Université Paris 8 Introduction aux probabilités Licence Informatique Exercices Ph. Guillot. 1 Ensemble fondamental loi de probabilité

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1 Université Paris 8 Introduction aux probabilités Licence Informatique Exercices Ph. Guillot 1 Ensemble fondamental loi de probabilité Exercice 1. On dispose de deux boîtes. La première contient trois boules : une rouge, une jaune et une bleue. La seconde contient deux boules : une rouge et une verte. On choisit au hasard une des boîtes puis une des boules de cette boîte. Décrivez l ensemble fondamental de cette expérience. Exercice 2. Soit un référentiel Ω = {a, b, c, d, e}. 1. Dire pourquoi les applications définies ci-après sur les évènements élémentaires ne sont pas des lois de probabilité : a) p({a}) = 0, 1 ; p({b}) = 0, 2 ; p({c}) = 0, 3 ; p({d}) = 0, 1 et p({e}) = 0, 2. b) p({a}) = 0, 3 ; p({b}) = 0, 2 ; p({c}) = 0, 4 ; p({d}) = 0, 1 et p({e}) = 0, Quelle doit être la valeur de p({e}) pour que l application p soit une loi de probabilité. a) p({a}) = 0, 2 ; p({b}) = 0, 2 ; p({c}) = 0, 3 ; p({d}) = 0, 1. b) p({a}) = 0, 2 ; p({b}) = 0, 2 ; p({c}) = 0, 3 ; p({d}) = 0, 3. Exercice 3. Dans une maternité, on compte 260 garçons sur les 500 naissances. On y croise une famille avec un landau. Quelle est la probabilité pour que le nouveau-né dans le landau soit un garçon? On truque un dé de sorte que la probabilité pour une face d apparaitre est proportionnelle au score de cette face, quelles sont les probabilités des différentes faces? Probabilité d un événement On tire au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. Soit A l évènement la carte tirée est une dame et soit B l évènement la carte tirée est un cœur. 1. Quelle sont les probabilités des évènements A et B? 2. Par quelle assertion exprimer les évènements A B et A B? Quelles sont leurs probabilités? Avec quelle probabilité cette carte est-elle soit soit une dame, soit un cœur, mais pas les deux? On lance deux dés. 1. Quelle est la probabilité d avoir un double? 2. Soit A 0 l évènement la somme des points est paire Quelle est la probabilité de l évènement A 0? 3. Soit A 1 l évènement la somme des points est impaire et soit B l événement la valeur absolue de la différence des points vaut 4. Combien y a-t-il d évènements élémentaires dans A 0 \ B? dans A 1 \ B? 4. Pour chaque valeur de k comprise entre 1 et 6, quelle est la probabilité que la valeur maximale des deux dés soit k? Exercice 7. Dans une enveloppe se trouvent 10 tickets de tombola. Deux d entre eux sont gagnants. 1. On choisit un ticket au hasard. Quelle est la probabilité que le ticket choisi soit gagnant? 2. On choisit deux tickets au hasard. Quelle est la probabilité pour qu au moins un des tickets soit gagnant? Exercice 8. On lance deux pièces équilibrées pour jouer à pile ou face. La première pièce est une pièce d un euro et la seconde est une pièce de deux euros. 1. Décrire l ensemble fondamental de cette expérience aléatoire. 2. Quelle est la loi de probabilité? 3. Trouver un évènement de probabilité 1/2. 4. Donner la liste de tous les évènements dont la probabilité est 3/4. 5. On lance les deux pièces et on vous averti : la pièce de 1 euro est sur face. Quelle est la probabilité que l autre soit sur pile? 6. On lance les deux pièces et on vous averti : une des deux pièces est sur face. Quelle est la probabilité que l autre soit sur pile?

2 2 Combiner les événements Exercice 1. Soient A, B et C trois évènements d un espace probabilisé. Exprimer les évènements suivants à l aide des opérations élémentaires sur les évènements : 1. A est réalisé seul. 2. A et B sont réalisés, mais pas C. 3. Exactement un des trois évènements est réalisé. 4. Deux évènements au plus sont réalisés. 5. Aucun de ces évènements n est réalisé. 6. Au moins deux sur les trois sont réalisés. 7. Deux évènements exactement sur les trois sont réalisés Exercice 2. Lors d un jet de deux dés cubiques, on s intéresse aux évènements suivants : A = la somme obtenue est au moins 5, B = la somme obtenue est au plus 5 et C = la somme obtenue est strictement inférieure à 3. a) Les évènements A et B sont-ils contraires? b) Les évènements B et C sont-ils incompatibles? c) Traduire par une phrase l évènement C d) Les évènements A et C sont-ils incompatibles? Exercice 3. Soient A, B et C trois évènements d un espace probabilisé. On suppose que P (A) = P (B) = P (C) = 1/2 et que P (A B) = p(a C) = P (B C) = 1/4. Quelles sont les valeurs possibles pour P (A B C)? Soient A, B et C trois évènements d un espace probabilisé. On suppose que si A et B sont réalisés, alors C est réalisé. Montrer alors que P (A) + P (B) 1 + P (C). Soient A et B deux évènements d un espace probabilisé. Soit C l évènement A est réalisé seul ou B est réalisé seul. Montrer que P (C) = P (A) + P (B) 2P (A B). Soient A et B deux événements incompatibles tels que p(a) = 0, 3 et p(b) = 0, 5. Quelle est la probabilité que a) A ou B a lieu? b) A a lieu mais pas B? c) Ni A ni B n ont lieu? d) A et B ont lieu? Exercice 7. Lors d un référendum deux questions étaient posées. A la première, 65% des personnes ont répondu oui, à la seconde 51% ont répondu oui, et 46% ont répondu oui aux deux questions. a) Quelle est la probabilité qu une personne ait répondu oui à l une ou l autre des questions? b) Quelle est la probabilité qu une personne ait répondu non aux deux questions? Exercice 8. Une université propose à ses 320 étudiants deux cours de mathématiques, un en analyse, et un en probabilités. On sait qu il y a 140 étudiants qui choisissent l analyse, 170 qui n assistent pas au cours de probabilités, et 190 qui suivent exactement un cours de mathématiques. On choisit un étudiant au hasard avec une probabilité uniforme. Quelle est la probabilité pour qu il ne suive aucun cours de mathématiques? qu il suive l analyse mais pas les probabilités?

3 3 Dénombrer Exercice 1. Quel est le plus probable : sortir au moins un 6 en lançant quatre fois un dé, ou sortir au moins un double 6 en lançant vingt-quatre fois deux dés? Exercice 2. Un groupe de h hommes et f femmes attendent le bus en file. Quelle est la probabilité que la personne au i-ème rang (1 i h + f) soit une femme? Exercice 3. Six personnes lancent chacune un dé équilibré. Quelle est la probabilité de chacun des évènements suivants : A = tous obtiennent le 6. B = au moins l une d elles obtient le 6. C = ni le 6 ni le 5 ne sont obtenus. D = les six résultats obtenus sont différents. Une personne se trouve devant une porte fermée à clé. Elle dispose d un trousseau de n clés parmi lesquelles une seule ouvre la porte. Elle essaye les clés au hasard l une après l autre, sans essayer deux fois la même clé. Quelle est la probabilité qu elle ouvre la porte au k-ième essai? On considère une assemblée de p personnes toutes nées en janvier. Quelle est la probabilité que deux, au moins, aient le même anniversaire? Pour quelle valeur de p cette probabilité dépasse-t-elle 1/2? Dans la pièce où vous vous trouvez, il y a p autres personnes. Quelle est la probabilité que l une ait le même anniversaire que vous? Pour quelle valeur de p cette probabilité dépasse-t-elle 1/2? Exercice 7. On jette plusieurs fois un dé à six faces non truqué. Combien de lancers faut-il faire pour obtenir au moins un as avec une probabilité d au moins 50%? d au moins 99%? Exercice 8. Un appareil contient 6 transistors dont 2 exactement sont défectueux. On les identifie en testant les transistors l un après l autre. Le test d arrête lorsque les 2 transistors défectueux sont trouvés. Calculer la probabilité pour que le test 1. soit terminé au bout de 2 opérations ; 2. nécessite strictement plus de 3 opérations. Exercice 9. Une urne contient 4 boules blanches, 3 boules noires et 2 boules rouges. On effectue dans cette urne trois tirages d une boule avec remise. Quelle est la probabilité d obtenir a) trois boules de la même couleur? b) trois boules de couleurs différentes? c) deux boules de même couleur et la troisième différente? Exercice 18. Répondre aux questions de l exercice précédent, mais cette fois-ci en piochant simultanément les trois boules dans l urne.

4 4 Probabilités conditionnelles Exercice 1. On lance deux dés équilibrés. On nous indique qu un des deux dés a donné un score impair. Quels sont alors les scores totaux possibles et leurs probabilités respectives? Exercice 2. Jouons quatre fois à pile ou face. 1. Trouvez la probabilité d obtenir au moins deux faces. 2. Trouvez la probabilité d obtenir au moins deux faces sachant qu il y a au moins une face. 3. Trouvez la probabilité de n obtenir que des faces sachant qu il y en a au moins deux. Exercice 3. Une urne contient cinq boules rouges et cinq boules noires. On tire une boule au hasard, puis on la remet en en ajoutant une autre de la même couleur. On tire ensuite une seconde boule. Calculer les probabilités que : a) les deux boules tirées sont rouges ; b) la première est rouge et la seconde est noire ; c) la seconde est rouge ; d) la seconde est noire ; Lors d une donne au bridge, je vois mon jeu et celui de mon partenaire qui est étalé sur la table. Je constate que nous avons 8 des 13 piques. Mes deux adversaires ont, eux aussi, chacun 13 cartes, mais je ne les vois pas. Quelle est la probabilité que mon voisin de gauche ait exactement 3 piques? Une première urne contient 4 boules rouges et 3 boules vertes, et une autre urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire au hasard une boule dans la première sans l y remettre, puis on procède au tirage d une deuxième boule, dans la même urne si la première boule tirée est rouge, dans l autre urne si la première boule tirée est verte. 1. Écrire l arbre pondéré des possibilités. 2. Quelle est la probabilité d obtenir deux boules vertes? deux boules rouges? 3. Quelle est la probabilité d obtenir deux boules de couleurs différentes? 4. On sait que les deux boules tirées sont de même couleur. Quelle est la probabilité qu elles soient rouges? On doit choisir une commission de 3 personnes parmi un groupe de 6 femmes et 9 hommes. Pour cela on procède de la façon suivante : tout d abord on choisit une des 6 femmes au hasard et on choisit un des 9 hommes au hasard. Ensuite, on écrit le nom de chaque femme qui n a pas été choisie sur a papiers. De même, on écrit le nom de chaque homme qui n a pas été choisi sur b papiers. On met tous ces papiers dans une urne et on tire un papier au hasard. Le nom indiqué sur ce papier correspond à la troisième personne de la commission. 1. Trouver des valeurs pour a et b de façon que chacune des 15 personnes ait la même probabilité d être choisie. 2. Même question avec f femmes et h hommes (on trouvera des conditions sur f et h car ce n est pas toujours possible d avoir la même probabilité pour toutes les personnes).

5 Exercice 7. On dispose de trois jetons. Le premier jeton possède deux faces noires, le second deux faces blanches et le troisième une face blanche et une face noire. On pioche un jeton au hasard. La face visible est noire. Calculer la probabilité pour que ses deux faces soient noires. Exercice 8. Un joueur apprend que sur trois machines à sous, une permet de gagner avec une probabilité de 1/2 et les deux autres avec une probabilité de seulement 1/3. Le joueur choisit une machine au hasard et joue deux fois. Quelle est la probabilité qu il perde la première fois et gagne la seconde? Exercice 9. Un cochon mange les épluchures de pommes avec une probabilité de 0, 6. La probabilité qu il mange les fanes de carottes est de 0, 4 s il ne mange pas les épluchures de pommes, et de 0, 2 sinon. 1. Dresser l arbre pondéré des possibilités? 2. Quelle est la probabilité qu il mange épluchures et fanes? 3. Quelle est la probabilité qu il mange les fanes? 4. Quelle est la probabilité qu il mange les épluchures sachant qu il mange les fanes? Exercice 10. Le quart d une population a été vacciné contre une maladie contagieuse. Au cours de l épidémie, on constate qu il y a, parmi les malades, un vacciné pour quatre non vaccinés. On sait de plus qu une personne vaccinée sur douze tombe malade. 1. Montrer que la probabilité de tomber malade est 5/ Quelle est la probabilité de tomber malade pour un non vacciné? 3. Le vaccin est-il efficace? Exercice 11. Dans une ville, 36% des familles ont un chien et 30% des familles ont un chat. De plus 22% de celle qui ont un chien ont aussi un chat. 1. Quelle est la probabilité qu une famille choisie au hasard possède un chien et un chat? 2. Quelle est la probabilité qu une famille possédant un chat possède aussi un chien? Exercice 12. On distribue les 52 cartes d un jeu à quatre joueurs : 13 cartes à chacun. Quelle est la probabilité que chacun des joueurs ait un as? Exercice 13. Une urne contient au départ une boule blanche et une boule noire. On effectue des tirages dans cette urne de la façon suivante : si l on tire une boule blanche, on la remet dans l urne avec une boule blanche supplémentaire, et on arrête le tirage dès que la boule noire est obtenue. Quelle est la probabilité de s arrêter au n e tirage? Exercice 14. On choisit au hasard une carte dans un jeu de 52. Montrer qu obtenir un as et obtenir un pique sont deux événements indépendants. On pioche maintenant deux cartes. Montrer qu obtenir un as en premier et obtenir une paire sont deux événements indépendants. Que dire de obtenir au moins un as et obtenir une paire?

6 5 Exercice 1. Dans une course de 20 chevaux où toutes les arrivées sont équiprobables, quelle est la probabilité, en jouant 3 chevaux, de gagner le tiercé a) dans l ordre? b) dans l ordre ou le désordre? c) dans le désordre? Exercice 2. On choisit au hasard un comité de 3 personnes parmi huit américains, cinq anglais et trois français. Quelle est la probabilité : qu il ne se compose que d américains? qu aucun américain ne figure dans ce comité? qu au moins un membre de chaque nation figure dans le comité? Exercice 3. Alice, Bob, Charly et Denis jouent au bridge, et reçoivent chacun 13 cartes d un même jeu de 52 cartes. Sachant qu Alice et Charly ont à eux deux 8 piques, on en déduit que Bob et Denis ont 5 piques à eux deux. Quelle est la probabilité pour que les piques soient bien répartis, c est-à-dire, pour que la répartition des 5 piques soit 3 pour Bob et 2 pour Denis ou vice et versa? Une urne A contient 3 boules noires et 4 boules rouges, alors que l urne B contient 7 boules noires et 8 boules rouges. On tire deux boules de chaque urne. 1. Dans l urne A, quelle est la probabilité de tirer 2 boules noires? 2 boules rouges? une boule noire et une boule rouge? Même question pour l urne B. 2. Quelle est la probabilité que : a) les quatre boules soient de même couleur? b) deux boules soient noires et deux rouges? c) Est-il plus probable d obtenir un nombre pair ou un nombre impair de boules noires? Dans une population de n individus on prélève, au hasard, sans répétition et 2 fois de suite de manière indépendante avec remise entre deux tirages, 2 groupes de cardinaux respectifs r et s. Quelle est la probabilité que les deux échantillons n aient pas d éléments communs? Une forêt contient 20 cerfs dont 5 sont capturés, marqués puis relâchés. Un an plus tard, 4 de ces 20 cerfs sont à nouveau capturés. Quelle est la probabilité que 2 de ces 4 cerfs soient marqués? Exercice 7. Dans une urne il y a n jetons dont deux seulement sont gagnants. Un joueur a le droit d utiliser une des deux stratégies suivantes : prendre simultanément deux jetons ; tirer un jeton, noter le résultat, le replacer dans l urne et recommencer une fois. 1. Comparer les probabilités de succès, c est-à-dire avoir au moins un jeton gagnant, des deux stratégies. 2. Répondre à la même question avec m jetons gagnants.

7 Exercice 8. On pioche 5 cartes dans un jeu classique de 52 cartes. On ne les regarde pas. a) Quelle est la probabilité d avoir les 4 as parmi ces 5 cartes? b) On regarde deux cartes, ce sont des as. Quelle est la probabilité qu on ait les 4 as parmi nos 5 cartes? Exercice 9. On lance deux fois un dé. On considère les événements suivants : A : le premier dé est pair. B : le deuxième dé est impair. C : le total est impair. Montrer que ces trois événements sont deux à deux indépendants, mais ne sont pas globalement indépendants. Exercice 10. On lance deux dés équilibrés. 1. Si on sait qu au moins un des deux donne un score pair, quelle est la probabilité que l autre donne un score impair? 2. Quelle est la probabilité d avoir un total pair si au moins un des deux scores est impair? 3. Quelle est la probabilité d avoir au moins un score impair si le total est pair? 4. Les événements obtenir un total pair et obtenir au moins un score impair sont-ils indépendants? Exercice 11. Considérons deux événements E et F d un espace probabilisé (Ω, p). a) Montrer l équivalence E F et E F sont indépendants p(e F ) = 1 ou p(e F ) = 0 b) Montrer que si les événements E et F sont indépendants, alors on a l équivalence E F et E F sont indépendants p(e) = 1 ou p(e) = 0 ou p(f ) = 1 ou p(f ) = 0 Exercice 12. Soit Ω un ensemble de possibles et fixons a Ω. Soit p l application définie, pour un sous-ensemble A de Ω, par p(a) = 0 si a A et p(a) = 1 si a A. 1. Montrer que p est une probabilité sur Ω. 2. Montrer que deux événements E et F sont toujours indépendants. Exercice 13. Le problème de points au cours de parties. Deux joueurs A et B jouent en trois manches gagnantes. Pour chaque manche, la probabilité de victoire de A est p et la probabilité de victoire de B est q = 1 p. À ce moment de la partie, le joueur A a gagné deux manches et le joueur B en a gagné une. 1. Quelle est la probabilité que A perde la partie? 2. Même question lorsque A mène une manche à zéro. 3. Maintenant A et B vont jouer n manches, quelle est la probabilité que A gagne au moins k manches? Exercice 14. Un système d alarme fonctionne ainsi : s il y a un danger, la probabilité que l alarme se déclenche est 0,99 ; en l absence de danger, elle se déclenche avec une probabilité de 0,005. La probabilité qu un danger se présente est 0, Quelle est la probabilité que l alarme se déclenche? 2. L alarme se déclenche. Quelle est la probabilité qu un danger se présente? Quelle est la probabilité de fausse alerte?

8 6 Exercice 1. Dans un élevage de moutons, 30% des animaux ont la maladie M. Un test T est disponible pour dépister cette maladie. Pour un mouton sain, la probabilité d avoir une réaction négative au test est 0,9. Pour un mouton malade, la probabilité d avoir une réaction positive est 0,8. Si on choisit un mouton au hasard, quelle est la probabilité, si la réaction au test T est positive, que l animal soit malade? Exercice 2. Une usine d ampoules électriques possède trois ateliers. L atelier A assure 20% de la production, l atelier B 30% et l atelier C le reste. Il y a 5% des ampoules produites par l atelier A qui sont défectueuses, pour l atelier B, c est 4% et pour l atelier C, c est 1%. 1. Calculer la probabilité qu une ampoule produite par cette usine soit défectueuse. 2. On choisit au hasard une ampoule produite par cette usine et on constate qu elle est défectueuse. Calculer la probabilité pour qu elle sorte de l atelier A, de l atelier B ou de l atelier C. Exercice 3. On dispose de deux urnes. L urne A contient 5 balles rouge et 7 balles vertes. L urne B contient 3 balles rouges et 12 balles vertes. On lance une pièce équilibrée. Si elle retombe sur face, on pioche une balle dans l urne A, et si elle tombe sur pile, on pioche une balle sur l urne B. C est une balle verte qui est piochée. Quelle est la probabilité que la pièce soit tombée sur face? Un laboratoire dispose d un test de dépistage d une maladie. Si le patient est malade, le test est positif dans 99% des cas. Si le patient n est pas malade, le test est positif dans 5% des cas. Dans une population, il y a 0,5% de malades. On fait le test à un patient, il est positif. Quelle est la probabilité que le patient soit effectivement malade? On refait le test, indépendamment du premier test. Il est à nouveau positif. Quelle est la probabilité pour que le patient soit vraiment malade? On choisit au hasard un des nombres entiers parmi 1, 2,..., n, tous les choix étant équiprobables. Soit p un entier non nul inférieur ou égal à n. Soit E p l événement le nombre choisi est divisible par p. 1. Quelle est la probabilité de cet événement lorsque p divise n? 2. Montrer que si p 1, p 2,..., p k sont des diviseurs premiers distincts deux à deux de n, alors les événements E p1, E p2,..., E pk sont indépendants. 3. On appelle indicatrice d Euler la fonction ϕ définie sur les entiers naturels dont la valeur ϕ(n) est égale au nombre d entiers inférieurs à n et premiers avec n. Montrez que pour tout entier naturel n, on a : ϕ(n) = n ( 1 1 ) p p premier, p n Un tireur atteint sa cible avec une probabilité 0,6. On suppose que les tirs sont indépendants. Montrer qu il faut qu il faut au moins huit tirs pour que la probabilité d atteindre au moins deux fois sa cible dépasse 99%. Exercice 7. On lance une pièce équilibrée 1000 fois. Quelle est la probabilité d obtenir 545 pile ou plus?

9 7 Variables aléatoires Exercice 1. On choisit deux boules au hasard dans une urne qui contient 8 boules blanches, 4 boules noires et 2 boules oranges. Supposons qu on gagne 2 euros pour chaque boule noire tirée, et qu on perde 1 euro pour chaque boule blanche tirée. Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur. a) Quelles sont les valeurs possibles de X? b) Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X? Exercice 2. Cinq hommes et cinq femmes sont classés dans l ordre de leur note à l examen. Supposons que les notes sont toutes différentes, et que tous les classements sont équiprobables. Soit X le rang le plus élevé obtenu par une femme, par exemple X = 1 si la meilleure note est obtenue par une femme. a) Combien y a-t-il de classements possibles? b) Calculer P (X = i), pour i = 1, 2, 3,..., 8, 9, 10. Exercice 3. On lance un dé deux fois. Quelles sont les valeurs possibles des variables aléatoires suivantes? a) la valeur maximale des deux lancers ; b) la valeur minimale des deux lancers ; c) la somme des deux lancers. d) La différence entre la valeur du premier lancer et celle du deuxième lancer. e) En supposant que le dé est équilibré, calculer les lois des variables aléatoires définies par les questions a) à d). Un jeu de loterie consiste à tirer 5 numéros parmi les nombres de 1 à 50. Quelle est la probabilité qu au moins un des numéros tirés soit supérieur ou égal à 48? à 45? à 40? Loi de Bernoulli et loi binomiale Un homme prétend avoir des super pouvoirs. Pour le prouver, il affirme pouvoir prévoir sur quelle face une pièce équilibrée va tomber. Lors d une expérience, il donne la bonne réponse 7 fois sur 10. Quelle est la probabilité d avoir fait au moins aussi bien sans super pouvoir? Lors d un questionnaire à choix multiple avec 3 choix pour chacune des 5 questions, quelle est la probabilité pour qu un étudiant ait 4 réponses correctes en répondant au hasard? Exercice 7. Lors d un vol en avion, un moteur tombe en panne avec une probabilité 1 p. Les pannes des différents moteurs sont indépendantes. On suppose qu un avion a besoin qu une majorité de ses moteurs fonctionne pour atteindre sa destination. Pour quelle valeur de p est-il préférable de voler à bord d un avion à 5 moteurs plutôt qu à bord d un avion à 3 moteurs?

10 Exercice 8. Lors d un procès, il faut que le jury vote avec au moins 9 voix sur 12 pour déclarer un accusé coupable. On suppose qu un juré vote innocent lorsque l accusé est coupable avec une probabilité de 20%, et qu il vote coupable lorsque l accusé est innocent avec une probabilité de 10%. a) Si chaque juré vote indépendamment des autres et si 65% des accusés sont coupables, trouver la probabilité pour que le jury rende une décision correcte. b) Quelle est le pourcentage des accusés qui sont déclarés coupables? Exercice 9. Le gérant d un magasin de télévisions s imagine que 45% des personnes qui entrent dans son magasin achèteront un poste ordinaire, 15% achèteront un écran plasma et les autres ne feront que flâner dans le magasin. Si un jour 5 personnes entrent dans le magasin, quelle est la probabilité pour qu il vende exactement deux postes ordinaires et un écran plasma? Lois conjointes Exercice 10. On lance deux dés équilibrés. Trouver la probabilité conjointe des variables aléatoires X et Y, c est-à-dire toutes les valeurs P (X = a, Y = b), lorsque a) X est la plus grande valeur et Y est la somme des valeurs. b) X est la valeur du premier dé, et Y est la plus grande valeur. c) X est la plus petite valeur, et Y est la plus grande valeur. Exercice 11. Une urne contient n boules rouges et 2 boules vertes. On pioche les boules les unes après les autres sans remise. Soit X 1 le rang de sortie de la première boule verte et soit X 2 le rang de la seconde boule verte. a) Déterminer la loi conjointe des variables aléatoires X 1 et X 2. b) Quelle est la loi de la variable X 1? Exercice 12. On considère une suite de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes, toutes de paramètre p dont les valeurs sont 0 ou 1. Soit X 1 le nombre de 0 qui précèdent le premier 1, et soit X 2 le nombre de 0 entre les deux premiers 1. Trouver la loi conjointe de X 1 et X 2.

11 8 Exercice 1. un exercice théorique sur la loi binomiale Démontrer que si X est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors la probabilité P (X = i) augmente avec l entier i 0 tant que i < (n + 1)p. Variables aléatoires indépendantes Exercice 2. théorique Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes et finies, à valeur dans un ensemble E. Démontrer que les deux définitions suivantes de l indépendance de X et Y sont équivalentes : a) pour tous sous-ensembles finis A et B de E, on a p(x A, Y B) = p(x A)p(Y B). b) pour tous éléments a et b de E, on a p(x = a, Y = b) = p(x = a)p(y = b) Indication : Pour b) = a), utiliser p(x A, Y B) = a A,b B p(x = a, Y = b) =... Exercice 3. avec ou sans calcul On lance un dé autant de fois que nécessaire jusqu à ce qu on obtienne le score 1 ou 6. On pose N égal au nombre de lancers effectués et X égal au score du dernier lancer (1 ou 6). Ces deux variables aléatoires sont-elles indépendantes? Espérance, variance Lançons une paire de dés équilibrés à trois reprises. Vous gagnez si vous obtenez au moins une fois le score total de 7, et vous perdez sinon. Si vous perdez vous devez payer 3 euros. Quelle somme doit-on vous verser en cas de victoire pour que le jeu soit équitable? Deux adversaires jouent jusqu à ce que l un d eux gagnent n manches. Les manches sont indépendantes et chacune est gagnée par le joueur A avec probabilité p. 1. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de manches jouées. Quelle est l espérance de X a) pour n = 2? b) pour n = 3? 2. Démontrer que dans les deux cas, elle est maximale pour p = 1/2. 3. Quelle est la variance de X pour n = 2 et p = 1/2? Une boîte contient cinq tickets rouges et cinq tickets verts. Deux tickets sont piochés au hasard. S ils sont de la même couleur vous gagnez 1,10 euro et s ils sont de couleur différente, vous perdez 1 euro. Quelle est votre espérance gain? Quelle est la variance? Exercice 7. Soit X une variable aléatoire d espérance égale à 1 et de variance égale à 5 Calculer l espérance de (2 + X) 2. Calculer la variance de 4 + 3X.

12 Exercice 8. Une urne contient 12 boules rouges et 18 boules vertes. On pioche au hasard 5 boules avec remise. Quelle est l espérance du nombre de boules rouges piochées? Même question si la pioche est sans remise. Somme de variables aléatoires Exercice 9. On choisit un entier 0 ou 1 avec les probabilités respectives 1/3 et 2/3. On on lance un dé équilibré. Calculez l espérance de la somme de l entier choisi et du score du dé. Exercice 10. On joue à pile ou face avec trois pièces. La première est équilibrée, la seconde donne face avec une probabilité égale à 2/3 et la troisième avec une probabilité égale à 3/4. Quelle est l espérance du nombre total de faces obtenus lors de ces trois lancers? Quelle est sa variance? Loi hypergéométrique Exercice 11. On pioche trois cartes dans un jeu de 52. On appelle X le nombre d as piochés. Quelles sont la loi, l espérance et la variance de la variable aléatoire X? Exercice 12. Un nombre inconnu N d animaux vivent dans une forêt. On en capture m et on les marque. Quelques jours plus tard, on en capture n. On suppose que la population n a pas évolué durant ces quelques jours et que les animaux capturés et non capturés la première fois peuvent être capturés avec la même probabilité la seconde fois. 1. Appelons X le nombre d animaux marqués capturés la seconde fois. Quelle est la loi de X? 2. Soit a la valeur constatée pour X. Calculez pour quelle valeur de N, la probabilité P (X = a) est la plus grande. Markov et Chebyshev. Exercice 13. Soit X une variable aléatoire d espérance et variance toutes les deux égales à 20. Que peut-on dire de P (0 < X < 40)? Exercice 14. La note des étudiants à l examen est une variable aléatoire d espérance égale à Donnez une majoration de la probabilité pour un étudiant, d avoir On précise que la variance, sur les notes, est égale à 5. Que peut-on dire alors de la probabilité, pour un étudiant, d avoir entre 9 et 15? Exercice 15. Soit X une variable aléatoire positive telle que P (X 100) > 1/2. Que peut-on dire sur l espérance de X?

13 9 Loi faible des grands nombres Exercice 1. Supposons que vous avez conçu un jeu dont l espérance de gain est E = 0, 01e. Les assertions suivantes sont-elles vraies? Justifiez vos réponses. a) Si vous jouez un nombre n assez grand de parties, vous allez gagner plus de ne avec une probabilité supérieure à 0,99. b) Si vous jouez un nombre n assez grand de parties, vous allez gagner plus de 0, 009 ne avec une probabilité supérieure à 0,99. Exercice 2. Calculer le nombre de lancers de pile ou face, où pile a une probabilité p de survenir, qu il suffit d effectuer pour que la proportion de pile obtenue se situe strictement entre p 0, 02 et p+0, 02 avec une probabilité supérieure à 90%. Application : Calculer ce nombre pour p = 1/100, pour p = 1/10 et pour p = 1/2. Loi géométrique Exercice 3. Calculer l espérance du nombre de lancers d une paire de dés équilibrés jusqu à obtenir la somme des deux dés égale à 7 pour la dixième fois. Soit X une variable aléatoire obéissant à une loi géométrique. Montrez que pour tout entier n et k strictement positifs, la probabilité que X vaut n + k sachant que X > n vaut p(x = k), d abord par un raisonnement intuitif, puis par le calcul. Quelle est la valeur la plus probable prise par une variable aléatoire qui suit une loi géométrique de paramètre p non nul? On suppose que la probabilité, pour un nouveau-né, d être un garçon, est 1/2. On pose X la variable aléatoire égale au rang de naissance du premier garçon de la famille. a) À partir de combien d enfants, la probabilité que la famille comporte au moins un garçon est-elle plus grande que 95%, c est-à-dire pour quelle valeur de k a-t-on p(x > k) < 0, 05? b) Quelle est l espérance de la variable aléatoire X, c est-à-dire quel est, en moyenne, le rang de naissance du premier garçon? c) J ai déjà une fille, combien d enfants, en moyenne, dois-je encore avoir si je veux un garçon? d) Combien d enfants, au minimum, une famille doit-elle comporter en moyenne pour avoir deux garçons? Loi de Poisson Exercice 7. (problème de fréquentation) Les clients arrivent à la banque, pour une période d une heure, selon une loi de Poisson de paramètre 40. Sachant que 30 clients sont arrivés la première heure, quelle est la probabilité que 60 clients arrivent pendant les 90 premières minutes?

14 Exercice 8. Supposons qu il y a, en moyenne, 2 tremblements de terre par semaine dans cette région. Quelle est la probabilité de voir au moins 3 tremblements de terre dans les 2 semaines qui viennent? Exercice 9. (approximation le la loi binomiale par la loi de Poisson) Une machine fabrique des jouets selon des tirages de Bernoulli et la probabilité de fabriquer un jouet défectueux est, à chaque tirage, égale à 0,001. Utiliser l approximation par la loi de Poisson pour calculer la probabilité d obtenir exactement deux jouets défectueux pour 1000 tirages. Exercice 10 Le nombre de buts marqués par le club de football de ma ville au cours d un match obéit à une loi de Poisson. La probabilité qu il marque au moins un but est 83,5%. Quelle est la probabilité qu il marque au moins 2 buts? Exercice 11. Montrer que si X et Y sont deux variables aléatoires qui suivent une loi de Poisson de paramètres respectifs λ et µ et si X et Y sont indépendantes, alors X + Y suit de Poisson de paramètre λ + µ. Exercice 12. Soit X une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre λ. a) Montrer que p(x = k) croît puis décroît lorsque k varie de 0 à + et que le maximum est atteint lorsque k est égal au plus grand entier inférieur ou égal à λ. b) Inversement, pour k fixé, quelle est la valeur de λ qui maximise la valeur de p(x = k)?

15 10 Axiomes des probabilités Exercice 1. On rappelle qu un espace probabilisé est un triplet (Ω, F, p), où Ω est un ensemble quelconque, F est un ensemble de parties de Ω contenant Ω et stable par complément et par réunion dénombrable, et p est une application F R qui satisfait les trois axiomes suivants, appelés axiomes de Kolmogorov : A1 Pour tout élément E de F, on a 0 p(e) 1. A2 P (Ω) = 1. A3 Si (E i ) i I est une famille dénombrable d éléments de F deux à deux disjoints, alors ( ) p E i = p(e i ) i I i I Démontrer les conséquences suivantes de ces trois axiomes : 1. p( ) = Pour tout élément E de F, on a P (E) = 1 p(e). 3. Pour tout élément E et F de F, on a l implication E F = p(e) p(f ). 4. (inclusion-exclusion) Pour tout élément E et F de F, on a P (E F ) = p(e) + p(f ) p(e F ). 5. (inégalité de Benferroni) Pour tout élément E et F de F, on a p(e F ) p(e) + p(f ) (inégalité de Boole) Pour toute famille dénombrable (E i ) i I d éléments de F, on a ( ) p E i p(e i ). i I i I 7. Si (E n ) n N est une famille croissante pour l inclusion, alors ( p n N E n ) = lim n p(e n). Si (E n ) n N est une famille décroissante pour l inclusion, alors ( p n N E n ) = lim n p(e n). Exercice 2. Supposons qu on répète une expérience aléatoire n fois. Pour tout événement E, notons n(e) le nombre de fois que l événement E se produit au cours de ces n répétitions, et posons f(e) = n(e) n. Montrer que l application f satisfait les trois axiomes des probabilités. Exercice 3. On considère les axiomes de Kolmogorov et la propriété B : p( ) = Montrer la fonction identiquement nulle satisfait A1, B et A3, mais pas A2. 2. Pourrait-on remplacer l axiome A2 par la propriété B?

16 Loi continue uniforme Supposons que vous cassiez un bâton en un point aléatoire uniformément choisi sur le bâton. Quelle est la probabilité que le plus long morceau soit plus de deux fois plus grand que le plus court? Les bus quittent l arrêt à tous les quart d heure à partir de 18h. Si Félix et Lola arrivent aléatoirement et indépendamment à l arrêt du bus dans l heure entre 18 et 19 heures, quelle est la proba qu ils soient dans le même bus. Montrez, en utilisant la densité, que si X est une variable aléatoire réelle de loi uniforme sur l intervalle [a, b] alors E[X] = (a + b)/2. Exercice 7. Soit X une variable aléatoire réelle distribuée uniformément sur l intervalle [ a; a], où a > 0. Déterminez a de sorte que a) p(x > 1) = 1/3 ; b) p(x < 1/2) = 0, 7. Loi normale Exercice 8. Soit Z la variable aléatoire normale centrée réduite. a) Que vaut p(1, 62 Z 1, 94)? b) Trouvez un entier k tel que p(z > k) = 0, 025. Exercice 9. On a établi que les notes à des tests servant à sélectionner des candidats, suivent une loi normale d espérance 500 et d écart type 50. a) Quelles ont les chances sur 100 qu un candidat obtienne une note inférieure ou égale à 550? b) Trouver une borne inférieure de la note que 60% des candidats qui se présentent à ce test sélectif obtiendront. c) Un candidat qui a bien réussi pense être dans les 5% les meilleurs. Quelle note faut-il obtenir pour cela? d) En deça de la note de 400, le candidat est recalé. Combien de candidats seront refusés sachant qu ils étaient au départ 800? Exercice 10. Si dans une population 50% des sujets de sexe masculin ont un poids supérieur à 70 kg, et si l écart type de la distribution est 10, quel proportion des sujets pèsent plus de 100kg? Quelle hypothèse est nécessaire pour pouvoir calculer? Exercice 11. somme de variables aléatoires indépendantes Une entreprise met en boîte des céréales dont le poids en gramme est suit une loi normale de moyenne µ = 450 et variance égale à 9. Ces boîtes sont livrées par caisse de 24. a) À quelle loi obéit le poids total Y des boîtes contenues dans une caisse? Précisez également la moyenne et la variance. b) À quelle loi obéit le poids moyen, égal à Y/24 des boîtes contenues dans la caisse? Quelles sont les valeurs de l espérance du poids moyen, de sa variance et de son écart-type?

17 Exercice 12. approximation de la loi binomiale Dans un village canadien, 40% des habitants parlent le francais. Quelle est la probabilité que, dans un échantillon de 200 habitants, ceux qui parlent français soient majoritaires. Exercice 13. Un examen consiste en un questionnaire à choix multiples de 60 questions avec quatre réponses pour chaque question. Il y a seulement une bonne réponse par question, qui fait gagner un point. La note de passage est 30. a) Jean, qui n est pas prêt pour l examen, répond au hasard. Combien de bonnes réponses peut-il espérer obtenir? b) Quelle est la probabilité qu il obtienne au moins la note de passage? c) Son ami s est mieux préparé et connaît 24 réponses. S il répond au hasard aux autres questions, quelle est la probabilité qu il passe l examen? Exercice 14. Les fourmis rouges du Haut Plateau de Katanga ont les yeux bleus, exceptées les albinos qui ont les yeux jaunes. Chaque fourmi a une chance sur 10 d être albinos. Un éléphant vient s abreuver au bord du lac. Il écrase 453 fourmis rouges. Soit X le nombre de victimes aux yeux jaunes. a) Quelle est la loi de X? Calculer E(X) et l ecart-type σ(x). b) Par quelle loi de probabilité peut-on approcher la loi de X? c) Calculez la probabilité p(20 < X < 50). Loi exponentielle Exercice 15 Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle, appelons µ son espérance E(X). Quelle est la probabilité que X > µ? et que X > 2µ? Exercice 16. Déterminez le paramètre λ d une loi exponentielle pour qu elle ait 5 chances sur 100 de dépasser la valeur 1. Exercice 17. La durée de vie des pneus de ma voiture obéit à une loi exponentielle de moyenne km. a) Quelle est la probabilité qu un nouveau pneu dure plus de kilomètres? b) Si un pneu a déjà roulé kilomètres, quelle est la probabilité qu il dure, en tout, plus de kilomètres?

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