Construction de l'intégrale de Lebesgue
|
|
- Constance Pinard
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Université d'artois Faculté des ciences Jean Perrin Mesure et Intégration (Licence 3 Mathématiques-Informatique) Daniel Li Construction de l'intégrale de Lebesgue 10 février 2011 La construction de l'intégrale de Lebesgue, par rapport à une mesure positive m, se fait en plusieurs étapes : on commence par dénir, ce qui est toujours possible, l'intégrale des fonctions étagées positives, puis celle des fonctions mesurables positives Ces fonctions seront intégrables, par rapport à la mesure m, si leur intégrale est nie Pour les fonctions mesurables à valeurs réelles, on dénit ensuite leur intégrabilité, puis, lorsqu'elles sont intégrables, leur intégrale, en utilisant leur parties positive et négative Il est important de garder en tête ce schéma de construction, car on aura souvent besoin de s'y référer, bon nombre de résultats concernant l'intégrale de Lebesgue devant se démontrer en revenant à cette construction Il est important aussi de se rappeler que, pour les fonctions mesurables positives, l'int grale a toujours un sens (bien qu'elle puisse être innie), et que l'on a de bons théorèmes de passage à la limite, faciles d'utilisation Dans tout ce chapitre, on xe un espace mesuré (, T, m) 1 Intégration des fonctions étagées positives Dénition 11 oit f : R + une fonction étagée positive, et soit : f = n a k 1I Ak sa représentation canonique : f() = {a 1,, a n }, avec a 1,, a n distincts, et A k = {f = a k } L' intégrale de f, ou plus précisément, l' intégrale de f sur par rapport à m, est dénie par : n f dm = a k m(a k ) 1
2 Autrement dit : f dm = n a k m({f = a k }) On note aussi cette intégrale : f dm = f(x) dm(x), parce que c'est souvent pratique, et pour des raisons historiques, bien que x soit une variable muette, qui n'inue pas sur la valeur de l'intégrale Remarque On a donc : 0 f dm +, et l'intégrale peut être innie : f dm = + si et seulement si il existe (au moins) un indice k tel que m(a k ) = +, avec a k 0 Cas particuliers 1) i f est constante, égale à a, avec a R +, alors f = a1i, et a dm = a m() En particulier, avec la convention 0 = 0, la fonction nulle a une intégrale égale à 0 Par contre, si a > 0, on a a dm < + si et seulement si m() < + 2) i f = 1I A est une fonction indicatrice, mesurable : A T, sa représentation canonique est : f = 1 1I A + 0 1I A c; donc : f dm = 1 m(a) + 0 m(a c ); or 0 m(a c ) = 0, que m(a c ) soit nie ou innie Donc : 1I A dm = m(a) 2
3 Notation On notera E + l'ensemble des fonctions étagées positives sur (, T ) Théorème 12 L'application f E + f dm R + est semi-linéaire, c'est-à-dire que si f, g E +, on a : a) (αf) dm = α f dm, α R + = [0, + [ ; b) (f + g) dm = f dm + g dm On dit aussi que l'intégrale est semi-linéaire sur E + Preuve a) Pour α = 0, c'est évident, car alors αf = 0, et on a vu que 0 dm = 0, parce que 0 f dm = 0, que f dm soit nie ou innie Lorsque α > 0, écrivons f() = {a 1,, a n }, avec a 1,, a n distincts Alors (αf)() = {αa 1,, αa n }, et les nombres αa 1,, αa n sont distincts ; donc : (αf) dm = = n (αa k ) m({αf = αa k }) n [ n ] (αa k ) m({f = a k }) = α a k m({f = a k } = α f dm b) Ecrivons : { f() = {a1,, a n }, avec a 1,, a n distincts, g() = {b 1,, b p }, avec b 1,, b p distincts Pour chaque k = 1,, n, les ensembles : {f = a k, g = b 1 },, {f = a k, g = b p } forment une partition mesurable de {f = a k } Donc : m({f = a k }) = p m({f = a k, g = b l }) ; l=1 d'où : n n p f dm = a k m({f = a k }) = a k m({f = a k, g = b l }) l=1 ymétriquement : p n g dm = b l m({f = a k, g = b l }) ; l=1 3
4 donc : f dm + g dm = n l=1 p (a k + b l ) m({f = a k, g = b l }) D'autre part, pour tout c (f + g)(), notons : I c = {(k, l) {1,, n} {1,, p} ; a k + b l = c} On a : {f + g = c} = {f = a k, g = b l } (k,l) I c Or, pour (k, l) (k, l ), on a : {f = a k, g = b l } {f = a k, g = b l } = (le couple (f, g) ne peut pas prendre, au même point x, les valeurs diérentes (a k, b l ) et (a k, b l = ; donc : m({f + g = c}) = m({f = a k, g = b l }) (k,l) I c Par conséquent : (f + g) dm = c (f + g)()c {f + g = c} = [ ] c (f + g)()c m({f = a k, g = b l }) (k,l) I c = [ ] c (f + g)() (a k + b l ) m({f = a k, g = b l }) (k,l) I c = (a k + b l ) m({f = a k, g = b l }), 1 k n 1 l p car c (f+g)() I c = {1,, n} {1,, p} On obtient donc bien : (f + g) dm = et cela termine la preuve du théorème f dm + g dm, Corollaire 13 i f 1,, f n E + et α 1,, α n R +, on a : ( n ) α k f k dm = 4 n α k( ) f k dm
5 En particulier : ( n ) n α k 1I Ak dm = α k m(a k ) quelques soient les ensembles mesurables A 1,, A n T et quelques soient les nombres réels positifs α 1,, α n R + Il est important de noter que cette dernière égalité a lieu, même si la somme n α k1i Ak n'est pas la représentation canonique de la fonction étagée positive f = n α k1i Ak On n'a donc plus besoin, à partir de maintenant, d'utiliser la représentation canonique pour écrire l'intégrale de f En fait, cette représentation canonique nous a juste servi à montrer que l'expression n α km(a k ) ne dépend pas de la représentation de la fonction étagée positive f comme combinaison linéaire n α k1i Ak, à coecients positifs, de fonctions indicatrices mesurables Proposition 14 On a propriété de croissance suivante ; si f, g E +, alors : f g = f dm g dm Preuve i f, g E + et f g, alors g f E + ; donc son intégrale existe et (g f) dm [0, + ] Comme g = f + (g f), on obtient : g dm = f dm + (g f) dm f dm, en utilisant l'additivité de l'intégrale vu dans le théorème précédent Nous allons maintenant voir l'une des propriétés les plus importantes de l'intégrale de Lebesgue, que ne possède pas l'intégrale de Riemann : la propriété de limite croissante Elle est conséquence de la propriété de limite croissante des mesures positives, et est l'étape intermédiaire vers le Théorème de convergence monotone, l'une des propriétés les plus importantes de l'intégrale de Lebesgue, dont il est un cas particulier Théorème 15 (Propriété de limite croissante de l'intégrale) oit (f n ) n 1 une suite croissante de fonctions étagées positives, telle que f = lim f n soit aussi étagée positive Alors : ( ) ( ) lim f n dm = lim f n dm 5
6 Remarquons que si f n = 1I An, la croissance de la suite (f n ) n 1 se traduit par celle de (A n ) n 1, et comme la propriété du théorème s'écrit : ( m lim 1I A n = 1I lim, An ) lim 1I A n = lim m(a n) ; on retrouve ainsi la propriété de limite croissante pour la mesure positive m, qui apparaît donc comme un cas particulier du Théorème 15 (mais, comme on l'a dit, c'est à partir de ce cas particulier que l'on va montrer le Théorème 15) Preuve 1) Par la propriété de croissance, on a : f 1 dm f 2 dm f n dm f dm La suite ( f n dm ) n 1 est donc croissante ; elle a donc une limite, dans R +, et ( ) lim f n dm f dm 2) L'inégalité inverse résulte directement du lemme suivant Lemme 16 oit (f n ) n 1 une suite croissante de fonctions étagées positives, et soit g E + telle que g lim f n Alors : ( g dm lim ) f n dm Preuve Donnons-nous un nombre c tel que 0 < c < 1 oit, pour tout n 1 : (11) n = {f n c g} (le nombre c est destiné à nous laisser un peu de marge, en diminuant g) Comme la suite (f n ) n 1 est croissante, la suite ( n ) n 1 est, elle aussi, croissante De plus : lim n = En eet, pour tout x, on a : soit g(x) > 0, et alors g(x) > cg(x), donc lim f n > cg(x) ; il existe donc un entier n = n(x) 1 tel que f n (x) > cg(x), c'est-à-dire x n ; soit g(x) = 0, et dans ce cas x n, pour tout n 1 ; dans les deux cas x n 1 n 6
7 Il en résulte que, si g() = {b 1,, b p } (avec les b l distincts), alors, pour chaque l = 1,, p : [ ] lim {g = bl } n = {g = bl }, et donc : (12) m({g = b l }) = lim m( {g = b l } n ) Remarquons maintenant que, pour tout n 1 : (13) f n c g1i n En eet : si x n, alors f n (x) cg(x), par dénition de n ; si x / n, alors cg(x)1i n (x) = 0 f n (x) On a donc : ( ) (14) f n dm c g1in dm Mais : On peut donc écrire : (15) g 1I n = ( g1in ) (x) = { bl si g(x) = b l et x n 0 si x / n p b l 1I [{g=bl } n], l=1 et, bien que cela ne soit pas forcément la décomposition canonique de g1i n, on a, par le Corollaire 13 : ( ) p ( ) g 1In dm = b l 1I [{g=bl } n] dm = l=1 p b l m ( ) {g = b l } n l=1 p b l m({g = b l }), l=1 par la propriété de limite croissante de la mesure positive m Comme cette dernière somme est égale à g dm, il en résulte, grâce à (14), que l'on a : ( ) ( ) lim f n dm c g dm Comme c'est vrai pour tout c < 1, on obtient, en faisant tendre c vers 1 : ( ) lim f n dm g dm, ce qui achève la preuve du Lemme 16 7
8 2 Intégration des fonctions mesurables positives 21 Dénition et premières propriétés Commençons par remarquer la chose suivante Pour chaque fonction f étagée positive, on a, par la croissance de l'intégrale : g E + et g f = g dm f dm Comme f est elle-même dans E +, il en résulte que l'on a : { } (21) f dm = sup g dm ; g E + et g f Cette remarque va nous permettre de dénir l'intégrale pour toutes les fonctions mesurables positives Dénition 21 oit (, T, m) un espace mesuré et f : R + une fonction mesurable positive L' intégrale de f, sur, par rapport à m, est dénie par : { } f dm = sup g dm ; g E + et g f Il résulte de la remarque initiale que, pour f étagée positive, on obtient, via (21), la même valeur que celle dénie auparavant Notons que l'on a 0 f dm +, et que l'intégrale, étant dénie comme une borne supérieure, peut être innie, même si m() < + (cas pour lequel les fonctions étagées positives ont pourtant toutes une intégrale nie) Dénition 22 On dit que la fonction mesurable positive f : R + est intégrable, sur, par rapport à m, ou est m-intégrable si : f dm < + Bien sûr, la Dénition 21 est inexploitable telle quelle, et l'on se servira du théorème suivant Théorème 23 oit f : R + une fonction mesurable positive Alors, pour toute suite croissante (g n ) n 1 de fonctions étagées positives dont la limite est f, on a : f dm = lim g n dm 8
9 Remarques 1 Ce théorème est une nouvelle étape vers le Théorème de convergence monotone, dont il est à nouveau un cas particulier Par la suite, on pourra donc utiliser le Théorème de convergence monotone, quand ce dernier sera démontré, au lieu de celui-ci 2 D'après le Théorème fondamental d'approximation, il existe toujours une suite croissante de fonctions mesurables positives dont la limite est f ; ce théorème permet donc d'obtenir l'intégrale de f de façon explicite Il aurait bien sûr paru plus clair de prendre cette propriété comme dénition de l'intégrale de f, mais il aurait fallu vérier auparavant que la valeur obtenue ne dépendait pas de la suite (g n ) n 1 choisie Preuve Par dénition de l'intégrale, on a : g n dm f dm, n 1 ; donc : ( ) lim g n dm f dm Réciproquement, séparons, pour des questions d'écriture, deux cas i f dm < + Alors, par dénition de l'intégrale de f, pour tout ε > 0, il existe g E + telle que g f et : f dm g dm + ε Comme g f = lim g n, avec g, g n E +, le Lemme 16 dit que : ( g dm lim ) g n dm Donc : f dm lim g n dm + ε, et ainsi : f dm lim g n dm, puisque ε > 0 était quelconque i f dm = + Le raisonnement est le même Pour tout A > 0, il existe g E + telle que g f et g dm A Comme précédemment, le Lemme 16 donne : ( ) g dm lim g n dm, d'où : ( ) lim g n dm A, 9
10 et par conséquent : puisque A > 0 était arbitraire ( ) lim g n dm = + = f dm, La semi-linéarité et la croissance de l'intégrale pour les fonctions étagées positives reste vraie pour toutes les fonctions mesurables positives Théorème 24 Pour toutes fonctions mesurables positives f, g : R +, on a : 1) (αf) dm = α f dm, α R + ; 2) (f + g) dm = f dm + g dm ; 3) f g f dm g dm Preuve 1) Il existe, par le Théorème fondamental d'approximation, une suite croissante de fonctions étagées positives f n E + dont la limite est f Alors αf n E + et la suite (αf n ) n 1 est croissante et a pour limite αf On obtient donc, grâce au Théorème 23, en utilisant le Théorème 12 : [ (αf) dm = lim = α lim ] [ (αf n ) dm = lim α f n dm = α f dm ] f n dm 2) De même, il existe deux suites croissantes (f n ) n 1 et (g n ) n 1 de fonctions étagées positives dont la limite est f et g, respectivement Les fonctions f n + g n sont étagées positives et la suite (f n + g n ) n 1 est croissante et a pour limite f + g Donc, grâce aux Théorème 23 et Théorème 12 : [ ] (f + g) dm = lim (f n + g n ) dm = lim f n dm + lim = lim [ f n dm = 3) Par dénition : { g dm = sup ϕ dm ; ϕ E +, f n dm + f dm + } ϕ g i f = lim f n avec f n E +, on a f n f g, et donc, par dénition : f n dm 10 g dm, ] g n dm g dm
11 pour tout n 1 Il en résulte, grâce au Théorème 23, que : f dm = lim f n dm g dm, et cela termine la preuve du Théorème 24 Notons que pour prouver la croissance, on ne peut pas utiliser (g f), comme on l'a fait pour la Proposition 14, car f et g peuvent prendre la valeur + au même endroit (et donc (g f) ne sera pas dénie) Remarque Il est à noter que le 1) du théorème reste vrai si α = + On verra cela à la n de la section suivante, comme conséquence du Théorème de convergence monotone 22 Le Théorème de convergence monotone Nous en arrivons maintenant au (tant annoncé!) Théorème de convergence monotone, qui, insistons, est l'un des résultats les plus utiles sur l'intégrale de Lebesgue, de par sa simplicité d'utilisation Théorème 25 (Théorème de convergence monotone) Pour toute suite CROIANTE de fonctions f n : R + mesurables POITIVE, on a : ( ) ( ) lim f n dm = lim f n dm Preuve 1) On sait que f = lim f n est mesurable, et positive Par le Théorème 24, 3), la suite ( f n dm ) n 1 est croissante et est majorée par f dm, puisque f n f pour tout n 1 ; on a donc : lim ( ) f n dm f dm 2) Réciproquement, pour chaque n 1, il existe, par le Théorème fondamental d'approximation, une suite croissante (f n,k )) k 1 de fonctions étagées positives f n,k ) E +, qui tend vers f n On va construire une suite croissante (g k ) k 1 de fonctions étagées positives telles que lim k g k = f et g k f k pour tout k 1 cela donnera le résultat puisque le Théorème 23 donne : f dm = lim k g k dm et que g k dm f k dm, puisque g k f k ; on obtient donc nalement : f dm lim f k dm, k 11
12 a) Posons, pour tout k 1 : g k = sup f n,k = max{f 1,k, f 2,k,, f k,k } n k Chaque g k est étagée (elle est mesurable et ne prend qu'un nombre ni de valeurs) et positive g 1 g 2 g k f 1,1 f 1,2 f 1,k f 1,k+1 f 1 f 2,1 f 2,2 f 2,k f 2,k+1 f 2 f k,1 f k,2 f k,k f k,k+1 f k f n,1 f n,2 f n,k f n,k+1 f n De plus, comme : on a, pour tout k 1 : f n,k f n,k+1, n, k 1, f g k = max{f 1,k, f 2,k,, f k,k } max{f 1,k+1, f 2,k+1,, f k,k+1 } max{f 1,k+1, f 2,k+1,, f k,k+1, f k+1,k+1 } = g k+1, et la la suite (g k ) k 1 est donc croissante b) On a g k f k, car, pour tout n 1 : f n,k f n g k = max{f 1,k, f 2,k,, f k,k } max{f 1, f 2,, f k } = f k, puisque le suite (f j ) j 1 est croissante c) On a lim k g k = f En eet, comme g k f k pour tout k 1, on a : lim g k lim f k = f k k D'autre part, par dénition de g k : f n,k g k pour n k ; donc, pour chaque n 1 xé : f n = lim f n,k lim g k, k k et donc : f = lim f n lim k g k Cela achève la preuve du Théorème de convergence monotone 12
13 Lorsque l'on applique ce théorème aux sommes partielles d'une série des fonctions mesurables positives, qui forment donc une suite croissante, on obtient la version du Théorème de convergence monotone pour les séries à termes positifs, particulèrement pratique, puisque seule la positivité (en plus de la mesurabilité) est requise Corollaire 26 Pour toute série n 1 u n de fonctions mesurables positives u n : R +, on a : ( ) ( u n dm = n=1 n=1 ) u n dm Pour nir cette section, montrons que la propriété (α f) dm = α f dm reste vraie si α = +, pour toute f : R + mesurable positive En eet, grâce au Théorème de convergence monotone, on a : (+ f) dm = lim (n f) dm = lim (n f) dm ( ) = lim n f dm = (+ ) f dm 23 Cas de la mesure de comptage Une fonction α: N R dénie sur N s'identie à une suite α = (α k ) k 1 de nombres réels On ne suppose pas qu'elle prend la valeur + car, dans ce cas, ce n'est pas intéressantpour la mesure de comptage sur N (on pourrait bien sûr aussi prendre N au lieu de N ), on a : Proposition 27 i c est la mesure de comptage sur N, alors, pour toute suite α = (α k ) k 1 de nombres réels positifs, on a : N α dc = α k Ainsi la suite à termes positifs α est c-intégrable si et seulement si cette série est (absolument) convergente La théorie de l'intégrale de Lebesgue englobe donc celle des séries (à termes positifs, pour l'instant) En appliquant le corollaire du Théorème de convergence monotone pour les séries à termes positifs dans ce cas, on obtient : Corollaire 28 Pour toute suite double de nombres réels positifs α n,k 0, on a : ( ) ( α n,k = α n,k ) n=1 n=1 13
14 On peut bien sûr démontrer la Proposition 27 directement, mais il est plus intéressant de faire autrement Voyons d'abord ce qui se passe pour une mesure de Dirac Proposition 29 oit un ensemble, non vide, et a Pour toute fonction positive f : R +, on a, pour la mesure de Dirac δ a en a : f dδ a = f(a) Intégrer par rapport à la mesure de Dirac en a revient à prendre la valeur de la fonction en a C'est vrai aussi si f peut prendre la valeur +, mais ce cas est sans intérêt Preuve de la Proposition 29 1) upposons d'abord que f = 1I A, avec A Alors, d'une part : { 1 si a A f dδ a = δ a (A) = 0 si a / A; et d'autre part : f(a) = 1I A (a) = { 1 si a A 0 si a / A On a bien f dδ a = f(a) 2) i f = n c k1i Ak est une fonction étagée positive, la semi-linéarité de l'intégrale donne, en utilisant le cas 1) : f dδ a = n c k 1I Ak dδ a = n c k 1I Ak (a) = f(a) 3) Maintenant, si f est (mesurable) positive quelconque, il existe une suite croissante de fonctions étagées positives f n dont la limite est f En utilisant le Théorème de convergence monotone et le cas 2), on a : ce qui achève la preuve f dδ a = lim f n dδ a = lim f n(a) = f(a), Pour prouver la Proposition 27, il reste juste à remarquer que c = n=1 δ n, et à utiliser le lemme suivant Lemme 210 oit (, T ) un espace mesurable et (m n ) n 1 une suite de mesures positives sur (, T ) Alors, si m = n=1 m n, on a, pour toute fonction f : R + mesurable positive : f dm = n=1 f dm n 14
15 Notons que, en prenant m N+1 = m N+2 = = 0, le lemme est aussi vrai pour une suite nie de mesures positives Preuve 1) Montrons-le d'abord pour f étagée positive, ce qui est immédiat ; en eet : a) si f est la fonction indicatrice f = 1I A d'un ensemble mesurable A, on a, par dénition : f dm = 1I A dm = m(a) = m n (A) = n=1 n=1 1I A dm n = n=1 f dm n, b) et cela reste vrai si f est étagée positive, par la semi-linéarité des intégrales 2) Pour f mesurable positive arbitraire, il existe une suite croissante (f n ) n 1 de fonctions étagées positives, dont la limite est f a) Considérons d'abord une somme de deux mesures positives m 1 et m 2, et posons µ = m 1 + m 2 Alors, grâce au Théorème de convergence monotone pour les mesures µ, m 1 et m 2, et en utilisant le cas 1) pour les f n : ( f dµ = lim f n dµ = lim = lim f n dm 1 + lim = f dm 1 + f dm 2 ) f n dm 1 + f n dm 2 f n dm 2 b) Cela reste vrai pour une somme nie µ = m m n de mesures positives, par récurrence c) Pour m = m k Ecrivons, pour tout n 1, m n = k=n+1 m k ; alors, en utilisant 2), puisque m = m m n + m n et f dm n 0 : f dm = n ( ) f dm k + f dm n Comme c'est vrai pour tout n 1, on obtient : f dm ( f dm k ) n ( f dm k ) Inversement, pour toute fonction étagée positive g f, on a, en utilisant 1) : g dm = g dm k 15
16 Mais g dm k f dm k pour tout k 1 ; donc : g dm f dm k En prenant la borne supérieure sur toutes les g E + telles que g f, on obtient : f dm f dm k, ce qui termine la preuve 24 Le lemme de Fatou Bien que d'une utilisation très courante, le Théorème de convergence monotone nécessite quand même d'avoir une suite croissante (f n ) n 1 de fonctions mesurables positives Lorsque la suite (f n ) n 1 n'est plus croissante, et même si elle converge, on ne garde plus en général de propriété d'interversion des limites et des intégrales On garde toutefois une inégalité Théorème 211 (Lemme de Fatou) Pour toute suite de fonctions mesurables positives f n : R +, on a : ( ) ( ) lim inf f n dm lim inf f n dm Preuve Pour tout p n, on a inf k n f k f p ; donc : ( ) inf f k dm f p dm, p n, k n et donc : ( ) ( ) inf f k dm inf f p dm k n p n La suite de fonctions mesurables positives g n = inf k n f k étant croissante, on peut utiliser, pour cette suite (g n ) n 1, le Théorème de convergence monotone : ( ) lim inf f n dm = lim ce qui donne le Lemme de Fatou [ ( lim inf [ ( inf p n k n f k )] [ ( dm = lim )] ( f p dm = lim inf ) ] dm ) f n dm, inf k n f k Notons que cette inégalité n'est en général pas une égalité, même si la suite (f n ) n 1 converge 16
17 Exemple Prenons = [0, 1], muni de sa tribu borélienne et de la mesure de Lebesgue Considérons f n = n 1I ]0,1/n] Alors (f n ) n 1 converge vers 0 sur [0, 1], tandis que [0,1] f n dλ = n λ(]0, 1/n]) = 1 On peut modier un peu l'exemple en posant : { n 1I]0,1/n] si n est pair f n = 2n 1I ]0,1/n] si n est impair On a : Donc : [0,1] { n λ(]0, 1/n]) = 1 si n est pair f n dλ = 2n λ(]0, 1/n]) = 2 si n est impair ( ) lim inf f n dλ = 1, [0,1] alors que f n (x) 0 pour tout x [0, 1], et donc [0,1] ( lim inf f ) n dm = 0 3 Fonctions intégrables réelles ou complexes 31 Fonctions réelles Dénition 31 oit f : R une fonction mesurable On dit que f est m-intégrable sur si sa valeur absolue f : R + est m-intégrable, c'està-dire : f dm < + Notons que la mesurabilité fait partie de l'intégrabilité Notons aussi que la dénition signie que, pour f : R mesurable, sa m-intégrabilité équivaut à celle de f On a immédiatement, comme conséquence de la croissance de l'intégrale des fonctions mesurables positives ce critère très utile : Proposition 32 i f et g : R sont mesurables et si g f, alors la m-intégrabilité de f entraîne la m-intégrabilité de g Il montre que, pour une fonction mesurable, c'est la taille (la grandeur) de f qui gère son intégrabilité 17
18 An de pouvoir dénir l'intégrale de f, rappelons, que pour toute fonction mesurable f : R, on a déni : f + = max(f, 0) et f = max( f, 0) ; ce sont des fonctions mesurables positives et l'on a : f = f + f et f = f + + f Il résulte de la dénition et de la Proposition 32 que l'on a : Corollaire 33 La fonction mesurable f : R est m-intégrable si et seulement si f + et f sont m-intégrables Preuve i f est m-intégrable, alors f l'est ; donc f + et f le sont aussi, par la Proposition 32 Inversement, si f + et f sont m-intégrables, alors : f dm = f + dm + f dm < +, et donc f est m-intégrable On peut alors dénir l'intégrale de f Dénition 34 oit f : R une fonction m-intégrable on intégrale, sur, par rapport à m, est dénie par : f dm = f + dm f dm Cela a bien un sens, puisque chacune des deux intégrales f + dm et f dm est nie On notera qu'il faut d'abord savoir que f est intégrable avant de pouvoir parler de son intégrale (ce qui n'est pas le cas pour les fonctions positives : leur intégrale existe toujours, bien qu'elle puisse être + ) Remarque importante Il faut aussi noter que, si cette dénition servira dans les parties théoriques concernant l'intégrabilité, en pratique, c'est-à-dire lorsque l'on a des fonctions écrites explicitement, ce n'est pas comme cela que l'on calcule l'intégrale de f On verra plus loin que, pour les fonctions continues par morceaux sur un intervalle de R, l'intégrale coïncide avec celle de Riemann (ou avec les intégrales généralisées absolument convergentes) et que ce sont les techniques vues pour l'intégrale de Riemann (primitives, changement de variable, intégration par parties, etc) qui servent L'inégalité suivante a une preuve très simple, mais comme elle sert très souvent, on l'a élevée au rang de théorème 18
19 Théorème 35 Pour toute fonction m-intégrable f : R, on a : f dm f dm Preuve On a : f dm = f + dm f dm f + dm + f dm = (f + + f ) dm = f dm Notation On notera LR 1(, T, m), ou plus simplement L R 1 (m), et même L 1 (m) quand il n'y a pas d'ambiguïté sur l'ensemble des scalaires, l'ensemble de toutes les fonctions f : R qui sont m-intégrables On fera attention que l'on ne prend que les fonctions à valeurs dans R, et pas dans R (mais on verra au chapitre suivant que, de toute façon, si f : R est m-intégrable, alors elle est m-presque partout nie ; on peut donc la remplacer par une fonction f : R m-intégrable et qui a la même intégrale) Théorème 36 Pour les opérations usuelles, LR 1 (m) est un espace vectoriel réel, et l'intégrale : LR 1 (m) R f f dm est une forme linéaire positive sur L 1 R (m) En d'autres termes : 1 i f L 1 (m) et a R, alors af L 1 (m) et : (af) dm = a f dm ; 2 i f, g L 1 (m), alors (f + g) L 1 (m) et : (f + g) dm = f dm + g dm ; 3 i f, g L 1 (m), alors : f g = f dm g dm Preuve Notons que L 1 (m) est contenu dans l'espace vectoriel de toutes les fonctions mesurables de dans R, et qu'il contient évidemment la fonction nulle 19
20 1 On a, puisque a 0 et f est mesurable positive : af dm = a f dm < + ; donc af est intégrable L'égalité est évidente si a = 0 Pour a > 0, on a (af) + = af + et (af) = af ; donc : (af) dm = = a (af) + dm f + dm a (af) dm = f dm = a f dm i a < 0, alors (af) + = ( a)f et (af) = ( a)f + ; donc : (af) dm = [( a)f ] dm [( a)f + ] dm = ( a) f dm ( a) f + dm = a 2 On a : f + g dm ( f + g ) dm = (af + ) dm (af ) dm f dm f dm + g dm < + ; donc f + g est intégrable D'autre part, on a f + g = (f + g) + (f + g) et aussi f + g = (f + f ) + (g + g ) ; donc : (f + g) + + f + + g = (f + g) + f + + g + ; d'où, puisque toutes les fonctions écrites sont mesurables positives : (f +g) + dm+ f + dm+ g dm = (f +g) dm+ f + dm+ g + dm Comme toutes ces intégrales sont nies, on peut faire des soustractions, et l'on obtient : (f +g) + dm (f +g) dm = f + dm+ g + dm f + dm g dm, soit : (f + g) dm = f dm + g dm 3 Puisque f g, la fonction g f est mesurable positive ; on a donc (g f) dm 0 Mais (g f) est aussi intégrable, par 1 et 2 ; donc : 0 (g f) dm = g dm f dm, et f dm g dm Remarque Il résulte de la preuve de 2, que l'on a (f + g) + f + + g + ; il faut faire attention qu'il n'y a pas égalité en général, comme on s'en convaincra sur des exemples simples 20
21 32 Fonctions à valeurs complexes On copie pratiquement mot pour mot ce qui a été dit dans le cas réel Remarquons d'abord que si f : C est mesurable, alors f est mesurable, comme composée de f : C avec la fonction continue, donc borélienne : z C z R + Dénition 37 oit f : C une fonction à valeurs complexes On dit qu'elle est m-intégrable, sur, ou qu'elle est intégrable sur par rapport à m si elle est mesurable et si son module est intégrable : f dm < + On a immédiatement : Proposition 38 i f et g : C sont mesurables et si g f, alors la m-intégrabilité de f entraîne la m-intégrabilité de g Pour dénir l'intégrale, remarquons que l'on a : Proposition 39 oit f : C une fonction mesurable à valeurs complexes Alors f est m-intégrable si et seulement si les deux fonctions Re f : R et Im f : R sont m-intégrables Preuve Il sut d'utiliser les inégalités Re f f et Im f f, d'une part, et f Re f + Im f, d'autre part Dénition 310 i f : C est m-intégrable, on dénit son intégrale par : f dm = Re f dm + i Im f dm On notera, puisque Re f dm et Im f dm sont réelles, que, par dénition : ( ) ( ) Re f dm = Re f dm et Im f dm = Im f dm Notation On note L 1 C (, T, m), ou plus simplement L 1 C (m), voire L 1 (m) si le corps des scalaires est bien identié, l'ensemble des fonctions m-intégrables f : C 21
22 Théorème 311 LC 1 (m) est un espace vectoriel complexe, et l'intégrale : L 1 C (m) C f f dm est une forme linéaire complexe sur L 1 C (m) Preuve 1 oit a C et f LC 1 (m) On a : af dm = a f dm < + ; donc af LC 1(m) Pour voir l'égalité (af) dm = a f dm, écrivons a = α+iβ, avec α, β R, et f = u + iv, avec u = Re f et v = Im f On a : [ ] (af) dm = (αu βv) + i(αv + βu) dm = (αu βv) dm + i (αv + βu) dm [ ] [ ] = α u dm + i v dm + iβ u dm + i v dm = α f dm + iβ f dm = a f dm 2 i f et g LC 1 (m), alors f + g est mesurable et : f + g dm ( f + g ) dm = f dm + g dm < +, donc f + g LC 1 (m) De plus : (f + g) dm = Re (f + g) dm + i Im (f + g) dm = (Re f + Re g) dm + i (Im f + Im g) dm ( ) = Re f dm + Re g dm + i Im f dm + Im g dm = f dm + g dm Théorème 312 i f : C est m-intégrable, on a : f dm f dm 22
23 Preuve Elle est un peu plus compliquée que dans le cas réel ; on ne peut se contenter de prendre les parties réelle et imaginaire : on perdrait un facteur 2 L'inégalité est évidente si f dm = 0 inon, soit θ l'argument du nombre complexe non nul I = f dm i r = I, on a I = r eiθ, et donc : I = r = e iθ I = e iθ f dm = e iθ f dm, puisque l'intégrale est une forme linéaire complexe Mais cette intégrale, étant égale à I, est un nombre réel (positif) ; donc : ( ) I = e iθ f dm = Re e iθ [ ( f dm = Re e iθ f )] dm Re ( e iθ f ) dm, puisque la fonction Re ( e iθ f ) est réelle Comme Re ( e iθ f ) e iθ f = f, on obtient bien I f dm 4 Comparaison avec l'intégrale de Riemann 41 Cas d'un intervalle compact Il s'avère que dans ce cas, toute fonction Riemann-intégrable (à condition de la supposer mesurable) est intégrable par rapport à la mesure de Lebesgue Théorème 41 Toute fonction borélienne f : [a, b] R qui est Riemannintégrable est intégrable sur [a, b] par rapport à la mesure de Lebesgue De plus, les deux intégrales sont égales : [a,b] f dλ = b a f(x) dx Par contre, on a vu que la fonction 1I Q [a,b] n'est pas Riemann-intégrable sur [a, b], alors qu'elle est λ-intégrable, puisque i nt [a,b] 1I Q [a,b] dλ = λ(q [a, b]) λ(q) = 0 < + On notera que le théorème s'applique en particulier si f est continue, ou plus généralement continue par morceaux Il en résulte que, pour ces fonctions, et pour la mesure de Lebesgue, on peut utiliser toutes les techniques vues pour le calcul des intégrales de Riemann : utilisation de primitives, lorsque f est continue, via le Théorème fondamental du Calcul Intégral, changement de variable, intégration par parties, etc 23
24 Preuve Tout d'abord, puisque f est Riemann-intégrable, elle est, par hypothèse, bornée Comme elle est supposée mesurable, et que la mesure de Lebesgue de l'intervalle compact [a, b] λ([a, b]) = b a est nie, f est λ-intégrable Pour l'égalité des intégrales, on peut supposer f positive ; en eet, si f est Riemann-intégrable, alors f aussi, et il en est de même de f + = 1 2 ( f + f) et f = 1 2 ( f f) i on a l'égalité des intégrales, de Riemann et par rapport à λ, pour les fonctions positives f + et f, on l'aura pour f = f + f upposons donc f Riemann-intégrable positive Il existe alors une suite croissante de fonctions positives en escalier g n, n 1, et une suite décroissante de fonctions, positives, en escalier h n, n 1 telles que g n f h n pour tout n 1, et : (41) R b a ( f(x) dx = lim R b a ) ( g n (x) dx = lim R b a ) h n (x) dx, où l'on a noté provisoirement avec un R les intégrales de Riemann, pour plus de clarté D'autre part, si l'on note : g = lim g n et h = lim h n, le Théorème de convergence monotone (appliqué aux suites positives croissantes (g n ) n 1 et (h 1 h n ) n 1 ) donne : (42) lim g n dλ = g dλ et lim h n dλ = h dλ [a,b] [a,b] Le point essentiel est maintenant que les fonctions en escalier ϕ = J j=1 c j1i Ij sont en particulier des fonctions étagées, et que leur intégrale de Riemann est égale à leur intégrale par rapport à la mesure de Lebesgue : (43) R b a ϕ(x) dx = J c j (b j a j ) = j=1 [a,b] J c j l(i j ) = j=1 [a,b] [a,b] ϕ dλ, si I j est d'extrémités a j et b j, car la mesure de Lebesgue de l'intervalle I j est λ(i j ) = (b j a j ) On obtient donc, en combinant (41), (42), et (43) : (44) [a,b] g dλ = [a,b] h dλ = R b a f(x) dx Cela prouve, puisque g et h sont mesurables positives, qu'elles sont λ-intégrables sur [a, b] Mais, comme g f h, on a : g dλ f dλ h dλ ; [a,b] [a,b] 24 [a,b]
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailIntégrale de Lebesgue
Intégrale de Lebesgue L3 Mathématiques Jean-Christophe Breton Université de Rennes 1 Septembre Décembre 2014 version du 2/12/14 Table des matières 1 Tribus (σ-algèbres) et mesures 1 1.1 Rappels ensemblistes..............................
Plus en détailThéorie de la Mesure et Intégration
Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM364 Intégration 1 & UE LM365 Intégration 2 Année 2010 11 Théorie de la Mesure et Intégration Responsable des cours : Amaury LAMBERT
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Plus en détailLa mesure de Lebesgue sur la droite réelle
Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailSuites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Plus en détailMESURE ET INTÉGRATION EN UNE DIMENSION. Notes de cours
MSUR T INTÉGRATION N UN DIMNSION Notes de cours André Giroux Département de Mathématiques et Statistique Université de Montréal Mai 2004 Table des matières 1 INTRODUCTION 2 1.1 xercices.............................
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailTHÉORIE DE LA MESURE ET DE L INTÉGRATION.
THÉORIE DE LA MESURE ET DE L INTÉGRATION. THIERRY GALLAY Transcrit par Tancrède LEPOINT 29 UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER, GRENOBLE TABLE DES MATIÈRES Avant-propos Biographie sommaire...........................................
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailThéorie de la Mesure et Intégration
Ecole Nationale de la Statistique et de l Administration Economique Théorie de la Mesure et Intégration Xavier MARY 2 Table des matières I Théorie de la mesure 11 1 Algèbres et tribus de parties d un ensemble
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailThéorie de la mesure. S. Nicolay
Théorie de la mesure S. Nicolay Année académique 2011 2012 ii Table des matières Introduction v 1 Mesures 1 1.1 Sigma-algèbres................................. 1 1.2 Mesures.....................................
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailEspérance conditionnelle
Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailn N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t
3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailCouples de variables aléatoires discrètes
Couples de variables aléatoires discrètes ECE Lycée Carnot mai Dans ce dernier chapitre de probabilités de l'année, nous allons introduire l'étude de couples de variables aléatoires, c'est-à-dire l'étude
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailchapitre 4 Nombres de Catalan
chapitre 4 Nombres de Catalan I Dénitions Dénition 1 La suite de Catalan (C n ) n est la suite dénie par C 0 = 1 et, pour tout n N, C n+1 = C k C n k. Exemple 2 On trouve rapidement C 0 = 1, C 1 = 1, C
Plus en détailMesure et Intégration (Notes de cours de L3)
Mesure et Intégration (Notes de cours de L3) Ahmed Zeriahi Version préliminaire-octobre 2011 Avertissement : Ceci est une version préliminaire des notes du cours que l auteur a dispensé en troisème année
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailNOTATIONS PRÉLIMINAIRES
Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détail4. Martingales à temps discret
Martingales à temps discret 25 4. Martingales à temps discret 4.1. Généralités. On fixe un espace de probabilités filtré (Ω, (F n ) n, F, IP ). On pose que F contient ses ensembles négligeables mais les
Plus en détailSéminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013
Séminaire ES Andrés SÁNCHEZ PÉREZ October 8th, 03 Présentation du sujet Le problème de régression non-paramétrique se pose de la façon suivante : Supposons que l on dispose de n couples indépendantes de
Plus en détailChapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :
Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailCNAM UE MVA 210 Ph. Durand Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul dierentiel 2
CNAM UE MVA 210 Ph. Duran Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul ierentiel 2 Jeui 26 octobre 2006 1 Formes iérentielles e egrés 1 Dès l'introuction es bases u calcul iérentiel, nous avons mis en
Plus en détailMesures et Intégration
Mesures et Intégration Marc Troyanov - EPFL - Octobre 2005 30 avril 2008 Ce document contient les notes du cours de Mesure et Intégration enseigné à l EPFL par Marc Troyanov, version 2005-2006. Table des
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailMesures gaussiennes et espaces de Fock
Mesures gaussiennes et espaces de Fock Thierry Lévy Peyresq - Juin 2003 Introduction Les mesures gaussiennes et les espaces de Fock sont deux objets qui apparaissent naturellement et peut-être, à première
Plus en détailGroupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités
Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations
Plus en détailAxiomatique de N, construction de Z
Axiomatique de N, construction de Z Table des matières 1 Axiomatique de N 2 1.1 Axiomatique ordinale.................................. 2 1.2 Propriété fondamentale : Le principe de récurrence.................
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailCHAPITRE VIII : Les circuits avec résistances ohmiques
CHAPITRE VIII : Les circuits avec résistances ohmiques VIII. 1 Ce chapitre porte sur les courants et les différences de potentiel dans les circuits. VIII.1 : Les résistances en série et en parallèle On
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailDate : 18.11.2013 Tangram en carré page
Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Titre : Tangram en carré Numéro de la dernière page : 14 Degrés : 1 e 4 e du Collège Durée : 90 minutes Résumé : Le jeu de Tangram (appelé en chinois les sept planches
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailChapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence
Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailProduits d espaces mesurés
Chapitre 7 Produits d espaces mesurés 7.1 Motivation Au chapitre 2, on a introduit la mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens de R (notée B(R)), ce qui nous a permis d exprimer la notion de longueur
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailFiltrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales
Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Adriana Climescu-Haulica Laboratoire de Modélisation et Calcul Institut d Informatique et Mathématiques Appliquées de
Plus en détailFonctions de plusieurs variables et changements de variables
Notes du cours d'équations aux Dérivées Partielles de l'isima, première année http://wwwisimafr/leborgne Fonctions de plusieurs variables et changements de variables Gilles Leborgne juin 006 Table des
Plus en détailSuites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites
Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailD'UN THÉORÈME NOUVEAU
DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME NOUVEAU CONCERNANT LES NOMBRES PREMIERS 1. (Nouveaux Mémoires de l'académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1771.) 1. Je viens de trouver, dans un excellent
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailApproximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2
Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation
Plus en détailPROBLEMES D'ORDONNANCEMENT AVEC RESSOURCES
Leçon 11 PROBLEMES D'ORDONNANCEMENT AVEC RESSOURCES Dans cette leçon, nous retrouvons le problème d ordonnancement déjà vu mais en ajoutant la prise en compte de contraintes portant sur les ressources.
Plus en détail2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R
2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R Dans la mesure où les résultats de ce chapitre devraient normalement être bien connus, il n'est rappelé que les formules les plus intéressantes; les justications
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailLe théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche
Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailRetournement Temporel
Retournement Temporel Rédigé par: HENG Sokly Encadrés par: Bernard ROUSSELET & Stéphane JUNCA 2 juin 28 Remerciements Je tiens tout d'abord à remercier mes responsables de mémoire, M.Bernard ROUSSELET
Plus en détailCarl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939)
Par Boris Gourévitch "L'univers de Pi" http://go.to/pi314 sai1042@ensai.fr Alors ça, c'est fort... Tranches de vie Autour de Carl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939) est transcendant!!! Carl Louis
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détail1 Définition et premières propriétés des congruences
Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon
Plus en détailIntégration sur des espaces produits
Chapitre 5 Intégration sur des espaces produits 5.1 Produit de deux mesures Étant donnés deux espaces mesurés (Ω 1, F 1, µ 1 ) et (Ω 2, F 1, µ 2 ), le but de cette section est de construire une mesure
Plus en détailLes indices à surplus constant
Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté
Plus en détailExamen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)
Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailTexte Agrégation limitée par diffusion interne
Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse
Plus en détailSur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
Plus en détailCondition de stabilité d'un réseau de les d'attente à deux stations et N classes de clients 1
General Mathematics Vol. 18, No. 4 (2010), 85108 Condition de stabilité d'un réseau de les d'attente à deux stations et N classes de clients 1 Faiza Belarbi, Amina Angelika Bouchentouf Résumé Nous étudions
Plus en détailIV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
Plus en détail