FIMA, 7 juillet 2005

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "FIMA, 7 juillet 2005"

Transcription

1 F. Corset 1 S. 2 1 LabSAD Université Pierre Mendes France 2 Département de Mathématiques Université de Franche-Comté FIMA, 7 juillet 2005

2 Plan de l exposé plus court chemin

3 Origine du problème Modélisation de dégradation d un système par un réseau bayésien (RB) RB (graphe orienté sans cycle) où les noeuds sont les états de dégradations du système Arcs représentent la probable causalité entre deux dégradations Probabilités conditionnelles d un état sachant les états parents Simulateur de scénarii, outil de diagnostic, outil d aide à la décision

4 Exemple de RB pour EDF

5 Présentation du problème Reprise du même graphe orienté sans cycle Sommet 1 représente l état neuf du système Sommet m représente un état de dégradation inacceptable Le système se dégrade d un état vers un autre, i.e. d un sommet vers un sommet voisin Le temps de transition entre deux états (pondération de l arc i) est une variable aléatoire W(η i, β i ) Les v.a. sont indépendantes Politique de : le système doit être inspecté avant d atteindre le sommet m : dans un graphe

6 Présentation du problème Reprise du même graphe orienté sans cycle Sommet 1 représente l état neuf du système Sommet m représente un état de dégradation inacceptable Le système se dégrade d un état vers un autre, i.e. d un sommet vers un sommet voisin Le temps de transition entre deux états (pondération de l arc i) est une variable aléatoire W(η i, β i ) Les v.a. sont indépendantes Politique de : le système doit être inspecté avant d atteindre le sommet m : dans un graphe

7 Un petit exemple

8 Matrice d incidence du graphe Soit G = (V, E) le graphe orienté sans cycle avec m sommets (ici 5) et n arcs (ici 7), et A sa matrice d incidence A = Theorem Soit k le nombre de composantes connexes. Alors rg(a) = m k.

9 Matrice d incidence du graphe Soit G = (V, E) le graphe orienté sans cycle avec m sommets (ici 5) et n arcs (ici 7), et A sa matrice d incidence A = Theorem Soit k le nombre de composantes connexes. Alors rg(a) = m k.

10 comme programme Soit le vecteur (c i ) i=1,...,n de coûts sur les arcs et soit b = ( ) t, le problème de plus court chemin s écrit z = min c T x s.t. Ax = b x 0 x et z solution du problème donnent respectivement le meilleur chemin et le coût de ce chemin.

11 Rappel sur la théorie de la programmation Soit x une solution faisable (satisfaisant Ax = b et x 0) : { x i = 0 forall i B and x B = A 1 B b (1) où x B est le vecteur composé des coordonnées indicées par B et A B la sous matrice de A indicée par B. Lemma Soit B une partie de {1,..., n} tel que A 1 B b 0 et N = {1,..., n} \ B. Un vecteur x sera solution de (2) ssi c i cb t A 1 B a i pour tout i B où a i est la i ème colonne de A.

12 Inégalité de Dyer-Frieze-McDiarmid (1) Soit le programme suivant z = min c T x (2) s.t. Ax = b x 0 où c i sont des v.a. indépendantes, et A R m n est une matrice de rang plein.

13 Inégalité de Dyer-Frieze-McDiarmid (2) Theorem Supposons que les variables de coûts c i soient indépendantes et satisfassent E[c i c i h] E[c i ] + αh pour α (0, 1]. Alors pour chaque matrice A R m n et chaque vecteur b R m, la valeur optimale z du problème (2) satisfait E[z ] 1 α max S : #S=m E[c i ]x i (3) i S pour chaque solution faisable x.

14 Inégalité de Dyer-Frieze-McDiarmid (3) pour une loi exponentielle α = 1 pour la loi uniforme sur [0, 1], α = 1 2 donne une borne supérieure pour la moyenne du temps d inspection adaptation pour le problème de (rang(a) = m 1) adaptation pour la loi de Weibull borne meilleur coût

15 Matrice d incidence modifiée Soit à la matrice d incidence modifiée : à = Alors, le problème du est équivalent au programme suivant : z = min c T x (4) s.t. Ãx = b x 0 où c est le vecteur des coûts auquel on a ajouté un élément nul 0.

16 La loi de Weibull Soit X une variable aléatoire distribuée selon une loi de Weibull f X (t) = β ( t ) βe ( t η )β. η η Alors, le temps moyen résiduel avant une défaillance (MRTF) est donné par G X (h) E[X X h] = ηe ( h η )β Γ(1 + 1 β, (h η )β ), où Γ(a, h) est la fonction gamma incomplète définie par Γ(a, h) = + h t a 1 e t dt.

17 La loi de Weibull (2) Lemma Si β 1 alors lim h 0 G X (h) = 0 and lim et de plus si β < 2 nous avons G X (h) > 0, lim h 0 G X (h) = + and lim h + G X (h) = 1 h + G X (h) = 0. Theorem Supposons que X soit distribué selon une Weibull avec β ]1, 2[. Alors pour tout h 0, on a E[X X h] E[X] + h.

18 La borne inférieure Theorem p r r i B r E[c i ]x i E[z ], où (B r ) est la famille de toutes les bases et pour tout r, p r est la probabilité que B r soit optimale. Difficulté d appliquer cette borne nécessaire d estimer tous les p r! Utilisation des bases optimales qui apparaissent le plus fréquemment.

19 La borne inférieure en pratique Theorem Soit ˆp B la borne inf de la probabilité que B soit une base optimale avec un niveau de confiance de 1 α. Alors avec la probabilité 1 α nous avons ˆp B E[c] t x E[z ]. Pour η et β fixés, on résoud N problèmes de plus court chemin, N bases optimales avec une proportion p B, Etant donné un risque α, nous sous-estimons p B ˆp B = p B q 1 α p B (1 p B )/N, avec q 1 α le quantile de la loi normale. Calcul de la borne inférieure correspondante.

20 Simulations Pour un même graphe, pour le problème i = 1,..., 100, simulation de η(i) suivant une loi normale N (50, 100) et β(i) suivant une loi uniforme sur [1, 2]. Le coût c j de l arc j suit une loi de Weibull W (η(i), β(i)). Espérance du coût optimal par des simulations de Monte Carlo sur 1000 échantillons. Calcul de ˆp r avec un risque α = 5%. Calcul de la borne inférieure ˆp B E[c] t x.

21 Simulations

22 Théorème de Berry-Essen Theorem Soit X 1, X 2,..., X n n variables aléatoires indépendantes d espérance nulle et de variance finie. Soit S n = n i=1 X i et Bn 2 = n i=1 EX i 2 et supposons que E X i 3 < +. Alors ( Sn ) sup P z Φ(z) Bn 3 z B n n E X i 3, (5) i=1 où Φ est la f.d.r la loi normale centrée réduite.

23 inférieure avec Berry-Essen (1) Lemma Supposons que les coûts possèdent des moments d ordre 3 finis. Soit ( B une base ) et pour tout j B et i B c, soit α ji = (A B ) 1 A B c. Alors la probabilité p B ji que B soit optimale vérifie p B 1 j B c Φ ( µi j B α jiµ j (σ 2 i + j B α2 ji σ2 j ) E c i µ i 3 + n j B α3 ji E c j µ j 3 (σi 2 +. j B α2 ji σ2 j ) 3 2 )

24 inférieure avec Berry-Essen (2) Theorem E[z] B B (1 j B c Φ ( µi j B α jiµ j (σ 2 i + j B α2 ji σ2 j ) E c i µ i 3 + n j B α3 ji E c j µ j 3 ) (σi 2 + E[c j B α2 ji σ2 j ) 3 B t ]x B. 2 )

25 et perspectives Notre borne inférieure est "meilleure" que la borne supérieure DFM (en valeur absolue). Erreur moyenne relative inférieure à 20%. De bons résultats expérimentaux. Application sur des systèmes réels. Simulations avec Berry-Essen

26 I Steele, J. M. (1997). Probability Theory and Combinatorial Optimization. CBMS-NSF Conference Series in Applied Mathematics 69, SIAM. Dyer, M.E., Frieze, A.M., and McDiarmid, C.J.H. (1986). On linear programs with random costs. Math. Programming 35, 3 16.

Jeux à somme nulle : le cas fini

Jeux à somme nulle : le cas fini CHAPITRE 2 Jeux à somme nulle : le cas fini Les jeux à somme nulle sont les jeux à deux joueurs où la somme des fonctions de paiement est nulle. Dans ce type d interaction stratégique, les intérêts des

Plus en détail

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines

Plus en détail

Ensimag 2A. Rapport de TER. Application de la Recherche Opérationnelle à la Finance

Ensimag 2A. Rapport de TER. Application de la Recherche Opérationnelle à la Finance Ensimag 2A Rapport de TER Application de la Recherche Opérationnelle à la Finance Elève : Yuefei HUANG Tuteur : Zoltán SZIGETI Mai, 2010 2 Sommaire 1. Introduction... 3 2. Le marché des changes et arbitrage...

Plus en détail

Probabilités III Introduction à l évaluation d options

Probabilités III Introduction à l évaluation d options Probabilités III Introduction à l évaluation d options Jacques Printems Promotion 2012 2013 1 Modèle à temps discret 2 Introduction aux modèles en temps continu Limite du modèle binomial lorsque N + Un

Plus en détail

IFT6561. Simulation: aspects stochastiques

IFT6561. Simulation: aspects stochastiques IFT 6561 Simulation: aspects stochastiques DIRO Université de Montréal Automne 2013 Détails pratiques Professeur:, bureau 3367, Pav. A.-Aisenstadt. Courriel: bastin@iro.umontreal.ca Page web: http://www.iro.umontreal.ca/~bastin

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

TESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION

TESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION TESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION Bruno Saussereau Laboratoire de Mathématiques de Besançon Université de Franche-Comté Travail en commun

Plus en détail

Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif

Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif Cécile Durot 1 & Yves Rozenholc 2 1 UFR SEGMI, Université Paris Ouest Nanterre La Défense, France, cecile.durot@gmail.com 2 Université

Plus en détail

Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles

Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Valentin Patilea 1 Cesar Sanchez-sellero 2 Matthieu Saumard 3 1 CREST-ENSAI et IRMAR 2 USC Espagne 3 IRMAR-INSA

Plus en détail

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions :

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions : Probabilités I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : 1- Définitions : Ω : Ensemble dont les points w sont les résultats possibles de l expérience Des évènements A parties de Ω appartiennent à A une

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

Raisonnement probabiliste

Raisonnement probabiliste Plan Raisonnement probabiliste IFT-17587 Concepts avancés pour systèmes intelligents Luc Lamontagne Réseaux bayésiens Inférence dans les réseaux bayésiens Inférence exacte Inférence approximative 1 2 Contexte

Plus en détail

Reconstruction d images binaires par l estimation moindres carrés et l optimisation valeur propre

Reconstruction d images binaires par l estimation moindres carrés et l optimisation valeur propre Reconstruction d images binaires par l estimation moindres carrés et l optimisation valeur propre Stéphane Chrétien & Franck Corset Université de Franche-Comté, UMR6623, Département Mathématiques 16 route

Plus en détail

Modélisation aléatoire en fiabilité des logiciels

Modélisation aléatoire en fiabilité des logiciels collection Méthodes stochastiques appliquées dirigée par Nikolaos Limnios et Jacques Janssen La sûreté de fonctionnement des systèmes informatiques est aujourd hui un enjeu économique et sociétal majeur.

Plus en détail

Lois de probabilité à densité Loi normale

Lois de probabilité à densité Loi normale DERNIÈRE IMPRESSIN LE 31 mars 2015 à 14:11 Lois de probabilité à densité Loi normale Table des matières 1 Lois à densité 2 1.1 Introduction................................ 2 1.2 Densité de probabilité

Plus en détail

Annexe commune aux séries ES, L et S : boîtes et quantiles

Annexe commune aux séries ES, L et S : boîtes et quantiles Annexe commune aux séries ES, L et S : boîtes et quantiles Quantiles En statistique, pour toute série numérique de données à valeurs dans un intervalle I, on définit la fonction quantile Q, de [,1] dans

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires CHAPITRE I. SIMULATION DE VARIABLES ALÉATOIRES 25 Chapitre I Simulation de variables aléatoires La simulation informatique de variables aléatoires, aussi complexes soient elles, repose sur la simulation

Plus en détail

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme

Plus en détail

Simulation d un système d assurance automobile

Simulation d un système d assurance automobile Simulation d un système d assurance automobile DESSOUT / PLESEL / DACHI Plan 1 Introduction... 2 Méthodes et outils utilisés... 2.1 Chaines de Markov... 2.2 Méthode de Monte Carlo... 2.3 Méthode de rejet...

Plus en détail

La notion de dualité

La notion de dualité La notion de dualité Dual d un PL sous forme standard Un programme linéaire est caractérisé par le tableau simplexe [ ] A b. c Par définition, le problème dual est obtenu en transposant ce tableau. [ A

Plus en détail

Optimisation Discrète

Optimisation Discrète Prof F Eisenbrand EPFL - DISOPT Optimisation Discrète Adrian Bock Semestre de printemps 2011 Série 7 7 avril 2011 Exercice 1 i Considérer le programme linéaire max{c T x : Ax b} avec c R n, A R m n et

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo

Plus en détail

Sujet 4: Programmation stochastique propriétés de fonction de recours

Sujet 4: Programmation stochastique propriétés de fonction de recours Sujet 4: Programmation stochastique propriétés de fonction de recours MSE3313: Optimisation Stochastiqe Andrew J. Miller Dernière mise au jour: October 19, 2011 Dans ce sujet... 1 Propriétés de la fonction

Plus en détail

Estimation du Quantile conditionnel par les Réseaux de neurones à fonction radiale de base

Estimation du Quantile conditionnel par les Réseaux de neurones à fonction radiale de base Estimation du Quantile conditionnel par les Réseaux de neurones à fonction radiale de base M.A. Knefati 1 & A. Oulidi 2 & P.Chauvet 1 & M. Delecroix 3 1 LUNAM Université, Université Catholique de l Ouest,

Plus en détail

Séminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013

Séminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013 Séminaire ES Andrés SÁNCHEZ PÉREZ October 8th, 03 Présentation du sujet Le problème de régression non-paramétrique se pose de la façon suivante : Supposons que l on dispose de n couples indépendantes de

Plus en détail

Événements et probabilités, probabilité conditionnelle et indépendance

Événements et probabilités, probabilité conditionnelle et indépendance Chapitre 1 Événements et probabilités, probabilité conditionnelle et indépendance On cherche ici à proposer un cadre mathématique dans lequel on puisse parler sans ambiguité de la probabilité qu un événement

Plus en détail

Programme des épreuves des concours externes de recrutement des personnels techniques et administratifs de recherche et de formation

Programme des épreuves des concours externes de recrutement des personnels techniques et administratifs de recherche et de formation Programme des épreuves des concours externes de recrutement des personnels E1 RECRUTEMENT DES ASSISTANTS INGENIEURS DE RECHERCHE ET DE FORMATION...2 E1.1 Gestionnaire de base de données...2 E1.2 Développeur

Plus en détail

Rapport sur l oral de mathématiques 2009

Rapport sur l oral de mathématiques 2009 Rapport sur l oral de mathématiques 2009 Oral spécifique E.N.S. Paris : Thomas Duquesne Oral commun Paris-Lyon-Cachan : Romain Abraham, Sorin Dumitrescu, Philippe Gille. 1 Remarques générales sur la session

Plus en détail

Modèle de troncature gauche : Comparaison par simulation sur données indépendantes et dépendantes

Modèle de troncature gauche : Comparaison par simulation sur données indépendantes et dépendantes de troncature gauche : Comparaison par simulation sur données indépendantes et dépendantes Zohra Guessoum 1 & Farida Hamrani 2 1 Lab. MSTD, Faculté de mathématique, USTHB, BP n 32, El Alia, Alger, Algérie,zguessoum@usthb.dz

Plus en détail

2. Probabilité. 2.1: Espaces de probabilité 2.2: Probabilité conditionelle 2.3: Indépendance. http://statwww.epfl.ch

2. Probabilité. 2.1: Espaces de probabilité 2.2: Probabilité conditionelle 2.3: Indépendance. http://statwww.epfl.ch 2. Probabilité 2.1: Espaces de probabilité 2.2: Probabilité conditionelle 2.3: Indépendance Probabilité et Statistiques I Chapître 2 1 2.1 Espaces de Probabilité Contenu Exemples élémentaires de probabilité,

Plus en détail

Objectifs. Calcul scientifique. Champ d applications. Pourquoi la simulation numérique?

Objectifs. Calcul scientifique. Champ d applications. Pourquoi la simulation numérique? Objectifs Calcul scientifique Alexandre Ern ern@cermics.enpc.fr (CERMICS, Ecole des Ponts ParisTech) Le Calcul scientifique permet par la simulation numérique de prédire, optimiser, contrôler... le comportement

Plus en détail

Modèle classique Extensions Modèle multi-branches. Théorie de la ruine. Esterina Masiello (ISFA)

Modèle classique Extensions Modèle multi-branches. Théorie de la ruine. Esterina Masiello (ISFA) Esterina Masiello Institut de Science Financière et d Assurances Université Lyon 1 Premières Journées Actuarielles de Strasbourg 6-7 octobre 2010 En résumé... Modèle classique de la théorie de la ruine

Plus en détail

Quelques modèles financiers utilisant les EDSR et EDSPR avec grossissement de filtration

Quelques modèles financiers utilisant les EDSR et EDSPR avec grossissement de filtration Quelques modèles financiers utilisant les EDSR et EDSPR avec grossissement de filtration Anne EYRAUD-LOISEL ISFA, Université Lyon 1 Séminaire Lyon - Le Mans 3 Mai 2012, Le Mans 1 / 40 Outline 1 Problèmes

Plus en détail

PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II

PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II TABLE DES MATIERES CHAPITRE I - COMBINATOIRE ELEMENTAIRE I.1. Rappel des notations de la théorie des ensemble I.1.a. Ensembles et sous-ensembles I.1.b. Diagrammes (dits

Plus en détail

Modélisation des lois multidimensionnelles par la théorie des copules

Modélisation des lois multidimensionnelles par la théorie des copules Modélisation des lois multidimensionnelles par la théorie des copules Grégoire Mercier jeudi 9 novembre 26 Contenu 2 Mesure de dépendance Lien avec les copules 3 Estimation de l information mutuelle Estimation

Plus en détail

Processus aléatoires avec application en finance

Processus aléatoires avec application en finance Genève, le 16 juin 2007. Processus aléatoires avec application en finance La durée de l examen est de deux heures. N oubliez pas d indiquer votre nom et prénom sur chaque feuille. Toute documentation et

Plus en détail

Modèles et Méthodes de Réservation

Modèles et Méthodes de Réservation Modèles et Méthodes de Réservation Petit Cours donné à l Université de Strasbourg en Mai 2003 par Klaus D Schmidt Lehrstuhl für Versicherungsmathematik Technische Universität Dresden D 01062 Dresden E

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire

Plus en détail

1 La formule de Black et Scholes en t discret

1 La formule de Black et Scholes en t discret Université de Provence Préparation Agrégation Epreuve de Modélisation, Option Proba. Texte : La formule de Black Scholes en Finance Étienne Pardoux 1 La formule de Black et Scholes en t discret On suppose

Plus en détail

Optimisation et programmation mathématique. Professeur Michel de Mathelin. Cours intégré : 20 h

Optimisation et programmation mathématique. Professeur Michel de Mathelin. Cours intégré : 20 h Télécom Physique Strasbourg Master IRIV Optimisation et programmation mathématique Professeur Michel de Mathelin Cours intégré : 20 h Programme du cours d optimisation Introduction Chapitre I: Rappels

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient

Plus en détail

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de

Plus en détail

MODELES DE DUREE DE VIE

MODELES DE DUREE DE VIE MODELES DE DUREE DE VIE Cours 1 : Introduction I- Contexte et définitions II- Les données III- Caractéristiques d intérêt IV- Evènements non renouvelables/renouvelables (unique/répété) I- Contexte et définitions

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

données en connaissance et en actions?

données en connaissance et en actions? 1 Partie 2 : Présentation de la plateforme SPSS Modeler : Comment transformer vos données en connaissance et en actions? SPSS Modeler : l atelier de data mining Large gamme de techniques d analyse (algorithmes)

Plus en détail

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques

Plus en détail

Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1. Réponse c : ln(10)+2 ln ( 10e 2) = ln(10)+ln ( e 2) = ln(10)+2 2. Réponse b : n 13 0,7 n 0,01

Plus en détail

Utilisation des réseaux bayésiens et de l approche de Fenton pour l estimation de probabilité d occurrence d événements

Utilisation des réseaux bayésiens et de l approche de Fenton pour l estimation de probabilité d occurrence d événements Utilisation des réseaux bayésiens et de l approche de Fenton pour l estimation de probabilité d occurrence d événements Rapport LAAS-CNRS Numéro N o 13077 Quynh Anh DO HOANG, Jérémie GUIOCHET, Mohamed

Plus en détail

APPORT DES RESEAUX BAYESIENS DANS LA PREVENTION DE LA DELINQUANCE

APPORT DES RESEAUX BAYESIENS DANS LA PREVENTION DE LA DELINQUANCE SûretéGlobale.Org La Guitonnière 49770 La Meignanne Téléphone : +33 241 777 886 Télécopie : +33 241 200 987 Portable : +33 6 83 01 01 80 Adresse de messagerie : c.courtois@sureteglobale.org APPORT DES

Plus en détail

Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques

Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques Fiche TD avec le logiciel : a2-1-c Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques Sylvain Mousset Rappels de probabilités / statistiques Table des matières 1 Probabilités

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé X-ENS PSI - 009 Un corrigé Première partie.. Des calculs élémentaires donnent χ A(α) = χ B(α) = X X + et χ A(α)+B(α) = X X + 4α + 4 On en déduit que Sp(A(α)) = Sp(B(α)) = {j, j } où j = e iπ 3 Sp(A(α)

Plus en détail

PRIME D UNE OPTION D ACHAT OU DE VENTE

PRIME D UNE OPTION D ACHAT OU DE VENTE Université Paris VII - Agrégation de Mathématiques François Delarue) PRIME D UNE OPTION D ACHAT OU DE VENTE Ce texte vise à modéliser de façon simple l évolution d un actif financier à risque, et à introduire,

Plus en détail

Examen du cours de Mesures de risque en finance

Examen du cours de Mesures de risque en finance Examen du cours de Mesures de risque en finance Mercredi 15 Décembre 21 (9h-11h) Seul document autorisé: une feuille A4 manuscrite recto-verso. Important : rédiger sur une même copie les exercices 1 et

Plus en détail

Licence MASS 2000-2001. (Re-)Mise à niveau en Probabilités. Feuilles de 1 à 7

Licence MASS 2000-2001. (Re-)Mise à niveau en Probabilités. Feuilles de 1 à 7 Feuilles de 1 à 7 Ces feuilles avec 25 exercices et quelques rappels historiques furent distribuées à des étudiants de troisième année, dans le cadre d un cours intensif sur deux semaines, en début d année,

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

TABLE DES MATIERES. C Exercices complémentaires 42

TABLE DES MATIERES. C Exercices complémentaires 42 TABLE DES MATIERES Chapitre I : Echantillonnage A - Rappels de cours 1. Lois de probabilités de base rencontrées en statistique 1 1.1 Définitions et caractérisations 1 1.2 Les propriétés de convergence

Plus en détail

Séries de Fourier. T f (x) exp 2iπn x T dx, n Z. T/2 f (x) cos ( ) f (x) dx a n (f) = 2 T. f (x) cos 2πn x )

Séries de Fourier. T f (x) exp 2iπn x T dx, n Z. T/2 f (x) cos ( ) f (x) dx a n (f) = 2 T. f (x) cos 2πn x ) Séries de Fourier Les séries de Fourier constituent un outil fondamental de la théorie du signal. Il donne lieu à des prolongements et des extensions nombreux. Les séries de Fourier permettent à la fois

Plus en détail

La survie nette actuelle à long terme Qualités de sept méthodes d estimation

La survie nette actuelle à long terme Qualités de sept méthodes d estimation La survie nette actuelle à long terme Qualités de sept méthodes d estimation PAR Alireza MOGHADDAM TUTEUR : Guy HÉDELIN Laboratoire d Épidémiologie et de Santé publique, EA 80 Faculté de Médecine de Strasbourg

Plus en détail

Modèles GARCH et à volatilité stochastique Université de Montréal 14 mars 2007

Modèles GARCH et à volatilité stochastique Université de Montréal 14 mars 2007 Université de Montréal 14 mars 2007 Christian FRANCQ GREMARS-EQUIPPE, Université Lille 3 Propriétés statistiques des modèles GARCH Outline 1 Identification 2 Test de bruit blanc faible Test d homoscédaticité

Plus en détail

La NP-complétude. Johanne Cohen. PRISM/CNRS, Versailles, France.

La NP-complétude. Johanne Cohen. PRISM/CNRS, Versailles, France. La NP-complétude Johanne Cohen PRISM/CNRS, Versailles, France. Références 1. Algorithm Design, Jon Kleinberg, Eva Tardos, Addison-Wesley, 2006. 2. Computers and Intractability : A Guide to the Theory of

Plus en détail

Martingales dans l étude de quelques arbres aléatoires

Martingales dans l étude de quelques arbres aléatoires Martingales dans l étude de quelques arbres aléatoires Brigitte CHAUVIN Brigitte.Chauvin@math.uvsq.fr Monastir, 18-20 Octobre 2010 Contents 1 Introduction 1 2 Arbres binaires de recherche 2 2.1 Définitions.....................................

Plus en détail

Simulation centrée individus

Simulation centrée individus Simulation centrée individus Théorie des jeux Bruno BEAUFILS Université de Lille Année 4/5 Ce document est mis à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Partage dans les

Plus en détail

Contexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,

Contexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples, Non-linéarité Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très

Plus en détail

TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options

TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options Université de Lorraine Modélisation Stochastique Master 2 IMOI 2014-2015 TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options 1 Les options Le but de ce

Plus en détail

MAP 311 - Aléatoire - PC 1. Probabilités

MAP 311 - Aléatoire - PC 1. Probabilités MAP 311 - Aléatoire - PC 1 Emmanuel Gobet Feuille de PC disponible en avance sur le site http://www.cmap.polytechnique.fr/~gobet/. Les exercices marqués ( ) sont corrigés dans le livre Aléatoire de S.

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.

Plus en détail

Une forme générale de la conjecture abc

Une forme générale de la conjecture abc Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante

Plus en détail

Projet dans le cadre du cours de Machine Learning

Projet dans le cadre du cours de Machine Learning Projet dans le cadre du cours de Machine Learning Objectifs Prévoir les vainqueurs des matchs de tennis se déroulant lors d un tournoi du circuit ATP (ici à Dubaï), en se basant sur des prédictions d

Plus en détail

Actuariat I ACT2121. septième séance. Arthur Charpentier. Automne 2012. charpentier.arthur@uqam.ca. http ://freakonometrics.blog.free.

Actuariat I ACT2121. septième séance. Arthur Charpentier. Automne 2012. charpentier.arthur@uqam.ca. http ://freakonometrics.blog.free. Actuariat I ACT2121 septième séance Arthur Charpentier charpentier.arthur@uqam.ca http ://freakonometrics.blog.free.fr/ Automne 2012 1 Exercice 1 En analysant le temps d attente X avant un certain événement

Plus en détail

Chaînes de Markov au lycée

Chaînes de Markov au lycée Journées APMEP Metz Atelier P1-32 du dimanche 28 octobre 2012 Louis-Marie BONNEVAL Chaînes de Markov au lycée Andreï Markov (1856-1922) , série S Problème 1 Bonus et malus en assurance automobile Un contrat

Plus en détail

TABLE DES MATIÈRES. PRINCIPES D EXPÉRIMENTATION Planification des expériences et analyse de leurs résultats. Pierre Dagnelie

TABLE DES MATIÈRES. PRINCIPES D EXPÉRIMENTATION Planification des expériences et analyse de leurs résultats. Pierre Dagnelie PRINCIPES D EXPÉRIMENTATION Planification des expériences et analyse de leurs résultats Pierre Dagnelie TABLE DES MATIÈRES 2012 Presses agronomiques de Gembloux pressesagro.gembloux@ulg.ac.be www.pressesagro.be

Plus en détail

Programmation Linéaire - Cours 1

Programmation Linéaire - Cours 1 Programmation Linéaire - Cours 1 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 265 Ouvrages de référence V. Chvátal - Linear Programming, W.H.Freeman, New York, 1983.

Plus en détail

Optimisation des fonctions de plusieurs variables

Optimisation des fonctions de plusieurs variables Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables

Plus en détail

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation

Plus en détail

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. 14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,

Plus en détail

Tests d indépendance en analyse multivariée et tests de normalité dans les modèles ARMA

Tests d indépendance en analyse multivariée et tests de normalité dans les modèles ARMA Tests d indépendance en analyse multivariée et tests de normalité dans les modèles ARMA Soutenance de doctorat, sous la direction de Pr. Bilodeau, M. et Pr. Ducharme, G. Université de Montréal et Université

Plus en détail

Fiche de révision sur les lois continues

Fiche de révision sur les lois continues Exercice 1 Voir la correction Le laboratoire de physique d un lycée dispose d un parc d oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit

Plus en détail

Réseaux causaux possibilistes pour le traitement des interventions

Réseaux causaux possibilistes pour le traitement des interventions Les modèles graphiques probabilistes Réseaux causaux possibilistes pour le traitement des interventions Salem ENFERHT CRIL, Lens benferhat@cril.univ-artois.fr Outils importants pour la représentation et

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée

Plus en détail

Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points 1. Réponse d. : 1 e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e

Plus en détail

Sur certaines séries entières particulières

Sur certaines séries entières particulières ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane

Plus en détail

Chaînes de Markov. Mireille de Granrut

Chaînes de Markov. Mireille de Granrut Chaînes de Markov Mireille de Granrut Quelques précisions à propos de ce cours : Préambule 1. Tel que je l ai conçu, le cours sur les chaînes de Markov interviendra dès la rentrée, pour faire un peu de

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Modèles à Événements Discrets. Réseaux de Petri Stochastiques

Modèles à Événements Discrets. Réseaux de Petri Stochastiques Modèles à Événements Discrets Réseaux de Petri Stochastiques Table des matières 1 Chaînes de Markov Définition formelle Idée générale Discrete Time Markov Chains Continuous Time Markov Chains Propriétés

Plus en détail

Le pire des cas dans le choix de la copule

Le pire des cas dans le choix de la copule Comment éviter le pire Département de Mathématique Université de Bretagne Occidentale 29200 Brest Solvency 2 impose aux assureurs une analyse des risques accumulés sur plusieurs produits d assurances.

Plus en détail

Capacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34

Capacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34 Capacité d un canal Second Théorème de Shannon Théorie de l information 1/34 Plan du cours 1. Canaux discrets sans mémoire, exemples ; 2. Capacité ; 3. Canaux symétriques ; 4. Codage de canal ; 5. Second

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

CONCOURS 2015 Programme des classes préparatoires

CONCOURS 2015 Programme des classes préparatoires CONCOURS 2015 Programme des classes préparatoires Voie économique et commerciale option scientifique option économique option technologique Voie littéraire Filière B/L Lettres et Sciences Sociales Filière

Plus en détail

Abdallah Derbal Département de Mathématiques, Ecole Normale Supérieure, Vieux Kouba - Alger - abderbal@yahoo.fr

Abdallah Derbal Département de Mathématiques, Ecole Normale Supérieure, Vieux Kouba - Alger - abderbal@yahoo.fr #A56 INTEGERS 9 009), 735-744 UNE FORME EFFECTIVE D UN THÉORÈME DE BATEMAN SUR LA FONCTION PHI D EULER Abdallah Derbal Département de Mathématiques, Ecole Normale Supérieure, Vieux Kouba - Alger - Algérie,

Plus en détail

Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA

Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA 75. Un plombier connaît la disposition de trois tuyaux sous des dalles ( voir figure ci dessous ) et il lui suffit de découvrir une partie de chacun d eux pour pouvoir y poser les robinets. Il cherche

Plus en détail

Statistique descriptive et prévision

Statistique descriptive et prévision Statistique descriptive et prévision Année 2010/2011 L. Chaumont Contents 1. Étude d une variable 5 1.1. Définitions................................ 5 1.2. Représentations graphiques usuelles................

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013

Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 5 points Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée

Plus en détail

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau Théorie spectrale Stéphane Maingot & David Manceau 2 Théorie spectrale 3 Table des matières Introduction 5 1 Spectre d un opérateur 7 1.1 Inversibilité d un opérateur........................... 7 1.2 Définitions

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail