Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

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1 Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre d affaires du commerce équitable en France, eprimé en millions d euros. Année Rang de l année : i avec 1 i Chiffre d affaires du commerce équitable en millions d euros : y i avec 1 i Source :M. H. leader du commerce équitable mondial 1. a. En 2007, le commerce de détail en France a généré un chiffre d affaires de 447 milliards d euros. (Source : INSEE) alors que le chiffre d affaires du commerce équitable s élève à 210 millions d euros et on a : ,047. En 2007, la part du chiffre d affaires du commerce équitable par rapport à celui du commerce de détail est donc égale à 0,047 % (pourcentage arrondi à 0,001 %). b. On a : ,133 donc le pourcentage d augmentation du chiffre d affaires du commerce 120 équitable en France entre 2005 et 2008 s élève à 113 % (pourcentage arrondi à 1 %). Dans la suite de l eercice, on souhaite estimer en quelle année le chiffre d affaires du commerce équitable en France dépassera le double de celui de Ajustement affine a. Le nuage de points associé à la série statistique ( i y i ) ( pour 1 i 8) dans un repère orthogonal du plan (unités : 1 cm pour une année en abscisse et 1 cm pour 20 millions d euros en ordonnée ) est donné ci-dessous. b. À l aide de la calculatrice, on trouve que la droite D d ajustement de y en par la méthode des moindres carrés admet pour équation : y 36,8 54,0 (coefficients arrondis au diième). Elle passe par les points de coordonnées (5 130) et (10 314). c. On cherche tel que y 2 210, soit : 36, , avec ,88 36,8 36,8 En utilisant cet ajustement affine, on peut prévoir que c est à partir l année de rang 13, c est-à-dire 2013 que le chiffre d affaires du commerce équitable en France dépassera le double de celui de Ajustement parabolique L allure du nuage suggère de choisir un ajustement parabolique. On propose d ajuster le nuage par la parabole P d équation y , étant un nombre réel supérieur ou égal à 1. On cherche donc tel que y 2 210, soit : avec b 2 4ac ( 424) /10

2 0 donc le trinôme admet deu racines : b Δ et b Δ , soit 1 13,1 et 2 10,8 2a 6 2a 6 De plus, le coefficient de 2 est positif donc le trinôme est positif à l etérieur de ses racines, soit pour 1 ou 2. En utilisant cet ajustement, on peut donc prévoir que le chiffre d affaires du commerce équitable en France dépassera le double de celui de 2007 à partir de l année de rang 11, c est-à-dire en /10

3 Eercice 1 (5 points) pour les candidats ayant choisi la spécialité MATH A Observation d une suite de nombres 1. Les 16 premiers termes d une suite ( u n ) sont représentés ci-dessus dans le plan muni d un repère orthogonal. On constate que les points ( n u n ) sont de plus en plus proches de la droite d équation y 30 Donc on conjecture que la limite de la suite ( u n ) est égale à Les quatre premiers termes de la suite ( u n ) ont été calculés avec une calculatrice : On a u u ,85 et u 2 u 1 87,6 102, soit u 2 u 1 0,859. On a donc u 1 u 2, ce qui prouve que la suite ( u n ) n est pas une suite géométrique. u 0 u 1 B - Étude de la suite La suite ( u n ) observée dans la partie A est définie pour tout entier naturel n par : u n 1 0,8u n 6 et u D après la formule de récurrence, on a : u 1 0,8 u 0 6 0, soit u u 2 0,8 u 1 6 0, ,6 soit u 2 87,6 u 3 0,8 u 2 6 0,8 87,6 6 76,08 soit u 3 76,08 u 4 0,8 u 3 6 0,8 76, ,864 soit u 4 66,864. 3/10

4 2. Soit ( v n ) la suite définie pour tout entier naturel n par v n u n 30. On a : v n 1 u n 1 30 ( 0,8u n 6) 30 0,8u n 24 0,8( u n 30) 0,8 v n, soit v n 1 0,8 v n. La suite ( v n ) est donc géométrique de raison 0,8 et de premier terme v 0 30, oit v D après la question précédente, la suite ( v n ) est géométrique de premier terme v 0 90 et de raison 0,8 donc on a : v n v 0 q n soit v n 90 0,8 n pour tout n. De plus : v n u n 30 u n v n 30, d où : u n 90 0,8 n 30 pour tout n. 4. On a : 0 0,8 1 d où lim n On a v n 90 0,8 n donc : lim n 0,8 n 0. v n 0 et comme u n v n 30, on en déduit que : lim n u n 30, ce qui confirme la conjecture faite à la question 1. 4/10

5 Eercice 2 (4,5 points) pour tous les candidats 1. On souhaite tracer la courbe représentative d une fonction f satisfaisant les conditions suivantes : La fonction f est définie et dérivable sur l intervalle [0 6]. Le maimum de la fonction f est 5, il est atteint pour 0 donc f(0) 5. Le minimum de la fonction f est 1. La fonction f est dérivable sur l intervalle [0 6]. On note f la fonction dérivée de f et on sait que f (0) 3, f(6) 3 et f (6) 2. Le signe de la fonction dérivée f de f est donné par le tableau suivant : f () 0 + a. Une fonction est croissante sur un intervalle I lorsque sa dérivée est positive sur I et elle est décroissante sur I lorsque sa dérivée est négative sur I, donc f est décroissante sur [0 4] et croissante sur [4 6]. De plus, on a f(0) 5, f(6) 3 et le minimum de la fonction f, atteint en 4, est 1 donc f(4) 1. On obtient le tableau de variations de f suivant : signe de f f 1 b. L équation de la tangente T à la courbe au point d abscisse 6 est donnée par : y f (6) ( 6) f(6) avec f(6) 3 et f (6) 2 soit T : y 2 9. c. On trace dans le repère fourni en annee la courbe représentative d une fonction satisfaisant toutes les conditions ci-dessus ; elle passe par les points de coordonnées (0 5), (4 1) et (6 3). La tangente à la courbe au point d abscisse 0 a pour coefficient directeur f (0) 3, cette tangente passe donc par les points de coordonnées (0 5) et (1 2). La tangente à la courbe au point d abscisse 4 a pour coefficient directeur 0 donc elle est parallèle à l ae des abscisses. La tangente à la courbe point d abscisse 6 a pour équation y 2 9, cette tangente passe donc par les points de coordonnées (6 3) et (7 5). 2. On considère la fonction g définie sur l intervalle [0 6] par g() [f()] 2. a. g est la composée de la fonction f et de la fonction "carré" avec : - f décroissante sur [0 4] et à valeurs dans [1 5] et la fonction "carré" croissante sur [1 5] donc la composée g est décroissante sur [0 4] - f croissante sur [4 6] et à valeurs dans [1 3] et la fonction "carré" croissante sur [1 3] donc la composée g est croissante sur [4 6]. De plus : g(0) [f(0)] 2 25, g(4) [f(4)] 2 1 et g(6) [f(6)] 2 9 On obtient : g 1 b. On a g f 2 donc g 2f f d où : g (0) 2f(0) f (0) 2 5 ( 3), soit g (0) 30. au 5/10

6 Annee eercice 2 6/10

7 Eercice 3 (6,5 points) pour tous les candidats Partie A : On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0 [ par : f() a b 16 où a et b sont des nombres réels. On admet que f est dérivable sur l intervalle ]0 [ et on note f la fonction dérivée de f sur cet intervalle. On admet que la courbe représentative de f coupe l ae des abscisses au points d abscisses 1 et 4 et admet une tangente horizontale au point A de coordonnées (2 4). 1. a) La courbe représentative de f coupe l ae des abscisses au points d abscisses 1 et 4 donc on a f(1) 0 et f(4) 0. De plus, elle passe par le point A de coordonnées (2 4) donc f(2) horizontale donc de coefficient directeur nul, soit f (2) 0. b) En prenant par eemple f(1) 0 et f(4) 0, on obtient : f(1) 0 a b 16 0 a 16 b a 16 b b 20 f(4) 0 4a b b b 4 0 3b 60 a 4 On a donc a 4, b 20 et f() et admet en ce point une tangente 2. On admet que la fonction f est définie sur ]0;+ [ par f() a) lim ( 4 20) 20 et lim donc lim f() On en déduit que la droite d équation 0 est asymptote verticale de la représentation graphique de f. lim ( 4 20) et lim 16 De plus : f() ( 4 20) 16 0 donc lim et lim 16 f(). 0 donc lim [f() ( 4 20)] 0. On en déduit que la droite d équation y 4 20 est asymptote oblique de la représentation graphique de f au voisinage de +. b) f est dérivable sur ]0 [ et on a : f () 4 16 d où : ( 4 2 ) 2 2 donc f () 4(2 )(2 ) 2 avec : (2 )(2 ) f () + 0 7/10

8 Le tableau de variation de la fonction f sur l intervalle ]0 [ est donc : signe de f f c) D après la question précédente : - f est strictement croissante sur ]0 2] avec f(1) 0 donc on a : f() 0 sur ]0 1[, f() 0 pour 1 et f() 0 sur ]1 2] - f est strictement décroissante sur [2 [ avec f(4) 0 d après la question 1.a) donc on a : f() 0 sur [2 4[, f() 0 pour 4 et f() 0 sur ]4 [. Le signe de f() peut donc être résumé dans le tableau de signes suivant : f() On considère une fonction F définie et dérivable sur l intervalle ]0 [, telle que F'() f(). D après la question précédente, on a : F'() On en déduit que la fonction F est décroissante sur ]0 1], croissante sur [1 4] et décroissante sur [4 [. Partie B : Une entreprise fabrique des pièces pour assemblage de moteurs qu elle conditionne par centaines. Sa fabrication journalière varie entre 100 et 600 pièces. L objectif est d étudier le bénéfice quotidien réalisé par cette entreprise. Une étude a montré que le bénéfice marginal quotidien de cette entreprise est modélisé par la fonction f, appelée fonction «bénéfice marginal», dont l epression est donnée dans le 2. de la partie A. Pour compris entre 1 et 6, est eprimé en centaines de pièces fabriquées et vendues quotidiennement et f() est eprimé en milliers d euros. En économie, la fonction «bénéfice marginal» est considérée comme la dérivée d une fonction appelée fonction «bénéfice». On admet que la courbe ( ) donnée en annee représente la fonction «bénéfice». 1. Le maimum de la fonction F est atteint en 4 donc l entreprise doit fabriquer et vendre quotidiennement 400 pièces pour réaliser un bénéfice maimal. Sur le graphique, l ordonnée du point d abscisse 4 de ( ) est environ égale à 7,8. Le bénéfice maimal que peut réaliser l entreprise est donc d environ 7800 euros. 2. On cherche la quantité de pièces à fabriquer et à vendre quotidiennement pour que l entreprise réalise un bénéfice supérieur à 3 000, ce qui revient à résoudre : F() 3. Graphiquement, on trouve que la courbe ( ) est au dessus de la droite d équation y 3 sur l intervalle [2 5,7] donc on en déduit que la quantité de pièces à fabriquer et à vendre quotidiennement pour que l entreprise réalise un bénéfice supérieur à doit être comprise entre 200 et /10

9 Annee eercice 3 9/10

10 Eercice 4 (4 points) pour tous les candidats Dans cet eercice, on appellera motard tout conducteur d une moto dont la cylindrée est supérieure à 50 cm 3. Ces motards se décomposent en deu catégories : la catégorie A définie par le fait que les motards conduisent une moto de cylindrée 125 cm 3 ou plus, la catégorie B définie par le fait que les motards conduisent une moto d une cylindrée strictement inférieure à 125 cm 3. La moto peut être de type sportive ou routière. On note : A : l événement «le motard est de la catégorie A», B : l événement «le motard est de la catégorie B», S : l événement «la moto est de type sportive», R : l événement «la moto est de type routière». On considère que : ceu de la catégorie A représentent 44 % de l ensemble des motards donc on a : p(a) 0,44 d où p(b) 1 p(a) 0,56 65 % de ceu de la catégorie B possèdent une moto de type sportive donc on a : p B (S) 0,65 d où p B (R) p B (S) 0,35. On interroge un motard au hasard. 1. La probabilité que le motard interrogé soit dans la catégorie B et conduise une moto de type routière est la probabilité de l événement B R avec : p(b R) p B (R) p(b) 0,35 0,56 0,196. La probabilité que le motard interrogé soit dans la catégorie B et conduise une moto de type routière est donc égale à 0, ,6% des motos sont de type routière donc on a : p(r) 0,366 d où p(s) 1 p(r) 0,634 La probabilité que le motard choisi conduise une moto de type sportive et soit dans la catégorie A est la probabilité de l événement A S avec, d après la formule des probabilités totales : p(s) p(a S) p(b S), d où p(a S) p(s) p(b S) p(s) p B (S) p(b) On a donc : p(a S) 0,634 0,65 0,56 0,27. La probabilité que le motard choisi conduise une moto de type sportive et soit dans la catégorie A est donc égale à 0, La probabilité qu un motard soit dans la catégorie B sachant qu il conduit une moto de type routière est donnée par : p R (B) p(r B) p(r) 0,196 0, avec ,536 La probabilité qu un motard soit dans la catégorie B sachant qu il conduit une moto de type routière est d environ 0, On choisit au hasard et de façon indépendante trois motards. L événement "au moins un des trois motards est de la catégorie B" est l événement contraire de l événement "les trois motards sont de la catégorie A" qui a pour probabilité [p(a)] 3. La probabilité qu au moins un des trois motards soit de la catégorie B est donc égale à 1 [p(a)] 3 1 0,44 3, soit environ 0, /10

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