Raisonnement probabiliste

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Raisonnement probabiliste"

Transcription

1 Plan Raisonnement probabiliste IFT Concepts avancés pour systèmes intelligents Luc Lamontagne Réseaux bayésiens Inférence dans les réseaux bayésiens Inférence exacte Inférence approximative 1 2 Contexte Quel type d agent? Jusqu à maintenant, nous avons principalement étudié des techniques pour des environnements déterministes Que faire lorsque l environnement est non percepts Agent déterministe? Capteur Observabilité partielle Inférence Envir ε ment Information bruitée actions Comportement Effecteurs stochastique Environnement complexe 3 Un agent doit pouvoir gérer : L incertitude lié à l environnement probabilité La qualité de ses décisions utilité Agent État Comment le monde évolue? Quel est l impact de mes actions? Utilité Capteurs Comment le monde est maintenant? Comment sera le monde si je fais l action A? À quel point je vais être satisfait dans un tel état? Quelle action dois-je faire maintenant? Effecteurs Envir ε ment 4

2 Agent basé sur l utilité Raisonnement incertain : Réseaux bayésiens Raisonnement incertain (ch.13-14) Dans cette section, nous étudions les réseaux bayésiens Basés sur les probabilités un formalisme éprouvé Permettent de représenter les dépendances entre les variables Donnent une spécification concise des distributions de probabilités conjointes. Théorie de la décision (ch.16-17) Niveau_énergie Armé Attaque Proche Dangereux Visible Audible 5 6 Notions de probabilité Révision des concepts de probabilité au chapitre 13 Règle du produit P ( a, b) = P( a b) P( b) = P( b a) P( a) P Règle de bayes ( ) ( a b) P( a) P a b = P( b) Distributions de probabilités conjointes P(x,y,z) Utile pour faire des inférences Mais peuvent être difficile à calculer en pratique (grande taille) Conditionnement ( ) P( Y z) P( z) P Y = z Indépendance et indépendance conditionnelle Permettent de réduire les calculs reliés à ces distributions. P ( X Y ) = P( X ) P ( X, Y ) = P( X ) P( Y ) 7 Syntaxe F 0.15 F Réseau bayésien MalDeDents SondeAccroche Un graphe orienté acyclique Chaque nœud annoté d une table de probabilités conditionnelles. Plus spécifiquement, il contient: Un ensemble de variables aléatoires Un ensemble de liens orientés connectant deux nœuds. S il y a un lien du nœud X vers Y, on dit que X est le parent de Y. Chaque nœud a une distribution de probabilité conditionnelle P(X i Parents(X i )) qui quantifie l effet du parent sur le nœud. Carie V P(MD) 0.6 P(Carie) 0.02 Carie Carie V P(SA)

3 Syntaxe des réseaux bayésiens : Exemple du dentiste Météo MalDeDents Carie SondeAccroche Indépendance : Météo est indépendante des autres variables Indépendance conditionnelle : MalDeDents et SondeAccroche le sont sachant Carie. Il n y a aucun lien direct entre MalDeDents et SondeAccroche. Syntaxe des réseaux bayésiens : Exemple de l alarme Vous avez un nouveau système d alarme à la maison : Il sonne lorsqu il y a un cambriolage (Burglary) Il sonne parfois lorsqu il y a un tremblement de terre (Earthquake) Vous avez deux voisins qui vous appellent au bureau s ils entendent l alarme. John appelle tout le temps quand il entend l alarme, mais parfois il confond le téléphone avec l alarme (JohnCalls). Mary aime écouter de la musique forte et parfois elle n entend pas l alarme (MaryCalls). Sachant qui a appelé : Quelle est la probabilité qu il y ait un cambriolage? 9 10 Syntaxe des réseaux bayésiens : Exemple de l alarme Syntaxe des réseaux bayésiens : Exemple de l alarme La topologie du réseau reflète un ensemble de relations d indépendances conditionnelles Bulgary et Earthquake affectent directement la probabilité de déclenchement d une alarme Le fait que John ou Mary appelle ne dépend que de l alarme. John et Mary ne perçoivent pas directement le cambriolage Ils ne perçoivent pas les tremblements de terre mineurs Ils ne se consultent pas avant d appeler 11 12

4 Syntaxe des réseaux bayésiens : Exemple de l alarme Syntaxe des réseaux bayésiens : Spécification concise Table de probabilités conditionnelles (TPC) Pour une variable booléenne X i avec k parents booléens Elle contient 2 k rangés. Chaque rangée a une probabilité p pour X i = Vrai La valeur pour X i = Faux est 1 p Si on borne le nombre maximal de parents à k Alors le réseau demande O(n2 k ) nombres. Linéaire en n, au lieu de O(2 n ) pour une table complète Pour notre exemple On a besoin de 10 valeur au lieu de 2 5 = 32 pour la table complète de probabilité conjointe Sémantique Un réseau définit la distribution conjointe complète de probabilités Correspond au produit des distributions conditionnelles locales : Exemple: Construction Il faut une méthode garantissant qu une série d indépendances conditionnelles vérifiées localement induise la sémantique globale requise Choisir un ordre sur les variables X 1,,X n Pour i = 1 à n Faire - Ajouter X i au réseaur - Sélectionner ses parents dans X 1,, X i-1 tels que P(X i Parents(X i )) = P(X i X 1,,X i-1 ) Fin Pour Il est préférable d avoir un modèle causal C est-à-dire qu il est mieux d ajouter la cause «racine» en premier Et ensuite les variables qui sont influencées par la cause 15 16

5 Exemple Supposons que l on choisit l ordre B, E, A, M, J Exemple Supposons que l on choisit le mauvais ordre M, J, A, B, E Bulgary MaryCalls Alarm Earthquake JohnCalls P(J M) = P(J)? Non P(A J,M) = P(A J)? Non P(A J,M) = P(A M)? Non P(B A,J,M) = P(B A)? Oui P(B A,J,M) = P(B)? Non P(E B,A,J,M) = P(E A)? Non P(E B,A,J,M) = P(E A,B)? Oui On obtient un réseaux plus complexe avec des probabilités plus difficiles à déterminer. Bulgary MaryCalls Alarm JohnCalls Earthquake Sémantique Sémantique locale : chaque nœud est conditionnellement indépendant des nœuds qui ne sont pas ses descendants étant donné ses parents. Sémantique Chaque nœud est indépendant des autres sachant sa couverture de Markov (Markov Blanket) Parent + Enfants + Parents des enfants

6 Sommaire Les réseaux bayésiens sont une manière naturelle de représenter les dépendances causales. C est une représentation compact des distributions conjointes de probabilité. Généralement facile à construire. Inférence exacte But : Calculer la distribution de probabilité a posteriori d un ensemble de variables de requête Étant donnée un événement observé, c.-à-d. à des variables d évidence dont les valeurs sont déterminées L ensemble complet de variables X: X : variable de question E: l ensemble des variables d évidence e: un événement particulier Y: l ensemble des variables cachées X = { X } U E U Y Inférence exacte Une question typique: P(X e) Dans l exemple du cambriolage On pourrait observer l événement JohnCalls = vrai et MaryCalls = vari. Par la suite, on pourrait se demander s il y a eu un cambriolage. Inférence exacte : Inférence par énumération Les réseaux bayésiens donnent la représentation complète de la table de distribution conjointe Alors on peut utiliser la formule suivante (voir chapitre 13) Si on reprend l exemple précédent où les variables cachées sont Earthquake et Alarm

7 Inférence exacte : Inférence par énumération Inférence exacte : Inférence par énumération On peut réécrire la formule en utilisant les entrées des tables de probabilités conditionnelles du réseau bayésien. Pour Burglary = vrai, on obtient: B M A E J Arbre de calcul : En simplifiant, on obtient: 25 Répétitions 26 Inférence exacte : Inférence par énumération En effectuant les calculs, on obtient: Inférence exacte : Inférence par énumération Si on fait la même chose pour Burglary = false, on obtient: Même si les deux appellent, il n y a que 28% des chances qu il y ait eu un cambriolage. La complexité en temps de l inférence par énumération est de O(2 n )

8 Inférence exacte : Élimination de variables Améliore l algorithme par énumération en évitant les calculs répétés. La somme est effectuée de la droite vers la gauche. Exemple cambriolage : Inférence exacte : Élimination de variables - Exemple Pour le facteur M, on enregistre les probabilités, étant donné chaque valeur de a, dans un vecteur à deux éléments. Facteurs On fait la même chose pour J. Pour le facteur A, on obtient une matrice de 2 x 2 x 2, f A (A,B,E) Inférence exacte : Élimination de variables - Exemple Inférence exacte : Élimination de variables - Exemple Il faut maintenant faire la somme du produit des trois facteurs La barre sur le A, indique que l on a fait la somme pour A Le facteur et la sommation sur E sont calculés de la même manière. Finalement, on obtient: La multiplication utilisée est un pointwise product 31 32

9 Inférence exacte : Pointwise product Le pointwise product de deux facteurs f 1 et f 2 donne un nouveau facteur f Les variables sont l union des variables de f 1 et f 2. Exemple: Inférence exacte : Variables inutiles Considérons: P(J b) La somme sur M donne 1 Donc M est inutile. Théorème: Y est inutile sauf si Ici: donc, M est inutile Réseaux bayésiens Inférence approximative Les méthodes d inférences exactes que l on vient de voir ne sont pas utilisables pour de grands réseaux. C est pourquoi on considère des approches approximatives. On va voir des algorithmes basés sur l échantillonnage aléatoire (Monte Carlo) dont la précision va dépendre du nombre d échantillons. Méthodes d échantillonnage directe La forme la plus simple d échantillonnage aléatoire est de générer des événements sans variable d évidence La distribution de probabilité à partir de laquelle un échantillon pour une variable est choisi est basée sur les valeurs attribuées aux parents

10 Exemple d échantillonnage directe Exemple d échantillonnage directe Exemple d échantillonnage directe Exemple d échantillonnage directe 39 40

11 Exemple d échantillonnage directe Exemple d échantillonnage directe Exemple d échantillonnage directe Exemple d échantillonnage directe Résultat = [T, F, T, T] On répète plusieurs fois pour obtenir un échantillon! 43 44

12 Échantillonnage directe : Estimer la probabilité d un événement On peut estimer la probabilité d un événement avec la fraction des événements générés aléatoirement qui remplit la condition. Par exemple Si on génère 1000 échantillons Que pour 511 d entre eux Rain = true Donc on peut faire l estimation suivante : Échantillonnage par rejet Utiliser pour déterminer les probabilités conditionnelles. Méthode: Génère des échantillons comme la méthode précédente Enlève tous les échantillons où les variables d évidence n ont pas les bonnes valeurs Estime la probabilité en comptant parmi les échantillons restants Échantillonnage par rejet Échantillonnage par rejet Supposons que l on veut estimer P(Rain Sprinkler = true) en utilisant 100 échantillons. Dans 73 échantillons, Sprinkler = false Ils sont donc rejetés Pour les 27 échantillons où Sprinkler = true 8 ont Rain = true 19 ont Rain = false Donc 47 48

13 Échantillonnage par rejet Problème de cette méthode Elle rejette beaucoup d échantillons Elle génère donc beaucoup d échantillons inutiles. Si un grand nombre de variables d évidence L approche est impraticable pour les problèmes complexes Autre approche Likelihood weighting Évite l inefficacité de l échantillonnage par rejet Génère uniquement des échantillons consistants avec les variables d évidence Idée : Fixer les variables d évidence Échantillonner uniquement sur les autres variables Attribuer un poids aux échantillons selon la probabilité que l événement survienne en accord avec les évidences Réseaux bayésiens Inférence approximative Réseaux bayésiens Inférence approximative, e) w =

14 Réseaux bayésiens Inférence approximative Réseaux bayésiens Inférence approximative w = 1 53 w = 1 54 Réseaux bayésiens Inférence approximative Réseaux bayésiens Inférence approximative w = 1 * w = 1 *

15 Réseaux bayésiens Inférence approximative Réseaux bayésiens Inférence approximative w = 1 * w = 1 * 0.1 * 0.99 = L estimation de la probabilité La somme pondérée des échantillons où ce qui est recherchée est vrai. Plus efficace que l échantillonnage par rejet Mais l efficacité de la méthode se dégrade si le nombre de variables d évidence augmente, parce que: La majorité des échantillons vont avoir des petits poids Seulement une minorité d échantillons vont avoir pratiquement tout le poids total. Inférence par MCMC Algorithme Markov Chain Monte Carlo (MCMC) Génère les événements en faisant un changement aléatoire à l événement précédent. L algorithme maintient donc un état courant où toutes les variables ont une valeurs. Pour générer le prochain état: Choisir une variable qui n est pas une variable d évidence. La distribution de cette variable dépend des valeurs des variables dans son Markov Blanket 59 60

16 Inférence approximative Inférence par MCMC Inférence approximative Inférence par MCMC Exemple: si on génère 100 échantillons et que l on trouve: 31 où Rain = true 69 où Rain = false Donc, l estimation de la distribution est Normalize(31,69) = (0.31,0.69). Avec Sprinkler = true et WetGrass = true, il y a quatre états possibles Conclusion Un réseau bayésien est un graphe dirigé acyclique Les nœuds correspondent à des variables aléatoires Chaque nœud a une distribution conditionnelle Moyen concis de représenter les relations d indépendance conditionnelle Représente une distribution conjointe complète L inférence revient à calculer la distribution de probabilité d un ensemble de variables étant donné un ensemble de variables d observations On peut approximer ce calcul par de l échantillonnage et les techniques MCMC 63

APPORT DES RESEAUX BAYESIENS DANS LA PREVENTION DE LA DELINQUANCE

APPORT DES RESEAUX BAYESIENS DANS LA PREVENTION DE LA DELINQUANCE SûretéGlobale.Org La Guitonnière 49770 La Meignanne Téléphone : +33 241 777 886 Télécopie : +33 241 200 987 Portable : +33 6 83 01 01 80 Adresse de messagerie : c.courtois@sureteglobale.org APPORT DES

Plus en détail

Utilisation des réseaux bayésiens et de l approche de Fenton pour l estimation de probabilité d occurrence d événements

Utilisation des réseaux bayésiens et de l approche de Fenton pour l estimation de probabilité d occurrence d événements Utilisation des réseaux bayésiens et de l approche de Fenton pour l estimation de probabilité d occurrence d événements Rapport LAAS-CNRS Numéro N o 13077 Quynh Anh DO HOANG, Jérémie GUIOCHET, Mohamed

Plus en détail

Réseaux causaux possibilistes pour le traitement des interventions

Réseaux causaux possibilistes pour le traitement des interventions Les modèles graphiques probabilistes Réseaux causaux possibilistes pour le traitement des interventions Salem ENFERHT CRIL, Lens benferhat@cril.univ-artois.fr Outils importants pour la représentation et

Plus en détail

FIMA, 7 juillet 2005

FIMA, 7 juillet 2005 F. Corset 1 S. 2 1 LabSAD Université Pierre Mendes France 2 Département de Mathématiques Université de Franche-Comté FIMA, 7 juillet 2005 Plan de l exposé plus court chemin Origine du problème Modélisation

Plus en détail

Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1. Réponse c : ln(10)+2 ln ( 10e 2) = ln(10)+ln ( e 2) = ln(10)+2 2. Réponse b : n 13 0,7 n 0,01

Plus en détail

Simulation d un système d assurance automobile

Simulation d un système d assurance automobile Simulation d un système d assurance automobile DESSOUT / PLESEL / DACHI Plan 1 Introduction... 2 Méthodes et outils utilisés... 2.1 Chaines de Markov... 2.2 Méthode de Monte Carlo... 2.3 Méthode de rejet...

Plus en détail

Les Réseaux Bayesiens

Les Réseaux Bayesiens Les Réseaux Bayesiens A quoi sert un réseau bayésien? à représenter la connaissance d un système technique Le "système" dont on représente la connaissance au moyen d'un réseau bayésien peut être aussi

Plus en détail

CHAPITRE 5. Stratégies Mixtes

CHAPITRE 5. Stratégies Mixtes CHAPITRE 5 Stratégies Mixtes Un des problèmes inhérents au concept d équilibre de Nash en stratégies pures est que pour certains jeux, de tels équilibres n existent pas. P.ex.le jeu de Pierre, Papier,

Plus en détail

Probabilités. Chapitre 2 : Le modèle probabiliste - Indépendance d évènements. Julian Tugaut. 15 janvier 2015

Probabilités. Chapitre 2 : Le modèle probabiliste - Indépendance d évènements. Julian Tugaut. 15 janvier 2015 Indépendance de deux évènements Chapitre 2 : Le modèle probabiliste - Indépendance d évènements 15 janvier 2015 Sommaire 1 Indépendance de deux évènements 2 Indépendance de deux évènements Approche intuitive

Plus en détail

MCMC et approximations en champ moyen pour les modèles de Markov

MCMC et approximations en champ moyen pour les modèles de Markov MCMC et approximations en champ moyen pour les modèles de Markov Gersende FORT LTCI CNRS - TELECOM ParisTech En collaboration avec Florence FORBES (Projet MISTIS, INRIA Rhône-Alpes). Basé sur l article:

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient

Plus en détail

4.2 Unités d enseignement du M1

4.2 Unités d enseignement du M1 88 CHAPITRE 4. DESCRIPTION DES UNITÉS D ENSEIGNEMENT 4.2 Unités d enseignement du M1 Tous les cours sont de 6 ECTS. Modélisation, optimisation et complexité des algorithmes (code RCP106) Objectif : Présenter

Plus en détail

MASTER SIS PRO : logique et sécurité DÉTECTION D INTRUSIONS. Odile PAPINI, LSIS. Université de Toulon et du Var. papini@univ-tln.

MASTER SIS PRO : logique et sécurité DÉTECTION D INTRUSIONS. Odile PAPINI, LSIS. Université de Toulon et du Var. papini@univ-tln. MASTER SIS PRO : logique et sécurité DÉTECTION D INTRUSIONS Odile PAPINI, LSIS. Université de Toulon et du Var. papini@univ-tln.fr Plan Introduction Généralités sur les systèmes de détection d intrusion

Plus en détail

Algorithmes probabilistes. Références: Fundamentals of Algortihms de Gilles Brassard et Paul Bratley Note de cours de Pierre McKenzie

Algorithmes probabilistes. Références: Fundamentals of Algortihms de Gilles Brassard et Paul Bratley Note de cours de Pierre McKenzie Algorithmes probabilistes Références: Fundamentals of Algortihms de Gilles Brassard et Paul Bratley Note de cours de Pierre McKenzie Mise en contexte: Indices: Vous êtes à la recherche d un trésor légendaire

Plus en détail

Christophe CANDILLIER Cours de DataMining mars 2004 Page 1

Christophe CANDILLIER Cours de DataMining mars 2004 Page 1 Christophe CANDILLIER Cours de DataMining mars 2004 age 1 1. Introduction 2. rocessus du DataMining 3. Analyse des données en DataMining 4. Analyse en Ligne OLA 5. Logiciels 6. Bibliographie Christophe

Plus en détail

Chapitre 3 : INFERENCE

Chapitre 3 : INFERENCE Chapitre 3 : INFERENCE 3.1 L ÉCHANTILLONNAGE 3.1.1 Introduction 3.1.2 L échantillonnage aléatoire 3.1.3 Estimation ponctuelle 3.1.4 Distributions d échantillonnage 3.1.5 Intervalles de probabilité L échantillonnage

Plus en détail

Cours de Data Mining PageRank et HITS

Cours de Data Mining PageRank et HITS Cours de Data Mining PageRank et HITS Andreea Dragut Univ. Aix-Marseille, IUT d Aix-en-Provence Andreea Dragut Cours de Data Mining PageRank et HITS 1 / 48 Plan du cours Présentation Andreea Dragut Cours

Plus en détail

IFT6561. Simulation: aspects stochastiques

IFT6561. Simulation: aspects stochastiques IFT 6561 Simulation: aspects stochastiques DIRO Université de Montréal Automne 2013 Détails pratiques Professeur:, bureau 3367, Pav. A.-Aisenstadt. Courriel: bastin@iro.umontreal.ca Page web: http://www.iro.umontreal.ca/~bastin

Plus en détail

Terminale STMG Lycée Jean Vilar 2013/2014. Terminale STMG. O. Lader

Terminale STMG Lycée Jean Vilar 2013/2014. Terminale STMG. O. Lader Terminale STMG O. Lader Table des matières 1 Information chiffrée (4s) 4 1.1 Taux d évolution....................................... 6 1.2 indices............................................. 6 1.3 Racine

Plus en détail

Dans ce chapitre nous allons étudier une méthode pratique d anti-phishing, ce qui consiste à un système de classification automatique.

Dans ce chapitre nous allons étudier une méthode pratique d anti-phishing, ce qui consiste à un système de classification automatique. I INTRODUCTION Les pages de phishing sont l un des problèmes majeurs de sécurité sur internet. La majorité des attaques utilisent des méthodes sophistiquées comme les fausses pages pour tromper les utilisateurs

Plus en détail

LA NOTATION STATISTIQUE DES EMPRUNTEURS OU «SCORING»

LA NOTATION STATISTIQUE DES EMPRUNTEURS OU «SCORING» LA NOTATION STATISTIQUE DES EMPRUNTEURS OU «SCORING» Gilbert Saporta Professeur de Statistique Appliquée Conservatoire National des Arts et Métiers Dans leur quasi totalité, les banques et organismes financiers

Plus en détail

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie

Plus en détail

Proposition d activité utilisant l application. Tripatouille. (http://www.malgouyres.fr/tripatouille/)

Proposition d activité utilisant l application. Tripatouille. (http://www.malgouyres.fr/tripatouille/) IREM Clermont-Ferrand Algorithmique au lycée Malika More malika.more@u-clermont1.fr 28 janvier 2011 Proposition d activité utilisant l application Tripatouille (http://www.malgouyres.fr/tripatouille/)

Plus en détail

Arbres binaires de recherche

Arbres binaires de recherche Chapitre 1 Arbres binaires de recherche 1 Les arbre sont très utilisés en informatique, d une part parce que les informations sont souvent hiérarchisées, et peuvent être représentées naturellement sous

Plus en détail

INF6304 Interfaces Intelligentes

INF6304 Interfaces Intelligentes INF6304 Interfaces Intelligentes filtres collaboratifs 1/42 INF6304 Interfaces Intelligentes Systèmes de recommandations, Approches filtres collaboratifs Michel C. Desmarais Génie informatique et génie

Plus en détail

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines

Plus en détail

Structures de données non linéaires

Structures de données non linéaires Structures de données non linéaires I. Graphes Définition Un graphe (simple) orienté G est un couple (S, A), où : S est un ensemble dont les éléments sont appelés les sommets. A est un ensemble de couples

Plus en détail

Algorithmique et Programmation Projets 2012/2013

Algorithmique et Programmation Projets 2012/2013 3 Dames 3. Objectif Il s agit d écrire un programme jouant aux Dames selon les règles. Le programme doit être le meilleur possible. Vous utiliserez pour cela l algorithme α β de recherche du meilleur coup

Plus en détail

Probabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie...

Probabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie... 1 Probabilité Table des matières 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables........................... 2 1.2 Définitions................................. 2 1.3 Loi équirépartie..............................

Plus en détail

Principales caractéristiques de Mixmod

Principales caractéristiques de Mixmod Modèle de mélanges Principales caractéristiques de Mixmod Gérard Govaert et Gilles Celeux 24 octobre 2006 1 Plan Le modèledemélange Utilisations du modèle de mélange Les algorithmes de Mixmod Modèle de

Plus en détail

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1 TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun

Plus en détail

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques

Plus en détail

Langages de spécification cours 4

Langages de spécification cours 4 Langages de spécification cours 4 Diagrammes de décision binaire(bdd) Catalin Dima Arbres de décision binaire Étant donnée une formule logique, on peut lui associer un arbre qui permet d évaluer la valeur

Plus en détail

Probabilités conditionnelles Loi binomiale

Probabilités conditionnelles Loi binomiale Exercices 23 juillet 2014 Probabilités conditionnelles Loi binomiale Équiprobabilité et variable aléatoire Exercice 1 Une urne contient 5 boules indiscernables, 3 rouges et 2 vertes. On tire au hasard

Plus en détail

Théorie de l information : historique

Théorie de l information : historique Théorie de l information : historique Développée dans les années quarante par Claude Shannon. Objectif : maximiser la quantité d information pouvant être transmise par un canal de communication imparfait.

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013

Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 5 points Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée

Plus en détail

Table des matières. I Mise à niveau 11. Préface

Table des matières. I Mise à niveau 11. Préface Table des matières Préface v I Mise à niveau 11 1 Bases du calcul commercial 13 1.1 Alphabet grec...................................... 13 1.2 Symboles mathématiques............................... 14 1.3

Plus en détail

Indépendance Probabilité conditionnelle. Chapitre 3 Événements indépendants et Probabilités conditionnelles

Indépendance Probabilité conditionnelle. Chapitre 3 Événements indépendants et Probabilités conditionnelles Chapitre 3 Événements indépendants et Probabilités conditionnelles Indépendance Indépendance Probabilité conditionnelle Definition Deux événements A et B sont dits indépendants si P(A B) = P(A).P(B) Attention

Plus en détail

Déroulement. Evaluation. Préambule. Définition. Définition. Algorithmes et structures de données 28/09/2009

Déroulement. Evaluation. Préambule. Définition. Définition. Algorithmes et structures de données 28/09/2009 Déroulement Algorithmes et structures de données Cours 1 et 2 Patrick Reuter http://www.labri.fr/~preuter/asd2009 CM mercredi de 8h00 à 9h00 (Amphi Bât. E, 3 ème étage) ED - Groupe 3 : mercredi, 10h30

Plus en détail

CAPTEURS - CHAINES DE MESURES

CAPTEURS - CHAINES DE MESURES CAPTEURS - CHAINES DE MESURES Pierre BONNET Pierre Bonnet Master GSI - Capteurs Chaînes de Mesures 1 Plan du Cours Propriétés générales des capteurs Notion de mesure Notion de capteur: principes, classes,

Plus en détail

Arbres binaires de recherche (ABR) Binary Search Trees (BST)

Arbres binaires de recherche (ABR) Binary Search Trees (BST) LSVIII-BIM Algorithmie, 2015 Arbres binaires de recherche (ABR) Binary Search Trees (BST) I. Arbres binaires 1. Structure 2. Parcours II. Arbres binaires de recherche 1. Définition 2. Opérations sur les

Plus en détail

Résumé des communications des Intervenants

Résumé des communications des Intervenants Enseignements de la 1ere semaine (du 01 au 07 décembre 2014) I. Titre du cours : Introduction au calcul stochastique pour la finance Intervenante : Prof. M hamed EDDAHBI Dans le calcul différentiel dit

Plus en détail

Outils mathématiques pour le datamining. http://www.elseware.fr/univevry

Outils mathématiques pour le datamining. http://www.elseware.fr/univevry Outils mathématiques pour le datamining http://wwwelsewarefr/univevry Géométrie Distance Distance entre parties Matrice de variance/covariance Inertie Minimisation Probabilités Définition Théorème de Bayes

Plus en détail

Trépier avec règle, ressort à boudin, chronomètre, 5 masses de 50 g.

Trépier avec règle, ressort à boudin, chronomètre, 5 masses de 50 g. PHYSQ 130: Hooke 1 LOI DE HOOKE: CAS DU RESSORT 1 Introduction La loi de Hooke est fondamentale dans l étude du mouvement oscillatoire. Elle est utilisée, entre autres, dans les théories décrivant les

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Capacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34

Capacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34 Capacité d un canal Second Théorème de Shannon Théorie de l information 1/34 Plan du cours 1. Canaux discrets sans mémoire, exemples ; 2. Capacité ; 3. Canaux symétriques ; 4. Codage de canal ; 5. Second

Plus en détail

Modélisation aléatoire en fiabilité des logiciels

Modélisation aléatoire en fiabilité des logiciels collection Méthodes stochastiques appliquées dirigée par Nikolaos Limnios et Jacques Janssen La sûreté de fonctionnement des systèmes informatiques est aujourd hui un enjeu économique et sociétal majeur.

Plus en détail

Statistiques Décisionnelles L3 Sciences Economiques & Gestion Faculté d économie, gestion & AES Université Montesquieu - Bordeaux 4 2013-2014

Statistiques Décisionnelles L3 Sciences Economiques & Gestion Faculté d économie, gestion & AES Université Montesquieu - Bordeaux 4 2013-2014 Tests du χ 2 Statistiques Décisionnelles L3 Sciences Economiques & Gestion Faculté d économie, gestion & AES Université Montesquieu - Bordeaux 4 2013-2014 A. Lourme http://alexandrelourme.free.fr Outline

Plus en détail

STAGE IREM 0- Premiers pas en Python

STAGE IREM 0- Premiers pas en Python Université de Bordeaux 16-18 Février 2014/2015 STAGE IREM 0- Premiers pas en Python IREM de Bordeaux Affectation et expressions Le langage python permet tout d abord de faire des calculs. On peut évaluer

Plus en détail

Réseaux bayésiens. 3 e édition Patrick Naïm, Pierre-Henri Wuillemin, Philippe Leray, Olivier Pourret, Anna Becker

Réseaux bayésiens. 3 e édition Patrick Naïm, Pierre-Henri Wuillemin, Philippe Leray, Olivier Pourret, Anna Becker Réseaux bayésiens 3 e édition Patrick Naïm, Pierre-Henri Wuillemin, Philippe Leray, Olivier Pourret, Anna Becker Avec la contribution de Bruce G. Marcot, Carmen Lacave et Francisco J. Díez Groupe Eyrolles,

Plus en détail

Master d Informatique M1 Université Paris 7 - Denis Diderot Travail de Recherche Encadré Surf Bayesien

Master d Informatique M1 Université Paris 7 - Denis Diderot Travail de Recherche Encadré Surf Bayesien Master d Informatique M1 Université Paris 7 - Denis Diderot Travail de Recherche Encadré Surf Bayesien Denis Cousineau Sous la direction de Roberto di Cosmo Juin 2005 1 Table des matières 1 Présentation

Plus en détail

Chaînes de Markov. Mireille de Granrut

Chaînes de Markov. Mireille de Granrut Chaînes de Markov Mireille de Granrut Quelques précisions à propos de ce cours : Préambule 1. Tel que je l ai conçu, le cours sur les chaînes de Markov interviendra dès la rentrée, pour faire un peu de

Plus en détail

Notes de cours de Probabilités Appliquées. Olivier François

Notes de cours de Probabilités Appliquées. Olivier François Notes de cours de Probabilités Appliquées Olivier François 2 Table des matières 1 Axiomes des probabilités 7 1.1 Introduction................................. 7 1.2 Définitions et notions élémentaires.....................

Plus en détail

Lois de probabilité à densité Loi normale

Lois de probabilité à densité Loi normale DERNIÈRE IMPRESSIN LE 31 mars 2015 à 14:11 Lois de probabilité à densité Loi normale Table des matières 1 Lois à densité 2 1.1 Introduction................................ 2 1.2 Densité de probabilité

Plus en détail

SONDAGE DES MEMBRES DE L APIGQ RÉSULTATS ET ANALYSE

SONDAGE DES MEMBRES DE L APIGQ RÉSULTATS ET ANALYSE SONDAGE DES MEMBRES DE L APIGQ RÉSULTATS ET ANALYSE SEPTEMBRE 2008 TABLE DES MATIÈRES INTRODUCTION... 3 SONDAGE ET ÉCHANTILLONNAGE... 3 SONDAGE... 3 ÉCHANTILLONNAGE... 4 COMPILATION DES RÉSULTATS... 4

Plus en détail

Méthodes de Simulation

Méthodes de Simulation Méthodes de Simulation JEAN-YVES TOURNERET Institut de recherche en informatique de Toulouse (IRIT) ENSEEIHT, Toulouse, France Peyresq06 p. 1/41 Remerciements Christian Robert : pour ses excellents transparents

Plus en détail

La notion de dualité

La notion de dualité La notion de dualité Dual d un PL sous forme standard Un programme linéaire est caractérisé par le tableau simplexe [ ] A b. c Par définition, le problème dual est obtenu en transposant ce tableau. [ A

Plus en détail

Intelligence artificielle et les défis en robotique mobile et autonome

Intelligence artificielle et les défis en robotique mobile et autonome Intelligence artificielle et les défis en robotique mobile et autonome Éric Beaudry http://planiart.usherbrooke.ca/~eric/ Étudiant au doctorat en informatique Laboratoires Planiart et Laborius 13 février

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois

Plus en détail

L exclusion mutuelle distribuée

L exclusion mutuelle distribuée L exclusion mutuelle distribuée L algorithme de L Amport L algorithme est basé sur 2 concepts : L estampillage des messages La distribution d une file d attente sur l ensemble des sites du système distribué

Plus en détail

λ-calcul et typage Qu est-ce qu une fonction?

λ-calcul et typage Qu est-ce qu une fonction? λ-calcul et typage Nicolas Barnier, Pascal Brisset ENAC Avril 2009 Nicolas Barnier, Pascal Brisset (ENAC) λ-calcul et typage Avril 2009 1 / 1 Qu est-ce qu une fonction? Classiquement Pas de notation uniforme/standard

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Bases de données documentaires et distribuées Cours NFE04

Bases de données documentaires et distribuées Cours NFE04 Bases de données documentaires et distribuées Cours NFE04 Introduction a la recherche d information Auteurs : Raphaël Fournier-S niehotta, Philippe Rigaux, Nicolas Travers prénom.nom@cnam.fr Département

Plus en détail

Apprentissage automatique

Apprentissage automatique Apprentissage automatique François Denis, Hachem Kadri, Cécile Capponi Laboratoire d Informatique Fondamentale de Marseille LIF - UMR CNRS 7279 Equipe QARMA francois.denis@lif.univ-mrs.fr 2 Chapitre 1

Plus en détail

Attitude des ménages face au risque. M1 - Arnold Chassagnon, Université de Tours, PSE - Automne 2014

Attitude des ménages face au risque. M1 - Arnold Chassagnon, Université de Tours, PSE - Automne 2014 Attitude des ménages face au risque - M1 - Arnold Chassagnon, Université de Tours, PSE - Automne 2014 Plan du cours 1. Introduction : demande de couverture et comportements induits pa 2. Représentations

Plus en détail

Théorie de la crédibilité

Théorie de la crédibilité ISFA - Année 2008-2009 Théorie de la crédibilité Chapitre 2 : Prime de Bayes Pierre-E. Thérond Email, Page web, Ressources actuarielles Langage bayesien (1/2) Considérons une hypothèse H et un événement

Plus en détail

Introduction au datamining

Introduction au datamining Introduction au datamining Patrick Naïm janvier 2005 Définition Définition Historique Mot utilisé au départ par les statisticiens Le mot indiquait une utilisation intensive des données conduisant à des

Plus en détail

Probabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2

Probabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2 Probabilités Table des matières I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 s................................................... 2 I.2 Propriétés...................................................

Plus en détail

Classification et caractérisation

Classification et caractérisation Classification et caractérisation Classification arbre de décision classificateur Bayésien réseau de neurones 1 Caractérisation Description des concepts Généralisation des données Induction orientée attribut

Plus en détail

Visibilité polygone à polygone :

Visibilité polygone à polygone : Introduction Visibilité polygone à polygone : calcul, représentation, applications Frédéric Mora Université de Poitiers - Laboratoire SIC 10 juillet 2006 1 La visibilité Introduction Contexte L espace

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme

Plus en détail

LES TYPES DE DONNÉES DU LANGAGE PASCAL

LES TYPES DE DONNÉES DU LANGAGE PASCAL LES TYPES DE DONNÉES DU LANGAGE PASCAL 75 LES TYPES DE DONNÉES DU LANGAGE PASCAL CHAPITRE 4 OBJECTIFS PRÉSENTER LES NOTIONS D ÉTIQUETTE, DE CONS- TANTE ET DE IABLE DANS LE CONTEXTE DU LAN- GAGE PASCAL.

Plus en détail

Modèles à Événements Discrets. Réseaux de Petri Stochastiques

Modèles à Événements Discrets. Réseaux de Petri Stochastiques Modèles à Événements Discrets Réseaux de Petri Stochastiques Table des matières 1 Chaînes de Markov Définition formelle Idée générale Discrete Time Markov Chains Continuous Time Markov Chains Propriétés

Plus en détail

P1 : Corrigés des exercices

P1 : Corrigés des exercices P1 : Corrigés des exercices I Exercices du I I.2.a. Poker : Ω est ( l ensemble ) des parties à 5 éléments de l ensemble E des 52 cartes. Cardinal : 5 I.2.b. Bridge : Ω est ( l ensemble ) des parties à

Plus en détail

L utilisation d un réseau de neurones pour optimiser la gestion d un firewall

L utilisation d un réseau de neurones pour optimiser la gestion d un firewall L utilisation d un réseau de neurones pour optimiser la gestion d un firewall Réza Assadi et Karim Khattar École Polytechnique de Montréal Le 1 mai 2002 Résumé Les réseaux de neurones sont utilisés dans

Plus en détail

Repérage de l artillerie par le son.

Repérage de l artillerie par le son. Repérage de l artillerie par le son. Le repérage par le son permet de situer avec précision une batterie ennemie, qu elle soit ou non bien dissimulée. Le son se propage avec une vitesse sensiblement constante,

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé

Baccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H

Plus en détail

GEL-7064 : Théorie et pratique des codes correcteurs Codes cycliques Notes de cours

GEL-7064 : Théorie et pratique des codes correcteurs Codes cycliques Notes de cours linéaires GEL-7064 : Théorie et pratique des codes correcteurs Notes de cours Département de génie électrique et de génie informatique Université Laval jean-yves.chouinard@gel.ulaval.ca 12 février 2013

Plus en détail

Chapitre 7. Récurrences

Chapitre 7. Récurrences Chapitre 7 Récurrences 333 Plan 1. Introduction 2. Applications 3. Classification des récurrences 4. Résolution de récurrences 5. Résumé et comparaisons Lectures conseillées : I MCS, chapitre 20. I Rosen,

Plus en détail

Apprentissage Automatique

Apprentissage Automatique Apprentissage Automatique Introduction-I jean-francois.bonastre@univ-avignon.fr www.lia.univ-avignon.fr Définition? (Wikipedia) L'apprentissage automatique (machine-learning en anglais) est un des champs

Plus en détail

PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II

PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II TABLE DES MATIERES CHAPITRE I - COMBINATOIRE ELEMENTAIRE I.1. Rappel des notations de la théorie des ensemble I.1.a. Ensembles et sous-ensembles I.1.b. Diagrammes (dits

Plus en détail

Web Science. Master 1 IFI. Andrea G. B. Tettamanzi. Université de Nice Sophia Antipolis Département Informatique andrea.tettamanzi@unice.

Web Science. Master 1 IFI. Andrea G. B. Tettamanzi. Université de Nice Sophia Antipolis Département Informatique andrea.tettamanzi@unice. Web Science Master 1 IFI Andrea G. B. Tettamanzi Université de Nice Sophia Antipolis Département Informatique andrea.tettamanzi@unice.fr 1 Annonce : recherche apprenti Projet Géo-Incertitude Objectifs

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

Electronique Générale. Convertisseur Numérique/Analogique (C.N.A.) et Convertisseur Analogique/Numérique (C.A.N.)

Electronique Générale. Convertisseur Numérique/Analogique (C.N.A.) et Convertisseur Analogique/Numérique (C.A.N.) Convertisseur umérique/analogique (C..A.) et Convertisseur Analogique/umérique (C.A..) I- Introduction : En électronique, un signal électrique est le plus souvent porteur d une information. Il existe deux

Plus en détail

Mathématiques financières

Mathématiques financières Mathématiques financières Arnaud Triay Table des matières 1 Introduction Position du problème.1 Pricing des options........................................... Formalisme..............................................

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Fouille de données orientée motifs, méthodes et usages.

Fouille de données orientée motifs, méthodes et usages. Fouille de données orientée motifs, méthodes et usages. François RIOULT GREYC - Équipe Données-Documents-Langues CNRS UMR 6072 Université de Caen Basse-Normandie France Résumé La fouille de données orientée

Plus en détail

Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques

Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques Fiche TD avec le logiciel : a2-1-c Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques Sylvain Mousset Rappels de probabilités / statistiques Table des matières 1 Probabilités

Plus en détail

Séquence 3. Probabilité : conditionnement et indépendance

Séquence 3. Probabilité : conditionnement et indépendance Séquence 3 Probabilité : conditionnement et indépendance Sommaire. Pré-requis. Conditionnement par un événement de probabilité non nulle 3. Indépendance 4. Synthèse Dans cette première séquence sur les

Plus en détail

Chapitre 1. L algorithme génétique

Chapitre 1. L algorithme génétique Chapitre 1 L algorithme génétique L algorithme génétique (AG) est un algorithme de recherche basé sur les mécanismes de la sélection naturelle et de la génétique. Il combine une stratégie de survie des

Plus en détail

Catalogue des connaissances de base en mathématiques dispensées dans les gymnases, lycées et collèges romands.

Catalogue des connaissances de base en mathématiques dispensées dans les gymnases, lycées et collèges romands. Catalogue des connaissances de base en mathématiques dispensées dans les gymnases, lycées et collèges romands. Pourquoi un autre catalogue en Suisse romande Historique En 1990, la CRUS (Conférences des

Plus en détail

Sujet 4: Programmation stochastique propriétés de fonction de recours

Sujet 4: Programmation stochastique propriétés de fonction de recours Sujet 4: Programmation stochastique propriétés de fonction de recours MSE3313: Optimisation Stochastiqe Andrew J. Miller Dernière mise au jour: October 19, 2011 Dans ce sujet... 1 Propriétés de la fonction

Plus en détail

NON-LINEARITE ET RESEAUX NEURONAUX

NON-LINEARITE ET RESEAUX NEURONAUX NON-LINEARITE ET RESEAUX NEURONAUX Vêlayoudom MARIMOUTOU Laboratoire d Analyse et de Recherche Economiques Université de Bordeaux IV Avenue. Leon Duguit, 33608 PESSAC, France tel. 05 56 84 85 77 e-mail

Plus en détail

Introduction à la théorie des files d'attente. Claude Chaudet Claude.Chaudet@enst.fr

Introduction à la théorie des files d'attente. Claude Chaudet Claude.Chaudet@enst.fr Introduction à la théorie des files d'attente Claude Chaudet Claude.Chaudet@enst.fr La théorie des files d'attente... Principe: modélisation mathématique de l accès à une ressource partagée Exemples réseaux

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur

Plus en détail

Équations non linéaires

Équations non linéaires Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et

Plus en détail