Modélisation et Simulation

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Modélisation et Simulation"

Transcription

1 Cours de modélisation et simulation p. 1/64 Modélisation et Simulation G. Bontempi Département d Informatique Boulevard de Triomphe - CP 212

2 Cours de modélisation et simulation p. 2/64 Notions de temps, entrée et sortie Nous commençons ici à définir la notion de système dynamique de manière formelle. Nous définissons un ensemble T, dénoté l ensemble des temps, tel que pour chaque t T les valeurs u(t) et y(t) sont définies et elles appartiennent aux ensemble U et Y, respectivement. Selon la nature de cet ensemble nous pouvons faire la distinction entre systèmes à temps continu et systèmes à temps discret. Les évolutions des entrées et des sorties appartiennent elles aussi à deux ensembles de fonctions, notés par Ω et Γ. Dorénavant, nous noterons par u( ) Ω (y( ) Γ) la fonction d entrée (sortie) et par u(t) U (y(t) Y) la valeur prise par telle fonction à l instant t. Exemple: Ω pourrait être l ensemble des fonctions continues par morceaux et Γ l ensemble des fonctions continues.

3 Cours de modélisation et simulation p. 3/64 Relation entrée-sortie La modélisation d un système comme système dynamique demande au préalable 1. la definition d une échelle des temps 2. la definition d une variable d entrée u et une variable de sortie y. Comment définir l entrée et la sortie d un système? La règle générale est définir comme entrées toutes les variables qui peuvent être contrôlées ou modifiées et comme sorties toutes les variables qui peuvent être mesurées. Supposons de vouloir étudier la réaction d un patient avec de la température à l administration d un médicament. Quelles pourraient être les variables d entrée et de sortie? Supposons de vouloir étudier l efficacité d une politique de réduction du trafic sur la pollution du centre ville de Bruxelles. Quelles pourraient être les variables d entrée et de sortie?

4 Cours de modélisation et simulation p. 4/64 Système statique et dynamique Fixons l évolution de la variable u dans un intervalle de temps [t 0, t f ]. Est-ce que la connaissance de u détermine de manière univoque le comportement de y? Dans le cas général la réponse est négative. Nous pouvons souvent rencontrer deux processus identiques auxquels la même fonction d entrée est appliquée pendant le même intervalle mais qui ont des valeurs de sortie différentes. Pensez au cas où u est la position de la pédale de l accélérateur et y est la vitesse de la voiture. Ceci montre la nécessité d un ensemble de variables internes (ou variables d état) additionnelles pour décrire d une manière univoque le comportement d un système. Toutefois il existe un cas très particulier de système dynamique où la connaissance de u détermine de manière univoque le comportement de y: les systèmes statiques. Dans ces systèmes la sortie change seulement en fonction de l entrée, c.-à-d. aucun changement de la sortie n a lieu si l entrée est constante.

5 Cours de modélisation et simulation p. 5/64 Système statique et dynamique y(t) u(t) u(t) y(t) Dans les systèmes dynamiques la connaissance de l entrée n est pas suffisante pour déterminer de manière univoque la sortie. La sortie y(t) dépend non seulement de l entrée présente u(t) mais aussi des entrées passées.

6 Cours de modélisation et simulation p. 6/64 Exemple: réservoir Considérons un réservoir d eau cylindrique de rayon R sur lequel nous pouvons effectuer des mesures ainsi que des actions de contrôle à intervalles réguliers de période. Nous mesurons le niveau d eau dans le réservoir et contrôlons le débit (volume de fluide écoulé par unité de temps) d eau en entrée ainsi que la section d un trou circulaire au fond. Comment le niveau d eau est-il influencé par le débit en entrée et la taille du trou? u 1 y 2R u 2

7 Cours de modélisation et simulation p. 7/64 Exemple: réservoir (II) Nous désignons donc le niveau d eau comme sortie du système y, le débit en entrée comme entrée u 1 et la section du trou comme entrée u 2. Soient: y(t): le niveau d eau à l instant t. u 1 (t): le débit volumique (en m 3 s 1 ) en entrée à l instant t. u 2 (t): la section du trou (en m 2 ) au fond du réservoir à l instant t. et x(t) la variable (en m 3 ) qui dénote le volume d eau dans le réservoir à l instant t.

8 Exemple: réservoir (II) Considérons le modèle suivant basé sur la loi de Bernoulli selon laquelle le débit en sortie d out est égale à la section fois la vitesse d écoulement v = 2gh = 2g x(t) πr où h est le niveau de l eau et g est l accélération de 2 gravité. r d out (t) = u 2 (t) 2g x(t) : débit en sortie πr2 d(t) = u 1 (t) d out (t) x(t) = max(0, x(t ) + d(t ) ) = r!! x(t ) = max 0, x(t ) + u 1 (t ) u 2 (t ) 2g πr 2 y(t) = x(t) πr 2 Nous supposons que le débit reste constant pendant l intervalle [t, t] où > 0 est le pas de discrétisation temporelle. Il s ensuit que d est le changement de volume d eau dans l intervalle [t, t]. Ce genre de système sera appelé dans la suite système à temps discret. Le lien entre u et y n est pas statique. Cours de modélisation et simulation p. 8/64

9 Exemple: réservoir (III) Supposons que x(0) = 0. Voici deux évolutions du système pour deux paires {u 1 ( ), u 2 ( )} de fonctions d entrée différentes: une paire composée par des fonctions constantes par morceaux et une paire composée par des fonctions sinusoïdales y(t): niveau x(t): volume u 1 (t): debit u 2 (t): trou Cours de modélisation et simulation p. 9/64

10 Cours de modélisation et simulation p. 10/64 La notion d état d un système En réfléchissant sur l exemple du réservoir nous nous apercevons que la valeur de la sortie n est pas déterminée complètement par la valeur de l entrée au même instant mais que elle est l effet de la totalité de l histoire passée du système. Il est nécessaire donc d introduire, suite à un exercice d abstraction, une troisième grandeur, appelée état, qui 1. résume l ensemble de l information sur le passé et le présent du système (mémoire) 2. dont la connaissance à l instant t 1, conjointement avec la connaissance de l entrée pendant l intervalle [t 1, t 2 ], est indispensable pour prédire la valeur de y(t 2 ). On supposera que 1. la connaissance de valeur x(t) doit être suffisante pour déterminer la valeur de la sortie au même instant, 2. la connaissance conjointe de x(t 1 ), c.-à-d. de l état à l instant t 1 et de u [t1,t 2 )( ), c.-à-d. de la valeur de l entrée dans l intervalle [t 1, t 2 ) doit permettre le calcul de l état (et donc de la sortie) à l instant t 2.

11 Cours de modélisation et simulation p. 11/64 La notion d état d un système (II) Notons que le choix des variables d état n est pas univoque. Le même système peut être décrit par des ensembles de variables d état différents.

12 Cours de modélisation et simulation p. 12/64 Système masse-ressort Supposons vouloir étudier la relation entre la position y de la masse sur le plan (sortie) et la force appliquée u = F (entrée). Selon les lois de la dynamique u = mÿ. Aucune dépendance directe n existe entre u e y. Définissons l état à l instant t 1 comme un vecteur x(t 1 ) = [x 1 (t 1 ), x 2 (t 1 )] composé par la position et la vitesse x 2 = ẋ 1 de la masse M. Les lois de la dynamique nous permettent de calculer à partir de x(t 1 ) et de la force u = F appliquée dans l intervalle [t 1, t 2 ) l état (c.-à-d. la position et la vitesse) à l instant t 2. Aussi, la connaissance de x (et donc de x 1 ) nous permet de connaître la valeur de y. Le vecteur x = [x 1, x 2 ] satisfait les propriétés requises par une variable d état M u

13 Cours de modélisation et simulation p. 13/64 Définition axiomatique d un système Un système dynamique est une entité définie par les quantités suivantes: 1. un ensemble ordonné T des temps, un ensemble U d entrée, un ensemble Ω des fonctions d entrée admissibles, un ensemble X d état, un ensemble Y de sortie et un ensemble Γ de fonctions de sortie. 2. la fonction de transition d état ϕ(,,, ) telle que x(t) = ϕ(t, t 0, x 0, u( )) est la valeur de l état à l instant t T obtenu en mettant le système dans l état x 0 à l instant t 0 et en appliquant la fa fonction d entrée u( ) Ω dans l intervalle [t 0, t). 3. la fonction η(, ), dite de transformation de sortie, telle que y(t) = η(t, x(t)) est la sortie à l instant t. Un système dynamique peut donc être résumé par le t-uple suivant: S = (T, U, Ω, X, Y, Γ, ϕ, η).

14 Cours de modélisation et simulation p. 14/64 Propriétés de la fonction de transition La fonction de transition d état ϕ(,,, ) jouit des propriétés suivantes: Consistance: ϕ(t, t, x, u( )) = x, (t, x, u( )) T X Ω Irréversibilité: ϕ est définie pour chaque t t 0, t T Composition: ϕ(t 2, t 0, x 0, u( )) = ϕ(t 2, t 1, ϕ(t 1, t 0, x 0, u( )), u( )), (x, u( )) X Ω } {{ } x(t 1 ) et pour chaque t 0 < t 1 < t 2 Causalité: si u [t 0,t]( ) = u [t 0,t]( ), alors ϕ(t, t 0, x, u ( )) = ϕ(t, t 0, x, u ( )), (t, t 0, x) T T X

15 Cours de modélisation et simulation p. 15/64 Propriétés de la fonction de transition Ces propriétés formalisent la notion clé de système dynamique: si nous connaissons l état à l instant t 0 et la fonction d entrée pendant l intervalle [t 0, t), alors nous savons déterminer d une manière univoque l état à l instant t. En d autres termes, l état futur d un système est déterminé d une manière univoque par l état initial et la fonction d entrée. Dans la première partie du cours, nous nous limiterons à une évolution strictement déterministe où l état initial et la fonction d entrée sont complètement spécifiés et une règle de calcul permet de passer sans ambiguïté à un état final unique. Notons que le lien entre l état et l entrée est un lien fonctionnel vu que la valeur x(t) dépend de toute la fonction u( ) dans [t 0, t). Au contraire le lien entre x(t) et y(t) est instantané: la sortie y(t) dépend seulement de la valeur de x à l instant t.

16 Cours de modélisation et simulation p. 16/64 Représentation graphique u(t) x(t) y(t) phi eta

17 Cours de modélisation et simulation p. 17/64 Mouvement et trajectoire Considérons un temps t 0, un état initial x(t 0 ) et une fonction d entrée u( ). Définition (Mouvement). Soit x(t) = ϕ(t, t 0, x(t 0 ), u( )) la valeur de l état à l instant t. Le mouvement d un système est l ensemble des couples (t, x(t)) pour t t 0. Définition (Trajectoire). La trajectoire d un système est l ensemble des valeurs {x(t)} pour t t 0. En autres termes le mouvement est défini dans l espace T X alors que la trajectoire est définie comme la projection du mouvement dans l espace X.

18 Cours de modélisation et simulation p. 18/64 Mouvement et trajectoire x 2 t 0 t 1 trajectoire t 3 x 1 mouvement t t 4

19 Cours de modélisation et simulation p. 19/64 État et sortie d équilibre Un état x est un état d équilibre s il existe la possibilité d agir sur le système avec une fonction u( ) de façon que, en partant de l état initial x le système reste indéfiniment dans le même état x. Définition. Un état x X est dit d équilibre en temps infini si pour chaque instant initial t 0 T il existe une fonction d entrée u( ) Ω telle que ϕ(t, t 0, x, u( )) = x, t > t 0 Définition. Une sortie ȳ Y est dite d équilibre en temps infini si pour chaque instant initial t 0 T ils existent un état x et une fonction d entrée u( ) Ω telle que η (t, ϕ(t, t 0, x, u( ))) = ȳ, t > t 0

20 Cours de modélisation et simulation p. 20/64 État d équilibre (exemple) Dans le système réservoir, l état x(t) = 0 est un état d équilibre pour toutes les fonctions d entrée u 1 ( ), u 2 ( ) où d out >= d in. un état quelconque x(t) est un état d équilibre pour toutes les fonctions d entrée u 1 ( ), u 2 ( ) où d out = d in.

21 Cours de modélisation et simulation p. 21/64 Système invariant Un système dynamique invariant (ou stationnaire) est un système où un mouvement obtenu à partir d un état x 0 à l instant t 0 suite à la fonction d entrée u [t0,t)( ) est égal au mouvement obtenu en partant toujours de l état x 0 à un instant de temps t 0 + δ et en appliquant une fonction d entrée u (δ) (t + δ) = u(t) obtenue par translation de u( ). Ceci signifie que les caractéristiques du système ne changent pas avec le temps ou plutôt que les expériences peuvent être reproduites. Les systèmes dynamiques non invariants sont tous les systèmes caractérisés par des changements périodiques ou qui subissent des phénomènes de vieillissement.

22 Cours de modélisation et simulation p. 22/64 Définition. Un système est dit invariant si Système invariant 1. l ensemble T est un groupe additif (pour chaque t 1 T si t 2 T alors t 1 + t 2 T.) 2. pour chaque u( ) Ω et pour chaque δ T, la fonction u (δ) ( ) obtenue de u( ) par translation, c.-à-d. appartient aussi à Ω. u(t) = u (δ) (t + δ) 3. la fonction de transition d état satisfait la propriété ϕ(t, t 0, x 0, u( )) = ϕ(t + δ, t 0 + δ, x 0, u (δ) ( )), δ T 4. la transformation de sortie est indépendante de t y(t) = η(x(t))

23 Cours de modélisation et simulation p. 23/64 États accessibles La notion d accessibilité concerne un couple (x (1), x (2) ) d états. Définition. Un état x (2) est accessible à l instant t 2 à partir d un état x (1) s il existe un instant t 1 < t 2 et une fonction d entrée u( ) Ω telle que ϕ(t 2, t 1, x (1), u( )) = x (2)

24 Cours de modélisation et simulation p. 24/64 Système connexe Parfois il est intéressant de considérer des systèmes où chaque état x (2) à l instant t est accessible à partir de quelconque état x (1). Définition. Un système est dit connexe à l instant t si chaque état x (2) est accessible à l instant t à partir de tous les états x (1) X. Si cette condition est satisfaite pour tous les instants t, alors le système est dit connexe. Notons que dans un système connexe: deux états x (1) et x (2) peuvent être liés par une trajectoire qui va de x (1) à x (2) aussi bien que par une trajectoire qui va de x (2) à x (1). si le système est aussi invariant, il existe au moins une trajectoire fermée (c.-à-d. un cycle) passant par chaque couple d états.

25 Cours de modélisation et simulation p. 25/64 États équivalents Deux états équivalents sont deux états qui ne peuvent pas être distingués quelque soit la fonction d entrée utilisée. Définition. Deux états x (1) et x (2) sont équivalents à l instant t si pour toutes les fonctions d entrée u( ) Ω η(, ϕ(, t, x (1), u( ))) = η(, ϕ(, t, x (2), u( ))) Notons que si x (1) et x (2) sont équivalents, alors aussi les états x (1 ) et x (2 ) obtenus en appliquant la même fonction d entrée à x (1) et x (2) seront également équivalents.

26 Cours de modélisation et simulation p. 26/64 Forme réduite Définition. Un système est dit en forme réduite à l instant t s il n existe pas un couple d états équivalents (x (1), x (2) ) avec x (1) x (2). Si cette condition est vérifiée pour tous les instants t alors le système est en forme réduite

27 Cours de modélisation et simulation p. 27/64 Observabilité et équivalence La notion d équivalence est liée à la notion de l observation de l état. Définition. Un état est dit observable à l instant t 0 s il est possible déterminer un intervalle de temps [t 0, t) et une fonction d entrée u( ) qui puisse permettre la reconstruction de manière univoque de l état x(t 0 ) à partir de 1. u [t0,t)( ), 2. y [t0,t)( ) Si deux états sont équivalents à l instant t 0 il n est pas possible d effectuer la reconstruction de l état x(t 0 ) et donc de distinguer entre x (1) et x (2). Ceci est dû au fait que aucune trajectoire d entrée u [t0,t)( ) ne nous permettrait de observer de différentes y [t0,t)( ) selon que x(t 0 ) = x (1) ou x(t 0 ) = x (2).

28 Cours de modélisation et simulation p. 28/64 Exemple Considérons un système dynamique où x = [x 1, x 2 ] dénote la position d un robot dans une pièce rectangulaire, u = [u 1, u 2 ] sont les vitesses de déplacement horizontale et verticale et y = [y 1, y 2, y 3, y 4 ] sont les quatre valeurs observables par le robot qui correspondent aux valeurs renvoyées par quatre capteurs à ultrason. y 1 y 4 y 2 x 2 y 3 x 1 Est le système connexe? Est-il dans la forme réduite?

29 Cours de modélisation et simulation p. 29/64 Supposons que le robot peut aussi effectuer des rotations? Est il connexe? Est-il dans la forme réduite? y 3 y2 y 4 y 1 x 2 x 1 Supposons que un obstacle soit présent. y 1 y 4 y 2 x 2 y 3 x 1 Est il connexe? Est-il dans la forme réduite?

30 Cours de modélisation et simulation p. 30/64 Systèmes complexes Dans l étude des systèmes complexes il est nécessaire d introduire les notions de sous-système et interconnexion. Un sous-système est un système dynamique qui fait partie d un système plus complexe. Un agrégé de sous-systèmes est donc un système S = (T, U, Ω, X, Y, Γ, ϕ, η) composé par N sous-systèmes S i = (T i, U i, Ω i, X i, Y i, Γ i, ϕ i, η i ) connectés entre eux, soit à travers les sorties soit à travers les entrées. Notons que ce n est pas toujours vrai que en connectant N systèmes dynamiques d une manière quelconque on obtient encore un système dynamique. Ceci n est valable que pour un sous-ensemble de systèmes (par exemple les systèmes linéaires).

31 Cours de modélisation et simulation p. 31/64 Connexion en cascade Définition. Deux systèmes S 1 et S 2 sont dits connectés en cascade quand y 1 = u 2, c.-à-d. quand la sortie du premier système coïncide avec l entrée du deuxième. Pour que il soit possible de connecter deux systèmes en cascades il est nécessaire que les conditions suivantes soient satisfaites: T 1 = T 2, Y 1 U 2, Γ 1 Ω 2

32 Cours de modélisation et simulation p. 32/64 Connexion en cascade u=u1 S1 y1=u2 S2 y=y2

33 Cours de modélisation et simulation p. 33/64 Connexion en cascade Le système dynamique résultant est décrit par les ensembles suivants: T = T 1 = T 2 U = U 1 Ω = Ω 1 X = X 1 X 2 Y = Y 2 Γ = Γ 2 et par les fonctions ϕ = (x 1 (t), x 2 (t)) = = (ϕ 1 (t, t 0, x 1 (t 0 ), u( )), ϕ 2 (t, t 0, x 2 (t 0 ), η 1 (, ϕ 1 (, t 0, x 1 (t 0 ), u( ))) )) } {{ } y 1 (t) η = η 2 (t, x 2 (t))

34 Cours de modélisation et simulation p. 34/64 Connexion en parallèle Définition. Deux système S 1 et S 2 sont dits en parallèle quand u 1 = u 2, c.-à-d. quand ils ont la même entrée. L entrée du système est l entrée commune aux deux sous-systèmes et la sortie est le couple (y 1, y 2 ) des sorties de chacun des sous-systèmes. L état du système résultant est le couple (x 1, x 2 ), où x 1 X 1, x 2 X 2 et x X 1 X 2.

35 Cours de modélisation et simulation p. 35/64 Connexion en parallèle u1 S1 y1 u y2 u2 S2

36 Cours de modélisation et simulation p. 36/64 Systèmes hiérarchiques La combinaison des plusieurs sous-systèmes en cascade et en parallèle peut générer des systèmes de structure complexe. Un exemple est la structure hiérarchique. Dans cette organisation un sous-système à un certain niveau influence seulement les sous-systèmes à plus bas niveau et il est influencé exclusivement par des systèmes de niveau supérieur. Notons que dans cette structure, aucun cycle n est présent.

37 Cours de modélisation et simulation p. 37/64 Systèmes hiérarchiques S3 S1 S4 u S0 S5 S2 S6

38 Cours de modélisation et simulation p. 38/64 Rétroaction Ce genre de connexion est la plus simple connexion qui contient une boucle Nous somme en présence d une boucle de rétroaction quand la sortie y 1 d un système S 1 agit comme entrée u 2 sur un système S 2 dont la sortie va agir de nouveau sur S 1. La rétroaction est appelée négative si un changement de y 1 entraîne un changement de y 2 (et donc de u 1 ) qui s oppose au changement de y 1. La rétroaction est appelée positive si un changement de y 1 entraîne un changement de y 2 (et donc de u 1 ) qui amplifie le changement de y 1. La notion de rétroaction est une des notions les plus fameuses et utiles de la théorie des systèmes. Il nous suffit de penser à l ensemble des systèmes automatiques et de contrôle.

39 Cours de modélisation et simulation p. 39/64 Rétroaction Définition. Deux systèmes S 1 et S 2 sont dits en rétroaction l un sur l autre si u 1 (t) = ψ 2 (y 2 (t), v 1 (t), t) u 2 (t) = ψ 1 (y 1 (t), v 2 (t), t) u1 S1 y1 v2 Mux psi2 psi1 Mux v1 y2 S2 u2

40 Cours de modélisation et simulation p. 40/64 Rétroaction sur l état Le but de la rétroaction est d imposer au système un certain type de comportement en choisissant un u adéquat. Vu que la quantité qui permet de déterminer exactement l évolution du système, une fois l entrée connue, est l état x, il est plus intéressant de rendre l entrée dépendante de l état plutôt que de la sortie. Définition. Un système est dit rétro-actionné sur l état si u(t) = k(x(t), v(t), t) La fonction k est appelée la loi de contrôle. Ce schéma de contrôle suppose l accès ou l observabilité de l état du système. Dans l impossibilité de mesurer l état des schémas alternatifs sont envisageables, comme la combinaison d un estimateur de l état avec un contrôleur.

41 Cours de modélisation et simulation p. 41/64 Rétroaction et climat temperature surface glaciers albedo absorption du rayonnement solaire

42 Cours de modélisation et simulation p. 42/64 Loi de contrôle v Mux u phi x eta x k x

43 Cours de modélisation et simulation p. 43/64 Exemple: régulation manuelle Régulation manuelle de la température d une douche (consigne égale à 40 C). Temperature sortie chaudiére 40 Consigne Ecart K Action vanne [10] y(0) 1 1 z 1 y(t+1)=y(t)+u(t) Saturation 4 Z Retard Temperature perçue Temperature perçue Notons l existence d un retard entre l action entreprise par l opérateur sur la vanne mélangeuse pour modifier la température y(t) et l effet résultant (température au bout du tuyau).

44 Exemple: régulation manuelle (II) Voici l évolution de la température perçue par deux types d opérateurs: un opérateur pressé qui réagit de manière importante à l écart entre la température perçue et celle désirée Temperature Temps et un opérateur modéré qui a des réactions plus mitigées Temperature Temps Cours de modélisation et simulation p. 44/64

45 Cours de modélisation et simulation p. 45/64 Systèmes à temps continu et discret Définition. Un système est dit à temps continu si l ensemble T est l ensemble des nombres réels. Un exemple de système à temps continu est un système qui décrit le niveau d un fleuve. La variable d état change d une manière continue le long du temps. Définition. Un système est dit à temps discret si l ensemble T est un ensemble discret. Les systèmes à temps discrets peuvent être synchrones où les variables du système prennent leur valeurs selon une fréquence préétablie (par exemple T est l ensemble des nombres entiers), asynchrones où les instants de temps suivent une distribution aléatoire. Ces systèmes sont aussi appelés systèmes à évènements discrets. Un exemple de système à temps discret synchrone est un système qui décrit l évolution annuelle du Produit Intérieur Brut (PIB) d une nation. Un exemple de système à évènements discrets est un système qui décrit le nombre de clients dans un banque. La variable d état change sa valeur seulement quand un client entre ou sort de la banque.

46 Cours de modélisation et simulation p. 46/64 Automate Définition. Un automate est un système dynamique invariant à temps discret et avec un espace d état discret, où les ensembles d entrée et de sortie sont finis. Définition. Un automate fini est un automate avec un espace d état fini. Dans la suite nous nous considérerons que des automates finis.

47 Cours de modélisation et simulation p. 47/64 Automate Dans le cas d un système invariant à temps discret, nous pouvons remplacer la fonction de transition et la transformation de sortie par { x(t + 1) = δ(x(t), u(t)) y(t) = η(x(t)) Si les espaces d état, entrée et sortie sont finis, ces fonctions peuvent être aussi représentées par des tableaux et/ou par des graphes.

48 Cours de modélisation et simulation p. 48/64 Tableaux Considérons un automate où X = {x (1), x (2) },U = {u (1), u (2) } et Y = {y (1), y (2) } sont composés par deux éléments chacun. Soient la fonction de transition et la transformation de sortie données par les tableaux suivants x-u u (1) u (2) x (1) x (2) x (1) x (2) x (1) x (2) x(t) y(t) x (1) y (1) x (2) y (2)

49 Graphe de transition Cours de modélisation et simulation p. 49/64

50 Cours de modélisation et simulation p. 50/64 Notons que Graphe de transition le symbole sur chaque arc qui connecte x (i) à x (j) représente la valeur de l entrée qui causes la transition x (i) x (j). la notation x (i) /y (i) signifie que la valeur y (i) Y est émise par l automate pendant que l automate est dans l état x (i) X. le nombre d états est égal au nombre de composants de X. le nombre d arcs qui sortent d un noeud est égal au nombre de composants de U. il est admis que δ(x, u ) = δ(x, u ), u u, c.-à-d. que entrées différentes u et u peuvent déclencher la même transition à partir d un état x. Dans ce cas, les deux valeurs u et u sont notées sur le même arc.

51 Cours de modélisation et simulation p. 51/64 États d équilibre Un état x est dit d équilibre si et seulement si il existe dans le graphe la boucle x x. Une sortie ȳ est d équilibre si et seulement si il existe dans le graphe une boucle qui traverse des noeuds ayant tous la sortie ȳ.

52 États d équilibre Cours de modélisation et simulation p. 52/64

53 Cours de modélisation et simulation p. 53/64 Pour un automate donné, Accessibilité un état x est accessible à partir d un état x s il existe dans le graphe un chemin x x. un automate est connexe ssi le graphe est fortement connexe (c.-à-d. si chaque sommet est accessible à partir de n importe quel autre).

54 Exemple Considérons un système d éclairage composé par deux lampes L 1 et L 2 le système soit contrôlé par un interrupteur u qui peut prendre deux positions U = {u (1), u (2) }. Ω puisse être quelconque séquence de valeurs u (1) et u (2) : en particulier les séquences constantes...,u (1), u (1),... et...,u (2), u (2),... sont admises. le système soit à temps discret et synchrone, par exemple l interrupteur peut être commuté chaque seconde. Donc T = {1, 2, 3,... }. le système ait quatre configurations internes: X = {x (1), x (2), x (3), x (4) }. l observateur puisse distinguer trois configurations d éclairage: y (0) qui correspond à l obscurité, y (1) qui correspond à seul la lampe L 1 allumée, y (2) qui correspond à seul la lampe L 2 allumée. Soit x(t) X la configuration à l instant t: la configuration suivante dépend de x(t) et de la valeur u(t) selon le graphe à gauche dans la page suivante. Soit x(t) X la configuration à l instant t: la sortie y(t) dépend de x(t) selon le graphe à droite dans la page suivante. Cours de modélisation et simulation p. 54/64

55 Cours de modélisation et simulation p. 55/64 Exemple u (1) u (2) x (1) u (1) x (4) x (1) u (2) u (2) x (2) y (1) x u (2) (2) (3) u (1) x u (1) x x (3) (4) y y (2) (0)

56 Exemple Il est possible montrer que le graphe de transition d état nous permet de calculer la fonction de transition ϕ. Par exemple, étant donné l état initial x(t 0 ) = x (1) à l instant t 0 et la fonction d entrée û( ) telle que û(t 0 ) = u (1), û(t 0 + 1) = u (2), û(t 0 + 2) = u (2) il est facile de dériver que x(t 0 + 3) = ϕ(t 0 + 3, t 0, x 0, û( )) = x (2). Il est facile aussi de montrer que cette fonction satisfait les propriétés de consistance, irréversibilité, composition et causalité. En plus le système est stationnaire et déterministe: fixé la condition initiale et la loi d entrée, l état finale est unique. Tous les états et les sorties sont d équilibre. Le système est connexe et en forme réduite. L état est observable en une seule transition. Notons aussi que cette représentation d état n est pas la seule qui garantit cette relation entrée-sortie. On pourrait par exemple obtenir la même relation entrée-sortie en ajoutant des états équivalents redondants. Cours de modélisation et simulation p. 56/64

57 Cours de modélisation et simulation p. 57/64 Exemple u (1) x u (1) x (1) u (1) x (4) u (2) x (1) x u (2) u (2) u (2) x (2) y (1) x u (2) (3) (2) u (1) x u (1) x x (3) (4) y y (2) (0)

58 Cours de modélisation et simulation p. 58/64 Exemple Considérons maintenant l automate suivant: u (1) u (2) x (1) u (1) x (4) x (1) u (2) u (2) x (2) y (1) x u (2) (2) (3) u (1) x u (1) x x (3) (4) y (0) Est-il encore observable? Est-il en forme réduite?

59 Cours de modélisation et simulation p. 59/64 Automates cellulaires Un automates cellulaires est un système dynamique à temps discret synchrone caractérisé par un grand (toutefois fini) nombre de variables d état x ij (ou cellules) disposés sur une grille où i et j représentent la position sur la grille. Chaque cellule x ij prends sa valeur dans un ensemble fini X. La valeur à l instant t + 1 de la cellule x ij est fonction de l état au temps t d un nombre fini de cellules appelé son voisinage. Aucune entrée n est présente. À chaque nouvelle unité de temps, les mêmes règles sont appliquées pour toutes les cellules de la grille, produisant une nouvelle génération de cellules dépendant entièrement de la génération précédente.

60 Cours de modélisation et simulation p. 60/64 Automate cellulaire unidimensionnel L automate cellulaire non-trivial le plus simple que l on puisse concevoir consiste en une grille unidimensionnelle de n cellules x i ne pouvant prendre que deux états (0 ou 1), avec un voisinage constitué, pour chaque cellule, d elle-même et des deux cellules qui lui sont adjacentes. Chacune des cellules pouvant prendre deux états, il existe 2 3 = 8 configurations (ou motifs) possibles d un tel voisinage. Pour que l automate cellulaire fonctionne, il faut définir quel doit être l état, à la génération suivante, d une cellule pour chacun de ces motifs.

61 Cours de modélisation et simulation p. 61/64 Automate cellulaire unidimensionnel Considérons l automate cellulaire défini par n = 22 états binaires (X = {0, 1} 22 ) où x i (0) = { 0 i 11 1 i = 11, i = 1,...,22 et où la règle d évolution est donnée par x i 1 (t) x i (t) x i+1 (t) x i (t + 1)

62 Cours de modélisation et simulation p. 62/64 Automate cellulaire unidimensionnel (II) L état à l instant j est représenté par la jème ligne. L évolution temporelle avance du haut vers le bas

63 Cours de modélisation et simulation p. 63/64 Jeu de la vie Le jeu de la vie est un automate cellulaire bidimensionnel où chaque cellule peut prendre deux valeurs (0 et 1, qui dénotent la vie et la mort, respectivement) et où son état futur est déterminé par son état actuel et par le nombre de cellules vivantes parmi les huit qui l entourent. Une règle simple de transition est 1. Si la cellule est vivante et entourée par deux ou trois cellules vivantes, elle reste en vie à la génération suivante, sinon elle meurt. 2. Si la cellule est morte et entourée par exactement trois cellules vivantes, elle naît à la génération suivante. Il est intéressant de remarquer que ces deux règles, même fort simples, font émerger une dynamique inattendue à partir d une condition initiale aléatoire.

64 Cours de modélisation et simulation p. 64/64 Jeu de la vie (II)

Modélisation et Simulation

Modélisation et Simulation Cours de modélisation et simulation p. 1/83 Modélisation et Simulation G. Bontempi Département d Informatique Boulevard de Triomphe - CP 212 http://www.ulb.ac.be/di Cours de modélisation et simulation

Plus en détail

1 Introduction. CIRCUITS RLC À COURANT ALTERNATIF

1 Introduction. CIRCUITS RLC À COURANT ALTERNATIF PHYSQ 126: Circuits RLC 1 CIRCUITS RLC À COURANT ALTERNATIF 1 Introduction. Le but de cette expérience est d introduire le concept de courant alternatif (en anglais, Alternating Current ou AC) et d étudier

Plus en détail

6.1 Méthode des champs de potentiel

6.1 Méthode des champs de potentiel Chapitre 6 Évitement d obstacles L évitement d obstacles est un comportement de base présent dans quasiment tous les robots mobiles. Il est indispensable pour permettre au robot de fonctionner dans un

Plus en détail

Enveloppes convexes dans le plan

Enveloppes convexes dans le plan ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D ADMISSION FILIÈRE MP HORS SPÉCIALITÉ INFO FILIÈRE PC COMPOSITION D INFORMATIQUE B (XECLR)

Plus en détail

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Pierre Andreoletti IUT d Orléans Laboratoire MAPMO (Bât. de Mathématiques UFR Sciences) - Bureau 126 email: pierre.andreoletti@univ-orleans.fr

Plus en détail

Partie I : Automates et langages

Partie I : Automates et langages 2 Les calculatrices sont interdites. N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire

Plus en détail

Exercices théoriques

Exercices théoriques École normale supérieure 2008-2009 Département d informatique Algorithmique et Programmation TD n 9 : Programmation Linéaire Avec Solutions Exercices théoriques Rappel : Dual d un programme linéaire cf.

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Chapitre 3: Dynamique

Chapitre 3: Dynamique Introduction Le mot dynamique désigne ou qualifie ce qui est relatif au mouvement. Il est l opposé du mot statique. Le mouvement d un point matériel est liée à son interaction avec le monde extérieur ce

Plus en détail

2. Déplacement d une charge ponctuelle dans un champ magnétique uniforme stationnaire

2. Déplacement d une charge ponctuelle dans un champ magnétique uniforme stationnaire Chapitre VII Forces électromagnétiques VII.a. Force de Lorentz La force à laquelle est soumis, à un instant t, un point matériel de charge q, situé en M et se déplaçant à une vitesse v(t) par rapport à

Plus en détail

VI- Des transistors aux portes logiques. Conception de circuits

VI- Des transistors aux portes logiques. Conception de circuits 1 VI- Des transistors aux portes logiques. Conception de circuits Nous savons que l ordinateur traite uniquement des instructions écrites en binaire avec des 0 et des 1. Nous savons aussi qu il est formé

Plus en détail

TP 7 : oscillateur de torsion

TP 7 : oscillateur de torsion TP 7 : oscillateur de torsion Objectif : étude des oscillations libres et forcées d un pendule de torsion 1 Principe général 1.1 Définition Un pendule de torsion est constitué par un fil large (métallique)

Plus en détail

Chap.3 Lentilles minces sphériques

Chap.3 Lentilles minces sphériques Chap.3 Lentilles minces sphériques 1. Les différents types de lentilles minces sphériques 1.1. Les différentes formes de lentilles sphériques 1.2. Lentilles minces Centre optique 1.3. Lentille convergente

Plus en détail

Optimisation de trajectoire pour une mission Ariane 5

Optimisation de trajectoire pour une mission Ariane 5 Optimisation de trajectoire pour une mission Ariane 5 Ludovic Goudenège (sur la base d un projet de Pierre Martinon) ENSTA - Module IN103 Septembre 2012 Plan 1 Quelques données et chiffres 2 Dynamique

Plus en détail

Les graphes d intervalles

Les graphes d intervalles Les graphes d intervalles Complément au chapitre 3 «Vol aux archives cantonales» Considérons un ensemble de tâches ayant chacune une heure de début et une heure de fin bien précises. Supposons qu on demande

Plus en détail

Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle

Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle Chapter 2 Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle Sommaire 2.1 Tribu et événements........................................... 15 2.2 Probabilité................................................

Plus en détail

Modèles à Événements Discrets. Réseaux de Petri Stochastiques

Modèles à Événements Discrets. Réseaux de Petri Stochastiques Modèles à Événements Discrets Réseaux de Petri Stochastiques Table des matières 1 Chaînes de Markov Définition formelle Idée générale Discrete Time Markov Chains Continuous Time Markov Chains Propriétés

Plus en détail

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Sections : L1 Santé - 1 Olivier CAUDRELIER oc.polyprepas@orange.fr Chapitre 1 : Equations aux dimensions 1. Equation aux dimensions a) Dimension

Plus en détail

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté Chapitre 4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 4.1 Introduction Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à

Plus en détail

Hydraulique des terrains

Hydraulique des terrains Hydraulique des terrains Séance 3 : Hypothèses de l écoulement en conduite Guilhem MOLLON GEO3 2012-2013 Plan de la séance A. Cinématique d écoulement -Lignes caractéristiques -Vitesses et débits B. Hypothèse

Plus en détail

Machine de Turing. Informatique II Algorithmique 1

Machine de Turing. Informatique II Algorithmique 1 Machine de Turing Nous avons vu qu un programme peut être considéré comme la décomposition de la tâche à réaliser en une séquence d instructions élémentaires (manipulant des données élémentaires) compréhensibles

Plus en détail

Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option B : Calcul Scientifique

Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option B : Calcul Scientifique Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option (Public2014-B1) Résumé : On présente un exemple de système de deux espèces en compétition dans un environnement périodique.

Plus en détail

L approche Bases de données

L approche Bases de données L approche Bases de données Cours: BD. Avancées Année: 2005/2006 Par: Dr B. Belattar (Univ. Batna Algérie) I- : Mise à niveau 1 Cours: BDD. Année: 2013/2014 Ens. S. MEDILEH (Univ. El-Oued) L approche Base

Plus en détail

Outils Mathématiques 4

Outils Mathématiques 4 Université de Rennes1 Année 5/6 Outils Mathématiques 4 Intégrales de surfaces résumé 1 Surfaces paramétrées éfinition 1.1 Une surface paramétrée dans l espace, est la donnée de trois fonctions de classes

Plus en détail

Points fixes de fonctions à domaine fini

Points fixes de fonctions à domaine fini ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE DE CACHAN ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D ADMISSION 2013 FILIÈRE MP HORS SPÉCIALITÉ INFO FILIÈRE PC COMPOSITION D INFORMATIQUE

Plus en détail

Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires

Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires Master Modélisation et Simulation / ENSTA TD 1 2012-2013 Les méthodes dites de Monte-Carlo consistent en des simulations expérimentales de problèmes

Plus en détail

Plus courts et plus longs chemins

Plus courts et plus longs chemins Plus courts et plus longs chemins Complément au chapitre 8 «Une voiture nous attend» Soit I={1,2,,n} un ensemble de tâches à ordonnancer. La durée d exécution de chaque tâche i est connue et égale à p

Plus en détail

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section : i-prépa Audioprothésiste (annuel) - MATHEMATIQUES 8 : EQUATIONS DIFFERENTIELLES - COURS + ENONCE EXERCICE - Olivier

Plus en détail

RAPPELS DE MATHEMATIQUES. ORTHOPHONIE Première année. Dr MF DAURES

RAPPELS DE MATHEMATIQUES. ORTHOPHONIE Première année. Dr MF DAURES RAPPELS DE MATHEMATIQUES ORTHOPHONIE Première année 27 28 Dr MF DAURES 1 RAPPELS DE MATHEMATIQUES I - LES FONCTIONS A - Caractéristiques générales des fonctions B - La fonction dérivée C - La fonction

Plus en détail

IA54 Compte-rendu «STATIONNEMENT AUTOMATIQUE DE VEHICULE»

IA54 Compte-rendu «STATIONNEMENT AUTOMATIQUE DE VEHICULE» IA54 Compte-rendu «STATIONNEMENT AUTOMATIQUE DE VEHICULE» Henri Payno - Cyril Bailly 1/12/2011 SOMMAIRE 1. Introduction... 3 2. Contraintes... 3 3. Architecture globale... 4 4. Interface... 5 A. Scène

Plus en détail

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE P. Pansu 16 mai 2005 1 Qu est-ce que la topologie? C est l étude des propriétés des objets qui sont conservées par déformation continue. Belle phrase, mais qui nécessite d

Plus en détail

Rappel mathématique Germain Belzile

Rappel mathématique Germain Belzile Rappel mathématique Germain Belzile Note : à chaque fois qu il est question de taux dans ce texte, il sera exprimé en décimales et non pas en pourcentage. Par exemple, 2 % sera exprimé comme 0,02. 1) Les

Plus en détail

Professeur Eva PEBAY-PEYROULA

Professeur Eva PEBAY-PEYROULA UE3-1 : Physique Chapitre 4 : Les ondes Professeur Eva PEBAY-PEYROULA Année universitaire 2010/2011 Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés. IV- Les ondes Finalité du chapitre Pour

Plus en détail

Chapitre 2 : Caractéristiques du mouvement d un solide

Chapitre 2 : Caractéristiques du mouvement d un solide Chapitre 2 : Caractéristiques du mouvement d un solide I Rappels : Référentiel : Le mouvement d un corps est décris par rapport à un corps de référence et dépend du choix de ce corps. Ce corps de référence

Plus en détail

Courant électrique et distributions de courants

Courant électrique et distributions de courants Cours d électromagnétisme Courant électrique et distributions de courants 1 Courant électrique 1.1 Définition du courant électrique On appelle courant électrique tout mouvement d ensemble des particules

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

XII. ASSOCIATIONS DE LENTILLES SPHERIQUES MINCES

XII. ASSOCIATIONS DE LENTILLES SPHERIQUES MINCES page XII- XII. ASSOCIATIONS DE LENTILLES SPHERIQUES MINCES Le but de ce chapitre est de rencontrer quelques-unes des nombreuses associations de lentilles sphériques minces tout en manipulant les connaissances

Plus en détail

ELECTROMAGNETISM EXEMPLES

ELECTROMAGNETISM EXEMPLES EXEMPLES 1. Représentation globale du champ électrique 2. Graphiques et export CSV sous Microsoft Excel 3. Configuration de Helmholtz 4. Condensateur plan 5. Limaille de fer autour d une bobine 6. Trajectoire

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

StatEnAction 2009/10/30 11:26 page 111 #127 CHAPITRE 10. Machines à sous

StatEnAction 2009/10/30 11:26 page 111 #127 CHAPITRE 10. Machines à sous StatEnAction 2009/0/30 :26 page #27 CHAPITRE 0 Machines à sous Résumé. On étudie un problème lié aux jeux de hasard. Il concerne les machines à sous et est appelé problème de prédiction de bandits à deux

Plus en détail

Tension d alimentation : V CC. i C R C R B

Tension d alimentation : V CC. i C R C R B Chapitre 4 Polarisation du transistor bipolaire à jonction 4.1 Le problème de la polarisation 4.1.1 Introduction Dans le chapitre 3, nous avons analysé un premier exemple de circuit d amplification de

Plus en détail

Journées Nationales de l APMEP 2006 MODELISATION MATHEMATIQUE DE PHENOMENES PHYSIQUES, DU COLLEGE AU BTS.

Journées Nationales de l APMEP 2006 MODELISATION MATHEMATIQUE DE PHENOMENES PHYSIQUES, DU COLLEGE AU BTS. Journées Nationales de l APMEP 2006 MODELISATION MATHEMATIQUE DE PHENOMENES PHYSIQUES, DU COLLEGE AU BTS. Problème : (Thème : Primitives, équations différentielles linéaires du 1 er ordre à coefficients

Plus en détail

Principes de la Mécanique

Principes de la Mécanique Chapitre 1 Principes de la Mécanique L expérience a montré que tous les phénomènes observés dans la nature obéissent à des lois bien déterminées. Ces lois peuvent être, en plus, déterministes ou indéterministes.

Plus en détail

Déclassement d'actifs et stock brut de capital

Déclassement d'actifs et stock brut de capital Extrait de : La mesure du capital - Manuel de l'ocde 2009 Deuxième édition Accéder à cette publication : http://dx.doi.org/10.1787/9789264067752-fr Déclassement d'actifs et stock brut de capital Merci

Plus en détail

Supplément théorique Inférence dans les réseaux bayésiens. Rappel théorique. Les processus aléatoires. Les réseaux bayésiens

Supplément théorique Inférence dans les réseaux bayésiens. Rappel théorique. Les processus aléatoires. Les réseaux bayésiens DÉPARTEMENT DE GÉNIE LOGICIEL ET DES TI LOG770 - SYSTÈMES INTELLIGENTS ÉTÉ 2011 Supplément théorique Inférence dans les réseaux bayésiens Rappel théorique Les processus aléatoires La plupart des processus

Plus en détail

Analyse abstraite de missions sous PILOT

Analyse abstraite de missions sous PILOT Analyse abstraite de missions sous PILOT Damien Massé EA 3883, Université de Bretagne Occidentale, Brest damien.masse@univ-brest.fr Résumé Nous étudions la possibilité de réaliser un analyseur par interprétation

Plus en détail

Théorie de l information : historique

Théorie de l information : historique Théorie de l information : historique Développée dans les années quarante par Claude Shannon. Objectif : maximiser la quantité d information pouvant être transmise par un canal de communication imparfait.

Plus en détail

Algorithmique et Analyse d Algorithmes

Algorithmique et Analyse d Algorithmes Algorithmique et Analyse d Algorithmes L3 Info Cours 11 : Arbre couvrant Prétraitement Benjamin Wack 2015-2016 1 / 32 La dernière fois Rappels sur les graphes Problèmes classiques Algorithmes d optimisation

Plus en détail

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer

Plus en détail

Les Conditions aux limites

Les Conditions aux limites Chapitre 5 Les Conditions aux limites Lorsque nous désirons appliquer les équations de base de l EM à des problèmes d exploration géophysique, il est essentiel, pour pouvoir résoudre les équations différentielles,

Plus en détail

Trépier avec règle, ressort à boudin, chronomètre, 5 masses de 50 g.

Trépier avec règle, ressort à boudin, chronomètre, 5 masses de 50 g. PHYSQ 130: Hooke 1 LOI DE HOOKE: CAS DU RESSORT 1 Introduction La loi de Hooke est fondamentale dans l étude du mouvement oscillatoire. Elle est utilisée, entre autres, dans les théories décrivant les

Plus en détail

TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires

TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires I ) Ecrire l'expression analytique des signaux représentés sur les figures suivantes à l'aide de signaux particuliers. Dans le cas du signal y(t) trouver

Plus en détail

Programmation, partiel: sémantique d un tableur

Programmation, partiel: sémantique d un tableur Programmation, partiel: sémantique d un tableur Recommandations. Votre copie (papier ou électronique) devra être lisible et bien structurée. La note tiendra compte autant du fond que de la présentation.

Plus en détail

Mini-projet guidé 09 Octobre 17 Décembre 2015

Mini-projet guidé 09 Octobre 17 Décembre 2015 Projet d Investigation et d Intégration 215-216 1/5 4 OPTIMISTION DU FONCTIONNEMENT D UN SCENSEUR Mini-projet guidé 9 Octobre 17 Décembre 215 Introduction : Le projet «Optimisation du fonctionnement d

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique Analyse et Géométrie Différentielle Première Année I NOMBRES REELS ET COMPLEXES, SUITES ET FONCTIONS 1 Nombres réels et complexes 2 Suites de nombres

Plus en détail

Shadow Manager Simulateur de gestion globale d entreprise. Introduction

Shadow Manager Simulateur de gestion globale d entreprise. Introduction Shadow Manager Simulateur de gestion globale d entreprise Introduction Le logiciel de simulation d entreprise Shadow Manager représente le nec plus ultra des outils pédagogiques de simulation de gestion

Plus en détail

2 Probabilités conditionnelles. Événements indépendants

2 Probabilités conditionnelles. Événements indépendants 2 Probabilités conditionnelles. Événements indépendants 2.1 Probabilité conditionnelle Soient A et B deux événements tels que P(B) > 0. Soit alors P(A B), la probabilité que A se réalise, B étant réalisé.

Plus en détail

M1/UE CSy - module P8 1

M1/UE CSy - module P8 1 M1/UE CSy - module P8 1 PROJET DE SIMULATION AVEC MATLAB RÉGULATION DU NIVEAU ET DE LA TEMPÉRATURE DANS UN BAC En vue de disposer d un volume constant de fluide à une température désirée, un processus

Plus en détail

A propos du calcul des rentabilités des actions et des rentabilités moyennes

A propos du calcul des rentabilités des actions et des rentabilités moyennes A propos du calcul des rentabilités des actions et des rentabilités moyennes On peut calculer les rentabilités de différentes façons, sous différentes hypothèses. Cette note n a d autre prétention que

Plus en détail

DUT Informatique - Module M-4102C Modélisation et construction des applications réparties

DUT Informatique - Module M-4102C Modélisation et construction des applications réparties DUT Informatique - Module M-4102C Modélisation et construction des applications réparties Applications réparties (distributed systems) J. Christian Attiogbé Février 2009, maj 2015 J. Christian Attiogbé

Plus en détail

STI2D : Enseignements Technologiques Transversaux

STI2D : Enseignements Technologiques Transversaux 1) Notion de moment d une force : Les effets d une force sur un solide dépendent de la position de la force par rapport au corps. Pour traduire avec précision les effets d une force, il est nécessaire

Plus en détail

Cours de Mécanique du point matériel

Cours de Mécanique du point matériel Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels

Plus en détail

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale. MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire

Plus en détail

Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités, cas d un univers fini.

Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités, cas d un univers fini. Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités, cas d un univers fini. 1 Introduction Des actions comme lancer un dé, tirer une carte d un jeu, observer la durée de vie d une ampoule électrique, etc...sont

Plus en détail

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes UNIVERSITÉ DE CERG Année 0-03 UFR Économie & Gestion Licence d Économie et Gestion MATH0 : Probabilités Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes Généralités Définition Soit (Ω, P(Ω), P)

Plus en détail

Théorie et codage de l information

Théorie et codage de l information Théorie et codage de l information Mesure quantitative de l information - Chapitre 2 - Information propre et mutuelle Quantité d information propre d un événement Soit A un événement de probabilité P (A)

Plus en détail

LE PROBLEME DU FLOT MAXIMAL

LE PROBLEME DU FLOT MAXIMAL LE PROBLEME DU FLOT MAXIMAL I Exemple d introduction Deux châteaux d'eau alimentent 3 villes à travers un réseau de canalisations au sein duquel se trouvent également des stations de pompage. Les châteaux

Plus en détail

Chapitre 4. Travail et puissance. 4.1 Travail d une force. 4.1.1 Définition

Chapitre 4. Travail et puissance. 4.1 Travail d une force. 4.1.1 Définition Chapitre 4 Travail et puissance 4.1 Travail d une force 4.1.1 Définition En physique, le travail est une notion liée aux forces et aux déplacements de leurs points d application. Considérons une force

Plus en détail

Circuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance

Circuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance Chapitre 5 Circuits RL et RC Ce chapitre présente les deux autres éléments linéaires des circuits électriques : l inductance et la capacitance. On verra le comportement de ces deux éléments, et ensuite

Plus en détail

CHAPITRE 4 FORMES NORMALES SYSTEMES COMPLETS DE CONNECTEURS 1

CHAPITRE 4 FORMES NORMALES SYSTEMES COMPLETS DE CONNECTEURS 1 Université Paris 7 U3MI36 CHAPITRE 4 FORMES NORMALES SYSTEMES COMPLETS DE CONNECTEURS 1 4.1 Formes normales Définitions : 1) Une formule F est sous forme normale disjonctive si et seulement si il existe

Plus en détail

TP Numéro 1. AUTOMATIQUE LOGIQUE (programmation et simulation) Durée: 2 heures

TP Numéro 1. AUTOMATIQUE LOGIQUE (programmation et simulation) Durée: 2 heures TP Numéro 1 AUTOMATIQUE LOGIQUE (programmation et simulation) Durée: 2 heures On considère dans ce sujet un dispositif de remplissage de bacs. Le dispositif concerné est représenté sur la figure ci-dessous,

Plus en détail

Epreuve d électronique de puissance F. Costa, G. Coquery (Durée 3h, calculatrice et documents autorisés 1 )

Epreuve d électronique de puissance F. Costa, G. Coquery (Durée 3h, calculatrice et documents autorisés 1 ) Epreuve d électronique de puissance F. Costa, G. Coquery (Durée 3h, calculatrice et documents autorisés 1 ) Présentation du sujet La recherche de miniaturisation est actuellement un domaine important dans

Plus en détail

INTRODUCTION. A- Modélisation et paramétrage : CHAPITRE I : MODÉLISATION. I. Paramétrage de la position d un solide : (S1) O O1 X

INTRODUCTION. A- Modélisation et paramétrage : CHAPITRE I : MODÉLISATION. I. Paramétrage de la position d un solide : (S1) O O1 X INTRODUCTION La conception d'un mécanisme en vue de sa réalisation industrielle comporte plusieurs étapes. Avant d'aboutir à la maquette numérique du produit définitif, il est nécessaire d'effectuer une

Plus en détail

Concours CASTing 2011

Concours CASTing 2011 Concours CASTing 2011 Épreuve de mécanique Durée 1h30 Sans calculatrice Le candidat traitera deux exercices parmi les trois proposés dans le sujet. Dans le cas où les trois exercices seraient traités partiellement,

Plus en détail

Module OMGL - UE ModDyn

Module OMGL - UE ModDyn Module OMGL - UE ModDyn Modélisation de la dynamique / Réseaux de Petri J. Christian Attiogbé Février 2009, maj 2012 J. Christian Attiogbé (Février 2009, maj 2012) Module OMGL - UE ModDyn 1 / 34 Plan de

Plus en détail

Machine synchrone autopilotée : application aux asservissements : moteur brushless

Machine synchrone autopilotée : application aux asservissements : moteur brushless Machine synchrone autopilotée : application aux asservissements : moteur brushless Cours non exhaustif destiné aux étudiants de BTS maintenance industrielle (les textes en italiques ne sont pas à être

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

9. Distributions d échantillonnage

9. Distributions d échantillonnage 9. Distributions d échantillonnage MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2015 (v3) MTH2302D: distributions d échantillonnage 1/46 Plan 1. Échantillons aléatoires 2. Statistiques et distributions

Plus en détail

Fiche technique expérimentale 5. Notions sur l acquisition numérique

Fiche technique expérimentale 5. Notions sur l acquisition numérique Fiche technique expérimentale 5 Notions sur l acquisition numérique D.Malka MPSI 2014-2015 Lycée Saint-Exupéry Ce bref guide traite de quelques éléments important sur l acquisition numérique des signaux

Plus en détail

1 Questionnaire à choix multiples

1 Questionnaire à choix multiples EXAMEN FINAL mercredi 19 janvier 2011, Durée h00 Pierre Fleckinger Une attention particulière doit être portée à la rédaction et à l explication des calculs faits. Utiliser un feuillet simple pour le QCM

Plus en détail

Cours d analyse 1ère année. Rhodes Rémi

Cours d analyse 1ère année. Rhodes Rémi Cours d analyse 1ère année Rhodes Rémi 10 décembre 2008 2 Table des matières 1 Propriétés des nombres réels 5 1.1 Sous-ensembles remarquables de R........................ 5 1.2 Relations d ordre..................................

Plus en détail

Principes de Finance

Principes de Finance Principes de Finance 13. Théorie des options II Daniel Andrei Semestre de printemps 2011 Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2011 1 / 34 Plan I Stratégie de réplication dynamique

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

5 Principes de Newton

5 Principes de Newton 5 Principes de Newton En 1687, Newton 3 énonce ses fameuses trois lois fondamentales de la mécanique concernant les mouvements des corps. 5.1 Première loi de Newton : le principe d inertie Dans la section

Plus en détail

Galiléo. Galiléo : le système européen de positionnement par satellite

Galiléo. Galiléo : le système européen de positionnement par satellite Galiléo Voici quelques informations sur une situation concrète où le caractère relatif du temps est à prendre en compte. Plutôt que sur le système américain GPS, pourquoi ne pas travailler autour du système

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Fonctions homographiques On donne ci-dessous deux définitions des fonctions homographiques, et on montre que ces deux définitions sont équivalentes. On décrit la courbe représentative d une fonction homographique.

Plus en détail

VIII- Circuits séquentiels. Mémoires

VIII- Circuits séquentiels. Mémoires 1 VIII- Circuits séquentiels. Mémoires Maintenant le temps va intervenir. Nous avions déjà indiqué que la traversée d une porte ne se faisait pas instantanément et qu il fallait en tenir compte, notamment

Plus en détail

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01 Eo7 Dérivée d une fonction Vidéo partie. Définition Vidéo partie. Calculs Vidéo partie 3. Etremum local, théorème de Rolle Vidéo partie 4. Théorème des accroissements finis Eercices Fonctions dérivables

Plus en détail

Épreuve de mathématiques Terminale ES 200 minutes

Épreuve de mathématiques Terminale ES 200 minutes Examen 2 Épreuve de mathématiques Terminale ES 200 minutes L usage de la calculatrice programmable est autorisé. La bonne présentation de la copie est de rigueur. Cet examen comporte 7 pages et 5 exercices.

Plus en détail

Un peu de mécanique. Chaos iii. La pomme et la lune http://www.chaos-math.org

Un peu de mécanique. Chaos iii. La pomme et la lune http://www.chaos-math.org Un peu de mécanique Chaos iii. La pomme et la lune http://www.chaos-math.org Chaos est un film mathématique constitué de neuf chapitres de treize minutes chacun. Il s agit d un film tout public autour

Plus en détail

Modélisation et Simulation

Modélisation et Simulation Cours de modélisation et simulation p. 1/54 Modélisation et Simulation G. Bontempi Département d Informatique Boulevard de Triomphe - CP 212 http://www.ulb.ac.be/di Cours de modélisation et simulation

Plus en détail

3.1 Circulation du champ d une charge ponctuelle A(Γ)

3.1 Circulation du champ d une charge ponctuelle A(Γ) Chapitre 3 Le potentiel électrostatique Le champ électrostatique peut être caractérisé simplement à l aide d une fonction que nous appellerons potentiel électrostatique. Cette fonction scalaire est souvent

Plus en détail

Chapitre I. Calcul vectoriel. Nous nous placerons dorénavant toujours dans une base orthonormée directe.

Chapitre I. Calcul vectoriel. Nous nous placerons dorénavant toujours dans une base orthonormée directe. Chapitre I INTRODUCTION ATHÉATIQUE I.A. I.A.1. Calcul vectoriel Produit vectoriel Plaçons-nous dans un espace vectoriel euclidien à trois dimensions. En faisant subir des rotations identiques aux trois

Plus en détail

Le transistor bipolaire

Le transistor bipolaire IUT Louis Pasteur Mesures Physiques Electronique Analogique 2ème semestre 3ème partie Damien JACOB 08-09 Le transistor bipolaire I. Description et symboles Effet transistor : effet physique découvert en

Plus en détail

ELECTROTECHNIQUE. Chapitre 5 Bobines couplées magnétiquement Inductances mutuelles. Électromagnétisme. Michel PIOU. Édition: 01/06/2010

ELECTROTECHNIQUE. Chapitre 5 Bobines couplées magnétiquement Inductances mutuelles. Électromagnétisme. Michel PIOU. Édition: 01/06/2010 ELECTROTECHNIQUE Électromagnétisme Michel PIOU Chapitre 5 Bobines couplées magnétiquement Inductances mutuelles Édition: 0/06/00 Extrait de la ressource en ligne MagnElecPro sur le site Internet Table

Plus en détail

Propositions de Projets

Propositions de Projets Master1 IS 2012_2013 Spécialité Imagerie Numérique Propositions de Projets Voici les intitulés et responsables des projets proposés : Simulation réaliste du comportement d'organes à tissus mous. Sujet

Plus en détail

Principes généraux de codage entropique d'une source. Cours : Compression d'images Master II: IASIG Dr. Mvogo Ngono Joseph

Principes généraux de codage entropique d'une source. Cours : Compression d'images Master II: IASIG Dr. Mvogo Ngono Joseph Principes généraux de codage entropique d'une source Cours : Compression d'images Master II: IASIG Dr. Mvogo Ngono Joseph Table des matières Objectifs 5 Introduction 7 I - Entropie d'une source 9 II -

Plus en détail