Modélisation aléatoire en fiabilité des logiciels

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1 collection Méthodes stochastiques appliquées dirigée par Nikolaos Limnios et Jacques Janssen La sûreté de fonctionnement des systèmes informatiques est aujourd hui un enjeu économique et sociétal majeur. Cet ouvrage présente la théorie mathématique de la fiabilité des logiciels et ses applications, qui permettent de prévoir l occurrence des défaillances futures d un système informatique et d évaluer sa fiabilité. Les principaux modèles du processus des défaillances et corrections d un logiciel y sont décrits en adoptant une présentation unifiée dans le cadre des processus aléatoires ponctuels. Les méthodes statistiques associées (de l inférence bayésienne au choix de modèle) sont également étudiées, ainsi que les modèles prenant en compte des covariables et l architecture d un logiciel. L objectif est d aller de l étude conceptuelle approfondie des modèles au calcul numérique des indicateurs de fiabilité à l aide d exemples. Mêlant théorie et pratique, Modélisation aléatoire en fiabilité des logiciels s adresse aux étudiants, ingénieurs, chercheurs en mathématiques appliquées et en informatique, intéressés par les méthodes probabilistes et leurs applications en fiabilité. Les auteurs Olivier Gaudoin est professeur à l Ecole nationale supérieure d informatique et de mathématiques appliquées de Grenoble (ENSIMAG) où il enseigne les probabilités et la statistique. Ses domaines de recherche sont la modélisation aléatoire et l analyse statistique pour la fiabilité des systèmes. James Ledoux est maître de conférences à l Institut national des sciences appliquées (INSA) de Rennes où il enseigne les mathématiques appliquées, et en particulier les probabilités et la statistique. Ses recherches portent sur la modélisation aléatoire Olivier Gaudoin James Ledoux Modélisation aléatoire en fiabilité des logiciels collection Méthodes stochastiques appliquées dirigée par Nikolaos Limnios et Jacques Janssen Modélisation aléatoire en fiabilité des logiciels Olivier Gaudoin James Ledoux Z(7ic7e6-CBGAIC(

2 TABLE DES MATIÈRES Avant-propos Chapitre 1. Introduction Problématique de la fiabilité des logiciels Utilisation des évaluations de fiabilité des logiciels Terminologie Différences entre fiabilité des logiciels et fiabilité des matériels Entrées, profil opérationnel et fautes Défaillances et corrections Exemple de données Contenu du livre Chapitre 2. Concepts de base Concepts élémentaires de fiabilité Hypothèses de base Les fonctions fiabilité et de survie résiduelle Le taux de défaillance Le MTTF Les lois usuelles de durées de vie La loi exponentielle La loi de Weibull La loi gamma La loi lognormale... 41

3 6 Fiabilité des logiciels La loi de Pareto La loi hypoexponentielle La loi hyperexponentielle Lois avec taux de défaillance en baignoire Autres lois usuelles en fiabilité La loi binomiale La loi de Poisson La loi normale La loi uniforme La loi puissance Concepts élémentaires de statistique Estimation Qualité d un estimateur Intervalles de confiance et tests d hypothèses Statistiques d ordre Notations et conventions Chapitre 3. Modèles de défaillance auto-excités Le processus des défaillances Quelques mesures de fiabilité des systèmes réparables Construction d un modèle de défaillance La suite des instants de défaillance Le processus de comptage des défaillances Propriétés des modèles de défaillance auto-excités Notion de mémoire Intensité cumulée ou compensateur Loi des durées inter-défaillances Loi des instants de défaillance Fonctions de vraisemblance Loi du nombre de défaillances survenues Expressions des principales grandeurs de fiabilité Classification des modèles de défaillance auto-excités Notes et compléments Chapitre 4. Processus ponctuels Processus de comptage et intensité stochastique Histoire, mesurabilité, prévisibilité

4 Table des matières Intensité stochastique Intensité d un processus de comptage relativement à son histoire interne Processus de Poisson Simulation Inverse généralisée Simulation par inversion Image d un processus de Poisson par un changement de temps Simulation et taux de hasard Modèles conditionnellement auto-excités Intensité à structure multiplicative Exemple introductif Modèles de régression Notes et compléments Chapitre 5. Processus markoviens Processus markovien de sauts Propriété de Markov Noyau de transition Caractérisation des processus markoviens de sauts Générateur infinitésimal et graphe de transition Irréductibilité et ergodicité Processus markovien uniformisable Processus de comptage associés à un processus markovien de sauts Intensités des processus de comptage Processus de naissance pure Intégrabilité Le processus markovien des arrivées Définition MAP et processus de renouvellement markovien Intensité stochastique d un MAP Principales formules utiles en fiabilité Fonction fiabilité MTTF Loi de N t Fonction moyenne et ROCOF

5 8 Fiabilité des logiciels 5.4. Quelques éléments sur les chaînes de Markov générales Notes et compléments Chapitre 6. Propriétés générales des processus de Poisson Intensité de défaillance Processus de comptage des défaillances Durées inter-défaillances Instants de défaillance Fiabilité et MTTF Fonctions de vraisemblance Lien entre NHPP et processus de records Quelques propriétés utiles Chapitre 7. Fiabilité d un logiciel non corrigé : les processus de Poisson homogènes Définition et propriétés probabilistes Processus de comptage des défaillances Durées inter-défaillances Instants de défaillance Fiabilité et MTTF Fonctions de vraisemblance Quelques propriétés utiles Estimation des grandeurs de la fiabilité Censure de type Estimation ponctuelle de Intervalles de confiance pour Tests d hypothèses sur Estimation du MTTF et de la fiabilité Censure de type Estimation ponctuelle de Intervalles de confiance et tests d hypothèses Estimation de la fiabilité Données groupées Application aux données de l exemple Validation des logiciels Validation en présence de défaillances Validation en l absence de défaillance

6 Table des matières 9 Chapitre 8. Modèles à durées inter-défaillances exponentielles et leurs généralisations Définition et propriétés des modèles ETBF Intensité de défaillance Instants de défaillance Processus de comptage des défaillances Fiabilité et MTTF Fonction de vraisemblance Le modèle de Jelinski-Moranda Définition Propriétés probabilistes Propriétés statistiques Commentaires Premières généralisations du modèle de Jelinski-Moranda Le modèle géométrique de Moranda Définition et propriétés probabilistes Propriétés statistiques Les modèles de statistiques d ordre généralisées Définition Propriétés probabilistes Quelques modèles GOS Modèles conditionnellement ETBF Définition Le modèle de Littlewood Le modèle de Littlewood-Verrall Modélisation par chaînes de Markov cachées Le profil opérationnel poissonnien homogène Lois conditionnelles des taux de hasard Le modèle de Basu et Ebrahimi Le modèle proportionnel lognormal Un modèle à deux taux de correction Un modèle de chaîne de Markov cachée Notes et compléments Chapitre 9. Quelques modèles NHPP Construction des modèles NHPP Loi du premier instant de défaillance Lien entre ROCOF et intensité Lien entre NHPP et modèles GOS

7 10 Fiabilité des logiciels 9.2. Le processus de puissance ou modèle de Duane Définition et propriétés probabilistes Processus de comptage des défaillances Durées inter-défaillances Instants de défaillance Fiabilité et MTTF Fonctions de vraisemblance Quelques propriétés utiles Estimation des grandeurs de la fiabilité Censure de type Censure de type Données groupées Application aux données de l exemple La famille puissance généralisée Le modèle de Goel-Okumoto Quelques extensions du modèle de Goel-Okumoto Décomposition en modules Taux de manifestation variable Correction imparfaite Autres modèles NHPP Le modèle de Musa-Okumoto Le modèle NHPP de Littlewood Le modèle hyperexponentiel Notes et compléments Chapitre 10. Inférence bayésienne Des éléments sur l inférence bayésienne Principe général de l inférence bayésienne Méthodes de Monte Carlo par chaînes de Markov Echantillonneur d Hastings-Metropolis Echantillonneur de Gibbs Echantillonneur de Gibbs avec complétion des données Echantillonneur de Gibbs avec une étape Hastings-Metropolis Inférence bayésienne en fiabilité des logiciels Analyses bayésiennes du modèle de Jelinski-Moranda Analyses bayésiennes du modèle de Littlewood-Verrall

8 Table des matières Analyses bayésiennes des modèles NHPP et GOS NHPP bornés Modèles GOS NHPP non bornés Estimation et contrôle de convergence Le modèle d Al-Mutairi, Chen et Singpurwalla Chapitre 11. Choix de modèles auto-excités Les tests de tendance Méthodes graphiques Tests d adéquation au HPP Le test de Laplace Censure de type Censure de type Données groupées Le test logarithmique Censure de type Censure de type Optimalité des tests de tendance Les tests d adéquation Problématique Méthodes graphiques Tests d adéquation pour des variables aléatoires i.i.d Cas 1 : tests d adéquation à une loi entièrement spécifiée Cas 2 : test d adéquation à une famille paramétrée de lois Tests d adéquation au PLP Tests CPIT Les tests préquentiels Tests d adéquation aux NHPP de Zhao-Wang Comparaison des tests d adéquation Chapitre 12. Modèles à covariables Covariables en fiabilité des logiciels Modèles basés sur le modèle de Cox Modèle à intensités proportionnelles L individu est un sous-système d un logiciel

9 12 Fiabilité des logiciels L individu est une copie d un logiciel L individu est une faute Un modèle basé sur le modèle multiplicatif matriciel d Aalen Estimateur de Nelson-Aalen Estimateur du vecteur des fonctions de régression Adéquation au modèle Chapitre 13. Modèles basés sur l architecture du logiciel Un modèle de la structure d un logiciel Quelques modèles de fiabilité Le modèle de Laprie Le modèle boîte-blanche de Littlewood Un modèle général de processus markovien des arrivées Analyse Expressions des grandeurs de fiabilité Comportement asymptotique Croissance de fiabilité Estimation des paramètres Modèles en temps discret D autres approches Approximations de la fiabilité Simulation Méthodes basées sur le test Notes et compléments Bibliographie Index

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