les suites (classe de 1ère) I. Généralités sur les suites (classe de 1ère) 1.1) Définition Une suite numérique est une fonction u définie de N dans R, qui à tout
1S DS 4 Durée :?mn. 2. La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction g, définie sur I = [ 1; 3].
1S DS 4 Durée :?mn Exercice 1 ( 5 points ) Les trois questions sont indépendantes. 1. Soit f la fonction définie par f(x) = 3 x. a) Donner son ensemble de définition. Il faut 3 x 0 3 x donc D f =] ; 3]
Angles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Cours de Mathématiques
Cours de Mathématiques Lycee Gustave Eiffel PTSI 02/03 Chapitre 3 Fonctions usuelles 3.1 Théorème de la bijection Une fonction dérivable sur un intervalle I, strictement monotone déþnit une bijection.
Le corps R des nombres réels
Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du
T ES DEVOIR SURVEILLE 2 28 NOVEMBRE 2014
T ES DEVOIR SURVEILLE 2 28 NOVEMBRE 2014 Durée : 3h Calculatrice autorisée NOM : Prénom : Sauf mention du contraire, tous les résultats doivent être soigneusement justifiés. La précision et la clarté de
Cours de mathématiques
Cours de mathématiques Thomas Rey classe de première ES ii Table des matières 1 Les pourcentages 1 1.1 Variation en pourcentage............................... 1 1.1.1 Calcul d une variation............................
Cours de terminale S Suites numériques
Cours de terminale S Suites numériques V. B. et S. B. Lycée des EK 13 septembre 2014 Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier
Chapitre 3 Term. S. Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES
Capitre 3 Term. S. Dérivation Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIES appels : Nombre dérivé d une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable
FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES Définition ( voir animation ) On dit qu'un repère orthonormé (O; i, j) est direct lorsque ( i ; j ) = + []. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct, si M est le point
Mini Dictionnaire Encyclopédique Mathématiques. Fonction affine
Fonction affine ) Définition et Propriété caractéristique a) Activité introductive Une agence de location de voiture propose la formule de location suivante : forfait de 50 et 0,80 le km. Quel est le prix
Activité 1. Activité 2. M. Wissem Fligène Activités numériques II 1 A- Cours I. Opérations de base Calculs dans R : 1- Opérations dans R.
I. Opérations de base Calculs dans R : 1- Opérations dans R Activité 1 Compléter : 3 1 1) + =... 2 4 3 On dit que est la. de 2 et 1 4 (3 2 et 1 sont les de cette ) 4 3 2 3 2) =... ; On dit que est la de
Équations - Inéquations - Systèmes
Équations - Inéquations - Systèmes I Premier degré Propriétés Soit f définie sur IR par f(x = ax + b avec a 0. f est une fonction affine, elle est représentée graphiquement par une droite. a est le coefficient
I. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Taux d évolution moyen.
Chapitre 1 Indice Taux d'évolution moyen Terminale STMG Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Indice simple en base 100. Passer de l indice au taux d évolution, et réciproquement.
Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim
Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompriscom Reconnaitre les formes indéterminées Dans chaque cas, on donne la ite de et v n Déterminer si possible, ( +
LIMITES EXERCICES CORRIGES
ours et eercices de mathématiques LIMITES EXERIES ORRIGES M UAZ, http://mathscyrreer Eercice n Déterminer la ite éventuelle en de chacune des onctions suivantes : ) ) ) 4 ( ) Déterminer la ite éventuelle
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
. Qu'est-ce qu'une fonction? Vocabulaire GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS Définition Notion de fonction À chaque fois que l'on associe à une quantité une (autre) quantité, on dit que que l'on définit une
CALCULATRICE AUTORISEE
Lycée F. MISTRAL AVIGNON BAC BLANC 2012 Epreuve de MATHEMATIQUES Série S CALCULATRICE AUTORISEE DUREE : 4 heures Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu il est complet Ce sujet comporte 3 pages
1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Division de Polynômes
LGL Cours de Mathématiques 00 Division de Polynômes A INTRODUCTION Motivations: * Résoudre des équations d un degré supérieur à * Représenter des fonctions algébriques en se basant et sur des fonctions
Limites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
MATHEMATIQUES ECE 1 NOTIONS DE COURS A CONNAITRE PAR COEUR
MATHEMATIQUES ECE NOTIONS DE COURS A CONNAITRE PAR COEUR CALCULS NUMERIQUES Fractions, puissances, racines carrées, résolution d équations et inéquations GENERALITES SUR LES FONCTIONS ) Nombre dérivé d
TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12
TS. 01/013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 0/11/1 Exercice 1 : ( 6,5 pts) Première partie : Démonstration à rédiger { Démontrer que si ( ) et (v n ) sont deux suites telles
Corrigé Pondichéry 1999
Corrigé Pondichéry 999 EXERCICE. = 8 = i ). D'où les solutions de l'équation : z = + i et z = z = i. a. De manière immédiate : z = z = b. Soit θ la mesure principale de arg z : cos θ = Par suite arg z
DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )
DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité
Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels.
Licence de Sciences et Technologies EM21 - Analyse Fiche de cours 1 - Nombres réels. On connaît les ensembles suivants, tous munis d une addition, d une multiplication, et d une relation d ordre compatibles
CHAPITRE 6 Les vecteurs
A/ Vecteurs Cours de Mathématiques Classe de Seconde Chapitre 6 Les Vecteurs CHAPITRE 6 Les vecteurs 1) Définition et exemples a) Définition Soient deux points A et B. On appelle vecteur AB "la flèche"
T ES DEVOIR N 1 SEPTEMBRE 2013
T ES DEVOIR N 1 SEPTEMBRE 2013 Durée : 2h NOM : Prénom : Calculatrice autorisée «Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura
Lycée Alexis de Tocqueville. BACCALAUREAT TECHNOLOGIQUE Blanc Corrigé. Série S.T.M.G. Février 2015 Épreuve de mathématiques.
Lycée Alexis de Tocqueville BACCALAUREAT TECHNOLOGIQUE Blanc Corrigé Série S.T.M.G. Février 2015 Épreuve de mathématiques Durée 3 heures Le candidat traitera obligatoirement les quatre exercices ******
Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité).
Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité). Lycée Jacques Monod février 05 Exercice : Voici les graphiques des questions. et.. A 4 A Graphique Question. Graphique Question..
Cours de mathématiques pour la classe de Seconde
Cours de mathématiques pour la classe de Seconde Vincent Dujardin - Florent Girod Année scolaire 04 / 05. Externat Notre Dame - Grenoble Table des matières 0 Ensembles de nombres et intervalles de R 3
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Examen 2 Mathématiques L1S1 TD 1104 2015 2016 Université Paris 1
Examen Mathématiques LS TD 04 05 06 Université Paris Nom : Prénom : Durée : heure. Calculatrice interdite. Aucun document autorisé. Chaque question de la partie QCM vaut un point. Identifiez toutes les
D R O I T E S, E Q U A T I O N S E T I N E Q U A T I O N S
D R O I T E S, E Q U A T I O N S E T I N E Q U A T I O N S b.delap@wanadoo.fr Utiliser un graphique pour résoudre des inéquations à une seule inconnue. 1 er cas : les valeurs sont toutes positives : Sur
Chapitre 7. Les fonctions de références
Chapitre 7 Les fonctions de références I Rappels sur les fonctions I1 Domaine de définition I2 Les variations I3 Parité II Les fonctions de référence II1 Fonctions affines II2 Fonction carré II3 Fonction
Cours de mathématiques : Equation du second degré
Cours de mathématiques : Equation du second degré I ) Formes de l'équation du second degré. L'équation du deuxiéme degré à une inconnue est celle où l'inconnue est élévé à la puissance de 2, sans y etre
MATHÉMATIQUES LIAISON 3 ème / 2 nde. Lycée Notre Dame des Minimes Année scolaire 2015-2016 LIVRET DE VACANCES
MATHÉMATIQUES LIAISON ème / 2 nde Lycée Notre Dame des Minimes Année scolaire 205-206 LIVRET DE VACANCES L objet du présent livret de vacances est d aborder le programme de mathématiques de seconde générale
Lycée Cassini BTS CGO 2014-2015. Test de début d année
Lycée assini BTS GO 4-5 Exercice Test de début d année Pour chaque question, plusieurs réponses sont proposées. Déterminer celles qui sont correctes. On a mesuré, en continu pendant quatre heures, la concentration
Dérivées et applications. Equation
Dérivées et applications. Equation I) Dérivée d une fonction strictement monotone 1) Exemples graphiques Soit une fonction dérivable sur un intervalle I. Pour tout I, (x) est le coefficient directeur de
La fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Exercice 1 : sur 2,5 points 1) Lire graphiquement les équations des droites D 1, D 2 et D 3 tracées dans le repère ci-dessous
NOM : Seconde A B C H J Mardi 19 janvier 010 Exercice 1 : sur,5 points 1) Lire graphiquement les équations des droites D 1, D et D tracées dans le repère ci-dessous ) Dans le même repère, tracer la droites
Première partie. Deuxième partie
PC 96-97 correction épreuve X97 Première partie. f étant convexe sur l intervalle [t, t 2 ], sa courbe représentative est en dessous la corde joignant les points (t, f(t )) et (t 2, f(t 2 )). Comme f(t
Cours de mathématiques (Terminale S)
Cours de mathématiques (Terminale S) II. Chapitre 00 : La trigonométrie. Les angles orientés A. Les radians DÉFINITION Le radian est une unité de mesure angulaire, notée rad définie par : REMARQUE A partir
Séquence 6. Fonctions dérivées. Sommaire
Séquence 6 Fonctions dérivées Sommaire Pré-requis Définition Dérivées des fonctions usuelles Dérivation et opérations algébriques Applications de la dérivation Synthèse de la séquence Eercices d approfondissement
MARS 2014 MATHEMATIQUES LYCEE STANISLAS-NICE. Durée de l épreuve : 2 h 00. L usage de la calculatrice est autorisé.
COMPOSITION SECONDE MARS 2014 MATHEMATIQUES LYCEE STANISLAS-NICE Durée de l épreuve : 2 h 00 L usage de la calculatrice est autorisé. Toutes les réponses devront être justifiées. Exercice 1 Soit la fonction
Représentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
MATHEMATIQUES. Premier Cycle TROISIEME
MATHEMATIQUES Premier Cycle TROISIEME 79 INTRODUCTION Le programme de la classe de troisième, dernier niveau de l enseignement moyen, vise à doter l élève de savoirs faire pratiques par une intégration
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Connaître les variations des fonctions polynômes de degré 2 (monotonie, extremum) et la propriété de symétrie de leurs courbes.
www.mathsenligne.com 2N3 - FONCTION CARRE ET SECOND DEGRE COURS (1/6) CONTENUS CAPACITES ATTENDUES COMMENTAIRES Expressions algébriques Transformations d expressions algébriques en vue d une résolution
Table des matières LES FONCTIONS POLYNOMIALES
Table des matières LES FONCTIONS POLYNOMIALES 1 Différents types de fonctions polynomiales Étude des différentes fonctions polynomiales.1 Les fonctions constantes.1.1 La fonction constante de base.1. La
Fonctions - Continuité Cours maths Terminale S
Fonctions - Continuité Cours maths Terminale S Dans ce module, introduction d une nouvelle notion qu est la continuité d une fonction en un point. En repartant de la définition et de l illustration graphique
Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J.
Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. FAIVRE s de cours exigibles au bac S en mathématiques Enseignement
TS - Cours sur le logarithme népérien
Lcée Europole - R. Vidonne 1 TS - Cours sur le logarithme népérien Fonction carrée et racine carrée Considérons les fonctions f : R + R + g : R + R + 2 Dans un repère orthonormal, les courbes C f et C
I Exercices I-1 1... I-1 2... I-1 3... I-2 4... I-2 5... I-2 6... I-2 7... I-3 8... I-3 9... I-4
Chapitre Convexité TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre Convexité Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1................................................
CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Chapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
212 année 2013/2014 DM de synthèse 2
22 année 20/204 DM de synthèse 2 Exercice Soit f la fonction représentée cicontre.. Donner l'ensemble de définition de la fonction f. 2. Donner l'image de 4 par f.. a. Donner un nombre qui n'a qu'un seul
Cours de mathématiques. Chapitre 9 : Nombres complexes
Cours de mathématiques Terminale S1 Chapitre 9 : Nombres complexes Année scolaire 2008-2009 mise à jour 15 février 2009 Fig. 1 Gerolamo Cardano Médecin et mathématicien italien qui ne redoutait pas les
Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Fonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Comment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite.
Comment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite. Introduction : Avant de commencer, il est nécessaire de prendre connaissance des trois types de
Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S )
Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble
En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait 80 adhérents. Chacune des années suivantes on a constaté que :
Il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction de la copie lors de l évaluation finale. Les élèves n ayant pas la spécialité mathématique traiteront les exercices 1, 2,3 et 4, les élèves ayant
2. u 3 = 16, u 7 = 1 et u p = 1 8.
EXERCICE 1 (u n ) est une suite arithmétique de raison a, déterminer l entier k dans chacun des cas suivants : 1. u 21 = 34, a=1,5 et u k = 1 2. u 10 = 64, u 5 = 14 et u k = 114. EXERCICE 2 (u n ) est
t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :
Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant
Calculs préliminaires.
MINES-PONTS 005. Filière MP. MATHÉMATIQES 1. Corrigé de JL. Lamard jean-louis.lamard@prepas.org) Calculs préliminaires. Notons que si f H alors f)e / est bien intégrable sur R car continue positive et
Terminale ES-L Chapitre IV Convexité.
Terminale ES-L Chapitre IV Convexité. I- Définition. Rappel : On appelle corde d'une courbe tout segment reliant deux de ses points. Illustration ci-dessous : on a tracé la courbe représentative d'une