EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

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1 EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat en fonction de l année. Les parties A et B sont indépendantes Partie A : un modèle discret Soit u n le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l année n. On pose n = 0 en 005, u 0 = et, pour tout n 0, u n+ = u n(0 u n ).. Soit f la fonction définie sur [0; 0] par f(x) = x(0 x). a. Etudier les variations de f sur [0; 0]. b. En déduire que pour tout x [0; ], f(x) [0; ]. c. On donne ci-dessous la courbe représentative C de la fonction f dans un repère orthogonal. Représenter à l aide de ce graphique les cinq premiers termes de la suite (u n ) n 0 sur l axe des abscisses.. Montrer par récurrence que pour tout n N, 0 u n u n+. 3. Montrer que la suite (u n ) n 0 est convergente et déterminer sa limite. Partie B : un modèle continu Soit g(x) le nombre, exprimé en millions, de tels foyers l année x. On pose x = 0 en 005, g(0) = et g est une solution qui ne s annule pas sur [0; + [ de l équation différentielle (E) : y = y( y). 0. On considère une fonction y qui ne s annule pas sur [0; + [ et on pose z = y. a. Montrer que y est solution de (E) si et seulement si z est solution de l équation différentielle : (E ) : z = z + 0. b. Résoudre l équation (E ) et en déduire les solutions de l équation (E). Page 5 / 6

2 . Montrer que g est définie sur [0; + [ par g(x) = 9e x Etudier les variations de g sur [0; + [. 4. Calculer la limite de g en + et interprétez le résultat. 5. En quelle année le nombre de foyers possédant un tel équipement dépassera-t-il 5 millions? y x Page 6 / 6

3 EXERCICE 4 Partie A : un modèle discret ) a. Pour tout réel x de [0; 0], f(x) = (0x x ). f est dérivable sur [0; 0] et pour tout réel x de [0; 0], f (x) = (0 x) = ( x). On en déduit le : 5 Tableau de variations de f. x 0 0 f (x) + 0 f 0 0 b. f admet donc un minimum égal à 0 atteint en x = 0 et x = 0 et un maximum égal à atteint en x =. Donc, pour tout x [0; 0], f(x) [0; ]. c. Représentation graphique de la suite (u n ) n N. y y = x y = f(x) u 0 u u 4 u u x ) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 u n u n+. On a u 0 = puis u = f(u 0 ) = 9 =, 9 et donc 0 u 0 u. Soit n N. Si 0 u n u n+. Puisque f est croissante sur [0; ], on a f(0) f(u n ) f(u n+ ) f() ce qui s écrit encore 0 u n u n+. On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 u n u n+. http :// 7 c Jean-Louis Rouget, 008. Tous droits réservés.

4 3) La suite (u n ) n N est croissante et majorée par. On en déduit que la suite (u n ) n N converge vers un réel que l on note l. De plus, comme pour tout entier n, on a u n (car u 0 = et car la suite (u n ) n N est croissante), quand n tend vers +, on obtient l. Ensuite, pour tout entier naturel n, on a u n+ = u n(0 u n ) et quand n tend vers +, on obtient l = l(0 l) puis l = l(0 l) puis = 0 l (car l 0) et enfin l =. La suite (u n ) n N converge et lim n u n =. Partie B : un modèle continu ) a. Soit y une fonction dérivable sur [0, + [ ne s annulant pas sur [0, + [. Posons alors z = y. z est définie, dérivable sur [0; + [, ne s annule pas sur [0; + [ et de plus y = z et donc y = z y = 0 y( y) y = y 0 y z z = z 0 z z = z Mais alors, z b. Soient a et b deux réels. On sait que les solutions sur R de l équation différentielle y = ay + b sont les fonctions de la forme x Ce ax b a. Ici, a = et b = 0. Donc les solutions de (E ) sur R sont les fonctions de la forme x Ce x/ +, C R. Si une telle fonction ne s annule pas sur [0; + [, elle fournit une solution de (E) sur [0; + [ à savoir la fonction x Ce x/ +. ) D après ce qui précède, il existe une contante réelle C telle que pour tout x 0, g(x) = g(0) = fournit C + = puis C + 9 = et donc C =. Donc, pour tout réel x 0, g(x) = 9 e x/ + = 9e x/ +. Pour tout réel positif x, g(x) = 9e x/ +. Ce x/ +. L égalité 3) La fonction g est dérivable sur [0; + [ en tant que quotient de fonctions dérivables sur [0; + [ dont le dénominateur ne s annule pas sur [0; + [ et pour x 0 ( g (x) = (9e x/ + ) 9 ) e x/ (9e x/ + ) = 4, 5e x/ = (9e x/ + ) (9e x/ + ). g est strictement positive sur [0; + [ et donc g est strictement croissante sur [0; + [. 4) lim x + e x/ = lim X ex = 0 et donc lim g(x) = x =. lim g(x) =. x + http :// 8 c Jean-Louis Rouget, 008. Tous droits réservés.

5 5) Soit x un entier naturel. g(x) 5 9e x/ + 5 9e x/ + 5 (par décroissance de la fonction x x sur ]0, + [ et car 9e x/ + > 0) 9e x/ + 9e x/ e x/ 9 ln(e x/ ) ln 9 (par croissance de la fonction ln sur ]0; + [) x ln 9 x ln 9 x 4, 3... x 5 (car x est entier). x = 5 correspond à l année 0 et donc Le nombre de foyers possédant un téléviseur à fond plat dépassera 5 millions à partir de l année 0. http :// 9 c Jean-Louis Rouget, 008. Tous droits réservés.