Dérivation : cours. Dérivation dans R

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Dérivation : cours. Dérivation dans R"

Transcription

1 TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I. On dit que f est dérivable en a si l une des propositions suivantes équivalentes est réalisée :. La fonction f(a+) f(a) a une limite finie l en Il eiste un réel l et une fonction ǫ tels que pour tout réel tel que a+ I, f(a+) = f(a)+l+ǫ() avec lim 0 ǫ() = 0 Le nombre l est appelé le nombre dérivé de la fonction f en a; il est noté f (a). Si f est dérivable en tout point de I, on dit que f est dérivable sur I. La fonction qui à tout de I associe le nombre dérivé f () est la fonction dérivée de f. Remarques :. Équivalence des deu propositions : Supposons que la fonction f(a+) f(a) a une limite finie l en 0. On a donc : f(a+) f(a) lim = l 0 Pour 0, on pose ǫ() = f(a+) f(a) l. On a donc lim ǫ() = 0. 0 De plus, ǫ() = f(a+) f(a) l et par conséquent, Réciproquement, si alors pour 0, Or, lim 0 ǫ() = 0, donc f(a+) = f(a)+l+ǫ() f(a+) = f(a)+l+ǫ() avec lim 0 ǫ() = 0 f(a+) f(a) = l+ǫ() f(a+) f(a) lim = l 0 2. Soit C la courbe représentative d une fonction f dérivable en a. f(a) f()=f(+) M A Le nombre : f(a+) f(a) est appelé tau d accroissement (ou accroissement moyen) de la fonction f entre a et a+. Soient A(a;f(a)) et M(a+;f(a+)) deu points de C. La droite (AM) a pour coefficient directeur : f(a+) f(a) a+ a = f(a+) f(a) C Le coefficient directeur de (AM) est donc le tau d accroissementdef entreaeta+.lorsquetendvers0,cecoefficient directeur tend vers le nombre f (a). =a+ a Lorsque tend vers 0, le point M se rapproce du point A. La droite (AM) devient alors tangente à la courbe C au point d abscisse a. Le nombre f (a) est donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse a. La première proposition du téorème peut donc s écrire : le tau d accroissement de f en a admet une limite finie en 0.

2 3. f(a+) = f(a)+f (a) +ǫ() avec lim 0 ǫ() = 0 est appelé développement limité à l ordre de la fonction f en a. 4. En posant le cangement de variable = a+, les deu propositions équivalentes s écrivent : 5. Cette dernière égalité peut s écrire f() f(a) lim = l a a f() = f(a)+f (a)( a)+( a)ǫ( a) avec lim a ǫ( a) = 0 f() f(a) = f (a)( a)+( a)ǫ( a) avec lim a ǫ( a) = 0 Avec les notations des pysiciens, à savoir = a et y(a) = f() f(a), cette égalité s écrit : y(a) = f (a) + ǫ( ) Or, lim ǫ( ) = 0. Lorsque devient infinitésimal, on écrit symboliquement cette égalité sous la forme : 0 Cette écriture est appelée notation différentielle. dy = f (a)d ou encore f (a) = df dy (a) = d d (a) 6. Si f représente la loi oraire d un mobile en déplacement,la vitesse moyenne du mobile entre les instants t 0 et t 0 + est : variation de la distance variation du temps = f(t 0 +) f(t 0 ) La vitesse instantannée du mobile est alors obtenue en faisant tendre vers 0. Cette vitesse instantannée est donc : f(t 0 +) f(t 0 ) lim = f (t 0 ) 0 Donc si f est la loi oraire d un mouvement, f (t 0 ) représente la vitesse instantannée à l instant t 0. Savoir-faire : page 03 Eercice : À l aide de la définition, montrer que la fonction racine carrée est dérivable sur ]0;+ [ et que la fonction valeur absolue est dérivable sur R. 2 Tangente. Si la fonction f est dérivable en a, la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse a a pour équation : Lorsque f (a) = 0, la tangente est orizontale. y = f (a)( a)+f(a) f() f(a) 2. Si lim = + ou, alors f n est pas dérivable en a, mais la droite d équation = a est tangente a a verticale à la courbe représentative de f au point d abscisse a. f() f(a) 3. Si lim a une limite finie à droite (resp. à gauce), on dit alors que f est dérivable à droite (resp. à gauce). a a On a alors une demi-tangente (comme la fonction valeur absolue qui admet deu demi-tangentes à l origine). 4. La fonction f(a)+f (a) ( a) est une approimation affine de f

3 C. f(a+) f (a)+f(a) f(a) A (T) Quand on se place au voisinage du point A d abscisse a (proce du point A), la courbe représentative C de f et la tangente (T) semblent proces. La tangente est la représentation grapique de la fonction f(a)+f (a) ( a). La fonction f(a) + f (a) ( a) est donc une approimation affine de f. Lorsque est proce de a, c est la meilleure approimation affine de f. On dit que la tangente est la meilleure approimation affine de f au voisinage de a. a a+ Savoir-faire : 2 page 03. Eemple : Etude de la fonction f : (+) 3 au voisinage de 0 Pour tout réel, f(0+) f(0) = (+) 3 = = 3+(3+ 2 ) = 3+ǫ() avec ǫ() = 3+ 2 et lim 0 ǫ() = 0. f est donc dérivable en 0 et f (0) = 3. Le développement limité à l ordre de f en 0 est alors : +3+ǫ(). La meilleure approimation affine de f en 0 est donc : f(0)+f (0) = +3. L équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse a est alors : y = +3.,248 3 = (+0,248) ,248, Quelques compléments de formules Téorème : Soient u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. Alors la fonction f = u est dérivable sur I et f = u 2 u. Eemple : Soit f la fonction définie par f() = 2 +. La fonction u : 2 + est dérivable et strictement positive sur R. Par conséquent, la fonction f est dérivable sur R. Pour tout réel, on a : f () = u () 2 u() = = 2 + Démonstration (ROC) : Soit I et soit un réel non nul tel que + I. Le tau d accroissement de f entre et + est : τ() = f(+) f() () u(+) u() () τ() = L idée est de faire apparaître le tau d accroissement de u entre et +, c est-à-dire u(+) u(). On veut donc se débarasser des( racines. L idée, fort classique, est d utiliser la quantité conjuguée : u(+) ) ( u(+)+ ) u() u() () τ() = ( u(+)+ ) u()

4 u(+) u() () τ() = ( u(+)+ ) u() () τ() = u(+) u() ( u(+)+ u() ) Or, la fonction u est dérivable sur I, donc lim 0 u(+) u() = u (). De plus, lim u(+) = (car la fonction 0 2 u(). racine carrée est continue sur [0 ; + [), donc par somme et quotient, lim = 0 u(+)+ u() Par conséquent, lim 0 τ() = u () 2 u(). Téorème : Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I et soit n un entier naturel non nul. Alors la fonction f = u n est dérivable sur I et f = nu u n. Eemple : Soit f la fonction définie par f() = ( ) 7. La fonction u : est dérivable sur R. Par conséquent, la fonction f est dérivable sur R. Pour tout réel, on a : f () = 7 u () u 7 () = 7 ( ) ( ) 6 Démonstration (ROC) : Montrons ce rśultat par récurrence. Soit P la propriété : la fonction f = u n est dérivable sur I et f = nu u n, n N. Initialisation : n =. Alors f = u. La fonction u étant dérivable sur I, f l est aussi. De plus, nu u n = u. La propriété est donc vraie au rang n =. Hérédité : Supposons que la propriété P soit vraie pour un entier naturel n. Montrons alors qu elle est vraie au rang (n+), c est-à-dire que ( u n+) = (n+) u u n. On a : u n+ = u u n. Or, les fonctions u et u n sont dérivables sur I donc par produit, la fonction u n+ l est aussi. De plus, pour tout réel de l intervalle I, on a : ( u n+ ) = (u u n ) (2) (2) ( u n+) = u u n +u nu u n (d après la formule de dérivation d un produit et d après l ypotèse de récurrence). (2) ( u n+) = u u n +nu u n + (2) ( u n+) = u u n +nu u n (2) ( u n+) = (n+)u u n + (2) ( u n+) = (n+)u u n La propriété P est donc vrie au rang (n+). Conclusion : La propriété P est vraie au rang n = et est éréditaire. Donc, d après l aiome de la récurrence, elle est vraie sur N. Par conséquent, pour tout entier naturel n non nul, la fonction f est dérivable et f = nu u n. Conséquence : Soient u une fonction dérivable et ne s annulant pas sur un intervalle I et soit n un entier naturel non nul. Alors la fonction f = u n est dérivable sur I et f = nu u n+. Eemple : Soit f la fonction définie par f() = (cos 3 ()+2) 5. La fonction cos() est dérivable sur R. Donc la fonction u : cos 3 () + 2 est dérivable et ne s annule pas sur R (pour tout réel, cos() ). Par conséquent, la fonction f est dérivable sur R. Pour tout réel, on a : f () = 5 3( sin())cos2 () (cos 3 ()+2) 5+ = 5sin()cos2 () (cos 3 ()+2) 6 Démonstration (ROC) : D après le téorème précédent, la fonction u n est dérivable sur I. De plus, par ypotèse, elle ne s annule pas sur I, donc la fonction est dérivable sur I (inverse d une fonction dérivable ne s annulant pas sur un un intervalle) et on a : pour tout I : ( ) u n = (un ) (u n ) 2 = nu u n u 2n = nu nu = u2n (n ) u n+

5 Remarque : Sous les ypotèses du téorème, on peut donc dire que, pour tout entier relatif n non nul, la fonction u n est dérivable sur I et que (u n ) = nu u n. La formule est la même que n soit positif ou négatif. Téorème : Soient f une fonction dérivable sur R et soient a et b deu réels. Alors la fonction g : f(a+b) est dérivable sur R et pour tout réel, g () = af (a+b). Eemple : Soit g la fonction définie par g() = sin(3 ). La fonction sin est dérivable sur R. Par conséquent, la fonction g est dérivable sur R. Pour tout réel, on a : g () = 3cos(3 ) Démonstration (ROC) : Deu cas peuvent se présenter : a = 0 et a 0. Si a = 0 : alors, pour tout réel, g() = g(b). g est donc une fonction constante. Elle est dérivble sur R et sa dérivée est nulle. On a donc bien : g () = af (a+b) = 0. Si a 0 : Soit un réel et soit un réel non nul. Le tau d accroissement de g entre et + est : τ() = g(+) g() (3) (3) τ() = f(a(+)+b) f(a+b) (3) τ() = f(a+b+a) f(a+b) Posons alors X = a+b et H = a. Donc = H a. (3) τ() = /disf Ha (3) τ() = a H Or, la fonction f est dérivable sur R, donc lim = f (X). H 0 H = lim = f (X) = f (a+b). On peut donc écrire : H 0 H De plus, lim H = 0 donc lim 0 0 H lim τ() = 0 af (a+b). La fonction g est donc dérivable en et donc sur R et pour tout réel, g () = af (a+b). Savoir-faire : 3 et 4 page Généralisation : la composée de fonctions Eemples : Voir TP. Définition : Soit u une fonction définie sur un intervalle I. Soit v une fonction définie au-moins sur l intervalle u(i). Alors la fonction I R v(u()) est appelée la composée de v et u et notée v u (lire v rond u). ( ) Eemple : Soit f la fonction définie par f() = cos. La fonction u : est définie sur R. La fonction v : cos() est définie( sur) R. Donc la fonction f = v u : cos est définie sur R. Téorème : Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I et v une fonction dérivable au-moins sur u(i). Alors la fonction f = v u est dérivable sur I et f = u (v u). En notation différentielle, on a : df d = dv du dud. Eemple : Soit f la fonction définie sur R par f() = sin( 2 ). Alors f = v u avec u() = 2 et v() = sin(). u et v sont définies et dérivables sur R. Donc f est dérivable sur R. De plus, u () = 2 et v () = cos(). Donc f () = 2 cos( 2 ) pour tout réel.

6 Démonstration : Cette démonstration n est pas au programme et ne pourra être comprise dans sa totalité qu après le cours sur les limites. Soit 0 I. Supposons que pour proce de 0 et tel que I, u() u( 0 ). Le tau d accroissement de v u en 0 est alors : v u() v u( 0 ) = v(u()) v(u( 0)) u() u( 0) 0 u() u( 0 ) 0 u étant continue sur I (car dérivable sur I), lim 0 u() = u( 0 ). v étant dérivable au-moins sur u(i), lim y y 0 v(y) v(y 0 ) y y 0 v(u()) v(u( 0 )) téorème de composition des limites, lim = v (u( 0 )). 0 u() u( 0 ) u étant dérivable sur I, lim 0 u() u( 0 ) 0 = u ( 0 ). = v (y 0 ). De plus u() et u( 0 ) sont dans u(i), donc, d après le v(u()) v(u( 0 )) Donc, lim u() u( 0) = v (u( 0 )) u ( 0 ). La fonction v u est donc dérivable en 0 et 0 u() u( 0 ) 0 (v u) ( 0 ) = u ( 0 ) v u( 0 ). Supposons que u est constante dans un voisinage de 0, c est-à-dire que pour proce de 0, u() = u( 0 ). Alors; le tau d accroissement de v u en 0 est : v u() v u( 0) = 0. Donc v u est dérivable en 0 et (v u) ( 0 ) = 0. De plus, 0 puisque u est constante au voisinage de 0, u ( 0 ) = 0, donc u ( 0 ) v u( 0 ) = 0 = (v u) ( 0 ). On a donc montré que pour tout point 0 de I, la fonction v u est dérivable en 0. Donc, v u est dérivable sur I et (v u) = u (v u). 5 Primitive Définition Une primitive d une fonction f définie sur un intervalle I de R est une fonction F dérivable sur I telle que F = f. Eemples :. Soit F() = 2. Alors F est dérivable sur R et pour tout réel, F () = 2. F est donc une primitive de la fonction f définie sur R par f() = Soit G() = Alors G est dérivable sur R et pour tout réel, G () = 2. G est donc une primitive de la fonction f définie sur R par f() = 2. Quelques propriétés sur les primitives. Si une fonction f admet une primitive F sur un intervalle I alors elle en admet une infinité et les primitives de f sont les fonctions G = F +k, où k est une constante réelle. 2. Soit f une fonction admettant une primitive F sur un intervalle I et soit k un réel. Alors la fonction kf admet une primitive ur I et une primitive de la fonction kf sur I est la fonction kf. 3. Soient f et g deu fonctions admettant cacune une primitive sur un intervalle I (F et G). Alors la fonction f +g admet une primitive sur I et une primitive de la fonction f +g sur I est la fonction F +G. 4. Soit f une fonction admettant des primitives sur I. Soit 0 un réel de I et soit y 0 un réel quelconque. Alors, il eiste une unique primitive F de f sur I vérifiant F( 0 ) = y Une condition suffisante pour que f admette une primitive sur I est que f soit dérivable sur I (en fait, continue sur I suffit). Démonstration :. La fonction F étant dérivable sur I, G l est aussi. De plus, G = F = f. Donc G est une primitive de f sur I. Soit G une primitive de f sur I. Alors la fonction G F est dérivable sur I comme somme de fonctions dérivables sur I et (G F) = 0. Donc G F est constante sur I, donc G F = k, avec k réel. 2. Soit G = kf. F est dérivable sur I donc G l est aussi et G = kf = kf. Donc G est une primitive de kf sur I. 3. À faire. 4. Soit G une primitive de f sur I. Alors toutes les primitives de f sur I sont de la forme : F = G+k, avec k réel. On veut que F( 0 ) = y 0, soit G( 0 )+k = y 0, soit k = y 0 G( 0 ). La fonction F : G() +y 0 +G( 0 ) répond donc bien à la question. De plus, si une autre fonction H répond aussi à la question, alors F H =constante. Or, (F H)( 0 ) = 0. Donc F = H. 5. Démonstration faite plus tard dans le cours sur l intégration.

7 Eemples :. Déterminer une primitive F de f : cos() sur R, vérifiant F( π 2 ) = 0. Toute primitive de f sur R est de la forme F : sin()+k, avec k réel. La condition F( π 2 ) = 0 fournit alors k =. Par suite, F() = sin(). 2. Soit g la fonction définie sur R par g() = g est dérivable sur R donc g admet des primitives sur R. Ces primitives sont de la forme : G() = k (k R) 3. Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f() = 2 3. f est dérivable sur ]0;+ [ donc elle admet des primitives sur ]0;+ [. On a : f() = 2 3. Donc les primitives de f sur ]0;+ [ sont de la forme : F() = k = +k (k R) 2 4. Soit la fonction définie sur R par () = (3 ) 6. est dérivable sur R donc admet des primitives sur R. On a () = 3 3(3 )6 = 3 u ()u 6 () avec u() = 3. Donc ses primitives sont de la forme : 5. Soit k la fonction définie sur R par k() = H() = 3 7 u7 = 2 (3 )7 (k R) 2. k est dérivable sur R donc k admet des primitives sur R. 2 + On a k = u = u u 2 avec u() = 2 +. Donc ses primitives sont de la forme : u K() = = 2 u+c = c (c R) +u On obtient le tableau des primitives en lisant le tableau des dérivées à l envers. Voir ci-après Savoir-faire : 2 page 207; 3 page 209.

8 f est une fonction définie sur un intervalle I; F est une primitive de f sur I. f() F() I k réel k+c R 2 2 +C R r (r ) R si r N r+ r+ +C ] ;0[ ou ]0;+ [ sir r Z ]0;+ [ si r R\Z 2 (cas r = 2) +C ] ;0[ ou ]0;+ [ (cas r = 2 ) 2 +C ]0;+ [ ln +C ] ;0[ ou ]0;+ [ e e +C R sin cos+c R cos sin R +tan 2 = cos 2 tan+c ] π 2 +kπ; π 2 +kπ[, k Z

9 u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle I. Fonction f Primitive F Commentaires au (a réel) au u +v u+v u u r (r ) u r+ r+ sur tout intervalle I où u 0 et où u > 0 pour r / Z u u (cas r = 2 ) 2 u sur tout intervalle I où u > 0 u (cas r = 2) u2 u sur tout intervalle I où u 0 u u ln u lnu si u > 0 sur I ln( u) si u < 0 sur I u e u e u u(a+b) (a 0) a U(a+b) U primitive de u sur I

Cours de mathématiques. Chapitre 4 : Dérivabilité. Terminale S1. Année scolaire 2008-2009 mise à jour 22 novembre 2008. Fig.

Cours de mathématiques. Chapitre 4 : Dérivabilité. Terminale S1. Année scolaire 2008-2009 mise à jour 22 novembre 2008. Fig. Cours de matématiques Terminale S1 Capitre 4 : Dérivabilité Année scolaire 008-009 mise à jour novembre 008 Fig. 1 Jean Dausset Fig. alliday Fig. 3 Joann Radon Il y a des gens connus et des gens importants-idée

Plus en détail

La dérivation dans R

La dérivation dans R S La dérivation dans R Introduction Activité sur la cute libre d un corps. 2 Nombre dérivé Définition du nombre dérivé Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et soit a un réel de l intervalle

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01 Eo7 Dérivée d une fonction Vidéo partie. Définition Vidéo partie. Calculs Vidéo partie 3. Etremum local, théorème de Rolle Vidéo partie 4. Théorème des accroissements finis Eercices Fonctions dérivables

Plus en détail

Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique

Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique CHAPITRE 4 DÉRIVATION ET PRIMITIVATION Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique 08. Nombre dérivé Soit f une fonction numérique, définie sur un intervalle ou une réunion d intervalles,

Plus en détail

Séquence 6. Fonctions dérivées. Sommaire

Séquence 6. Fonctions dérivées. Sommaire Séquence 6 Fonctions dérivées Sommaire Pré-requis Définition Dérivées des fonctions usuelles Dérivation et opérations algébriques Applications de la dérivation Synthèse de la séquence Eercices d approfondissement

Plus en détail

Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES

Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Capitre 4 Dérivation Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Dérivation Nombre dérivé d une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

Chapitre 6 La dérivation

Chapitre 6 La dérivation Capitre 6 La dérivation A) Nombre dérivé et tangente 1) Tangente en un point à une courbe et nombre dérivé Soit f(x) la fonction dont la courbe est représentée ci-dessus, et prenons deux points A et B

Plus en détail

Fonctions de référence Variation des fonctions associées

Fonctions de référence Variation des fonctions associées DERNIÈRE IMPRESSION LE 9 juin 05 à 8:33 Fonctions de référence Variation des fonctions associées Table des matières Fonction numérique. Définition.................................. Ensemble de définition...........................3

Plus en détail

Nombre dérivé et tangente

Nombre dérivé et tangente Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative

Plus en détail

Devoir surveillé n 1 : correction

Devoir surveillé n 1 : correction E1A-E1B 013-01 Devoir surveillé n 1 : correction Samedi 8 septembre Durée : 3 heures. La calculatrice est interdite. On attachera une grande importance à la qualité de la rédaction. Les questions du début

Plus en détail

CH1 : Langages de la continuité Limites

CH1 : Langages de la continuité Limites CH : Langages de la continuité Limites I. Continuité- Théorème des valeurs intermédiaires. Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. Lorsque la courbe représentative de f ne présente

Plus en détail

- Module M2 - Fondamentaux d analyse

- Module M2 - Fondamentaux d analyse - Module M - Fondamentau d analyse Cléo BARAS, cleo.baras@ujf-grenoble.fr IUT - Grenoble Département Réseau et Télécommunications DUT - ère année Année universitaire 9- Web : http ://iut-tice.ujf-grenoble.fr/gtr/mathm/inde.asp

Plus en détail

Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles

Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles ENIHP1 mathématiques continuité et dérivabilité p 1/10 Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles Le cours sera illustré à l'aide du logiciel de calcul formel gratuit Maima. Les commandes

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. a) x arctan x. a) x x x b) x (ch x) x c) x ln x

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. a) x arctan x. a) x x x b) x (ch x) x c) x ln x [ttp://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 205 Enoncés Dérivation Dérivabilité Eercice [ 0354 ] [Correction] Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : a) 2 3 b) 2 ) arccos 2 ) Eercice 2

Plus en détail

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

Dérivation Primitives

Dérivation Primitives Cours de Terminale STI2D Giorgio Chuck VISCA 27 septembre 203 Dérivation Primitives Table des matières I La dérivation 3 I Rappels 3 I. exemple graphique............................................. 3

Plus en détail

MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ. Ce polycopié conforme au programme 2002, regroupe les documents distribués aux élèves en cours d année.

MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ. Ce polycopié conforme au programme 2002, regroupe les documents distribués aux élèves en cours d année. MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ Ce polcopié conforme au programme 00, regroupe les documents distribués au élèves en cours d année. Année 0-0 Année 0-0 T le ES A. YALLOUZ (MATH@ES) TABLE DES MATIÈRES

Plus en détail

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation ) DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité

Plus en détail

Cours Mathématiques PACES UHP-Nancy

Cours Mathématiques PACES UHP-Nancy Cours Mathématiques PACES UHP-Nancy V. Latocha PACES UHP septembre 2010 remerciements à D. Schmitt et V. Ries V. Latocha (PACES UHP) Cours mathématiques Paces septembre 2010 1 / 48 1 Fonctions d une variable

Plus en détail

Dérivation. I. Nombre dérivé d une fonction en un point

Dérivation. I. Nombre dérivé d une fonction en un point I. Nombre dérivé d une fonction en un point Dérivation Dans tout ce paragrape, on considère une fonction f définie sur un intervalle I et a un nombre réel de cet intervalle. ) Définition Le nombre dérivée

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

Synthèse d analyse Avril 2011

Synthèse d analyse Avril 2011 Snthèse d analse Avril 20 Cette snthèse d analse a été rédigée suite à une suggestion de M le Professeur E Delhez Elle est destinée à aider les étudiants à préparer l eamen d admission au études d ingénieur

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle La fonction exponentielle Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Existence et unicité de la fonction exponentielle 2 1.1 Deux résultats préliminaires.......................................

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Cours de terminale S Suites numériques

Cours de terminale S Suites numériques Cours de terminale S Suites numériques V. B. et S. B. Lycée des EK 13 septembre 2014 Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Dérivation : Résumé de cours et méthodes

Dérivation : Résumé de cours et méthodes Dérivation : Résumé de cours et métodes Nombre dérivé - Fonction dérivée : DÉFINITION (a + ) (a) Etant donné est une onction déinie sur un intervalle I contenant le réel a, est dérivable en a si tend vers

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : Accès à l'université chez DUNOD Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD Les supports de cours ne sont pas complets, ils ne contiennent ni les démonstrations,

Plus en détail

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique Analyse et Géométrie Différentielle Première Année I NOMBRES REELS ET COMPLEXES, SUITES ET FONCTIONS 1 Nombres réels et complexes 2 Suites de nombres

Plus en détail

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque FNCTINS I Généralités sur les fonctions Définitions Soit D une partie de l'ensemble IR. n définit une fonction f de D dans IR, en associant à chaque réel de D, un réel et un seul noté f() et que l'on appelle

Plus en détail

Bases mathématiques pour l économie et la gestion

Bases mathématiques pour l économie et la gestion Bases mathématiques pour l économie et la gestion Bases mathématiques Pour l économie et la gestion - Table des matières PREMIERE PARTIE : QUELQUES OUTILS Chapitre : Traitement de systèmes d'équations..

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

Dérivées et applications. Equation

Dérivées et applications. Equation Dérivées et applications. Equation I) Dérivée d une fonction strictement monotone 1) Exemples graphiques Soit une fonction dérivable sur un intervalle I. Pour tout I, (x) est le coefficient directeur de

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

La maison Ecole d ' Baccalauréat blanc Classe de terminale ES. Exercice 1 - sur 4 points

La maison Ecole d ' Baccalauréat blanc Classe de terminale ES. Exercice 1 - sur 4 points La maison Ecole d ' Baccalauréat blanc Classe de terminale ES Année scolaire 00-004 Copyright c 004 J.- M. Boucart GNU Free Documentation Licence On veillera à détailler et à rédiger clairement les raisonnements,

Plus en détail

Cours de mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire. Jean-Paul Widehem 2009-2010 Lycée Roland Garros

Cours de mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire. Jean-Paul Widehem 2009-2010 Lycée Roland Garros Cours de mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Jean-Paul Widehem 2009-2010 Lycée Roland Garros Table des matières partie 1. Récurrence et suites 1 Chapitre 1. Raisonnement par récurrence

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

TS - Cours sur le logarithme népérien

TS - Cours sur le logarithme népérien Lcée Europole - R. Vidonne 1 TS - Cours sur le logarithme népérien Fonction carrée et racine carrée Considérons les fonctions f : R + R + g : R + R + 2 Dans un repère orthonormal, les courbes C f et C

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Calculs préliminaires.

Calculs préliminaires. MINES-PONTS 005. Filière MP. MATHÉMATIQES 1. Corrigé de JL. Lamard jean-louis.lamard@prepas.org) Calculs préliminaires. Notons que si f H alors f)e / est bien intégrable sur R car continue positive et

Plus en détail

Chapitre 3 Term. S. Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES

Chapitre 3 Term. S. Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Capitre 3 Term. S. Dérivation Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIES appels : Nombre dérivé d une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable

Plus en détail

Séquence 2. Fonctions numériques Continuité. Sommaire. 1. Pré-requis. 2. Étude de fonctions (révisions 1 re ES)

Séquence 2. Fonctions numériques Continuité. Sommaire. 1. Pré-requis. 2. Étude de fonctions (révisions 1 re ES) Séquence Fonctions numériques Continuité Objectifs de la séquence Revoir les fonctions dérivables et découvrir les fonctions continues. Étudier le sens de variation d une fonction pour résoudre un problème

Plus en détail

Fonctions affines. exercices corrigés. 8 janvier 2012. Fonctions affines

Fonctions affines. exercices corrigés. 8 janvier 2012. Fonctions affines eercices corrigés 8 janvier 2012 Eercice 1 Eercice 2 Eercice Eercice 4 Eercice 5 Eercice 6 Eercice 7 Eercice 1 Enoncé Soit la fonction f : + 1 Représenter graphiquement la fonction f. 2 Donner le sens

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

1 Notion d espace vectoriel

1 Notion d espace vectoriel Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Résumé de cours sur les espaces vectoriels et les applications linéaires Les vecteurs du plan, les nombres réels, et les polynômes à coefficients

Plus en détail

I Exercices I-1 1... I-1 2... I-1 3... I-2 4... I-2 5... I-2 6... I-2 7... I-3 8... I-3 9... I-4

I Exercices I-1 1... I-1 2... I-1 3... I-2 4... I-2 5... I-2 6... I-2 7... I-3 8... I-3 9... I-4 Chapitre Convexité TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre Convexité Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1................................................

Plus en détail

f continue en x 0 lim Remarque On dit que f est continue sur un intervalle a; bœ si f est continue en tout point x 0 de a; bœ. sont continues sur R.

f continue en x 0 lim Remarque On dit que f est continue sur un intervalle a; bœ si f est continue en tout point x 0 de a; bœ. sont continues sur R. CHAPITRE I Fonctions d une variable réelle. Limites Soit f une fonction définie sur R : et soit R. f W R! R 7! f./ Définition. Limite finie en un point) On dit que f admet ` pour ite lorsque tend vers

Plus en détail

La fonction carré Cours

La fonction carré Cours La fonction carré Cours CHAPITRE 1 : Définition CHAPITRE 2 : Sens de variation CHAPITRE 3 : Parité et symétrie CHAPITRE 4 : Représentation graphique CHAPITRE 5 : Equation du type CHAPITRE 6 : Inéquation

Plus en détail

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7.

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7. Mathématiques pour l informatique IMAC première année - Soutien - Nombres complexes Rappels. Un nombre complexe z admet plusieurs représentations : représentation vectorielle z = (a, b) où a, b R représentation

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie

Plus en détail

Mathématique - Cours

Mathématique - Cours Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : partie seconde partie 1/3 partie 2/3 partie 3/3 Sommaire 1 Ensemble

Plus en détail

Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln

Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln Thèmes. fonction ln, théorème des valeurs intermédiares, suite définie par récurrence : majoration, minoration, monotonie, convergence, eistence.

Plus en détail

Chapitre : Fonctions convexes

Chapitre : Fonctions convexes Chapitre : Fonctions convexes I Définition Définition 1 Soit f : I R une fonction continue où I un intervalle de R On dit que f est une fonction convexe si (x, y I 2, λ [0, 1], f(λx + (1 λy λf(x + (1 λf(y

Plus en détail

EXERCICES. Exercice 3 : Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par f (x) = 1 5 ln(x). 1. Déterminer les limites suivantes : lim f (x) et lim f (x)

EXERCICES. Exercice 3 : Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par f (x) = 1 5 ln(x). 1. Déterminer les limites suivantes : lim f (x) et lim f (x) EXERCICES LN Eercice : Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f ()=+ ln(). On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.. a. Calculer f () b. Déterminer l équation de la tangente T à

Plus en détail

Cours de Mathématiques Seconde. Généralités sur les fonctions

Cours de Mathématiques Seconde. Généralités sur les fonctions Cours de Mathématiques Seconde Frédéric Demoulin 1 Dernière révision : 16 avril 007 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini 1 frederic.demoulin (chez) voila.fr gilles.costantini

Plus en détail

Séquence 5. La fonction logarithme népérien

Séquence 5. La fonction logarithme népérien Séquence 5 La fonction logarithme népérien Sommaire. Pré-requis. Définition et propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien 3. Étude de la fonction logarithme népérien 4. Compléments 5. Synthèse

Plus en détail

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre

Plus en détail

Objectifs: connaître les propriétés des fonctions élémentaires pour pouvoir étudier des fonctions plus complexes.

Objectifs: connaître les propriétés des fonctions élémentaires pour pouvoir étudier des fonctions plus complexes. FONCTIONS DE REFERENCE Objectifs: connaître les propriétés des fonctions élémentaires pour pouvoir étudier des fonctions plus complexes. I. LES FONCTIONS ELEMENTAIRES ce sont les touches «fct» de la calculatrice

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

LIMITES EXERCICES CORRIGES

LIMITES EXERCICES CORRIGES ours et eercices de mathématiques LIMITES EXERIES ORRIGES M UAZ, http://mathscyrreer Eercice n Déterminer la ite éventuelle en de chacune des onctions suivantes : ) ) ) 4 ( ) Déterminer la ite éventuelle

Plus en détail

GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS

GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS . Qu'est-ce qu'une fonction? Vocabulaire GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS Définition Notion de fonction À chaque fois que l'on associe à une quantité une (autre) quantité, on dit que que l'on définit une

Plus en détail

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de

Plus en détail

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES Définition ( voir animation ) On dit qu'un repère orthonormé (O; i, j) est direct lorsque ( i ; j ) = + []. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct, si M est le point

Plus en détail

CHAPITRE 5 : LIMITE ET ORDRE ASYMPTOTES

CHAPITRE 5 : LIMITE ET ORDRE ASYMPTOTES CHAPITRE 5 : LIMITE ET ORDRE ASYMPTOTES La lettre grecque α désigne soit, soit, soit a un réel fini ( a R ) Le plan est muni d un repère ( O; i ; j), et on note C f la courbe représentative de la fonction

Plus en détail

CHAPITRE 7 Fonction carré et fonction inverse

CHAPITRE 7 Fonction carré et fonction inverse CHAPITRE 7 Fonction carré et fonction inverse A) La fonction "carré" : f() = ² ) Domaine de définition Elle est définie sur ℝ complet (on peut toujours multiplier deu nombres entre eu). 2) Sens de variation

Plus en détail

Corrigé Pondichéry 1999

Corrigé Pondichéry 1999 Corrigé Pondichéry 999 EXERCICE. = 8 = i ). D'où les solutions de l'équation : z = + i et z = z = i. a. De manière immédiate : z = z = b. Soit θ la mesure principale de arg z : cos θ = Par suite arg z

Plus en détail

Cahier de vacances - Préparation à la Première S

Cahier de vacances - Préparation à la Première S Cahier de vacances - Préparation à la Première S Ce cahier est destiné à vous permettre d aborder le plus sereinement possible la classe de Première S. Je vous conseille de le travailler pendant les 0

Plus en détail

ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 2007

ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 2007 ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 27 CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS DU CONTRÔLE DE LA NAVIGATION AÉRIENNE Épreuve commune obligatoire de MATHÉMATIQUES Durée : 4 Heures Coefficient

Plus en détail

Chapitre 3. Compléments sur les fonctions numériques

Chapitre 3. Compléments sur les fonctions numériques Capitre 3 Compléments sur les fonctions numériques 24 ) Compléments sur la dérivation - ) Dérivées des fonctions u et u n, n Z Téorème : Si u est une fonction strictement positive, dérivable sur un intervalle

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques Cours de mathématiques Terminale S3 Année 2009-2010 Table des matières I Les fonctions. 4 1 Les limites (suite du cours) 5 IV Limites par comparaison....................................... 5 V Fonctions

Plus en détail

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre : Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant

Plus en détail

CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions

CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions 1 Langage de la continuité... 2 1.1 Définition... 2 1.2 Illustration grapique... 2 1.3 Fonctions usuelles... 2 2 Téorème des valeurs intermédiaires...

Plus en détail

Généralités sur les fonctions numériques

Généralités sur les fonctions numériques 7 Généralités sur les fonctions numériques Une fonction numérique est, de manière générale, une fonction d une variable réelle et à valeurs réelles. 7.1 Notions de base sur les fonctions Si I, J sont deux

Plus en détail

Cours Fonctions de deux variables

Cours Fonctions de deux variables Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités

MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE TOULOUSE MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités Pascal Floquet Xuân Meyer Première Année à Distance Septembre 006 Jean-Claude Satge Table des matières

Plus en détail

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE ANNÉE 2006 CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée : 2 Heures Coefficient : 1 Ce sujet comporte (dans l énoncé d origine, pas

Plus en détail

Partie I : Manipulation d inégalités. n k. k=0. (1 + a) n 1 + na. 27. Indication : On pourra utiliser les fonctions f(x) = (x+b+c)3.

Partie I : Manipulation d inégalités. n k. k=0. (1 + a) n 1 + na. 27. Indication : On pourra utiliser les fonctions f(x) = (x+b+c)3. Mathématiques Devoirs de Vacances MPSI/PCSI août 5 Partie I : Manipulation d inégalités Eercice Soit m un réel Déterminer l'ensemble E des réels tels que e + e l'ensemble E des réels tels que (m + + m

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-201 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre III : Polynômes 1 Fonctions polynômes & polynômes Définition 1. Soit

Plus en détail

Métropole - Juin 2012 BAC S Correction

Métropole - Juin 2012 BAC S Correction Métropole - Juin 0 BAC S Correction / 7 Eercice. La courbe C est sous l ae des abscisses pour [-3 ;-]. Affirmation vraie. Sur [- ;], f () 0. Donc f est croissante sur cet intervalle. Affirmation vraie

Plus en détail

Sujet Métropole 2013 EXERCICE 1. [4 pts] Probabilités

Sujet Métropole 2013 EXERCICE 1. [4 pts] Probabilités Sujet Métropole 01 EXERIE 1. [4 pts] Probabilités Une jardinerie vend de jeunes plants d arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 5% des plants proviennent de l horticulteur H 1, 5% de l horticulteur

Plus en détail

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J.

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. FAIVRE s de cours exigibles au bac S en mathématiques Enseignement

Plus en détail

Contrôle de mathématiques

Contrôle de mathématiques Contrôle de mathématiques Correction du Lundi 18 octobre 2010 Exercice 1 Diviseurs (5 points) 1) Trouver dans N tous les diviseurs de 810. D 810 = {1; 2; 3; 5; 6; 9; 10; 15; 18; 27; 30; 45; 54; 81; 90;

Plus en détail

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0 Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0. Le théorème de Rolle sur un espace vectoriel normé Pour ce paragraphe, on se donne un espace vectoriel normé (E, ). Le théorème

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

Cours de Mathématiques. BTS Bio-analyses et contrôles

Cours de Mathématiques. BTS Bio-analyses et contrôles Cours de Mathématiques BTS Bio-analyses et contrôles 1ère année Ph Griffiths 1 2008/2009 Lycée Alexis de Tocqueville F-06130 Grasse 1. Philippe.Griffiths@ac-nice.fr ii Lycée Alexis de Tocqueville Table

Plus en détail

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail