FIMA, 7 juillet 2005

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1 F. Corset 1 S. 2 1 LabSAD Université Pierre Mendes France 2 Département de Mathématiques Université de Franche-Comté FIMA, 7 juillet 2005

2 Plan de l exposé plus court chemin

3 Origine du problème Modélisation de dégradation d un système par un réseau bayésien (RB) RB (graphe orienté sans cycle) où les noeuds sont les états de dégradations du système Arcs représentent la probable causalité entre deux dégradations Probabilités conditionnelles d un état sachant les états parents Simulateur de scénarii, outil de diagnostic, outil d aide à la décision

4 Exemple de RB pour EDF

5 Présentation du problème Reprise du même graphe orienté sans cycle Sommet 1 représente l état neuf du système Sommet m représente un état de dégradation inacceptable Le système se dégrade d un état vers un autre, i.e. d un sommet vers un sommet voisin Le temps de transition entre deux états (pondération de l arc i) est une variable aléatoire W(η i, β i ) Les v.a. sont indépendantes Politique de : le système doit être inspecté avant d atteindre le sommet m : dans un graphe

6 Présentation du problème Reprise du même graphe orienté sans cycle Sommet 1 représente l état neuf du système Sommet m représente un état de dégradation inacceptable Le système se dégrade d un état vers un autre, i.e. d un sommet vers un sommet voisin Le temps de transition entre deux états (pondération de l arc i) est une variable aléatoire W(η i, β i ) Les v.a. sont indépendantes Politique de : le système doit être inspecté avant d atteindre le sommet m : dans un graphe

7 Un petit exemple

8 Matrice d incidence du graphe Soit G = (V, E) le graphe orienté sans cycle avec m sommets (ici 5) et n arcs (ici 7), et A sa matrice d incidence A = Theorem Soit k le nombre de composantes connexes. Alors rg(a) = m k.

9 Matrice d incidence du graphe Soit G = (V, E) le graphe orienté sans cycle avec m sommets (ici 5) et n arcs (ici 7), et A sa matrice d incidence A = Theorem Soit k le nombre de composantes connexes. Alors rg(a) = m k.

10 comme programme Soit le vecteur (c i ) i=1,...,n de coûts sur les arcs et soit b = ( ) t, le problème de plus court chemin s écrit z = min c T x s.t. Ax = b x 0 x et z solution du problème donnent respectivement le meilleur chemin et le coût de ce chemin.

11 Rappel sur la théorie de la programmation Soit x une solution faisable (satisfaisant Ax = b et x 0) : { x i = 0 forall i B and x B = A 1 B b (1) où x B est le vecteur composé des coordonnées indicées par B et A B la sous matrice de A indicée par B. Lemma Soit B une partie de {1,..., n} tel que A 1 B b 0 et N = {1,..., n} \ B. Un vecteur x sera solution de (2) ssi c i cb t A 1 B a i pour tout i B où a i est la i ème colonne de A.

12 Inégalité de Dyer-Frieze-McDiarmid (1) Soit le programme suivant z = min c T x (2) s.t. Ax = b x 0 où c i sont des v.a. indépendantes, et A R m n est une matrice de rang plein.

13 Inégalité de Dyer-Frieze-McDiarmid (2) Theorem Supposons que les variables de coûts c i soient indépendantes et satisfassent E[c i c i h] E[c i ] + αh pour α (0, 1]. Alors pour chaque matrice A R m n et chaque vecteur b R m, la valeur optimale z du problème (2) satisfait E[z ] 1 α max S : #S=m E[c i ]x i (3) i S pour chaque solution faisable x.

14 Inégalité de Dyer-Frieze-McDiarmid (3) pour une loi exponentielle α = 1 pour la loi uniforme sur [0, 1], α = 1 2 donne une borne supérieure pour la moyenne du temps d inspection adaptation pour le problème de (rang(a) = m 1) adaptation pour la loi de Weibull borne meilleur coût

15 Matrice d incidence modifiée Soit à la matrice d incidence modifiée : à = Alors, le problème du est équivalent au programme suivant : z = min c T x (4) s.t. Ãx = b x 0 où c est le vecteur des coûts auquel on a ajouté un élément nul 0.

16 La loi de Weibull Soit X une variable aléatoire distribuée selon une loi de Weibull f X (t) = β ( t ) βe ( t η )β. η η Alors, le temps moyen résiduel avant une défaillance (MRTF) est donné par G X (h) E[X X h] = ηe ( h η )β Γ(1 + 1 β, (h η )β ), où Γ(a, h) est la fonction gamma incomplète définie par Γ(a, h) = + h t a 1 e t dt.

17 La loi de Weibull (2) Lemma Si β 1 alors lim h 0 G X (h) = 0 and lim et de plus si β < 2 nous avons G X (h) > 0, lim h 0 G X (h) = + and lim h + G X (h) = 1 h + G X (h) = 0. Theorem Supposons que X soit distribué selon une Weibull avec β ]1, 2[. Alors pour tout h 0, on a E[X X h] E[X] + h.

18 La borne inférieure Theorem p r r i B r E[c i ]x i E[z ], où (B r ) est la famille de toutes les bases et pour tout r, p r est la probabilité que B r soit optimale. Difficulté d appliquer cette borne nécessaire d estimer tous les p r! Utilisation des bases optimales qui apparaissent le plus fréquemment.

19 La borne inférieure en pratique Theorem Soit ˆp B la borne inf de la probabilité que B soit une base optimale avec un niveau de confiance de 1 α. Alors avec la probabilité 1 α nous avons ˆp B E[c] t x E[z ]. Pour η et β fixés, on résoud N problèmes de plus court chemin, N bases optimales avec une proportion p B, Etant donné un risque α, nous sous-estimons p B ˆp B = p B q 1 α p B (1 p B )/N, avec q 1 α le quantile de la loi normale. Calcul de la borne inférieure correspondante.

20 Simulations Pour un même graphe, pour le problème i = 1,..., 100, simulation de η(i) suivant une loi normale N (50, 100) et β(i) suivant une loi uniforme sur [1, 2]. Le coût c j de l arc j suit une loi de Weibull W (η(i), β(i)). Espérance du coût optimal par des simulations de Monte Carlo sur 1000 échantillons. Calcul de ˆp r avec un risque α = 5%. Calcul de la borne inférieure ˆp B E[c] t x.

21 Simulations

22 Théorème de Berry-Essen Theorem Soit X 1, X 2,..., X n n variables aléatoires indépendantes d espérance nulle et de variance finie. Soit S n = n i=1 X i et Bn 2 = n i=1 EX i 2 et supposons que E X i 3 < +. Alors ( Sn ) sup P z Φ(z) Bn 3 z B n n E X i 3, (5) i=1 où Φ est la f.d.r la loi normale centrée réduite.

23 inférieure avec Berry-Essen (1) Lemma Supposons que les coûts possèdent des moments d ordre 3 finis. Soit ( B une base ) et pour tout j B et i B c, soit α ji = (A B ) 1 A B c. Alors la probabilité p B ji que B soit optimale vérifie p B 1 j B c Φ ( µi j B α jiµ j (σ 2 i + j B α2 ji σ2 j ) E c i µ i 3 + n j B α3 ji E c j µ j 3 (σi 2 +. j B α2 ji σ2 j ) 3 2 )

24 inférieure avec Berry-Essen (2) Theorem E[z] B B (1 j B c Φ ( µi j B α jiµ j (σ 2 i + j B α2 ji σ2 j ) E c i µ i 3 + n j B α3 ji E c j µ j 3 ) (σi 2 + E[c j B α2 ji σ2 j ) 3 B t ]x B. 2 )

25 et perspectives Notre borne inférieure est "meilleure" que la borne supérieure DFM (en valeur absolue). Erreur moyenne relative inférieure à 20%. De bons résultats expérimentaux. Application sur des systèmes réels. Simulations avec Berry-Essen

26 I Steele, J. M. (1997). Probability Theory and Combinatorial Optimization. CBMS-NSF Conference Series in Applied Mathematics 69, SIAM. Dyer, M.E., Frieze, A.M., and McDiarmid, C.J.H. (1986). On linear programs with random costs. Math. Programming 35, 3 16.

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