Fluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités

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1 Fluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités C H A P I T R E 3 JE DOIS SAVOIR Calculer une fréquence JE VAIS ÊTRE C APABLE DE Expérimenter la prise d échantillons aléatoires de taille n fixée Déterminer l étendue des fréquences de la série d échantillons Évaluer la probabilité d un événement à partir des fréquences Faire preuve d esprit critique face à une situation aléatoire simple Le Craps est un jeu d argent venant des États-Unis qui se joue avec deux dés à six faces. Les paris portent sur les combinaisons successives obtenues avec la somme des faces des deux dés. Au premier lancer, le lanceur perd s il fait un Craps. Craps désigne un total des points des deux faces dont il n existe qu une manière de les obtenir : 2 ( + ) ou 3 (2 + ) ou 2 (6 + 6) 0,6 0,4 0,2 0, 0,08 0,06 0,04 0, On a simulé 00 lancés de deux dés et calculé la fréquence d apparition des sommes des faces obtenues. Les résultats sont donnés par le diagramme en bâtons ci-contre. À partir de cette simulation, peut-on prévoir qu au jeu du Craps le plus difficile est d obtenir un 2? MODULE : NOTION DE PROBABILITÉ 29

2 Activités de recherche ACTIVITÉ Expérimenter à l aide de pièces Dans le règlement d un concours organisé par un organisme de vente par correspondance, on peut lire l extrait suivant : «Le tirage au sort aura lieu le 22 décembre 2008 à h par Maître Bonnard, huissier de justice à Paris. Les participations doivent nous parvenir au plus tard le 9 décembre à midi. Un premier tirage au sort aura lieu pour déterminer si le gagnant fera partie des envois postaux classiques ou des envois mails. Ce choix se fera par pile ou face avec une pièce de. Ensuite le tirage au sort se fera parmi les gagnants de la famille sélectionnée». Comment convaincre les participants que les chances pour le gagnant d être parmi les envois postaux ou les mails sont les mêmes? ACTIVITÉ 2 Simuler à l aide d un tableur En 2008, la France a présidé pendant six mois l Union Européenne. À cette occasion des pièces commémoratives de deux euros ont été mises en circulation. Pour réaliser la simulation demandée, on remplacera la pièce commémorative par une pièce «classique» de 2. Lancer 20 fois une pièce de 2 et noter F si la face obtenue est face et P si la face obtenue est pile. 2 Ouvrer le fichier «2euros.xls» et compléter le tableau à partir des résultats de la question. 3 Sur le graphique qui s est construit, interpréter les résultats. Les comparer avec un autre élève. 4 Regrouper les résultats des deux simulations dans le même tableau. Commenter le nouveau graphique obtenu. 5 Comparer la fréquence obtenue pour F et P à la question et à la question 4. 6 Ouvrir le fichier «simulation_2euros.xls». Lire les consignes et réaliser le travail demandé. 7 En déduire la probabilité vers laquelle se rapprochent F et P. 30

3 L essentiel Expérience aléatoire Une expérience est dite aléatoire si elle peut être répétée dans des conditions identiques et si les résultats ne sont pas prévisibles. 2 Éventualité Univers Une éventualité est un résultat possible d une expérience aléatoire. L ensemble des éventualités possibles d une expérience aléatoire est appelé univers, noté. exemple Lorsque l on jette un dé équilibré à 6 faces : l univers est : = {,2,3,4,5,6}. 3 Événement Événement élémentaire Un événement est une partie de l univers qui peut être, ou ne pas être, réalisé au cours d une expérience aléatoire. Un événement élémentaire est un événement réduit à une seule éventualité. exemple Lorsque l on jette un dé équilibré à 6 faces : «obtenir un nombre pair» est un événement qui a pour éventualité : 2, 4 et 6 ; «obtenir 6» est un événement élémentaire. 4 Probabilité Équiprobabilité Si une expérience aléatoire est effectuée un grand nombre de fois, la fréquence de réalisation d un événement A se rapproche d une «fréquence théorique», appelée probabilité et notée p(a). Une probabilité est un nombre compris entre 0 et. On a une situation d équiprobabilité quand les n événements élémentaires d une expérience aléatoire ont la même probabilité d être réalisés. La probabilité de chaque événement élémentaire est p =. n exemple Lorsque l on lance un dé un grand nombre de fois, il y a une chance sur 6 d obtenir la face 3. Autrement dit, la probabilité d avoir l événement A «obtenir la face 3» est 6 ou p( A ) = 6. Il y a autant de chance d obtenir le nombre, que les nombres 2, 3, 4, 5, ou 6 : c est une situation d équiprobabilité. 5 Tirage sans remise Tirage avec remise Au cours d un tirage sans remise, l objet retiré est mis de côté. Au cours d un tirage avec remise, l objet retiré est remis avec les autres objets. 3

4 À L ORAL Je vérifie mes acquis Reconnaître une expérience aléatoire Parmi les expériences suivantes, quelles sont celles qui correspondent à une expérience aléatoire? a) On lance un dé équilibré à 6 faces et on note le nombre obtenu. b) On lance un dé équilibré à 6 faces de couleurs différentes et on note la couleur obtenue. c) On lance un dé truqué à 6 faces et on note le nombre obtenu. d) On lance un jeton équilibré comportant une face blanche et une face rouge. On note la couleur de la face obtenue. e) On lance une pièce truquée de un euro et on note la face obtenue. 2 Énoncer les événements d une expérience aléatoire a) Une urne contient 50 boules : 0 rouges, 0 bleues, 5 blanches, 5 noires. On tire une boule au hasard et on note sa couleur. Quels sont les événements possibles de cette expérience aléatoire? b) On fait tourner la roue de loterie ci-contre. Quels sont les événements possibles de cette expérience aléatoire? 3 Calculer une fréquence On lance 50 fois un dé équilibré à 6 faces notées de à 6. On a obtenu 23 fois les faces 2,4 ou 6. Calculer la fréquence d obtenir une face paire, et en déduire la fréquence d obtenir une face impaire. 4 Calculer une fréquence On lance 20 fois une pièce équilibrée de un euro et on note la face obtenue. Les résultats sont notés P pour «pile» et F pour «face» : F F P P P P P P F F P F F F P P F P P P 5 Reconnaître une situation d équiprobabilité Parmi les expériences aléatoires suivantes, quelles sont celles qui correspondent à une situation d équiprobabilité? Justifier la réponse. a) Une urne contient 30 jetons identiques numérotés de à 30. On tire un jeton au hasard et on note le nombre obtenu. b) Une urne contient 20 pièces : 4 pièces de, 4 pièces de 2, 5 pièces de 20 centimes d et 7 pièces de 50 centimes d. On tire une pièce au hasard et on note sa valeur. c) Une roue de loterie est composée de 6 parts égales dont 2 rouges, 3 bleues et une verte. On fait tourner la roue et on note la couleur désignée par la flèche. d) Au jeu du loto, une urne contient 49 boules identiques numérotées de à 49. On tire une boule et on note le numéro obtenu. 6 Évaluer une probabilité On dispose un jeu de 32 cartes dans une boîte. On effectue le tirage avec remise d une carte et on note sa valeur. a) Calculer la probabilité d avoir l as de cœur. b) Quelle est la probabilité d avoir une carte dont la valeur est comprise entre 7 et 0? c) Quelle est la probabilité d avoir un trèfle? 7 Évaluer une probabilité On lance un dé équilibré à 6 faces et on s intéresse à l événement A : «la face obtenue est un nombre pair». On a utilisé un tableur pour simuler cette expérience aléatoire. Quatre simulations de 000 lancers chacune ont été réalisées (S, S2, S3 et S4). Les résultats dans le tableau suivant donnent, pour chaque simulation, le nombre de fois où la face correspondante est apparue : a) Calculer la fréquence d apparition de la face P. b) En déduire la fréquence d apparition de la face F. À partir des résultats du tableau donner une valeur possible pour la probabilité p(a). 32

5 J applique Calculer la fréquence d apparition d un événement EXERCICE RÉSOLU On lance un dé équilibré à 6 faces et on note le nombre sur la face obtenue. a) Citer les éventualités de cette expérience aléatoire. b) Les résultats sont donnés dans le tableau suivant : Quelle est la fréquence d apparition de la face 4? de la face 5? a) Les éventualités sont :, 2, 3, 4, 5, et 6. Faces Effectifs b) On calcule : le nombre total de lancers : 40 la fréquence d apparition de la face 4 : f = = 0, 225 la fréquence d apparition de la face 5 : f = = 025, On divise l effectif de la face correspondante par l effectif total. 8 On lance une pièce équilibrée de un euro et on note la face obtenue. a) Quelles sont les éventualités possibles de cette expérience aléatoire? b) On obtient les résultats suivants (P pour pile et F pour face) : P F F F P F F F F P P P F F P F F F F P Calculer la fréquence d apparition de F. 9 Une urne contient 2 boules rouges, 2 boules vertes et 2 boules jaunes. On tire au hasard une boule et on note sa couleur. Le tirage est avec remise. a) Quelles sont les éventualités possibles de cette expérience aléatoire? b) Les résultats obtenus sont regroupés dans le tableau ci-dessous (on note R la couleur rouge, V la couleur verte et J la couleur jaune) : J R R V V R J J V V R R J R V R R J V V R R J R V V R R V J Calculer la fréquence d apparition de chacune des couleurs. 0 Les lettres du mot MATHEMATIQUES sont notées sur des jetons et mises dans un sac. On tire au hasard un jeton et on note la lettre obtenue. Le tirage est avec remise. a) Quelles sont les éventualités de cette expérience aléatoire? b) Les résultats des tirages sont donnés dans le tableau suivant : M T E T S M M M T E E Q M E E E M H M M A M H A T Q H E E T H A M A S A Calculer la fréquence d apparition des lettres Q, T, M. Dans une classe de Seconde professionnelle, il y a 2 filles et 8 garçons. Parmi la liste des élèves, on tire au hasard (tirage avec remise) un nom et on note le résultat F pour fille et G pour garçon. On obtient les résultats suivants : F F F G F G G G G F G G G G F F G F G F G G Calculer la fréquence d apparition de F et G. Déterminer la probabilité d un événement EXERCICE RÉSOLU Une boîte contient 0 jetons numérotés de à 0, indiscernables au toucher. On tire au hasard un jeton, on note son numéro et on le remet dans la boîte. a) Quelle est la probabilité d obtenir le jeton numéro 4? numéro 5? b) Quelle est la probabilité de l événement A : «obtenir un jeton ayant un numéro pair»? 33

6 J applique Les 0 jetons ont la même chance d être tirés : c est une situation d équiprobabilité. La probabilité d avoir le jeton numéro 4 est : p( 4) =. La probabilité d avoir le jeton numéro 5 0 est : p( 5) =. 0 Il y a 5 jetons pairs dans le sac : le 2, 4, 6, 8 et 0. p( A ) = p( 2) + p( 4) + p( 6) + p( 8) + p( 0) 5 = = = On additionne les probabilités d obtenir chaque cas. Autrement t dit, on a une chance sur deux d obtenir un numéro pair. 2 Dans une urne, on dispose de 6 jetons marqués avec les lettres du mot SAISIR. On tire, avec remise, un jeton et on note la lettre correspondante. a) Quelle est la probabilité de tirer la lettre R? b) Quelle est la probabilité de tirer un S? c) Quelle est la probabilité de tirer une consonne? 3 On lance deux dés et on note la somme des deux faces obtenues. a) Écrire les éventualités possibles. b) Calculer la probabilité d avoir la somme 2. c) Quelle est la probabilité d avoir une somme inférieure ou égale à 6? 4 On considère une urne contenant les cubes de couleurs différentes représentés ci-dessous. a) Écrire les éventualités possibles. b) S agit-il d une situation d équiprobabilité? Justifier la réponse. c) On tire au hasard un cube dans l urne, sa couleur est violette. On le remet dans l urne et on tire un second cube. Quelle est la probabilité que ce cube soit violet? Bilan Je me teste Cocher la(les) bonne(s) réponses aux questions suivantes : On lance 0 fois un dé équilibré à 6 faces et on obtient les résultats suivants : 3, 3, 2, 6, 4, 5,,, 5, et 3. Quelle est la fréquence d apparition du nombre 3? a) 0,3 b) 3 c) 30 Pour les questions 2 et 3, on lance un dé pipé 00 fois. Les résultats sont donnés dans le tableau suivant : Faces Effectifs La fréquence d apparition d un nombre impair est : a) 0,5 b) 0,2 c) 0,6 3 La fréquence d apparition d un nombre inférieur ou égal à 3 est : a) 0,5 b) 0,53 c) 0, On est dans une situation d équiprobabilité lors d un a) lancer de dé non truqué b) tirage d une carte c) jeu de pile ou face

7 Je m entraîne 5 Pour simuler le jet d un dé dont les faces sont numérotées de à 6, on utilise : sur une calculatrice Ti82 Stat.fr, l instruction : Int ( rand 6 ) + sur une calculatrice Casio Graph 35+, l instruction : Int ( rand # 6 ) + (On prend la partie entière d un nombre aléatoire multiplié par 6, à laquelle on ajoute ). a) À l aide de cette instruction, simuler 50 jets de ce dé et noter les résultats dans le tableau suivant. Faces Effectifs b) À l aide d un diagramme en bâtons, représenter graphiquement le tableau précédent en utilisant la calculatrice. c) Déterminer à partir du graphique, quelle est la face qui apparaît le plus souvent. En déduire la fréquence d apparition de cette face. 6 À l aide d un tableur, on souhaite simuler 25 expériences aléatoires du jeu PILE ou FACE, comportant chacune 00 lancers : a) Réaliser un tableau représentant 25 expériences de 00 lancers en entrant la formule : =SI(ENT(ALEA()+0,5)=0;"PILE";"FACE") dans la cellule A et en utilisant le «glisser - coller» jusqu à la cellule Y00. dans la cellule A02 et en utilisant le «glisser-coller» jusqu à la cellule Y02. c) Calculer l étendue des fréquences de l échantillon. 7 Au jeu des petits chevaux, pour commencer la partie chaque joueur doit réaliser un six à l aide d un dé. Marc affirme qu il est plus difficile d obtenir un six qu une autre face. À l aide d un tableur ou d une calculatrice réaliser une simulation correspondant à la situation ci-dessus et confirmer ou infirmer l affirmation de Marc. 8 Dans une boîte, on tire au hasard un jeton parmi 0 jetons numérotés de à 0. a) En utilisant un tableur, simuler cette situation à l aide de 40 expériences comportant 500 tirages. b) Pour chaque jeton, déterminer la fréquence d apparition. c) Calculer l étendue des fréquences pour tous les jetons. d) Jean affirme que la fréquence d apparition du 0 est inférieure à 5 %. Cette affirmation est-elle conforme aux calculs de la question c? 9 On dispose d une urne contenant 5 jetons émoticônes représentés ci-dessous : b) Calculer la fréquence d apparition de la face PILE pour chaque expérience en tapant la formule : =(NB.SI(A:A00;"PILE")/NBVAL(A:A00))*00 On met ces jetons dans un sac opaque et on tire au hasard un jeton. Célia affirme que le jeton vert est le jeton qui a le plus de chance d être tiré. a) À l aide d un tableur, simuler cette situation pour 00 tirages, et regrouper dans un tableau les fréquences d apparition de chaque jeton. b) À partir de cette simulation, que peut-on dire de l affirmation de Célia? c) À l aide de la touche F9, recommencer la simulation : que peut-on dire de l affirmation de Célia? d) Recommencer la simulation pour 000 tirages et tirages. f) Que peut-on en conclure? 35