Précision d un résultat et calculs d incertitudes

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1 Précision d un résultat et calculs d incertitudes PSI* Lycée Chaptal

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3 3 Table des matières Table des matières 1. Présentation d un résultat numérique Notations a) Notation scientifique b) Notation ingénieur Chiffres significatifs a) Nombre de chiffres significatif d un résultat numérique b) Précision d un résultat numérique Chiffres significatifs et opérations Présentation d un résultat expérimental Résultat d une mesure Chiffres significatifs du résultat d une mesure Incertitudes des mesures Erreur systématique et erreur aléatoire Calculs classiques d incertitude a) Méthode b) Incertitude liée à un appareil de mesure c) Critiques d) Intérêts des calculs d incertitudes classiques e) Exemple de calcul : célérité d une onde ultrasonore Analyse statistique d une série de mesures Mesures indépendantes Loi gaussienne Exploitation statistique d une série de mesures a) Estimations de la valeur exacte et de l écart-type b) Intervalle de confiance (méthode de Student) Intérêt de choisir la moyenne comme estimateur de la grandeur mesurée Exemple

4 1. Présentation d un résultat numérique 1. Présentation d un résultat numérique Notations a) Notation scientifique La notation (ou écriture) scientifique est une représentation d un nombre réel sous la forme d un produit de deux facteurs. Le premier facteur est un nombre décimal dont la valeur absolue de la partie entière est un chiffre comprise entre 1 et 9. Le second facteur est une puissance entière de 10. Exemple : T = 298 K s écrit en notation scientifique T = 2, K. b) Notation ingénieur La notation ingénieur consiste à exprimer un nombre réel sous la forme x 10 n, où x est un nombre compris entre 1 et 999 et n est un entier multiple de 3. Exemple : U = 0, 045 V s écrit en notation ingénieur U = V = 45 mv. 1.2 Chiffres significatifs a) Nombre de chiffres significatif d un résultat numérique Dans un résultat numérique, tous les chiffres autre que zéro sont significatifs. Les zéros sont significatifs lorsqu ils se trouvent entre d autres chiffres ou à leur droite ; ils ne le sont pas lorsqu ils se trouvent à leur gauche. Exemples : 3, 2 contient 2 chiffres significatifs ; 3, 20 contient 3 chiffres significatifs ; 0, 32 contient 2 chiffres significatifs ; 3200 contient 4 chiffres significatifs. Signalons qu un nombre entier naturel est considéré comme possédant un nombre illimité de chiffres significatifs ; il en est de même de son inverse. b) Précision d un résultat numérique La précision d un résultat numérique augmente avec le nombre de chiffres significatifs exprimé. Le dernier chiffre est alors incertain. Exemples : L = 12, 597 km = 12, m (5 chiffres significatifs) signifie que 12596, 5 m < L < 12597, 5 m ; L = 12, 60 km = 12, m (4 chiffres significatifs) signifie que m < L < m ; L = 12, 6 km = 12, m (3 chiffres significatifs) signifie que m < L < m.

5 5 2. Présentation d un résultat expérimental 1.3 Chiffres significatifs et opérations Il faut toujours arrondir le résultat final fourni par la calculatrice afin de l exprimer avec une précision égale à celle de la donnée utilisée la moins précise. Par exemple, le résultat de la multiplication 36, 54 58, 4 = 2133, 936 doit être arrondi à 2, , car la données la moins précise (58, 4) contient 3 chiffres significatifs. De même, après une addition ou une soustraction, le résultat ne doit pas avoir plus de décimales que le nombre qui en comporte le moins : 220, , , 51 = 1175, 804 doit être arrondi à 1175, Présentation d un résultat expérimental 2.1 Résultat d une mesure Considérons une grandeur physique A dont la valeur exacte est notée a e. Une mesure n étant jamais parfaite, la valeur a e n est pas accessible par l expérience, il s agit d une valeur inconnue pour l expérimentateur. Une mesure est en effet toujours entachée d erreurs dont les causes sont multiples : matériel employé, qualification de l expérimentateur effectuant la mesure, méthode utilisée, influence de l environnement de la grandeur mesurée... Pour chaque mesure d une grandeur physique A, il faut idéalement présenter le résultat de la mesure sous la forme d un intervalle : où A = â ± a â est l estimateur de la valeur exacte a e ; ε a = â a e représente alors l erreur commise sur la mesure de A ; a est l incertitude sur la mesure de A telle que la probabilité p pour que l intervalle numérique [â A ; â+ A] contienne la valeur exacte a e soit assez élevée (par exemple p = 95%). Exemple : U = 2, 48±0, 02 V signifie que la valeur exacte de la tension U a une probabilité élevée d appartenir à l intervalle [2, 46 V ; 2, 50 V]. 2.2 Chiffres significatifs du résultat d une mesure On expliquera dans les prochains chapitres la manière d évaluer l incertitude d une mesure. Mais retenons d ores et déjà les règles d écriture du résultat d une mesure, règles qui découlent des conséquences des arrondis de â et a sur les variations tolérables de l intervalle de mesure.

6 3. Incertitudes des mesures 6 On exprimera l incertitude a avec au plus 2 chiffres significatifs. On conservera pour l estimateur â les chiffres significatifs qui interviennent dans a. Exemple : le résultat U = 2, 5785 ± 0, 0127 V devra être mis sous la forme finale U = 2, 578 ± 0, 013 V. En l absence de calcul d incertitude, le résultat d une mesure sera écrit avec au plus 3 chiffres significatifs. En effet, avec le matériel utilisé au lycée, la précision est en général de l ordre de 1%, ce qui conduit à écrire les résultats des mesures avec 2 ou 3 chiffres significatifs. 3. Incertitudes des mesures 3.1 Erreur systématique et erreur aléatoire Une erreur systématique affecte le résultat constamment et toujours dans le même sens, elle contribue à toujours surévaluer, ou toujours sous-évaluer, la valeur mesurée. Exemples de causes d erreurs systématiques Mauvais étalonnage d un appareil. Mauvais réglage du zéro d un appareil (balance par exemple). Vieillissement des composants. Le protocole expérimental peut introduire une erreur systématique. Par exemple, si l on desire mesurer à la fois la tension aux bornes d un dipôle et le courant qui le traverse, on peut réaliser deux montages possibles : Montage longue dérivation : V Montage courte dérivation : V A dipôle A dipôle E E

7 7 3. Incertitudes des mesures Ces deux montages introduisent des erreurs systématiques. Dans le montage longue dérivation, le voltmètre mesure la somme des différences de potentiel du dipôle et de l ampèremètre. Dans le montage courte dérivation, l ampèremètre mesure la somme des courants traversant le dipôle et le voltmètre. Notons que pour des multimètres numériques, le montage courte-dérivation est à privilégier car le courant traversant un voltmètre numérique est très faible (résistance interne de l ordre de 10 MΩ) alors que la chute de tension due à un ampèremètre numérique n est pas négligeable. Une erreur est aléatoire lorsque, d une mesure à l autre, la valeur obtenue peut être surévaluée ou sous-évaluée par rapport à la valeur exacte de la grandeur. Exemples de causes d erreurs aléatoires Un exemple d erreur aléatoire est la mesure du temps avec un chronomètre. L erreur vient du temps de réaction de l expérimentateur au démarrage et à l arrêt du chronomètre. Comme ce temps de réaction n est pas toujours le même, la valeur mesurée peut être surévaluée ou sous-évaluée. Parasites du circuit d alimentation en électronique. Fluctuations des paramètres physiques de l environnement (température, pression, humidité de l aire...). Remarque : une erreur donnée peut, suivant les conditions, apparaître comme systématique ou aléatoire. Considérons par exemple le cas de l erreur de parallaxe 1 : si l opérateur se place toujours sous le même angle par rapport à la perpendiculaire à la graduation d un appareil de mesure, il introduira une erreur systématique dans ses lectures. Par contre, s il se place de manière aléatoire par rapport à la perpendiculaire à la graduation, l erreur de parallaxe sera aléatoire. 3.2 Calculs classiques d incertitude a) Méthode Soit une grandeur A = f(x, y, z) où x, y et z représentent les mesures primaires. L incertitude sur la grandeur A peut être exprimée en donnant : soit l incertitude absolue A ; soit l incertitude relative A/A. Expression de la différentielle de f : df = f f f dx + dy + x y z dz. On note x, y et z, les incertitudes absolues sur les mesures primaires. La quantité 1 l erreur de parallaxe est l angle entre la direction du regard d un observateur et la perpendiculaire à la graduation d un appareil de mesure, amenant à une erreur de lecture de la mesure effectuée.

8 A = f x x + f y y + f z z donne une estimation de l incertitude de mesure sur la grandeur A. Règles de calcul classiques : A = x + y + z = A = x + y + z ; A = x m y n = A A = m x x + n y y. b) Incertitude liée à un appareil de mesure 3. Incertitudes des mesures 8 Afin d évaluer l incertitude liée à un appareil de mesure, on peut utiliser les indications du constructeurs (notice). Cette procédure demeure valable si l appareil est régulièrement ré-étalonné. Pour un appareil à aiguille, il est préférable de l utiliser, si possible, pas trop loin de la pleine échelle afin d obtenir une incertitude relative faible. Un appareil à aiguille de classe p signifie qu il introduit une incertitude relative de p % sur une mesure égale au calibre. Exemple : un appareil de classe 2 comportant 150 divisions introduira une incertitude absolue de soit 3 divisions et ceci quelle que soit l amplitude de 100 la déviation. Pour les appareils numériques, l incertitude absolue comprend souvent un pourcentage de la valeur mesurée plus un terme constant. Par exemple, la notice d un voltmètre donne comme information sur l incertitude : 0, 5% +1 digit (c est-à-dire 1 unité sur le dernier chiffre). Mesurons une même tension U en utilisant deux calibres différents. Affichage du voltmètre sur le calibre 200 mv : 150,0. L incertitude de mesure vaut alors : U = 0, 5 150, 0 + 0, 1 soit U = 0, 85 mv ; 100 Affichage du voltmètre sur le calibre 20 V : 00,15. L incertitude de mesure vaut alors : U = 0, , , 01 = 1, V soit U = 10, 75 mv ; On pourra retenir qu il faut utiliser le plus petit calibre possible (ici 200 mv) pour bénéficier du maximum de précision lors de la mesure. c) Critiques Cette étude ne prend pas en compte toutes les causes d erreur. Par exemple, lors de l étude de la résonance d un circuit RLC, il faut apprécier la fréquence pour laquelle le courant passe par un maximum. Cette imprécision est, en général, très supérieure à celle déduite de l indication d un fréquencemètre. Les incertitudes sur les mesures primaires sont souvent estimées de manière empirique, à moins de disposer de la notice des appareils de mesure.

9 9 3. Incertitudes des mesures Le niveau de confiance qu on peut accorder aux diverses incertitudes n est pas précisé. On suppose qu il est proche de 100%. Pour garder un tel niveau de confiance, le calcul considère que toutes les erreurs vont dans le mauvais sens (d où les valeurs absolues dans les calculs) et cela conduit à des incertitudes assez grandes. d) Intérêts des calculs d incertitudes classiques Les calculs d incertitudes classiques ont tout de même des qualités. Ils permettent de voir les grandeurs sur lesquelles devra porter l amélioration de la précision. Exemple : la loi pour la chute libre g = 2h/t 2 montre qu une erreur sur la mesure du temps t aura plus de répercussion qu une erreur sur la hauteur h. Ils fournissent un ordre de grandeur correct. En particulier, s il s agit de mesurer une même grandeur par plusieurs méthodes, il est utile de pouvoir dire quelle est la plus précise. Au final, il est nécessaire d adapter le nombre de chiffres significatifs d une mesure à son incertitude (cf. chapitre 2). e) Exemple de calcul : célérité d une onde ultrasonore La mesure de la longueur d onde λ d une onde ultrasonore fournit le résultat : λ = 8, 630 ± 0, 018 mm. D où l incertitude relative sur λ : λ λ = 0, 018 8, 630 = 2, La notice de l émetteur de l onde ultrasonore fournit comme valeur de la fréquence f 0 = 40, 0 khz, par conséquent Hz < f 0 < Hz. L incertitude relative sur la fréquence a donc pour valeur : f 0 f 0 = 50 40, = 1, Valeur de la célérité de l onde : c = λf 0 = 345, 24 m s 1. En différentiant de façon logarithmique la relation c = λf 0, on obtient l incertitude relative puis absolue sur c : c c = λ λ + f 0 f 0 = 3, soit c = 1, 1 m s 1. D où la valeur expérimentale de la mesure de la célérité : c = 345, 2 ± 1, 1 m s 1.

10 4. Analyse statistique d une série de mesures Analyse statistique d une série de mesures L analyse statistique représente une autre alternative pour les calculs d incertitudes. Cette démarche s applique aux erreurs aléatoires. 4.1 Mesures indépendantes Des mesures sont considérées comme indépendantes si elles sont effectuées par des manipulateurs différents sur des appareillages différents (mais du même type) en suivant le même protocole. Exemple : mesure d une grandeur physique d un même objet par différents groupes de TP équipés du même type de matériel. Dans le cas contraire (manipulateurs utilisant successivement le même matériel ou manipulateur unique utilisant successivement plusieurs appareils), les mesures sont dites corrélées. 4.2 Loi gaussienne Supposons que nous disposions d un grand nombre n de mesures indépendantes x i d une même grandeur X. On note x, la moyenne arithmétique de ces mesures : n i=1 x = x i. n En l absence d erreur systématique, on estime que la moyenne x des mesures tend vers la valeur exacte x e lorsque n tend vers l infini : lim x = x e. n On note P (x) la distribution de probabilité associée à la variable aléatoire x : la quantité P (x)dx représente alors la probabilité de trouver la valeur de la mesure dans l intervalle [x; x + dx]. Dans un grand nombre de situations, la probabilité de trouver une valeur x en mesurant la grandeur X, obéit à une loi de Gauss : P (x) = 1 [ σ 2π exp (x x ] e) 2 (expression non exigible) 2σ 2 où la quantité σ est appelé écart-type quadratique moyen ; la constante 1/σ 2π permet de normaliser la loi de probabilité : P (x)dx = 1. Cette loi est très répandue car il suffit que les causes des erreurs aléatoires soient multiples et d importance comparable pour qu elle soit vérifiée.

11 11 4. Analyse statistique d une série de mesures La valeur exacte de X représente la moyenne de cette distribution de probabilité : x e = x = xp (x)dx. L écart-type quadratique moyen vérifie la relation σ = (x x e ) 2 = (x x e ) 2 P (x)dx. La probabilité qu une mesure x i tombe dans l intervalle [x e 2σ, x e + 2σ] est xe+2σ x e 2σ P (x)dx = 0, 954. Le tableau suivant donne la probabilité qu une mesure x i tombe dans un intervalle centré sur la valeur exacte x e : Intervalle de confiance Probabilité [x e σ, x e + σ] 68% [x e 1, 96σ, x e + 1, 96σ] 95% [x e 2σ, x e + 2σ] 95, 4% [x e 2, 58σ, x e + 2, 58σ] 99% [x e 3σ, x e + 3σ] 99, 7% P(x) σ 2 x e 2σ 3σ x

12 4. Analyse statistique d une série de mesures Exploitation statistique d une série de mesures Comme expérimentalement, on n a souvent qu un petit nombre n de mesures indépendantes (n variant de 5 à 20 par exemple), on n a accès ni à x e, ni à σ mais seulement à une estimation de ces grandeurs. a) Estimations de la valeur exacte et de l écart-type Les mathématiques permettent de montrer que le meilleur estimateur x de la valeur exacte x e (valeur moyenne de la distribution P (x)) est la moyenne arithmétique des n mesures indépendantes, de qualité comparable (donc après avoir écarté les mesures manifestement aberrantes, signes d un incident de manipulation) : x = x = n i=1 x i n. On admettra également que le meilleur estimateur de σ est donné par l écart-type expérimental de la série de mesure : σ n 1 = n i=1 (x i x) 2 n 1. Propriété : lim σ n 1 = σ. n Remarque : repérer σ n 1 dans la liste des fonctions pré-programmées de vos calculatrices 1. b) Intervalle de confiance (méthode de Student) Dans l hypothèse où toute erreur systématique a été écartée et où les mesures individuelles x i sont réparties selon une loi gaussienne, il est possible d approcher la valeur exacte x e de la grandeur X avec une certaine probabilité. Soit t n,p un coefficient, appelé coefficient de Student, dépendant du nombre n de mesures et du degré de probabilité souhaité (p %). La valeur exacte x e a alors une probabilité de p % de se trouver dans l intervalle défini ci-dessous, appelé intervalle de confiance : [ ] σ n 1 σ x t n,p n 1 ; x + t n,p. n n Par conséquent : X = ˆx ± x avec x = x = n i=1 x i n et x = t n,p σ n 1 n. 1 la notation de cette fonction peut changer d une calculatrice à l autre, σ n 1 est parfois noté S n ou S x

13 13 4. Analyse statistique d une série de mesures Le coefficient t n,p est tabulé en fonction du nombre de mesures n pour différents niveaux de confiance p. Par exemple, pour p = 95% et p = 99%, on a n t n,95% 4, 30 3, 18 2, 78 2, 57 2, 45 2,37 2,31 2,26 2,23 2,20 t n,99% 9, 93 5, 84 4, 60 4, 03 3, 71 3,50 3,36 3,25 3,17 3,11 n t n,95% 2,18 2,16 2,14 2,13 2,12 2,11 2,10 2,09 2,09 2,08 t n,99% 3, 05 3, 01 2,98 2,95 2,92 2,90 2,88 2,86 2,85 2,83 Limites des coefficients de Student pour les niveaux de confiance p = 95% et p = 99% : lim t n,95% = 1, 96 et lim t n,99% = 2, 58. n + n + Commentaires Pour un même nombre n de mesures indépendantes, le coefficient de Student t n,p augmente avec le niveau de confiance p souhaité. Pour un même niveau de confiance p donné, t n,p décroît lorsque n augmente. Mais les variations de t n,p avec n sont assez faibles. Par exemple, pour n 10, on a : 1, 96 t n,95% 2, 26 et 2, 58 t n,99% 3, 25. Le coefficient de Student t n,p variant assez faiblement avec n, la largeur de l intervalle de confiance, liée à la précision de la mesure, x = t n,p σ n 1 n dépend donc essentiellement du facteur n qui divise σ n Intérêt de choisir la moyenne comme estimateur de la grandeur mesurée Cas d une mesure unique. Nous avons établis que la probabilité pour qu une mesure unique x i appartienne à l intervalle [x e 1, 96σ, x e + 1, 96σ] est de 95%. Cas d une série de mesure. Pour n 20, la valeur exacte x e a une probabilité de 95% d appartenir à l intervalle [ ] σ n 1 σ x t n,95 n 1 ; x + t n,95 avec t n,95% 2. n n σ n 1 étant un bon estimateur de σ, le fait de choisir la moyenne arithmétique x comme estimateur de la grandeur mesurée permet donc de diminuer l incertitude sur la mesure d un facteur n par rapport à une mesure unique.

14 4. Analyse statistique d une série de mesures 14 Dans le cas où les coefficients de Student ne sont pas fournis, on pourra écrire le résultat d une série de mesures sous la forme (valable pour n 10) : X = ˆx ± x avec x = x = n i=1 x i n et x 2 σ n 1 n pour p 95%. 4.5 Exemple Série de mesures (n = 6) de l intensité du champ de pesanteur g (m s 2 ) : Valeur moyenne de g : g = 9, m s 2. Méthode de Student : 9, 68 ; 9, 85 ; 9, 85 ; 9, 77 ; 9, 87 ; 9, 79. σ n 1 = 7, ; t n,95% = 2, 57 pour n = 6 mesures. Incertitude sur la moyenne : g = 2, 57 Résultat de la série de mesures : Intervalle de confiance à 95% : 7, = 0, 075 m s 2. g = 9, 802 ± 0, 075 m s 2. [9, 802 0, 075 ; 9, , 075] = [9, 727 ; 9, 877]. - - FIN - -

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