PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II

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1 PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II TABLE DES MATIERES CHAPITRE I - COMBINATOIRE ELEMENTAIRE I.1. Rappel des notations de la théorie des ensemble I.1.a. Ensembles et sous-ensembles I.1.b. Diagrammes (dits de Venn) I.1.c. Cardinal d un ensemble fini I.1.d. Opérations booléennes I.1.e. Suites de sous-ensembles I.1.f. Ensemble produit cartésien I.1.g. Propriétés élémentaires du complémentaire et des opérations booléennes I.2. Notions de combinatoire I.2.a. La règle de multiplication I.2.b. Permutations et arrangements I.2.c. Combinaisons (sans répétition) I.2.d. Propriétés des coefficients binomiaux I.2.e. Coefficients multinomiaux I.2.f. Combinaisons (avec répétition) I.3. Notions de combinatoire I.3.a. Bridge I.3.b. Poker

2 CHAPITRE II - NOTIONS DE PROBABILITES II.1. Un exemple : le poker II.2. La définition du modèle probabiliste II.2.a. L ensemble fondamental II.2.b. La notion d événement II.2.c. La notion de probabilité II.3. Propriétés d une distribution de probabilité II.3.a. Propriétés élémentaires II.3.b. Probabilités de réunions d ensembles : Règle d inclusion-exclusion II.3.c. * Suites infinies d événements et lemme de Borel-Cantelli II.4. Evénements indépendants II.4.a. Indépendance de deux événements II.4.b. Indépendance de plusieurs événements II.4.c. Probabilité de réunions d événements indépendants II.5. Probabilités conditionnelles II.5.a. Définition II.5.b. Conditionnement multiple II.5.c. Formule des probabilités totales II.5.d. Formule de Bayes II.5.e. Exemples

3 CHAPITRE III - SUITES D EXPERIENCES ALEATOIRES III.1. Le modèle III.1.a. Le modèle abstrait le processus de Bernoulli III.1.b. Exemples III.2. La loi binomiale III.2.a. Le nombre de succès III.2.b. Stabilité III.3. La loi géométrique et loi binomiale négative III.3.a. Loi du temps du 1 er succès III.3.b. Propriété caractéristique de la loi géométrique : perte de mémoire III.3.c. Loi binomiale négative III.3.d. Stabilité III.4. Extensions du modèle III.4.a. Le modèle multinomial III.4.b. Modèle hypergéométrique III.5. Théorèmes limites III.5.a. Convergence du modèle hypergéométrique vers le modèle binomial III.5.b. Convergence du modèle binomial vers la loi de Poisson III.5.c. Convergence de la loi géométrique vers la loi exponentielle III.5.d. Loi des grands nombres III.5.e. Convergence vers la loi gaussienne ou normale III.6. Marche aléatoire et fortune du joueur III.6.a. Définition III.6.b. La loi de Z N III.6.c. Application au problème de la ruine de joueur III.6.d. Marche aléatoire et théorèmes limites

4 CHAPITRE IV - VARIABLES ALEATOIRES IV.1. Définitions et exemples IV.1.a. Variables aléatoires IV.1.b. Distribution de probabilités : densité de probabilités et fonction de répartition IV.2. Couples des variables aléatoires IV.2.a. Fonction de répartition conjointe IV.2.b. Fonction de répartition marginale IV.2.c. Propriétés de la fonction de répartition conjointe IV.2.d. Loi discrète conjointe IV.2.e. Loi continue conjointe IV.3. Espérance IV.3.a. Définition IV.3.b. Exemples IV.3.c. Propriétés élémentaires de l espérance IV.3.d. Espérance d une fonction d une variable aléatoire IV.3.e. Espérance : Inégalités IV.4. Variance et Covariance IV.4.a. Définitions IV.4.b. Exemples (Variance) IV.4.c. Propriétés élémentaires IV.5. Moments et transformée de Laplace IV.5.a. Moments IV.5.b. Définition de la transformée de Laplace IV.5.c. Relation avec les moments IV.5.d. Exemples IV.5.e. Convergence vers la loi gaussienne ou normale IV.6. Loi d une fonction des variables aléatoires IV.6.a. Changement de variables à une dimension IV.6.b. Changement de variables multidimensionnelles

5 CHAPITRE V - VARIABLES INDEPENDANTES ET THEOREMES LIMITES V.1. Définition de l indépendance des variables aléatoires V.1.a. Définition : Indépendance des deux variables aléatoires V.1.b. Indépendance et covariance V.1.c. Indépendance de plusieurs variables aléatoires V.1.d. Distribution conjointe de variables aléatoires indépendantes V.2. Variables aléatoires indépendantes et ordre V.2.a. Maximum ou minimum de variables aléatoires indépendantes V.2.b. Théorème limite pour les valeurs extrêmes de variables iid V.2.c. Statistique d ordre et vecteur des rangs V.3. Sommes des variables indépendantes V.3.a. Somme de deux variables indépendantes discrètes V.3.b. Somme de N variables indépendantes discrètes V.3.c. Somme de deux variables indépendantes continues V.3.d. Somme de N variables indépendantes continues V.3.e. Rôle de la transformation de Laplace V.3.f. Théorèmes de stabilité V.4. Lois des grands nombres V.4.a. Loi faible des grands nombres V.4.b. Loi forte des grands nombres V.4.c. Propriétés élémentaires V.5. Le Théorème central limite V.6. Pratique du Théorème central limite V.6.a. Approcher des variables continues V.6.b. Approcher des variables discrètes : Correction d histogramme

6 CHAPITRE VI - INTRODUCTION AUX STATISTIQUES VI.1. Le problème de l'estimation VI.2. Qualité d'un estimateur VI.2.a. Biais VI.2.b. Risque quadratique VI.2.c. Efficacité et optimalité d'estimateurs VI.2.d. Estimateurs consistants VI.3. Le maximum de vraisemblance VI.3.a. Le maximum de vraisemblance : variables aléatoires discrètes VI.3.b. Le maximum de vraisemblance : variables aléatoires continues VI.4. Estimation de la moyenne et de la variance pour un échantillon quelconque VI.5. Echantillons gaussiens VI.5.a. Loi des estimateurs naturels VI.5.b. Intervalles de confiance VI.5.c. Cas où la variance est inconnue VI.5.d. Comparaison de deux moyennes VI.6. Le problème des tests VI.7. Test sur la moyenne d'un échantillon gaussien VI.8. Le cas binomial VI.9. Test du Chi-deux