3. Conditionnement P (B)

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "3. Conditionnement P (B)"

Transcription

1 Conditionnement Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte de la donnée a priori d une information supplémentaire sur le résultat de l expérience aléatoire. La notion d espérance conditionnelle (et plus généralement de loi conditionnelle) est à la base de la plupart des constructions de la théorie moderne des probabilités. Sauf mention contraire, on suppose donné un espace de probabilités (Ω, F, P ) Probabilité conditionnelle et indépendance. Commençons par quelques rappels de notions élémentaires. Définition 3.1. Soient A et B deux événements tels que P (B) 0. On appelle probabilité conditionnelle de A sachant B le réel P (A/B) =. P (A B) P (B) Il faut bien sûr comprendre intuitivement la définition précédente comme mesurant la probabilité normalisée de ceux des ω B qui réalisent A. En quelque sorte, puisqu on connaît le fait que B se réalise, l espace de probabilités peut être restreint à B. Le cas particulier majeur de cette situation est celle où B n a pas d influence sur A, ce qui s exprime aussi en disant que conditionner ou non par B ne change pas la probabilité de A. Ce qui revient à dire que P (A/B) = P (A) ou encore P (A B) = P (A)P (B). Prolongeant cette définition au cas où P (B) = 0, on a la définition classique suivante Définition 3.2. a) Deux événements A et B sont indépendants si on a P (A B) = P (A)P (B). b) Deux sous-tribus G et H de F sont indépendantes si et seulement si tout élément de G et tout élément de H sont indépendants. L exercice suivant montre, si besoin était, qu il n y a aucun rapport entre l indépendance et la disjonction. Exercice 3.3. Montrer que A et A c sont indépendants si et seulement si P (A) = 0 ou 1. On prolonge comme d habitude cette définition au cas de n événements et plus généralement au cas de n variables aléatoires. Théorème et Définition 3.4. Soient X 1,..., X n des variables aléatoires à valeurs dans des espaces mesurables (E 1, E 1 ),..., (E n, E n ). On dit que les variables X 1,..., X n sont indépendantes si une des propriétés équivalentes suivantes est réalisée n (i) (A 1,..., A n ) E 1 E n, P (X 1 A 1,..., X n A n ) = P (X k A k ) (ii) µ (X1,...,X n)(dx 1,..., dx n ) = n µ Xk (dx k ) (iii) Pour toutes fonctions f k : E k R mesurables bornées (resp. mesurables positives), on a n n E( f k (X k )) = E(f k (X k )). Les équivalences du Théorème et Définition 3.4 sont laissées en exercice. Rappelons aussi à toutes fins utiles la Définition 3.5. On dit que la suite de variables aléatoires (X n ) n N est composée de variables indépendantes si et seulement si pour tout n, les variables X 1,..., X n sont indépendantes.

2 Conditionnement 17 Un résultat fondamental lié aux suites de variables indépendantes est dû à Kolmogorov: Théorème 3.6. (loi du 0-1) Soit (X n ) n 0 une suite de variables aléatoires indépendantes. On pose G = n 0 σ(x k, k n) ( tribu de queue ). Alors, A G, P (A) = 0 ou 1. Preuve: Posons F = σ(x 0, X 1,..., X n,... ). Noter qu évidemment G F. Soient A G et C = {B F, P (A B) = P (A)P (B)}. On vérifie immédiatement que C est une classe monotone. De plus, C contient l algèbre de Boole B = n 0 σ(x 0,..., X n ). Par le théorème de classe monotone (Théorème 1.2), il contient donc la tribu engendrée par B, c est à dire F. En particulier, A C et donc A est indépendant de lui même, ce qui équivaut à P (A) = 0 ou 1. Exercice 3.7. Soient A 1,..., A n des événements. a) Montrer que si A 1,..., A n sont indépendants, il en est de même de A 1,..., A n 1, A c n. b) Déduire que J {1,..., n}, (A c j, j J; A i, i {1,..., n} \ J) forme un ensemble de variables indépendantes. c) Montrer que A 1,..., A n sont indépendants si et seulement si les variables aléatoires 1 A1,..., 1 An sont indépendantes. Exercice 3.8. On se place sur l espace de probabilités ([0, 1], B, λ). Soit x [0, 1]. On écrit x sous la x k forme de sa décomposition dyadique x = 2 k et on pose X k(x) = x k. a) Montrer que les variables aléatoires (X k ) k 1 forment une suite de variables indépendantes et de même loi 1 2 (δ 0 + δ 1 ). b) Montrer qu il existe une suite (Y n ) de variables aléatoires indépendantes sur ([0, 1], B, λ) telle que Y n suit une loi uniforme sur [0, 1]. c) Soit (µ n ) n 1 une suite de mesures de probabilités sur R. Montrer qu il existe une probabilité IP sur E = R N telle que sous IP, les projections canoniques z k : E R, (x n ) n 0 x k forment une suite de variables indépendantes et z n a pour loi µ n. Exercice 3.9. Soit (B t ) t R + vérifiant les conditions suivantes: une famille de variables aléatoires (i) t 1 < t 2 < < t n, (B t1,..., B tn ) est un vecteur gaussien centré (ii) (s, t), E(B s B t ) = s t (iii) p.s., t B t (ω) est une fonction continue a) Montrer que (B t ) est à accroissements indépendants et stationnaires i.e. t 1 < t 2 < < t n, B t1, B t2 B t1,..., B tn B tn 1 sont des variables indépendantes et s < t, B t B s a même loi que B t s. n 1 b) On pose G n t = (B k+1 n k=0 t B k n t)2. Montrer qu il existe une suite n p telle que G np t t p.s. c) Soit t > 0. Montrer que p.s., s B s (ω) n est pas à variations finies sur l intervalle [0, t]. Exercice On rappelle la Formule de Poincaré: si (A 1,..., A n ) sont des événements, n n P ( A k ) = ( 1) k 1 S k où S k = 1 i 1 <i 2 < <i k n P (A i1 A ik ).

3 A) Sur N, on considère la probabilité P s (s > 1 réel fixé), définie par où ζ(s) = n 1 1 (fonction de Riemann). ns Conditionnement 18 P s ({n}) = 1 ζ(s)n s Pour p premier, on définit les variables aléatoires ρ p et α p par ρ p (n) = 1 si p divise n, 0 sinon, et α p (n) = exposant de p dans la décomposition en facteurs premiers de n. a) Trouver la loi des variables ρ p et montrer qu elles sont indépendantes. b) Montrer que ζ(s) = (1 1 p s ) 1 où {p k, k 1} désigne la suite des nombres premiers dans N. k B) Soit N 2 un entier fixé. On pose Ω = {1,..., N} 2 et on note P N la probabilité uniforme sur Ω. 1) On introduit les événements B = { les entiers choisis sont premiers entre eux} et A p = { les entiers choisis sont divisibles par p} où p est premier. On note p 1, p 2,..., p n les nombres premiers inférieurs à N et on fixe un entier m 1. a) Montrer que où S k = 1 N 2 1 i 1 <i 2 < <i k m m P N ( A pk ) = [N/p i1... p ik ] 2. m ( 1) k 1 S k b) Déduire, toujours pour m fixé, que m m lim P N ( A pk ) = 1 N (1 1 p 2 ). k c) Conclure que lim N + P N(B) = 6 π Espérance conditionnelle. La notion d espérance conditionnelle prolonge le formalisme précédent en cherchant à intégrer la connaissance de la valeur d une variable aléatoire, et plus seulement celle du fait qu un événement particulier s est réalisé. Commençons par une situation simple mais exemplaire de ce qu on cherche à faire. Soit X une variable aléatoire réelle et T une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble dénombrable E = {t 0, t 1,..., t n,... }. D après le paragraphe précédent, pour k N, sur l événement (T = t k ) est définie une probabilité Q k = P (./T = t k ) qui réprésente la mesure de probabilité P tenant compte du fait que (T = t k ) s est réalisé. De ce fait, la valeur moyenne de X sachant que T = t k sera naturellement prise égale à E(X/T = t k ) = X(ω)dQ k (ω), et on définira par suite l espérance conditionnelle (T =t k ) de X sachant T comme étant la variable aléatoire égale à E(X/T ) = k 0 E(X/T = t k )1 (T =tk ). Noter qu avec cette définition E(X/T ) apparaît comme une fonction de T, ou encore comme une variable σ(t )-mesurable. Pour chercher à prolonger ce résultat au cas de variables T à valeurs non dénombrables, on peut remarquer sur l exemple précédent que pour n importe quelle fonction bornée f : E R, E(f(T )X) = k 0 f(t k)e(1 (T =tk )X). Or, comme pour n importe quel A F, E(1 (T =tk )1 A ) = P ((T = t k ) A) =

4 Conditionnement 19 P (T = t k )Q k (A) = E(1 (T =tk )Q k (A)), on en déduit par les arguments habituels que E(1 (T =tk )X) = XdQ k ), et donc que E(1 (T =tk ) Ω E(f(T )X) = E( k 0 f(t k )1 (T =tk ) Ceci conduit naturellement à poser la définition suivante. Ω XdQ k ) = E(f(T )E(X/T )). Théorème et Définition Soient X une variable aléatoire réelle admettant un moment d ordre 1 et T une variable aléatoire. On appelle espérance conditionnelle de X sachant T l unique variable aléatoire Y mesurable par rapport à σ(t )telle que pour toute variable bornée Z mesurable par rapport à σ(t ), on ait E(X.Z) = E(Y.Z). (3.1) Cette variable est notée E(X/T ) ou E σ(t ) (X). Preuve: Unicité: Supposons que Y et Y satisfassent la Définition La variable aléatoire Z = Y Y Y Y 1 Y Y est σ(t ) mesurable et bornée. De ce fait, en appliquant (3.1), 0 = E((Y Y )Z) = E( Y Y 1 Y Y ) d où Y = Y -p.s. Existence: Commençons par supposer que X L 2 (Ω, F, P ). Posons H = L 2 (Ω, σ(t ), P ), il s agit d un sous espace vectoriel fermé de l espace de Hilbert L 2 (Ω, F, P ), et de ce fait, on peut définir Y la projection orthogonale de X sur H. C est une variable σ(t )-mesurable et elle satisfait, pour toute variable Z σ(t )-mesurable et bornée (et donc dans H), E(XZ) = E(Y Z) soit (3.1). D où l existence cherchée dans ce cas. Noter que par propriété de la projection orthogonale, l espérance conditionnelle sur L 2 est ainsi linéaire. Prenant Z = 1 dans (3.1) montre que E(E(X/T )) = E(X). De plus, si X 0, E(X/T ) 0 (prendre Z = 1 E(X/T ) 0 dans (3.1)). De ce fait, pour X L 2, on a E( X /T ) E(X/T ) et donc, prenant l espérance, E(X/T ) 1 X 1. Achevons la preuve du Théorème Supposons que X soit dans L 1. On peut trouver une suite X n de variables de L 2 telle que X n X 1 0. On a E(X n /T ) E(X p /T ) 1 X n X p 1 et donc E(X n /T ) est une suite de Cauchy dans L 1 qui converge vers un élément noté E(X/T ). Pour tout Z, σ(t )-mesurable et borné, on a E(X n.z) = E(E(X n /T ).Z) et donc par passage à la limite L 1, E(X.Z) = E(E(X/T ).Z). Les principales propriétés de l espérance conditionnelle sont rappelées dans la proposition ci-dessous dont la démonstration est laissée en exercice ((i),(ii) et (iv) ont déjà été prouvées). Proposition Soit T une variable aléatoire et soit X une v.a.r. intégrable. (i) E(./T ) est un opérateur linéaire positif continu sur L 1 (ii) Si X est σ(t )-mesurable, E(X/T ) = X, p.s. (iii) Si ϕ est convexe sur R, ϕ(e(x/t )) E(ϕ(X)/T ) p.s. (iv) E(X/T ) 1 X 1 (v) Si X n X p.s., et n 0, X n Y L 1, E(X n /T ) E(X/T ) p.s. Il sera souvent utile de considérer l information apportée dans le conditionnement sous la forme d une sous-tribu B de F, le cas précédent correspondant à B = σ(t ). La Définition 3.11 s étend alors naturellement:

5 Conditionnement 20 Définition Soient X une variable aléatoire réelle intégrable, et B une sous-tribu de F. On appelle espérance conditionnelle de X sachant B l unique variable aléatoire Y, B-mesurable, telle que Z, B-mesurable bornée, E(X.Z) = E(Y.Z). Une propriété utile qui se déduit de la définition précédente est l emboîtement des conditionnements successifs. Proposition Soient X une variable aléatoire réelle intégrable et B B deux sous-tribus de F. Alors E(X/B ) = E[E(X/B)/B ]. Preuve: Il suffit de remarquer que E(E(X/B)/B ) est une variable aléatoire B -mesurable et que, pour toute variable aléatoire Y, B mesurable bornée, on a E(Y.E[E(X/B)/B ]) = E(Y.E(X/B)) = E(Y.X), la dernière égalité résultant du fait que Y est aussi B-mesurable. Notons enfin, pour clore ce paragraphe sur l espérance conditionnelle que si X et T sont indépendantes, la relation (3.1) est évidemment vérifiée en prenant Y égale à la constante E(X), et donc, vu l unicité de l espérance conditionnelle, on peut énoncer Corollaire Soient X une v.a.r. intégrable, et T une variable aléatoire telles que X et T soient indépendantes. Alors, E(X/T ) = E(X) p.s. Exercice Soit (B i ) i I la famille de toutes les sous-tribus de F et X une v.a. intégrable. Montrer que la famille (IE B i (X)) i I est équi-intégrable. Exercice On pose Var(X/G) = E[(X E(X/G)) 2 /G]. Montrer que Var(X) = E[Var(X/G)] + Var(E(X/G)). Exercice a1) Soient (X, Y, Z) tel que (X, Z) (Y, Z). Montrer que f 0 et borélienne, E(f(X)/Z) = E(f(Y )/Z). a2) On pose h 1 (X) = E(g(Z)/X) et h 2 (Y ) = E(g(Z)/Y ) pour g borélienne positive donnée. Montrer que h 1 = h 2, µ-pp, où µ désigne la loi de X. b) Soient T 1,..., T n des variables aléatoires réelles intégrables indépendantes et de même loi. On pose T = T T n. b1) Montrer que E(T 1 /T ) = T n. b2) Calculer E(T/T 1 ) Exercice Soit (X n ) une suite de variables aléatoires réelles idépendantes à valeurs dans R d. On pose S 0 = 0, S n = X 1 + +X n, F n = σ(s k, k n). Montrer que pour toute f : R d R borélienne bornée, E(f(S n )/F n 1 ) = E(f(S n )/S n 1 ) et calculer cette quantité. Exercice a) Soit X à valeurs dans R m tel que X = ϕ(y ) + Z où Y et Z sont indépendantes. Calculer E(f(X)/Y ). b) Soient X et Y à valeurs dans R k et R p respectivement. On suppose que (X, Y ) est un vecteur gaussien de moyenne On suppose R Y inversible. b1) Déterminer A telle que X AY et Y soient indépendantes. ( ) ( ) MX RX R et de covariance XY. M Y R Y X R Y b2) Montrer que E(f(X)/Y ) = f(x)µ Y (dx) où µ Y est la loi gaussienne de moyenne E(X/Y ) = M X + R XY R 1 Y (Y M Y ) et de covariance R X R XY R 1 Y R Y X.

6 Conditionnement 21 Exercice A) Soient σ > 0, a R d et C une matrice d d définie positive. Montrer que (C + σ 2 a t a) 1 = C 1 C 1 a t ac 1 σ 2 + < C 1 a, a >. B) Soient (Z n ) une suite de variables aléatoires réelles idépendantes. On suppose que pour tout n, Z n N (0, c 2 n) où c n > 0. Soit X une variable aléatoire de loi N (0, σ 2 ) (σ > 0), indépendante de la suite (Z n ). On pose Y n = X + Z n, G n = σ(y 1,..., Y n ), ˆXn = E(X/G n ). On pose Y n = (Y 1,..., Y n ). B1) Quelle est la loi de (X, Y 1,..., Y n )? B2) Calculer E(f(X)/Y n ) B3) Calculer ˆX n et E((X ˆX n ) 2 ) B4) Montrer que ˆX n X dans L 2 si et seulement si n 1 c 2 n = +. Exercice Soient F 1, F 2, F 3 trois sous-tribus de F. On dit que F 1 et F 2 sont conditionnellement indépendantes sachant F 3 si (A, B) F 1 F 2, E(1 A 1 B /F 3 ) = E(1 A /F 3 )E(1 B /F 3 ). Montrer que ceci équivaut à: Y, F 2 -mesurable bornée, E(Y/F 3 ) = E(Y/F 13 ), où F 13 = σ(f 1, F 3 ) Lois conditionnelles. De même que la loi d une variable aléatoire X contient l information probabiliste requise pour l utilisation de cette variable, on a naturellement besoin d une notion correspondante pour l information qu apporte cette variable lorsqu on connait en plus une autre variable aléatoire T. C est le rôle que va jouer la loi conditionnelle. Soient X une variable aléatoire à valeurs dans (E, E) et T une variable aléatoire. Le problème qu on se pose est le suivant: construire une mesure ν T sur (E, E) telle que pour toute fonction f : E R mesurable bornée, on ait E(f(X)/T ) = E f(x)ν T (dx). Naturellement, une telle relation va imposer à ν T d être une mesure aléatoire, et même plus précisément que l aléa se lise à travers T (puisque par définition, E(f(X)/T ) est une variable σ(t )-mesurable). L idée qui vient naturellement est de définir la mesure ν T par ν T (A) = E(1 A (X)/T ). Le problème est que la relation précédente, une égalité entre variables aléatoires, n a de sens que p.s. et donc, sauf dans le cas particulier où X prend un nombre dénombrable de valeurs, il n est pas du tout évident que ν T (ω) ainsi définie soit une probabilité sur (E, E). De ce fait, on a en fait besoin de trouver ce qu on nomme une probabilité conditionnelle régulière qui permette de définir une véritable mesure aléatoire. La définition formelle suivante fixe le cadre. Définition Soit (E, E) un espace mesurable et T une variable aléatoire à valeurs dans (F, F). On appelle T -probabilité de transition sur E une application ν : Ω E [0, + ] telle que (i) A E, ω ν(ω, A) est une variable aléatoire σ(t )-mesurable (ii)p -p.s., ν(ω, dx) est une mesure de probabilité sur (E, E) Pour une variable aléatoire X à valeurs dans un espace mesurable quelconque, on ne peut pas trouver en général de loi conditionnelle régulière. Le résultat suivant est de ce fait très important. Théorème et Définition Soient X une variable aléatoire réelle à valeurs dans (E, E) un espace métrique séparable muni de sa tribu borélienne, et T une variable aléatoire. Une loi conditionnelle régulière de X sachant T existe et est une T -probabilité de transition ν T sur E telle que f : E R mesurable bornée, E(f(X)/T )(ω) = f(x)ν T (ω)(dx)p.s.. E

7 Conditionnement 22 Preuve: Nous nous contenterons de faire la démonstration pour E = R n et dans un deuxième temps expliquerons comment elle s étend à E = R N. Le lecteur que tout cela excite pourra chercher la démonstration générale dans la littérature. Cas E = R n : On pose X = (X 1,..., X n ). Pour r 1,..., r n des rationnels, définissons F ω (r 1,..., r n ) = E(1 T n i=1 (X i<r i )/T )(ω). Notons que, pour (r 1,..., r n ) et (r 1,..., r n) fixés tels que r i r i, 1 i n, on a F ω(r 1,..., r n ) F ω (r 1,..., r n) p.s. On a de plus, pour tout choix de (r 1,..., r n ), F ω (r 1 1 k,..., r n 1 k ) k + F ω (r 1,..., r n ) p.s. Donc on peut trouver un ensemble N tel que P (N) = 0 tel que sur N c, F définit une fonction croissante n-variée sur Q n et continue à gauche sur les rationnels. On peut de plus exiger (même raisonnement) que F tende vers 0 quand les r i tendent vers et vers 1 quand ils tendent vers +. On prolonge alors F à R n par continuité en posant, pour ω / N, F ω (x 1,..., x n ) = sup F ω (r 1,..., r n ). r 1 <x 1,...,r n<x n Pour ω N c, F ω détermine donc une mesure de probabilité sur E = R n que nous notons ν T (ω) soit la condition (ii) de la Définition Montrons que la condition (i) est également satisfaite. Soit L = {A E, ν T (., A) est σ(t )-mesurable et ν T (A) = E(1 A (X)/T ) p.s }. L est clairement un λ-système (voir l Exercice 1.3), qui contient par construction tous les pavés n i=1 ], r i[, r i Q qui forment clairement un π-système. De ce fait, par le πλ-théorème, L contient la tribu borélienne B(R n ). L égalité E(f(X)/T ) = E f(x)ν T (dx)p.s. pour une fonction f mesurable bornée est alors obtenue par un raisonnement classique. Cas E = R N : On note X k les coordonnées du processus X. Reprenons la démonstration précédente et notons, pour n N, F n la fonction F précédente définie sur Q n, en exigeant de plus que p.s. lim F ω n+1 (r 1,..., r n, r) = Fω n (r 1,..., r n ). (3.2) r +,r Q On prolonge p.s. par continuité à gauche F n (ω) à R n comme précédemment et notons µ n (ω) la mesure de probabilité sur R n associée. La condition (3.2) revient à dire que la suite (µ n )(ω) n 1 est compatible au sens du Théorème 1.18, et de ce fait détermine une unique probabilité ν T (ω) sur n (R N, B(R N )). On a pour tout B = ], r k [ R R R..., où les r k sont des rationnels, E(1 B (X)/T ) = E(1 X1 <r 1,...,X n<r n /T ) = F n (r 1,..., r n ) = ν T (B) p.s.. Un raisonnement identique à celui du cas précédent permet alors de conclure. La démonstration précédente dans le cas E = R n permet d obtenir une preuve du Théorème de Kolmogorov 1.18 dans le cas E = R N (noter que ce théorème servait, dans la démonstration du Théorème 3.24, uniquement pour prouver le cas E = R N, et il n y a donc pas d entourloupette!). Corollaire : (Théorème 1.18) Soit (µ n ) n 0 une famille de probabilités sur les espaces produit (R n+1, B(R n+1 )) qui satisfait la condition de compatibilité µ n (dx 0,..., dx n ) = µ n+1 (dx 0,..., dx n, dx n+1 ). R Alors il existe une unique probabilité P sur l espace canonique R N telle que sous P le processus canonique X admette les lois µ n comme répartitions finies.

8 Conditionnement 23 Preuve: Il suffit de démontrer que sur un espace de probabilité (Ω, F, P ), on peut trouver une suite de variables aléatoires réelles (X n ) n 0 telle que pour chaque n 0, la loi de (X 0,..., X n ) est donnée par µ n. La probabilité cherchée est alors la loi du processus. D après l Exercice 3.8, sur un espace (Ω, F, P ), il existe une suite de variables aléatoires indépendantes (U n ) n 0 de loi uniforme sur [0, 1]. Supposons que (X 0,..., X n 1 ) soit construit tel que (X 0,..., X k ) soit σ(u 0,..., U k )-mesurable et suive la loi µ k pour tout k n 1, et construisons X n. L idée va être de se débrouiller pour que cette variable admette la bonne loi conditionnelle sachant (X 0,..., X n 1 ). Considérons un vecteur aléatoire (Y 0,..., Y n ) sur un espace de probabilités (E, E, Q) de loi µ n (on peut par exemple prendre E = R n+1, Q la mesure µ n, et pour (Y 0,..., Y n ) le n + 1-uplet des projections canoniques). D après le premier cas de la démonstration du Théorème 3.24, il existe une loi conditionnelle de Y n sachant (Y 0,..., Y n 1 ), dont on note F n (y; Y 0,..., Y n 1 ) la fonction de répartition. Pour (y 0,..., y n 1 ) donné, soit G n (y; y 0,..., y n 1 ) = inf{t [0, 1], F n (y; y 0,..., y n 1 ) t} l inverse généralisée de F n ; on sait (cf. la démonstration du Théorème 2.26), qu alors G n (U n ; y 0,..., y n 1 ) suit la loi F n (dz; y 0,..., y n 1 ). Posons X n = G n (U n ; X 0,..., X n 1 ). Il est clair que X n est alors σ(u 0,..., U n ) mesurable. Examinons maintenant la loi de (X 0,..., X n ). Soit ϕ : R n+1 R mesurable bornée. E(ϕ(X 0,..., X n )) = E(ϕ(X 0,..., X n 1, G n (U n ; X 0,..., X n 1 )). Comme U n et (X 0,..., X n 1 ) sont indépendants, cette dernière expression se réécrit E( ϕ(x 0,..., X n 1, z)f n (dz; X 0,..., X n 1 )) R = ϕ(x 0,..., x n 1, z)f n (dz; x 0,..., x n 1 )µ n 1 (dx 0,..., dx n 1 ) R n+1 = ϕ(y 0,..., Y n 1, z)f n (dz; Y 0,..., Y n 1 )dq E R en utilisant le fait que (Y 0,..., Y n 1 ) suit la loi µ n 1 grâce à la condition de compatibilité, et cette dernière expression est aussi E Q (E Q (ϕ(y 0,..., Y n 1, Y n )/(Y 0,..., Y n 1 ))) = E Q (ϕ(y 0,..., Y n 1, Y n ) = ϕ(y 0,..., y n 1, y n )µ n+1 (dy 0,..., dy n ) R n+1 ce qui prouve donc que (X 0,..., X n ) suit la loi µ n. L exemple le plus important où la définition 3.24 s applique est celui où le vecteur (X, T ) est à valeurs dans R n+d et y admet une densité λ(x 1,..., x n ; t 1,..., t d ). La loi conditionnelle se calcule alors très aisément: Proposition Soit (X, T ) un vecteur aléatoire à valeurs dans R n+d dont la loi admet une densité λ(x 1,..., x n ; t 1,..., t d ). Alors la loi conditionnelle de X sachant T est p.s. la loi sur R n admettant λ(x la densité α T (x 1,..., x n ) = 1,..., x n ; T ). R n λ(u 1,..., u n ; T )du 1... du n Preuve: Naturellement, la loi aléatoire à densité précédente est bien une T -probabilité de transition sur R n. De plus, pour f et g boréliennes bornées sur R n, on peut écrire grâce au théorème de Fubini qui s applique ici (puisque f et g sont bornées), E(f(X)g(T )) = f(x)g(t)λ(x, t)dxdt = g(t)[ f(x)α t (dx)]ρ(t)dt R n R d R d R n où ρ(t) = R n λ(u 1,..., u n ; t)du 1... du n est la densité de la loi de T. De ce fait, on a E(f(X)g(T )) = E(g(T )[ R n f(x)α T (dx)]) et donc p.s. E(f(X)/T ) = R n f(x)α T (dx).

9 Conditionnement 24 Exercice Soient T 1, T 2,... des variables aléatoires de loi exponentielle de paramètre λ indépendantes. On pose T = T T n. a) Déterminer la loi conditionnelle de T 1 sachant T et calculer E(T 1 /T ). b) Calculer E(T 2 1 /T ) et E(T 1T 2 /T ). Exercice Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de même loi de densité f. Soit M = max(x, Y ). Déterminer la loi conditionnelle de X sachant M.

Espérance conditionnelle

Espérance conditionnelle Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples

Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples 36 Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples (Ω, B, P est un espace probabilisé. 36.1 Définition et propriétés des probabilités conditionnelles Définition 36.1

Plus en détail

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR Université Paris VII. Préparation à l Agrégation. (François Delarue) COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR Ce texte vise à l étude du temps d attente d un client à la caisse d un

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint 18 mars 2008 1 Généralités sur les opérateurs 1.1 Définitions Soient H et H deux espaces de Hilbert sur C. Définition 1.1

Plus en détail

3.8 Introduction aux files d attente

3.8 Introduction aux files d attente 3.8 Introduction aux files d attente 70 3.8 Introduction aux files d attente On va étudier un modèle très général de problème de gestion : stocks, temps de service, travail partagé...pour cela on considère

Plus en détail

IV. Espaces L p. + tx 1. (1 t)x 0

IV. Espaces L p. + tx 1. (1 t)x 0 cours 13, le lundi 7 mars 2011 IV. spaces L p IV.1. Convexité Quand deux points x 0, x 1 R sont donnés, on peut parcourir le segment [x 0, x 1 ] qui les joint en posant pour tout t [0, 1] x t = (1 t)x

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

Compléments sur les couples aléatoires

Compléments sur les couples aléatoires Licence Math et MASS, MATH54 : probabilités et statistiques Compléments sur les couples aléatoires 1 Couple image ans ce paragraphe, on va s intéresser à la loi d un vecteur aléatoire S, T qui s obtient

Plus en détail

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Pierre Andreoletti IUT d Orléans Laboratoire MAPMO (Bât. de Mathématiques UFR Sciences) - Bureau 126 email: pierre.andreoletti@univ-orleans.fr

Plus en détail

Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels.

Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels. Licence de Sciences et Technologies EM21 - Analyse Fiche de cours 1 - Nombres réels. On connaît les ensembles suivants, tous munis d une addition, d une multiplication, et d une relation d ordre compatibles

Plus en détail

Théorie du chaos multiplicatif et application à l étude de la mesure MRM lognormale. 15 novembre 2010

Théorie du chaos multiplicatif et application à l étude de la mesure MRM lognormale. 15 novembre 2010 Théorie du chaos multiplicatif et application à l étude de la mesure MRM lognormale 15 novembre 2010 Table des matières 1 Rappel sur les Processus Gaussiens 2 Théorie du chaos multiplicatif gaussien de

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

1 Définition, existence, unicité.

1 Définition, existence, unicité. Université Denis Diderot Paris 7 Espérance conditionnelle Ces rappels et compléments de cours sont inspirés de [1], [2], [3]. Il va de soi que pour une bonne connaissance des notions qui suivent, il est

Plus en détail

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels.

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l année 28-29 1 Partiel Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. On suppose a + c = b + d = 1 et a b 1. ( ) a b c d 1. Soient (x 1,x

Plus en détail

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions :

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions : Probabilités I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : 1- Définitions : Ω : Ensemble dont les points w sont les résultats possibles de l expérience Des évènements A parties de Ω appartiennent à A une

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Simulation de variables aléatoires S. Robin INA PG, Biométrie Décembre 1997 Table des matières 1 Introduction Variables aléatoires discrètes 3.1 Pile ou face................................... 3. Loi de

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés Énoncé Soit E un espace vectoriel sur IK (IK = IR ou lc). Soit f un endomorphisme de E. On pose f 0 = Id E, et pour tout entier k 1, f k = f f k 1. 1. Montrer que (Im f k ) k 0 et (Ker f k ) k 0 forment

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Université Paris1, Licence 00-003, Mme Pradel : Principales lois de Probabilité 1 DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Notations Si la variable aléatoire X suit la loi L, onnoterax

Plus en détail

Couples de variables aléatoires discrètes

Couples de variables aléatoires discrètes Couples de variables aléatoires discrètes ECE Lycée Carnot mai Dans ce dernier chapitre de probabilités de l'année, nous allons introduire l'étude de couples de variables aléatoires, c'est-à-dire l'étude

Plus en détail

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

Théorie de la Mesure et Intégration

Théorie de la Mesure et Intégration Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM365 Intégration 2 Année 2011 12 Théorie de la Mesure et Intégration Amaury Lambert 1 1. Responsable de l UE. Mél : amaury.lambert@upmc.fr

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Cours d analyse 1ère année. Rhodes Rémi

Cours d analyse 1ère année. Rhodes Rémi Cours d analyse 1ère année Rhodes Rémi 10 décembre 2008 2 Table des matières 1 Propriétés des nombres réels 5 1.1 Sous-ensembles remarquables de R........................ 5 1.2 Relations d ordre..................................

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

VIII Relations d ordre

VIII Relations d ordre VIII Relations d ordre 20 février 2015 Dans tout ce chapitre, E est un ensemble. 1. Relations binaires Définition 1.0.1. On appelle relation binaire sur E tout triplet R = (E, E, Γ) où Γ est une partie

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 Relations binaires Relations d équivalence Exercice 1 [ 02643 ] [Correction] Soit R une relation binaire sur un ensemble E à la fois réflexive

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Cours de Probabilités. Jean-Yves DAUXOIS

Cours de Probabilités. Jean-Yves DAUXOIS Cours de Probabilités Jean-Yves DAUXOIS Septembre 2013 Table des matières 1 Introduction au calcul des probabilités 7 1.1 Espace probabilisable et loi de variable aléatoire........ 8 1.1.1 Un exemple

Plus en détail

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

Probabilités. Chapitre 2 : Le modèle probabiliste - Indépendance d évènements. Julian Tugaut. 15 janvier 2015

Probabilités. Chapitre 2 : Le modèle probabiliste - Indépendance d évènements. Julian Tugaut. 15 janvier 2015 Indépendance de deux évènements Chapitre 2 : Le modèle probabiliste - Indépendance d évènements 15 janvier 2015 Sommaire 1 Indépendance de deux évènements 2 Indépendance de deux évènements Approche intuitive

Plus en détail

Applications des nombres complexes à la géométrie

Applications des nombres complexes à la géométrie Chapitre 6 Applications des nombres complexes à la géométrie 6.1 Le plan complexe Le corps C des nombres complexes est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Il est donc muni d une structure naturelle

Plus en détail

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2. Opérateurs non bornés: définitions et propriétés élémentaires Soit H un espace de Hilbert et A un opérateur dans H, c est-à-dire, une application linéaire

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre 1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Les deux modes de représentation des sous-espaces vectoriels Il existe deux modes

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

Points fixes de fonctions à domaine fini

Points fixes de fonctions à domaine fini ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE DE CACHAN ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D ADMISSION 2013 FILIÈRE MP HORS SPÉCIALITÉ INFO FILIÈRE PC COMPOSITION D INFORMATIQUE

Plus en détail

1 Sujets donnés en option scientifique

1 Sujets donnés en option scientifique Les sujets suivants, posés aux candidats des options scientifique, économique, technologique et littéraire BL constituent la première version d un échantillon des sujets proposés lors des épreuves orales

Plus en détail

Notes de cours de Probabilités Appliquées. Olivier François

Notes de cours de Probabilités Appliquées. Olivier François Notes de cours de Probabilités Appliquées Olivier François 2 Table des matières 1 Axiomes des probabilités 7 1.1 Introduction................................. 7 1.2 Définitions et notions élémentaires.....................

Plus en détail

Cours de terminale S Suites numériques

Cours de terminale S Suites numériques Cours de terminale S Suites numériques V. B. et S. B. Lycée des EK 13 septembre 2014 Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle

Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle Chapter 2 Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle Sommaire 2.1 Tribu et événements........................................... 15 2.2 Probabilité................................................

Plus en détail

CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 2009 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES. (Classe terminale S)

CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 2009 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES. (Classe terminale S) MA 09 CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 009 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Classe terminale S) DURÉE : 5 heures La calculatrice de poche est autorisée, conformément à la réglementation. La clarté et

Plus en détail

Calculs préliminaires.

Calculs préliminaires. MINES-PONTS 005. Filière MP. MATHÉMATIQES 1. Corrigé de JL. Lamard jean-louis.lamard@prepas.org) Calculs préliminaires. Notons que si f H alors f)e / est bien intégrable sur R car continue positive et

Plus en détail

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65 Sommaire Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires............... 5 A. Généralités sur les variables aléatoires réelles.................... 6 B. Séries doubles..................................... 9

Plus en détail

Logique informatique 2013-2014. Examen

Logique informatique 2013-2014. Examen Logique informatique 2013-2014. Examen 30 mai 2013. Durée 3h. Tous les documents sont autorisés. Seuls les résultats du cours peuvent être utilisés sans démonstration. Le barême et la longueur des solutions

Plus en détail

Espaces vectoriels 2006-2007. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F.

Espaces vectoriels 2006-2007. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle 2006-2007 Espaces vectoriels Convention 1. Dans toute la suite, k désignera un corps quelconque. Définition 2.

Plus en détail

4. Martingales à temps discret

4. Martingales à temps discret Martingales à temps discret 25 4. Martingales à temps discret 4.1. Généralités. On fixe un espace de probabilités filtré (Ω, (F n ) n, F, IP ). On pose que F contient ses ensembles négligeables mais les

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

Sujets HEC B/L 2013-36-

Sujets HEC B/L 2013-36- -36- -37- Sujet HEC 2012 B/L Exercice principal B/L1 1. Question de cours : Définition et propriétés de la fonction de répartition d une variable aléatoire à densité. Soit f la fonction définie par : f(x)

Plus en détail

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y )

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y ) COR TD 2 Année 21 Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : f 1 : R 2 R 2 f 1 x, y = 2x + y, x y f 2 : R R f 2 x, y, z = xy, x, y f : R R f x, y, z = 2x + y + z, y z, x

Plus en détail

Leçon 6. Savoir compter

Leçon 6. Savoir compter Leçon 6. Savoir compter Cette leçon est une introduction aux questions de dénombrements. Il s agit, d une part, de compter certains objets mathématiques (éléments, parties, applications,...) et, d autre

Plus en détail

Exercices : VAR discrètes

Exercices : VAR discrètes Exercices : VAR discrètes Exercice 1: Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules noires. On tire les boules une à une sans les remettre jusqu à ce qu il ne reste que des boules d une seule couleur

Plus en détail

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7.

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7. Mathématiques pour l informatique IMAC première année - Soutien - Nombres complexes Rappels. Un nombre complexe z admet plusieurs représentations : représentation vectorielle z = (a, b) où a, b R représentation

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo

Plus en détail

Rappels sur les applications linéaires

Rappels sur les applications linéaires Rappels sur les applications linéaires 1 Définition d une application linéaire Définition 1 Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K et f une application de E dans F Dire que f est linéaire

Plus en détail

Notes de cours L1 MATH120. Hervé Le Dret

Notes de cours L1 MATH120. Hervé Le Dret Notes de cours L1 MATH120 Hervé Le Dret 18 octobre 2004 40 Chapitre 3 Vecteurs dans R m Dans ce chapitre, nous allons nous familiariser avec la notion de vecteur du point de vue algébrique. Nous reviendrons

Plus en détail

Cours de Probabilités : Modèles et Applications.

Cours de Probabilités : Modèles et Applications. Cours de Probabilités : Modèles et Applications. Anne Philippe & Marie-Claude Viano 2 Niveau Master Université de Nantes Année 2009-200. Anne.Philippe@univ-nantes.fr 2. Marie-Claude.Viano@univ-lille.fr

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes UNIVERSITÉ DE CERG Année 0-03 UFR Économie & Gestion Licence d Économie et Gestion MATH0 : Probabilités Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes Généralités Définition Soit (Ω, P(Ω), P)

Plus en détail

Cours FPV - Semaine 3 : Recherche d Extrema et Formes Différentielles

Cours FPV - Semaine 3 : Recherche d Extrema et Formes Différentielles Cours FPV - Semaine 3 : Recherche d Extrema et Formes Différentielles Frédéric Messine Introduction Dans ce chapitre, nous allons étudier une application de la dérivation des fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Construction de la mesure de Lebesgue. 1 Mesure positive engendrée par une mesure extérieure.

Construction de la mesure de Lebesgue. 1 Mesure positive engendrée par une mesure extérieure. Université d Artois Faculté des Sciences Jean Perrin Analyse Fonctionnelle (Licence 3 Mathématiques-Informatique Daniel Li Construction de la mesure de Lebesgue 28 janvier 2008 Dans ce chapitre, nous allons

Plus en détail

Remise à niveau en processus stochastiques

Remise à niveau en processus stochastiques M2IR Université Claude Bernard Lyon 1 Année universitaire 212-213 Remise à niveau en processus stochastiques F. Bienvenüe-Duheille Le but de ce poly est de vous mettre à niveau sur les processus stochastiques

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1. Cours de Mathématiques 1

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1. Cours de Mathématiques 1 Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1 Cours de Mathématiques 1 Table des matières 1 Un peu de formalisme mathématique 7 1.1 Rudiments de logique........................................

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 mat231-exo-03.tex (29 septembre 2008) Feuille d exercices n o 3 Exercice 3.1 Soit K un corps commutatif et soit {P 0, P 1,... P n } une famille de polynômes de

Plus en détail

TD 4 : HEC 2001 épreuve II

TD 4 : HEC 2001 épreuve II TD 4 : HEC 200 épreuve II Dans tout le problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 2 On dispose de n jetons numérotés de à n On tire, au hasard et sans remise, les jetons un à un La suite (a, a 2,,

Plus en détail

Un tout petit peu d homotopie

Un tout petit peu d homotopie Vincent Beck On note I = [ 0, 1 ]. Un tout petit peu d homotopie 0.1 Homotopie Définition 1 Applications homotopes. Soient X, Y deux espaces topologiques et f, g : X Y deux applications continues. On dit

Plus en détail

Examen du cours de Mesures de risque en finance

Examen du cours de Mesures de risque en finance Examen du cours de Mesures de risque en finance Mercredi 15 Décembre 21 (9h-11h) Seul document autorisé: une feuille A4 manuscrite recto-verso. Important : rédiger sur une même copie les exercices 1 et

Plus en détail

Les espaces L p. Chapitre 6. 6.1 Définitions et premières propriétés. 6.1.1 Les espaces L p, avec 1 p < +

Les espaces L p. Chapitre 6. 6.1 Définitions et premières propriétés. 6.1.1 Les espaces L p, avec 1 p < + Chapitre 6 Les espaces L p 6.1 Définitions et premières propriétés 6.1.1 Les espaces L p, avec 1 p < + Soient (E, T,m) un espace mesuré, 1 p < + et f M = M(E, T) (c est-à-dire f : E R, mesurable). On remarque

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-201 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre III : Polynômes 1 Fonctions polynômes & polynômes Définition 1. Soit

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M Topologie 1 Espaces métriques 1.1 Distance Dans toute cette partie E représente un ensemble qui n est pas forcément un espace vectoriel. Définition

Plus en détail

Première partie. Deuxième partie

Première partie. Deuxième partie PC 96-97 correction épreuve X97 Première partie. f étant convexe sur l intervalle [t, t 2 ], sa courbe représentative est en dessous la corde joignant les points (t, f(t )) et (t 2, f(t 2 )). Comme f(t

Plus en détail

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77 76 IV FORMES LINÉAIRES, DUALITÉ IV Formes linéaires, dualité Sommaire IV.1 Dual d un espace vectoriel.......... 77 IV.1.a Rappels sur les e.v................... 77 IV.1.b Rappels sur les applications linéaires........

Plus en détail

CONCOURS D ADMISSION. Option économique MATHEMATIQUES III. Année 2006

CONCOURS D ADMISSION. Option économique MATHEMATIQUES III. Année 2006 ESSEC M B A CONCOURS D ADMISSION Option économique MATHEMATIQUES III Année 2006 La présentation, la lisibilité, l orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront

Plus en détail

EXERCICES SANS PRÉPARATION HEC 2005. Question 11 D après HEC 2005-11 F 2 EXERCICES SANS PRÉPARATION 2008. Question 7 HEC 2006-7 F 1 élève

EXERCICES SANS PRÉPARATION HEC 2005. Question 11 D après HEC 2005-11 F 2 EXERCICES SANS PRÉPARATION 2008. Question 7 HEC 2006-7 F 1 élève 30-1- 2013 J.F.C. p. 1 F 1 F 2 F 3 Assez simple ou proche du cours. Demande du travail. Délicat. EXERCICES SANS PRÉPARATION HEC 2005 Question 11 D après HEC 2005-11 F 2 X est une variable aléatoire de

Plus en détail