Probabilités conditionnelles Exercices corrigés

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1 Terminale S Probabilités conditionnelles Exercices corrigés Exercice : (solution Une compagnie d assurance automobile fait un bilan des frais d intervention, parmi ses dossiers d accidents de la circulation. 85% des dossiers entraînent des frais de réparation matérielle. 0% des dossiers entraînent des frais de dommages corporels. Parmi les dossiers entraînant des frais de réparation matérielle, % entraînent des frais de dommages corporels. Soit les événements suivants : R : «le dossier traité entraîne des frais de réparation matérielle»; : «le dossier traité entraîne des frais de dommages corporels». On choisit un dossier au hasard. ans tout l exercice, les résultats seront donnés sous forme décimale, arrondis au millième près.. a. Recopier et compléter le tableau. R R Total Total , 0,85 R... b. Recopier et compléter l arbre pondéré R.... On choisit un dossier au hasard. Calculer la probabilité pour qu un dossier : a. entraîne des frais de réparation matérielle et des frais de dommages corporels; b. entraîne seulement des frais de réparation matérielle; c. entraîne seulement des frais de dommages corporels; d. n entraîne ni frais de réparation matérielle ni frais de dommages corporels; e. entraîne des frais de réparation matérielle sachant qu il entraîne des frais de dommages corporels.. On constate que 40% des dossiers traités correspondent à des excès de vitesse et parmi ces derniers 0% entraînent des frais de dommages corporels. On note E : «le dossier traité correspond à un excès de vitesse». a. On choisit un dossier. Quelle est la probabilité p pour que ce dossier corresponde à un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels? b. On choisit cinq dossiers de façon indépendante. Quelle est la probabilité pour qu au moins un dossier corresponde à un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels? c. Soit n un entier (n. On choisit n dossiers de façon indépendante. éterminer la valeur minimale de n pour que la probabilité qu au moins un dossier corresponde à un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels, soit supérieure ou égale à 0,9. Attendre l étude de la fonction logarithme népérien pour résoudre cette question. Exercice : (solution Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous. /0 0 février 05

2 Terminale S points On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.. Le joueur lance une fléchette. On note p 0 la probabilité d obtenir. On note p la probabilité d obtenir points. On note p 5 la probabilité d obtenir. On a donc p 0 +p +p 5 =. Sachant que p 5 = p et que p 5 = p 0 déterminer les valeurs de p 0,p et p 5. Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s il obtient un total (pour les lancers supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette. On note G l évènement : «le joueur gagne la partie en lancers». On note G l évènement : «le joueur gagne la partie en lancers». On note P l évènement : «le joueur perd la partie». On note p(a la probabilité d un évènement A. a. Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que p(g = 5. On admettra dans la suite que p(g = 7 b. En déduire p(p.. Un joueur joue six parties avec les règles données à la question. Quelle est la probabilité qu il gagne au moins une partie? 4. Pour une partie, la mise est fixée à e. Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5e. S il gagne en trois lancers, il reçoit e. S il perd, il ne reçoit rien. On note X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour X sont donc :, et. a. onner la loi de probabilité de X. b. éterminer l espérance mathématique de X. Le jeu est-il favorable au joueur? Exercice : (solution Une entreprise confie à une société de sondage par téléphone une enquête sur la qualité de ses produits. On admet que lors du premier appel téléphonique, la probabilité que le correspondant ne décroche pas est 0,4 et que s il décroche, la probabilité pour qu il réponde au questionnaire est 0,. On pourra construire un arbre pondéré.. On note : l événement : «la personne décroche au premier appel»; R l événement : «la personne répond au questionnaire lors du premier appel». Calculer la probabilité de l événement R. /0 0 février 05

3 Terminale S. Lorsqu une personne ne décroche pas au premier appel, on la contacte une seconde fois. La probabilité pour que le correspondant ne décroche pas la seconde fois est 0, et la probabilité pour qu il réponde au questionnaire sachant qu il décroche est 0,. Si une personne ne décroche pas lors du second appel, on ne tente plus de la contacter. On note : l événement : «la personne décroche au second appel»; R l événement : «la personne répond au questionnaire lors du second appel»; R l événement : «la personne répond au questionnaire». Montrer que la probabilité de l événement R est 0,.. Sachant qu une personne a répondu au questionnaire, calculer la probabilité pour que la réponse ait été donnée lors du premier appel. (on donnera la réponse arrondie au millième 4. Un enquêteur a une liste de n personnes à contacter (n. Les sondages auprès des personnes d une même liste sont indépendants. a. Calculer en fonction de n, la probabilité qu au moins une personne de la liste réponde au questionnaire. b. éterminer le nombre minimal de personnes que doit contenir la liste pour que la probabilité qu au moins l une d entre elles réponde au questionnaire, soit supérieure à 0,9. Attendre l étude de la fonction logarithme népérien pour résoudre cette question. Exercice 4 : (solution ans un pays imaginaire, on admet qu un jour donné soit il fait beau, soit il pleut! S il fait beau un jour, alors il fera beau le jour suivant avec une probabilité égale à. S il pleut un jour, alors il pleuvra encore le lendemain avec un probabilité égale à. Aujourd hui il pleut. On s intéresse à la probabilité qu il fasse beau demain, dans jours, dans jours,..., dans n jours.. Pour n, on désigne par B n l événement «il fera beau dans n jours». a. Illustrer par un arbre pondéré l évolution possible de la météo pour demain et après demain. onner P (B et calculer P (B. b. onner, pour n, les valeurs de P Bn (B n+ et P Bn (B n+. Exprimer P (B n+ B n et P ( B n+ B n en fonction de P (Bn. Prouver que, pour n,p (B n+ = P (B n+.. On suppose désormais, pour n,p n = P (B n et u n = p n 5. a. Prouver que (u n est une suite géométrique. b. En déduire l expression de u n, puis de p n en fonction de n, pour n. c. Étudier le sens de variation de la suite (p n et montrer que cette suite admet une limite que l on calculera. Peut-on interpréter ces résultats? /0 0 février 05

4 Terminale S Solution n : Une compagnie d assurance automobile fait un bilan des frais d intervention, parmi ses dossiers d accidents de la circulation. 85% des dossiers entraînent des frais de réparation matérielle. 0% des dossiers entraînent des frais de dommages corporels. Parmi les dossiers entraînant des frais de réparation matérielle, % entraînent des frais de dommages corporels. Soit les événements suivants : R : «le dossier traité entraîne des frais de réparation matérielle»; : «le dossier traité entraîne des frais de dommages corporels». On choisit un dossier au hasard. ans tout l exercice, les résultats seront donnés sous forme décimale, arrondis au millième près.. a. R R Total 0, 9,8 0 74,8 5, 80 Total b. 0, 0,85 R 0,88 0,5 R 0,5 0,47 La probabilité d un chemin est égale au produit des poids situés sur ce chemin.. On utilise l arbre pondéré. a. P( R = P R ( P(R = 0, 0,85 = 0,0 La probabilité que le dossier entraîne des frais de réparation matérielle et des frais de dommages corporels est 0,0. b. P( R = P R ( P(R = 0,88 0,85 = 0,748 La probabilité que le dossier entraîne seulement des frais de réparation matérielle est 0,748. c. P( R = P R ( P(R = 0,5 0,5 = 0,098 La probabilité que le dossier entraîne seulement des frais de dommages corporels est 0,098. d. P( R = P R ( P(R = 0,47 0,5 = 0,05 La probabilité que le dossier n entraîne ni frais de réparation matérielle ni frais de dommages corporels 0,05. 4/0 0 février 05

5 Terminale S e. P (R = P( R P( = 0,0 0, = 0,5 La probabilité que le dossier entraîne des frais de réparation matérielle sachant qu il entraîne des frais de dommages corporels est 0,5.. a. p = P( E = P E ( P(E = = 0,4 p = 0,4 La probabilité pour que ce dossier corresponde à un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels est p = 0,4. b. On choisit cinq dossiers de façon indépendante. On est donc dans une situation d indépendance. La probabilité qu aucun des 5 dossiers ne corresponde à «un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels» est ( p 5. onc la probabilité pour qu au moins un dossier corresponde à un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels est ( p 5, soit 0,74. c. Soit n un entier (n. On choisit n dossiers de façon indépendante. On est donc dans une situation d indépendance. La probabilité qu aucun des n dossiers ne corresponde à «un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels» est ( p n. onc la probabilité pour qu au moins un dossier corresponde à un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels est ( p n, soit (0,7 n. où, (0,7 n 0,9. (0,7 n 0,9 (0,7 n 0, ln(0,7 n ln0, nln0,7 ln0, n ln0, car ln0,7 < 0 ln 0,7 ln0, Or, 8,9. La valeur minimale de n pour que la probabilité qu au moins un dossier corresponde ln0,7 à un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels, soit supérieure ou égale à 0,9, est 9 (9 dossiers. Solution n : Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous. points On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.. On sait que p 5 = p donc p = p 5. e plus, p 5 = p 0 donc p 0 = p 5. 5/0 0 février 05

6 Terminale S Comme p 0 +p +p 5 =, on en déduit que p 5 +p 5 +p 5 = p 5 = p 5 = Ainsi, p 0 =, p = et p 5 =.. Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s il obtient un total (pour les lancers supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette. On note G l évènement : «le joueur gagne la partie en lancers». On note G l évènement : «le joueur gagne la partie en lancers». On note P l évènement : «le joueur perd la partie». On note p(a la probabilité d un évènement A. a. points points points G est réalisé points G est réalisé G est réalisé La probabilité d un chemin est égale au produit des poids situés sur ce chemin. où, p(g = + + = p(g = 5. On admettra dans la suite que p(g = 7 b. P est l événement «lejoueur gagneen ou lancers».ainsi,p(p = p(g +p(g carlesévénements G et G sont incompatibles. On a donc p(p =. où, p(p =.. Un joueur joue six parties avec les règles données à la question. En considérant l événement contraire, puisque les lancers sont indépendants, la probabilité de perdre les six parties est (. ( On en déduit que la probabilité de gagner au moins une des six parties est. 4. Pour une partie, la mise est fixée à e. Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5e. S il gagne en trois lancers, il reçoit e. S il perd, il ne reçoit rien. a. après les probabilités calculées dans les questions précédentes, la loi de probabilité de X est : k p(x = k 7 b. L espérance mathématique de X est E(X = p(x = + p(x = + p(x = = 8 0,7. Si le joueur jouait un très 5 /0 0 février 05

7 Terminale S grand nombre de parties alors son gain moyen serait de 0,7e. On peut dire que le jeu est défavorable au joueur. (Le joueur peut «espérer» perdre Solution n :. En utilisant les données de l exercice, on peut construire l arbre pondéré suivant : R 0, 0, 0,7 R 0,4 La probabilité d un chemin est égale au produit des poids situés sur ce chemin. L événement R correspond à l événement «la personne décroche au premier appel et répond au questionnaire lors du premier appel». P ( R = P (R P( = 0, 0, = 0,8 La probabilité de l événement R est 0,8.. On complète l arbre précédent : 0, R 0, 0,7 R 0, R 0,4 0,7 0,8 R La probabilité d un chemin est égale au produit des poids situés sur ce chemin. 0, L événement R correspond à l événement «la personne décroche au premier appel et répond au questionnaire lors du premier appel ou la personne ne décroche pas au premier appel mais décroche au second et repond au questionnaire lors du second appel». P(R = P( R +P( R car les événements R et R sont disjoints. Ces deux derniers événements correspondent chacun à une branche de l arbre. Pour calculer la probabilité correspondant à une branche, on multiplie les poids de cette branche. où P(R = 0, 0,+0,4 0,7 0, = 0, La probabilité de l événement R est 0,. 7/0 0 février 05

8 Terminale S. Sachant qu une personne a répondu au questionnaire, la probabilité pour que la réponse ait été donnée lors du premier appel correspond à P R (R. P R (R = P(R R P(R = P(R P(R = 0,8 0, 0,7 Sachant qu une personne a répondu au questionnaire, la probabilité pour que la réponse ait été donnée lors du premier appel est 0,7. 4. a. On calcule dans un premier temps la probabilité qu aucune des n personnes ne réponde au questionnaire. La probabilité qu une personne ne réponde pas au questionnaire est P(R = P(R. Les sondages auprès des personnes d une même liste sont indépendants. onc, la probabilité qu aucune des n personnes ne réponde au questionnaire est ( P(R n. Ainsi, par passage ( à l événement contraire, la probabilité qu au moins une personne réponde au questionnaire est P(R n, soit 0,74 n. b. On est ramené à résoudre dans cette question, l inéquation 0,74 n 0,9. 0,74 n 0,9 0,74 n 0, 0,74 n 0, ln(0,74 n ln0, car la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + [ nln0,74 ln0, n ln0, car ln0,74 < 0 ln0,74 Or, ln0, ln0,74 8,55 On en déduit que la liste doit contenir au moins 9 personnes pour que la probabilité qu au moins l une d entre elle réponde au questionnaire, soit supérieure à 0,9. Solution n 4 :. a. À l aide des informations données dans l énoncé, on construit l arbre pondéré suivant sachant qu il pleut aujourd hui : B B B B B La probabilité d un chemin est égale au produit des poids situés sur ce chemin. On a P (B =. B et B forment une partition de l univers. après la formule des probabilités totales, B 8/0 0 février 05

9 Terminale S P (B = P (B B +P ( B B = P B (B P (B +P B (B P ( B = + P (B = 7 8 b. Soit n : on a P Bn (B n+ = et P Bn (B n+ =. onc P (B n+ B n = P Bn (B n+ P (B n, soit P (B n+ B n = P (B n. et P ( B n+ B n = PBn (B n+ P ( ( B n = PBn (B n+ P (B n, soit P (B n+ B n = ( P (B n. B n et B n forment une partition de l univers. après la formule des probabilités totales, P (B n+ = P (B n+ B n +P ( B n+ B n = P (B n+ ( P (B n = P (B n+ Ainsi, pour tout entier n,p (B n+ = P (B n+.. Pour n,p n = P (B n et u n = p n 5. a. Soit n : u n+ = p n+ 5 = p n + 5 d après la question.b = p n 0 = ( p n 5 = p n 5 = u n Ainsi, pour tout entier n,u n+ = u n. la suite (u n est une suite géométrique de raison q = et de premier terme u = p 5 = 5 = 5. b. Puisque(u n estunesuitegéométriquederaisonq = etdepremiertermeu = 5,onau n = u q n soit u n = 5 ( n, n. Comme u n = p n 5, n, on a p n = u n + 5 c. Soitn : p n+ p n = 5 ( ( n ( soit p n = 5 ( n + = 5 5 On en déduit que p n+ p n > 0, n. La suite (p n est donc croissante. n +, n. 5 ( n ( = 8 ( n 9/0 0 février 05

10 Terminale S On sait que lim n + qn = 0 si < q <. Comme < lim n + p n = 5 par somme et produit. ( n <, on a lim = 0. Ainsi, n + L interprétation est sujette à discussion. 0/0 0 février 05

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