Fonctions de plusieurs variables et changements de variables

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1 Notes du cours d'équations aux Dérivées Partielles de l'isima, première année Fonctions de plusieurs variables et changements de variables Gilles Leborgne juin 006 Table des matières Rappels sur les fonctions R R Continuité Notations de Landau o et O 5 3 Dérivation 6 4 Dérivation de produits et de composées 8 5 Théorème des accroissements nis dans R 9 6 Primitives et intégrales 7 Dérivation d'ordre supérieur 8 Développement limité d'un polynôme 3 9 Développements limités : formules de Taylor 3 9 Formule de Taylor avec reste intégral 4 9 Corollaire : formules de Taylor avec o et O 4 Fonctions de plusieurs variables à valeurs scalaires 5 Continuité 5 Dérivation 6 Dérivée directionnelle 6 Fonction dérivable, diérentielle, gradient 7 3 Interprétation géométrique du gradient 3 En terme de plus grande pente 3 En terme de normale au graphe 4 Règles de dérivation 3 5 Théorème des accroissements nis 3 6 Dérivées d'ordres supérieurs, hessien, théorème de Schwarz 4 7 Formule de Taylor dans R n 6 3 Fonctions de plusieurs variables à valeurs vectorielles 8 3 Introduction et continuité 8 3 Dérivations et matrice jacobienne 9 33 Composition et dérivations : produit des jacobiennes 30 4 Théorème des accroissements nis : cas de R n 33 5 Théorème du point xe de Banach 35 6 Théorème d'inversion locale 37 7 Théorème des fonctions implicites 40 7 Cas des fonction R R R 40 7 Cas des fonction R n R m R m 4 7 Développement limités, fonction R n R m R 4 7 Développement limités, fonction R n R m R p Application : fonction R n R m R m 43 8 Changement de variables 45 8 Dénitions et résultats 45 8 Changement de variables 45 8 Coordonnées polaires Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques 48 8 Exemples Formules de changement de base Rappel : changement de vecteurs Rappel : changement de coordonnées 5 juin 006

2 Rappels sur les fonctions R R 9 * Complément 53 9 Matrices jacobiennes et interprétation 53 9 Système de coordonnées, lignes de coordonnées Base du système de coordonnées Les dérivées dans les nouvelles coordonnées Les dérivées secondes dans les nouvelles coordonnées et le laplacien Formules de changement de base Formules de changement de variables dans la base du système de coordonnées Le gradient dans la base de coordonnées Divergence et rotationnel dans les nouvelles coordonnées 6 A Rappels de formules trigonométriques 67 B Quelques intégrales 67 C Quelques dérivées (et primitives usuelles 68 D Racines des polynômes de degré 3 et 4 69 Références bibliographiques 70 Rappels sur les fonctions R R Continuité On considère un intervalle I R, ie, I a l'une des formes suivantes : ], [(= R, ], b[, ], b], ]a, [, [a, [, ]a, b[, [a, b[, ]a, b], [a, b], où a et b sont deux réels tels que a < b (dans les quatre derniers cas Dénition Soit f : I R et x 0 I Alors f est continue en x 0 si : lim f(x = f(x 0 dans R ( x I x x 0 Quand on écrit x x 0, on sous-entend bien sûr que x I, sinon f(x n'aurait pas de sens; on ne précisera plus x I dans la suite, ie on écrira simplement lim x x0 f(x = f(x 0 On rappelle les notations : et déf lim f(x x a+ déf lim f(x x b = lim x>a x b = lim x<b x b f(x noté = f(a+, f(x noté = f(b Et la dénition donnée par ( contient la dénition de la continuité à droite et à gauche : si I = [a, b], f est continue à droite en a ssi : f(a+ = f(a, et f est continue à gauche en b ssi : f(b = f(b La continuité en x 0 s'écrit aussi (avec la valeur absolue dans R : lim f(x f(x 0 = 0 ( x x 0 0 Et en termes de quanticateurs, f continue en x 0 s'écrit : ε > 0, η > 0, x I : x x 0 < η = f(x f(x 0 < ε, qui s'énonce en français : En x 0, pour tout ε > 0 (sous-entendu aussi petit soit-il, il existe η > 0 (qui dépend de ε et de x 0 tel que, dès que x vérie x x 0 < η, on a f(x f(x 0 < ε, ou encore : en x 0, pour tout ε > 0 (sous-entendu aussi petit soit-il, il existe η > 0 (qui dépend de ε et de x 0 tel que, dès que x est dans l'intervalle ]x 0 η, x 0 +η[, on a f(x dans l'intervalle ]f(x 0 ε, f(x 0 +ε[ juin 006

3 3 Rappels sur les fonctions R R Dénition f est discontinue en x 0 ssi f n'est pas continue en x 0, ie ssi lim x x0 f(x f(x 0 Ou encore si : ε > 0, η > 0, x I tq : x x 0 < η et f(x f(x 0 ε Dénition 3 On dit que f : I R est continue dans I si f est continue en tout point x de I Cela s'écrit : x I, ε > 0, η > 0 : x I, x x < η = f( x f(x < ε Dénition 4 On appelle C 0 (I; R l'ensemble des fonctions continues f : I R, qu'on note simplement C 0 lorsqu'il n'y a pas de confusion possible Théorème 5 (des valeurs intermédiaires Soit f : I R une fonction continue dans I, soit a et b deux points de I tels que a < b Alors, si f(a < f(b on a : y 0 ]f(a, f(b[, x 0 ]a, b[, f(x 0 = y 0, (3 et si f(a > f(b, même résultat pour tout y 0 ]f(b, f(a[ Ie, si f est continue, alors toute valeur comprise entre f(a et f(b est atteinte En particulier, si f est continue sur I, alors f(i est un intervalle, à savoir l'un des intervalles [m, M], ]m, M], [m, M[ ou ]m, M[ où m = inf x I f(x et M = sup x I f(x Preuve Supposons f(a < f(b (sinon on travaille avec la fonction f Soit y 0 ]f(a, f(b[, soit S = {x ]a, b[ : f(x < y 0 } Ayant S [a, b], on dénit c [a, b] comme étant la borne supérieur de S : si x S alors x c, et si x > c alors f(x y 0 On commence par remarquer que c vérie a<c<b En eet, montrons par exemple que c a (même raisonnement pour c b : sinon c = a, et alors par dénition de c, pour tout x ]a, b[, on a f(x y 0 > f(a Mais alors lim x a+ f(x y 0 > f(a et f est discontinue en a, contraire à l'hypothèse f continue en a Donc c = a est impossible : on a c > a D'où trois cas possibles : - Soit f(c = y 0, et le théorème est démontré - Soit f(c < y 0, mais f étant continue en c, on a lim x c f(x = f(c et par dénition de c, lim x c+ f(x y 0 > f(c C'est absurde D'où f(c y 0 3- Soit f(c > y 0 Même démarche : c'est impossible Seul le cas - est possible, d'où (3 On en déduit que f(i est un intervalle : en eet, si y, y sont deux point de f(i (ie il existe x, x I tq f(x = y et f(x = y, alors tout point de l'intervalle [y, y ] est dans f(i, cf (3 Et f(i ]m, M[ Dénition 6 On dit que f : I R est uniformément continue dans I si la continuité de f se mesure indépendamment de (uniformément en x : ε > 0, η ε > 0 : x, x I, x x < η ε = f( x f(x < ε (On ne peut pas exprimer l'uniforme continuité en termes de limite Donc ici η ne dépend que de ε, pas de x : pour tout ε, il existe η tel que dès que x et x vérient x x < η ε, on a f( x f(x < ε Proposition 7 Si f est uniformément continue sur I, elle est continue en tout point x de I La réciproque est fausse, ie il existe un intervalle I de R et un fonction continue f : I R telle que f n'est pas uniformément continue Preuve On suppose f uniformément continue dans I Soit x I, alors l'uniforme continuité donne en particulier : ε > 0, η ε > 0 : x I, x x < η ε = f( x f(x < ε Ie f est continue en x La réciproque est fausse : prendre f : x ]0, ] x Cette fonction est bien sûr continue en tout point de ]0, ], mais elle n'est pas uniformément continue dans ]0, ] En eet, ε > 0, on prend ε =, tel que η > 0, x > 0 et y > 0, à savoir x = min(η, et y = x, et on a à la fois x y < η et f(x f(y ε (car x y = min( η, et f(x f(y = x x = x = max( η, =ε (Ou bien prendre f : R R dénie par f(x = x 3 juin 006

4 4 Rappels sur les fonctions R R Exemple 8 Montrer que la fonction f : x [0, ] f(x = x R est uniformément continue (sans se servir de la proposition suivante Réponse Regardons ce qui se passe au voisinage de x = 0, ie la continuité de en x = 0 : on veut x 0 = x < ε dès que x 0 = x < η On prend η = ε, et on a x < η donne bien x < ε (la fonction est continue à droite en 0 et on a caractérisé η en fonction de ε Montrons maintenant que si x x < ε alors x x < ε Pour ce, montrons que x x x x, ie que si x x alors x + x xx x x, ie si x x alors x xx 0 C'est immédiat Et si x < x on a x x = x x et de même x xx 0 Proposition 9 Une fonction f C 0 ([a, b], R (continue sur un compact est uniformément continue Preuve Supposons f non uniformément continue : ε > 0, η > 0, x [a, b], x [a, b], x x < η et f( x f(x ε Soit donc un tel ε Alors on xe n N et on pose η = n Puis on prend deux réels x n et x n tels que x n x n < η et f( x n f(x n ε On construit ainsi deux suites (x n et ( x n dans le compact [a, b] : on peut donc en extraire deux sous-suites convergentes qu'on notera encore, pour simplier les notations, (x n et ( x n Comme x n x n < n, les deux sous-suites convergent vers une même valeur, et vérient également f( x n f(x n ε Comme f est continue, ceci est impossible Donc f est bien uniformément continue Proposition 0 Si f : [a, b] R est continue, alors l'image f([a, b] est compacte (bornée et fermée, et f atteint son maximum et son minimum : x M [a, b] : f(x M = sup f(x, x m [a, b] : f(x m = inf f(x x [a,b] x [a,b] Preuve Le théorème des valeurs intermédiaires indique que f([a, b] est un intervalle, et il s'agit de montrer que cet intervalle est borné et fermé quand f est uniformément continue sur [a, b] (avec la proposition 9 Montrons que l'image f([a, b] est bornée L'intervalle [a, b] étant compact, f y est uniformément continue, et donc à ε xé, il existe η et donc il existe un nombre ni de points x 0 <x <<x n tels que x i+ x i < η et f(x i+ f(x i < ε (à savoir x i = a + i η b a pour i =,, n où n = partie entière de b a η points, quitte à prendre η susamment petit, ie tel que b a η Et donc pour tout x [a, b], il existe i [, n] tel que : x x i < η et f(x f(x i < ε Et donc : sup f(x max (f(x i + ε, pour tout x [a, b] : et f est bien bornée (ie son image x [a,b] i=,,n est bornée Montrons que f([a, b] est fermé Posons M = sup ( f(x, un tel sup existant dans R car f x [a,b] est bornée Il s'agit de montrer qu'il existe x M [a, b] tel que M = f(x M : par dénition du sup, il existe une suite (x n dans [a, b] telle que f(x n n M La suite (x n étant bornée dans le compact [a, b], elle admet une sous suite convergente x nk dans [a, b] Notons x M = lim x n k Sachant f continue, on a f(x nk f(x M, et on en déduit que M = f(x M, et k donc que M f([a, b] De même pour m = inf ( f(x f([a, b], ce qui prouve que f([a, b] x [a,b] est un intervalle fermé Remarque En appliquant le théorème des accroissements nis (voir plus loin, on montre que si f : I R est continue dérivable de dérivée bornée sur I, alors f est uniformément continue sur I 4 juin 006

5 5 Rappels sur les fonctions R R Notations de Landau o et O Dénition Soit x 0 R, et soit I intervalle de R tq x 0 I Étant données deux fonctions f et g de F(I; R, on dit que f est petit o de g au voisinage de x 0, et on note f = o(g au vois de x 0, ssi ε > 0, η > 0, x I, x x 0 < η f(x < ε g(x (4 On écrit également abusivement f(x = o(g(x au vois de x 0, et on dit que f est négligeable devant g au voisinage de x 0 Exemple 3 Avec g = R (la fonction constante valant sur R, on a f = o( R = noté o( au vois de x 0 ssi f(x x x0 0 (immédiat Dénition 4 Étant données deux fonctions f et g de F(R; R, on dit que f est petit o de g au voisinage de +, et on note f = o(g au vois de +, ssi : ε > 0, M > 0, x > M f(x < ε g(x (5 On encore, f = o(g au voisinage de + ssi F = o(g au voisinage de 0 où on a posé F (x = f( x et G(x = g( x Proposition 5 Soit x 0 I, et soit I intervalle de R tq x 0 I Étant données deux fonctions f et g de F(I; R, s'il existe une fonction ε : R R telle que ε(0 = 0 et qui est continue en 0 (donc ε(z z 0 0 et : alors f = o(g au voisinage de x 0 f(x = ε(x x 0 g(x, (6 Preuve Si une fonction ε vériant (6 existe, alors f(x ε(x x 0 g(x Et donc, pour ε > 0 donné, choisissant η > 0 tel que z < η implique ε(z < ε (un tel η existe par continuité de ε en 0, on obtient f(x ε g(x dès que x x 0 < η, d'où (4 En particulier, si g ne s'annule pas dans un voisinage de x 0, on a f est petit o de g au voisinage de x 0, et on note f = o(g au vois de x 0, ssi dans un voisinage de x 0 : f(x g(x = ε(x x f(x 0 ie lim x x 0 g(x = 0 On encore, si g ne s'annule pas dans un voisinage de x 0 sauf éventuellement en x 0 : lim x x 0 x x 0 f(x g(x = 0 noté f(x = lim x x 0 g(x, la dernière notation pour alléger l'écriture (sachant que la division par 0 est interdite Notation On note x n la fonction x x n dénie sur R Ainsi, si g(x = x n, si f = o(g au voisinage de x 0, on note f = o(x n au voisinage de x 0 Exemple 6 Toute fonction monôme f(x = x n avec n est o( au voisinage de x 0 = 0, où on a noté la fonction constante = sur R, car xn 0 x 0 Exemple 7 La fonction f(x = x n pour n est o(x au voisinage de 0 car xn f(x = o(x au voisinage de 0 x x 0 0 : on note Exemple 8 Si f est une fonction continue en x 0, alors f(x f(x 0 0 x x 0 et donc f(x f(x 0 = o(, ie, f(x = f(x 0 + o( au voisinage de x 0 (développement limité de f à l'ordre 0 au voisinage de x 0 Remarque 9 La notation de Landau n'est pas compatible avec l'addition, ie si f = o(g et si f = o(g, la conclusion f +f = o(g +g est fausse Par exemple prendre f (x = f (x = x et prendre g (x = x = g (x : ici on a g +g = 0 et (f +f (x = x o(0 = 0 5 juin 006

6 6 Rappels sur les fonctions R R Proposition 0 La notation de Landau est compatible avec la multiplication, ie si f = o(g au vois de x 0 alors fh = o(gh au vois de x 0 pour toute fonction h Et la notation de Landau est transitive, ie si f = o(g et g = o(h au vois de x 0 alors f = o(h au vois de x 0 Preuve Si f(x = ε(x x 0 g(x alors h(xf(x = ε(x x 0 h(xg(x Et si f(x = ε (x x 0 g(x et g(x = ε (x x 0 h(x alors f(x = (ε ε (x x 0 h(x, avec ε ε qui tend vers 0 quand x x 0 Dénition On dénit la notion de `comparable' ou de `grand O' comme suit : étant données deux fonctions f et g, on dit que f = O(g au voisinage d'un point x 0 ssi : C > 0, η > 0, x I, x x 0 < η, f(x C g(x et on note également f(x = O(g(x au voisinage de x 0 On dit aussi que f est (au plus du même ordre de grandeur que g au voisinage de x 0 3 Dérivation Dénition Soit f : I R, et soit x 0 I Quand la limite suivante existe dans R : f(x f(x 0 lim R, x x 0 (7 x x 0 f(x f(x ie quand il existe c R tel que c = lim 0 x x0 x x 0, on dit que f est dérivable en x 0, et on note c = f (x 0 Donc, si f est dérivable en x 0, on note : f(x f(x 0 lim = f (x 0 x x 0 x x 0 Quand on écrit x x 0, on sous-entend bien sûr que x I, sinon f(x n'aurait pas de sens Cette dénition contient donc la dénition de la dérivée à droite (ou dérivée par la droite correspondant au cas où x 0 = a (et donc I = [a, b[ ou [a, b] ou [a, [ notée : f(x f(x 0 lim = f f(x (x 0 + R, x x 0 ou encore 0 + h f(x lim = f (x 0 + (8 + x x 0 h 0+ h avec la notation immédiate : lim = lim x x 0 + x>x 0 De même pour la dérivée à gauche x x 0 Une dénition équivalente est : ou encore : f(x f(x 0 x x 0 f (x 0 = o( au vois de x 0, (9 f(x f(x 0 = f (x 0 + o( au vois de x 0, (0 x x 0 ou encore : f(x = f(x 0 + f (x 0 (x x 0 + o(x x 0 au vois de x 0, ( appelé développement limité de f à l'ordre au voisinage de x 0 La valeur f (x 0 est aussi appelée la pente de f en x 0 (= rapport côté opposé/côté adjacent : f y (x 0 = pente en x 0 = lim x x 0 x, où on a noté y = f(x f(x 0 et x = x x 0 On a le résultat immédiat : Proposition 3 Si f est dérivable en x 0, alors f est continue en x 0 6 juin 006

7 7 Rappels sur les fonctions R R Preuve Par hypothèse, f(x = f(x 0 + (x x 0 f (x 0 + o(x x 0, et donc, si x x 0 on a bien f(x f(x 0 Si les valeurs f (x 0 existent pour tous les x 0 I, où I R, on dénit la fonction dérivée par : f : { I R x f (x Exemple 4 L'application ane f(x = ax + b est dérivable en tout point x R, et a pour dérivée f (x = a =constante pour tout x R (calcul immédiat Et la représentation de f dans R R = R par son graphe {(x, f(x : x R} est une droite de pente a passant par le point (0, b Exemple 5 L'application f(x = x est dérivable sur R {0} En 0, la limite à droite est +, et la limite à gauche est Cette fonction n'est donc pas dérivable en 0 Exemple 6 L'application f(x = x n pour n N est dérivable en tout point x 0 R, et sa dérivée en x 0 est f (x 0 = nx0 n (pour n En eet : x n x n 0 = (x x 0 (x n + x n x xx n 0 + x n 0 ( et donc xn x n 0 x x 0 polynomiale est dérivable sur R, et sa dérivée est immédiate à calculer tend vers nx n 0 quand x tend vers x 0 Et par linéarité on déduit que toute fonction Exemple 7 L'application exponentielle x exp(x = e x est dénie comme étant la fonction qui est égale à sa dérivée en tout point x R, ie, pour tout x R, on a exp (x = exp(x On note C (I; R l'ensemble des fonctions f : I R qui sont dérivables sur I de dérivée f continue sur I (ie f C 0 (I; R, et on note simplement C lorsqu'il n'y a pas de confusion possible Remarque 8 Une fonction f peut être continue dans tout R et dérivable dans tout R sans que sa dérivée soit continue dans tout R : par exemple, f dénie sur R par f(x = x sin( x en et 0 par f(0 = 0 est continue sur R Cette fonction est dérivable sur R de dérivée f (x = x sin( x cos( x, et cette dérivée n'est pas prolongeable par continuité en 0 Pourtant f (0 existe et vaut 0 car f(x f(0 x 0 = x sin( x vers tend 0 quand x 0 Cette fonction est donc dérivable en 0 sans que sa dérivée f soit une fonction continue en 0 Les fonctions dérivables n'ont donc pas forcément leurs dérivées continues La dérivation est l'opération qui consiste à calculer la dérivée Etant donné que a+b c = a c + b c dans R dès que c 0, on a immédiatement le théorème : Théorème 9 L'opération de dérivation est une opération linéaire, ie, si f et g sont deux applications dérivables en x et si λ R alors : (f + λg (x = f (x + λg (x (3 Dénition 30 Si f est dérivable en x 0, alors la fonction ane dénie par : g x0 (x = f(x 0 + f (x 0 (x x 0, (4 ie par : g x0 (x = ax + b avec a = f (x 0 et b = f(x 0 f (x 0 x 0, (5 est appelée application ane tangente à f en x 0 Son graphe dans R est une droite tangente en x 0 au graphe de f Dénition 3 Deux fonctions f : R R et g : R R sont dites tangentes en un point x 0 ssi : f(x g(x lim = 0 x x 0 x x 0 En particulier, si g est ane, alors g s'écrit g(x = a(x x 0 + b où g(x 0 = b et g (x 0 = a, et si f est dérivable en x 0, alors f(x = f(x 0 + (x x 0 f (x 0 + o(x x 0 au voisinage de x 0 Et on retrouve immédiatement que si g est tangente à f alors on doit avoir g(x 0 = f(x 0 et g (x 0 = f (x 0, et le graphe de g est la droite tangente au graphe de f en x 0 7 juin 006

8 8 Rappels sur les fonctions R R 4 Dérivation de produits et de composées On rappelle que si f et g sont deux fonctions dénies sur un même intervalle I, alors le produit fg est la fonction dénie sur I par fg(x = f(xg(x Si de plus g ne s'annule pas sur I, alors f g est la fonction dénie par f f(x g (x = g(x Et si g est dénie sur f(i, alors g f est la fonction dénie sur I par (g f(x = g(f(x Voici quelques règles usuelles de dérivation : Théorème 3 Soient f et g deux fonctions dérivables en x R Alors, le produit fg est dérivable en x, et si g (x 0 alors f g est dérivable en x, et : (i (ii (fg (x = f (xg(x + f(xg (x, ( f (x = f (xg(x f(xg (x g g(x (6 En particulier, ( g (x = g (x g(x Et si f est dérivable en x, et si g est dérivable en y = f(x, alors g f est dérivable en x et : (iii (g f (x = g (yf (x = g (f(xf (x (7 En particulier, si f est inversible au voisinage de x, si f (x 0, et si f est dérivable en y = f(x, alors : (iv (f (y = f (x = f (f (y (8 Preuve Soit x 0 R Démontrons (i, ie, cherchons si la limite suivante existe : f(xg(x f(x 0 g(x 0 lim x x 0 x x 0 (9 On a : f(xg(x f(x 0 g(x 0 = (f(x f(x 0 g(x + f(x 0 (g(x g(x 0 x x 0 x x 0 x x 0 Mais g continue et dérivable en x 0 et f est dérivable en x 0 et donc : (0 f(xg(x f(x 0 g(x 0 x x 0 = (f (x 0 + o((g(x 0 + o( + f(x 0 (g (x 0 + o( ( L'opération passage à la limite étant linéaire, et la limite d'un produit étant égal aux produits des limites, on déduit l'existence de la limite et (i De même pour (ii quand f = : on a g(x g(x 0 x x 0 = g(x 0 g(x x x 0 g(xg(x 0 ( d'où l'existence de la limite et (ii quand f = Puis (ii découle de cette dernière formule et de (i puisque f g = f g Pour (iii, cherchons l'existence de la limite quand x x 0 de : g(f(x g(f(x 0 x x 0 = g(y g(y 0 x x 0, (3 où on a posé y = f(x et y 0 = f(x 0 Comme g est dérivable en y 0, il vient : g(y = g(y 0 + g (y 0 (y y 0 + o(y y 0 = g(y 0 + g (y 0 (f(x f(x 0 + o(f(x f(x 0 (4 Et la dérivabilité de f en x 0 s'écrit f(x f(x 0 = f (x 0 (x x 0 + o(x x 0 D'où : g(y = g(y 0 + g (y 0 [f (x 0 (x x 0 + o(x x 0 ] + o(f (x 0 (x x 0 + o(x x 0 (5 Et on obtient : g(y g(y 0 = g (y 0 f (x 0 (x x 0 + o(x x 0, (6 ie la dérivée de g f en x 0 vaut g (y 0 f (x 0 8 juin 006

9 9 Rappels sur les fonctions R R Enn pour (iv, si f est dérivable en y = f(x avec f dérivable en x, de (f f (y = y on déduit : f (f (y(f (y =, ie (8 Remarque 33 Dans la dérivation de fonctions composées, il fallait comparer l'accroissement g(f(x g(f(x 0 avec l'accroissement x x 0 Formellement, on aurait pu écrire : g(f(x g(f(x 0 = g(f(x g(f(x 0 x x 0 f(x f(x 0 f(x f(x 0 x x 0 g (f(x 0 f (x 0 (7 ce qui aurait donner directement le résutat Cependant, il se peut que la fonction f oscille beaucoup autour de x 0, et on ne peut pas alors diviser par f(x f(x 0 (exemple : f(x = x sin( x avec f(0 = 0 C'est pourquoi on a composé les accroissements sans faire apparaître f(x f(x 0 au dénominateur Théorème 34 (Leibniz Si f et g sont n-fois dérivables en x alors fg est n-fois dérivable en x et : n ( n (fg (n (x = f (k (xg (n k (x (8 k k=0 où les ( n k = n! k!(n k! = Ck n sont les coecients binomiaux Preuve Démonstration par récurrence, sachant que ( n k + ( ( n k = n k (règle du triangle de Pascal 5 Théorème des accroissements nis dans R Théorème 35 (Fermat Si f : [a, b] R présente un extremum local (minimum ou maximum en x 0 ]a, b[ et si f est dérivable en x 0, alors f (x 0 = 0 Preuve Supposons f maximale en x 0 : f(x f(x 0, donc f f(x f(x 0 (x 0 + = x>x0 lim 0 et x x x x 0 0 f (x 0 = x<x0 lim 0 Comme f est dérivable en x 0 on a f (x 0 + = f (x 0 = f (x 0 x x 0 Donc f (x 0 = 0 Et si f a un minimum en x 0, alors f est maximum en x 0 et f (x 0 = 0 x x 0 f(x f(x 0 Exercice 36 Montrer le théorème dit de Darboux : si f est dérivable sur [a, b], si f (a < f (b et si λ est tel que f (a < λ < f (b, alors il existe ξ ]a, b[ tel que λ = f (ξ Réponse L'inconnue du problème est un point ξ tel que f (ξ = λ, ie tq f (ξ λ = 0 Soit g(x = f(x λx de dérivée g (x = f (x λ On cherche donc un point ξ où g admet un extremum g est continue sur [a, b] et donc y atteint son maximum en un point ξ g étant dérivable, le théorème de Fermat indique que g (ξ = 0 = f (ξ λ Théorème 37 (Rolle Si f est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[, et si f(a = f(b alors il existe ξ ]a, b[ tel que f (ξ = 0 Preuve f étant continue sur [a, b] y admet un extremum local, et f étant dérivable, on applique le théorème de Fermat Théorème 38 (des accroissements nis Si f : [a, b] R est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, alors : c ]a, b[, = f (c (9 f(b f(a b a Ie, il existe c ]a, b[ tel que f (c soit la pente moyenne Ou encore : θ ]0, [, f(b f(a = (b af (a+θ(b a 9 juin 006

10 0 Rappels sur les fonctions R R (Ce théorème est aussi parfois appelé théorème de Lagrange Et le point c = a+θ(b a s'écrit aussi c = ( θa+θb, qui est l'écriture usuelle du barycentre de a et b Preuve La droite joignant a et b a pour équation y = f(a + f(b f(a b a (x a On considère alors la fonction g(x = f(x f(a f(b f(a b a (x a, qui vérie g(b = g(a, et on lui applique le théorème de Rolle : il existe ξ ]a, b[ tel que g (ξ = 0 = f (ξ f(b f(a b a Exercice 39 Montrer que si f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ et si f (x = 0 pour tout x dans ]a, b[, alors f(x est constante sur [a, b] Réponse : Le théorème des accroissements nis indique que, pour tout y ]a, b], il existe c ]a, y[ tel que f(y f(a = f (c(y a = 0, d'où f(y = f(a pour tout y [a, b] Exercice 40 Montrer que si f est dérivable dans ]a, b[ (où a < b, et si m f (t M pour f(b f(a tout t ]a, b[, alors m M b a Réponse : Le théorème des accroissements nis indique que f(b f(a = f (c(b a pour un c ]a, b[ D'où f(b f(a = (b a f (c, d'où m(b a f(b f(a M(b a Théorème 4 (accroissements nis généralisés Si f et g : [a, b] R sont continues sur [a, b] et dérivables sur ]a, b[, alors : c ]a, b[, (f(b f(ag (c = (g(b g(af (c En particulier, si g(b g(a, il existe c ]a, b[ tel que f(b f(a g(b g(a = f (c Preuve L'inconnue de ce problème est c On pose : F (x = (f(b f(ag(x (g(b g(af(x et on cherche s'il existe x tel que F (x = 0 On a : g (c = f(b f(a b a g(b g(a b a F (b F (a = (f(b f(ag(b (g(b g(af(b (f(b f(ag(a + (g(b g(af(a = 0, et donc on peut appliquer le théorème de Rolle : c ]a, b[ tq F (c = 0 Et F (c = (f(b f(ag (c (g(b g(af (c Corollaire 4 (Règle de l'hôpital Si f et g : [a, b] R sont continues sur [a, b] et dérivables sur ]a, b[, alors : f(x f(a lim x a + g(x g(a = lim f (x x a + g (x dans le cas où ces limites existent En particulier, si f et g sont dérivables à droite en a alors ces limites valent f (a g (a Preuve On applique le théorème précédent qui donne (f(x f(ag (c x = (g(x g(af (c x avec a < c x < x, pour x quelconque dans ]a, b], d'où le résultat quand x a f(x f(a f(x f(a / (C'est une autre façon d'écrire que g(x g(a = quand ça a un sens, g(x g(a x a x a ou encore de dire que les comportements de f et g sont caractérisés par leur développement limité à l'ordre Théorème 43 (Théorème de Rolle Généralisé Si f est une fonction C ([a, b] qui s'annule en les 3 points a, b et c ]a, b[, alors il existe ξ ]a, b[ tel que f (ξ = 0 (il y a alors un point ou la courbure est nulle Et plus généralement, si f C n ([a, b] s'annule en n + points distincts de [a, b], alors il existe ξ ]a, b[ tel que f (n (ξ = 0 Preuve Le thoéorème de Rolle indique que f s'annule en deux points distincts : une fois sur ]a, c[ et une fois sur ]c, b[, et donc (f s'annule une fois sur ]a, b[ Par récurrence, on généralise 0 juin 006

11 Rappels sur les fonctions R R 6 Primitives et intégrales Dénition 44 À f : I R fonction donnée, si le problème : trouver une fonction F : I R telle que F (x = f(x pour tout x I a une solution F, on dit que la fonction F est une primitive de f sur I On note immédiatement que si F est une primitive de f, alors pour toute constante c R, F + c est aussi une primitive de f Réciproquement : Théorème 45 Si F et F sont deux primitives de f alors il existe c R tel que F = F + c, ie, deux primitives de f dièrent au plus d'une constante Preuve La fonction g(x = F (x F (x est telle que g (x = 0 Alors le théorème des accroissements nis indique que `g = constante', voir exercice 39 On peut alors dénir : Dénition 46 On dit qu'une fonction f est intégrable sur I si elle admet une primitive sur I En fait, la dénition d'une intégrale de f est plus générale : voir un cours sur les sommes de Riemann pour l'intégrale de Riemann, ou sur l'intégrale de Lebesgue pour l'intégrale de Lebesgue Dénition 47 On appelle intégrale (dénie de f sur I = [a, b] la diérence F (b F (a (si elle existe, où F est une primitive de f sur I, et on note : b a f(x dx = F (b F (a noté = b a f (30 Donc l'intégrale d'une fonction ne dépend que de la valeur d'une primitive aux extrémités de l'intervalle Et b f représente l'aire sous la courbe (voir les sommes de Riemann a En particulier, si f est dérivable sur I, alors f est intégrable sur I et : b Et on retrouve les formules de base de l'intégration : a f (x dx = f(b f(a (3 Théorème 48 L'intégration est une opération linéaire, ie b a (f + λg = b a f + λ b g, pour a tout λ R et toutes fonctions intégrables f et g Et pour tout c [a, b], relation de Chasles : b a f = c a f + b c f (3 Preuve Si F et G sont des primitives de f et g alors immédiatement (F +λg (x = F (x+λg (x Puis F (b F (a = F (b F (c + F (c F (a On note, pour une fonction F donnée : F (b F (a noté = [F ] b noté a = [F (x] b a Théorème 49 (Intégration par parties Si f et g sont deux fonctions dérivables sur I = [a, b] et si f g et fg admettent des primitives sur I alors : soit : b a f (xg(x dx + b a b a f (xg(x dx = f(xg (x dx = [fg] b a (= f(bg(b f(ag(a, (33 b Preuve fg est dérivable et (fg = f g + fg a f(xg (x dx + [f(xg(x] b a (34 juin 006

12 Rappels sur les fonctions R R Théorème 50 (Changement de variables Si f est dérivable sur I = [a, b], si g est intégrable sur f(i, et si (g ff est intégrable sur I alors : b x=a g(f(xf (x dx = f(b y=f(a g(y dy (35 Preuve Soit G une primitive de g Alors avec la dérivation de fonctions composées, (G f (x = g(f(xf (x, d'où : b a (G f (x dx = [(G f(x] b a = G(f(b G(f(a = f(b f(a g(y dy (36 Théorème 5 (Théorème de la moyenne Si f possède une primitive sur [a, b] alors : ξ [a, b], b a f(x dx = f(ξ(b a, (37 ie il existe ξ [a, b] tel que l'aire sous le graphe de f entre a et b est égale à l'aire du rectangle de base [a, b] et de hauteur f(ξ Preuve C'est une application du théorème des accroissements nis à F une primitive de f Dénition 5 On appelle valeur moyenne de f sur [a, b] (ou hauteur moyenne de f entre a et b le nombre f = b b a f(x dx(= f(ξ a Corollaire 53 On suppose f et g intégrables sur [a, b] : (i Si f 0 sur [a, b] alors b f(x dx 0 a (ii Si f(x g(x alors b a f(x dx b g(x dx a (iii Si m f(x M sur [a, b], alors m(b a b f(x dx M(b a a (iv b a f(x dx b f(x dx a (v Si f(x 0 est continue sur [a, b] et si f 0 alors b f(x dx > 0 a (vi Si g 0 sur [a, b], si f, g et fg sont intégrables sur [a, b] avec f continue sur [a, b], alors (théorème généralisé de la moyenne : ξ [a, b], b a f(xg(x dx = f(ξ b a g(x dx (38 7 Dérivation d'ordre supérieur Dénition 54 La fonction dérivée f est dérivable en un point x 0 I si la limite suivante existe dans R (notée dans ce cas f (x 0 : f (x f (x 0 lim = f f (x 0 R x x 0 ou encore (x 0 + h f (x 0 lim = f (x 0 R x x 0 h 0 (39 h Et on dit alors que f est deux fois dérivable en x 0 Avec la notation `petit o', cela s'écrit encore : f (x f (x 0 = f (x 0 + o(, ie f (x = f (x 0 + f (x 0 (x x 0 + o(x x 0 (40 x x 0 Exercice 55 Montrer que si p : R R est un polynôme de degré donné sous la forme p(h = a+bh+ch, alors a = p(0, b = p (0 et c = p (0, et donc que p(h = p(0+h p (0+ h (0 p Réponse On a p (h = b + ch et p (h = c, d'où p (0 et p (0 juin 006

13 3 Rappels sur les fonctions R R Exercice 56 Montrer que si p : R R est un polynôme de degré donné sous la forme p(x = a + b(x x 0 + c(x x 0, alors on a a = p(x 0, b = p (x 0 et c = p (x 0, et donc que p(x = p(x 0 + (x x 0 p (x 0 + (x x 0 p (x 0 Réponse On a p(x 0 = a Puis on a p (x = b+c(x x 0 et p (x = c, d'où p (x 0 = b et p (x 0 = c Dénition 57 On dénit les dérivées d'ordre n par récurrence : on note f (0 = f, f ( = f, et f est dérivable à l'ordre n en x 0 si f (n est dérivable sur un voisinage de x 0 Dénition 58 On note C n (I; R (ou plus simplement C n, l'ensemble des fonctions f qui sont dérivables n-fois dans I et telles que f (n est continue dans I 8 Développement limité d'un polynôme Soit le monôme déni par, pour n N : p(x = x n, x R On s'intéresse à ce qui se passe au voisinage d'un point x 0 R, ce qui revient à considérer les variations de p(x 0 +h pour x 0 xé et h variable (changement d'origine On a, avec ( n k = n! k!(n k! : p(x 0 + h = (x 0 + h n = n ( n k k=0 x n k 0 h k Et on remarque que, p (x 0 = nx0 n et par récurrence, pour 0 k n : d'où, pour x, h R : p (k (x 0 = n(n (n k + x n k 0 = p(x 0 + h = n k=0 h k k! p(k (x 0 n! (n k! xn k 0 = k! ( n k x n k 0, = p(x 0 + h p (x 0 + h p (x hn n! p(n (x 0, expression du développement de p( au voisinage de x 0 en fonction de ses dérivées en x 0, appelé développement limité en x 0 Exemple 59 Pour p(x = x, il vient p(x 0 + h = x 0 + x 0 h + h = p(x 0 + p (x 0 h + p (x 0 h, de vérication immédiate car p (x 0 = x 0 et p (x 0 = La formule ci-dessus s'écrit également, pour tout a, x R (et ici h = x a : p(x = n (x a k k=0 k! p (k (a, (4 et c'est le développement limité de p en a Et un polynôme étant une somme de monôme, cette formule est trivialement vraie pour tout polynôme 9 Développements limités : formules de Taylor Il s'agit d'approcher une fonction f C n+ (R par un polynôme p n de degré n au voisinage d'un point a R : f(x = p n (x + R(x, (4 où R(x est le `reste' (petit lorsque x est `proche' de a On va montrer que : p n (x = n (x a k f (k (a, k! k=0 et que R(x = O((x a n+ (ou encore : R(x = o((x a n, et donc (alors immédiat qu'en particulier p (k n (a = f (k (a Le résultat (4 est déjà acquis lorsque f est un polynôme avec R = 0, cf (4 3 juin 006

14 4 Rappels sur les fonctions R R 9 Formule de Taylor avec reste intégral Théorème 60 Si f est dérivable k+-fois sur I = [a, b] alors au voisinage de a : f(x = f(a + + f (k (x ak (a + k! = f(a + + f (k (a (x ak k! x a + (x ak+ k! f (k+ (x tk (t dt k! En particulier, si 0 [a, b], pour x [a, b] alors au voisinage de 0 : f(x = f(0 + + f (k (0 xk k! + x 0 = f(0 + + f (k (0 xk k! + xk+ k! 0 f (k+ ((x au+a ( u k du f (k+ (x tk (t dt k! 0 f (k+ (xu ( u k du (43 (44 Preuve On a par dénition de l'intégrale f(x = f(a+ x a f (t dt La formule est donc vraie pour k = 0 Puis par intégration par parties (où à x xé on pose u (t =, v(t = f (t puis u(t = t x et v (t = f (t : x t=a f (t dt = [(t xf (t] x t=a D'où au second ordre : x t=a f(x = f(a + (x af (a + x (t xf (t dt = (x af (a + x a (x tf (t dt t=a (x tf (t dt Puis par intégration par parties successives (où à x xé on pose u (t = (x tk k!, v(t = f (k+ (t puis u(t = (x tk+ (k+! et v (t = f (k+ (t : x t=a f (k+ (x tk (x x tk+ (t dt = [ f (k+ (t] x a k! (k +! = (x ak+ f (k+ (a + (k +! x t=a t=a f (k+ (x tk+ (t dt (k +! f (k+ (t (x tk+ (k +! dt (45 d'où le résultat par récurrence Puis on fait le changement de variable u = t a x a [0, ], soit t = a+(x au et dt = (x adu Puis x t = (x a( u, d'où (x t k = (x a k ( u k, d'où le résultat 9 Corollaire : formules de Taylor avec o et O On déduit du théorème 60 précédent : Théorème 6 Si f C k+ ([a, b] alors pour tout x 0, x [a, b] il existe ξ ]a, b[ tel que : et (donc : f(x = f(x 0 + f (x 0 (x x f (k (x 0 (x x 0 k k! + f (k+ (ξ (x x 0 k+, (46 (k +! f(x = f(x 0 + f (x 0 (x x f (k+ (x 0 (x x 0 k+ + o((x x 0 k+ (k +! = f(x 0 + f (x 0 (x x f (k (x 0 (x x 0 k + O((x x 0 k+ k! (47 Preuve On applique le théorème 5 de la valeur moyenne, d'où la première égalité Puis f (k+ étant continue, on a f (k+ (ξ = f (k+ (x 0 + o(, d'où la seconde égalité Et ayant f C k+ ([a, b] on a f (k+ borné sur [a, b], et on déduit la troisème égalité à l'aide de la première 4 juin 006

15 5 Fonctions de plusieurs variables à valeurs scalaires Fonctions de plusieurs variables à valeurs scalaires On considère R n muni de sa base canonique ( e,, e n et de son produit scalaire canonique déni par : si x = n i= x i e i = x x n ( x, y R n = n x i y i (= x y + + x n y n, i= et y = n i= y i e i = y y n, associé à la norme (la longueur donnée par formule de Pythagore : x R n = x + + x n ( On se donne un ouvert Ω R n On s'intéresse aux fonctions de variables vectorielles à valeurs scalaires, ie aux fonctions de type : f : { Ω R x f( x R On rappelle que le graphe d'une telle fonction est le sous-ensemble de R n R déni par : G(f = {( x, z Ω R : z = f( x} Continuité Soit f : Ω R et a Ω Alors f est continue en a si : ie lim x a 0 f( x f( a = 0, ou encore : f( x = f( a + o( au vois de a, développement limité de f à l'ordre 0 En termes de quanticateurs, f continue en a s'écrit : lim f( x = f( a, ( x a ε > 0, η > 0, x Ω : x a < η = f( x f( a < ε (En français : en a Ω, pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que, dès que x vérie x a < η, on a f( x f( a < ε Et f discontinue en a s'énonce : ε > 0, η > 0, x Ω : x a < η et f( x f( a ε Dénition On appelle C 0 (Ω, R l'ensemble des fonctions f : Ω R qui sont continues en tout point de Ω, et on note simplement C 0 lorsqu'il n'y a pas de confusion possible Remarque Il n'est pas susant, pour montrer que f est continue en a, de montrer que, pour tout v, les fonctions g v : t g(t = f( a + t v sont continues en 0 avec g v (0 un réel indépendant de v Ie, il est insusant de vérier que f est continue dans toutes les directions v avec une limite c = lim f( a + h v h 0 indépendante de la direction v Prendre par exemple f : R R avec f(0, 0 = 0 et pour (x, y 0 : f(x, y = x y x 4 + y Voir gure Cette fonction est continue sur R { 0} En 0 : on a g v (h = f( 0 + h v h 0 0 quelque soit le vecteur v (xé Mais f n'est pas continue en 0 : on a f(x, x = Remarque 3 Pour montrer qu'une fonction est continue en un point a, on peut passer en coordonnées polaires ( x = a + r cos θ x = a + r sin θ, et dire que x a, c'est dire que x a = (x a + (x a = r 0 5 juin 006

16 6 Fonctions de plusieurs variables à valeurs scalaires Fig Graphe de la fonction f(x, y = x y x 4 + y Dérivation Dérivée directionnelle On s'intéresse à la dérivée d'une fonction f : R n R en un point a R n dans une direction v R n Ie on restreint l'étude de f à la droite d'équation t a + t v (droite dans R n, et on veut connaître la dérivée de f en a le long de cette droite On pose : g(t = f( a + t v, t R, ie on se ramène à l'étude de la fonction g : R R, et on veut regarder les variations g (t de g en t = 0 : Dénition 4 La dérivée de f en a dans la direction v est le réel : On a donc : g (0 noté = v f( a noté ( a = lim v t 0 = ( a (3 v f( a + t v f( a t Dénition 5 Lorsque v = e i (le i-ème vecteur de base, on note : ei f( a noté = i ( a noté = i f( a, (4 et ces réels sont appelés les dérivées partielles de f en a On a donc, par exemple pour f : R R : f(a + t, a f(a, a ( a = lim, t 0 t où on a noté a = (a, a, ou encore avec des notations génériques, ie pour la dérivée en un point x : ( x = lim f(x + h, x f(x, x h 0 h Et dans cette expression, x joue le rôle d'une constante, la seule quantité variable étant x Remarque 6 Attention tout de même : si on note (y, y les variables, ie on considère f(y, y, la notation f (qui n'est pas ambiguë se note indiéremment ou (qui peut paraître ambiguë On vient ainsi de dénir les fonctions, pour i =, : quand elles ont un sens dans tout Ω i f = : i Ω R x i f( x = i ( x 6 juin 006

17 7 Fonctions de plusieurs variables à valeurs scalaires Dénition 7 Et une fonction qui est dérivable dans toutes les directions est appelée Fréchet dérivable ou bien Fréchet diérentiable Exercice 8 Soit f(x, y = sin(x + y Calculer f, f et e+ e f en tout x = (x, y R Exercice 9 Soit f( x = x (= x + y Calculer ses dérivées partielles en x 0 Est-ce que f a des dérivées partielles en 0? (On rappelle que x = x Exercice 0 Soit f(x, y = x y x +y si x 0 et f( 0 = 0 Calculer ses dérivées partielles en tout x 0, puis en x = 0 Puis posant v = (v, v, calculer v f( x en tout point x Exercice Soit f(x, y = xy x y x +y si x 0 et f( 0 = 0 Montrer que f est continue en 0 Calculer ses dérivées partielles en tout x 0, puis en x = 0 Réponse On passe en coordonnées polaires : f(r cos θ, r sin θ = r cos θ sin θ(cos θ sin θ r 0 0 f( 0+h e D'où f est continue en 0 Et en 0 on a : lim f( 0 h 0 = 0 = h ( 0 Exercice Montrer que, pour λ R et λ 0, on a : Réponse : par dénition, on a, posant w = λ v : soit (λ v ( a = λ (λ v v ( a f( a + h w f( a f( a + (hλ v f( a ( a = lim = lim w h 0 h h 0 hλ λ f( a + k v f( a = λ lim = λ k 0 k v ( a, ( a = λ ( a comme annoncé : donc attention aux changements d'unités (ex : mètre yard v Fonction dérivable, diérentielle, gradient Pour simplier les écritures, on traite le cas Ω R, la généralisation au cas Ω R n ne posant pas de problème Cependant, la dérivabilité dans toutes les directions n'est pas une notion assez forte : par exemple, la fonction dénie sur (R par f(x, x = x x et par f( 0 = 0 est constante sur x +x toutes les droites t t v privée du point 0 quelque soit la direction v R 05 y 0 05 z x 4 Fig Graphe de la fonction f(x, y = x y x + y Cependant, en a = (0, 0 la fonction f n'est même pas continue (voir gure D'où la dénition suivante : 7 juin 006

18 8 Fonctions de plusieurs variables à valeurs scalaires Dénition 3 Soit a Ω Une fonction f : Ω R (à valeurs scalaires est dite diérentiable en a, ou dérivable (au sens de Gateaux en a, ssi son graphe admet un plan tangent en a, ie ssi il existe une application linéaire l a : x R n l a ( x R telle que : f( x = f( a + l a ( x a + o( x a (5 Et l'application linéaire l a est appelée forme diérentielle de f en a, et notée l a = df( a Localement au voisinage de a, f est ainsi approximée par la forme linéaire l a, et l'expression (5 est le développement limité de f à l'ordre au voisinage de a Si on se place dans R n muni de sa base canonique, une telle application linéaire s'écrit l a (x,, x n = A x + + A n x n, d'où la dénition équivalente : Dénition 4 f est dite diérentiable, ou dérivable (au sens de Gateaux, en a = (a,, a n ssi : A,, A n R tels que, au voisinage de x = a : (6 f(x,, x n = f(a,, a n + A (x a + + A n (x n a n + o( x a Exemple 5 Pour f : R R, on vient d'écrire, notant z = f(x, y, que z = αx + βy + γ + o( x a où α = A, β = A et γ = f( a A x A y, ie que le graphe de f admet en a un plan tangent à savoir le plan d'équation z = αx + βy + γ Autrement dit, f est diérentiable en a ssi le graphe de f admet un plan tangent en a Proposition 6 Si f est diérentiable en a = (a,, a n, alors f est continue en a, et on a A = ( a,, A n = n ( a, et donc : f( x = f( a + (x a ( a + + (x n a n n ( a + o( x a (Appelé développement limité de f au premier ordre au voisinage de a Preuve La dénition (6 donne f( x = f( a + o(, donc f est continue en a Puis regardons par exemple A (même démarche pour les A i : on prend x = a + h e = (a +h, a, Il vient : D'où f(a+h,a, f(a,a, h f(a +h, a, = f(a, a, + A h o(h = A + o(h, d'où A = ( a Dénition 7 Avec le produit scalaire canonique de R n, il existe un unique vecteur noté gradf( a, appelé gradient de f en a, tel que l a ( v = ( gradf( a, v n pour tout v R n (donné par le théorème de représentation de Riesz Et ici (pour le produit scalaire canonique on a : ( a gradf( a = = ( a noté = f( a (7 n ( a n Donc : f( a + h v f( a = h ( gradf( a, v R n + o(h (8 Dénition 8 On appelle matrice jacobienne de f en a la matrice ligne : J f ( a = [ ( a n ( a] (Matrice des composantes de la diérentielles df( a dans la base duale de la base canonique, voir cours de géométrie diérentielle 8 juin 006

19 9 Fonctions de plusieurs variables à valeurs scalaires En particulier, disposant du produit scalaire canonique, on a : Donc, si f est dérivable en a, on a : J f ( a = gradf( a T (9 f( x = f( a + ( gradf( a, x a R n + o( x a = f( a + J f ( a( x a + o( x a = f( a + gradf( a T ( x a + o( x a (0 (Le étant la notation du produit matricielle Proposition 9 Si f est diérentiable en a, alors f est dérivable dans toutes les directions en a, et on a : v ( a = ( gradf( a, v R n ( Preuve f( a + h v f( a = A hv + + A n hv n + o(h = h( gradf( a, v R n + o(h Par contre, la réciproque est fausse : on peut avoir f dérivable dans toutes les directions en un point x sans que f soit diérentiable en x Exemple f(x, y = x (de graphe un plan si x 0 et f(0, y = y Faire un dessin Alors f est dérivable en 0 dans toutes les directions, mais n'a pas de plan tangent On a quand même un critère agréable dans le cas particulier suivant : Théorème 0 Si f possède des dérivées partielles (directionnelles,, n dans un voisinage de a, et si ces dérivées partielles sont continues en a, alors f est diérentiable et C en a Preuve On traite le cas R n = R, le cas général étant laissé au lecteur On a : f(x, x f(a, a = (f(x, x f(a, x + (f(a, x f(a, a ( Et le dernier terme donne immédiatement (fonction de la seule variable x : f(a, x f(a, a = (a, a (x a + o( x a (3 Et le premier terme considéré à x xé s'écrit : f(x, x f(a, x = (a, x (x a + o( x a, (4 ce qui a un sens car on a supposé que existait dans un voisinage de a, et donc en (a, x pour x susamment proche de a Et la dérivée partielle étant supposée continue en a : (a, x = (a, a + o(, (5 et par conséquent, puisque par dénition (x a o( = o(x a : f(x, x f(a, x = (a, a (x a + o( x a, (6 d'où ( donne bien (6 : f est dérivable en a Puis les dérivées partielles étant continues, gradf l'est également, et f est C Dénition On note C (Ω; R le sous ensemble de C 0 (Ω; R formé des fonctions f qui sont dérivables en tout point de Ω et telles que les dérivées partielles i sont continues en tout point de Ω pour tout i =,, n C'est ensemble est également noté plus simplement C si aucune confusion n'est possible 9 juin 006

20 0 Fonctions de plusieurs variables à valeurs scalaires (xy Exercice Soit f dénie sur R par f(x, y = si x 0 et f(0, 0 = 0 Montrer (x + y 3 que f est continue en 0, calculer ( x ou ( x et en déduire que f n'est pas dérivable en 0 On pourra également poser g(t = f(t, t pour montrer que g n'est pas dérivable en 0 Réponse f est une fraction rationnelle qui n'a qu'une racine en (x, y = 0, et donc f est C (R { 0}; R Regardons la continuité en 0 On passe en coordonnées polaires f(r cos θ, r sin θ = r cos θ sin θ r 0 0 Regardons : Si ( 0 existe, par dénition on a : f(h, 0 f(0, ( 0 = lim = lim = 0 h 0 h h 0 h Donc la ère dérivée partielle existe De même ( 0 = 0 Mais ça ne veut pas dire que f est dérivable D'ailleurs f n'est pas dérivable : en eet si elle l'était, le vecteur gradient existerait et on aurait gradf( 0 = 0, d'où : f(x, y = f(0, 0 + ( gradf( 0, ( x + o( (x, y = o( (x, y y En particulier on aurait f(h, h = o(h Or on a f(h, h = h4 = (h 3 h4 8 h 3 = 8 h qui n'est pas o(h Donc l'expression du gradient gradf( 0 = 0 est absurde, donc le gradient n'existe pas en 0, ie la fonction n'est pas dérivable en 0 On peut aussi remarquer qu'on ne peut pas appliquer le théorème 0 : on a, quand x 0 : ( x = xy (x + y 3 3x 3 y (x + y = xy y x (x + y 3 (x + y 5 En particulier, (0, h = 0 alors que (h, h = et donc que 5 (0, h et (h, h n'ont pas la même limite quand h 0 Et donc n'est pas continue dans un voisinage de 0, et on ne peut pas appliquer le théorème (Ici on a une valeur calculée ( 0 = 0 mais cette valeur ponctuelle n'est pas la prolongation par continuité de ( x quand x 0 : si on pouvait prolonger par continuité on aurait 0 = par unicité 5 de la limite, ce qui est absurde En particulier f n'est pas C (R ; R Regardons maintenant directement g(t = f(t, t = t 4 = t 3 (t = t 3 3 t : cette fonction n'est pas dérivable en 0, et donc ( e + e n'est pas dénie en 0 Donc f n'est pas dérivable en 0, sinon toutes les dérivées directionnelles existeraient, proposition 9, et en particulier ( e + e existerait Exemple 3 Montrer que si f = l : R n R est linéaire, alors en tout point x R n on a dl( x = l (sa diérentielle est indépendante du point x et vaut l Que vaut sa matrice jacobienne (matrice représentant dl( x dans les bases canoniques? Réponse On a l( y l( x = l( y x par linéarité, et donc la relation l( y l( x = dl( x( y x+o( y x est trivialement satisfaite avec dl( x = l, le reste o( y x étant identiquement nul (voir (5 Sa matrice jacobienne est la matrice représentant dl( x après avoir choisi les bases canoniques dans R n et R p C'est donc la matrice [l] représentant l'application linéaire l Ainsi si l( x = a x + + a n x n on a J l ( x = [a a n ] Exemple 4 Soit Tr : A R n Tr(A R l'application qui a toute matrice A = [a ij ] associe sa trace Tr(A = i a ii Montrer qu'en chaque A la diérentielle dtr(a = Tr Montrer que sa matrice jacobienne est la matrice identité (après avoir choisi la base canonique dans R n Réponse On a Tr E ij (A = dtr(a(e ij = Tr(E ij = δ ij (vaut si i=j et 0 sinon Et donc la matrice jacobienne (matrice gradient de Tr est la matrice [ Tr E ij (A] = [δ ij ] = I= l'identité Approche se servant de l'exercice précédent : l'application Tr est linéaire Donc dtr(a = Tr On vérie eectivement que Tr(B = Tr(A + Tr(B A donne trivialement dtr(a = Tr fonction indépendante de A La base canonique de R n est donnée par les matrices E ij dénies par : tous les termes sont nuls sauf le terme (i, j qui vaut Et Tr est connu dès qu'on connaît Tr(E ij pour tout i, j =,, n (une application linéaire est connue dès qu'on connaît l'image de chacun de ses vecteurs de base Ici Tr(E ij = δ ij Et pour une matrice A = [a ij ] i,j n = ij a ije ij on a Tr(A = n i,j= a ijtr(e ij = n i,j= δ ija ij = I : A (= i a ii puisque I = [δ ij ] i,j n, où : est la double contraction dénie par A : B = n D'où Tr : R n R est représentée par la matrice I dans la base (E ij D'où dtr(a = Tr = I i,j= a ijb ij = Tr(AB t 0 juin 006