Fonctions de plusieurs variables et changements de variables

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Fonctions de plusieurs variables et changements de variables"

Transcription

1 Notes du cours d'équations aux Dérivées Partielles de l'isima, première année Fonctions de plusieurs variables et changements de variables Gilles Leborgne juin 006 Table des matières Rappels sur les fonctions R R Continuité Notations de Landau o et O 5 3 Dérivation 6 4 Dérivation de produits et de composées 8 5 Théorème des accroissements nis dans R 9 6 Primitives et intégrales 7 Dérivation d'ordre supérieur 8 Développement limité d'un polynôme 3 9 Développements limités : formules de Taylor 3 9 Formule de Taylor avec reste intégral 4 9 Corollaire : formules de Taylor avec o et O 4 Fonctions de plusieurs variables à valeurs scalaires 5 Continuité 5 Dérivation 6 Dérivée directionnelle 6 Fonction dérivable, diérentielle, gradient 7 3 Interprétation géométrique du gradient 3 En terme de plus grande pente 3 En terme de normale au graphe 4 Règles de dérivation 3 5 Théorème des accroissements nis 3 6 Dérivées d'ordres supérieurs, hessien, théorème de Schwarz 4 7 Formule de Taylor dans R n 6 3 Fonctions de plusieurs variables à valeurs vectorielles 8 3 Introduction et continuité 8 3 Dérivations et matrice jacobienne 9 33 Composition et dérivations : produit des jacobiennes 30 4 Théorème des accroissements nis : cas de R n 33 5 Théorème du point xe de Banach 35 6 Théorème d'inversion locale 37 7 Théorème des fonctions implicites 40 7 Cas des fonction R R R 40 7 Cas des fonction R n R m R m 4 7 Développement limités, fonction R n R m R 4 7 Développement limités, fonction R n R m R p Application : fonction R n R m R m 43 8 Changement de variables 45 8 Dénitions et résultats 45 8 Changement de variables 45 8 Coordonnées polaires Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques 48 8 Exemples Formules de changement de base Rappel : changement de vecteurs Rappel : changement de coordonnées 5 juin 006

2 Rappels sur les fonctions R R 9 * Complément 53 9 Matrices jacobiennes et interprétation 53 9 Système de coordonnées, lignes de coordonnées Base du système de coordonnées Les dérivées dans les nouvelles coordonnées Les dérivées secondes dans les nouvelles coordonnées et le laplacien Formules de changement de base Formules de changement de variables dans la base du système de coordonnées Le gradient dans la base de coordonnées Divergence et rotationnel dans les nouvelles coordonnées 6 A Rappels de formules trigonométriques 67 B Quelques intégrales 67 C Quelques dérivées (et primitives usuelles 68 D Racines des polynômes de degré 3 et 4 69 Références bibliographiques 70 Rappels sur les fonctions R R Continuité On considère un intervalle I R, ie, I a l'une des formes suivantes : ], [(= R, ], b[, ], b], ]a, [, [a, [, ]a, b[, [a, b[, ]a, b], [a, b], où a et b sont deux réels tels que a < b (dans les quatre derniers cas Dénition Soit f : I R et x 0 I Alors f est continue en x 0 si : lim f(x = f(x 0 dans R ( x I x x 0 Quand on écrit x x 0, on sous-entend bien sûr que x I, sinon f(x n'aurait pas de sens; on ne précisera plus x I dans la suite, ie on écrira simplement lim x x0 f(x = f(x 0 On rappelle les notations : et déf lim f(x x a+ déf lim f(x x b = lim x>a x b = lim x<b x b f(x noté = f(a+, f(x noté = f(b Et la dénition donnée par ( contient la dénition de la continuité à droite et à gauche : si I = [a, b], f est continue à droite en a ssi : f(a+ = f(a, et f est continue à gauche en b ssi : f(b = f(b La continuité en x 0 s'écrit aussi (avec la valeur absolue dans R : lim f(x f(x 0 = 0 ( x x 0 0 Et en termes de quanticateurs, f continue en x 0 s'écrit : ε > 0, η > 0, x I : x x 0 < η = f(x f(x 0 < ε, qui s'énonce en français : En x 0, pour tout ε > 0 (sous-entendu aussi petit soit-il, il existe η > 0 (qui dépend de ε et de x 0 tel que, dès que x vérie x x 0 < η, on a f(x f(x 0 < ε, ou encore : en x 0, pour tout ε > 0 (sous-entendu aussi petit soit-il, il existe η > 0 (qui dépend de ε et de x 0 tel que, dès que x est dans l'intervalle ]x 0 η, x 0 +η[, on a f(x dans l'intervalle ]f(x 0 ε, f(x 0 +ε[ juin 006

3 3 Rappels sur les fonctions R R Dénition f est discontinue en x 0 ssi f n'est pas continue en x 0, ie ssi lim x x0 f(x f(x 0 Ou encore si : ε > 0, η > 0, x I tq : x x 0 < η et f(x f(x 0 ε Dénition 3 On dit que f : I R est continue dans I si f est continue en tout point x de I Cela s'écrit : x I, ε > 0, η > 0 : x I, x x < η = f( x f(x < ε Dénition 4 On appelle C 0 (I; R l'ensemble des fonctions continues f : I R, qu'on note simplement C 0 lorsqu'il n'y a pas de confusion possible Théorème 5 (des valeurs intermédiaires Soit f : I R une fonction continue dans I, soit a et b deux points de I tels que a < b Alors, si f(a < f(b on a : y 0 ]f(a, f(b[, x 0 ]a, b[, f(x 0 = y 0, (3 et si f(a > f(b, même résultat pour tout y 0 ]f(b, f(a[ Ie, si f est continue, alors toute valeur comprise entre f(a et f(b est atteinte En particulier, si f est continue sur I, alors f(i est un intervalle, à savoir l'un des intervalles [m, M], ]m, M], [m, M[ ou ]m, M[ où m = inf x I f(x et M = sup x I f(x Preuve Supposons f(a < f(b (sinon on travaille avec la fonction f Soit y 0 ]f(a, f(b[, soit S = {x ]a, b[ : f(x < y 0 } Ayant S [a, b], on dénit c [a, b] comme étant la borne supérieur de S : si x S alors x c, et si x > c alors f(x y 0 On commence par remarquer que c vérie a<c<b En eet, montrons par exemple que c a (même raisonnement pour c b : sinon c = a, et alors par dénition de c, pour tout x ]a, b[, on a f(x y 0 > f(a Mais alors lim x a+ f(x y 0 > f(a et f est discontinue en a, contraire à l'hypothèse f continue en a Donc c = a est impossible : on a c > a D'où trois cas possibles : - Soit f(c = y 0, et le théorème est démontré - Soit f(c < y 0, mais f étant continue en c, on a lim x c f(x = f(c et par dénition de c, lim x c+ f(x y 0 > f(c C'est absurde D'où f(c y 0 3- Soit f(c > y 0 Même démarche : c'est impossible Seul le cas - est possible, d'où (3 On en déduit que f(i est un intervalle : en eet, si y, y sont deux point de f(i (ie il existe x, x I tq f(x = y et f(x = y, alors tout point de l'intervalle [y, y ] est dans f(i, cf (3 Et f(i ]m, M[ Dénition 6 On dit que f : I R est uniformément continue dans I si la continuité de f se mesure indépendamment de (uniformément en x : ε > 0, η ε > 0 : x, x I, x x < η ε = f( x f(x < ε (On ne peut pas exprimer l'uniforme continuité en termes de limite Donc ici η ne dépend que de ε, pas de x : pour tout ε, il existe η tel que dès que x et x vérient x x < η ε, on a f( x f(x < ε Proposition 7 Si f est uniformément continue sur I, elle est continue en tout point x de I La réciproque est fausse, ie il existe un intervalle I de R et un fonction continue f : I R telle que f n'est pas uniformément continue Preuve On suppose f uniformément continue dans I Soit x I, alors l'uniforme continuité donne en particulier : ε > 0, η ε > 0 : x I, x x < η ε = f( x f(x < ε Ie f est continue en x La réciproque est fausse : prendre f : x ]0, ] x Cette fonction est bien sûr continue en tout point de ]0, ], mais elle n'est pas uniformément continue dans ]0, ] En eet, ε > 0, on prend ε =, tel que η > 0, x > 0 et y > 0, à savoir x = min(η, et y = x, et on a à la fois x y < η et f(x f(y ε (car x y = min( η, et f(x f(y = x x = x = max( η, =ε (Ou bien prendre f : R R dénie par f(x = x 3 juin 006

4 4 Rappels sur les fonctions R R Exemple 8 Montrer que la fonction f : x [0, ] f(x = x R est uniformément continue (sans se servir de la proposition suivante Réponse Regardons ce qui se passe au voisinage de x = 0, ie la continuité de en x = 0 : on veut x 0 = x < ε dès que x 0 = x < η On prend η = ε, et on a x < η donne bien x < ε (la fonction est continue à droite en 0 et on a caractérisé η en fonction de ε Montrons maintenant que si x x < ε alors x x < ε Pour ce, montrons que x x x x, ie que si x x alors x + x xx x x, ie si x x alors x xx 0 C'est immédiat Et si x < x on a x x = x x et de même x xx 0 Proposition 9 Une fonction f C 0 ([a, b], R (continue sur un compact est uniformément continue Preuve Supposons f non uniformément continue : ε > 0, η > 0, x [a, b], x [a, b], x x < η et f( x f(x ε Soit donc un tel ε Alors on xe n N et on pose η = n Puis on prend deux réels x n et x n tels que x n x n < η et f( x n f(x n ε On construit ainsi deux suites (x n et ( x n dans le compact [a, b] : on peut donc en extraire deux sous-suites convergentes qu'on notera encore, pour simplier les notations, (x n et ( x n Comme x n x n < n, les deux sous-suites convergent vers une même valeur, et vérient également f( x n f(x n ε Comme f est continue, ceci est impossible Donc f est bien uniformément continue Proposition 0 Si f : [a, b] R est continue, alors l'image f([a, b] est compacte (bornée et fermée, et f atteint son maximum et son minimum : x M [a, b] : f(x M = sup f(x, x m [a, b] : f(x m = inf f(x x [a,b] x [a,b] Preuve Le théorème des valeurs intermédiaires indique que f([a, b] est un intervalle, et il s'agit de montrer que cet intervalle est borné et fermé quand f est uniformément continue sur [a, b] (avec la proposition 9 Montrons que l'image f([a, b] est bornée L'intervalle [a, b] étant compact, f y est uniformément continue, et donc à ε xé, il existe η et donc il existe un nombre ni de points x 0 <x <<x n tels que x i+ x i < η et f(x i+ f(x i < ε (à savoir x i = a + i η b a pour i =,, n où n = partie entière de b a η points, quitte à prendre η susamment petit, ie tel que b a η Et donc pour tout x [a, b], il existe i [, n] tel que : x x i < η et f(x f(x i < ε Et donc : sup f(x max (f(x i + ε, pour tout x [a, b] : et f est bien bornée (ie son image x [a,b] i=,,n est bornée Montrons que f([a, b] est fermé Posons M = sup ( f(x, un tel sup existant dans R car f x [a,b] est bornée Il s'agit de montrer qu'il existe x M [a, b] tel que M = f(x M : par dénition du sup, il existe une suite (x n dans [a, b] telle que f(x n n M La suite (x n étant bornée dans le compact [a, b], elle admet une sous suite convergente x nk dans [a, b] Notons x M = lim x n k Sachant f continue, on a f(x nk f(x M, et on en déduit que M = f(x M, et k donc que M f([a, b] De même pour m = inf ( f(x f([a, b], ce qui prouve que f([a, b] x [a,b] est un intervalle fermé Remarque En appliquant le théorème des accroissements nis (voir plus loin, on montre que si f : I R est continue dérivable de dérivée bornée sur I, alors f est uniformément continue sur I 4 juin 006

5 5 Rappels sur les fonctions R R Notations de Landau o et O Dénition Soit x 0 R, et soit I intervalle de R tq x 0 I Étant données deux fonctions f et g de F(I; R, on dit que f est petit o de g au voisinage de x 0, et on note f = o(g au vois de x 0, ssi ε > 0, η > 0, x I, x x 0 < η f(x < ε g(x (4 On écrit également abusivement f(x = o(g(x au vois de x 0, et on dit que f est négligeable devant g au voisinage de x 0 Exemple 3 Avec g = R (la fonction constante valant sur R, on a f = o( R = noté o( au vois de x 0 ssi f(x x x0 0 (immédiat Dénition 4 Étant données deux fonctions f et g de F(R; R, on dit que f est petit o de g au voisinage de +, et on note f = o(g au vois de +, ssi : ε > 0, M > 0, x > M f(x < ε g(x (5 On encore, f = o(g au voisinage de + ssi F = o(g au voisinage de 0 où on a posé F (x = f( x et G(x = g( x Proposition 5 Soit x 0 I, et soit I intervalle de R tq x 0 I Étant données deux fonctions f et g de F(I; R, s'il existe une fonction ε : R R telle que ε(0 = 0 et qui est continue en 0 (donc ε(z z 0 0 et : alors f = o(g au voisinage de x 0 f(x = ε(x x 0 g(x, (6 Preuve Si une fonction ε vériant (6 existe, alors f(x ε(x x 0 g(x Et donc, pour ε > 0 donné, choisissant η > 0 tel que z < η implique ε(z < ε (un tel η existe par continuité de ε en 0, on obtient f(x ε g(x dès que x x 0 < η, d'où (4 En particulier, si g ne s'annule pas dans un voisinage de x 0, on a f est petit o de g au voisinage de x 0, et on note f = o(g au vois de x 0, ssi dans un voisinage de x 0 : f(x g(x = ε(x x f(x 0 ie lim x x 0 g(x = 0 On encore, si g ne s'annule pas dans un voisinage de x 0 sauf éventuellement en x 0 : lim x x 0 x x 0 f(x g(x = 0 noté f(x = lim x x 0 g(x, la dernière notation pour alléger l'écriture (sachant que la division par 0 est interdite Notation On note x n la fonction x x n dénie sur R Ainsi, si g(x = x n, si f = o(g au voisinage de x 0, on note f = o(x n au voisinage de x 0 Exemple 6 Toute fonction monôme f(x = x n avec n est o( au voisinage de x 0 = 0, où on a noté la fonction constante = sur R, car xn 0 x 0 Exemple 7 La fonction f(x = x n pour n est o(x au voisinage de 0 car xn f(x = o(x au voisinage de 0 x x 0 0 : on note Exemple 8 Si f est une fonction continue en x 0, alors f(x f(x 0 0 x x 0 et donc f(x f(x 0 = o(, ie, f(x = f(x 0 + o( au voisinage de x 0 (développement limité de f à l'ordre 0 au voisinage de x 0 Remarque 9 La notation de Landau n'est pas compatible avec l'addition, ie si f = o(g et si f = o(g, la conclusion f +f = o(g +g est fausse Par exemple prendre f (x = f (x = x et prendre g (x = x = g (x : ici on a g +g = 0 et (f +f (x = x o(0 = 0 5 juin 006

6 6 Rappels sur les fonctions R R Proposition 0 La notation de Landau est compatible avec la multiplication, ie si f = o(g au vois de x 0 alors fh = o(gh au vois de x 0 pour toute fonction h Et la notation de Landau est transitive, ie si f = o(g et g = o(h au vois de x 0 alors f = o(h au vois de x 0 Preuve Si f(x = ε(x x 0 g(x alors h(xf(x = ε(x x 0 h(xg(x Et si f(x = ε (x x 0 g(x et g(x = ε (x x 0 h(x alors f(x = (ε ε (x x 0 h(x, avec ε ε qui tend vers 0 quand x x 0 Dénition On dénit la notion de `comparable' ou de `grand O' comme suit : étant données deux fonctions f et g, on dit que f = O(g au voisinage d'un point x 0 ssi : C > 0, η > 0, x I, x x 0 < η, f(x C g(x et on note également f(x = O(g(x au voisinage de x 0 On dit aussi que f est (au plus du même ordre de grandeur que g au voisinage de x 0 3 Dérivation Dénition Soit f : I R, et soit x 0 I Quand la limite suivante existe dans R : f(x f(x 0 lim R, x x 0 (7 x x 0 f(x f(x ie quand il existe c R tel que c = lim 0 x x0 x x 0, on dit que f est dérivable en x 0, et on note c = f (x 0 Donc, si f est dérivable en x 0, on note : f(x f(x 0 lim = f (x 0 x x 0 x x 0 Quand on écrit x x 0, on sous-entend bien sûr que x I, sinon f(x n'aurait pas de sens Cette dénition contient donc la dénition de la dérivée à droite (ou dérivée par la droite correspondant au cas où x 0 = a (et donc I = [a, b[ ou [a, b] ou [a, [ notée : f(x f(x 0 lim = f f(x (x 0 + R, x x 0 ou encore 0 + h f(x lim = f (x 0 + (8 + x x 0 h 0+ h avec la notation immédiate : lim = lim x x 0 + x>x 0 De même pour la dérivée à gauche x x 0 Une dénition équivalente est : ou encore : f(x f(x 0 x x 0 f (x 0 = o( au vois de x 0, (9 f(x f(x 0 = f (x 0 + o( au vois de x 0, (0 x x 0 ou encore : f(x = f(x 0 + f (x 0 (x x 0 + o(x x 0 au vois de x 0, ( appelé développement limité de f à l'ordre au voisinage de x 0 La valeur f (x 0 est aussi appelée la pente de f en x 0 (= rapport côté opposé/côté adjacent : f y (x 0 = pente en x 0 = lim x x 0 x, où on a noté y = f(x f(x 0 et x = x x 0 On a le résultat immédiat : Proposition 3 Si f est dérivable en x 0, alors f est continue en x 0 6 juin 006

7 7 Rappels sur les fonctions R R Preuve Par hypothèse, f(x = f(x 0 + (x x 0 f (x 0 + o(x x 0, et donc, si x x 0 on a bien f(x f(x 0 Si les valeurs f (x 0 existent pour tous les x 0 I, où I R, on dénit la fonction dérivée par : f : { I R x f (x Exemple 4 L'application ane f(x = ax + b est dérivable en tout point x R, et a pour dérivée f (x = a =constante pour tout x R (calcul immédiat Et la représentation de f dans R R = R par son graphe {(x, f(x : x R} est une droite de pente a passant par le point (0, b Exemple 5 L'application f(x = x est dérivable sur R {0} En 0, la limite à droite est +, et la limite à gauche est Cette fonction n'est donc pas dérivable en 0 Exemple 6 L'application f(x = x n pour n N est dérivable en tout point x 0 R, et sa dérivée en x 0 est f (x 0 = nx0 n (pour n En eet : x n x n 0 = (x x 0 (x n + x n x xx n 0 + x n 0 ( et donc xn x n 0 x x 0 polynomiale est dérivable sur R, et sa dérivée est immédiate à calculer tend vers nx n 0 quand x tend vers x 0 Et par linéarité on déduit que toute fonction Exemple 7 L'application exponentielle x exp(x = e x est dénie comme étant la fonction qui est égale à sa dérivée en tout point x R, ie, pour tout x R, on a exp (x = exp(x On note C (I; R l'ensemble des fonctions f : I R qui sont dérivables sur I de dérivée f continue sur I (ie f C 0 (I; R, et on note simplement C lorsqu'il n'y a pas de confusion possible Remarque 8 Une fonction f peut être continue dans tout R et dérivable dans tout R sans que sa dérivée soit continue dans tout R : par exemple, f dénie sur R par f(x = x sin( x en et 0 par f(0 = 0 est continue sur R Cette fonction est dérivable sur R de dérivée f (x = x sin( x cos( x, et cette dérivée n'est pas prolongeable par continuité en 0 Pourtant f (0 existe et vaut 0 car f(x f(0 x 0 = x sin( x vers tend 0 quand x 0 Cette fonction est donc dérivable en 0 sans que sa dérivée f soit une fonction continue en 0 Les fonctions dérivables n'ont donc pas forcément leurs dérivées continues La dérivation est l'opération qui consiste à calculer la dérivée Etant donné que a+b c = a c + b c dans R dès que c 0, on a immédiatement le théorème : Théorème 9 L'opération de dérivation est une opération linéaire, ie, si f et g sont deux applications dérivables en x et si λ R alors : (f + λg (x = f (x + λg (x (3 Dénition 30 Si f est dérivable en x 0, alors la fonction ane dénie par : g x0 (x = f(x 0 + f (x 0 (x x 0, (4 ie par : g x0 (x = ax + b avec a = f (x 0 et b = f(x 0 f (x 0 x 0, (5 est appelée application ane tangente à f en x 0 Son graphe dans R est une droite tangente en x 0 au graphe de f Dénition 3 Deux fonctions f : R R et g : R R sont dites tangentes en un point x 0 ssi : f(x g(x lim = 0 x x 0 x x 0 En particulier, si g est ane, alors g s'écrit g(x = a(x x 0 + b où g(x 0 = b et g (x 0 = a, et si f est dérivable en x 0, alors f(x = f(x 0 + (x x 0 f (x 0 + o(x x 0 au voisinage de x 0 Et on retrouve immédiatement que si g est tangente à f alors on doit avoir g(x 0 = f(x 0 et g (x 0 = f (x 0, et le graphe de g est la droite tangente au graphe de f en x 0 7 juin 006

8 8 Rappels sur les fonctions R R 4 Dérivation de produits et de composées On rappelle que si f et g sont deux fonctions dénies sur un même intervalle I, alors le produit fg est la fonction dénie sur I par fg(x = f(xg(x Si de plus g ne s'annule pas sur I, alors f g est la fonction dénie par f f(x g (x = g(x Et si g est dénie sur f(i, alors g f est la fonction dénie sur I par (g f(x = g(f(x Voici quelques règles usuelles de dérivation : Théorème 3 Soient f et g deux fonctions dérivables en x R Alors, le produit fg est dérivable en x, et si g (x 0 alors f g est dérivable en x, et : (i (ii (fg (x = f (xg(x + f(xg (x, ( f (x = f (xg(x f(xg (x g g(x (6 En particulier, ( g (x = g (x g(x Et si f est dérivable en x, et si g est dérivable en y = f(x, alors g f est dérivable en x et : (iii (g f (x = g (yf (x = g (f(xf (x (7 En particulier, si f est inversible au voisinage de x, si f (x 0, et si f est dérivable en y = f(x, alors : (iv (f (y = f (x = f (f (y (8 Preuve Soit x 0 R Démontrons (i, ie, cherchons si la limite suivante existe : f(xg(x f(x 0 g(x 0 lim x x 0 x x 0 (9 On a : f(xg(x f(x 0 g(x 0 = (f(x f(x 0 g(x + f(x 0 (g(x g(x 0 x x 0 x x 0 x x 0 Mais g continue et dérivable en x 0 et f est dérivable en x 0 et donc : (0 f(xg(x f(x 0 g(x 0 x x 0 = (f (x 0 + o((g(x 0 + o( + f(x 0 (g (x 0 + o( ( L'opération passage à la limite étant linéaire, et la limite d'un produit étant égal aux produits des limites, on déduit l'existence de la limite et (i De même pour (ii quand f = : on a g(x g(x 0 x x 0 = g(x 0 g(x x x 0 g(xg(x 0 ( d'où l'existence de la limite et (ii quand f = Puis (ii découle de cette dernière formule et de (i puisque f g = f g Pour (iii, cherchons l'existence de la limite quand x x 0 de : g(f(x g(f(x 0 x x 0 = g(y g(y 0 x x 0, (3 où on a posé y = f(x et y 0 = f(x 0 Comme g est dérivable en y 0, il vient : g(y = g(y 0 + g (y 0 (y y 0 + o(y y 0 = g(y 0 + g (y 0 (f(x f(x 0 + o(f(x f(x 0 (4 Et la dérivabilité de f en x 0 s'écrit f(x f(x 0 = f (x 0 (x x 0 + o(x x 0 D'où : g(y = g(y 0 + g (y 0 [f (x 0 (x x 0 + o(x x 0 ] + o(f (x 0 (x x 0 + o(x x 0 (5 Et on obtient : g(y g(y 0 = g (y 0 f (x 0 (x x 0 + o(x x 0, (6 ie la dérivée de g f en x 0 vaut g (y 0 f (x 0 8 juin 006

9 9 Rappels sur les fonctions R R Enn pour (iv, si f est dérivable en y = f(x avec f dérivable en x, de (f f (y = y on déduit : f (f (y(f (y =, ie (8 Remarque 33 Dans la dérivation de fonctions composées, il fallait comparer l'accroissement g(f(x g(f(x 0 avec l'accroissement x x 0 Formellement, on aurait pu écrire : g(f(x g(f(x 0 = g(f(x g(f(x 0 x x 0 f(x f(x 0 f(x f(x 0 x x 0 g (f(x 0 f (x 0 (7 ce qui aurait donner directement le résutat Cependant, il se peut que la fonction f oscille beaucoup autour de x 0, et on ne peut pas alors diviser par f(x f(x 0 (exemple : f(x = x sin( x avec f(0 = 0 C'est pourquoi on a composé les accroissements sans faire apparaître f(x f(x 0 au dénominateur Théorème 34 (Leibniz Si f et g sont n-fois dérivables en x alors fg est n-fois dérivable en x et : n ( n (fg (n (x = f (k (xg (n k (x (8 k k=0 où les ( n k = n! k!(n k! = Ck n sont les coecients binomiaux Preuve Démonstration par récurrence, sachant que ( n k + ( ( n k = n k (règle du triangle de Pascal 5 Théorème des accroissements nis dans R Théorème 35 (Fermat Si f : [a, b] R présente un extremum local (minimum ou maximum en x 0 ]a, b[ et si f est dérivable en x 0, alors f (x 0 = 0 Preuve Supposons f maximale en x 0 : f(x f(x 0, donc f f(x f(x 0 (x 0 + = x>x0 lim 0 et x x x x 0 0 f (x 0 = x<x0 lim 0 Comme f est dérivable en x 0 on a f (x 0 + = f (x 0 = f (x 0 x x 0 Donc f (x 0 = 0 Et si f a un minimum en x 0, alors f est maximum en x 0 et f (x 0 = 0 x x 0 f(x f(x 0 Exercice 36 Montrer le théorème dit de Darboux : si f est dérivable sur [a, b], si f (a < f (b et si λ est tel que f (a < λ < f (b, alors il existe ξ ]a, b[ tel que λ = f (ξ Réponse L'inconnue du problème est un point ξ tel que f (ξ = λ, ie tq f (ξ λ = 0 Soit g(x = f(x λx de dérivée g (x = f (x λ On cherche donc un point ξ où g admet un extremum g est continue sur [a, b] et donc y atteint son maximum en un point ξ g étant dérivable, le théorème de Fermat indique que g (ξ = 0 = f (ξ λ Théorème 37 (Rolle Si f est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[, et si f(a = f(b alors il existe ξ ]a, b[ tel que f (ξ = 0 Preuve f étant continue sur [a, b] y admet un extremum local, et f étant dérivable, on applique le théorème de Fermat Théorème 38 (des accroissements nis Si f : [a, b] R est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, alors : c ]a, b[, = f (c (9 f(b f(a b a Ie, il existe c ]a, b[ tel que f (c soit la pente moyenne Ou encore : θ ]0, [, f(b f(a = (b af (a+θ(b a 9 juin 006

10 0 Rappels sur les fonctions R R (Ce théorème est aussi parfois appelé théorème de Lagrange Et le point c = a+θ(b a s'écrit aussi c = ( θa+θb, qui est l'écriture usuelle du barycentre de a et b Preuve La droite joignant a et b a pour équation y = f(a + f(b f(a b a (x a On considère alors la fonction g(x = f(x f(a f(b f(a b a (x a, qui vérie g(b = g(a, et on lui applique le théorème de Rolle : il existe ξ ]a, b[ tel que g (ξ = 0 = f (ξ f(b f(a b a Exercice 39 Montrer que si f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ et si f (x = 0 pour tout x dans ]a, b[, alors f(x est constante sur [a, b] Réponse : Le théorème des accroissements nis indique que, pour tout y ]a, b], il existe c ]a, y[ tel que f(y f(a = f (c(y a = 0, d'où f(y = f(a pour tout y [a, b] Exercice 40 Montrer que si f est dérivable dans ]a, b[ (où a < b, et si m f (t M pour f(b f(a tout t ]a, b[, alors m M b a Réponse : Le théorème des accroissements nis indique que f(b f(a = f (c(b a pour un c ]a, b[ D'où f(b f(a = (b a f (c, d'où m(b a f(b f(a M(b a Théorème 4 (accroissements nis généralisés Si f et g : [a, b] R sont continues sur [a, b] et dérivables sur ]a, b[, alors : c ]a, b[, (f(b f(ag (c = (g(b g(af (c En particulier, si g(b g(a, il existe c ]a, b[ tel que f(b f(a g(b g(a = f (c Preuve L'inconnue de ce problème est c On pose : F (x = (f(b f(ag(x (g(b g(af(x et on cherche s'il existe x tel que F (x = 0 On a : g (c = f(b f(a b a g(b g(a b a F (b F (a = (f(b f(ag(b (g(b g(af(b (f(b f(ag(a + (g(b g(af(a = 0, et donc on peut appliquer le théorème de Rolle : c ]a, b[ tq F (c = 0 Et F (c = (f(b f(ag (c (g(b g(af (c Corollaire 4 (Règle de l'hôpital Si f et g : [a, b] R sont continues sur [a, b] et dérivables sur ]a, b[, alors : f(x f(a lim x a + g(x g(a = lim f (x x a + g (x dans le cas où ces limites existent En particulier, si f et g sont dérivables à droite en a alors ces limites valent f (a g (a Preuve On applique le théorème précédent qui donne (f(x f(ag (c x = (g(x g(af (c x avec a < c x < x, pour x quelconque dans ]a, b], d'où le résultat quand x a f(x f(a f(x f(a / (C'est une autre façon d'écrire que g(x g(a = quand ça a un sens, g(x g(a x a x a ou encore de dire que les comportements de f et g sont caractérisés par leur développement limité à l'ordre Théorème 43 (Théorème de Rolle Généralisé Si f est une fonction C ([a, b] qui s'annule en les 3 points a, b et c ]a, b[, alors il existe ξ ]a, b[ tel que f (ξ = 0 (il y a alors un point ou la courbure est nulle Et plus généralement, si f C n ([a, b] s'annule en n + points distincts de [a, b], alors il existe ξ ]a, b[ tel que f (n (ξ = 0 Preuve Le thoéorème de Rolle indique que f s'annule en deux points distincts : une fois sur ]a, c[ et une fois sur ]c, b[, et donc (f s'annule une fois sur ]a, b[ Par récurrence, on généralise 0 juin 006

11 Rappels sur les fonctions R R 6 Primitives et intégrales Dénition 44 À f : I R fonction donnée, si le problème : trouver une fonction F : I R telle que F (x = f(x pour tout x I a une solution F, on dit que la fonction F est une primitive de f sur I On note immédiatement que si F est une primitive de f, alors pour toute constante c R, F + c est aussi une primitive de f Réciproquement : Théorème 45 Si F et F sont deux primitives de f alors il existe c R tel que F = F + c, ie, deux primitives de f dièrent au plus d'une constante Preuve La fonction g(x = F (x F (x est telle que g (x = 0 Alors le théorème des accroissements nis indique que `g = constante', voir exercice 39 On peut alors dénir : Dénition 46 On dit qu'une fonction f est intégrable sur I si elle admet une primitive sur I En fait, la dénition d'une intégrale de f est plus générale : voir un cours sur les sommes de Riemann pour l'intégrale de Riemann, ou sur l'intégrale de Lebesgue pour l'intégrale de Lebesgue Dénition 47 On appelle intégrale (dénie de f sur I = [a, b] la diérence F (b F (a (si elle existe, où F est une primitive de f sur I, et on note : b a f(x dx = F (b F (a noté = b a f (30 Donc l'intégrale d'une fonction ne dépend que de la valeur d'une primitive aux extrémités de l'intervalle Et b f représente l'aire sous la courbe (voir les sommes de Riemann a En particulier, si f est dérivable sur I, alors f est intégrable sur I et : b Et on retrouve les formules de base de l'intégration : a f (x dx = f(b f(a (3 Théorème 48 L'intégration est une opération linéaire, ie b a (f + λg = b a f + λ b g, pour a tout λ R et toutes fonctions intégrables f et g Et pour tout c [a, b], relation de Chasles : b a f = c a f + b c f (3 Preuve Si F et G sont des primitives de f et g alors immédiatement (F +λg (x = F (x+λg (x Puis F (b F (a = F (b F (c + F (c F (a On note, pour une fonction F donnée : F (b F (a noté = [F ] b noté a = [F (x] b a Théorème 49 (Intégration par parties Si f et g sont deux fonctions dérivables sur I = [a, b] et si f g et fg admettent des primitives sur I alors : soit : b a f (xg(x dx + b a b a f (xg(x dx = f(xg (x dx = [fg] b a (= f(bg(b f(ag(a, (33 b Preuve fg est dérivable et (fg = f g + fg a f(xg (x dx + [f(xg(x] b a (34 juin 006

12 Rappels sur les fonctions R R Théorème 50 (Changement de variables Si f est dérivable sur I = [a, b], si g est intégrable sur f(i, et si (g ff est intégrable sur I alors : b x=a g(f(xf (x dx = f(b y=f(a g(y dy (35 Preuve Soit G une primitive de g Alors avec la dérivation de fonctions composées, (G f (x = g(f(xf (x, d'où : b a (G f (x dx = [(G f(x] b a = G(f(b G(f(a = f(b f(a g(y dy (36 Théorème 5 (Théorème de la moyenne Si f possède une primitive sur [a, b] alors : ξ [a, b], b a f(x dx = f(ξ(b a, (37 ie il existe ξ [a, b] tel que l'aire sous le graphe de f entre a et b est égale à l'aire du rectangle de base [a, b] et de hauteur f(ξ Preuve C'est une application du théorème des accroissements nis à F une primitive de f Dénition 5 On appelle valeur moyenne de f sur [a, b] (ou hauteur moyenne de f entre a et b le nombre f = b b a f(x dx(= f(ξ a Corollaire 53 On suppose f et g intégrables sur [a, b] : (i Si f 0 sur [a, b] alors b f(x dx 0 a (ii Si f(x g(x alors b a f(x dx b g(x dx a (iii Si m f(x M sur [a, b], alors m(b a b f(x dx M(b a a (iv b a f(x dx b f(x dx a (v Si f(x 0 est continue sur [a, b] et si f 0 alors b f(x dx > 0 a (vi Si g 0 sur [a, b], si f, g et fg sont intégrables sur [a, b] avec f continue sur [a, b], alors (théorème généralisé de la moyenne : ξ [a, b], b a f(xg(x dx = f(ξ b a g(x dx (38 7 Dérivation d'ordre supérieur Dénition 54 La fonction dérivée f est dérivable en un point x 0 I si la limite suivante existe dans R (notée dans ce cas f (x 0 : f (x f (x 0 lim = f f (x 0 R x x 0 ou encore (x 0 + h f (x 0 lim = f (x 0 R x x 0 h 0 (39 h Et on dit alors que f est deux fois dérivable en x 0 Avec la notation `petit o', cela s'écrit encore : f (x f (x 0 = f (x 0 + o(, ie f (x = f (x 0 + f (x 0 (x x 0 + o(x x 0 (40 x x 0 Exercice 55 Montrer que si p : R R est un polynôme de degré donné sous la forme p(h = a+bh+ch, alors a = p(0, b = p (0 et c = p (0, et donc que p(h = p(0+h p (0+ h (0 p Réponse On a p (h = b + ch et p (h = c, d'où p (0 et p (0 juin 006

13 3 Rappels sur les fonctions R R Exercice 56 Montrer que si p : R R est un polynôme de degré donné sous la forme p(x = a + b(x x 0 + c(x x 0, alors on a a = p(x 0, b = p (x 0 et c = p (x 0, et donc que p(x = p(x 0 + (x x 0 p (x 0 + (x x 0 p (x 0 Réponse On a p(x 0 = a Puis on a p (x = b+c(x x 0 et p (x = c, d'où p (x 0 = b et p (x 0 = c Dénition 57 On dénit les dérivées d'ordre n par récurrence : on note f (0 = f, f ( = f, et f est dérivable à l'ordre n en x 0 si f (n est dérivable sur un voisinage de x 0 Dénition 58 On note C n (I; R (ou plus simplement C n, l'ensemble des fonctions f qui sont dérivables n-fois dans I et telles que f (n est continue dans I 8 Développement limité d'un polynôme Soit le monôme déni par, pour n N : p(x = x n, x R On s'intéresse à ce qui se passe au voisinage d'un point x 0 R, ce qui revient à considérer les variations de p(x 0 +h pour x 0 xé et h variable (changement d'origine On a, avec ( n k = n! k!(n k! : p(x 0 + h = (x 0 + h n = n ( n k k=0 x n k 0 h k Et on remarque que, p (x 0 = nx0 n et par récurrence, pour 0 k n : d'où, pour x, h R : p (k (x 0 = n(n (n k + x n k 0 = p(x 0 + h = n k=0 h k k! p(k (x 0 n! (n k! xn k 0 = k! ( n k x n k 0, = p(x 0 + h p (x 0 + h p (x hn n! p(n (x 0, expression du développement de p( au voisinage de x 0 en fonction de ses dérivées en x 0, appelé développement limité en x 0 Exemple 59 Pour p(x = x, il vient p(x 0 + h = x 0 + x 0 h + h = p(x 0 + p (x 0 h + p (x 0 h, de vérication immédiate car p (x 0 = x 0 et p (x 0 = La formule ci-dessus s'écrit également, pour tout a, x R (et ici h = x a : p(x = n (x a k k=0 k! p (k (a, (4 et c'est le développement limité de p en a Et un polynôme étant une somme de monôme, cette formule est trivialement vraie pour tout polynôme 9 Développements limités : formules de Taylor Il s'agit d'approcher une fonction f C n+ (R par un polynôme p n de degré n au voisinage d'un point a R : f(x = p n (x + R(x, (4 où R(x est le `reste' (petit lorsque x est `proche' de a On va montrer que : p n (x = n (x a k f (k (a, k! k=0 et que R(x = O((x a n+ (ou encore : R(x = o((x a n, et donc (alors immédiat qu'en particulier p (k n (a = f (k (a Le résultat (4 est déjà acquis lorsque f est un polynôme avec R = 0, cf (4 3 juin 006

14 4 Rappels sur les fonctions R R 9 Formule de Taylor avec reste intégral Théorème 60 Si f est dérivable k+-fois sur I = [a, b] alors au voisinage de a : f(x = f(a + + f (k (x ak (a + k! = f(a + + f (k (a (x ak k! x a + (x ak+ k! f (k+ (x tk (t dt k! En particulier, si 0 [a, b], pour x [a, b] alors au voisinage de 0 : f(x = f(0 + + f (k (0 xk k! + x 0 = f(0 + + f (k (0 xk k! + xk+ k! 0 f (k+ ((x au+a ( u k du f (k+ (x tk (t dt k! 0 f (k+ (xu ( u k du (43 (44 Preuve On a par dénition de l'intégrale f(x = f(a+ x a f (t dt La formule est donc vraie pour k = 0 Puis par intégration par parties (où à x xé on pose u (t =, v(t = f (t puis u(t = t x et v (t = f (t : x t=a f (t dt = [(t xf (t] x t=a D'où au second ordre : x t=a f(x = f(a + (x af (a + x (t xf (t dt = (x af (a + x a (x tf (t dt t=a (x tf (t dt Puis par intégration par parties successives (où à x xé on pose u (t = (x tk k!, v(t = f (k+ (t puis u(t = (x tk+ (k+! et v (t = f (k+ (t : x t=a f (k+ (x tk (x x tk+ (t dt = [ f (k+ (t] x a k! (k +! = (x ak+ f (k+ (a + (k +! x t=a t=a f (k+ (x tk+ (t dt (k +! f (k+ (t (x tk+ (k +! dt (45 d'où le résultat par récurrence Puis on fait le changement de variable u = t a x a [0, ], soit t = a+(x au et dt = (x adu Puis x t = (x a( u, d'où (x t k = (x a k ( u k, d'où le résultat 9 Corollaire : formules de Taylor avec o et O On déduit du théorème 60 précédent : Théorème 6 Si f C k+ ([a, b] alors pour tout x 0, x [a, b] il existe ξ ]a, b[ tel que : et (donc : f(x = f(x 0 + f (x 0 (x x f (k (x 0 (x x 0 k k! + f (k+ (ξ (x x 0 k+, (46 (k +! f(x = f(x 0 + f (x 0 (x x f (k+ (x 0 (x x 0 k+ + o((x x 0 k+ (k +! = f(x 0 + f (x 0 (x x f (k (x 0 (x x 0 k + O((x x 0 k+ k! (47 Preuve On applique le théorème 5 de la valeur moyenne, d'où la première égalité Puis f (k+ étant continue, on a f (k+ (ξ = f (k+ (x 0 + o(, d'où la seconde égalité Et ayant f C k+ ([a, b] on a f (k+ borné sur [a, b], et on déduit la troisème égalité à l'aide de la première 4 juin 006

15 5 Fonctions de plusieurs variables à valeurs scalaires Fonctions de plusieurs variables à valeurs scalaires On considère R n muni de sa base canonique ( e,, e n et de son produit scalaire canonique déni par : si x = n i= x i e i = x x n ( x, y R n = n x i y i (= x y + + x n y n, i= et y = n i= y i e i = y y n, associé à la norme (la longueur donnée par formule de Pythagore : x R n = x + + x n ( On se donne un ouvert Ω R n On s'intéresse aux fonctions de variables vectorielles à valeurs scalaires, ie aux fonctions de type : f : { Ω R x f( x R On rappelle que le graphe d'une telle fonction est le sous-ensemble de R n R déni par : G(f = {( x, z Ω R : z = f( x} Continuité Soit f : Ω R et a Ω Alors f est continue en a si : ie lim x a 0 f( x f( a = 0, ou encore : f( x = f( a + o( au vois de a, développement limité de f à l'ordre 0 En termes de quanticateurs, f continue en a s'écrit : lim f( x = f( a, ( x a ε > 0, η > 0, x Ω : x a < η = f( x f( a < ε (En français : en a Ω, pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que, dès que x vérie x a < η, on a f( x f( a < ε Et f discontinue en a s'énonce : ε > 0, η > 0, x Ω : x a < η et f( x f( a ε Dénition On appelle C 0 (Ω, R l'ensemble des fonctions f : Ω R qui sont continues en tout point de Ω, et on note simplement C 0 lorsqu'il n'y a pas de confusion possible Remarque Il n'est pas susant, pour montrer que f est continue en a, de montrer que, pour tout v, les fonctions g v : t g(t = f( a + t v sont continues en 0 avec g v (0 un réel indépendant de v Ie, il est insusant de vérier que f est continue dans toutes les directions v avec une limite c = lim f( a + h v h 0 indépendante de la direction v Prendre par exemple f : R R avec f(0, 0 = 0 et pour (x, y 0 : f(x, y = x y x 4 + y Voir gure Cette fonction est continue sur R { 0} En 0 : on a g v (h = f( 0 + h v h 0 0 quelque soit le vecteur v (xé Mais f n'est pas continue en 0 : on a f(x, x = Remarque 3 Pour montrer qu'une fonction est continue en un point a, on peut passer en coordonnées polaires ( x = a + r cos θ x = a + r sin θ, et dire que x a, c'est dire que x a = (x a + (x a = r 0 5 juin 006

16 6 Fonctions de plusieurs variables à valeurs scalaires Fig Graphe de la fonction f(x, y = x y x 4 + y Dérivation Dérivée directionnelle On s'intéresse à la dérivée d'une fonction f : R n R en un point a R n dans une direction v R n Ie on restreint l'étude de f à la droite d'équation t a + t v (droite dans R n, et on veut connaître la dérivée de f en a le long de cette droite On pose : g(t = f( a + t v, t R, ie on se ramène à l'étude de la fonction g : R R, et on veut regarder les variations g (t de g en t = 0 : Dénition 4 La dérivée de f en a dans la direction v est le réel : On a donc : g (0 noté = v f( a noté ( a = lim v t 0 = ( a (3 v f( a + t v f( a t Dénition 5 Lorsque v = e i (le i-ème vecteur de base, on note : ei f( a noté = i ( a noté = i f( a, (4 et ces réels sont appelés les dérivées partielles de f en a On a donc, par exemple pour f : R R : f(a + t, a f(a, a ( a = lim, t 0 t où on a noté a = (a, a, ou encore avec des notations génériques, ie pour la dérivée en un point x : ( x = lim f(x + h, x f(x, x h 0 h Et dans cette expression, x joue le rôle d'une constante, la seule quantité variable étant x Remarque 6 Attention tout de même : si on note (y, y les variables, ie on considère f(y, y, la notation f (qui n'est pas ambiguë se note indiéremment ou (qui peut paraître ambiguë On vient ainsi de dénir les fonctions, pour i =, : quand elles ont un sens dans tout Ω i f = : i Ω R x i f( x = i ( x 6 juin 006

17 7 Fonctions de plusieurs variables à valeurs scalaires Dénition 7 Et une fonction qui est dérivable dans toutes les directions est appelée Fréchet dérivable ou bien Fréchet diérentiable Exercice 8 Soit f(x, y = sin(x + y Calculer f, f et e+ e f en tout x = (x, y R Exercice 9 Soit f( x = x (= x + y Calculer ses dérivées partielles en x 0 Est-ce que f a des dérivées partielles en 0? (On rappelle que x = x Exercice 0 Soit f(x, y = x y x +y si x 0 et f( 0 = 0 Calculer ses dérivées partielles en tout x 0, puis en x = 0 Puis posant v = (v, v, calculer v f( x en tout point x Exercice Soit f(x, y = xy x y x +y si x 0 et f( 0 = 0 Montrer que f est continue en 0 Calculer ses dérivées partielles en tout x 0, puis en x = 0 Réponse On passe en coordonnées polaires : f(r cos θ, r sin θ = r cos θ sin θ(cos θ sin θ r 0 0 f( 0+h e D'où f est continue en 0 Et en 0 on a : lim f( 0 h 0 = 0 = h ( 0 Exercice Montrer que, pour λ R et λ 0, on a : Réponse : par dénition, on a, posant w = λ v : soit (λ v ( a = λ (λ v v ( a f( a + h w f( a f( a + (hλ v f( a ( a = lim = lim w h 0 h h 0 hλ λ f( a + k v f( a = λ lim = λ k 0 k v ( a, ( a = λ ( a comme annoncé : donc attention aux changements d'unités (ex : mètre yard v Fonction dérivable, diérentielle, gradient Pour simplier les écritures, on traite le cas Ω R, la généralisation au cas Ω R n ne posant pas de problème Cependant, la dérivabilité dans toutes les directions n'est pas une notion assez forte : par exemple, la fonction dénie sur (R par f(x, x = x x et par f( 0 = 0 est constante sur x +x toutes les droites t t v privée du point 0 quelque soit la direction v R 05 y 0 05 z x 4 Fig Graphe de la fonction f(x, y = x y x + y Cependant, en a = (0, 0 la fonction f n'est même pas continue (voir gure D'où la dénition suivante : 7 juin 006

18 8 Fonctions de plusieurs variables à valeurs scalaires Dénition 3 Soit a Ω Une fonction f : Ω R (à valeurs scalaires est dite diérentiable en a, ou dérivable (au sens de Gateaux en a, ssi son graphe admet un plan tangent en a, ie ssi il existe une application linéaire l a : x R n l a ( x R telle que : f( x = f( a + l a ( x a + o( x a (5 Et l'application linéaire l a est appelée forme diérentielle de f en a, et notée l a = df( a Localement au voisinage de a, f est ainsi approximée par la forme linéaire l a, et l'expression (5 est le développement limité de f à l'ordre au voisinage de a Si on se place dans R n muni de sa base canonique, une telle application linéaire s'écrit l a (x,, x n = A x + + A n x n, d'où la dénition équivalente : Dénition 4 f est dite diérentiable, ou dérivable (au sens de Gateaux, en a = (a,, a n ssi : A,, A n R tels que, au voisinage de x = a : (6 f(x,, x n = f(a,, a n + A (x a + + A n (x n a n + o( x a Exemple 5 Pour f : R R, on vient d'écrire, notant z = f(x, y, que z = αx + βy + γ + o( x a où α = A, β = A et γ = f( a A x A y, ie que le graphe de f admet en a un plan tangent à savoir le plan d'équation z = αx + βy + γ Autrement dit, f est diérentiable en a ssi le graphe de f admet un plan tangent en a Proposition 6 Si f est diérentiable en a = (a,, a n, alors f est continue en a, et on a A = ( a,, A n = n ( a, et donc : f( x = f( a + (x a ( a + + (x n a n n ( a + o( x a (Appelé développement limité de f au premier ordre au voisinage de a Preuve La dénition (6 donne f( x = f( a + o(, donc f est continue en a Puis regardons par exemple A (même démarche pour les A i : on prend x = a + h e = (a +h, a, Il vient : D'où f(a+h,a, f(a,a, h f(a +h, a, = f(a, a, + A h o(h = A + o(h, d'où A = ( a Dénition 7 Avec le produit scalaire canonique de R n, il existe un unique vecteur noté gradf( a, appelé gradient de f en a, tel que l a ( v = ( gradf( a, v n pour tout v R n (donné par le théorème de représentation de Riesz Et ici (pour le produit scalaire canonique on a : ( a gradf( a = = ( a noté = f( a (7 n ( a n Donc : f( a + h v f( a = h ( gradf( a, v R n + o(h (8 Dénition 8 On appelle matrice jacobienne de f en a la matrice ligne : J f ( a = [ ( a n ( a] (Matrice des composantes de la diérentielles df( a dans la base duale de la base canonique, voir cours de géométrie diérentielle 8 juin 006

19 9 Fonctions de plusieurs variables à valeurs scalaires En particulier, disposant du produit scalaire canonique, on a : Donc, si f est dérivable en a, on a : J f ( a = gradf( a T (9 f( x = f( a + ( gradf( a, x a R n + o( x a = f( a + J f ( a( x a + o( x a = f( a + gradf( a T ( x a + o( x a (0 (Le étant la notation du produit matricielle Proposition 9 Si f est diérentiable en a, alors f est dérivable dans toutes les directions en a, et on a : v ( a = ( gradf( a, v R n ( Preuve f( a + h v f( a = A hv + + A n hv n + o(h = h( gradf( a, v R n + o(h Par contre, la réciproque est fausse : on peut avoir f dérivable dans toutes les directions en un point x sans que f soit diérentiable en x Exemple f(x, y = x (de graphe un plan si x 0 et f(0, y = y Faire un dessin Alors f est dérivable en 0 dans toutes les directions, mais n'a pas de plan tangent On a quand même un critère agréable dans le cas particulier suivant : Théorème 0 Si f possède des dérivées partielles (directionnelles,, n dans un voisinage de a, et si ces dérivées partielles sont continues en a, alors f est diérentiable et C en a Preuve On traite le cas R n = R, le cas général étant laissé au lecteur On a : f(x, x f(a, a = (f(x, x f(a, x + (f(a, x f(a, a ( Et le dernier terme donne immédiatement (fonction de la seule variable x : f(a, x f(a, a = (a, a (x a + o( x a (3 Et le premier terme considéré à x xé s'écrit : f(x, x f(a, x = (a, x (x a + o( x a, (4 ce qui a un sens car on a supposé que existait dans un voisinage de a, et donc en (a, x pour x susamment proche de a Et la dérivée partielle étant supposée continue en a : (a, x = (a, a + o(, (5 et par conséquent, puisque par dénition (x a o( = o(x a : f(x, x f(a, x = (a, a (x a + o( x a, (6 d'où ( donne bien (6 : f est dérivable en a Puis les dérivées partielles étant continues, gradf l'est également, et f est C Dénition On note C (Ω; R le sous ensemble de C 0 (Ω; R formé des fonctions f qui sont dérivables en tout point de Ω et telles que les dérivées partielles i sont continues en tout point de Ω pour tout i =,, n C'est ensemble est également noté plus simplement C si aucune confusion n'est possible 9 juin 006

20 0 Fonctions de plusieurs variables à valeurs scalaires (xy Exercice Soit f dénie sur R par f(x, y = si x 0 et f(0, 0 = 0 Montrer (x + y 3 que f est continue en 0, calculer ( x ou ( x et en déduire que f n'est pas dérivable en 0 On pourra également poser g(t = f(t, t pour montrer que g n'est pas dérivable en 0 Réponse f est une fraction rationnelle qui n'a qu'une racine en (x, y = 0, et donc f est C (R { 0}; R Regardons la continuité en 0 On passe en coordonnées polaires f(r cos θ, r sin θ = r cos θ sin θ r 0 0 Regardons : Si ( 0 existe, par dénition on a : f(h, 0 f(0, ( 0 = lim = lim = 0 h 0 h h 0 h Donc la ère dérivée partielle existe De même ( 0 = 0 Mais ça ne veut pas dire que f est dérivable D'ailleurs f n'est pas dérivable : en eet si elle l'était, le vecteur gradient existerait et on aurait gradf( 0 = 0, d'où : f(x, y = f(0, 0 + ( gradf( 0, ( x + o( (x, y = o( (x, y y En particulier on aurait f(h, h = o(h Or on a f(h, h = h4 = (h 3 h4 8 h 3 = 8 h qui n'est pas o(h Donc l'expression du gradient gradf( 0 = 0 est absurde, donc le gradient n'existe pas en 0, ie la fonction n'est pas dérivable en 0 On peut aussi remarquer qu'on ne peut pas appliquer le théorème 0 : on a, quand x 0 : ( x = xy (x + y 3 3x 3 y (x + y = xy y x (x + y 3 (x + y 5 En particulier, (0, h = 0 alors que (h, h = et donc que 5 (0, h et (h, h n'ont pas la même limite quand h 0 Et donc n'est pas continue dans un voisinage de 0, et on ne peut pas appliquer le théorème (Ici on a une valeur calculée ( 0 = 0 mais cette valeur ponctuelle n'est pas la prolongation par continuité de ( x quand x 0 : si on pouvait prolonger par continuité on aurait 0 = par unicité 5 de la limite, ce qui est absurde En particulier f n'est pas C (R ; R Regardons maintenant directement g(t = f(t, t = t 4 = t 3 (t = t 3 3 t : cette fonction n'est pas dérivable en 0, et donc ( e + e n'est pas dénie en 0 Donc f n'est pas dérivable en 0, sinon toutes les dérivées directionnelles existeraient, proposition 9, et en particulier ( e + e existerait Exemple 3 Montrer que si f = l : R n R est linéaire, alors en tout point x R n on a dl( x = l (sa diérentielle est indépendante du point x et vaut l Que vaut sa matrice jacobienne (matrice représentant dl( x dans les bases canoniques? Réponse On a l( y l( x = l( y x par linéarité, et donc la relation l( y l( x = dl( x( y x+o( y x est trivialement satisfaite avec dl( x = l, le reste o( y x étant identiquement nul (voir (5 Sa matrice jacobienne est la matrice représentant dl( x après avoir choisi les bases canoniques dans R n et R p C'est donc la matrice [l] représentant l'application linéaire l Ainsi si l( x = a x + + a n x n on a J l ( x = [a a n ] Exemple 4 Soit Tr : A R n Tr(A R l'application qui a toute matrice A = [a ij ] associe sa trace Tr(A = i a ii Montrer qu'en chaque A la diérentielle dtr(a = Tr Montrer que sa matrice jacobienne est la matrice identité (après avoir choisi la base canonique dans R n Réponse On a Tr E ij (A = dtr(a(e ij = Tr(E ij = δ ij (vaut si i=j et 0 sinon Et donc la matrice jacobienne (matrice gradient de Tr est la matrice [ Tr E ij (A] = [δ ij ] = I= l'identité Approche se servant de l'exercice précédent : l'application Tr est linéaire Donc dtr(a = Tr On vérie eectivement que Tr(B = Tr(A + Tr(B A donne trivialement dtr(a = Tr fonction indépendante de A La base canonique de R n est donnée par les matrices E ij dénies par : tous les termes sont nuls sauf le terme (i, j qui vaut Et Tr est connu dès qu'on connaît Tr(E ij pour tout i, j =,, n (une application linéaire est connue dès qu'on connaît l'image de chacun de ses vecteurs de base Ici Tr(E ij = δ ij Et pour une matrice A = [a ij ] i,j n = ij a ije ij on a Tr(A = n i,j= a ijtr(e ij = n i,j= δ ija ij = I : A (= i a ii puisque I = [δ ij ] i,j n, où : est la double contraction dénie par A : B = n D'où Tr : R n R est représentée par la matrice I dans la base (E ij D'où dtr(a = Tr = I i,j= a ijb ij = Tr(AB t 0 juin 006

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal 19 Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal Dans un premier temps, E est un espace vectoriel réel de dimension n 1. 19.1 Espaces vectoriels euclidiens Dénition 19.1 On dit qu'une forme bilinéaire

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html

Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Licence MIMP Semestre 1 Math 12A : Fondements de l Analyse 1 http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Septembre 2013 Table des matières Chapitre I. Les nombres réels et les suites numériques 1 1

Plus en détail

Le théorème du point xe. Applications

Le théorème du point xe. Applications 49 Le théorème du point xe. Applications 1 Comme dans le titre de cette leçon, le mot théorème est au singulier, on va s'occuper du théorème du point xe de Picard qui a de nombreuses applications. Le cas

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Notes du cours Mathématiques pour l ingénieur. Sup Galilée - année 2008-2009

Notes du cours Mathématiques pour l ingénieur. Sup Galilée - année 2008-2009 Notes du cours Mathématiques pour l ingénieur Sup Galilée - année 2008-2009 Benoît Merlet Ces notes de cours s adressent aux élèves ayant suivi le cours. Elles contiennent peu d explications. Elles pourront

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Cahier de vacances. Exercices PCSI - PC, Lycée Dupuy de Lôme

Cahier de vacances. Exercices PCSI - PC, Lycée Dupuy de Lôme Cahier de vacances Exercices PCSI - PC, Lycée Dupuy de Lôme Votre année de PCSI a été bien remplie et il est peu probable que l année de PC qui arrive vous paraisse plus facile. C est pourquoi, je vous

Plus en détail

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01 Eo7 Dérivée d une fonction Vidéo partie. Définition Vidéo partie. Calculs Vidéo partie 3. Etremum local, théorème de Rolle Vidéo partie 4. Théorème des accroissements finis Eercices Fonctions dérivables

Plus en détail

208. Espaces vectoriels normés. Applications linéaires continues. Exemples.

208. Espaces vectoriels normés. Applications linéaires continues. Exemples. 208. Espaces vectoriels normés. Applications linéaires continues. Exemples. Pierre Lissy May 29, 2010 Dans totue la suite, E désigne un espace vectoriel sur R ou C. 1 Norme. Espace vectoriel normé 1.1

Plus en détail

Programme de mathématiques TSI1

Programme de mathématiques TSI1 Programme de mathématiques TSI1 1. PROGRAMME DE DÉBUT D ANNÉE I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes 1 2. Géométrie élémentaire du plan 3 3. Géométrie élémentaire de l espace

Plus en détail

MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005

MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005 MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005 Voici une fiche contenant 100 exercices de difficulté raisonable, plutôt techniques, qui recouvrent l ensemble du programme étudié cette année. A raison

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

L3 MASS Calcul différentiel (cours et exercices) John BOXALL (Année universitaire 2009 2010 ) Introduction

L3 MASS Calcul différentiel (cours et exercices) John BOXALL (Année universitaire 2009 2010 ) Introduction L3 MASS Calcul différentiel (cours et exercices) John BOXALL (Année universitaire 2009 2010 ) Introduction (0.1) Ce cours s articule autour du calcul différentiel et, en particulier, son application au

Plus en détail

Travaux dirigés. Résolution numérique des équations diérentielles ordinaires. Département MIDO année 2013/2014 Master MMDMA

Travaux dirigés. Résolution numérique des équations diérentielles ordinaires. Département MIDO année 2013/2014 Master MMDMA Université Paris-Dauphine Méthodes numériques Département MIDO année 03/04 Master MMDMA Travaux dirigés Résolution numérique des équations diérentielles ordinaires Exercice. Pour α > 0, on considère le

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Espaces vectoriels normés

Espaces vectoriels normés Espaces vectoriels normés Essaidi Ali 19 octobre 2010 K = R ou C. E un K-espace vectoriel. 1 Normes et distances : 1.1 Normes et distances : Définition : On appelle semi-norme sur E toute application N

Plus en détail

Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables

Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements

Plus en détail

1 Topologies, distances, normes

1 Topologies, distances, normes Université Claude Bernard Lyon 1. Licence de mathématiques L3. Topologie Générale 29/1 1 1 Topologies, distances, normes 1.1 Topologie, distances, intérieur et adhérence Exercice 1. Montrer que dans un

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES. D. Azé

LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES. D. Azé LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul Différentiel et Équations Différentielles D. Azé Université Paul Sabatier Toulouse 2008 Table des matières 1 Généralités sur les espaces normés 3 1.1 Espaces

Plus en détail

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y )

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y ) COR TD 2 Année 21 Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : f 1 : R 2 R 2 f 1 x, y = 2x + y, x y f 2 : R R f 2 x, y, z = xy, x, y f : R R f x, y, z = 2x + y + z, y z, x

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel

Plus en détail

Corrigé Pondichéry 1999

Corrigé Pondichéry 1999 Corrigé Pondichéry 999 EXERCICE. = 8 = i ). D'où les solutions de l'équation : z = + i et z = z = i. a. De manière immédiate : z = z = b. Soit θ la mesure principale de arg z : cos θ = Par suite arg z

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

1 Fonctions de plusieurs variables

1 Fonctions de plusieurs variables Université de Paris X Nanterre U.F.R. Segmi Année 006-007 Licence Economie-Gestion première année Cours de Mathématiques II. Chapitre 1 Fonctions de plusieurs variables Ce chapitre est conscré aux fonctions

Plus en détail

M42. Compléments d analyse (résumé).

M42. Compléments d analyse (résumé). Université d Evry-Val-d Essonne. Année 2008-09 D. Feyel M42. Compléments d analyse (résumé). Table. I. Rappels sur les suites. Limites supérieure et inférieure. II. Topologie élémentaire. III. Fonctions

Plus en détail

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7.

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7. Mathématiques pour l informatique IMAC première année - Soutien - Nombres complexes Rappels. Un nombre complexe z admet plusieurs représentations : représentation vectorielle z = (a, b) où a, b R représentation

Plus en détail

Suites et Convergence

Suites et Convergence Suites et Convergence Une suite c est se donner une valeur (sans ambigüité) pour chaque N sauf peutêtre les premiers n. Donc une suite est une fonction : I R où I = N: = N. Notation : On note ( ) I R pour

Plus en détail

1 Espaces vectoriels normés

1 Espaces vectoriels normés Université Paris 7 Denis Diderot Année 2005/2006 Licence 2 MIAS MI4 1 Espaces vectoriels normés 1.1 Définitions Soit E un espace vectoriel sur R. Topologie des espaces vectoriels de dimension finie Définition

Plus en détail

CENTRALE PC 2000 ÉPREUVE DE MATH 2. Première partie

CENTRALE PC 2000 ÉPREUVE DE MATH 2. Première partie CENTRALE PC 2000 ÉPREUVE DE MATH 2 Première partie I. A. 1. La fonction x px kx 2 = x(p kx) présente un maximum pour toute valeur de p au point d abscisse x = p p2 et il vaut 2k 2k. Conclusion : J(f) =

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

202 - Exemples de parties denses et applications

202 - Exemples de parties denses et applications 202 - Exemples de parties denses et applications 1 Généralités et premiers exemples 1.1 Parties denses On xe un espace métrique (X, d). Dénition 1. Soit D X. On dit que D est dense dans X si D = X. Exemple.

Plus en détail

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace

Plus en détail

MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités

MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE TOULOUSE MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités Pascal Floquet Xuân Meyer Première Année à Distance Septembre 006 Jean-Claude Satge Table des matières

Plus en détail

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q 1 Codes linéaires Un code de longueur n est une partie de F n q. Un code linéaire C de longueur n sur le corps ni F q est un sous-espace vectoriel de F n q. Par défaut, un code sera supposé linéaire. La

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau Théorie spectrale Stéphane Maingot & David Manceau 2 Théorie spectrale 3 Table des matières Introduction 5 1 Spectre d un opérateur 7 1.1 Inversibilité d un opérateur........................... 7 1.2 Définitions

Plus en détail

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires 1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2 Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R

Plus en détail

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur

Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Dérivation Primitives

Dérivation Primitives Cours de Terminale STI2D Giorgio Chuck VISCA 27 septembre 203 Dérivation Primitives Table des matières I La dérivation 3 I Rappels 3 I. exemple graphique............................................. 3

Plus en détail

Topologie des espaces vectoriels normés

Topologie des espaces vectoriels normés Topologie des espaces vectoriels normés Cédric Milliet Version préliminaire Cours de troisième année de licence Université Galatasaray Année 2011-2012 2 Chapitre 1 R-Espaces vectoriels normés 1.1 Vocabulaire

Plus en détail

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls.

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls. Diagonalisation des matrices http://www.math-info.univ-paris5.fr/~ycart/mc2/node2.html Sous-sections Matrices diagonales Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Exemples Illustration

Plus en détail

Formules de Taylor et développements limités

Formules de Taylor et développements limités Chapitre 4 Formules de Taylor et développements limités 4. Taylor-Lagrange Si a, b R, on note Int(a, b) l intervalle ouvert dont les bornes sont a et b, c est-à-dire Int(a, b) =]a, b[ si a b et Int(a,

Plus en détail

1 Sujets donnés en option scientifique

1 Sujets donnés en option scientifique Les sujets suivants, posés aux candidats des options scientifique, économique, technologique et littéraire BL constituent la première version d un échantillon des sujets proposés lors des épreuves orales

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Rappels sur les applications linéaires

Rappels sur les applications linéaires Rappels sur les applications linéaires 1 Définition d une application linéaire Définition 1 Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K et f une application de E dans F Dire que f est linéaire

Plus en détail

COURS OPTIMISATION. Cours à l ISFA, en M1SAF. Ionel Sorin CIUPERCA

COURS OPTIMISATION. Cours à l ISFA, en M1SAF. Ionel Sorin CIUPERCA COURS OPTIMISATION Cours à l ISFA, en M1SAF Ionel Sorin CIUPERCA 1 Table des matières 1 Introduction 4 1.1 Motivation.................................... 4 1.2 Le problème général d optimisation......................

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE

PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE PRODUIT SCLIRE DNS L'ESPCE Dans tout ce chapitre, les bases ou repères considérés sont orthonormés. Pour des révisions sur le produit scalaire dans le plan, voir le cours de première. 1. Définition du

Plus en détail

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77 76 IV FORMES LINÉAIRES, DUALITÉ IV Formes linéaires, dualité Sommaire IV.1 Dual d un espace vectoriel.......... 77 IV.1.a Rappels sur les e.v................... 77 IV.1.b Rappels sur les applications linéaires........

Plus en détail

Espaces vectoriel normés

Espaces vectoriel normés Espaces vectoriel normés 1) Normes a) Dé nition : K R ou C. Une norme sur un K-ev E est une application E! R x 7! kxk véri ant : i) 8 x 2 E; kxk 0 et kxk 0, x 0 (vecteur nul). ii) 8 x 2 E; 8 2 K kxk jj

Plus en détail

PC* Devoir 6: Corrigé 2011 2012. Partie I : Généralités

PC* Devoir 6: Corrigé 2011 2012. Partie I : Généralités PC* Devoir 6: Corrigé 20 202 Partie I : Généralités I.A - Questions préliminaires a b c I.A.) M S M = b l m avec (a, b, c, l, m, t) R 6. c m t Les éléments de S sont les matrices de la forme : M = ae +

Plus en détail

Mathématiques. Résumé du cours en fiches. MPsi MP. Daniel Fredon. Ancien maître de conférences à l université de Limoges

Mathématiques. Résumé du cours en fiches. MPsi MP. Daniel Fredon. Ancien maître de conférences à l université de Limoges Mathématiques Résumé du cours en fiches MPsi MP Daniel Fredon Ancien maître de conférences à l université de Limoges Dunod, Paris, 2010. ISBN 978-2-10-055590-1 Table des matières Partie 1 Analyse dans

Plus en détail

Cours FPV - Semaine 3 : Recherche d Extrema et Formes Différentielles

Cours FPV - Semaine 3 : Recherche d Extrema et Formes Différentielles Cours FPV - Semaine 3 : Recherche d Extrema et Formes Différentielles Frédéric Messine Introduction Dans ce chapitre, nous allons étudier une application de la dérivation des fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES

PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES Exercice n. (correction) Répondre par VRAI (V) ou FAUX (F) : Question Soient A, B et C trois points distincts du plan. PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES a) A, B et C sont alignés si et seulement si :

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

VIII Relations d ordre

VIII Relations d ordre VIII Relations d ordre 20 février 2015 Dans tout ce chapitre, E est un ensemble. 1. Relations binaires Définition 1.0.1. On appelle relation binaire sur E tout triplet R = (E, E, Γ) où Γ est une partie

Plus en détail

COURS L1 PREPA AGRO VETO 2012. Claire CHRISTOPHE

COURS L1 PREPA AGRO VETO 2012. Claire CHRISTOPHE COURS L PREPA AGRO VETO 202 Claire CHRISTOPHE 8 avril 203 2 Table des matières I ANALYSE 5 Fonctions numériques de la variable réelle 7. Complément sur l étude des fonctions..................................

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND. Mathématiques. Analyse. en 30 fiches

Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND. Mathématiques. Analyse. en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Analyse en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Analyse en 30 fiches Dunod, Paris, 009 ISBN

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Fonctions de plusieurs variables Bernard Ycart Ce chapitre contient des techniques que vous utiliserez très souvent en physique, mais les justifications

Plus en détail

Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Fausto Errico Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2012 Table des matières

Plus en détail

INTÉGRATION SUR LES SURFACES. Le but de ce texte est d expliquer comment définir et calculer des expressions du type

INTÉGRATION SUR LES SURFACES. Le but de ce texte est d expliquer comment définir et calculer des expressions du type INTÉGRATION SUR LES SURFACES Le but de ce texte est d expliquer comment définir et calculer des expressions du type φ(x)dσ(x) Σ où Σ est une surface de classe C 1 de R 3 ou plus généralement une hypersurface

Plus en détail

Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles

Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles Université de Nice-Sophia Antipolis Mémoire de Master 1 de Mathématiques Année 2006-2007 Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Diérentielles Auteurs : Clémence MINAZZO - Kelsey RIDER Responsable

Plus en détail

Athénée Royal d'uccle 1. Cours de Mathématique 5 ème année Les bases pour les math 6h

Athénée Royal d'uccle 1. Cours de Mathématique 5 ème année Les bases pour les math 6h Athénée Royal d'uccle 1 Cours de Mathématique 5 ème année Les bases pour les math 6h A.Droesbeke Version : 015 Table des matières I Algèbre 1 1 Rappel du cours de 3 ème 3 1.1 Les exposants......................................

Plus en détail

Introduction à l Optimisation Numérique

Introduction à l Optimisation Numérique DÉPARTEMENT STPI 3ÈME ANNÉE MIC Introduction à l Optimisation Numérique Frédéric de Gournay & Aude Rondepierre Table des matières Introduction 5 Rappels de topologie dans R n 7 0.1 Ouverts et fermés de

Plus en détail

Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques

Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques Ce cours peut être librement copié et distribué. Il est recommandé d en télécharger la version la plus récente à partir de : http://www.math.jussieu.fr/~alp. Toute remarque, correction ou suggestion doit

Plus en détail

Exercices de Khôlles de Mathématiques, premier trimestre

Exercices de Khôlles de Mathématiques, premier trimestre Exercices de Khôlles de Mathématiques, premier trimestre Lycée Louis-Le-Grand, Paris, France Igor Kortchemski HX 2-2005/2006 Exercices particulièrement intéressants : - Exercice 4.1. - Exercice 5.1. -

Plus en détail

Cours Mathématiques PACES UHP-Nancy

Cours Mathématiques PACES UHP-Nancy Cours Mathématiques PACES UHP-Nancy V. Latocha PACES UHP septembre 2010 remerciements à D. Schmitt et V. Ries V. Latocha (PACES UHP) Cours mathématiques Paces septembre 2010 1 / 48 1 Fonctions d une variable

Plus en détail

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ELEVES PILOTES DE LIGNE EPREUVE DE MATHEMATIQUES

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ELEVES PILOTES DE LIGNE EPREUVE DE MATHEMATIQUES ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE ANNEE 2009 CONCOURS DE RECRUTEMENT D ELEVES PILOTES DE LIGNE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Durée : 2 Heures Coefficient : 1 Ce sujet comporte : 1 page de garde, 2 pages

Plus en détail

Outils mathématiques pour la physique et la chimie. Introduction. 1.1 Espaces vectoriels. Nicolas Chéron : nicolas.cheron@ens-lyon.

Outils mathématiques pour la physique et la chimie. Introduction. 1.1 Espaces vectoriels. Nicolas Chéron : nicolas.cheron@ens-lyon. Nicolas Chéron : nicolas.cheron@ens-lyon.fr Tél : 87 14 Outils mathématiques pour la physique et la chimie Introduction Ce document est un rappel de notions de mathématiques de base (i.e. niveau L1/L).

Plus en détail

1 Outils mathématiques pour la Physique

1 Outils mathématiques pour la Physique Licence 3 Sciences de la Terre, de l Univers et de l Environnement Université Joseph-Fourier TUE 302 : Outil Physique et Géophysique 1 Outils mathématiques pour la Physique k Daniel.Brito@ujf-grenoble.fr

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1. Cours de Mathématiques 1

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1. Cours de Mathématiques 1 Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1 Cours de Mathématiques 1 Table des matières 1 Un peu de formalisme mathématique 7 1.1 Rudiments de logique........................................

Plus en détail