Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur

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1 Service Commun de Formation Continue Année Universitaire Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau Institut Élie Cartan Nancy (Mathématiques) - Université Henri Poincaré Nancy 1 B.P. 239, F Vandoeuvre-lès-Nancy Cedex. Yannick.Privat@iecn.u-nancy.fr

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3 Avant-Propos Ce cours présente les concepts fondamentaux de l Analyse des fonctions de plusieurs variables. Les premiers chapitres généralisent les notions de limite, dérivabilité et dévelopement limité, bien connus dans le cas des fonctions d une variable. Nous ne rechercherons pas dans ce cours une formalisation mathématique théorique de ces concepts, mais nous intéresserons au contraire à leurs nombreuses applications dans le domaine de la Physique. Nous ciblerons trois axes principaux de développement : l optimisation (recherche d extremums, minimisaton d une énergie, etc.); les équations aux dérivées partielles (équation de la chaleur, équation des cordes vibrantes, des ondes, etc.); l intégration (calculs de moments d inertie, de flux, etc.). Travail personnel de préparation : le premier chapitre présente des pré-requis utiles pour bien aborder ce cours. Je vous demande donc de l étudier sérieusement pour la première séance et de noter toutes les questions que vous vous posez afin que nous en discutions en cours. Yannick Privat iii

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5 Table des matières 1 Introduction à l étude des fonctions de plusieurs variables Fonctions de deux variables à valeurs réelles Exemple mathématique et définition Exemple en Physique Représentation graphique d une fonction à deux variables Dérivées partielles Rappel : dérivation d une fonction de R dans R Calcul de dérivées partielles Dérivées partielles d ordre supérieur Fonction de n variables Fonction de trois variables à valeurs réelles Fonctions à valeurs vectorielles Généralisation Exercices du chapitre Calculs de limites et continuité Technique de recherche de limites Cas réel Formes indéterminées Techniques pour lever les indéterminations Fonctions polynôme ou rationnelle Technique du nombre dérivé Développements limités Formule de Taylor-Lagrange Contiuité des fonctions Cas réel Cas des fonctions de R 2 dans R v

6 vi TABLE DES MATIÈRES Techniques générales Exercices du chapitre Notion de différentiabilité Applications linéaires Calcul différentiel Dérivée selon un vecteur Fonctions f : R n R p Application différentielle Développement limité Expression explicite de la différentielle Méthode générale de calcul Conséquences de la différentiabilité Notion de gradient Schéma récapitulatif Exercices du chapitre Déterminant, Matrice jacobienne, Jacobien Matrice jacobienne Différentiabilité des fonctions de R n dans R p Généralisation Le Jacobien Notion de C 1 -difféomorphisme Généralités Caractérisation Exercices du chapitre Recherche d extrema Problèmes liés à la recherche d extrema Développement limité à l ordre Points critiques et extrema Caractérisation des points critiques Hessienne d une fonction Quelques notions d Analyse spectrale Cas de la dimension

7 TABLE DES MATIÈRES 5.4 Exercices du chapitre vii 6 Introduction aux EDP Équations différentielles Quelques rappels sur les équations différentielles linéaires Un exemple en Physique Équation différentielles linéaires à coefficients constants Équations différentielles homogènes du premier ordre à coefficients constants Théorème de structure des solutions Équations différentielles homogène du second ordre à coefficients constants Compléments de calcul différentiel Composition des différentielles Exemple détaillé Quelques opérateurs différentiels Changement de coordonnées Repère polaire Changement de variables quelconque Trois méthodes de résolution explicite d EDP Changement de coordonnées Méthode de séparation des variables Exercices du chapitre Transformée de Fourier La transformée de Fourier Définitions Propriétés de la transformée de Fourier Transformée de Fourier inverse Application à la résolution d EDP Exercices du chapitre Calcul d intégrales doubles et triples Calcul intégral dans R Quelques méthodes L intégration par parties

8 viii TABLE DES MATIÈRES Introduction aux intégrales impropres Visualisation graphique de l intégrale Intégrales doubles Intégrale double sur un rectangle Intégrale double sur une partie bornée Propriétés de l intégrale double Changement de variable dans R Changement de variable dans R Exemples d intégrales triples Intégration par piles Coordonnées sphériques Un exemple d application en Physique Exercices du chapitre A Formulaire de trigonométrie 93 B Limites 95 B.1 Limite d une somme B.2 Limite d un produit d une fonction par une constante λ non nulle B.3 Limite d un produit B.4 Limite d un quotient C Dérivées usuelles 97 D Primitives usuelles 99 E Applications linéaires, matrices et déterminant : rappels 101 E.1 Calcul matriciel dans R 2, R 3 et R n E.2 Lien avec les applications linéaires E.3 Calculs de déterminants en dimensions 2 et

9 Chapitre 1 Introduction intuitive à l étude des fonctions de plusieurs variables Ce chapitre a pour vocation d initier la lecteur débutant aux objets que nous manipulerons dans les chapitres qui vont suivre. Les définitions et principes seront présentés ici d un point de vue qualitatif; ils seront revus, améliorés et rigoureusement introduits par la suite. Je ne prétends donc pas à un grand formalisme ni une grande rigueur. Je redonne également quelques notions sur la dérivation des fonctions d une variable car il est nécessaire de bien maîtriser ce concept si l on souhaite comprendre la notion de dérivée partielle. 1.1 Fonctions de deux variables à valeurs réelles Exemple mathématique et définition Considérons un rectangle ABCD. On appelle x la longueur AB et y, la longueur BC. On suppose x > 0 et y > 0. A x B y D C On appelle p(x, y), le périmètre de ABCD, A(x, y), l aire de ce rectangle. On a alors : p(x, y) = 2(x + y) et A(x, y) = xy. Définition 1.1. Produit cartésien. Le produit cartésien de deux ensembles E et F, noté E F est l ensemble des couples dont le premier élément appartient à E et le second à F. 1

10 2CHAPITRE 1. INTRODUCTION À L ÉTUDE DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES Si E = F, on note E 2 = E E. Cette définition se généralise aisément. Si E 1,..., E n désignent n ensembles. On note E = E 1... E n le produit cartésien défini par : E = {(e 1,..., e n ), tel que e 1 E 1,..., e n E n }. Exemple : on définit par exemple l ensemble N R +. L élément (2, π) appartient à N R +. Remarque : si on considère des ensembles finis (i.e. dont le nombre d éléments de l ensemble est fini), on appelle cardinal de l ensemble, le nombre d éléments de l ensemble. Et, si E et F sont finis, on a : card (E F) = card E card F. Problème courant en Optimisation : on peut être amené à chercher x pour que le périmètre de ABCD soit minimal sachant que son aire vaut 1. (problème d Optimisation) Vocabulaire : A et p sont des fonctions de deux variables à valeurs réelles. x et y sont les deux variables. Il est important de noter que x et y sont indépendantes, autrement dit, il n existe pas d application f : R 2 R telle que f(x, y) = 0. On note : p : R 2 := R R R (x, y) p(x, y) = 2(x + y) et A : R 2 := R R (x, y) R A(x, y) = xy. Ici, cet exemple prend tout son sens si x > 0 et y > 0. On écrira plutôt : p : ( R + ) 2 := R + R + R + (x, y) 2(x + y) Exemple en Physique Il est bien rare que le modèle mathématique choisi par le physicien ne dépende que d un paramètre. En Thermodynamique, par exemple, lorsque l on considère une énergie (énergie interne U, cinétique E c, etc.), on est souvent amené à étudier l influence des paramètres T (température), P (pression) et V (volume). Exemple 1 : loi de Boyle-Mariotte ou loi des gaz parfaits. (1670) PV = nrt. n désigne la quantité de matière contenue dans le volume V, tandis que R désigne la constante des gaz parfaits. Si le volume du système physique varie en même temps que la température, notre étude est justifiée. En général, on recherche l équation d état d un système. (Relation entre les paramètres d état d un système en équilibre macroscopique.) Elle s écrit f(p, V, T) = 0, où f est une fonction des trois variables P, V et T. Dans notre cas, on a : f(p, V, T) = PV nrt. Exemple 2 : équation d état de Van der Waals (Prix nobel de Physique, 1910).

11 1.1. FONCTIONS DE DEUX VARIABLES À VALEURS RÉELLES 3 ( Pour une mole de gaz, on a la relation P + a ) (V b) = RT. Cette relation traduit l existence de forces d interaction entre les molécules de gaz, à la différence de V 2 l équation ( d état des gaz parfaits. La fonction d état s écrit dans ce cas : f(p, V, T) = P + a ) (V b) RT. V 2 Définition 1.2. Soit D, une partie de R 2, c est à dire un ensemble de couples de réels (x, y). On appelle fonction de deux variables définie sur D, le procédé qui consiste à associer à chaque couple (x, y) de D un réel unique. On note généralement : f(x, y) = z. On peut se représenter z comme une «altitude» définie en chaque point du plan de base Représentation graphique d une fonction à deux variables Définition 1.3. Soit f, une fonction de deux variables définie sur un domaine D. L ensemble des points de coordonnées (x, y, z) avec z = f(x, y), pour (x, y) parcourant D est appelé «surface d équation z = f(x, y)». Traduction : pour représenter une fonction de R dans R, on représente les points de coordonnées M(x, f(x)). y f(x) M C O x x Fig. 1.1 Représentation d une fonction de R dans R Pour représenter une fonction de R 2 dans R, on représente les points de coordonnées M(x, y, f(x, y)). Remarque : il arrive souvent que l on note X = (x, y) pour désigner un élément de R 2. On écrira par exemple : f : R 2 R. X = (x, y) xy Exemple : représentation de la surface d équation z = x 2 + y 2. On constate pour la construction graphique que l intersection de la surface d équation z = x 2 + y 2 et du plan d équation z = k, pour k > 0 est un cercle de rayon k. En effet, dans le plan xoy, le cercle de centre Ω(x 0, y 0 ) et de rayon R, décrit par l ensemble des points M de coordonnées (x, y) a pour équation : (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2.

12 4CHAPITRE 1. INTRODUCTION À L ÉTUDE DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES z z = f(x,y) M x O y y x Fig. 1.2 Représentation d une fonction de R 2 dans R Le plan d équation z = k, pour k réel, est parallèle au plan xoy. 1.2 Dérivées partielles Rappel : dérivation d une fonction de R dans R Définition 1.4. On dit que f est dérivable en x 0 de nombre dérivé L en x 0 si, et seulement si l un ou l autre des quotients f(x) f(x 0) ou f(x 0 + h) f(x 0 ) admet une limite finie x x 0 h respectivement quand x x 0 et h 0. Dans ce cas, on notera f (x 0 ) cette limite et on a : f f(x) f(x 0 ) f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim = lim. x x0 x x 0 h 0 h Interprétation graphique : Remarque : nous avons préféré ne faire aucun rappel sur la notion de limite dans ce chapitre pour nous concentrer exclusivement sur la notion de nombre dérivé. Dans le chapitre suivant, nous étendrons la notion de limite d une fonction d une variable au cas multidimensionnel. Nous procèderons alors aux rappels nécessaires théoriques. Cependant, pour bien aborder les calculs simples mis en œuvre dans ce chapitre, le lecteur pourra se reporter aux annexes : théorèmes sur les limites et dérivées usuelles Calcul de dérivées partielles La dérivation d une fonction d une variable peut être généralisée. Les dérivées partielles d une fonction de deux variables x et y se calculent de la façon suivante : par rapport à x : on considère que y est constant et on dérive la fonction comme fonction d une variable x.

13 1.2. DÉRIVÉES PARTIELLES y x Fig. 1.3 Représentation de la surface d équation z = x 2 + y 2 f(x 0 + h) y f(x 0 ) C x 0 x 0 + h x pente de cette droite : f(x 0 + h) f(x 0 ) x x 0 Fig. 1.4 Visualisation graphique du nombre dérivé par rapport à y : on considère que x est constant et on dérive par rapport à y. Remarque et notations : la dérivée partielle de f par rapport à x est encore une fonction de deux variables. On la note f. De même, la dérivée partielle d une fonction f x par rapport à y se note f y. Remarque : on entend souvent parler en Physique de la différentielle d une fonction f. On la note df. Nous donnerons ultérieurement un sens à cette notion. On a : df = f f dx + x y dy.

14 6CHAPITRE 1. INTRODUCTION À L ÉTUDE DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES Dérivées partielles d ordre supérieur Soit f : R R. Nous savons définir (à la condition qu elles existent...) f, f, f, f (4), etc. Il s agit des dérivées première, seconde, troisième et quatrième de f. Exactement de la même façon, il est aisé de définir : 2 f x 2 = x 2 f y 2 = y 2 f x y = x 2 f y x = y ( ) f : on dérive deux fois par rapport à x; ( x ) f : on dérive deux fois par rapport à y ; ( y ) f : on dérive une fois par rapport à y, puis une fois par rapport à x; ( y ) f : on dérive une fois par rapport à x, puis une fois par rapport à y ; x Exemple : g est la fonction définie sur R 2 par : g(x, y) = x 3 e y. Si x est fixé, y g(x, y) est bien infiniment dérivable sur R par rapport à x (fonction usuelle classique) et si y est fixé, x g(x, y) est encore infiniment dérivable sur R par rapport à x. On a clairement : 2 g y 2(x, y) = x3 e y et g x (x, y) = 3x2 e y, g y (x, y) = x3 e y, 2 g x y (x, y) = 2 g y x (x, y) = 3x2 e y. 2 g x 2(x, y) = 6xey, Remarque : si f désigne une fonction d une variable réelle x supposée dérivable sur son ensemble de définition D, on fait la différence entre la fonction f, appelée fonction dérivée de f, qui à un réel x D, associe le nombre dérivé de f en x, et f (x), qui est un nombre réel (nombre dérivé de f en x). Exactement de la même façon, si f désigne une fonction de deux variables dérivable par rapport à chacune de ses variables x et y sur un ensemble D R 2, on fera la différence entre f, fonction dérivée partielle de f, qui, à x (x, y) D, associe le nombre f (x, y), appelé nombre dérivé de f en (x, y) par rapport à x la première variable, et f (x, y), le nombre dérivé lui-même. x 1.3 Fonction de n variables Fonction de trois variables à valeurs réelles Ce sont les fonctions f : R 3 := R R R R. (x, y, z) f(x, y, z) Exemple : loi de Boyle-Mariotte. f(p, V, T) = PV RT (pour une mole). P, V et T sont bien sûr considérées indépendantes. On définit de même que précédemment : f P, f V et f T. Si (pour l instant), on ne se pose pas la question de la dérivabilité, et si f est une fonction définie sur un ensemble( D ( R 3, )) on définit par exemple : 3 f f x y2(x, y, z) = (x, y, z) : on dérive d abord f deux fois par rapport x y y

15 1.3. FONCTION DE N VARIABLES 7 à y, puis une fois par rapport à x. 3 f z (x, y, z) = ( ( )) f (x, y, z) : on dérive f trois fois par rapport à z. 3 z z z Remarque : si f est une fonction de n variables, on généralise très simplement la méthode de dérivation précédente. Exercice 1 : calculer les dérivées partielles ci-dessus. Exercice 2 : on définit la fonction f par : f(x, y, z) = x 3 y 4 + y 1 z 5. Donner l ensemble de définition de f, puis calculer f x (x, y, z), 2 f x (x, y, z), 2 f (x, y, z) 2 x z 3 f et (x, y, z). x y z Fonctions à valeurs vectorielles Exemple : considérons la fonction f définie par : f(x, y, z) = écrire : f : R 3 R 2 (x, y, z) ( f1 (x, y, z) f 2 (x, y, z) ( ) x + y. On peut encore xyz ), avec f 1(x, y, z) = x + y et f 2 (x, y, z) = xyz. Ainsi, on a en quelque sorte décomposé une fonction de plusieurs variables à valeurs vectorielles en plusieurs fonctions de plusieurs variables à valeurs réelles. Mise en œuvre pratique du calcul de dérivées partielles : f ( f1 ) (x, y, z) (x, y, z) = x f x 2. ( (x, y, z) x ) 2 f 2 f 1 (x, y, z) x y (x, y, z) = x y 2 f 2. (x, y, z) x y etc. Exercice : Donner l ensemble de définition et de dérivabilité, puis calculer des dérivées partielles premières et secondes des applications φ et ψ respectivement définies sur R 3 et R 2 par : ( ) x 2 x + y φ(x, y, z) = et ψ(x, y) = x y. zx + y x y Généralisation Soient n et p, deux entiers naturels non nuls. On définit l espace R n par l ensemble des éléments s écrivant sous la forme (x 1, x 2,..., x n ), avec x 1 R, x 2 R,..., x n R. R p se définit exactement de la même façon. Si l on souhaite généraliser la notion de fonction de plusieurs variables, on peut noter par f une fonction de U R n dans R p. U est un ensemble contenu dans R n. Dans ce cas, il existe p fonctions de U R n à valeurs dans R

16 8CHAPITRE 1. INTRODUCTION À L ÉTUDE DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES que nous noterons f 1, f 2,..., f p et telles que pour X = (x 1, x 2,..., x n ) U, on ait : f(x) = f(x 1, x 2,..., x n ) = f 1 (x 1, x 2,..., x n ) f 2 (x 1, x 2,..., x n ). f p (x 1, x 2,..., x n ) Notations. Les différentes variables se notent traditionnellement de la façon suivante : Dans R : x. Dans R 2 : (x, y). Dans R 3 : (x, y, z). Dans R 4 : (x 1, x 2, x 3, x 4 ). Dans R n, pour n 4 : (x 1,..., x n ).. Remarque : soit f, une fonction de plusieurs variables : f : O R n R p, où O désigne un ensemble inclus dans R n. Si p = 1, f s appelle fonction numérique de n variables réelles. Si p > 1, f s appelle fonction vectorielle de n variables réelles.

17 1.4. EXERCICES DU CHAPITRE Exercices du chapitre Exercice 1.1 : On rappelle la loi de Boyle Mariotte, valable pour une mole de gaz parfait : PV = RT, où P désigne la pression du gaz, V son volume, R la constante des gaz parfaits et T la température du milieu. 1. Calculer P P et T V. 2. Même question si l on considère à présent la relation de Van der Waals, avec les mêmes conventions que précédemment, et avec a et b réels : ( P + a V 2 ) (V b) = RT. Exercice 1.2 : On considère la fonction définie pour tous (x, y) R 2 par : f(x, y) = x 2 + 2x + y 2 + 4y Montrer que : (x, y) 0, f(x, y) 0. Démontrer qu il existe un point qui minimise f(x, y). 2. Calculer f f (x, y), x y (x, y), 2 f x (x, y), 2 f 2 y (x, y) 2 f 2 x y (x, y) et 2 f (x, y). y x Exercice 1.3 : On pose : f(x, y) = x + y x + y. 1. Déterminer l ensemble de définition D de f. 2. Montrer que (x, y) D, f(x, y) x + y. 3. En déduire lim f(x, y). (x,y) (0,0) 4. Calculer f f (x, y) et (x, y). x y Exercice 1.4 : On considère la fonction f définie sur R 2 par : f(x, y) = x6 + y 5 si (x, y) (0, 0) x 4 + y 4 f(0, 0) = 0 En utilisant le même type de raisonnement que dans l exercice précédent, prouver que f(x, y) = 0, i.e. que f est continue sur R 2. lim (x,y) 0 Exercice 1.5 : En se souvenant de la méthode utilisée pour tracer un paraboloïde de révolution, esquisser dans un repère (O; i, j, k) la surface d équation : z = x 2 +2x+y 2 2y. Exercice 1.6 : On considère la fonction f définie par : f(x, y) = x 2 + 5y 2 4xy + 6y Calculer f f (x, y), x y (x, y), 2 f x (x, y), 2 f 2 y (x, y), 2 f 2 x y (x, y) et 2 f (x, y). y x

18 10CHAPITRE 1. INTRODUCTION À L ÉTUDE DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 2. Montrer que : (x, y) R 2, f(x, y) 1 0. Démontrer qu il existe un point qui minimise f(x, y). 3. On désigne par f(x, y) le vecteur de coordonnées respectives f f (x, y) et (x, y), x y pour (x, y) R 2. Résoudre l équation f = 0. Exercice 1.7 : On appelle f la fonction définie par : ( x f(x, y, z) = 3 + zy y 2 + xz ). 1. Calculer f x (x, y), 2 f z (x, y), 2 f 2 y z (x, y), 3 f z y2(x, y). 2. Calculer lim (x,y,z) O f(x, y, z). Exercice 1.8 : On appelle f, la fonction définie sur R 2 par : f(x, y) = 9 2 y2 + 4y + xy 9 2 x2 + 4x Démontrer que, pour tous (x, y) R 2, on a l inégalité : xy 1 2 (x2 + y 2 ). 2. Démontrer que, pour tous (x, y) R 2, on a l inégalité : f(x, y) 0. En déduire une conséquence graphique pour la surface d équation z = f(x, y). 3. Déterminer un plan de symétrie pour la surface d équation z = f(x, y). 4. Calculer pour tous (x, y) R 2, Que remarque-t-on? 2 f x y (x, y) et 2 f (x, y). y x

19 Chapitre 2 Calculs de limites et continuité des fonctions de plusieurs variables 2.1 Technique de recherche de limites Cas réel Dire que lim f(x) = b, avec a et b réels, revient à dire que lim f(x) b = 0. Graphiquement, cela signifie que lorsque l on s approche de a (x a), la courbe de f se rapproche x a x a de la droite d équation y = b. x = α y y = β C f(a) O a x Fig. 2.1 Exemple à méditer On a : lim f(x) = β, lim f(x) = f(a), lim f(x) =, lim f(x) = +, lim f(x) = x + x a x α x α + x 0. 11

20 12 CHAPITRE 2. CALCULS DE LIMITES ET CONTINUITÉ Vraie définition de la limite : on suppose a et b réels. lim f(x) = b ( ε > 0, η > 0 / x a η = f(x) b ε). x a En pratique, on utilise peu cette définition Formes indéterminées Il est bien important de connaître les formes indéterminées. En effet, il s agit de cas un peu litigieux pour lesquels on ne peut rien affirmer a priori. On est donc contraint d utiliser d autres techniques. Formes indéterminées :, 0, ( ) + (+ ), 0 0. Pour les autres cas, on se reportera au tableau fourni en annexe. Quelques exemples très simples : on écrira à chaque fois les limites sous réserve que celles-ci existent... ( x ) ( x ( π ( x ) 1. lim tan. x tan est définie sur [0, 2π[ et tan = 1, donc lim tan = x π 4 4) 4) x π 4 1. (Nous y reviendrons plus tard.) 2. lim x 0 sin x x. On a une forme indéterminée du type lim x + (x2 x). On a une forme indéterminée du type (+ ) + ( ) Techniques pour lever les indéterminations Fonctions polynôme ou rationnelle Théorème 2.1. La limite d une fonction polynôme en ± est la limite du terme de plus haut degré. Exemple : lim x + (x2 x) = lim x + x2 = +. Rappelons de plus qu une fonction rationnelle se définit comme un quotient de fonctions polynômes. Théorème 2.2. La limite d une fonction rationnelle en ± est la limite du quotient des termes de plus haut degré. Par exemple lim x + x 2 + 3x 4 2x 2 + 4x + 4 = lim x + x 2 2x 2 = 1 2. En pratique, on étudie rarement la limite en ± d une fonction de plusieurs variables, mais nous étudierons ultérieurement des applications de ces théorèmes dans le cas multidimensionnel.

21 2.1. TECHNIQUE DE RECHERCHE DE LIMITES Technique du nombre dérivé On rappelle que si f est une fonction dérivable en a, alors f f(x) f(a) (a) = lim. x a x a f(x) f(0) Exemple : posons f(x) = sin x. Alors : = sin x sin x, puis x 0 x x x 0 (sin) (0) = cos 0 = 1. Exercice : calculer lim x 0 tan x x. Application importante : on définit sur R 2 \{(x, x), x R} la fonction f par : sin(x + y) f(x, y) =. x + y Posons u = x + y. u 0, et d après le calcul précédent f(x, y) 1. (x,y) (0,0) (x,y) (0,0) Cette technique peut être étendue et généralisée. C est le principe des développements limités Développements limités Il existe une autre caractérisation de la dérivabilité. Théorème 2.3. f est dérivable en a de nombre dérivé f (a) si, et seulement s il existe une fonction ε telle que pour tout h tel que a + h soit élément de l ensemble de définition de f, on ait : f(a + h) = f(a) + hf (a) + hε(h), avec lim h 0 ε(h) = 0. C est ce que l on appelle une approximation du premier ordre de f en a. La condition (nécessaire et suffisante) pour que l on puisse trouver une approximation du premier ordre d une fonction f en un point a est que la fonction f soit dérivable en a. Cela traduit le fait que l on peut approximer localement, c est à dire dans un voisinage de a, f(a + h) par f(a) + hf (a) avec une imprécision de hε(h). Remarque 1 : si l on procède à un changement de variable, en posant x = a + h, on a que f est dérivable en a si, et seulement s il existe une fonction ε telle que : f(x) = f(a) + (x a)f (a) + (x a)ε(x a), avec lim x a ε(x a) = 0. On reconnaît bien sûr l équation de la tangente à la courbe de f en a : y = f(a) + (x a)f (a), dans les premiers termes du développement. Remarque 2 : voisinage d un point ou égalité locale. Le développement d une fonction au premier ordre est une égalité locale. C est-à dire que l on peut considérer (définition de limite) que si l on est suffisamment proche de a, l approximation : f(a + h) f(a) + hf (a) a lieu. Mathématiquement, cela s écrit : si ɛ > 0 est fixé, on peut trouver η > 0 tel que : h < η, (c est-à dire a + h ]a η, a + η[) implique : f(a + h) f(a) hf (a) < ɛ. Exemples :

22 14 CHAPITRE 2. CALCULS DE LIMITES ET CONTINUITÉ ln(1 + x) = x + xε(x), où lim ε(x) = 0 et (ln(1 + x)) = 1 x x. e x = 1 + x + xε(x), où lim ε(x) = 0. x 0 1 = 1 + x + xε(x), où lim ε(x) = 0. 1 x x 0 Remarque : notations de Landau. f(x) On écrit f = o (g) lorsque lim = 0. Lorsque nous écrirons les développements x a x a g(x) limités d une fonction f en x 0 nous écrirons régulièrement o x a (xn ) où n sera un entier. Cette notation correspond à précisément à x n ε(x) où lim ε(x) = 0. x a Pour nous fixer les idées, réécrivons les identités précédentes à l aide des notations de Landau : ln(1 + x) = x + o (x). x 0 e x = 1 + x + o (x). x x = 1 + x + o (x). x 0 Remarque : dans le cas d une approximation quand x 0, on verra souvent o(x) au lieu de o x 0 (x). Définition 2.1. L écriture, lorsque f est dérivable en a : f(x) = f(a) + (x a)f (a) + o (x a), x a s appelle développement limité de f en a à l ordre 1. Parfois, on a besoin d une précision supplémentaire. On utilise les théorèmes suivants qui nécessitent la notion de continuité. Pour le moment, on se contentera d admettre que la fonction est continue. Par la suite, on définira précisément la notion de continuité. Théorème 2.4. Si f est une fonction deux fois dérivable en a telle que f est continue en a, alors : f(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (x a)2 (a) + o (x a). 2 x a Plus généralement, on peut utiliser la formule de Taylor-Young : Théorème 2.5. Si f est une fonction n fois dérivable en a telle que f (n) est continue en a, alors : f(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (x a)2 (a) 2! = n k=0 f (k) (x a)k (a) k! + o x a (x a)n. + f (x a)3 (a) f (n) (x a)n (a) + o (x a)n 3! n! x a Remarque : on rappelle que n! = n (n 1) (n 2) et 0! = 1. On peut former les développements limités à l ordre 2 des fonctions usuelles que l on sait deux fois dérivables, à dérivée seconde continue :

23 2.1. TECHNIQUE DE RECHERCHE DE LIMITES 15 e x = 1 + x + x2 + 2 o(x2 ); cosx = x2 + 2 o(x2 ); sin x = x + o(x 2 ); 1 = 1 x + 1+x x2 + o(x 2 ); 1 = 1 + x + 1 x x2 + o(x 2 ); tan x = x + o(x 2 ); (1 + x) α = 1 + αx + α(α 1) x 2 + o(x 2 ); x = 1 + x x o(x2 ); ln(1 + x) = x x2 + 2 o(x2 ); Remarque : une fonction f peut ne pas être dérivable ou plusieurs fois dérivable et admettre cependant un développement limité Formule de Taylor-Lagrange Bien que nos études concernent des fonctions de plusieurs variables, il nous sera souvent utile de recourir à des résultats d Analyse à une variable. Les exercices traités en témoigneront. Les théorèmes suivants explicitent les formules de Taylor-Lagrange à différents ordres. Ils permettent d encadrer l erreur d approximation des fonctions d une variable par leur développement limité. Le premier théorème a probablement déjà été étudié sous le nom d inégalité des accroissements finis : Théorème 2.6. Soit f, une fonction une fois dérivable sur un intervalle I R. Alors, pour toux a et b réels de I, et si la dérivée de f est bornée par un réel M (c est à dire si pour tout x de I on a f (x) M, on a l inégalité : f(b) f(a) M b a. Exemple : la fonction x tan x a pour dérivée la fonction x 1 + tan 2 x, qui est minorée si x [ 0, 2[ π par le réel 1. En utilisant l inégalité des accroissements finis, on en déduit que : x [0, π [ 2 [, tan x tan 0 x 0 x 0, π [, tan x x. 2 Théorème 2.7. Soit f, une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I R. Alors, pour tous a et b réels de I, et si la dérivée seconde de f est bornée par un réel M (c est-à dire si pour tout x de I on a f (x) M), on a l inégalité : f(b) (f(a) + (b a)f (a)) M b a 2. 2 Théorème 2.8. Soit f, une fonction trois fois dérivable sur un intervalle I R. Alors, pour tous a et b réels de I, et si la dérivée troisième de f est bornée par un réel M (c est à dire si pour tout x de I on a f (x) M), on a l inégalité : ( f(b) f(a) + (b a)f (a) + ) (b a)2 f (a) 2 M b a 3. 6