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1 MATH ELEMENTS DU CALCUL DES PROBABILITES REPETITIONS et PROJETS : INTRODUCTION F. Van Lishout (Février 2015)

2 Pourquoi ce cours? Sciences appliquées Modélisation parfaite vs monde réel

3 Comment réussir ce cours? COMPRENDRE la théorie ET les répétitions Faire les travaux personnels sur ordinateur Examen écrit : o 08h00-10h00 : 3 questions de théorie + 1 question sur le projet o 10h00-10h15 : pause o 10h15-12h30 : 3 exercices Pondération : o ±25% travaux o ±75% examen écrit

4 Comment se passent les répétitions? Enoncés des répétitions o Répartition des locaux (TP Physique) o A-E S22 (H. Huaux) o F-Me S24 (F. Van Lishout) o Mi-Z S26 (P. Lousberg) Horaire o De 8 h 15 à 10 h 15 o Les 10/02, 03/03, 17/03, 31/03, 21/04 et 05/05 (*)

5 Quelques conseils pour ce cours et votre avenir Toujours chercher à COMPRENDRE avant de RETENIR Apprendre à savoir résoudre des problèmes ABSTRAITS vous permettra de mieux vous ADAPTER à un monde qui change en permanence Ne pas faire trop confiance à votre INTUITION mais privilégier la REFLEXION

6 Monty Hall Problem Trois portes : 1 voiture + 2 prix sans valeur Le candidat choisit une porte, puis le présentateur en ouvre une autre (il en choisit une derrière laquelle se trouve un prix sans valeur) Le présentateur demande alors au candidat s il veut changer d avis A-t-il intérêt à changer d avis? Ce problème a fait débat Beaucoup de gens pensent à tort avoir un sens intuitif des probabilités

7 Résolution par la méthode en 4 étapes (Lehman & Leighton) Trouver l espace des résultats possibles Définir le ou les événement(s) étudié(s) Déterminer la probabilité des résultats Calculer la probabilité du ou des événement(s)

8 Etape 0 : Clarification du problème On suppose que lorsque les organisateurs placent la voiture, chaque porte a la même probabilité d être sélectionnée. le participant choisi une porte au hasard, avec une probabilité égale pour les trois portes. le présentateur doit ouvrir une autre porte que celle cachant la voiture et s il a le choix entre deux portes, chacune à la même chance d être choisie.

9 Etape 1 : Trouver l espace des résultats possibles On construit un arbre décrivant l ensemble des choix possibles pour les variables du problème. Dans notre cas : o La position de la voiture o Le choix initial du candidat o La porte révélée par le présentateur

10 Etape 2 : Définir le ou les événement(s) étudié(s) On détermine les feuilles de l arbre pour lesquelles l événement qui nous intéresse s est réalisé / les événements qui nous intéressent se sont réalisés. Dans notre cas : o L événement selon lequel le participant gagne en changeant d avis.

11 Etape 3 : Déterminer la probabilité des résultats Assigner des probabilités aux feuilles de l arbre. Pour ce faire, deux étapes sont nécessaires : o Assigner des probabilités aux arcs o En déduire celles des feuilles par simple multiplication

12 Etape 4 : Calculer la probabilité du ou des événement(s) La simple addition des probabilités des résultats positifs donne la probabilité du ou des événement(s).

13 Résultat final (screenshot du livre de Lehman & Leighton)

14 Probabilité et jeux

15 Probabilité et jeux

16 Probabilité et jeux Deux bloggeurs sont en train de discuter de la probabilité d'obtenir une paire d'as deux fois de suite au poker. 1) Le premier déclare que la probabilité d'en obtenir une est de plus ou moins 1 chance sur 200 et donc que la réponse est de l'ordre de 1 chance sur A-t-il raison? (Formellement : on tire 2 cartes w et x d un paquet de 52 cartes. On remet les 2 cartes dans le paquet et on mélange. On tire 2 nouvelles cartes y et z. Quelle est la probabilité que w, x, y et z soient toutes des as?)

17 Probabilité et jeux 2) Le second bloggeur est maintenant convaincu de s être fait arnaquer par un joueur avec lequel il a joué toute la nuit dernière. En effet, son adversaire a eu à un moment donné la paire d as deux fois de suite. Pourquoi la probabilité que ça arrive était-elle bien plus grande que 1 chance sur ? (Formellement : on tire 4 cartes w1, x1, y1 et z1 d un paquet de 52 cartes. Le bloggeur reçoit les cartes w1 et x1 et son adversaire y1 et z1. On remet les 4 cartes dans le paquet et on mélange. On tire 4 cartes w2, x2, y2 et z2. Le bloggeur reçoit w2 et x2 et son adversaire y2 et z2. On remet les 4 cartes dans le paquet et on mélange. Etant donné que les joueurs ont joué toute la nuit, supposons qu ils aient continué de la sorte jusqu à w800, x800, y800 et z800. Quelle est la probabilité qu il existe au moins un i dans l intervalle [1, 799] tel que yi, zi, yi+1 et zi+1 soient tous des as?)

18 Travaux personnels sur ordinateur TRAVAIL 1 : PROBLEME DES ANNIVERSAIRES Quelle est la probabilité qu au moins deux personnes dans un ensemble de N aient leur anniversaire le même jour, en supposant que personne ne soit né un 29 février?

19 Travaux personnels sur ordinateur TRAVAIL 2 : LIGNE DE PRODUCTION Vous êtes engagé par une grande compagnie en tant qu ingénieur production. Votre première mission sera l étude de la fiabilité d une ligne de production

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