Les probabilités. Guide pédagogique Le présent guide sert de complément à la série d émissions intitulée Les probabilités produite par TFO.

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2 Guide pédagogique Le présent guide sert de complément à la série d émissions intitulée produite par TFO. Le guide Édition 1988 Rédacteur (version anglaise) : Ron Carr Traduction : Translatec Conseil Ltée Le guide Édition 2009 Responsable de projet : Annette Lalonde Révision pédagogique : Karine Rozon Pour obtenir des copies des émissions de la série : Vous pouvez enregistrer les émissions lors de leur diffusion sur les ondes de TFO. Consultez le site pour la date de la prochaine diffusion ou téléphonez au , poste 2388 pour une diffusion spéciale. Les écoles de langue française de l Ontario peuvent visionner les émissions de cette série directement sur le site web Pour obtenir des exemplaires supplémentaires de ce guide : Vous pouvez l imprimer à partir du site Vous avez le droit d en faire des photocopies à volonté. Vous pouvez l acheter auprès du Centre franco-ontarien de ressources pédagogiques à Ottawa en appelant au , poste 228 (Ontario) ou au , poste 228 (Canada). Renseignements : tfoliaison@tfo.org TFO tient à remercier le Secrétariat d État de sa participation financière. L Office des télécommunications éducatives de langue française de l Ontario, février 2009.

3 Table des matières Description de la série Émission 1 : Une certitude incertaine Émission 2 : Un modèle de probabilité uniforme Émission 3 : Des événements simples Émission 4 : Des événements moins simples Émission 5 : Les distributions de probabilités Émission 6 : Les épreuves de Bernoulli

4 Description de la série La théorie des probabilités joue un rôle important dans pratiquement tous les aspects de la vie quotidienne. Les prévisions météorologiques, les loteries, le jeu, les percées médicales, les sondages et les politiques sociologiques sont des domaines qui exigent tous une connaissance des principes fondamentaux de cette branche des mathématiques en pleine expansion. La présente série, intitulée, comprend six émissions qui présentent les concepts de base des probabilités, tant sur le plan théorique qu expérimental. Nous avons recours aux concepts fondamentaux de l espace-échantillon et de l événement pour définir la probabilité d un événement. Nous révisons ensuite les méthodes qui servent à compter les éléments d un ensemble, y compris les principes fondamentaux du dénombrement qui portent sur les permutations et les combinaisons. Nous fournissons une définition des événements mutuellement exclusifs, ou incompatibles, et déterminons la probabilité de la réalisation d un événement ou d un autre événement. A l aide du concept des événements indépendants, nous découvrons la probabilité de la réalisation d un événement. Des modèles de probabilités sont créés et étudiés, accompagnés d applications pratiques et de calculs. On explique des problèmes axées sur des épreuves répétées (ou des épreuves de Bernoulli) au cours desquelles chaque expérience se solde par un succès ou un échec. En outre, des situations propres aux jeux de hasard et aux loteries sont présentées dans le but de calculer les résultats prévus; enfin, les concepts d «équité» et de «chances» sont analysés.

5 Émission 1 : Une certitude incertaine Résumé de l émission L émission débute en faisant allusion à la vision fataliste que Isaac Newton se faisait de l univers et par une description des principes de la mécanique quantique fondée sur l hypothèse que le monde est régi par des fluctuations aléatoires. C est ainsi que le hasard de la vie quotidienne influe sur tous les événements à venir. Afin d étudier l effet du hasard, des concepts liés à des expériences de probabilités sont étudiés. À l aide d une simple expérience qui consiste à lancer une seule pièce de monnaie, on présente plusieurs termes, notamment l épreuve, le résultat, l événement et la série. La «loi des grands nombres» et le triangle de Pascal sont expliqués pour renforcer la tendance centrale des résultats de nombreuses expériences. Liens au programme-cadre de Mathématiques du ministère de l Éducation de l Ontario MDM4U Titre : Mathématiques de la gestion des données, 12 e année Domaine : Dénombrement et probabilité Attente Résoudre des problèmes portant sur la probabilité d un événement ou sur une combinaison d événements à l aide de l espace des échantillons. Contenus d apprentissage Décrire des exemples, incluant des problèmes tirés de diverses applications, qui démontrent la variation des résultats d une expérience d événements aléatoires (par exemple, aiguille d une roulette, sac des billes de différentes couleurs, dés) et expliquer comment les probabilités servent à mesurer la vraisemblance d un résultat dans certaines circonstances. Déterminer par exploration l effet du nombre d essais de l expérience sur l approximation de la probabilité du résultat, et reconnaître que cet effet est celui de la loi des grands nombres. 5 Émission 1 : Une certitude incertaine

6 Révision et activités avant le visionnement 1. Animer une discussion avec les élèves sur les facettes de la vie quotidienne où le hasard joue un rôle important comme, par exemple, dans le cadre des loteries, des jeux de cartes, des paris sur le hockey, des jeux de table avec lancers de dés, des paris sur les courses de chevaux et d autres événements sportifs. 2. L importance du hasard dans d autres aspects de la vie est également analysée. Discuter aussi des chances d être frappé par la foudre, d être la victime d un accident de voiture ou d avion, de réussir à un examen de mathématiques et d avoir des enfants du sexe masculin ou féminin. 3. S assurer que les élèves savent jouer avec un ou deux dés, et connaissent les noms et les couleurs des cartes d un jeu ordinaire de 52 cartes. Activités après le visionnement 1. Demander aux élèves d effectuer diverses expériences simples et de calculer les probabilités expérimentales des événements qui leur sont liés. a. Lancer une pièce de monnaie 10 fois. Noter le nombre de fois où le côté «pile» apparaît et calculer les probabilités d obtenir le côté «pile». Ces résultats doivent être analysés compte tenu de la probabilité attendue de 0.5. Indiquer également l importance d utiliser une pièce «parfaite». b. Afin d observer un grand nombre d épreuves, les élèves peuvent lancer une pièce pendant deux à trois minutes en notant le nombre d épreuves et le nombre de succès. Ils peuvent indiquer le nombre de fois où ils ont obtenu le côté «pile» et le nombre d épreuves, en faire le total et, du moins montrer à la classe que, au fur et à mesure que s accroît le nombre des épreuves, la probabilité tend vers la valeur prévue. 2. La démarche ci-dessus peut servir à arriver à la probabilité expérimentale d obtenir un 4 lorsqu un seul dé est lancé. Demander aux élèves de prédire les probabilités avant de commencer leurs expériences, puis de comparer leurs prévisions aux résultats obtenus par la classe prise dans son ensemble. 3. Il est intéressant d utiliser une combinaison de dés et de pièces. Une expérience pourrait consister à lancer deux pièces et deux dés. Le résultat que nous recherchons vise à obtenir deux côtés «face» avec les pièces et, avec les dés, une somme sur les dés qui soit un nombre premier. Cette fois encore, on peut demander aux élèves de prédire les probabilités puis de répéter l expérience pendant deux minutes. 4. Demander aux élèves d expliquer et d estimer les probabilités des événements suivants en faisant appel à leur intuition et à leurs connaissances générales. a. Il y aura un tremblement de terre en Floride l été prochain. b. Le prochain président des États-Unis sera membre du Parti républicain. c. Le prix des voitures neuves baissera au cours des cinq prochaines années. d. La sonde martienne découvrira que la vie existe sur Mars. e. Les Cubs de Chicago ne remporteront pas la Série mondiale l année prochaine. 6 Émission 1 : Une certitude incertaine

7 5. Donner tous les résultats possibles des expériences suivantes : a. le lancer de deux pièces; b. le lancer d un seul dé; c. le lancer de deux dés; d. le tirage au sort d une carte à partir d un jeu de 52 cartes; e. le choix au hasard d un nombre à partir d un ensemble d entiers qui contient des nombres allant de 1 à 15; f. l achat d un billet de loterie. (Préciser comment fonctionne la loterie afin que l élève puisse identifier le nombre de résultats possibles.) 6. Analyser les résultats indiqués dans la question ci-dessus. Demander aux élèves de faire appel à leur intuition, déterminer si, dans chaque cas les résultats sont d égale vraisemblance. 7. Proposer aux élèves les situations suivantes et leur demander de répondre aux questions correspondantes : Situation 1 : - Le ciel sera nuageux demain matin ; on prévoit 30% de chances de précipitations. Ceci veut-il dire qu il va pleuvoir? Est-il probable qu il pleuve? Situation 2 : - Supposons que votre équipe favorite a 80% de chances de gagner lors d un match donné quelconque. Si cette équipe joue 100 parties, quel est le nombre approximatif de parties qu elle devrait remporter? L équipe perdra-t-elle l une des cinq prochaines parties? 7 Émission 1 : Une certitude incertaine

8 Émission 2 : Un modèle de probabilité uniforme Résumé de l émission À l aide d un jeu de 52 cartes, nous révisons les concepts liés au calcul des probabilités expérimentales. Dans le cadre d une approche théorique, deux notions sont alors présentées : (i) l univers des résultats possibles en tant qu ensemble de tous les résultats possibles et équiprobables d un événement, et (ii) un événement en tant qu ensemble de tous les résultats qui nous intéressent. L événement est un sous-ensemble de l univers des résultats possibles. La probabilité d un événement se définit alors comme étant le nombre d éléments de l événement divisé par le nombre d éléments de l univers des résultats possibles. P(E) = n(e) / n(u) On fournit des exemples mettant en jeu le lancer d un et de deux dés. Il est démontré que la probabilité d un événement est toujours un nombre réel supérieur ou égal à 0 (réalisation impossible) et inférieur ou égale à 1 (réalisation certaine). Le concept des «chances» est présenté. Les chances en faveur d un événement sont définies comme étant la probabilité d un «succès» divisée par la probabilité d un «échec». la relation qui existe entre les chances et les paris est explorée, et on explique les calculs qui montrent les sommes que l on peut gagner lorsque les probabilités sont connues. Liens au programme-cadre de Mathématiques du ministère de l Éducation de l Ontario MDM4U Titre : Mathématiques de la gestion des données, 12 e année Domaine : Dénombrement et probabilité Attente Résoudre des problèmes portant sur la probabilité d un événement ou sur une combinaison d événements à l aide de l espace des échantillons.. Contenu d apprentissage Décrire et représenter l espace des échantillons discrets comme un ensemble de tous les résultats possibles, et décrire et représenter un événement comme un sous-ensemble de l espace des échantillons ou comme un ensemble de résultats possibles. 8 Émission 2 : Un modèle de probalité uniforme

9 Révision et activités avant le visionnement 1. À l aide d un jeu de cartes, réviser les concepts liés à la probabilité expérimentale d un résultat certain. Exemple : Tirer deux cartes d un jeu soigneusement battu; calculer la probabilité que les deux cartes appartiennent à la même couleur; calculer la probabilité que les deux cartes portent le même nombre. Quelle est la probabilité que l une des deux cartes soit l as de trèfle? 2. En vous fiant à votre intuition, quelle est la probabilité d obtenir le côté «face» en lançant une pièce? Si cette pièce est lancée cinq fois et que le côté «face» soit obtenu cinq fois, quelle est la probabilité d obtenir le côté «face» en lançant la pièce une sixième fois? Activités après le visionnement 1. Dresser la liste des éléments de l univers des résultats possibles lorsque l on lance deux pièces de monnaie dans le cadre d une expérience. a. Combien d éléments y a-t-il dans l ensemble? b. Pourquoi les résultats (H, T) et (T, H) doivent-ils être tous les deux inclus? c. Ces résultats sont-ils équiprobables? 2. Dresser la liste des éléments entrant dans l univers des résultats possibles lorsque deux dés sont jetés. S assurer que tous les éléments sont équiprobables. a. Combien d éléments se trouvent dans l ensemble? b. Comment pouvez-vous déterminer n(u) sans dresser de liste et sans compter? 3. On lance deux pièces. Nous voulons connaître la probabilité d obtenir deux côtés «pile». a. Quel(s) élément(s) y a-t-il dans l Événement E? b. Quelle est la probabilité d obtenir au moins deux côtés «pile»? c. Quelle est la probabilité d obtenir au plus deux côtés «pile»? 4. Supposons que nous lançons une pièce de monnaie trois fois. a. Combien d éléments y a-t-il dans u? b. Combien d éléments y a-t-il dans l événement qui comprend deux côtés «face» et un côté «pile»? c. Calculer la probabilité de cet événement. 5. On tire deux cartes d un jeu de 52 cartes soigneusement battu. a. Quelle est la valeur de n(u)? b. Quelle est la probabilité d obtenir deux cartes de trèfle? 6. Combien d éléments y a-t-il dans l univers des résultats possibles de l expérience qui consiste à jeter trois dés? a. Quelle est la probabilité d obtenir la somme de 3 pour les nombres indiqués sur les trois dés? b. Quelle est la probabilité d obtenir une somme de 4? c. Quelle est la probabilité d obtenir une somme inférieure à 20? 9 Émission 2 : Un modèle de probalité uniforme

10 7. Une boîte contient cinq balles numérotées de 1 à 5. On choisit deux balles au hasard. a. Combien d éléments y a-t-il dans l univers des résultats possibles de cette expérience? b. Quelle est la probabilité que ce choix comprenne la balle 3? c. Quelle est la probabilité que le nombre le plus grand soit 3? d. Quelle est la probabilité que la somme des nombres tirés soit au plus 4? 8. Procéder de même que pour la question 7, mais en choisissant une balle à la fois, et en remplaçant dans la boîte la première balle que vous avez prise avant d en choisir une nouvelle. 9. Tracer un arbre montrant la composition possible des familles ayant trois enfants. L aîné peut être soit un garçon, soit une fille ; le deuxième peut aussi être soit un garçon, soit une fille ; et ainsi de suite. a. Combien y a-t-il de différentes familles possibles? b. Quelle est la probabilité pour une famille comprenant trois enfants d avoir deux filles et un garçon? c. Ce problème est-il différent de celui qui met en jeu le lancer de trois pièces de monnaie? 10 Émission 2 : Un modèle de probalité uniforme

11 Émission 3 : Des événements simples Résumé de l émission Les diagrammes de Venn sont présentés pour illustrer les propriétés fondamentales des probabilités. Au moyen d exemples pratiques, on décrit le concept des événements incompatibles et, à l aide d une expérience qui consiste à lancer un seul dé, on établit la «formule» P(A ou B ) = P(A) + P(B) qui s applique à des événements sans éléments communs. Si des événements ont des éléments en commun, c est-à-dire si l intersection de deux événements n est pas l ensemble nul, alors P(A ou B) = P(A) + P(B) P(A et B). Des exemples faisant appel aux connaissances acquises dans le cadre de la série L analyse combinatoire servent de problèmes où l on prend en compte le complément d un événement. On démontre l utilisation de la relation «la probabilité qu un événement se produise plus la probabilité qu un événement ne se produise pas est égale à un». Liens au programme-cadre de Mathématiques du ministère de l Éducation de l Ontario MDM4U Titre : Mathématiques de la gestion des données, 12 e année Domaine : Dénombrement et probabilité Attentes Résoudre des problèmes portant sur la probabilité d un événement ou sur une combinaison d événements à l aide de l espace des échantillons. Résoudre à l aide de l analyse combinatoire des problèmes portant sur la probabilité d un événement Contenus d apprentissage Décrire et représenter l espace des échantillons discrets comme un ensemble de tous les résultats possibles, et décrire et représenter un événement comme un sous-ensemble de l espace des échantillons ou comme un ensemble de résultats possibles. décrire et comparer des événements indépendants, dépendants, incompatibles et conditionnels à un autre événement. Résoudre des problèmes de probabilités connexes [par exemple, P(A), P(~A), P(A et B), P(A ou B), P(B A)] en utilisant une variété de stratégies (par exemple, diagramme de Venn, tableau, liste, arbre de dénombrement, formule). Résoudre, à l aide des principes de dénombrement, des problèmes de probabilité concernant des événements équiprobables. 11 Émission 3 : Des événements simples

12 Révision et activités avant le visionnement 1. Trouver le nombre de permutations de 8 éléments. 2. Trouver le nombre d arrangements de 10 éléments, en les prenant 4 à la fois. 3. Parmi un groupe de 12 élèves appartenant à un club scolaire, on doit choisir un président, un vice-président et un trésorier. Trouver le nombre des diverses façons de procéder. 4. Soit un club comprenant 12 membres ; trouver le nombre de comités de 3 personnes qu il est possible de former. 5. Trouver le nombre de sous-ensembles de 5 éléments d un ensemble de 9 éléments. Quel est le nombre total de sous-ensembles de cet ensemble? 6. Lorsque l on lance deux dés, quelle est la probabilité d obtenir une somme égale à 5? 7. Lorsque l on lance deux dés, quelle est la probabilité d obtenir une somme égale à 6 ou une somme égale à 11? 8. On lance quatre pièces de monnaie simultanément. Quelle est la probabilité d obtenir un côté «face» ou un côté «pile»? Activités après le visionnement 1. À l aide du concept des événements incompatibles, trouver la probabilité de voir un 3 ou un 5 apparaître en lançant un dé. 2. On lance deux dés. Trouver les probabilités d obtenir: a. une somme égale à 7 ; b. une somme égale à 5 ; c. une somme égale à 7 ou une somme égale à 5 ; d. une somme égale à 7 et une somme égale à 5 ; e. une somme égale à 6 et un 4 sur l un des dés. 3. Un jeu consiste à lancer une pièce de monnaie et deux dés. Quelle est la probabilité d obtenir le côté «face» de la pièce ou une somme égale à 9 sur les dés? 4. Les lettres A, B, C, D, E et F sont arrangées au hasard. Calculer la probabilité d obtenir ce qui suit : a. A est en première position b. D est en quatrième position c. C et D sont adjacents d. Les quatre premières lettres sont des consommes. 5. En lançant sept fois une pièce, on obtient sept côtés «face». Quelle est la probabilité d obtenir le côté «face» lors d un huitième lancer? Quelle est la probabilité d obtenir le côté «face» huit fois de suite? 12 Émission 3 : Des événements simples

13 6. Un club contient 6 filles et 9 garçons. Un comité de 4 personnes est formé pour nettoyer après une fête. Quelle est la probabilité d avoir exactement un garçon parmi les membres du comité? 7. Un sac contient 12 balles rouges et 15 balles vertes. Une personne tire au sort 7 balles du sac. a. Quelle est la probabilité qu elle tire exactement 3 balles rouges? b. Quelle est la probabilité que son choix comprenne au moins une balle verte? c. Quelle est la probabilité que son choix comprenne 4 balles rouges ou 4 balles vertes? d. Quelle est la probabilité qu elle ne tire aucune balle verte? 8. Pour gagner le gros lot d une loterie, une personne doit choisir correctement 6 numéros dans un ensemble allant de 1 à 49 (peu importe l ordre). Quel est le nombre total de billets différents qui peuvent être vendus? Quelle est la probabilité de décrocher le gros lot en achetant un seul billet? Si une personne achète 10 billets, quelle est la probabilité qu elle gagne le gros lot? 9. Quelles sont les chances d obtenir trois ou quatre côtés «face» en lançant six fois une pièce de monnaie? 10. On lance trois dés. quelle est la probabilité d obtenir une somme égale à 6 ou des nombres pairs sur les trois dés. 11. Quelle est la probabilité d obtenir une somme au moins égale à 5 en lançant trois dés? 13 Émission 3 : Des événements simples

14 Émission 4 : Des événements moins simples Résumé de l émission Après l étude d événements simples et incompatibles, la présente émission aborde les cas où les résultats qui nous intéressent sont plus complexes. On analyse des situations où plusieurs événements sans lien entre eux se produisent simultanément. Les événements indépendants sont définis et la «règle» P(A et B) = P(A) + P(B) est étudiée à l aide d exemples. Le concept des probabilités conditionnelles est expliqué au moyen d exemples mettant en jeu des pièces de monnaie et des sous-ensembles. La «règle» P(A étant donné B) = P(A et B)/P(B) est expliquée et appliquée. Liens au programme-cadre de Mathématiques du ministère de l Éducation de l Ontario MDM4U Titre : Mathématiques de la gestion des données, 12 e année Domaine : Dénombrement et probabilité Attentes Résoudre des problèmes portant sur la probabilité d un événement ou sur une combinaison d événements à l aide de l espace des échantillons. Résoudre à l aide de l analyse combinatoire des problèmes portant sur la probabilité d un événement Contenus d apprentissage Décrire et représenter l espace des échantillons discrets comme un ensemble de tous les résultats possibles, et décrire et représenter un événement comme un sous-ensemble de l espace des échantillons ou comme un ensemble de résultats possibles. décrire et comparer des événements indépendants, dépendants, incompatibles et conditionnels à un autre événement. Résoudre des problèmes de probabilités connexes [par exemple, P(A), P(~A), P(A et B), P(A ou B), P(B A)] en utilisant une variété de stratégies (par exemple, diagramme de Venn, tableau, liste, arbre de dénombrement, formule). Résoudre, à l aide des principes de dénombrement, des problèmes de probabilité concernant des événements équiprobables. 14 Émission 4 : Des événements moins simples

15 Révision et activités avant le visionnement 1. On lance deux dés. Nous nous intéressons aux événements «somme égale à 8 apparaît» et «3 apparaît sur l un des dés». Ces événements sont-ils incompatibles? 2. Au moyen d ensembles, trouver la probabilité de la réalisation du premier événement de la question 1 ou du deuxième événement. 3. Trouver la probabilité de voir apparaître une somme égale à 5 et un 2 sur l un des dés en lançant deux dés. 4. Si on lance quatre dés et que l on prenne en compte la somme qui apparaît sur ces quatre dés, combien y a-t-il d éléments dans l univers des résultats possibles? 5. Deux équipes s affrontent dans le cadre d une série éliminatoire «deux de trois». Ceci veut dire que la première équipe qui remportera deux parties sera la championne. Tracer un arbre pour montrer tous les résultats possibles. a. Combien d éléments y a-t-il dans l univers des résultats possibles? b. Ces éléments sont-ils tous équiprobables? Activités après le visionnement 1. On lance une pièce de monnaie trois fois de suite. Nous recherchons l événement «face apparaît». a. Ces événements sont-ils indépendants? b. Le résultat d un lancer a-t-il une influence sur le résultat du prochain lancer? c. Quelle est la probabilité d obtenir le côté «face» trois fois de suite? 2. On joue à un jeu qui consiste à lancer une pièce de monnaie et à jeter un dé. Le joueur gagne s il obtient le côté «face» de la pièce et 5 sur le dé. Quelle est la probabilité qu il gagne? 3. Tracer un arbre montrant les diverses compositions possibles d une famille qui a trois enfants. Par exemple, l aîné peut être un garçon ou une fille, le deuxième un garçon ou une fille et ainsi de suite. a. Si la probabilité d avoir un garçon est 0,5 et la probabilité d avoir une fille est également 0,5, quelle est la probabilité que cette famille ait exactement trois filles? b. Quelle est la probabilité qu elle ait deux garçons et une fille? 4. Deux équipes participent à une série éliminatoire «deux de trois». La probabilité que l équipe A remporte une partie donnée est 0,65. a. Quelle est la probabilité que l équipe A gagne la série? b. Quelle est la probabilité que la série se termine après deux parties (envisager que l équipe A peut remporter les deux parties mais qu elle peut aussi les perdre)? 15 Émission 4 : Des événements moins simples

16 5. On lance un dé deux fois (les lancers sont des événements indépendants). Trouver la probabilité que : a. les deux lancers fassent apparaître un 4; b. la somme des deux lancers soit au moins égale à 10 ; c. un lancer fasse apparaître un 4 et que l autre nombre ne soit pas pair. 6. Quatre archers visent une cible. La probabilité que chacun d eux tire dans le mille est 0,75. Trouver la probabilité qu exactement trois archers tirent dans le mille. 7. On lance un dé. Si le résultat est un nombre pair, trouver la probabilité que le résultat soit égal à Soit une expérience consistant à lancer trois dés, les événements suivants nous intéressent : a. exactement l une des faces qui apparaît porte un trois; b. deux des faces qui apparaissent sont identiques; c. les trois faces qui apparaissent sont différentes les unes des autres. Trouver P(A), P(B), P(C), P(A et C) Trouver P(A étant donné C), et P(B étant donné A) 9. Un club comprend 12 filles et 20 garçons. Parmi ces 32 membres on choisit au hasard un comité de 4 personnes. a. Trouver la probabilité que Jean et Lucie ainsi que 2 filles fassent partie du comité. b. Trouver la probabilité que le comité soit composé de Lucie et de 3 autres filles. c. Si Joseph et Jean sont déjà choisis comme membres de ce comité, trouver la probabilité que le comité comprenne exclusivement des garçons. d. Si une fille et un garçon sont déjà choisis, quelle est la probabilité que les deux autres membres soient aussi une fille et un garçon? 9. Supposons que, lors d une naissance, la probabilité que ce soit un garçon est de 0,5 et que les naissances successives soient des événements indépendants. Quelle est la probabilité que dans une famille de trois enfants le plus jeune soit une fille si l aînée est aussi une fille? Ces suppositions sont-elles valables dans la «vie réelle»? 16 Émission 4 : Des événements moins simples

17 Émission 5 : Les distributions de probabilités Résumé de l émission Les premières images de cette émission illustrent les concepts d équité et de justice dans un contexte historique. Puis, à l aide d une expérience familière qui consiste à lancer deux dés, on explique le concept des distributions de probabilités. Nous obtenons une distribution de probabilités lorsqu une valeur numérique est donnée à tous les résultats possibles d une expérience. Dans le présent exemple, cette valeur est donnée naturellement en observant, ou en prenant en compte, les sommes qui apparaissent sur les dés. Le nombre donné porte le nom de variable aléatoire X, et la probabilité assortie à chaque résultat est représentée par P(X). L étude du cas d un comité formé par un nombre donné de membres d un club permet de définir le concept d espérance (comparable à une moyenne pondérée). On illustre ce concept et on dégage la notion de jeu équitable en revenant à l exemple du lancer de deux dés et en se penchant sur un problème centré sur une tombola. 17 Émission 5 : Les distributions de probabilités

18 Liens au programme-cadre de Mathématiques du ministère de l Éducation de l Ontario MDM4U Titre : Mathématiques de la gestion des données, 12 e année Domaine : Dénombrement et probabilité Attente Résoudre des problèmes portant sur la probabilité d un événement ou sur une combinaison d événements à l aide de l espace des échantillons. Contenu d apprentissage Déterminer la probabilité théorique, c est-à-dire une valeur entre 0 et 1, pour chaque résultat de l espace des échantillons discrets, P(A), où A est un événement possible (par exemple, tous les résultats possibles lorsqu on lance un dé ont la même probabilité) et reconnaître que la somme de toutes les probabilités est égale à 1. MDM4U Titre : Mathématiques de la gestion des données, 12 e année Domaine : Distribution des probabilités Attente Démontrer une compréhension de la distribution de probabilités discrètes et de ses représentations numérique, graphique et algébrique, et résoudre ainsi des problèmes provenant de diverses applications. Contenus d apprentissage Reconnaître et identifier une variable aléatoire discrète, c est-à-dire une variable aléatoire qui produit une valeur unique pour chaque élément de l espace des échantillons, générer une distribution de probabilité c est-à-dire une fonction qui, à chaque valeur de la variable aléatoire x, associe une probabilité P(x) en calculant les probabilités associées à chaque valeur de la variable aléatoire, à l aide ou non d outils technologiques, et représenter numériquement la distribution des probabilités avec une table de valeurs. Calculer l espérance mathématique d une distribution des probabilités, c est-à-dire E(X)= xp(x), interpréter cette espérance pour des applications diverses et établir des liens entre cette espérance et la moyenne pondérée des valeurs d une variable aléatoire discrète. 18 Émission 5 : Les distributions de probabilités

19 Révision et activités avant le visionnement 1. Établir un tableau montrant les probabilités d obtenir les nombres 2, 3, 4 12 en lançant deux dés. 2. a. Trouver le nombre de mains de poker de 5 cartes provenant d un jeu de 52 cartes qui contient exactement un as. Quelle est la probabilité qu une main contienne exactement un as? b. Trouver la probabilité d obtenir, une main de poker de 5 cartes qui contienne exactement un couple de rois. c. Trouver la probabilité d obtenir 3 cartes de même valeur dans une main de poker de 5 cartes. 3. Quelles sont les chances de ne pas obtenir un flush (5 cartes de la même couleur) dans une main de poker de 5 cartes? 4. Combien de mains de bridge de 13 cartes contiennent exactement 6 trèfles? a. Combien y a-t-il de différentes mains de bridge de 13 cartes? b. Quelle est la probabilité d obtenir une main de bridge qui comporte 5 trèfles, 6 piques et 2 carreaux? c. Quelle est la probabilité d obtenir une main de bridge de 13 cartes qui contienne au moins un trèfle? 5. Lors d un lancer de deux pièces de monnaie, quelles sont les probabilités d obtenir 0,1 ou 2 côtés «face»? 6. On lance trois pièces. Établir un tableau montrant les probabilités d obtenir 0, 1, 2 ou 3 côtés «pile». 19 Émission 5 : Les distributions de probabilités

20 Activités après le visionnement 1. Tracer la distribution des probabilités visant une expérience consistant à «lancer quatre pièces», la variable aléatoire X représentant le nombre de côtés «face» obtenus. 2. Trouver le nombre prévu de côtés «face» dans la question Joseph et Lucie jouent trois fois à un jeu. Les chances que Lucie gagne une partie donnée sont de 0,65. Chaque partie est indépendante. a. Tracer une distribution de probabilités, la variable aléatoire X représentant le nombre de parties gagnées par Lucie. b. Quel est le nombre prévu de victoires pour Lucie? c. Quel est le nombre prévu de victoires pour Joseph? 4. Soit un jeu dans le cadre duquel on utilise deux pièces, l une ordinaire avec un côté «face» et un côté «pile», et l autre dont les deux côtés sont «face». On choisit l une des pièces au hasard et on la lance. a. Quelle est la probabilité que la pièce choisie soit celle avec deux côtés «face»? b. Trouver la probabilité d obtenir le côté «face» de la pièce lancée. c. Trouver la probabilité que, si le lancer a pour résultat le côté «face», le revers de la pièce soit également «face». 5. Proposer la situation suivante aux élèves. Soit un jeu qui consiste à lancer un dé et à jeter une pièce. Vous gagnerez 5$ si un nombre impair apparait sur le dé et si vous obtenez le côté «face» de la pièce. Vous gagnerez 10$ si le nombre 2 ou 4 apparaît sur le dé, et si vous obtenez le côté «face». Vous gagnerez 15$ si le côté «face» et le nombre 6 sur le dé apparaissent. Vous perdrez 4$ dans tous les autres cas. Leur demander de répondre aux questions et de faire les activités suivantes : a. Tracer une distribution des probabilités pour ce jeu. b. Trouver l espérance de ce jeu, c est-à-dire la somme que vous espérez gagner ou perdre en jouant une partie. Si vous jouez 100 parties, combien de parties espérez-vous gagner ou perdre? c. Devriez-vous jouer à ce jeu? d. Que devriez-vous payer ou recevoir pour rendre ce jeu «équitable»? 6. Lorsque l on lance deux dés, quel est le résultat prévu? 7. Supposons que l on vous invite à jouer à un jeu dans le cadre duquel on lance une pièce et on tire une carte d un jeu de 52. Vous gagnerez 1$ si le côté «face» apparaît et votre carte est un trèfle, 4$ si le côté est «pile» et la carte est un carreau, et 8$ si le côté est «face» et la carte est un pique. Dans tous les autres cas vous perdrez. Combien devriez-vous perdre, lorsque le résultat vous est défavorable, si le jeu est «équitable»? 20 Émission 5 : Les distributions de probabilités