Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
|
|
- Brian Laframboise
- il y a 2 ans
- Total affichages :
Transcription
1 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R, f(x) =. Montrer que f est une densité de probabilité. sinon f est une densité du produit de deux variables indépendantes qui suivent une loi uniforme sur [, 1]... Voir au niveau de la convolution. Exercice 2 Densité. Espérance. QSP ESCP 211 F1 Q1. Donner les conditions pour que f a : x a e x ln(1 + e x ) soit une densité de probabilité. Q2 X est une variable aléatoire de densité f a. X admet-elle une espérance? QSP déjà donnée à l ESCP en 21. Exercice donné à l oral de l ESCP 1997 (3.41). Exercice 3 Densité de probabilité. QSP ESCP 26 F1 Soit X une variable aléatoire à valeurs dans R + admettant une densité f continue sur R + et une espérance m 1 non nulle (!!). On note F la fonction de répartition de X et on définit la fonction g par : Montrer que g est une densité de probabilité. Cet exercice est le classique E(X) = 1 F (x) si x [, + [ x R, g(x) = m 1 sinon X(Ω) R + et E(X) existe... Voir plus bas. ( ) + 1 F (t) dt = P (X > t) dt = Exercice 4 Fonction de répartition QSP ESCP 28 F1. P (X t) dt avec les hypothèses Soit X une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre α >. On note f une densité de X. Justifier l existence et calculer, pour tout z de R : G(z) = P (X zx)f(x) dx. Vérifier que G possède les propriétés caractéristiques d une fonction de répartition. Exercice 5 Densité de probabilité. Fonction de répartition. Y = 2 X. F1 α est réel. x ], [, f(x) = α2 x et x [, + [, f(x) = α2 x. Q1. Trouver α pour que f soit une densité de probabilité. Q2. X est une variable aléatoire de densité f. Trouver la fonction de répartition de X et calculer E(X). Q3. x est un réel. Calculer P (X < x/x 1). Q4. Étudier Y = 2X/2 (on pourra admettre que Y est une variables alétoire réelle). On retrouve la même chose dans oral ESCP en remplaçant 2 par 3.
2 J.F.C. p. 2 Exercice 6 Loi de Pareto. Densité de probabilité. Fonction de répartition. Espérance. Y = ln X. F1 a est un réel strictement positif. On considère la fonction f a définie sur R par : { t R, f a (t) = at a 1 si t [1, + [. sinon Q1. Montrer que f a est une densité de probabililité. Q2. X est une variable aléatoire réelle admettant pour densité f a. a) Trouver la fonction de répartition F X de X. b) X possède -t-elle une espérance? Si oui la calculer. Même chose pour la variance. c) Y = ln X. Trouver la fonction de répartition F Y de Y. Exercice 7 Fonction de répartition. Densité. Espérance. QSP HEC S23 F1 + a, b sont deux réels strictement positifs. α est un réel appartenant à l intervalle ], 1[. Soit X une variable aléatoire définie sur un espace probabilissé (Ω, A, P ), vérifiant les conditions suivantes : P (X = ) = ; P (X > ) = α ; { 1 e ax si x > P {X>} (X x) = si x ; P {X<} ( X x) = Q1. Déterminer la fonction de répartition de X. Q2. La variable aléatoire X est-elle à densité? { 1 e bx si x > si x. Je mettrais plutôt P {X<}( X < x) = { 1 e bx si x > si x. Q3. Établir l existence de E(X). Calculer E(X). Exercice 8 Espérance. QSP ESCP 26 F1 Soit X une variable aléatoire réelle de densité f continue sur R et admettant une espérance. On suppose qu il existe b tel que pour tout x réel f(b x) = f(x). Quelle est l espérance de X? Exercice 9 Espérance. QSP ESCP 26 F1 Soit X une variable à densité définie sur un espace probabilisé (Ω, T, P ) et F sa fonction de répartition. On suppose que : F est de classe C 1 sur R. X admet une espérance E(X). lim x + x ( 1 F (x) F ( x) ) =. Montrer que E(X) = [1 F (t) F ( t)] dt.
3 J.F.C. p. 3 Exercice 1 Espérance. QSP ESCP 212 F1 Soit X une variable aléatoire réelle admettant une densité f nulle sur ], [ et continue sur [, + [. On note F la fonction de répartition de X. ( ) On suppose que X possède une espérance. Montrer que lim x f(t) dt =. x + Montrer que E(X) = ( ) + 1 F (t) dt = P (X > t) dt = x P (X t) dt. En se fatiguant un peu plus on peut remplacer la première phrase par : soit X une variable aléatoire réelle à densité prenant ses valeurs dans [, + [ (presque sûrement...) et f une densité X. Exercice 11 Espérance. Généralise l exercice précédent. F1 + Soit X une variable aléatoire admettant une densité f nulle sur ], [ et continue sur [, + [. On note F la fonction de répartition de X. Montrer que E(X) existe si et seulement si En cas d existence montrer que E(X) = ( 1 F (t) ) dt converge. ( ) + 1 F (t) dt = P (X > t) dt = P (X t) dt. En se fatiguant un peu plus on peut remplacer la première phrase par : soit X une variable aléatoire réelle à densité prenant ses valeurs dans [, + [ (presque sûrement...) et f une densité X. Exercice 12 QSP HEC 27-7 F 1 Soit X une variable aléatoire à valeurs positives ou nulles et admettant une densité f qui est continue sur R +. On suppose que X possède un moment d ordre 2. Q1. Étudier le comportement de x2 P (X x) quand x tend vers +. Q2. Établir une relation entre E(X2 ) et ( 2 Q3. Prouver que : P (X x) dx) 2 x P (X x) dx. Si on note F la fonction de répartition de X : E(X 2 ) = 2 2 x ( 1 F (x) ) dx. Exercice 13 E(X 2 ) = 2 t P( X t) dt x P (X x) dx. F1 x P (X x) dx = 2 X est une variable aléatoire de densité f continue et telle que E(X 2 ) existe. Q1. Montrer que si x est un réel strictement positif : En déduire que x 2 P ( X x) ( lim x 2 P ( X x) ) =. x + x x t 2 f(t) dt + x t 2 f(t) dt. Q2. Soit x un réel positif. Montrer que : t P ( X t) dt = x2 2 P ( X x) répartition F de X et une intégration par parties). x x x P (X > x) dx = t 2 f(t) dt (utiliser la fonction de
4 J.F.C. p. 4 En déduire que Thème abordé dans oral ESCP t P ( X t) dt converge et vaut E(X 2 )/2. II Présentation de lois classiques. Nous reviendrons sur ses lois dans la suite. Exercice 14 La loi gamma à deux paramètres. F1 + Notons que cette loi faisait partie du programme jusqu au concours de 214. Il est certainement utile d avoir quelques idées sur le sujet... Nous utiliserons dans cet exercice tous les résultats concernant la loi gamma à un paramètre. Il est fortement conseillé de faire de même aux concours. b et ν sont deux réels strictement positifs. On pose : t ], ], f(t) = et t ], + [, f(t) = tν 1 e t b b ν Γ(ν). Q1. Montrer que f est une densité de probabilité. Q2. Soit X une variable aléatoire réelle admettant f pour densité. On dit que X suit la loi gamma de paramètres b et ν. On écrit X Γ(b, ν). a) Que dire sit ν = 1 (resp. b = 1)? b) Que dire de 1 X? Envisager une réciproque. b Q3. a) Montrer que pour tout k dans N, X possède un moment d ordre k et le calculer. b) Vérifier que E(X) = b ν et V (X) = b 2 ν. Q4. a) Soient X 1 et X 2 deux variables aléatoires réelles indépendantes sur (Ω, A, P ) qui suivent respectivement une loi gamma de paramètres b et ν 1, et b et ν 2. Montrer que X 1 + X 2 suit la loi gamma de paramètres b et ν 1 + ν 2. b) Plus généralement X 1, X 2,..., X n sont des variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes sur (Ω, A, P ). Montrer que si i [1, n]], X i Γ(b, ν i ) alors X 1 + X X n Γ(b, ν 1 + ν ν n ). c) X 1, X 2,..., X n sont des variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes sur (Ω, A, P ) suivant la loi exponentielle de paramètre λ. Montrer que X 1 + X X n suit la loi gamma de paramètre 1 λ et n. Exercice 15 Loi de Pareto F1 α x α α et x sont deux réels strictement positifs. On pose : t R, f(t) = t α+1 si t [x, + [. sinon Q1. Montrer que f est une densité de probabilité. Soit X une variable aléatoire réelle admettant pour densité f. On dit que X suit la loi de Pareto de paramètres α et x. On écrit alors X VP(α, x ). Q2. Donner la fonction de répartition F X de X.
5 Q3. a) E(X) existe si et seulement si α > 1 et dans ce cas E(X) = α α 1 x. b) V (X) existe si et seulement si α > 2 et dans ce cas V (X) = α (α 2) (α 1) 2 x2. On ajoute parfois un paramètre C telle que x + C > (à la place de x > ). α (x + C) α f devient : t R, f(t) = (t + C) α+1 si t [x, + [. sinon C est la loi de Pareto à trois paramètres que l on note VP(α, x, C). J.F.C. p. 5 Exercice 16 Loi de Cauchy F1 a est un réel strictement positif. On pose : t R, f(t) = Q1. Montrer que f est une densité de probabilité. a π(a 2 + t 2 ) Soit X une variable aléatoire réelle admettant pour densité f. On dit que X suit la loi de Cauchy de paramètre a. On écrit alors X C(a). Q2 Trouver la fonction de répartition F X de X. Q3 Montrer que X, n a pas d espérance. On ajoute parfois un paramètre de dispersion x (au paramètre d échelle a) et f devient : t C est la loi de Cauchy de paramètres x et a. Exercice 17 Loi Bêta de première espèce. F1 α et β sont deux réels strictement positifs. Q1. Montrer que B(α, β) = 1 t α 1 (1 t) β 1 dt est une intégrale convergente et strictement positive. On pose t ], ] [1, + [, f α,β (t) = et t ], 1[, f α,β (t) = tα 1 (1 t) β 1 B(α, β) Q2. Montrer que f α,β est une densité de probabilité. a π(a 2 + (t x ) 2 ) Soit X une variable aléatoire réelle admettant pour densité f α,β. On dit que X suit la loi de bêta de première espèce de paramètres α et β. On écrit alors X B(α, β). Q3. a) Montrer que pour tout r dans N, X possède un moment d ordre r. b) Montrer que E(X) = α α + β c) Montrer que r N, E(X r ) = et V (X) = α r 1 i= β (α + β) 2 (α + β + 1) α + i α + β + i Exercice 18 Loi de Weibull. Oral ESCP F1 { αλx α 1 e λ xα si x > α et λ sont des réels strictement positifs. On pose x R, f(x) =. si x Q1. Montrer que f est une densité de probabilité. Q2. X est une variable aléatoire à densité de densité f. On dit que X suit la loi de Weibull de paramètre α et λ. On écrit X W(α, λ).
6 J.F.C. p. 6 a) Trouver F X. Montrer que X possède une espérance et une variance que l on exprimera à l aide de la fonction Γ. b) On considère la variable aléatoire Y = λ X α. Étudier Y. III Densité, fonction de répartition, espérance à partir des lois du programme. Exercice 19 Approche des lois gamma. F1 Pour tout réel positif t, le nombre de personnes qui entrent dans un magasin entre les instants et t est une variable aléatoire N t qui suit une loi de Poisson de paramètre λt. n est un élément de N. Y n est la variable aléatoire égale au temps d attente du nème client dans le magasin. Q1. Donner la fonction de répartition F n de Y n. Q2. Montrer que Y n est une variable aléatoire réelle à densité et en donner une densité. Éxaminer les cas particuliers λ = 1 et n = 1. Abordé dans ESCP Exercice 2 Géométrique-exponentielle. QSP ESCP 212 F1 (X k ) k N est une suite de variables alétaoires indépendantes sur (Ω, A, P ) qui suivent la même loi exponentielle de paramètre a. Soit x un réel strictement positif. Trouver la loi de la variable aléatoire N x égale à Min{k N X k > x}. Déterminer Déjà vu en 211. lim P (N x > E(N x )). x + Exercice 21 Poisson-Gamma. F1 n est un élément de N et λ est un réel positif. X et Y sont deux variables aléatoires sur (Ω, A, P ). On suppose que X suit la loi gamma de paramètre n et que Y suit une loi de poisson de paramètre λ. Démontrer que P (X > λ) = P (Y < n). Thème abordé dans oral ESCP , , HEC MII Exercice 22 Gamma-Poisson. D après oral ESCP F1 On ouvre un guichet au temps. Des clients se présentent successivement à ce guichet aux instants aléatoires T 1, T 2,... E 1 = T 1 E On suppose que les variables aléatoires E 1, E 2,... définies sur un espace probabilisé (Ω, A, P ) par : 2 = T 2 T 1 E 3 = T 3 T 2... sont mutuellement indépendantes et suivent une même loi exponentielle de paramètre λ >. On note X la variable aléatoire réelle égale au nombre de clients arrivant dans l intervalle [, 1]. Q1. Montrer que T n est une variable aléatoire réelle à densité et en donner une densité (cours). Q2. Calculer P [X = ]. Q3. Pour n dans N, exprimer P (X = n) en fonction de P (T n+1 > 1) et de P (T n > 1). En déduire la loi de X ou montrer que X suit une loi de Poisson!! (IPP)
7 J.F.C. p. 7 Exercice 23 Loi normale. Bienaymé-Tchebychev F1 x est un réel strictement positif. Montrer que Exercice 24 Loi normale. F1 x e t2 2 dt π 2 (1 1 x 2 ). Φ est la fonction de répartition d une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite. Existence et valeur de (1 Φ(t)) dt. Exercice 25 Utilisation des lois normales pour calculer des intégrales. F1 a, b et c sont trois réels. On suppose que a est strictement positif. Existence et calcul de I = On retrouve cela dans HEC MI 24 e (a t2 +b t+c) dt. Exercice 26 Moments d une loi normale centrée réduite. F1 X est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite. Montrer que pour tout k dans N, X possède un moment d ordre k et le calculer. Exercice 27 Stabilité des lois normales. Oral ESCP F1 Q1. a) Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale N (, 1) et φ une densité de X (nous pourrons prendre la densité de X continue sur R). Montrer que X admet des moments à tous les ordres. Préciser les moments d ordre 1, 2 et 3. Calculer le moment d ordre 4 en remarquant que t 4 φ(t) dt = b) On suppose maintenant que X suit la loi normale N (m, σ). t 3 φ (t) dt, où φ désigne la dérivée de φ. En écrivant X sous la forme X = σx + m, calculer E(X 2 ), E(X 4 ), puis V (X 2 ) en fonction de m et de σ. Q2. Un point se déplace dans le plan rapporté à un repère orthonormé, en partant de l origine à l instant. Si à l instant t = k 1, le point se trouve en (u k 1, v k 1 ), à l instant t = k, il se trouvera en (u k 1 + X k, v k 1 + Y k ), où X k et Y k suivent des lois normales N (a, 1). Ainsi, au temps t = 1, il se trouve au point de coordonnées (X 1, Y 1 ), au temps t = 2, il se trouve en (X 1 +X 2, Y 1 +Y 2 ), etc. On suppose les variables X 1, X 2,..., X n,... et Y 1, Y 2,..., Y n,... mutuellement indépendantes : les X i sont indépendantes entre elles, de même que les Y j et toutes les X i sont indépendantes de toutes les Y j. L objectif de cette question est l estimation de a 2 où a est défini ci-dessus. Pour tout n entier strictement positif, on pose A n = point à l instant n. n k=1 X k et B n = a) Quelle sont les lois de A n, de B n, leur espérance et leur variance? b) Soit D 2 n = A 2 n + B 2 n le carré de la distance du point à l origine à l instant n. Exprimer E(A 2 n) à l aide de V (A n ) et E(A n ). En déduire E(D 2 n). n k=1 Y k. (A n, B n ) sont donc les coordonnées du
8 J.F.C. p. 8 Montrer que U n = X2 n + Y 2 n 2n 2 1 n est un estimateur sans biais de a2. c) Exprimer la variance de A 2 n à l aide des résultats de la question 1. En déduire celle de U n. Cet estimateur est-il convergent? IV Composition d une variable aléatoire réelle à densité par une fonction. a) Les φ X de base. Exercice 28 Y = ax + b F1 Soit X une variable aléatoire réelle à densité sur (Ω, A, P ) de densité f définie sur R. a est un réel non nul et b un réel. Montrer que Y = ax + b est une variable aléatoire à densité admettant pour densité g définie sur R par : x R, g(x) = 1 ( x b ) a f. a Exercice 29 Y = X 2 F1 + Soit X une variable aléatoire réelle à densité sur (Ω, A, P ) de densité f définie sur R. Montrer que Y = X 2 est une variable aléatoire à densité admettant pour densité g définie sur R par : x ], ], g(x) = et x ], + [, g(x) = 1 ( 2 f( x) + f( ) x). x Exercice 3 Y = X F1 Soit X une variable aléatoire réelle à densité sur (Ω, A, P ) de densité f définie sur R. Montrer que Y = X est une variable réelle à densité sur (Ω, A, P ) et en donner une densité. Exercice 31 Y = 1 X F1 + Soit X une variable aléatoire réelle à densité sur (Ω, A, P ), prenant ses valeurs dans R, de densité f définie sur R. Montrer que Y = 1 X est une variable aléatoire à densité admettant pour densité g définie sur R par : g() = et x R {}, g(x) = 1 x 2 f(x). Exercice 32 Y = e X F1 Soit X une variable aléatoire réelle à densité sur (Ω, A, P ) de densité f définie sur R. Montrer que Y = e X est une variable aléatoire à densité admettant pour densité g définie sur R par : x ], ], g(x) = et x ], + [, g(x) = 1 x f(ln x). Exercice 33 Y = ln X F1 Soit X une variable aléatoire réelle à densité sur (Ω, A, P ), prenant ses valeurs dans ], + [ (ou presque sûrement dans ], + [), de densité f définie sur R.
9 J.F.C. p. 9 On considère la variable aléatoire Y = ln X. Montrer que Y est une variable aléatoire à densité admettant pour densité g définie sur R par : x R, g(x) = e x f(e x ) b) ϕ X à partir de la loi uniforme. Exercice 34 À partir de la loi uniforme. F1 X U([ 1, 1]) et Y = e X. Montrer que Y est une variable aléatoire à densité et en trouver une densité. Exercice 35 À partir de la loi uniforme. ESCP F1. X U([1, 2]). Étude de Y = ex2 1. Exercice 36 À partir de la loi uniforme. ESCP F1 X est une variable aléatoire à densité sur (Ω, A, P ) qui suit une loi uniforme sur [ 1, 1]. Q1. Donner la fonction de répartition de Y = X Calculer E(Y ). Q2. Pour tout ω appartenant à Ω, on pose : Z(ω) = ln 1 + X(ω) si X(ω) 1 et Z(ω) = si X(ω) = 1. 2 Étudier Z. Exercice 37 À partir de la loi uniforme. Simulation d une loi exponentielle. F1 Q1. a) λ est un réel strictement positif. X est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur [, 1]. On suppose que Y = 1 λ ln X est une variable aléatoire. Que dire de Y? Et pour Y = 1 λ ln(1 X)? b) Envisager une réciproque. Q2. Écrire en TP 4 (ou en Scilab) une fonction qui simule une loi exponentielle de paramètre λ. Exercice 38 À partir de la loi uniforme. QSP ESCP 21 F1 On casse un bâton de longueur 1. Le point de rupture suit la loi uniforme sur [, 1]. Calculer la probabilité que le grand morceau soit au moins 3 fois plus grand que le petit morceau. Exercice 39 À partir de la loi uniforme. Oral HEC 1996 F1 Un baton de longueur 1 et d extrémités A et B est cassé en deux au hasard. La longeur L du morceau d extrémité A suit une loi uniforme sur [, 1]. Q1. Étudier la variable aléatoire X égale à la longueur du plus petit morceau et calculer son espérance. Q2. Même chose avec la longueur du plus grand morceau. Q3. Soit Z la variable aléatoire égale au rapport de la longueur du plus petit morceau à celle du plus grand. Déterminer la loi de Z et son espérance. On trouve ce thème dans oral ESCP (la loi est uniforme sur [, l] et on étudie XY.) Exercice 4 À partir de la loi uniforme. QSP ESCP 27 F1 +
10 J.F.C. p. 1 X est une variable aléatoire sur (Ω, A, P ) qui suit la loi uniforme sur [ 2, 2]. Y est une variable aléatoire sur (Ω, A, P ) qui suit la loi de Bernoulli de paramètre p. X et Y sont indépendantes. t est un réel. ( ) X 1 Trouver la probabilité pour que soit diagonalisable. t Y Exercice 41 À partir de la loi uniforme. D après ESCP F1 + Soit (Ω, A, P ) un espace probabilisé et X une variable aléatoire réelle suivant une loi uniforme sur [, 2]. Pour tout ω Ω, on considère la matrice ( ) 1 X(ω) M ω = X(ω) 3 Soit Y la variable aléatoire définie par : pour tout ω dans Ω, Y (ω) est la plus grande des valeurs propres de M ω. Montrer que Y est une variable aléatoire à densité et en donner une densité. Exercice 42 À partir de la loi uniforme. QSP HEC S4 F2 On considère une variable aléatoire X définie sur un espace probabilisé (Ω, A, P ) qui suit la loi uniforme sur ], 1[. Déterminer toutes les fonctions g continues et strictement monotones de ], 1[ sur g(], 1[) telles que la variable aléatoire Y = g(x) suive la loi exponentielle de paramètre 1. c) ϕ X à partir de la loi exponentielle Exercice 43 À partir de la loi exponentielle. QSP ESCP 26-7 F1. X suit la loi exponentielle de paramètre λ sur (Ω, A, P ). Donner la loi de Y = e X. Existence et valeur du moment d ordre k. Exercice 44 À partir de la loi exponentielle. F1 X suit la loi exponentielle de paramètre λ sur (Ω, A, P ). On considère la variable aléatoire réellle Y = X. Montrer que Y est une variable aléatoire à densité et en trouver une densité. Calculer E(Y ). Exercice 45 À partir de la loi exponentielle. QSP ESCP 23 F1 +. X est une variable aléatoire de densité f paire et continue sur R. On pose Y = X 2 et on suppose que : Y E(λ). Déterminer f. Exercice 46 À partir de la loi exponentielle. Piège... QSP ESCP 212 F1 X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes sur (Ω, A, P ). X suit la loi exponentielle de paramètre λ et Y suit la loi uniforme sur { 1,, 1}. Z = XY. Z est-elle une variable aléatoire discrète? à densité?
11 J.F.C. p. 11 d) ϕ X à partir de lois normales Exercice 47 À partir de la loi normale. F1 X est une variable aléatoire réelle sur (Ω, A, P ) qui suit une loi normale centrée réduite. Y est une variable aléatoire réelle sur (Ω, A, P ) qui prend deux valeurs, 1 avec la probabilité p et 1 avec la probabilité q = 1 p. On suppose que X et Y sont indépendantes. Q1. On note Φ la fonction de répartition de X. Montrer que Φ( x) = 1 Φ(x). Q2. Montrer que Z = XY a même loi que X (commencer par trouver la fonction de répartition de Z.). Exercice 48 À partir de la loi normale. QSP HEC F1 Soit (X n ) n N une suite de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé (Ω, A, P ), indépendantes et suivant toutes une loi normale centrée réduite. Soit θ un réel. On pose Y = X et pour tout n dans N, Y n = θ Y n 1 + X n. Q1. Donner la loi de Y n. Q2. Calculer cov(y n, Y n k ) pour n > k >. Déjà vu en 27 Exercice 49 À partir de la loi normale. QSP ESCP 213. F1 Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé (Ω, A, P ) indépendantes, X de loi normale N (m, σ 2 ) et Y de loi normale N (µ, σ 2 ). Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur (m, µ) pour que P (Y X) 1 2 Exercice 5 À partir de la loi normale. Loi Log-Normale. QSP HEC 211 F1 + Q1. X suit la loi normale centrée réduite. Montrer que Z = e X est une variable aléatoire à densité et en donner une densité f Z. { Q2. a est un élément de [ 1, 1]. x R, f a (x) = (1 + a sin(2π ln x)) fz (x) si x ], + [. sinon Montrer que f a est une densité de probabilité. Plus une question non lue. Je propose : T est une variable aléatoire à densité de densité f a. Existence et valeur éventuelle de E(T ). Dans Oral ESCP on demande de montrer que Z et une variable de densité f a ont les mêmes moments. Exercice 51 À partir de la loi normale. Piège... F1 X est une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite. Q1. Étudier Y = X. Calculer E(Y ). Q2. Trouver la fonction de répartition de Z = X + X Z est-elle une variable aléatoire à densité? 2
12 J.F.C. p. 12 e) ϕ X à partir d une loi quelconque Exercice 52 QSP HEC 27-1 F1 Soit a R et f : R R la fonction définie par f(x) = a e x a ex. Q1. À quelle(s) condition(s) f est-elle une densité de probabilité? Q2. Soit X une variable aléatoire admettant f pour densité, quelle est la loi de la variable aléatoire Y = e X? Exercice 53 Oral ESCP F1 Soit f la fonction de R dans R définie par : f(x) = e x (1 + e x ) 2. Q1. Montrer que f est une densité de probabilité. Déterminer la fonction de répartition d une variable aléatoire X ayant f pour densité. Q2. Soit φ la fonction de R dans R définie par : φ(x) = ex 1 e x + 1 Étudier les variations de φ. Montrer que φ réalise une bijection de R sur ] 1, 1[ et déterminer sa bijection réciproque. Q3. On définit une variable aléatoire Y par : Y = φ(x) = ex 1 e X + 1 Déterminer la fonction de répartition et une densité de Y. Exercice 54 Oral ESCP F1 + Pour tout élément x de R, f(x) = Q1. Montrer que f est une densité de probabilité. 2 si x appartient à [, 1] et f(x) = sinon. (1 + x) 2 Q2. X est une variable aléatoire de densité f. Touver la fonction de répartition F de X. Calculer E(X). Q3. On pose Y = X + 1 X t est un réel. Résoudre l inéquation : x R et x2 tx + 1. Étudier Y. Y admet-elle une espérance? Exercice 55 Inverse d une loi de Cauchy. QSP HEC 21 F1 + Q1. Montrer qu il existe un réel c pour lequel la fonction f définie par : x R, f(x) = probabilité. Q2. Une variable aléatoire réelle ayant une telle densité possède-t-elle une espérance? c est une densité de 1 + x2 Q3. Montrer que si X est une variable aléatoire réelle de densité f, X et 1 X ont même loi. Exercice 56 Variable aléatoire réelle définie par une intégrale. Oral ESCP F1 + Q1. On définit sur R la fonction g par g(x) = 1 1 x t dt. Donner, suivant les valeurs de x, l expression explicite de g(x) en fonction de x et vérifier que g est continue sur R. Dans la suite de l exercice, X est une variable à densité définie sur un espace probabilisé (Ω, A, P ). On définit sur Ω 1 l application Y par : ω Ω, Y (ω) = X(ω) t dt. 1
13 J.F.C. p. 13 On admet que Y est une variable aléatoire définie sur (Ω, A, P ). Q2. On suppose dans cette question que X suit la loi uniforme sur [ 1, 1]. a) Exprimer Y en fonction de X. b) Donner la fonction de répartition de Y. c) Vérifier que Y est une variable à densité et donner une densité de Y. d) Calculer l espérance de Y. Q3. On considère dans cette question une suite de variables aléatoires (X n ) n 1, définies sur (Ω, A, P ), où, pour tout entier naturel n 1, X n suit la loi normale d espérance nulle et d écart-type 1/n. On définit, pour tout entier naturel n non nul, l application Y n par : ω Ω, Y n (ω) = 1 1 X n (ω) t dt. On admet que, pour tout entier naturel non nul, Y n est une variable aléatoire définie sur (Ω, A, P ). On note F Yn la fonction de répartition de Y n et Φ celle de la loi normale centrée réduite. a) Exprimer, pour tout réel y, F Yn (y) en fonction de Φ(y) et de n. b) Montrer que la suite (Y n ) n 1 converge en loi. Exercice 57 Oral ESCP F1 + Q1. On considère la fonction g définie sur R par g(x) = Montrer que g est une fonction densité de probabilité. 2 π(e x + e x ) Dans la suite, on note X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (Ω, A, P ) admettant g pour densité (on dit que X suit la loi d Euler). Q2. Déterminer la fonction de répartition F X de X. Q3. Montrer que X admet des moments de tous ordres et calculer son espérance. Q4. On pose Y = e X. a) Montrer que Y est une variable aléatoire à densité et déterminer une densité de Y. b) La variable aléatoire Y admet-elle une espérance? Q5. On considère une suite de variables aléatoires (Y n ) n N définies sur le même espace probabilisé (Ω, A, P ), indépendantes et suivant toutes la même loi que Y. Pour n N, on pose M n = Sup(Y 1, Y 2,..., Y n ). a) Déterminer la fonction de répartition de M n. b) Pour n 1, on pose Z n = n M n. Montrer que la suite (Z n ) n N converge en loi vers une variable aléatoire dont on donnera la loi. V Utilisation du théorème de transfert. Exercice 58 Transfert. F1 X E(λ) et Y = X. On rappelle que Γ(1/2) = π. Existence et valeur de E(Y ). Exercice 59 Transfert. Loi log-normale. F1 X est une variable aléatoire qui suit une loi normale de paramètres m et σ 2.
14 J.F.C. p. 14 Q1. Montrer que Y = e X est une variable aléatoire à densité et en donner une densité. Q2. a) m=. Utiliser le théorème de transfert pour montrer l existence et calculer E(Y ). b) Traiter la même question avec m quelconque (on se ramènera au a)). La loi de log-normale est abordée dans oral ESCP Exercice 6 Transfert. F1 n [[2, + [[. Y n est une variable aléatoire qui suit la loi gamma de paramètres 1 a et n + 1. On remarquera ou admettra que a Y n γ(n + 1) pour se ramener au programme c est à dire à loi gamma à un paramètre. ( ) ( ) n n Existence et valeur de E (resp. V ). On retrouve ce thème dans oral ESCP Y n Exercice 61 Fonction génératrice des moments. Transfert F1 X est une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres et 1. Y n Q1. Trouver le domaine de définition de la fonction numérique de la variable réelle M X : z E ( e z X) et calculer M X (z) pour tout élément z de ce domaine. Q2 Examiner le cas ou X N (m, σ 2 ). Exercice 62 Fonction génératrice des moments. Transfert F1 + X est une variable aléatoire qui suit la loi gamma de paramètre ν. Trouver le domaine de définition de la fonction numérique de la variable réelle M X : z E ( e z X) et calculer M X (z) pour tout élément z de ce domaine. Exercice 63 Transfert. QSP ESCP 27 F1 Soit A le point de R 2 de coordonnées (1, ). Soit θ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [ π, π]. À tout ω Ω, on associe le point M ω du cercle unité d affixe e iθ(ω) Donner l espérance de la variable aléatoire représentant la distance de A à M ω. Exercice 64 Transfert. Cauchy-Schwarz QSP ESCP 27 F1 Soit X une variable aléatoire strictement positive de densité f nulle sur ], [. ( ) 1 1 On suppose que X et 1/X admettent une espérance. Comparer E et X E(X) Exercice 65 Transfert. QSP ESCP 212 F1 + Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Soit g une fonction de classe C 1 sur R. On suppose que X g(x) et g (X) admettent une espérance. a) Montrer que E ( g (X) ) = E ( X g(x) ). b) En déduire les valeurs des moments de X.
15 J.F.C. p. 15 Exercice 66 Transfert. QSP ESCP 21 F1 + Soit X une variable aléatoire réelle sur (Ω, A, P ), de densité f continue sur [a, b] et nulle en dehors de [a, b]. Justifier l existence d un réel α tel que E( X α ) soit minimale. Que représente α? Exercice 67 Transfert. D après ESCP F1 +. Soit U une variable aléatoire définie sur un espace de probabilité (Ω, A, P ), suivant la loi uniforme sur [ 1, 1]. On pose, pour tout ω Ω : V (ω) = 1 1 Min(x, U(ω)) dx et W (ω) = On admet par la suite que V et W sont des variables aléatoires. Q1. Établir la relation V = (U 1)2 2 et en déduire la loi de V. 1 1 Max(x, U(ω)) dx. Calculer l espérance de Min(x, U) pour tout x [ 1, 1], puis l espérance de V. Conclusion? Q2. Déduire la loi de W de celle de V. Exercice 68 Transfert. ESCP F1 Q1. On considère la fonction f définie par : t R, f(t) = Montrer que f est une densité de probabilité. Soit X une variable aléatoire admettant f pour densité. { t e t si t > sinon. Q2. Montrer que X admet des moments de tous ordres et déterminer l espérance E(X n ) de X n, pour tout n N. Q3. a) Pour quelles valeurs du réel u, la variable aléatoire e ux a-t-elle une espérance? b) Pour quelles valeurs du réel u, la série de terme général un n! E(Xn ) est-elle convergente? c) Pour quelles valeurs du réel u peut-on écrire : E ( + n= u n n! Xn) = On retrouve ce théme dans oral ESCP fait en gros jusqu à 3 a + n= u n n! E(Xn )? Exercice 69 Transfert. Limite centrée. QSP HEC S7 F 1 Soit (U n ) n N une suite de variables aléatoires indépendantes, définies sur le même espace probabilisé (Ω, A, P ) et de même loi uniforme sur ], 1]. n On pose pour tout n dans N : X n = U 1 n i et Y n = (e X n ) n. i=1 Montrer que la suite de variables aléatoires ( ln Y n )n N converge en loi vers une variable aléatoire dont on précisera la loi. Exercice 7 Densité. Loi de Gompertz. Stabilité. Transfert. Estimation. Oral ESCP F1 a est un réel strictement positif. f : x ae x aex. Q1. Montrer que f est une densité de probabilité.
16 J.F.C. p. 16 Q2. Soit X une variable aléatoire réelle qui admet pour densité f (X suit une loi de Gompertz). Quelle est la loi de la variable aléatoire e X? Q3. On veut estimer le paramètre a d une loi de Gompertz à l aide d un échantillon (X 1, X 2,..., X n+1 ) de variables aléatoires indépendantes suivant cette loi. On pose : Y n = e X 1 + e X e X n+1 a) Rappeler les stabilités classiques au niveau des var discrètes et à densité. Trouver la loi de Y n. b) Rappeler le théorème de transfert au niveau des var discrètes et à densité. Montrer que la variable aléatoire n Y n est un estimateur sans biais et convergent du paramètre a. VI Variables aléatoires réelles à densité et géométrie Exercice 71 Variables aléatoires réelles à densité et géométrie F1 Un point M se promène au hasard à l intérieur d une boule de centre O et de rayon de R. La probabilité pour que M se trouve dans une portion de la boule est proportionnelle au volume de cette portion. Étudier la variable aléatoire X égale à la distance de O à M (... 4πR 3 /3). Calculer E(X). Exercice 72 Variables aléatoires réelles à densité et géométrie F1 R est un repère orthonormé d origine O du plan P. A et B sont les points de coordonnées (1, 1) et ( 1, 1). On choisit au hasard un point dans le triangle OAB. X (resp. Y ) est la variable aléatoire réelle égale à l abscisse (resp. ordonnée) de ce point. On admet que la probabilité pour que le point obtenu soit dans une partie du triangle est proportionnelle à l aire de cette partie. Q1. Montrer que Y est une variable aléatoire à densité et en trouver une densité. Calculer E(Y ). Q2. Reprendre le problème avec X. Exercice 73 Variables aléatoires réelles à densité et géométrie ESCP F1 + On munit le plan P d un repère orthonormé R. On tire sur la cible représentée par le carré de sommets O, I, K, J de coordonnées respectives (, ), (1, ), (1, 1), (, 1). On suppose que pour toute partie A de la cible, la probabilité que le point d impact soit dans A est égale à l aire de A. On note X et Y les coordonnées aléatoires du point d impact. Q1. Étudier X et Y. Q2. Soit Z la variable aléatoire égale au produit XY. Déterminer Z(Ω). Pour tout t dans Z(Ω), que représente graphiquement {Z t}. Trouver la loi de Z. Calculer, si possible son espérance et sa variance. Q3. Mme chose avec T = Y/X. Q4. Étudier U = [T ] (partie entière). On retrouve ce thème dans oral ESCP On étudie X + Y et XY.
17 J.F.C. p. 17 VII Partie entière et partie décimale d une variable aléatoire réelle à densité. Exercice 74 QSP HEC 28 S9 F1 U est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (Ω, A, P ), de loi uniforme sur ], 1], et q ], 1[. ln U Déterminer la loi de la variable alétaoire X = 1 +, où x désigne la partie entière du réel x. ln q Exercice 75 F1 Q1. X est une variable aléatoire réelle sur (Ω, A, P ) qui suit la loi exponentielle de paramètre λ. a) Étudier la variable aléatoire réelle Y = [X] (ou Y = Ent (X) ou Y = X ) égale à la partie entière de X. b) Étudier la variable aléatoire réelle Z = X Y. Q2. Pour tout n dans N, X n est une variable aléatoire réelle sur (Ω, A, P ) qui suit la loi exponentielle de paramètre 1 n Montrer que la suite de terme général X n [X n ] converge en loi (on précisera cette loi). Thème également abordé dans oral ESCP , QSP HEC 213 Même exercice en deux versions. La première est un peu détaillée... Je corrige la seconde. Exercice 76 Oral ESCP F1 + Soit f la fonction définie par : x ], 1[, f(x) = 1 ln x Q1. a) Montrer que f est une densité d une variable aléatoire X. b) Déterminer la fonction de répartition F X de X. c) Déterminer l existence et la valeur éventuelle de E(X) et V (X). Q2. On pose Y = 1 X et N = 1 1 X (N est la partie entière de X ). a) Déterminer la loi de Y. b) Déterminer la loi de N. c) Y et N ont-elles une espérance? et x ], ] [1, + [, f(x) =. Q3. On pose Z = Y N. Déterminer la loi de Z. La variable aléatoire Z a-t-elle une espérance? Exercice 76 QSP ESCP 212 F1 + X est une variable aléatoire à densité de densité x 1 ln 2 Montrer que Y = 1 ( ) 1 X Ent et X ont même loi. X Déjà vu en 21. Vu à l oral de l ESCP en x 1I [,1](x). Exercice 77 F1 X est une variable aléatoire réelle sur (Ω, A, P ) ayant une densité f définie sur R.
18 J.F.C. p. 18 Montrer que la suite de terme général Ent (nx) n converge en loi vers X. Les deux exercices suivants abordent le même thème. Le premier est assez court, c est une QSP. Exercice 78 D après HEC F 1 X est une variable aléatoire de densité f nulle sur ], [ et continue sur [, + [. On considére la variable aléatoire réelle Y = [X] (partie entière...) Montrer que X possède une espérance si et seulement si Y possède une espérance. Thème également abordé dans Oral ESCP Exercice 79 Oral ESCP F1 Soit X une variable aléatoire à densité à valeurs dans R et f une densité de X. On note Y la variable aléatoire égale à la partie entière de X. Q1. a) Pour k Z, expliciter P (Y = k) au moyen d une intégrale. b) On suppose que f est nulle sur ], [ et continue sur [, + [. Montrer que Y admet une espérance si et seulement si X en admet une et que, dans ce cas : E(Y ) E(X) E(Y ) + 1 c) Expliciter la loi de Y et son espérance dans le cas où X suit la loi exponentielle de paramètre λ. Q2. Dans cette question X suit la loi normale centrée réduite. a) Expliciter la loi de Y à l aide de la fonction de répartition Φ de X. b) Pour k N, comparer P (Y = k) et P (Y = k 1). c) Montrer que Y admet une espérance et calculer celle-ci. Thème également abordé dans oral QSP HEC 25 Exercice 8 Oral ESCP F1 Soit U une variable aléatoire réelle suivant la loi uniforme sur [, 1[ et λ un réel strictement positif. On considère les variables aléatoires suivantes : V = 1 ln(1 U), W = V où V désigne la partie entière de V, λ puis Y = V V et Z = 1 ln(1 Y ). λ Q1. Déterminer les lois de V et W. Q2. Déterminer une densité de Y ainsi que son espérance. Q3. Déterminer une densité de Z. Q4. On considère la variable aléatoire X = Min(1, V ). Déterminer la fonction de répartition de X et démontrer que P (2X 2 3X 1) 1/2. Exercice 81 Oral ESCP F2 A. Soit k un entier naturel strictement positif. On considère une suite (x n ) n>, de nombres réels appartenant au segment [, k[.
19 J.F.C. p. 19 On pose pour tout n entier strictement positif : s n = entière de x. n x j, j=1 r n = f(s n ) = s n s n où x représente la partie Montrer que r n+1 = f(f(s n ) + x n+1 ), pour tout n >. B. Soient X 1 et X 2 deux variables aléatoires réelles continues indépendantes, définies sur le même espace probabilisé (Ω, B, P ) et toutes deux de loi uniforme sur l intervalle [, k[. Q1. Déterminer une densité de la variable aléatoire S 2, définie par S 2 = X 1 + X 2. Q2. Ici k = 1. On définit la variable aléatoire R 2 par : R 2 = S 2 S 2. Déterminer la fonction de répartition de R 2 en fonction de celle de S 2 et en déduire une densité de R 2. Q3. Ici encore k = 1. Soient (X n ) n>, une suite de variables aléatoires indépendantes définies sur (Ω, B, P ), toutes de loi uniforme sur l intervalle [, 1[. On définit pour tout n > : S n = X 1 + X X n, R n = S n S n Déterminer la loi de R n (on pourra utiliser les résultats de la question A et un raisonnement par récurrence). Exercice 82 Oral ESCP F2 On considère deux variables aléatoires indépendantes, X et Y, définies sur le même espace probabilisé (Ω, A, P ), telles que X suit la loi géométrique G(p) où p ], 1[ et Y suit la loi uniforme U([, 2]), on pose q = 1 p. On pose : T = X + Y, Z = T, où T désigne la partie entière de T. On admet que T et Z sont des variables aléatoires définies sur l espace (Ω, A, P ). On dit qu une variable aléatoire V est à densité généralisée si sa fonction de répartition F V est continue sur R et de classe C 1 sur R sauf sur un ensemble dénombrable de points. Une densité f V de V s obtient alors, en tout point où F V est dérivable, par la relation F V = f V. Q1. On note F T la fonction de répartition de T. a) Donner, pour tout réel t, l expression de F T (t) en distinguant à priori les cas : t < 1, 1 t < 2, 2 t < 3 et k t < k + 1, où k est un entier naturel supérieur ou égal à 3. (on remarquera que le cas particulier 2 t < 3 rejoint le cas général, k 3). b) Vérifier que T est une variable aléatoire à densité généralisée. c) Donner l expression d une densité de T. Q2. a) Donner la loi de Z. b) Calculer E(Z). c) Donner la loi de Y ainsi que son espérance. d) En remarquant que si x est un entier naturel et y un nombre réel, alors x + y = x + y, retrouver la loi de Z et donner la valeur de son espérance. Thème analogue abordé à l oral ESCP En plus 1 Oral ESCP Soit a un réel strictement positif.
20 1 x 1 On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = x 2 ea x si x ], 1] sinon où exp désigne la fonction exponentielle. J.F.C. p. 2 Q1. Étudier la continuité de f. Q2. Déterminer la constante C telle que C f soit une fonction densité (on pourra utiliser le changement de variable u = 1 1 x ). Q3. Soit X une variable aléatoire de densité C f. Soit Y la variable aléatoire définie par Y = 1 1 X, où X désigne la fonction partie entière. a) Déterminer la loi de probabilité de. b) Déterminer la fonction de répartition de Y, puis une densité de Y. En plus 2 Oral ESCP A relire 1 X On considère une fonction F définie sur [, + [ à valeurs réelles, croissante, continue, telle que F () = et lim F (x) = 1. x + Q1. On définit la suite (p n ) n N par, pour tout n N, p n = F (n + 1) F (n). Montrer que la série de terme général p n est convergente et déterminer sa somme. Q2. a) Soit x un réel fixé dans [, 1[. Montrer que la série de terme général F (x + n) F (n) est convergente. b) On considère la fonction φ définie sur [, 1[ par : φ(x) = + (F (x + n) F (n)). Montrer que φ est croissante. c) Soient x et y deux réels fixés de [, 1[. Montrer que pour tout ε réel fixé strictement positif, il existe N entier positif indépendant de x et y tel que, pour tout N N : En déduire que φ est continue sur [, 1[. n= + n=n F (x + n) F (y + n) < ε Q3. On considère désormais que F est la fonction de répartition d une variable aléatoire X à valeurs dans R + définie sur un espace probabilisé (Ω, A, P ). On considère les variables aléatoires notées d(x) et X définies par, pour tout ω Ω : d(x)(ω) = X(ω) X(ω) et X (ω) = X(ω) où x désigne la partie entière du réel x. a) Déterminer la loi de X à l aide des (p n ) et la fonction de répartition de d(x). b) On suppose que X suit une loi exponentielle de paramètre λ >. Expliciter la loi de X et la fonction de répartition de d(x). Déterminer une densité de d(x), puis calculer les espérances de ces deux variables aléatoires. Sur le thème partie entière-partie décimale on pourra voir encore : EDHEC 25 EX 2, ECRICOME 213 PB, oral ESCP , , , ,
EXERCICES SANS PRÉPARATION HEC 2005. Question 11 D après HEC 2005-11 F 2 EXERCICES SANS PRÉPARATION 2008. Question 7 HEC 2006-7 F 1 élève
30-1- 2013 J.F.C. p. 1 F 1 F 2 F 3 Assez simple ou proche du cours. Demande du travail. Délicat. EXERCICES SANS PRÉPARATION HEC 2005 Question 11 D après HEC 2005-11 F 2 X est une variable aléatoire de
Moments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
: 3 si x 2 [0; ] 0 sinon
Oral HEC 2007 Question de cours : Dé nition d un estimateur ; dé nitions du biais et du risque quadratique d un estimateur. On considère n (n > 2) variables aléatoires réelles indépendantes X 1,..., X
1 Sujets donnés en option scientifique
Les sujets suivants, posés aux candidats des options scientifique, économique, technologique et littéraire BL constituent la première version d un échantillon des sujets proposés lors des épreuves orales
Sujets HEC B/L 2013-36-
-36- -37- Sujet HEC 2012 B/L Exercice principal B/L1 1. Question de cours : Définition et propriétés de la fonction de répartition d une variable aléatoire à densité. Soit f la fonction définie par : f(x)
Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Liban
Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Liban EXERCICE 1 : 4 Points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n est demandée. Pour chacune des questions, une
Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Simulation de variables aléatoires
Simulation de variables aléatoires S. Robin INA PG, Biométrie Décembre 1997 Table des matières 1 Introduction Variables aléatoires discrètes 3.1 Pile ou face................................... 3. Loi de
CONCOURS D ADMISSION. Option économique MATHEMATIQUES III. Année 2006
ESSEC M B A CONCOURS D ADMISSION Option économique MATHEMATIQUES III Année 2006 La présentation, la lisibilité, l orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront
ECRICOME 2004. Voie Eco. 1 1 + x. f (x) dx n N, u n = 1. 0 xn f (x) dx
ECRICOME 2004 Voie Eco 1 EXERCICE 1 EXERCICE Soient f la fonction numérique de la variable réelle définie par : x R, f (x = 1 2 et (u n la suite de nombres réels déterminée par : { u 0 = 1 f (x dx 0 n
Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)
Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est
DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES
Université Paris1, Licence 00-003, Mme Pradel : Principales lois de Probabilité 1 DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Notations Si la variable aléatoire X suit la loi L, onnoterax
Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014
Durée : 4 heures Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats Les trois parties A, B et C sont indépendantes Une fabrique de desserts glacés
Cours de mathématiques pour la Terminale S
Cours de mathématiques pour la Terminale S Savoir-Faire par chapitre Florent Girod 1 Année scolaire 2015 / 2016 1. Externat Notre Dame - Grenoble Table des matières 1) Suites numériques.................................
Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes
UNIVERSITÉ DE CERG Année 0-03 UFR Économie & Gestion Licence d Économie et Gestion MATH0 : Probabilités Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes Généralités Définition Soit (Ω, P(Ω), P)
Le corps R des nombres réels
Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du
Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Intégrales
Recueil d annales en Mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Frédéric Demoulin Dernière révision : 3 juin 2 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini 2. frederic.demoulin
Baccalauréat S Asie 18 juin 2013
Baccalauréat S Asie 18 juin 2013 Dans l ensemble du sujet, et pour chaque question, toute trace de recherche même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation
Démonstrations exigibles au bac
Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée
Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions :
Probabilités I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : 1- Définitions : Ω : Ensemble dont les points w sont les résultats possibles de l expérience Des évènements A parties de Ω appartiennent à A une
Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4. Lois limites ; estimation.
Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4 Lois limites ; estimation. Exercice 1. Trois machines, A, B, C fournissent respectivement 50%, 30%, 20% de la production d une usine. Les pourcentages
CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)
CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un
Le polycopié de cours, les notes manuscrites, et les calculatrices sont autorisés.
Université d Orléans Deug MASS, MIAS et SM Unité MA. Probabilités et Graphes Examen partiel du 5 décembre durée: h Le polycopié de cours, les notes manuscrites, et les calculatrices sont autorisés. Le
TD 4 : HEC 2001 épreuve II
TD 4 : HEC 200 épreuve II Dans tout le problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 2 On dispose de n jetons numérotés de à n On tire, au hasard et sans remise, les jetons un à un La suite (a, a 2,,
Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples
36 Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples (Ω, B, P est un espace probabilisé. 36.1 Définition et propriétés des probabilités conditionnelles Définition 36.1
ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2
ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2 Le sujet est numéroté de 1 à 5. L annexe 1 est à rendre avec la copie. L exercice Vrai-Faux est
Calculs préliminaires.
MINES-PONTS 005. Filière MP. MATHÉMATIQES 1. Corrigé de JL. Lamard jean-louis.lamard@prepas.org) Calculs préliminaires. Notons que si f H alors f)e / est bien intégrable sur R car continue positive et
Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
CALCULATRICE AUTORISEE
Lycée F. MISTRAL AVIGNON BAC BLANC 2012 Epreuve de MATHEMATIQUES Série S CALCULATRICE AUTORISEE DUREE : 4 heures Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu il est complet Ce sujet comporte 3 pages
Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE Mardi 26 juin 2012 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 4h
Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE Mardi 26 juin 2012 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 4h A. P. M. E. P. Le problème se compose de 4 parties. La dernière page sera à rendre avec
BACCALAURÉAT LIBANAIS - SG Énoncé
CONSIGNES À SUIVRE PENDANT L EXAMEN. DURÉE : 4 heures Il y a 6 exercices obligatoires à résoudre. L exercice est noté sur points, l exercice sur points, l exercice 3 sur 3 points, l exercice 4 sur 3 points,
COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR
Université Paris VII. Préparation à l Agrégation. (François Delarue) COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR Ce texte vise à l étude du temps d attente d un client à la caisse d un
Cours de terminale S Suites numériques
Cours de terminale S Suites numériques V. B. et S. B. Lycée des EK 13 septembre 2014 Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier
Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim
Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompriscom Reconnaitre les formes indéterminées Dans chaque cas, on donne la ite de et v n Déterminer si possible, ( +
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la
TD2 Fonctions mesurables Corrigé
Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles
Points fixes de fonctions à domaine fini
ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE DE CACHAN ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D ADMISSION 2013 FILIÈRE MP HORS SPÉCIALITÉ INFO FILIÈRE PC COMPOSITION D INFORMATIQUE
COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES
CHAPITRE 13 COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES Dans tout le chapitre, (Ω, P) désignera un espace probabilisé fini. 1 Couple de variables aléatoires Définition 13.1 On appelle couple de variables aléatoires
TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12
TS. 01/013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 0/11/1 Exercice 1 : ( 6,5 pts) Première partie : Démonstration à rédiger { Démontrer que si ( ) et (v n ) sont deux suites telles
Exercices : VAR discrètes
Exercices : VAR discrètes Exercice 1: Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules noires. On tire les boules une à une sans les remettre jusqu à ce qu il ne reste que des boules d une seule couleur
BACCALAURÉAT BLANC 2013
BACCALAURÉAT BLANC 203 Série S Corrigé Exercice. a) On traduit les données de l énoncé et on représente la situation par un arbre pondéré. PF ) = 2, PF 2) = 3, P F ) = 5 00 = 20, P F 2 ) =,5 00 = 3 3,5,
CONCOURS D'ELEVE INGENIEUR STATISTICIEN ECONOMISTE OPTIONS MATHEMATIQUES ET ECONOMIE. Les candidats traiteront l'un des trois sujets au choix.
ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D'ECONOMIE APPLIQUEE ABIDJAN 1 AVRIL 21 CONCOURS D'ELEVE INGENIEUR STATISTICIEN ECONOMISTE OPTIONS MATHEMATIQUES ET ECONOMIE EPREUVE D'ORDRE GENERAL DUREE :
Devoir surveillé n 1 : correction
E1A-E1B 013-01 Devoir surveillé n 1 : correction Samedi 8 septembre Durée : 3 heures. La calculatrice est interdite. On attachera une grande importance à la qualité de la rédaction. Les questions du début
Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1
. Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s
Image d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé.
TES Spé Maths Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013 Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. Vous apporterez un grand soin à la présentation et à la
Cahier de vacances - Préparation à la Première S
Cahier de vacances - Préparation à la Première S Ce cahier est destiné à vous permettre d aborder le plus sereinement possible la classe de Première S. Je vous conseille de le travailler pendant les 0
Baccalauréat S Métropole 21 juin 2011
Baccalauréat S Métropole 1 juin 011 EXERCICE 1 Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment. 4 points Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 10 4. Dans un pays,
Exercices de simulation 1
Licence MIA 2ème année Année universitaire 2009-2010 Simulation stochastique C. Léonard Exercices de simulation 1 Les simulations qui suivent sont à effectuer avec Scilab. Le générateur aléatoire de Scilab.
Projets scilab. L3 Maths Appliquées lagache@biologie.ens.fr 02 Avril 2009
Projets scilab L3 Maths Appliquées lagache@biologie.ens.fr 2 Avril 29 REMARQUE: quelques résultats importants concernant le théorème central limite et les intervalles de confiance sont rappelés dans la
Variables aléatoires continues
IUT Aix-en-Provence Année 204-205 DUT Informatique TD Probabilités feuille n 6 Variables aléatoires continues Exercice (La station-service) Dans une station-service, la demande hebdomadaire en essence,
Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités
Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités Laboratoire de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan Module: Stat inférentielles Définition Quelques exemples loi d une v.a
Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Amérique du Nord
Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Amérique du Nord EXERCICE 1 : 5 points On se place dans l espace muni d un repère orthonormé. On considère les points,, et. 1. Démontrer que les points,
MATHEMATIQUES Option Economique
Concours EDHEC 9 Classes Préparatoires MATHEMATIQUES Option Economique La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
Cours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
IV. Espaces L p. + tx 1. (1 t)x 0
cours 13, le lundi 7 mars 2011 IV. spaces L p IV.1. Convexité Quand deux points x 0, x 1 R sont donnés, on peut parcourir le segment [x 0, x 1 ] qui les joint en posant pour tout t [0, 1] x t = (1 t)x
Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Cahier de vacances. Exercices PCSI - PC, Lycée Dupuy de Lôme
Cahier de vacances Exercices PCSI - PC, Lycée Dupuy de Lôme Votre année de PCSI a été bien remplie et il est peu probable que l année de PC qui arrive vous paraisse plus facile. C est pourquoi, je vous
Probabilités 5. Simulation de variables aléatoires
Probabilités 5. Simulation de variables aléatoires Céline Lacaux École des Mines de Nancy IECL 27 avril 2015 1 / 25 Plan 1 Méthodes de Monte-Carlo 2 3 4 2 / 25 Estimation d intégrales Fiabilité d un système
J.F.C. p. 1. Q1 On dit que Z suit une loi exponentielle bilatérale si une densité de Z est f, définie sur R par :
6-- 4 JFC p Eercice EDHEC 998 E 3 Q On dit que Z suit une loi eponentielle bilatérale si une densité de Z est f, définie sur R par : f) = e a) Vérifier que f est bien une densité de probabilité b) Déterminer
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : économique et commerciale Option : Scientifique (ECS) Discipline : Mathématiques- Informatique Seconde année Ministère de l enseignement
Cours MP. Espaces vectoriels normés
Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques
Loi binomiale Lois normales
Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Applications des nombres complexes à la géométrie
Chapitre 6 Applications des nombres complexes à la géométrie 6.1 Le plan complexe Le corps C des nombres complexes est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Il est donc muni d une structure naturelle
Lois de probabilité à densité Loi normale
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 31 mars 2015 à 14:11 Lois de probabilité à densité Loi normale Table des matières 1 Lois à densité 2 1.1 Introduction................................ 2 1.2 Densité de probabilité
Continuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
La fonction carré Cours
La fonction carré Cours CHAPITRE 1 : Définition CHAPITRE 2 : Sens de variation CHAPITRE 3 : Parité et symétrie CHAPITRE 4 : Représentation graphique CHAPITRE 5 : Equation du type CHAPITRE 6 : Inéquation
ALGÈBRE BILINÉAIRE 1
3-8- 213 J.F.C. Eve p. 1 ALGÈBRE BILINÉAIRE 1 P mentionne des résultats particulièrement utiles et souvent oubliés dans la pratique de l algèbre bilinéaire... mentionne des erreurs à ne pas faire où des
Fonction polynôme du second degré : Forme canonique
Fonction polynôme du second degré : Forme canonique I) Introduction. Soit g(x) = a(x - s)²+h. Toute fonction polynôme du second degré peut s écrire sous cette forme. Le passage de la forme développée à
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun
Fonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Fiche de révision sur les lois continues
Exercice 1 Voir la correction Le laboratoire de physique d un lycée dispose d un parc d oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit
Limites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Cours de Mathématiques Seconde. Généralités sur les fonctions
Cours de Mathématiques Seconde Frédéric Demoulin 1 Dernière révision : 16 avril 007 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini 1 frederic.demoulin (chez) voila.fr gilles.costantini
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I
CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS
Simulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
1 Topologies, distances, normes
Université Claude Bernard Lyon 1. Licence de mathématiques L3. Topologie Générale 29/1 1 1 Topologies, distances, normes 1.1 Topologie, distances, intérieur et adhérence Exercice 1. Montrer que dans un
Fonctions de référence Variation des fonctions associées
DERNIÈRE IMPRESSION LE 9 juin 05 à 8:33 Fonctions de référence Variation des fonctions associées Table des matières Fonction numérique. Définition.................................. Ensemble de définition...........................3
Statistiques et probabilités : Loi Normale. Les I.P.R. et Formateurs de l Académie de LILLE
Statistiques et probabilités : Loi Normale Les I.P.R. et Formateurs de l Académie de LILLE Bulletin officiel spécial 8 du 13 octobre 2011 Cadre général : loi à densité Définition Une fonction f définie
Exercices - Réduction des endomorphismes : énoncé. Réduction pratique de matrices
Réduction pratique de matrices Exercice 1 - Diagonalisation - 1 - L1/L2/Math Spé - Diagonaliser les matrices suivantes : 0 2 1 A = 3 2 0 B = 2 2 1 0 3 2 2 5 2 2 3 0 On donnera aussi la matrice de passage
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
I Exercices I-1 1... I-1 2... I-1 3... I-2 4... I-2 5... I-2 6... I-2 7... I-3 8... I-3 9... I-4
Chapitre Convexité TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre Convexité Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1................................................
Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7.
Mathématiques pour l informatique IMAC première année - Soutien - Nombres complexes Rappels. Un nombre complexe z admet plusieurs représentations : représentation vectorielle z = (a, b) où a, b R représentation
Feuille d exercices n o 1. N(x i ). 4. On rappelle qu un espace normé est séparable s il contient une partie dénombrable dense.
1 Feuille d exercices n o 1 1. Deuxième forme géométrique du théorème de Hahn-Banach Soient A E et B E deux convexes, non vides, disjoints (E est une espace vectoriel normé). On suppose que A est fermé
Le sujet est composé de 6 pages dont une annexe à rendre avec la copie. Formulaire
Année universitaire 2013-2014 Diplôme de D.A.E.U Option A 1 ère session Juin 2014 Intitulé de la matière : Nom de l enseignant : Mathématiques Mme Baulon Date de l épreuve : Mercredi 11 juin 2014 13.30-16.30
I Exercices. 1 Définition de suites. 2 Sens de variation d une suite
I Exercices 1 Définition de suites Pour toutes les suites (u n ) définies ci-dessous, on demande de calculer u 1, u, u 3 et u 6 1 u n = 7n n + { u0 = u n+1 = u n + 3 3 u n est le n ième nombre premier
«L art de la réussite consiste à s entourer des meilleurs» STAGE INTENSIF OBJECTIF BAC PRIMITIVES, INTEGRALES & CALCUL D AIRES
«L art de la réussite consiste à s entourer des meilleurs» STAGE INTENSIF OBJECTIF BAC PRIMITIVES, INTEGRALES & CALCUL D AIRES LIBAN 2015 Une entreprise artisanale produit des parasols. Elle en fabrique
Extraits de Concours
Pierre-Louis CAYREL 2008-2009 Prépa HEC 2 disponible sur www.cayrel.net Lycée Lavoisier Feuille d extraits de concours Extraits de Concours 1 HEC Exercice 1 (via HEC - Oral 1997) Écrire un programme qui
Commun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Exercices à savoir faire
Licence 1 Mathématiques 2014 2015 Algèbre et Arithmétique 1 Feuille n o 2 Théorie des ensembles, applications Exercices à savoir faire Théorie des ensembles Exercice 1 Soit F l ensemble des femmes. Qu
Texte Agrégation limitée par diffusion interne
Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse
Baccalauréat Série S Métropole, juin 2014
Baccalauréat Série S Métropole, juin 4 Sujet et Corrigé Stéphane PASQUET Disponible sur http://www.mathweb.fr juin 4 Exercice (5 points) - Commun à tous les candidats Partie A Dans le plan muni d un repère
Examen d accès - 1 Octobre 2009
Examen d accès - 1 Octobre 2009 Aucun document autorisé - Calculatrice fournie par le centre d examen Ce examen est un questionnaire à choix multiples constitué de 50 questions. Plusieurs réponses sont
Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B
EXERCICE 1 (12 points) Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Résolution d une équation différentielle On considère
Du Calcul d Aire... ...Au Calcul Intégral
Du Calcul d Aire......Au Calcul Intégral Objectifs Définir proprement l aire d une surface plane, au moins pour les domaines usuels (limités par des courbes simples) et fournir un moyen de la calculer.