Exercices sur le chapitre «Probabilités»

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1 Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Probabilités» Exercice 1 (Modélisation d un dé non cubique) On considère un parallélépipède rectangle de dimensions 3, 4,5. L expérience aléatoire consiste à le lancer, et à observer la face qui tombe. 1. Quel est l univers associé à cette expérience aléatoire? Les différentes issues vous paraissent-elles équiprobables? 2. Voici un modèle proposé : la probabilité d apparition d une face est proportionnelle à son aire. Déterminer la loi de probabilité associée à ce modèle. On donnera des valeurs approchées à 10 2 près (prendre une calculatrice). 3. Critique du modèle : ce modèle vous paraît-il réaliste? Que-se passe-t-il si on change les dimensions du pavé? Exercice 2 (Date d anniversaire) Une urne contient 365 boules numérotées de 1 à 365. On tire successivement avec remise 34 boules de cette urne. 1. Déterminer Ω et son cardinal. Quelle est la probabilité qu au moins deux des boules tirées aient le même numéro? 2. Dans une classe de 34 élèves, est-il raisonnable de parier que deux élèves au moins fêtent leur anniversaire le même jour de l année? Exercice 3 (Trois modèles de tirage) Une urne contient 8 boules, 5 rouges et 3 noires. On tire deux boules. Déterminer la probabilité que les deux boules soient de même couleur dans les cas suivants (préciser l univers Ω) : On tire les 2 boules simultanément On tire successivement les deux boules avec remise On tire successivement les deux boules sans remise Exercice 4 Une grande enveloppe contient les 12 figures d un jeu de cartes : les quatre rois, les quatre dames et les quatre valets. 1. On tire simultanément et au hasard 5 cartes de l enveloppe. (a) Calculer la probabilité de ne pas tirer de roi, en déduire la probabilité de tirer au moins un roi. (b) Calculer la probabilité de tirer deux rois exactement. (c) Calculer la probabilité de tirer quatre figures identiques (on dit qu on a un carré). 2. Si, on tire successivement et sans remise 5 cartes de l enveloppe, quelle est la probabilité de tirer au moins un roi? Exercice 5 (Problème des paires ou poker) Un joueur de poker reçoit une main de 5 cartes d un jeu de 32 cartes (sans joker). Quelle est la probabilité que sa main contienne : 1. une seule paire? deux paires? 2. au moins une paire?

2 Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci Conditionnement Exercice 6 (Matériel défectueux) Le gérant d un magasin de matériel informatique a acheté un stock de boîtes de disquettes. 5 % des boîtes sont abîmées. Le gérant estime que : 60 % des boîtes abimées contiennent au moins une disquette défectueuse, 98 % des boîtes en bon état ne contiennent aucune disquette défectueuse, les états des diverses boîtes sont indépendants les uns des autres. Un client achète une des boîtes du lot. On désigne par A l évènement : «la boîte achetée est abîmée» et par D l évènement : «la boîte achetée contient au moins une disquette défectueuse». 1. Représenter un arbre et y faire figurer les différentes probabilités. Calculer P(D). 2. Le client constate qu une des disquettes est défectueuse. Quelle est la probabilité qu il ait acheté une boîte abîmée? Exercice 7 Un quart d une population a été vacciné. Parmi les vaccinés, on compte 1 12 de malades. Parmi les malades, il y a 4 non vaccinés pour un vacciné. Quelle est la probabilité pour un non vacciné de tomber malade? Exercice 8 Un lot de 100 dés contient 25 dés pipés tels que la probabilité d apparition de 6 soit 1 2. On prend un dé au hasard, on le jette, on obtient 6. Quelle est la probabilité que le dé soit pipé? Exercice 9 (Fiabilité d un test de dépistage) Dans une population donnée, la proportion d individus atteint d une certaine maladie est x (0 x 1). On dispose d un test de dépistage de cette maladie et on voudrait étudier sa fiabilité. On dispose des données suivantes : (i) on effectue le test de dépistage sur 100 personnes considérées comme malades : 98 ont un test positif. (ii) on effectue le test de dépistage sur 100 personnes considérées comme saines : une seule a un test positif. On choisit au hasard un individu de cette population et on le soumet au test. On note M l événement «l individu est malade» et T + l événement «le test est positif». 1. Traduire les données (i) et (ii) à l aide d un arbre de probabilités. 2. Exprimer P(M T + ) puis P(T + ) en fonction de x. 3. On note f(x) la probabilité qu une personne ayant un test positif soit malade. Montrer que f(x) = 98x 97x On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu un individu ayant un test positif soit malade est supérieure à 0,95. (a) Le test est-il fiable si la proportions d individus atteints de la maladie est de 5%? (b) A partir de quelle proportion x, le test est-il fiable? Indépendance Exercice 10 Les questions sont indépendantes 1. Soit A et B deux évènements d un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P) tels que P(A) = 0, 4, P(B) = 0, 5 et P(A B) = 0, 35. Les évènements A et B sont-ils indépendants, incompatibles? 2. Tirage sans remise : une urne contient 5 boules dont 3 rouges. On tire successivement sans remise deux boules. On note R 1 et R 2 les évènements «la première boule est rouge» et «la deuxième boule est rouge». Les évènements R 1 et R 2 sont-ils indépendants? Quelle information de l énoncé permet d en avoir l intuition? Exercice 11 (Tirs à l arc duel) 1. Deux archers A et B tirent simultanément. On estime alors que les deux évènements «A atteint la cible» et «B atteint la cible» sont indépendants et de probabilités respectives 0, 6 et 0, 8. Calculer la probabilité des évènements :

3 Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci (a) A et B atteignent tous deux la cible. (b) seul A atteint la cible (c) la cible est manquée (d) un seul tireur atteint la cible. 2. On suppose désormais que A tire en premier. La psychologie va alors faire ses effets. On estime que si A atteint la cible, B a la «pression» et atteint la cible avec une probabilité de 0, 5. au contraire si A rate la cible, B l atteint avec une probabilité de 0, 9. Répondre alors aux mêmes questions que précédemment. Exercice 12 (Tir à l arc seul) Un tireur atteint une cible quatre fois sur cinq. On admet que la réussite ou l échec à un tir n influe pas sur sa réussite au tir suivant. 1. Interpréter en terme d indépendance, l hypothèse émise ci-dessus. En déduire la probabilité qu il atteigne la cible 3 fois de suite. 2. Quelle est la probabilité qu il atteigne la cible au moins une fois avec 17 lancers? 3. Combien de tirs doit-il effectuer pour être sûr à 99,9 % d atteindre la cible au moins une fois? Exercice 13 On lance deux fois un dé équilibré. On note A l évènement «le premier nombre obtenu est pair», B l évènement «le deuxième nombre obtenu est impair» et C «la somme des deux nombres est impaire». Montrer que ces 3 évènements ne sont pas (mutuellement indépendants) alors qu ils le sont 2 à 2. Plus difficile Exercice 14 (Choix aléatoire des urnes) Soit n un entier naturel non nul. On dispose de n urnes numérotées de 1 à n qui contiennent chacune n boules, des noires et des blanches. De plus pour tout i {1,..., n}, l urne i contient exactement n i boules noires. On choisit une urne au hasard puis on prélève une boule dans l urne choisie. 1. Soit i {1,..., n}, on note U i l évènement «l urne i est choisie» et B «la boule tirée est blanche». Déterminer P(U i ) et P Ui (B). 2. Calculer P(B). 3. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit de l urne 1 sachant qu elle est blanche? Exercice 15 (Saut en hauteur) On fixe N 2 un entier. Un athlète saute successivement par-dessus des barres numérotées de 1 à N. Il s arrête au premier échec, ou bien lorsqu il a passé la barre n N. Lorsqu il tente la barre n i, il a une chance sur i de réussir. On définit, pour i 1, N, l évènement A i : «l athlète a franchi la barre n i» et l évènement B i : «la dernière barre réussie par l athlète est la barre n i». Il faut comprendre que, si l athlète ne franchit pas une barre, il ne farnchit pas les suivantes, puisqu il n a alors pas le droit de les tenter. 1. Calculer P(A i ) pour i 1, N. 2. Calculer P(B i ) pour i 1, N Calculer P(B N ). Exercice 16 (Tirs au but avec psychologie) Lors d une séance de tirs, un gardien arrête le premier tir avec la probabilité 0,3 puis : s il a arrêté un tir, il prend confiance et arrête le suivant avec la probabilité 0,5. s il prend un but, il se décourage et arrête le suivant avec la probabilité 0,2. On note A n l évènement «le gardien arrête le n-ième tir». On admet que tous les tirs sont «cadrés» et l on note p n la probabilité de A n. Ainsi p 1 = 0, 3.

4 Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci Calculer p On note A n l évènement «le gardien arrête le n-ième tir». Déterminer deux réels a et b tels que pour tout n N, on ait p n+1 = ap n + b. 3. En déduire l expression de p n en fonction de n. 4. Désormais on fixe n 3. Soit k {1,..., n}. On note B k l évènement «le gardien arrête un seul tir au cours des n premiers pénaltys et cet arrêt a lieu lors du k-ième pénalty». (a) Calculer P(B 1 ) (b) Calculer P(B n ). (c) Calculer P(B k ) pour k {2,..., n 1}. (d) En déduire la probabilité de l évènement B «le gardien arrête un seul tir au cours des n premiers pénaltys». Exercice 17 (Étude du mouvement aléatoire d une puce) À l instant initial t = 0, la puce est au sommet A et se déplace ensuite selon les règles suivantes : si à l instant n la puce est au sommet A du triangle, elle est à l instant (n + 1) au sommet B avec la probabilité égale à 1 3, au sommet C avec la probabilité égale à 2 3. si à l instant n la puce est au sommet B du triangle, elle est à l instant (n + 1) soit au sommet C, soit au sommet A de façon équiprobable. si à l instant n la puce est au sommet C, alors elle y reste. Pour tout entier naturel n, on désigne par : A n l évènement «la puce est au sommet A à l instant n», et par a n sa probabilité. B n l évènement «la puce est au sommet B à l instant n», et par b n sa probabilité. C n l évènement «la puce est au sommet C à l instant n», et par c n sa probabilité. 1. Donner les valeurs de a 0, b 0, c 0, a 1, b 1 et c Déterminer a 2, b 2 et c Exprimer les probabilités a n+1, b n+1, c n+1 en fonctions des probabilités a n, b n, c n. 4. On pose X n = a n b n c n. Déterminer une matrice A telle que l on ait pour tout entier naturel n : X n+1 = AX n. En déduire une expression de X n en fonction de n. Quel travail matriciel doit-on maintenant effectuer? Encore plus difficile Exercice 18 (Indicatrice d Euler) Soit n = p a1 1 par r un entier naturel non nul décomposé en facteurs premiers. On note φ(n) le nombre d entiers compris entre 1 et n qui sont premiers avec n. On veut démontrer que ) ) φ(n) = n (1 1p1 (1 1pr. 1. Méthode 1 : (a) Soit p un nombre premier. Déterminer φ(p), puis φ(p α ) avec α N. (b) On admet que φ est multiplicative, c est-à-dire que si a et b sont des entiers premiers entre eux, alors φ(ab) = φ(a)φ(b). Prouver alors le résultat demandé. (c) Que vaut φ(518400)?

5 Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci Méthode 2 avec des probabilités : on pose Ω = 1, n que l on munit de la probabilité uniforme. Pour tout entier d, on pose M d l ensemble des multiples de d dans 1, n. (a) Déterminer P(M d ) lorsque d divise n. (b) Soit q 1,..., q s des entiers qui sont deux à deux premiers. Déterminer un entier q tel que M q1... M qs = M q. (c) En déduire que les évènements M p1,..., M pr sont mutuellement indépendants. (d) On pose A l ensemble des entiers de 1, n qui sont premiers avec n. Écrire A à l aide des évènements M p1,..., M pr, puis conclure.

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