MATHEMATIQUES TES Corrigés des devoirs

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1 MATHEMATIQUES TES Corrigés des devoirs DS1 26/09/2012 page2 DV 09/10/2012 page 6 DS 24/10/2012 page 8 DV 30/11/2012 page 14 DV 14/12/2012 page 16 BAC BLANC 18/01/2013 page 17 DV 05/02/2013 page 23 DS 12/02/2013 page 25 DV 12/03/2013 page 31 DS 27/03/2013 page 32 DV 18/04/2013 page 38 DS 15/05/2013 page 39

2 TES Bleue Pervenche 26/09/2012 EXERCICE I : ( 5 points) On donne la courbe C représentation graphique d une fonction définie sur [ 6;7]. 1 Par lecture graphique, a)tableau de variations de la fonction ( ) ( ) b) Sens de variation de la fonction : la fonction est strictement croissante sur l intervalle [ 6 ; 1], strictement décroissante sur l intervalle [ 1 ;4], puis strictement croissante sur l intervalle [4 ;7] c) Tableau de signe de la fonction : D après le tableau de variation complété par la racine 5 (ou d après la position de la courbe par rapport à l axe des abscisses ( ) d) Les solutions de l équation ( )=3 sont les abscisses des points de ayant pour ordonnée 3. Ces solutions sont 4, 2 et 7 e) Les solutions de l inéquation ( ) 3 sont les abscisses des points de ayant une ordonnée inférieure ou égale à 3. L ensemble de ces solutions est =[ 6 ; 4] [2;7] f) Déterminer l intervalle image de [ 4 ; 1], de [1 ;2] et de [ 4 ;4] Justifier le premier d entre eux. ([ 4 ; 1])=[ 3 ;8], c est l ensemble des ordonnées des points de ayant leur abscisse dans [ 1 ;0] Ou est strictement croissante sur [ 4 ; 1] et ( 4)=3 ( 1)=8 ([ 1 ;2])=[ 3 ;6] ([ 4 ; 4 ])=[ 0 ;8] 2 On considère la fonction affine définie sur par : ( )=! + "# a) ( 4)= $%"! + "#! = %!! =3 est une fonction affine donc & est la droite passant par le point de coordonnées ( 4 ;3) et dont coefficient directeur est! = ( ) b) Résoudre graphiquement l équation ( )=( ) sur [ 6 ;7]. Justifier. Les solutions sont les abscisses des points d intersection des représentations graphiques et &. Les solutions sont 4 1 EXERCICE II : ( 3 points) 1 Equation de droite : * %,= +5,* " =1, * :, 2, * -,=. +/.. = é é6 (01é ) * - :, = 3 5 +/ :(1 ;1) * -, < = 3 5 < +/ 1= / /=8 5! d où l équation de * - :, =! +?!

3 2 Tracer dans ce repère les droites : *! d équation, = passant par A(3 ;2 de coefficient directeur % EXERCICE III : ( 4 points ) La fonction est définie sur par 3 ²3. 1 Dérivée : Pour tout de : 3 " : polynôme du second degré factorisable sans delta Racines : D D Tableau de variation de la fonction 0 2 E a) D après son tableau de variations, La fonction est continue et strictement décroissante sur 2 ;4 L intervalle image de 2 ;4 est 13 ; ;7 Donc l équation 0 admet une unique solution dans 2 ;4. 3 b) encadrement d amplitude 0,01 de cette solution E. 3,27 0,11292 D où : 3,27E 3,28 est un E 3,28 0 0,0124 encadrement de E à 0,01 près

4 3 c) Du tableau de variations complété avec H, on déduit : E + ( ) + 0 EXERCICE IV : (8 points ) Le coût total de I milliers de poupées est donné par : (I)=0,05I²+I+80 pour I [ 0 ;100] où (I) est exprimé en milliers d euros. 1 Sens de variation de la fonction : (I)=0,1I+1 La racine de (I) est -10 or 10 [ 0 ;100] La fonction est strictement croissante sur [ 0 ;100] b) pour I [ 0 ;100] (I)=480 0,05I " +I+80=480 0,05I " +I 400=0 Δ=1 " 4(0,05)( 400)=81=9 " I= $%$L " M,M! 7D I = $%NL " M,M! Tableau de variation de C I (I) (I) 80 I= 100 7D I = [0 ;100] La solution de l équation est 80. Interprétation : Pour avoir un coût total de , l entreprise doit produire 80 milliers de poupées. c) tableau de valeurs : I (I) Recette a) 1 poupée est vendue 6 Donc 1000 poupées sont vendues C est-à-dire 1 millier de poupées est vendu 6 milliers d euros D où pour I milliers de poupées vendues O(I)=6I en milliers d euros b) La fonction R est linéaire, sa courbe représentative est une droite passant par l origine et par le point de coordonnées (100 ; 600) 3 Bénéfice a) Bénéfice = Recette Coût, Or, O(I) (I)=6I (0,05I " +I+80)= 0,05I²+5I 80, donc P(I)= 0,05I²+5I 80 b) Variations de B sur [ 0 ;100] P (I)= 0,1I+5 La racine de P Vous devez avoir le réflexe : (I) est 50 Je veux les variations (ou le minimum, I P ou le maximum) : (I) + 0 -je calcule la dérivée 45 P(I) -j étudie le signe de la dérivée

5 c) D après son tableau de variations, la fonction B admet un maximum égal à 45, obtenu pour I =50. L entreprise doit donc fabriquer et vendre poupées pour obtenir un bénéfice maximal de d) pour I [ 0 ;100] PI 0 OI I 0 OI I Le bénéfice est positif ou nul lorsque la recette est supérieure ou égale aux coûts. Graphiquement, les solutions sont les abscisses des points pour lesquels la courbe de la recette est au-dessus ou au contact de la courbe des coûts. Les solutions sont toutes les abscisses I appartenant à l intervalle [ 20 ;80]. La plage de production est donc de à poupées pour réaliser un bénéfice positif ou nul. y Coûts Recette x Remarques : - Dans un exercice il faut trouver une méthode qui corresponde aux outils dont on dispose : Ici comme on avait les courbes des couts et de la recette mais pas cette du bénéfice. - Faites attention à bien répondre à la question telle qu elle est posée. Il ne suffit pas de répondre de façon sensée mais il faut aussi que la conclusion réponde exactement au sens de la question. - En particulier, dans les problèmes économiques, il faut soigner les réponses en termes de quantités : unités, formulation, 5 / 43

6 TESB 09/10/2012 EXERCICE I : (3 points) Question de cours : Soit une fonction définie sur un intervalle [8 ;9] Parmi les affirmations suivantes, retrouvez celles qui sont vraies pour toute fonction R convexe sur [S ;T]. P2 : ( ) 0 pour tout de [8 ;9] P3 : est une fonction croissante sur [8 ;9] P5 : est au-dessus de chacune de ses tangentes sur [8 ;9] EXERCICE II : (4 points) Soit une fonction définie et deux fois dérivable sur [0 ;6]. En exploitant au mieux les informations données par le logiciel de calcul formel : 1 On nous donne pour [0 ;6]: " ( )= ( )= ( +4) 8 +2 ( +2) " ( )= ( +2) Signe de R (V) : ( +2) = 2 [0 ;6] ( +2) est du même signe que +2 ( ) + On a ( )>0 pour tout de [0;6] donc la fonction est convexe sur [0;6] 2 Dresser le tableau de variation de la fonction ( +2) " + + ( ) 0 + On en déduit : 0 6 ( ) 0 + 9/2 3 =0 3 = 4 [0 ;6] 3 = 2 [0 ;6] ( ) 0 EXERCICE III : (5 points) On considère une fonction définie sur [ 4 ;7]. Sa dérivée admet le tableau de variations suivant : ( ) a) Etudier la convexité de. La fonction est croissante sur [ 4;2], donc est convexe sur [ 4;2] La fonction est décroissante sur [2;7], donc est concave sur [2;7] 6 / 43

7 b) La courbe admet-elle des points d inflexion? ( ) ( ) + 0 ( ) s annule et change de signe en 2, donc admet un point d inflexion :(2 ;(2)). 2 Déterminer le sens de variations de la fonction Le tableau de variation (donné) de permet de lire le signe de ( ) : ( ) On en déduit que la fonction est croissante sur [ 4 ;5] et décroissante sur [5 ;7] EXERCICE IV: (8 points) On considère la fonction définie sur [ 5 ;5] par ( )= " Dérivées Pour tout [ 5 ;5] : ( )= 6 " ( )= Convexité de R ( ) + 0 La fonction est convexe sur [ 5 ;2] et concave sur [2 ;5] 3 ( ) est un polynôme de degré 2 : Δ=24² 4 ( 6) ( 24)=0 Ce polynôme a une racine : M = "- $%" = ( ) 0 La fonction f est décroissante sur [ 5 ;5] 4 a) Equation de la tangente T : (2)= 23 (2)=0, = (2) ( 2)+(2), =0( 2) 23,= 23 La tangente à au point d abscisse 2 est la droite T d équation, = 23 b) ( ) s annule et change de signe en 2, donc admet un point d inflexion :(2 ;(2)), donc traverse sa tangente T au point d abscisse 2, donc est en contact avec T en K ; de plus, la fonction est convexe sur [ 5 ;2] et concave sur [2 ;5], donc est au-dessus ou au contact de T sur [ 5 ;2] et en dessous ou au contact de T sur [2 ;5]. 7 / 43

8 24/10/2012 Ds2 3h TES Bleue et Pervenche EXERCICE I : ( 3 points) Dans cet exercice, aucune justification n est demandée. 1 On donne la représentation graphique d une fonction définie sur [ 1 ;5] : y a)) est continue sur les intervalles [ 1 ;2] et ]2;5] x b)) Les solutions de l équation ( )=2 sont les abscisses des points de la courbe dont l ordonnée est égale à 2. Les solutions sont 0 et 2. c)) Déterminer l ensemble des réels X tels que l équation ( )=X admette exactement 1 solution. L équation ( )=X a une solution lorsque la courbe a un seul point d ordonnée X. On lit X sur l axe des ordonnées : X =1 7D X ]2 ;3] 7D X ]5 ;6] soit X Y0Z ]2 ;3] ]5 ;6] d))valeurs des réels X tels que l équation ( )=X admette exactement 2 solutions. L équation ( )=X a deux solutions lorsque la courbe a deux points d ordonnée X. X ]1 ;2] ]3 ;5 ] 2 On donne la représentation graphique d une fonction définie sur [0 ;6]. a)) La fonction est strictement croissante sur [0 ;6] y b)) La fonction est concave sur [0 ;6] donc sa dérivée est décroissante sur [0 ;6] x -2 EXERCICE II : (5 points) 1 Tracé de T tangente en :(1 ;3) de coefficient directeur -4/3 en partant de :, on se déplace de 4 unités vers la droite puis de 3 unités vers le bas. 2 Tableau de signe de ( ) : (le signe dépend de la position de par apport à l axe des abscisses) 4 E 5 ( ) Tableau de signe de "( ) : (le signe dépend de la position de par rapport à ses tangentes) "( ) Sens de variation de la fonction : D après le signe de "( ), la fonction est décroissante sur [ 4 ;1], puis croissante sur [1 ;5]. 3 Tableau de signe de ( ) : (le signe dépend des variations de la fonction ) ( ) / 43

9 6 2 est le coefficient directeur de la tangente à au point d abscisse -2, c est-à-dire le coefficient directeur de D : 2! 7 L affirmation 04,25 est fausse. 0 1 ;3 or 0 sur 1 ;3 Ne pas confondre 0 0 il serait possible d avoir simultanément 04,25 et 04,25 Par exemple : \ ²1, \ 2 On a \12 \ 12 8 En exploitant le tableau de signe établi à la q3 : Q0 4 ;1 3 ;5 9 le signe de établi à la question 3 permet d affirmer que % est la courbe de le signe de établi à la question 4 permet d affirmer que est la courbe de " on ne peut pas dire qu une courbe est positive ou qu une courbe est croissante. EXERCICE III : (6 points) A : B : 2 Partie A : On considère la fonction définie sur 0 ;9 par 12 " a) Calculer, puis étudier son signe. Pour 0 ;9 : 3 " Racines Second degré : 24 " 4>480 donc la dérivée a une racine double : " Signe de R V : le signe est celui du coeffcinet de b) Enoncer le sens de variation de la fonction La dérivée est positive et ne s annule qu en une valeur de donc la fonction R est strictement croissante sur _ ;` c) Dresser le tableau de variation de la fonction. 0 4 E / 43

10 2 a) Montrer que l équation ( )=100 admet une unique solution que l on notera E. La fonction est continue et strictement croissante sur [0 ;9] L intervalle image de [0 ;9] par est [0 ;189] Or 0 [0 ;189] Donc par le théorème des valeurs intermédiaires, l équation ( )=100 admet une seule soultion E dans [0 ;9]. b) Déterminer une valeur approchée de E à 0,01 /3è6 Par balayage 7,30< E <7,31 Une valeur approchée par défaut à 0,01 près est 7,30 3 a) Calculer ( ) Pour [0 ;9] ( )=3 " ( )=6 24 b) Etudier la convexité de la fonction Racine et signe de ( ) : fonction polynome du 1 er degré Racine : = " ( ) convexité est concave de (4)=64 est convexe ( ) 7,30 99,94 E 0 7,31 100,26 Donc R est concave sur [_ ;c] et R est convexe sur [c ;`] 4 Tracés la tangente T à au point K d abscisse 4 a pour coefficient directeur 0, car (4)=0 Partie B : ( ) représente le coût de fabrication de centaines de kg d un produit cosmétique en milliers d euros. L entreprise ne peut pas fabriquer plus de 900 kg de produit. On pourra réinvestir les résultats obtenus dans la partie A pour répondre aux questions suivantes. 1 Quelle quantité fabrique-t-on pour un coût de euros? On donnera la réponse à 1 kg près. ( ) représente le coût de fabrication de centaines de kg d un produit cosmétique en milliers d euros. Pour trouver la quantité fabriquée pour un coût de euros càd 100 milliers d euros, on résout l équation ( )=100. En A-2, on a prouvé que cette équation a une solution unique E dans d0 ;9e avec E 7,30 La quantité est comprise entre 7,30 et 7,31 centaines de kg soit entre 730 kg et 731 kg. Pour un coût de euros, on fabrique 730 kg à 1kg près. 2 Quantité à produire pour avoir un coût marginal minimal. Complétons le tableau de la convexité avec le sens de variation de la dérivée, càd du coût marginal ( ) Cout marginal ( ) 0 10 / 43

11 Le coût marginal est donc minimal pour V=c, càd pour 400 kg de produit fabriqués 3 Avec l augmentation de la production, la croissance du coût est-elle ralentie ou accélérée pour une production inférieure à 400 kg? La croissance du coût correspond au coût marginal D après son tableau de variation en 2, le coût marginal est décroissant sur [0 ; 4] Donc la croissance du coût est ralentie pour une production inférieure à 400 kg. 11 / 43

12 EXERCICE IV : (6 points) 1 er contrat : ème contrat : 3.25 Un généalogiste veut acheter un logiciel spécialisé accompagné d un contrat d assistance. On lui propose de choisir entre deux contrats. 1 er contrat : En 2012, le coût est de 189, puis chaque année le coût baisse de 8 par rapport à l année précédente. On note D g le coût en euros en Ainsi On a D M =189 1 D % =189 8=181 D " =D % 8=181 8=173 2 a) en û D g En 2012+(4+1) coût : D gn% Chaque année le coût diminue de 8, donc D gn% =D g 8 On en déduit que la suite (D g ) est arithmétique de raison 8 2 b) La suite (D g ) étant arithmétique de raison 3 = 8 et de 1 er terme D M =189, on a : D g =D M +4 3, c est-à-dire D g = on résout : D g < <150 84< 39 4> 39 8 De plus -L 4,875, donc c est à partir de l année de rang 5, en 2017 que le coût de l assistance sera? inférieur à D M = D % =181 = i j$i k i k 100= $? %?L 100 4,2 Il y a une diminution de 4,2% entre 2012 et est l année de rang 6, = = est l année d e rang 7 D # 8= = D # 8=133 = i l$i m i m 100= $? %-% 100 5,7 Il y a une diminution de 5,7% entre 2018 et 2019 Le pourcentage de baisse est différent, et il augmente dans le temps. Pour une suite arithmétique, l écart absolu par année est constant ( 8 par an), mais l écart relatif ( 4 % ) varie. 2 ème contrat : En 2012, le coût est de 189, puis chaque année le coût baisse de 4% par rapport à l année précédente. On note o g le coût en euros en o % =189 p1 - %MM q=0.96o M =0,96 189=181,44 o " =0,96o % =0,96 181,44 174,18 2 a) en û o g En 2012+(4+1) coût : o gn% Chaque année le coût diminue de 4%, donc o gn% =o g p1 - %MM q, c est-à-dire : o gn% =0,96o g On en déduit que la suite (o g ) est géométrique de raison 0,96 12 / 43

13 2 b) La suite (o g ) étant géométrique de raison 0,96 et de 1 er terme o M =189, on a : o g =o M 0,96 g, c est-à-dire o g =189 0,96 g 2 c) 2018 est l année de rang 6 : = ,94 Selon ce modèle, le coût en 2018 serait de 147, o initialisation 189>150 T 181,44>150 T 174,94>150 T 167,22>150 T 160,52>150 T ,11>150 T ,44 174,18 167,22 160,52 154,11 147,94 147, arrêt les valeurs affichées en sortie sont 6 et 147,94 Cela signifie que c est à partir de l année de rang 6, c est-à-dire en 2018 que le coût de la maintenance sera inférieure ou égale à On ajoute 7 termes consécutifs d une suite géométrique, de o M coût en 2012 à coût en =o M +o % +o " + =o M 1 0,96# 1 0,96 = ,96# A la fin de l année 2018, le généalogiste aura dépensé 1174, à 1 près pour la maintenance de son logiciel. 13 / 43

14 TESB 30/11/2012 Ex1 1. Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation. 0,9 0,30 0,20 0,50 v F w issues v x w Gain : B ,1 0,40 v v 3 0,60 x x 2 Données : /(5)= L =0,9 / %M z(v)=0,30 / z (w)=0,50 / z (x)=0,6 Données déduites : /( )=0,1 / z (x)=0,20 / z (v)=0,4 2.. il s agit de la justification d une donnée déduite : La somme des probabilités issues d un même nœud est égale à 1, on a : / z (x)=1 / z (v) / z (w)=1 0,3 0,5=0,2 La probabilité que le client demande des framboises sachant qu il achète une barquette de fruits à confiture est égale à 0,2. 3.a. /( x)=/( ) / z (x)=0,1 0,6=0,06 La probabilité que le client achète une barquette de framboises à déguster est 0,06. 3.b. x est la réunion des événements x et x qui sont incompatibles, /(x)=/( x)+/( x) Or /( x)=/() / z (x)=0,9 0,2=0,18 D où /(x)=0,18+0,06=0,24 Ainsi la probabilité que le client achète une barquette de framboises est égale à 0, / { ()= (z {) ({) = M,%? M,"- =0,75 Sachant que le client achète une barquette de framboises, la probabilité que ce soit une barquette de fruits à confiture est 0, /( x)=0,18 et /() /(x)=0,9 0,24=0,216 On observe que /( x) /() /(x) donc les événements etx ne sont pas indépendants. 6.a. Le bénéfice réalisé peut être de 2, 3 ou 5 /(P =2)= /( x)=0,06 /(P =3)=/( v)=/( ) / z (v)=0,1 0,4=0,04 /(P =5)=/()=0,9 D où la loi de probabilité : Valeur ~ Probabilité / ~ 0,06 0,04 0,9 14 / 43

15 6.b. Espérance de la loi de probabilité : ~ = / ~ ~ =0,06 2+0,04 3+0,9 5=4,74 ~ % 6.c. D après la q6b, le commerçant peut espérer gagner 4,74 par barquette vendue, De plus : 4,74 150=711 Il peut donc espérer gagner 711 en vendant 150 barquettes. EXERCICE II : (6,5 points) d après La réunion Juin 2011 Compléter le tableau d effectifs donné ci-dessous. Seconde Première Terminale Total Utilise internet régulièrement N utilise pas internet régulièrement Total On choisit au hasard un questionnaire d élève en supposant que ce choix se fait en situation d équiprobabilité. De plus, on dispose de la répartition des effectifs, donc on raisonne avec : ƒ T ˆS RSŠƒ ST ƒ T ˆS Œƒ T 1.. Déterminer la probabilité d obtenir le questionnaire d un élève de seconde qui utilise régulièrement internet. Il y a 760 élèves qui sont en seconde et utilisent internet (favorables) parmi les 2000 élèves (possibles), donc /( Ž)= =0,38 Ainsi, la probabilité d obtenir le questionnaire d un élève de seconde qui utilise régulièrement internet est 0, Calculer la probabilité de I sachant T, notée p T (I ), et interpréter ce résultat à l aide d une phrase. Il y a 350 utilisateurs d internet (favorables) parmi les 500 élèves de Terminale (possibles), donc / (Ž)=!M!MM =0,7 Ainsi, la probabilité de I sachant T est égale à 0,7 Ou : parmi les élèves de terminale, 70 % utilisent régulièrement internet, cela signifie que / (Ž)= #M %MM =0,7 Interprétation : sachant que le questionnaire est celui d un élève de terminale, la probabilité qu il soit d un utilisateur régulier d internet est 0, Calculer la probabilité que le questionnaire choisi soit celui d un élève qui n utilise pas internet. Il y a 260 élèves non utilisateurs d internet (favorables) parmi les 2000 élèves (possibles), donc /(Ž)= =0,13 La probabilité que le questionnaire choisi soit celui d un élève qui n utilise pas internet est : 0, / 43

16 DV TESB 14/12/ d après Amérique du Nord Juin Arbre pondéré : issues Dépenses en Entrée+car+boisson 0,8 P P 9 (=4+3+2) 0,7 0,2 P P P P 7( =4+3+0) 6( =4+0+2) 0,3 P P 4 ( =4+0+0) Donnée :/( )=0,3 / z (P)=0,8 Donnée déduite /()=0,7 / z (P)=0,2 Donnée supplémentaire /( P)=0,18 2 «le touriste achète une boisson, sachant qu il visite à pied» P 685h84 / /( P) z (P)= = 0,18 /( ) 0,3 =0,60 La probabilité que le touriste achète une boisson, sachant qu il visite à pied est : 0,60. 3 B est la réunion des événements P et P, de plus ces deux événements sont incompatibles donc /(P)=/( P )+/( P) or /( P)=/() / ()=0,7 0,8=0,56 et /( P)=0,18 D où /(P) =0,18+0,56=0,74 3.b. On a /(P)=0,74, donc pour 1000 visiteurs, on peut estimer que 740 achèteront une boisson. Chaque boisson est vendue 2, d où une recette prévisible de 1480, car 2 740= a. Les valeurs possibles de la dépense sont 9, 7, 6 et 4 selon la prestation choisie. 4.b. Loi de probabilité de la dépense * : /(* =9)=/( P)=0,56 /(* =6)=/( P)=0,18 D où la loi de probabilité de la dépense D 0 ~ /(0 =0 ~ ) 0,56 0,14 0,18 0,12 Total : 1 ~ - /(* =7)=/( P)=/() / z (P)= =0,14 /(* =4)=/( P)=/( ) / z (P)= =0, Espérance (0)= / ~ 0 ~ =0,56 9+0,14 7+0,18 6+0,12 4=7,58 ~ % L espérance est de 7,58.Interprétation : on peut espérer une dépense moyenne par touriste de 7,58 5.a. On répète 8 fois de manière identique et indépendante une même épreuve qui n a que 2 issues : «le touriste a visité le site en car» de probabilité /()=0,7 et «le touriste a visité le site à pied» de probabilité /( )=0,3 La variable aléatoire šdonnant le nb de touristes ayant visité en car suit une loi binomiale de paramètres 8 et 0,7 5.b. «exactement 7 touristes ont visité en car» : (š =7) /(š =7)=p 8 7 q 0,7# 0,3 % =8 0,7 # 0,3 % 0,20 5.c. Nommons Ž «au moins 1 touriste a visité à pied» Son contraire Ž «tous les touristes ont visité en car», c est-à-dire : (š =8) /(Ž )=/(š =8)=p 8 8 q 0,7? 0,3 M =1 0,7? 1=0,7? D où /(Ž)=1 0,7? 0,94 5.d. Espérance : (š)=8 0,7=5,6 En moyenne, pour 8 touristes, il y a 5,6 touristes qui visitent le site en car. 16 / 43

17 Bac Blanc TES 2012 lycée saint thomas d Aquin Oullins-Mornant EXERCICE I : (5,5points) 1-4 : 2,75 5 0,75 6 :2 d après Sujet national Septembre 2012 Dans cet exercice les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième. 1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation. Données : p(a)=0,6 ; p(b)=0,3 ; / ()=0,37 ; / ()=0,25 ; / z ()=0,12 Données déduites : /()=1 /(A) /(P)=0,1 / ( )=1 0,27=0,63 ; / ( )=1 0,25=0,75; / œ ž Ÿ=1 0,12=0,88 Issues 0,37 A A 0,6 0,63 A 0,3 0,25 B B 0,1 0,75 B 0,12 C C 0,88 C 2. Quelle est la probabilité que le lave-vaisselle provienne du site A et connaisse une panne avant 5 ans? /(A )=/(A) / ()=0,6 0,37=0,222 La probabilité que le lave-vaisselle provienne du site A et connaisse une panne avant 5 ans est égale à 0, Démontrer que la probabilité de l évènement S est 0,309. A, P, C, forment une partition de donc par la formule des probabilités totales /()=/(A )+ /(P )+/(C ) = 0,222 + /(B) / B ()+ /(C) / C () =0,222+0,3 0,25+0,1 0,12=0,222+0,075+0,012 Œ( ) =0, Le lave-vaisselle est tombé en panne avant 5 ans d utilisation; quelle est la probabilité qu il provienne du site B? ( ) / (P)= = M,M#! 0,243 ( ) M, ML La probabilité que la machine provienne du site B sachant que le lave-vaisselle est tombé en panne avant 5 ans est égale à 0, Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. L entreprise E assure le service après-vente : si le lave-vaisselle tombe en panne avant 5 ans d utilisation, elle finance la réparation, dont le prix est estimé à 110 euros par appareil réparé. Déterminer, pour l entreprise, le coût moyen par lave-vaisselle de ces réparations. Etablissons la loi de probabilité du cout C pour l entreprise Cout C en euros Probabilité 0,691 0,309 Total = 1 /( =0)=/()=1 0,309 = 0,691 /( =110)=/()=0,309 Le cout moyen est l espérance mathématique du cout C : ()=0 0, ,309=33,99 Le cout moyen du service après-vente est de 33,99 par lave-vaisselle. On accepte : 17 / 43

18 0, =33,99 donc 33,99 de coût moyen par lave-vaisselle 6. On prélève au hasard 6 dossiers de clients ayant acheté un et un seul lave-vaisselle provenant des sites industriels A, B, C. On admet que le nombre de clients de l entreprise est suffisamment important pour que les choix de dossiers soient indépendants. On désigne par š la variable aléatoire donnant le nombre de dossiers de lave-vaisselle tombé en panne avant 5ans. 6. a. Reconnaître la variable aléatoire š. Pour chaque dossier de lave-vaisselle, il y a deux issues : et. /()=0,309 et /( )=0,691 Il s agit d une épreuve de Bernoulli. Cette épreuve est répétée 6 fois de manière identique et indépendante. La variable aléatoire X qui donne le nombre de lave-vaisselle tombés en panne avant 5 ans suit donc une loi binomiale de paramètres = Œ=_, _` 6. b. Déterminer la probabilité d obtenir exactement quatre dossiers de lave-vaisselle ayant eu une panne avant 5ans. /(š =X)=p 4 X q0,309 0,691 g$ /(š =4)=ª 6 4 «0,309-0,691 " =15 0, ,691 " =0,065 La probabilité d obtenir exactement 4 dossiers de lave-vaisselle ayant eu une panne avant 5ans est 0, c. Déterminer la probabilité d obtenir au moins un dossier de lave-vaisselle ayant eu une panne avant 5ans. C est l évènement š 1 L événement contraire est «aucun dossier n est celui d un lave-vaisselle qui a eu une panne» : š =0 /(š 1)=1 /(š =0)=1 ª 6 0 «0,309M =1 /(š 1) 0,891 la probabilité d obtenir au moins un dossier de lave-vaisselle ayant eu une panne avant 5ans est 0,891 EXERCICE II : (5 points) NON SPECIALITE Les parties A et B sont indépendantes. Dans le Périgord, un producteur de truffes noires cultive, ramasse et conditionne de 0 à 45 kilogrammes de ce produit par semaine durant la période de production de la truffe. Chaque kilogramme de truffes conditionné est vendu 450. Partie A : (2pts) On désigne par le nombre de kilogrammes de truffes traités chaque semaine et par ( ) le coût unitaire de revient en euros. La fonction est définie sur l intervalle [0;45] et sa courbe représentative est la suivante : 1 Aucune justification n est demandée dans cette question 1. Estimer graphiquement : a) Le cout unitaire de revient lorsque l entreprise conditionne 10 kg de truffes. Pour 10 kg de truffes le cout unitaire est d environ 475 b) Le nombre de kilogrammes traités si le coût unitaire de revient est de 300. Pour un cout unitaire de 300, la production est de 15kg ou 45 kg. c) Le nombre de kilogrammes à conditionner pour que le coût unitaire de revient soit minimal. Quel est alors ce coût? 18 / 43

19 Le cout unitaire est minimal pour une production de 30 kg de truffes et le cout unitaire minimal est d environ 75 euros. 2 A l aide du graphique, déterminer pour quelles productions de truffes l exploitation est bénéficiaire? L exploitation est bénéficiaire si le cout unitaire ( ) est inférieur au prix de vente qui est de 450 par kg. On résout graphiquement l inéquation ( )<450 Les solutions sont les abscisses des points de la courbe dont l ordonnée est inférieure à 450. L entreprise est bénéficiaire pour une production comprise entre 11kg environ et 45 kg Partie B : (3pts) On admet dans la suite du problème que la fonction est définie sur [0 ;45] par ( )= ² Justifier que le coût de production total ( ) pour kilogrammes de truffes est : ( )= 60 " D 78 =57D.7,4 ID841é ( )= ( )= ( " ) ( )= 60 " Exprimer le bénéfice P( ) réalisé par le producteur pour kg de truffes conditionnés et vendus. Pé4é15 78 = D 78 P( )=450 ( 60 " +975 )= " 975 (V)= V + _V V 3 Déterminer la fonction dérivée P et montrer que : P ( )=( 3 +15)( 35) P( )= +60 " 525 P ( )= 3 " éo 7//746 ( 3 +15)( 35)= 3 " = 3 " =P ( ) Donc : P ( )=( 3 +15)( 35) 4 Etudier le signe de P ( ) P ( ) est un polynôme du second degré. Racines 3 +15=0 = %! =5 35=0 =35 Tableau de signe P ( ) Dresser le tableau de variation de la fonction P P ( ) P( ) Pour quelle quantité de truffes le bénéfice total du producteur est-il maximal? Quel est alors ce bénéfice maximal? Le bénéfice total maximal est de pour 35 kg de truffes Exercice III 1) Pour tout [ 4 ;2] ( )=1 ² + ² =( +1) ². 19 / 43

20 2.a) Signe de ( ): ² ( ) 0 + ² >0 sur 2.b) Sur l intervalle [ 4 ; 1[, ( )<0 et ( 1)=0 donc f est strictement décroissante sur [ 4 ; 1] Sur l intervalle ] 1; 2], ( )>0 et ( 1)=0 donc f est strictement croissante sur [ 1 ; 2]. 3) D après la question précédente on peut donner le tableau de variation suivant : x ( ) $- 1 2 " 1 f 1 j ³ Images : ( 4)= 4 $- 1 (2)=2 " 1 ( 1)= $% 1 7D ( 1)= 1 % 4.a) d après son tableau de variations, on sait que : * est continue sur [0 ; 2]. * est strictement croissante sur [0 ; 2]. * l intervalle image de [0 ;2] est [(0 ;(2)] * (0)= 1 et (2)=2 " 1 13,8 et 0 [(0);(2)]. Donc d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l équation ( )=0 admet une unique solution dans [0;2], on la note E 4.b) A l aide de la calculatrice ( ) 0,56 0,0196 E 0 0,56 +0,00791 On en déduit l encadrement : 0,56 E 0,57 à 0,01 près 5) D après la copie d écran on a : ( )=( +2) ². 1 Signe de R (V) ² ( ) 0 + ² >0 sur D après le signe de ( ), la fonction est concave sur [ 4 ; 2] et convexe sur [ 2 ;2] Exercice IV 1) µ _ =5000 D % =D M p1+? %MM q=d M 1,08=5400. Puis D " =D % p1+? %MM q=d % 1,08= / 43

21 2.a) La production augmente de 8% par semaine D g est la prod de la 4-ième semaine D gn% est la prod de la (4+1)-ième semaine Pour 4 entier variant de 1 à 52 : D gn% =D g 1,08. La suite (D g ) est donc géométrique de raison I =1,08 et de premier terme D M = b) D après la question 2.a), pour tout entier naturel n, D g =D M I g =5000 1,08 g. 2.c) On a I =1,08>1 et D M =5000 strictement positif, Donc la suite (D g ) est strictement croissante. 3.a) on a à l aide de la calculatrice : D L 9995<10000 et D %M 10795>10000 De plus la suite (D g ) est croissante Donc la production hebdomadaire dépassera flacons à partir de la dixième semaine. 3.b) On retrouve le résultat avec l algorithme 3. 4) Soit P la production cumulée des 10 premières semaines de l année =µ +µ +..+µ _. C est la somme des termes consécutifs d une suite géométrique donc =(1 ¹ 3.) 1 Ig]¹ º ¹» ¼ 1 I = ,08%M 1 1,08 =67500(1,08%M 1) 78227,43 La production sur les dix semaines est donc d environ unités à 10 près. OU La production sur les dix semaines est donc d environ unités à 10 près. Exercice de spécialité 1.a) (500 *+500 x P) grammes de farine pour une production de D danois, f feuilletés, S sablés et B brioches. Soit (500*+500x P)=. Le raisonnement est similaire pour les trois autres ingrédients et la seule équation matricielle qui transcrive cela est : A ½ =¾. 21 / 43

22 b) On pose dans cette question U = 3 alors à l aide de la calculatrice on obtient : A U = Il faudra donc 6650 grammes de farine, 3400 grammes de beurre, 53 œufs et 725 grammes de sucre 1.c) Dans la matrice A ½ les quantités de farine, beurre et sucre sont exprimées en grammes. 6,650 3,4 Les prix étant fixés au kg pour ces ingrédients on la transforme en la matrice X = où les quantités 53 0,725 de farine, beurre et sucre sont exprimées en kilogrammes. Soit P = ( 1,2 5 0,5 1) la matrices des prix associée. / %, vaut 0,5 car la douzaine d œufs coute 6 soit chaque œuf coute 0,5. š =25,7315 représente alors le cout total de fabrication. Ainsi le prix de revient des cinq Danois, deux Feuilletés, trois Sablés et six Brioches est d environ25,73. 2.a) On dispose de 400 kg de farine soit grammes, 500 grammes sont nécessaire par Danois, 500 g par feuilleté, 250 g par Brioche ainsi 500*+500x P = De plus 300 douzaines d œufs représentent =3600 œufs. On obtient de la même manière les trois autres lignes du système. On résout donc le système (S) : (S) AU = V avec V = 3600 Puis U =A V= Ainsi l entreprise peut fabriquer 200 danois, 200 Feuilletés, 400 sablés et 250 Brioches. TES B 05/02/2013 1h EXERCICE I : (5 points) On considère la suite (D g ) définie par D M =12 et D gn% = % - D g+3 D M =12 D % = 1 4 D M+3= =6 D " = 1 4 D %+3= =9 2 Montrons que la suite n est ni arithmétique, ni géométrique : 22 / 43

23 Méthode 1 : On a : D % =D M D " D %! " donc D g non arithmétique On a : D % % " D M.816 D " # "- D % donc D g non géométrique Méthode 2 : On a : D % D M D " D % " donc D g non arithmétique On a : i j i k % ".816i À i j - donc D g non géométrique EXERCICE II : (15 points) 1 0 % 40000>p1! %MM q " 38200>ª « Relation entre et N : Quantité rejetée en : 0 g Quantité rejetée en : 0 gn% D où 0 gn% p1! %MM q g200 C est-à-dire 0 gn% 0,95>0 g 200-5% et +200 tonnes 3.a Pour tout 4 de o gn% 0 gn% ,950 g ,950 g ,95ª0 g ,95 «23 / 43

24 =0,95(0 g 4000) =0,95 o g Pour tout 4, on a : o gn% =0,95o g, donc la suite o g est géométrique de raison 0,95 o M =0 M 4000= = b. La suite o g étant géométrique de raison 0,95, on a : o g =o M 0,95 g or o M =36000 donc o g = ,95 g 3.c. On a : o g =0 g g =o g or o g = ,95 g Donc 0 g = ,95 g d est l année de rang 5 ( car 2015 = ) 0! = ,95! En 2015, l entreprise rejettera tonnes, à 10 tonnes près. 4 a) pour tout 4 de, on a : 0 gn% 0 g = ,95 gn% ,95 g = ,95 g 0, ,95 g = ,95 g 0,95 1 = ,95 g 0,05 = ,95 g 4 b) 0,95>0 donc 0,95 g >0 donc ,95 g <0 donc 0 gn% 0 g <0 Ainsi la suite 0 g est décroissante, cela signifie que la quantité de rejets diminue d une année sur l autre. 5 la suite 0 g est décroissante, de plus 0 %M 25555> %% <25000 donc c est à partir de l année de rang 11, en 2021 que l entreprise aura réalisé son objectif. 6 limite de la suite 0 g : 1<0,95<1 donc 1. g NÂ 0,95g =0 donc 1. g NÂ ,95g =0 donc 1. g NÂ ,95g =4000 Donc 1. g NÂ 0 g =4000 Selon ce modèle, à très long terme, l entreprise rejetterait 4000 tonnes de déchets par an. 24 / 43

25 Corrigé DSMATHEMATIQUES TES Bleue et Pervenche 13/02/ H EXERCICE I : (5 points) d après La Réunion juin 2005 Le 1 er janvier 2005, une grande entreprise compte employés. Une étude montre que lors de chaque année à venir, 10% de l effectif du 1 er janvier partira à la retraite au cours de l année. Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, l entreprise embauche 100 jeunes dans l année. Pour tout entier naturel n, on appelle u n le nombre d employés de l entreprise le 1 er janvier de l année (2005+n). 1.a. Expliquer pourquoi on a, pour tout entier naturel 4, on a : D gn% =0,9D g +100 Nombre d employés en : D g Nombre d employés en 2005+(4+1) : D gn% D où D gn% =p1 %M %MM qd g+100 donc D gn% =0,9 D g % et +100 jeunes 1.b. Pour connaître l évolution du nombre d employés, on utilise un tableur. Voici un extrait de la feuille de calcul. Donner la formule de calcul qui a été écrite dans la case B5 pour automatiser le calcul. La formule en B5 est =0,9 P4+100 Conjecture sur le sens de variation de la suite (D g ) : Les premières valeurs de la suite diminuent au fil des années, on conjecture alors que la suite est décroissante A n B u n Pour tout entier naturel 4, on pose : o g =D g D g =o g a. Démontrer que la suite o de terme général o g est géométrique. Préciser sa raison. Pour tout 4 de o gn% =D gn% 1000 =(0,9D g +100) 1000 =0,9D g 900 =0,9(o g +1000) 900 car D g =o g =0,9o g =0,9 o g Pour tout, on a : Š N =_,`Š, donc la suite (Š ) est géométrique de raison _,` 2.b. Exprimer o g en fonction de 4 En déduire que pour tout entier naturel, D g =500 0,9 g o M =D M 1000=500 La suite (o g ) étant géométrique de raison 0,9, on a : o g =o M 0,9 g donc Š = _,` D g =o g Donc µ = _,` + 2.c. Déterminer la limite de la suite D. 0<0,9<1 donc 1. g NÂ 0,9g =0 donc 1. g NÂ 500 0,9g =0 donc 1. g NÂ (500 0,9g +1000)=1000 Donc 1. D g =1000 g NÂ Selon ce modèle, à très long terme, l entreprise aura 1000 salariés. 25 / 43

26 3. Démontrer que pour tout entier naturel 4, D gn% D g = 50 0,9 g En déduire le sens de variation de la suite D. D gn% D g =500 0,9 gn% ,9 g 1000 =500 0,9 0,9 g 500 0,9 g =450 0,9 g 00 0,9 g =0,9 g ( ) = 50 0,9 g 0,9>0 donc 0,9 g >0 donc 50 0,9 g <0 donc D gn% D g <0 Ainsi la suite (µ ) est décroissante, cela signifie que le nombre de salariés continue à diminuer une année sur l autre. 4. En 2005 l entreprise a 1500 salariés, avec un sureffectif de 300 personnes L entreprise ne sera plus ne sureffectif lorsque l effectif sera inférieur ou égal à1200 On cherche la plus petite valeur de 4 pour que D g 1200 La suite (D g ) est décroissante on procède donc par balayage pour trouver le seuil. Avec la calculatrice, D? 1215>1200 D L 1194<1200 donc c est à partir de l année de rang 9, en 2014 que l entreprise ne sera plus en sureffectif. EXERCICE II : (5points) NON SPECIALITE d après Nouvelle Calédonie Novembre 2012 issues 0,3 0,5 A ¾ 0,20 0,8 0,6 0,4 ž Ã A Ã A ž Ä A Données :/(A)= M!M =0,3 ; /(¾)= =0,5 %MM %MM / ()=0,20,/ ()=0,6 Données déduites : /(P)=0,2 ; / ( )=0,8 ; / ( )=0,6 0,2 ž Ä A ž P A Donnée supplémentaire : /()=0,4 P ž P A ž 1. /(P)=1 /(A) /(¾)=1 0,3 0,5=0,2 Ainsi, la probabilité que le touriste interrogé ait voyagé en bateau pour se rendre en Angleterre. 2. a. Exprimer à l aide d une phrase l évènement A A : «le touriste a voyagé en avion et est resté plus d une semaine en Angleterre». 2. b. Déterminer les probabilités /(A ) et /(¾ ). /(A )=/(A) / ()=0,3 0,2=0,06 /(¾ )=/(¾) / ()=0,5 0,6=0,3 3. Montrer que /(P )=0,04 26 / 43

27 est la réunion des évènements A, ¾ et P qui sont deux à deux incompatibles, Donc /()=/(A )+/(¾ )+/(P ) D où /(P )=/() /(A ) /(¾ )=0,4 0,06 0,3=0,04 4. «le touriste interrogé a voyagé en bateau sachant qu il est resté plus d une semaine en Angleterre» / (P)= /(P ) = 0,04 /() 0,4 = 1 10 =0,1 Ainsi, la probabilité que le touriste interrogé ait voyagé en bateau sachant qu il est resté plus d une semaine en Angleterre est égale à 0,1. 5. On interroge au hasard 10 touristes ayant répondu à l enquête de façon indépendante. On suppose que le nombre de personnes ayant répondu à l enquête est suffisamment grand pour assimiler l interrogation au hasard à un tirage avec remise. On désigne par š la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de touristes étant restés en Angleterre plus d une semaine. 5. a. Justifier que la variable aléatoire š suit une loi binomiale de paramètres 10 et 0,4. On répète 10 fois de manière identique et indépendante une même épreuve (interroger un touriste), cette épreuve n a que 2 issues «il est resté en Angleterre plus d une semaine» de probabilité 0,4 et de probabilité 0,6. Donc la variable aléatoire X qui comptabilise le nombre de touristes restés plus d une semaine en Angleterre suit une loi binomiale de paramètres 10 et 0,4. 5. b. «exactement un touriste resté en Angleterre plus d une semaine» : (š =1) /(š =1)=p 10 1 q 0,4% 0,6 L =10 0,4 0,6 L 0,040 Ainsi, la probabilité que parmi ces dix touristes se trouve exactement un touriste resté en Angleterre plus d une semaine est 0, c. «au moins un touriste resté en Angleterre plus d une semaine» : (š 1) /(š 1)=1 /(š =0)=1 p 10 0 q 0,4M 0,6 %M =1 1 0,6 %M 0,994 Ainsi, la probabilité que parmi ces dix touristes se trouve au moins un touriste resté en Angleterre plus d une semaine est 0, d. Calculer l espérance de š. Interpréter la valeur obtenue. (š)=10 0,4=4 En moyenne, sur 10 personnes interrogées, on aura 4 personnes qui auront séjourné plus d une semaine en Angleterre. EXERCICE III : (5 points) Partie A : Résoudre les équations suivantes : a) Pour ]0 ;+ [ 2 4 1=0 4 = 1 2 = % " = La solution est j À = Les deux parties sont indépendantes. b) Pour $M,!² =3 0,5 = 43 = 1 0,5 43= 2 43 La solution est / 43

28 Partie B : On considère une fonction définie et dérivable sur l intervalle [ 2 ;4. On donne la courbe. La courbe passe par les points P0;2 et A1 ;. Elle admet au point A une tangente parallèle à l axe des abscisses. La tangente ¾ au point P à la courbe passe par le point *2 ;0. 1. En utilisant les données graphiques, donner sans justifier : a. Le nombre de solutions sur l intervalle 2 ;4 de l équation 1 et un encadrement d amplitude 0,25 des solutions éventuelles. L équation 1 a deux solutions -2 b % b-1,75 et 1 b " b1,25 b. La valeur de (au point de la courbe d abscisse 0, la tangente est horizontale donc son coefficient directeur est égal à 0) c. Le signe de la dérivée de la fonction f sur l intervalle 2 ; déduit d. Le coefficient directeur de la tangente ¾ est égal à Æ $% 1 ² % e. Signe de : Donner en justifiant celle des 3 courbes (C 1 ), (C 2 ) et (C 3 ) qui représente la fonction dérivée de la fonction. lu La solution cherchée est l une des trois courbes, aussi on procède par élimination - D après 1c, ne s annule qu en 1 donc la courbe de la dérivée coupe l axe des absisses en 1,donc on élimine la courbe (C 2 ) qui coupe l axe des abscisse deux fois en 1 et 1,5 - D après 1d, D P Donc la courbe de la dérivée passe par le point de cooordonnées 0 ;1 On élimine la courbe (C 1 ) qui passe par le point de coordonnées 0,1,5 La courbe de la dérivée est donc la courbe (C 3 ) / 43

29 EXERCICE IV : (5 points) On considère un produit dont le prix unitaire, exprimé en euros, est. - La demande ( ) est la quantité de ce produit, exprimée en centaine d unités, que les consommateurs sont prêts à acheter au prix unitaire de euros. - L offre est la quantité de ce produit, exprimée en centaine d'unités, que les producteurs sont prêts à vendre au prix unitaire de euros. Prix unitaire V euros. Quantité de produit, exprimée en centaine d unités. On considère que la demande, exprimée en centaine d'unités, pour un prix unitaire de est la fonction définie sur l intervalle Ž =[1 ;3] par : ( )=20 $M,#² euros est ( ) où De même, l offre, exprimée en centaine d unités, pour un prix unitaire de fonction définie sur Ž par : ( )=0,5 +3,5 1. a. Dérivée : ( )=20 $M,#² donc ( )=20 ( 0,7) $M,#² = 14 $M,#² euros, est ( ) où est la Signe de ( ) 14<0 $M,#² > ( )<0 1.b. En déduire le sens de f sur I. La fonction est strictement décroissante sur Ž 1. c. Sur le graphique ci-joint, est tracée la courbe représentant la fonction f. Tracer la courbe Δ représentant la fonction. (1)=0,5 1+3,5=4 (3)=0,5 3+3,5=5 1. d. Graphiquement, la valeur arrondie à 0,1 près, des coordonnées du point d intersection A des deux courbes : A( 2,1 ; 4,5) 2. Soit h la fonction définie sur Ž par : h( )=( ) ( ). 2. a. Montrer que la fonction h est strictement décroissante sur Ž. Dérivée : h( )=20 $M,#² (0,5 +3,5)=20 $M,#² 0,5 3,5 n oubliez pas les parenthèses h ( )= 14 $M,#² 0,5 Signe : prouvons que pour tout réel 0 Ž, h ( )< $M,#² <0 ( 518) 0,5< / h ( )<0 Donc h est strictement décroissante sur Ž Tableau de variations de la fonction h : 1 3 h ( ) - h( ) 20 $M,# $",% 5 h(1)=20 $M,# 4 5,93 h(3)=20 $",% 5 2,55 29 / 43

30 2. b. Justifions que l équation h( )=0 admet une seule solution E sur I. La fonction h est continue et strictement décroissante sur d1 ;3e L intervalle image est dh(3) ;h(1)e attention à l ordre : la fonction est décroissante! avec h(1) 5,93 h(3) -2,55 De plus 0 appartient à dh(3) ;h(1)e Donc d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l équation h( )=0 admet une seule solution E sur d1 ;3e h( ) 2,11 0,011 E 0 2,12-0,025 Une valeur approchée à 10 $" près est 2,11 3. En faisant le lien entre les questions 1) et 2) et sachant que le prix d équilibre d un produit est le prix pour lequel l offre et la demande sont égales, donner ce prix d équilibre, au centime près, pour ce produit puis la quantité d équilibre correspondante, arrondie à une unité près. Le prix pour lequel l offre est égale à la demande est l abscisse du point d intersection A des deux courbes de la demande et de l offre. D après 1d, 2,1 De plus ( )=( ) h( )=0 =E Or d après 2b, E 2,11 La demande ( ) est alors égale à l offre ( )=0,5 +3,5 (2,11) 4,555 (2,12) 4, D41é6 Donc le prix d équilibre est égal à 2,11 au centime près (par défaut) La quantité mise sur le marché est de 455 unités à 1 unité près (par défaut). y A 3 2 C x 30 / 43

31 12/03/2013 TES Bleue Ex 1 Soit la fonction définie sur [0,5 ; + [ par ( )= + 4 a) Pour tout de [0,5 ; + [ ( )= % = = 4 ² b) Etudier le signe de ( ) 0, ( ) est un produit!!! Pour dériver Pensez à appliquer (D.o) =D.o+o.D c) Dresser le tableau de variations de la fonction 0,5 1 + ( ) 0 + (0,5) ( ) 0 1 Images : (0,5)=p % " q= % + % " " lnp% " q= % + % ( ln2 " " )= % % ln2 0,85 " " (1)= 1+1ln1= 1 d) Calculer la valeur exacte de () ()= ln = + 1=0 e) D après le tableau de variation complété avec et sachant (0,5)<0, on peut dresser le tableau de signe de ( ) 0,5 + ( ) 0 + Ex 2 : 1 Exprimer en fonction de 42 : 8 = 432=ln(2! )= ÉÊ 9 = 40,25=lnp % - q= ln(4)= ln(2" )= ÉÊ 2 Exprimer en fonction de ln(2) ln(3) : 5 =lnp %@ L q=ln(16) ln(9)=ln(2- ) ln(3 " )=céê ÉÊ Ex 3 : Résoudre les équations suivantes a) ² =5 =ln5 la solution de l équation est ln5 b) 4 = 3 = $ la solution de l équation est $ c) ( 4 ) ( 1+ 4 )=0 4 =0 7D 1+ 4 =0 =1 7D 4 =1 =1 7D = les solutions de l équation sont 1 et d) 1 0,5 4 =4 0,5 4 =3 4 = 6 = $@ la solution de l équation est $@ Ex 4 : Etudier le signe de 2 4, on dressera le tableau de signe Pour ]0 ;+ [ 2 4 =0 4 =2 = " 2 4 >0 4 > 2 < " 0 ² Ex 5 : Déterminer le plus petit entier 4 tel que 0,8 g 0,5 0,8 g 0,5 ln(0,8 g ) ln(0,5) 4ln0,8 ln(0,5) 4 ln(0,5) ln(0,8) 583ln(0,8)4é81 De plus ËÌ(M,!) ËÌ(M,?) 3,1 Le plus petit entier 4 tel que 0,8 g 0,5 est / 43

32 TES Bleue et Pervenche 27/03/2013 3H EXERCICE I : (5 points) Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes PARTIE A Le tableau ci-dessous donne la récolte de bois en France en 2005 en milliers de. suivant que l on a affaire à des feuillus ou des conifères destinés au bois d œuvre ou au bois d industrie. Feuillus Conifères Total Bois d œuvre Bois d industrie Total Source : Ministère de l Agriculture et de la Pêche - SCEES 2005 Dans cette partie, les pourcentages seront arrondis à 1%. 1. Déterminer le pourcentage de feuillus dans la récolte totale. = ,7 Il y a 35 % de feuillus dans la récolte. 2. Déterminer, parmi les conifères, le pourcentage de bois destiné à l industrie. = , Il y a 31% de bois d industrie parmi les conifères. PARTIE B 1. Traduire toutes les données de l énoncé à l aide d un arbre pondéré (on ne demande aucune explication). issues 0,30 x 0,45 0,55 Ž Ž x Ž x Ž 0,70 C Ž Ž Ž Ž Données : /()= #M %MM =0,7 / {(Ž)=0,45 Données déduites : /(x)=0,3 / { (Ž )=0,55 Donnée supplémentaire : /( Ž )=0,585 La probabilité qu un lot pris au hasard soit destiné au bois d œuvre est de 0, Montrer que la probabilité de l évènement I C est égale à 0,45. Interpréter ce résultat. /(Ž)=1 /(Ž )=1 0,585=0,415 Ž est la réunion de x Ž et Ž qui sont deux événement s incompatibles Donc /(Ž )=/(x Ž)+/( Ž) On en déduit que /( Ž)=/(Ž) /(x Ž) /(x Ž)=/(x) / { (Ž)=0,30 0,45=0,135 D où /( Ž)=0,415 0,135=0,28 Interprétation : la probabilité qu un lot pris au hasard soit destiné à l industrie et de conifères est 0, / 43

33 3. Le lot pris au hasard est destiné à l industrie. Quelle est la probabilité qu il soit constitué de conifères? / Í ()= /( Ž) = 0,28 /(Ž) 0,415 0,675 Sachant qu un lot est destiné à l industrie, la probabilité qu il soit constitué de conifères est 0,675 à 0,001 près. 4. Quatre lots sont prélevés au hasard. Vue la grande quantité de lots présents chez le grossiste, on peut assimiler ce prélèvement à une succession de quatre tirages identiques et indépendants. On répète 4 fois de manière identique et indépendante une même épreuve (prélever un lot), cette épreuve n a que 2 issues Ž «c est un lot de bois d oeuvre» de probabilité 0,585 et Ž «c est un lot de bois d industrie» de probabilité 0,415. Donc la variable aléatoire X qui comptabilise le nombre de lots de bois d oeuvre suit une loi binomiale de paramètres 4 et 0,585. «au moins un lot est constitué de bois d œuvre» : (š 1) Son contraire «aucun lot n est constitué de bois d oeuvre» /(š =0)=p 4 0 q 0585M 0,415 - =0,415 - /(š 1)=1 /(š =0)=1 0,415-0,970 La probabilité qu au moins un lot soit constitué de bois d oeuvre est 0,970. EXERCICE II : (5 points) Dans une entreprise, le résultat mensuel, exprimé en milliers d euros, réalisé en vendant x centaines d objets fabriqués, est modélisé par la fonction B définie et dérivable sur l intervalle [0,1 ; 10] par : P( )=10 1+ln ( ) Si B (x) est positif, il s agit d un bénéfice ; s il est négatif, il s agit d une perte. 1.a.. Traduire sur le graphique donné en annexe, illustrant la courbe représentative de la fonction B, les réponses 3, 4 et 5 renvoyées par le logiciel de calcul formel. 1.b.. Justifier la réponse 3 renvoyée par le logiciel de calcul formel. Interpréter cette valeur en terme de résultat mensuel pour l'entreprise. [0,1 ; 10] P( )= ln( ) =0 1+ln( ) =0 1+ln( )=0 ln( )= 1 = $% =exp ( 1) Interprétation : Le bénéfice est égal à 0 pour = $% = centaine d objets soit 0,3679 centaines d objets : % 36,79 objets. Donc le bénéfice ne peut jamais exactement être égal à 0. Il est environ égal à 0 pour 37 objets. 33 / 43

34 2. a.. Retrouver par le calcul l expression de P ( ) P( )=10 %NËÌ (²) ² 10 est un coefficient multiplicateur p i Ï q = ið Ï$Ï Ð i D( )=1+ 4 Ï À o( )= D ( )= % o ( )=1 ² 1 1 (1+ln( )) P ( )=10 = =10 4 = 10 ln " " " 2 2.b.. Déterminer le sens de variation de la fonction P. On cherche le signe de la dérivée P ( )= 10 ln 2 avec [0,1 ; 10] Racine : 4 =0 =1 signe de 4 : 4 >0 >1 0, " + + P ( ) D où le sens de variation : la fonction B est strictement croissante sur [0,1 ; 1] et strictement décroissante sur [1 ; 10] 2.c.. En déduire le nombre d objets pour lequel le bénéfice mensuel B est maximal. Tableau de variation 0, P ( ) P( ) 10 B(0,1) B(10) %NËÌ(%) B(1)= 10 =10 % D après le tableau de variation, le bénéfice B est maximal pour =1 en centaines soit pour 100 objets. Le bénéfice maximal est égal à 10 milliers d euros : euros. 3.a.. Démontrer qu'une primitive de la fonction B sur l'intervalle [0,1 ; 10] est la fonction F définie sur [0,1 ; 10] par x( )=5(ln )(ln +2) On montre que la dérivée de F est égale à B. (Do) =D o+o D D( )=5 4 o( )= 4 +2 D )=! o ( )= % ² ² x ( )= 5 (ln +2) = = = =P( ) Donc x ( )=P( ) Donc F est une primitive de B sur [0,1 ; 10] %,! 3.b.. Calculer Ñ P( )0 %,! Ò P( )0 M,! M,! puis en donner une valeur approchée à 10 3 près. =[x( )] %,! M,! =x(1,5) x(0,5) 8o x /31.11o 0 P 0é D6. %,! Ò P( )0 M,! %,! Ò P( )0 M,! =5(ln1,5)(ln1,5+2) 5(ln0,5)(ln0,5+2) 9, / 43

35 EXERCICE III : (6 points) Partie A : 1 On considère la fonction définie sur [3 ;700] par ( ) = ² On donne le tableau de variations de cette fonction. 3 E 700 ( ) + (700) ( ) 0,5 Les parties A, B et C de cet exercice sont indépendantes (300) a) Montrer que l équation ( )=0,5 admet une unique solution dans [3;700], on la note E. D après le tableau de variation la fonction f est continue et strictement croissante sur l intervalle [3;700]. (300) 0,35 <0,5 (700) 0,96 >0,5 Donc 0,5 appartient à l intervalle image L intervalle image [(3);(700)]. Donc d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation ( )=0,5 admet une solution unique E dans [3;700]. (on place E dans le tableau et son image 0,5) b) Déterminer la valeur approchée par excès à l entier près. Par balayage la valeur approchée de E par excès à l entier près est 13 ( ) 12 0,491 E 0,5 13 0,503 2 L organisation chargée de vendre les billets pour assister aux différentes épreuves d un grand évènement sportif a mis en vente ces billets environ deux ans avant le début officiel des épreuves. a) On cherche la plus petite valeur entière de telle que ( ) 0,5. La fonction est croissante et ( ) 0,5 pour 13, d après l encadrement de E : 13 jours seront nécessaires à la vente de 50% de l ensemble des billets. b) On considère l algorithme suivant (la fonction f est celle qui est définie en 1 Initialisation : Affecter à X la valeur 3. Affecter à Y la valeur (X). Saisie : Afficher : «Entrer un nombre P compris entre 0 et 1». Lire P. Traitement : Tant que Y < P Affecter à X la valeur X +1. Affecter à Y la valeur f (X). Fin du Tant que Sortie : Afficher X. Par balayage, l algorithme cherche la plus petite valeur entière de telle que ( ) 0,9. Il commence à X=3 jours et ajoute à chaque boucle un jour de plus. Pour chaque valeur de X, il teste f(x) par rapport à 0,9 qui représente 90% le pourcentage attendu. L algorithme affiche X= 249. Cela signifie que 249 jours sont nécessaires à la vente d au moins 90% de l ensemble des billets. c) Si l utilisateur de cet algorithme choisit 0,5 comme valeur de, quelle valeur de š apparaîtra à la sortie de l algorithme? D après a), à la sortie, l algorithme affichera X= 13 ²N!Óg² 35 / 43

36 Partie B : On considère la suite (8 g ) définie par a 0 = et 8 gn% =0,88 g +4000, pour 4 entier naturel. On considère la suite (D g ) définie, pour tout nombre entier naturel par : D g = g. a) Montrer que la suite (D g )est une suite géométrique, dont on précisera la raison et le premier terme. Pour tout 4 de D gn% = gn% = ,88 g = ,88 g 4000 = ,88 g = , D g car 8 g =20000 D g = ,8D g =0,8D g Pour tout, on a : µ N =_,`µ, donc la suite µ est géométrique de raison _,Ô b) Soit n un nombre entier naturel ; exprimer D g en fonction de 4 D M = M =13000 La suite D g étant géométrique de raison 0,8, on a : D g =D M 0,8 g donc µ = _,Ô c) En déduire que, pour tout nombre entier naturel 4, on a : 8 g = ,8 g. 8 g =20000 D g Donc S = _,Ô. Partie C : Aucune justification n est demandée. On considère trois nombres I %,I ",I et trois fonctions %, ", définies sur par : % =I % ², " =I " ² et =I ². Leurs courbes représentatives %, ", sont données. a) Lire I % On calcule : % 1=I % % =I % On lit % 1=2 donc Õ = Rappel : Pour =I ², on a 1=I % =I ; il suffit de lire l image de 1 pour avoir la valeur de I b) Ranger I %,I ",I dans l ordre croissant. 1< " 1< % 1 Donc I <I " <I % y C 1 C 2 1 C x 36 / 43

37 EXERCICE IV : (4 points) Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante. La fonction f est définie sur l ensemble des nombres réels par ( )= ² +1 On admet qu elle est dérivable sur l ensemble des nombres réels. On appelle Γ la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d un repère orthonormal. 1. L image de 42 par la fonction est : (a) % + 42 (b) (c) 3 42 (d) " 2. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe Γ au point d abscisse 1 est : (a) 1 (b) (c) 1 (d) 0 3. Une primitive sur l ensemble des nombres réels de la fonction est la fonction F définie sur l ensemble des nombres réels par : (a) x( )= ² 1 (b) x( )= ² % " + (c) x( )= "² % " + " " (d) x( )= % " "² 1 4. L inéquation ( ) 1 admet sur l ensemble des nombres réels : (a) Aucune solution (b) Une solution (c) deux solutions (d) une infinité de solutions Réponses : 1-c 2-a 3-b 4-a 1 ( 42)= Óg" 42+1=2 42+1= Le coefficient directeur de la tangente à la courbe Γ au point d abscisse 1 est le nombre dérivé : (1) ( )= ² 1 donc (1)= % 1= 1 On peut aussi utiliser la calculatrice : la tangente a pour coefficient directeur 1,718 or parmi les valeurs proposées, seule 1 1,718 3 On peut calculer une primitive de cette somme " + ( )= ² +1 donc x( )= ² % " 4 Méthode calculatrice : Les solutions de l inéquation ( ) 1 sont les abscisses des points de ayant une ordonnée inférieure ou égale à 1. Aucun point convient : l inéquation n a pas de solution Méthode calcul : on cherche les variations de la fonction Signe de ( ) : ² 1>0 ² >1 ² > M >0 0 + ( ) 0 + ( ) 2 Le minimum de la fonction sur est 2, donc pour tout réel, on a : ( ) 2, donc l inéquation ( ) 1 n a pas de solution dans 37 / 43

38 TES Bleue 18/04/2013 Exercice 1 : Soit š une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. 1 Calculer au millième ( 0,5<š <1,3) 0,595 (š 1)=0,5 ( 1<š<0) 0,159 /(š 1,8)=0,5+/( 1,8<š<0) 0,036 2 Déterminer le réel 8 tel que (š )=0,2 (š )=0,2 donc Œ(Ø<V)=_,Ô donc 0,84 au centième près 3 Quel est, à 10 $" près le réel 8 qui vérifie ( 8 š 8)=0,95? On a vu dans le cours ( 1,96 š 1,96)=0,95 d où S=,` Exercice 2 : La production laitière annuelle en litres des vaches laitières de la race FFPN (Française frisonne pis noir) peut être modélisée par une variable aléatoire à densité X suivant la loi normale Ù( 6000 ;400²) 1. Déterminer la production laitière annuelle moyenne d une vache de cette race. Les résultats seront arrondis au millième le plus proche. 2. a. Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise moins de litres de lait par an. b. Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise entre et litres de lait par an. 3. Sachant qu une vache produit plus de 6000 litres de lait par an, quelle est la probabilité qu elle produise moins de 6200 litres par an? 4. Les résultats seront arrondis à l'entier le plus proche. Déterminer la production maximale de lait prévisible des 30% de vaches les moins productives du troupeau. 1 (š)=ú=6000 donc la production moyenne de ces vaches est de 6000 litres de lait par an. 2 a) /(š <5800)=0,5 /(5800<š<6000) 0,309 La probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise moins de 5800litres de lait par an est 0, b) /(5900<š<6100) 0,197 La probabilité qu'une vache de cette race produise entre et litres de lait par an est 0, «(š 6200) sachant (š 6000)» / (ÛÜ@MMM) (š 6200) = / (š 6000) (š 6200)Ÿ /(š 6000) = /(6000 š 6200) /(š 6000) Or /(6000 š 6200) 0,194 et /(š 6000)=/(š >Ú)=0,5 D où / (ÛÜ@MMM) (š 6200)= M,%L%- 0,383 M,! 4 O n cherche 8 tel que /(š <8)=0, Les 30% de vaches les moins productives produisent moins de 5790 litres de lait par an 38 / 43

39 DS6 15/05/2013 TES Bleue et Pervenche EXERCICE I : (7 points) d après BTS CGO 2011 A. Probabilités conditionnelles. Un garagiste a acheté 70% de son stock de pneus à un 1 er fournisseur et 30 % à un 2 ème fournisseur. Il observe que : 5 % des pneus provenant du premier fournisseur ont un défaut, 10% des pneus provenant du deuxième fournisseur ont un défaut. On prélève au hasard un pneu dans le stock. Tous les pneus ont la même probabilité d être prélevés. On considère les événements suivants : F : «le pneu provient du premier fournisseur» ; G : «le pneu provient du deuxième fournisseur» ; D : «le pneu a un défaut». 1. Déduire des informations figurant dans l énoncé les probabilités /(x),/(w),/ { (*) / Ý (*) /(x)=0,7 ; /(w)=0,3 ; / { (*)=0,05 / Ý (*)=0,1 2. a. Calculer les valeurs exactes des probabilités /(x *)et /(w *) /(x *)=/(x)./ { (*)=0,7 0,05 =0,035 /(w *)=/(w)./ Ý (*)=0,3 0,1 =0,03 Donc Œ(Þ ß)=_,_ et Œ(à ß)=_,_ 2. b. Calculer (*) * est la réunion de x * et w *, or ces deux événements ont incompatibles, /(*)= /(x *)+ /(w *)=0,035+0,03=0,065 Œ(ß)=_,_ B. Loi binomiale. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. Le choix des dix pneus est assimilé à un tirage sans remise Ainsi l expérience choisir un pneu est répétée dix fois de façon identique et indépendante. Cette expérience n a que deux issues : «Succès» * : le pneu a un défaut, avec /(*) =0,065 «Echec» *ž avec /(*ž)=1 0,065= 0,935 donc la variable aléatoire Ø égale au nombre de pneus qui ont un défaut suit un loi binomiale de paramètres = _ et Œ=_,_ 2. Calculer la probabilité qu aucun pneu de ce prélèvement n ait un défaut. Arrondir à 10 $- /(š =0)=ª 10 0 «0,065M (1 0,065) %M =1 1 0,935 %M /(š =0) 0,5106 la probabilité qu aucun pneu de ce prélèvement n ait un défaut est égale à _, _ arrondi à _ $c 3. Calculer la probabilité qu au plus deux des pneus choisis présentent un défaut. Arrondir à 10 $-. On cumule (š 2)= /(š =0)+/(š =1)+/(š =2) (š 2) =/(š =0)+/(š =1)+/(š =2) =ª 10 0 «0,065M 0,935 %M +ª 10 1 «0,065% 0,935 L +ª 10 2 «0,065" 0,935? 0,9767 Avec la calculatrice dans Y= binomfrep( 10, 0.065, X) ou binom cdf en français (š 2) 0,9767 la probabilité qu au plus deux des pneus choisis présentent un défaut est égale à 0,9767 On peut aussi calculer les trois probabilités et les additionner. C. Approximation d une loi binomiale par une loi normale. 1. Justifier les valeurs de Ú et á. Y suit une loi binomiale de paramètres 4=400 et / =0,2 Donc son espérance est (â)= 4/ = 400 0,2=80 Son écart-type á(â)=ã4/(1 /)= 400 0,2 0,8=8 Donc on peut approcher la loi de Y par une loi normale Z de paramètres Ú = 80 et á =8 39 / 43

40 2. Calculer /(72 ä 88). ä suit une loi normale de paramètres 80 et 8 Avec la calculatrice normalfrep(72, 88, 80, 8) Œ(å æ ÔÔ) _, Ô å 3. Calculer la probabilité que cette campagne promotionnelle ait amené au moins 100 clients. /(ä 100)=0,5 /(80 ä<100) 0,0062 Ainsi : Œ(æ ) _, EXERCICE II : (3 points) Les parties A et B sont indépendantes Partie A : Etude d un premier modèle 1 Nature de la suite (D g ). Préciser sa raison Nombre de millions de tonnes en : D g -9,3 millions Nombre d employés en 2006+(4+1) : D gn% D où D gn% =D g 9,3 donc la suite (D g ) est arithmétique de raison 9,3 2 Exprimons D g en fonction de 4. La suite (D g ) est arithmétique de raison 9,3, donc D g =D M +4 ( 9,3) or D M =547 Donc D g =547 9,34 3 on cherche le plus petit entier 4 tel que D g <100, pour cela on résout : D g < ,34 <100 9,34< 447 4> --# Or --# 48,06 L, L, Selon ce modèle, c est à partir de l année de rang 49, c est-à-dire en 2055 que les émissions de gaz à effet de serre en France deviendront inférieures à cent millions de tonnes. Partie B : Etude d un second modèle Méthode 1 : Sens de variation : o g =547 (0,969) g 0<0,969<1 547>0 donc la suite (o g ) est décroissante Table de valeurs : o! 103,07>100 o!- 99,878<100 Méthode 2 : On résout o g < ,969 g <100 0,969 g < ln(0,969 g )<lnª «4 ln(0,969)<lnª «4> lnp q ln(0,969) 73 lnp q ln(0,969) 53,96 Selon ce modèle, c est à partir de l année de rang 54, c est-à-dire en 2060 que les émissions de gaz à effet de serre en France deviendront inférieures à cent millions de tonnes. EX III : (3 points) une bonne réponse rapporte 0.75 point et qu une réponse fausse enlève 0,25 point. L absence de réponse n est pas pénalisée. Aucune justification n est demandée. Sur votre copie, recopier le n de la question et la réponse choisie. On considère la fonction définie sur [ 1 ;4] par ( )= $². On donne des informations obtenues à l aide d un logiciel de calcul formel et la courbe représentative de 40 / 43

41 y x Réponse a Tangente d équation :, = (8)( 8)+(8) 8 =0 ;(0)=0 ( )=(1 ) $² 0 8/3è6 58 5D (0)=1 M =1 D où l équation, = , = 2 Réponse b On cherche la fonction F dont la dérivée est égale à On dérive chaque primitive proposée avec la formule (Do) =D o+o D. 8) x( )= % $² " D( )= % " " o( )= $² D ( )= o ( )= $² x ( )= $² + 1 ( $² )= $² 1 $² = $² ( " ) ( ) b) x( )= (1+ ) $² x ( )= $² (1+ )( $² )= $² + $² + $² = $² =( ) Donc x est une primitive de Une seule bonne réponse d après l énoncé, on peut quand même décider tester c par sécurité si on a du temps. 3 Réponse b " est positive sur [0 ; 2] donc Ñ ( )0 est l aire sous la courbe sur [0 ; 2]. M Une unité d aire est égale à 4 petits carreaux. On peut aussi utiliser la calculatrice v8h6 x4ž4( $²,,0,2) 0,5939<1 " L aire est positive et inférieure à l aire de 4 petits carreaux donc Ñ ( )0 M <1 4 Réponse c d après le graphique la fonction n est pas convexe mais on voit mal si la courbe a un point d inflexion. d après l énoncé ( )=( 2) $² $² ( ) 0 + ( ) s annule et change de signe en =2 donc la courbe admet un point d inflexion EXERCICE IV : (7 points) d après Antilles septembre 2010 Partie A On considère la fonction définie sur l intervalle [1;6] par ( )=8 +9 %@ où 8 et 9 sont des nombres réels. ² On admet que est dérivable sur l intervalle [1;6] et on note la fonction dérivée de sur cet intervalle. La courbe représentative de f, donnée en annexe, coupe l axe des abscisses aux points d abscisses 1 et 4 et admet une tangente horizontale au point A de coordonnées (2; 4). 41 / 43

42 1 a) Graphiquement images : (1)=0, (2)=4, (4)=0 (2)=0 coefficient directeur de la tangente au point de la courbe d abscisse 2 b) En utilisant deux des quatre résultats de la question 1. a., déterminer les valeurs des réels a et b. ( )= (1)= =0 8+9 =16 (2)= = =12 On résout le système : en soustrayant les deux lignes on élimine b et on calcule a 8+9 =16 ç 28+9 =12 è 8 =16 9 2(16 9)+9 =12 Donc 8 = 4 9 = ( )= %@ ç8 = = 20 ç 9 =20 8 = 4 y A ² On contrôle que (4)= =0 et que la réponse ( ) correspond bien à l expression donnée en 2 ) 2 ) On admet que la fonction est définie sur [1 ; 6] par ( )= %@ ². x a) Calculer ( ) puis étudier les variations de la fonction sur l intervalle [1 ; 6]. est une fonction rationnelle dérivable sur [1 ; 6] ( )= ( )= 4 16 " " = 4+16 " = = 16 4 " " " Racines et signe de la dérivée 16 4 " =0 (4 2 )(4+2 )= D 4+2 =0 2 =4 7D 2 = 4 =2 7D = 2 Seul 2 appartient à l intervalle [1 ; 6]. Signe de la dérivée : " Second degré avec a= " carré + + ( ) + 0 Donc la fonction est strictement croissante sur [1 ; 2] et strictement décroissante sur [2 ; 6] b) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l intervalle [1; 6] en précisant uniquement les valeurs de (1), (2),(4) ( ) Variations de 0 c) En déduire le signe de ( ) sur l intervalle [1 ; 6]. D après le tableau de variation de complété par l image de 4 : Si ]1;4[ ( )>0 ; si ]4;6] ( )<0 (1)=(4)= ( ) ) On considère la fonction x définie sur l intervalle [1 ; 6] par x( )= 2 ² / 43

43 3 a) Montrer que F est la primitive de la fonction sur [1 ; 6] telle que F(1)=0 On calcule la dérivée de F : pour tout appartenant à [1 ; 6] x ( )= % =4 +20 %@ ² ² donc x ( ) = ( ) donc x est une primitive de De plus 41= 0 donc x(1)= 2 1² = =0 donc F est la primitive de la fonction sur [1; 6] telle que F(1)=0 b) En utilisant les résultats des questions précédentes, dresser le tableau de variations de la fonction x sur l intervalle [1; 6], les valeurs seront arrondies au millième 1 2,02 % 2,03 4 5,73 " 5,74 6 x ( )=( ) ,819 Variations de x ,332 x(4)= = ,819 F(6) 1,332 calculatrice Partie B : Dans ces questions toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. 1. Déterminer la quantité de pièces à fabriquer et à vendre quotidiennement pour que l entreprise réalise un bénéfice maximal. En déduire le bénéficie maximal (on donnera ce bénéfice maximal arrondi à l unité d euro). Le bénéfice marginal est la dérivée du bénéfice donc le bénéfice est une primitive du bénéfice marginal De plus le bénéfice est nul pour la fabrication et la vente quotidienne de 100 pièces c est-à-dire pour =1. On a montré en partie A que x est la primitive de telle que x(1)=0 Donc le bénéfice est modélisé par la primitive x telle que x( )= 2 ² D après le tableau de variation, x atteint son maximum en =4 et x(4) 7,819 est exprimé en centaines de pièces et x( ) en milliers d euros Donc le bénéfice maximal est 7819 euros obtenus pour la fabrication et la vente de 400 pièces. 2. Déterminer la quantité de pièces à fabriquer et à vendre quotidiennement pour que l entreprise réalise un bénéfice supérieur à (on donnera le résultat arrondi à l unité). On cherche tel que x( )>3. On utilise le tableau de variation de x idée : on regarde où on peut mettre 3dans le tableau de variations de F Sur [1 ; 4], F est continue et strictement croissante Donc l intervalle image est [x(1) ; x(4)] avec x(1)=0 et x(4) 7,819 Comme 3 appartient à l intervalle image alors d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation x( )=3 a une unique solution % dans [1 ; 4] Sur [4 ; 6], F est continue et strictement décroissante Donc l intervalle image est [x(6) ; x(4)] avec x(6) 1,332 et x(4) 7,819 Comme 3 appartient à l intervalle image alors d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation x( )=3 a une unique solution " dans [4 ; 6] 2,02 % x( ) x( ) 2,9896 < 3 5,73 3 " 3,0296>3 5,74 23,0028>3 3 2,9455<3 2,03 est en centaines donc on travaille avec 2 décimales : 2,02< % <2,03 et 5,73< " <5,74 D après le tableau de variation complété, x( )>3 si 2,03 5,73 L entreprise réalise un bénéfice supérieur à 3000 pour la fabrication et la vente d un nombre de pièces compris entre 203 et / 43