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1 Simulation centrée individus Théorie des jeux Bruno BEAUFILS Université de Lille Année 4/5 Ce document est mis à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Partage dans les Mêmes Conditions 4. International. SCI-TJ / 35

2 Cours du 9 décembre 4 SCI-TJ / 35

3 . Théorie des jeux classique Définitions Représentations Résolutions SCI-TJ / 35

4 Hypothèses Définition La théorie des jeux est un ensemble d outils analytiques qui ont été développés pour nous faciliter la compréhension des situations d interactions entre des décideurs (agents, joueurs) rationnels. 3 hypothèses fortes Préférences Rationalité Information Classement des contextes de jeu selon 3 dimensions type de relation entre agents déroulement dans le temps nature information détenue par les agents quantité qualité coopératifs vs non-coopératifs simultané vs séquentiel complète vs incomplète parfaite vs imparfaite SCI-TJ 3 / 35

5 Hypothèses Définition La théorie des jeux est un ensemble d outils analytiques qui ont été développés pour nous faciliter la compréhension des situations d interactions entre des décideurs (agents, joueurs) rationnels. 3 hypothèses fortes Préférences Rationalité Information Classement des contextes de jeu selon 3 dimensions type de relation entre agents déroulement dans le temps nature information détenue par les agents quantité qualité coopératifs vs non-coopératifs simultané vs séquentiel complète vs incomplète parfaite vs imparfaite SCI-TJ 3 / 35

6 Information Définition Un jeu est à information parfaite si chaque joueur est parfaitement informé des actions passés des autres joueurs. Si un joueur ne connait pas certains des choix effectués avant le sien on est en information imparfaite information parfaite : échecs, go, etc. information imparfaite : bataille navale, poker, notion d ensembles d information Définition Un jeu est à information complète si chaque joueur connaît la structure du jeu. SCI-TJ 4 / 35

7 Terminologie Jeux coopératifs / Jeux non-coopératifs Jeux à somme nulle (strictement compétitifs) / Jeux à somme non-nulle Jeux à information complète / Jeux à information incomplète Jeux à information parfaite / Jeux à information imparfaite Jeux à joueurs / Jeux à n joueurs SCI-TJ 5 / 35

8 Utilité Hypothèse forte : on considère les agents comme rationnels ils tentent d arriver à la situation la meilleure pour eux. On appelle utilité la mesure de chaque situation aux yeux de l agent. L utilité n est pas une mesure du gain matériel, monétaire, etc. c est une mesure subjective du contentement de l agent. La fonction d utilité lie un ordre de préférences à des valeurs numériques Les valeurs utilisées par la fonction n ont pas d importance, seul l ordre des préférences en a. Rappel Une relation de préférences est une relation binaire transitive et réflexive SCI-TJ 6 / 35

9 Utilité Supposons qu un agent x préfère une situation a à une situation b et une situation b à une situation c. Une fonction d utilité valide peut être : a 3 b c Une autre fonction équivalente au sens de la théorie des jeux : a 354 b c On ne mesure pas une quantité mais un ordre. SCI-TJ 7 / 35

10 Jeu Définition Un jeu est défini par une liste de joueurs une liste d actions pour chaque joueurs une fonction de gains Issue du jeu = situation finale Objectif des joueurs = maximiser leur gain SCI-TJ 8 / 35

11 Représentation d un jeu Il existe formes de jeu : Forme extensive Utilisation d un arbre Forme stratégique (forme normale) Utilisation d une matrice A chaque jeu sous forme extensive correspond un jeu sous forme stratégique dans lequel les joueurs choisissent simultanément les stratégies qu ils mettront en oeuvre. En revanche, un jeu sous forme stratégique peut correspondre à plusieurs jeux sous forme extensive différents. SCI-TJ 9 / 35

12 Forme extensive () Version séquentielle (chacun son tour) J Pierre Ciseaux Papier J J J Pierre Ciseaux Papier Pierre Ciseaux Papier Pierre Ciseaux Papier (,) (,-) (-,) (-,) (,) (,-) (,-) (-,) (,) SCI-TJ / 35

13 Forme extensive () Version simultanée (les deux joueurs en même temps) J Pierre Ciseaux Papier J J J Pierre Ciseaux Papier Pierre Ciseaux Papier Pierre Ciseaux Papier (,) (,-) (-,) (-,) (,) (,-) (,-) (-,) (,) SCI-TJ / 35

14 Forme stratégique () J Pierre Ciseaux Papier Pierre - - J Ciseaux - - Papier - - SCI-TJ / 35

15 Forme extensive () M ne cède pas (-3,) entre cède (4,4) NV n entre pas (,) SCI-TJ 3 / 35

16 Forme stratégique () NV entre n entre pas ne cède pas -3 M 4 cède 4 SCI-TJ 4 / 35

17 Stratégie Dans une forme extensive, une stratégie est la spécification complète du comportement d un joueur dans n importe quelle situation Dans une forme stratégique, une stratégie correspond au choix d une ligne ou d une colonne Une stratégie correspond à un comportement SCI-TJ 5 / 35

18 Élimination des stratégies dominées u v y 4 3 x 5 9 SCI-TJ 6 / 35

19 Élimination des stratégies dominées u v y 4 3 x 5 9 SCI-TJ 7 / 35

20 Élimination des stratégies dominées u v y 4 3 x 5 9 SCI-TJ 8 / 35

21 Équilibre de Nash u v y 4 3 x 5 9 SCI-TJ 9 / 35

22 Équilibre de Nash u v y 4 3 x 5 9 SCI-TJ 3 / 35

23 Équilibre de Nash u v y 4 3 x 5 9 SCI-TJ 3 / 35

24 Équilibre de Nash u v y 4 3 x 5 9 SCI-TJ 3 / 35

25 Équilibre de Nash u v y 4 3 x 5 9 SCI-TJ 33 / 35

26 Stratégies pures/stratégies mixtes Les stratégies que nous avons définies et utilisées pour le moment sont des stratégies pures, c est-à-dire les options qui se présentent aux joueurs. Une stratégie mixte σ i est une distribution de probabilité sur l ensemble des stratégies pures. L ensemble des stratégies pures utilisées (i.e. dont la probabilité n est pas nulle) par une stratégie mixte σ i est appelé le support de la stratégie mixte. Théorème de Nash : Tout jeu sous forme stratégique a un équilibre de Nash en stratégies mixtes. SCI-TJ 34 / 35

27 SCI-TJ 35 / 35

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