Développements limités, équivalents et calculs de limites

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1 Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin( ) n 6 Allez à : Correction eercice Eercice.. Ecrire le développement ité de au voisinage de 0, à l ordre En déduire le développement ité de +e au voisinage de 0, à l ordre Soit f(). En utilisant ce qui précède, déterminer l asymptote au graphe de f pour +. +e Allez à : Correction eercice Eercice 3.. Déterminer le développement ité à l ordre 6, au voisinage de 0, de : f() ln( + ) sin(). Déterminer le développement ité à l ordre 4, au voisinage de 0, de : Allez à : Correction eercice 3 Eercice 4. Soient u, v et f définies par : f() e cos() u() ( ) 3, v() + + f() ( ) Donner le développement ité de u, v et f au voisinage de 0 à l ordre.. En déduire l équation d une droite asymptote au graphe de f en En déduire l équation d une droite asymptote au graphe de f en et positionner f par rapport à cette asymptote. Allez à : Correction eercice 4 Eercice 5. Soit f la fonction pour tout R définie par f() + +. Déterminer le développement ité de f, à l ordre au voisinage de 0.. En déduire l équation de la tangente au point d abscisse 0 et la position de la tangente par rapport à la courbe. 3. Déterminer une équation de l asymptote en + ainsi que la position de cette asymptote par rapport à la courbe. Allez à : Correction eercice 5

2 Eercice 6. Soit f l application de U ],[ ], + [ dans R, définie pour tout U par : f() ( ) ln +. Donner le développement ité de f, à l ordre 3, dans un voisinage de 0. En déduire que le graphe de f admet une tangente (T) au point d abscisse 0. Donner une équation cartésienne de (T) et préciser la position du graphe par rapport à (T).. En utilisant un développement asymptotique de f en +, démontrer que le graphe de f admet une asymptote (A). Donner une équation cartésienne de (A) et préciser la position du graphe de f par rapport à (A). Allez à : Correction eercice 6 Eercice 7.. Soit f la fonction définie pour tout R par f() arctan() En calculant le développement ité à l ordre 4, au voisinage de 0 de la fonction dérivée f, en déduire le développement ité de f à l ordre 5.. Calculer le développement ité à l ordre, au voisinage de 0 de la fonction g définie par arctan() g() sin() Allez à : Correction eercice 7 Eercice 8. Déterminer le développement ité à l ordre 6, au voisinage de 0, de la fonction : f() arccos ( ) Allez à : Correction eercice 8 Eercice 9. Déterminer le développement ité à l ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction définie par : ch() ln( + ) f() cos() Allez à : Correction eercice 9 Eercice 0. Déterminer le développement ité en a à l ordre n de. f() e cos(), a π, n.. g() π 4 arctan () ln() Allez à : Correction eercice 0 Eercice., a, n. Déterminer le développement ité à l ordre 4, au voisinage de π 3, de la fonction : f() cos() Allez à : Correction eercice

3 Eercice. Déterminer le développement ité à l ordre, au voisinage de de la fonction Allez à : Correction eercice f() + Eercice 3. Déterminer le développement ité à l ordre, au voisinage de de la fonction définie par : f() Allez à : Correction eercice 3 Eercice 4.. Déterminer le développement ité à l ordre 4, au voisinage de π, de :. Donner un équivalent de f() e, en π. 3. En déduire Allez à : Correction eercice 4 Eercice 5... f() e sin() f() e π ( π ) Justifier l eistence et calculer le développement ité à l ordre 3, relatif à π, des applications suivantes : f() ln(sin()) Allez à : Correction eercice 5 f() ( + cos()) Eercice 6.. Calculer un développement ité à l ordre en de f() ln() et de g() 3.. En déduire ln() ln() 3 Allez à : Correction eercice 6 Eercice 7.. Calculer un développement ité à l ordre 4 au voisinage de 0 de : f() sin(). En déduire qu on peut prolonger cette fonction par continuité en 0 et que la fonction ainsi prolongée admet une dérivée première en Calculer un développement ité à l ordre 4 au voisinage de 0 de : g() ln ( sin() ) 3

4 Allez à : Correction eercice 7 Eercice 8. Justifier l eistence et calculer le développement ité à l ordre 4, relatif à 0, de l application suivante : f() sin() Allez à : Correction eercice 8 Eercice 9. Déterminer le développement ité à l ordre, au voisinage de 0, de : f() ln(ch()) ln( + ) Allez à : Correction eercice 9 Eercice 0. Déterminer le développement ité à l ordre, au voisinage de 0, de : f() ln(cos()) ln( ) Allez à : Correction eercice 0 Eercice. Soit f la fonction définie sur R par : f() ln(ch()) sh(). Déterminer le développement ité de f, au voisinage de 0, à l ordre 3.. Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 et que ce prolongement est dérivable en 0 (on donnera la valeur de f (0). Allez à : Correction eercice Eercice. Déterminer le développement ité à l ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction f() cos() ln( + ) sh() Allez à : Correction eercice Eercice 3.. Déterminer le développement ité à l ordre 3, au voisinage de 0, de : f() ln( + sh()). Déterminer le développement ité à l ordre, au voisinage de 0, de : ln( + sh()) g() sin() 3. Montrer que g est prolongeable par continuité en 0. Allez à : Correction eercice 3 Eercice 4. Soit f la fonction réelle définie par : f() 9 sin() cos() + cos() 4

5 . Donner les développements ités en 0, à l ordre 5, des fonctions sin(), cos() et cos().. En déduire la ite, lorsque tend vers 0 ( 0), de l epression f() f(). Allez à : Correction eercice 4 Eercice 5.. Déterminer le développement ité à l ordre 4, au voisinage de 0 de la fonction définie par : sin() sh() h() sin( ). En déduire un équivalent de h() au voisinage de 0. Allez à : Correction eercice 5 Eercice 6. Justifier l eistence et calculer le développement ité à l ordre n, relatif à 0, des applications suivantes :. f() sin() n f() sin () sh () n 3 Allez à : Correction eercice 6 f() (cos()) 3 n 4 Eercice 7.. Donner le développement ité à l ordre, en 0 de + 3X + X. Calculer Allez à : Correction eercice 7 ( ) + Eercice 8. Déterminer le développement ité à l ordre 5, au voisinage de 0 de la fonction Allez à : Correction eercice 8 Eercice 9. f() sin 3 () (e ) Ecrire le développement ité à l ordre 3, en 0, de cos() sin () et en déduire sa ite en 0. Allez à : Correction eercice 9 Eercice 30. Soit f la fonction définie sur R par f() ln (e + e + ). Déterminer le développement ité la fonction g définie par g(x) ln( + + X) à l ordre, au voisinage de 0. 5

6 . Montrer que f() + ln( + + e ), à l aide de la question. montrer que f admet une asymptote oblique en +, on déterminera la position du graphe de f par rapport à cette asymptote. Allez à : Correction eercice 3 Eercice 3.. Déterminer le développement ité à l ordre en 0 de : ( + h) h.. En déduire le développement généralisé à l ordre de ( + X )X lorsque X En déduire [( + ) 4 ( + ) + 3 ( ) ] Allez à : Correction eercice 3 Eercice 3. Calculer e cos() 0 ln () ( ) + e 0 sin () Allez à : Correction eercice 3 Eercice 33. Calculer, si elles eistent, les ites suivantes : sin(3) 0 tan() ; sin(3) 0 tan() ; ( e )sin () e cos() ; 0 ln( + sin()). Allez à : Correction eercice 33 Eercice 34. Déterminer la ite suivante, sans préjugée qu elle eiste : e cos() e ch() 0 cos() ch() Allez à : Correction eercice 34 Eercice 35. Calculer les ites.. ( + + ) 6

7 3. 4. On pourra poser X sin() sin() Allez à : Correction eercice 35 ( sin() ) 0 0 sin() sin() e sin() e tan() 0 sin() tan() >0 sin( ) 0 ln ( + ) Eercice 36. Soit f l application définie par f() + sin(). Déterminer un développement ité de f à l ordre 3 en 0.. Montrer que f est une bijection et que sa bijection réciproque f est de classe C 3, en déduire que f a un développement ité à l ordre 3. On note f () a 0 + a + a + a o( 3 ) le développement ité de f en En déduire le développement ité de f en eploitant la relation f (f()). Allez à : Correction eercice 36 Eercice 37. Soit f: R R l appliquation définie pour tout R par f() e. Justifier que f est de classe C sur R puis déterminer le développement ité à l ordre 5 en 0 de f.. Montrer que f est une bijection de R sur R. 3. On admet que f est aussi C sur R. Montrer que f admet un développement ité à l ordre 5 en 0 de la forme : f () a + b 3 + c 5 + o( 5 ) Où a, b et c sont des réels. 4. A partir de l identité f(f ()) valable pour tout R, déterminer a, b et c. Allez à : Correction eercice 37 Correction eercice... CORRECTIONS f() e ( + ) 3 ( o( )) ( 3 + ( 3)( 4) + o( )) ( o( )) ( o( )) + ( 3 + ) + (6 3 + ) + o( ) o( ) 7

8 g() sin() + ln( + ) o(3 ) o(3 ) Allez à : Eercice 3 6 o(3 ) + 3 o(3 ) + 3 o(3 ) o( 3 ) 3 + o( 3 ) o( 3 ) o( 3 ) o( 3 ) g() o( 3 ) h() e sh() e +o( ) e +o() e e o() e( + o()) e + o() i() sin( ) o(6 ) Correction eercice... Première méthode + e Avec + ( o(3 )) o( 3 ) ( o(3 )) o(3 ) X o(3 ) + X ( X + X X 3 + o(x 3 )) X ( o(3 )) ( o(3 )) o(3 ) o(3 ) Et X o(3 ) o(x 3 ) o( 3 ) 8

9 + e ( X + X X 3 + o(x 3 )) Allez à : Eercice Deuième méthode ( ( o(3 )) + ( o(3 )) ( o(3 )) + o( 3 )) ( + ( ) 3 + o( 3 )) o(3 ) o(3 ) o(3 ) o(3 ) o(3 ) o(3 ) o(3 ) o( 3 ) 3. On pose X, X 0 + f() X( + e X ) X ( X 4 X o(x3 )) X 4 X 48 + o(x ) y 4 Allez à : Eercice Correction eercice e o ( ) 48 + o ( ) 0 + est asymptote au graphe en +. ln( + ) o(5 ) ( o(4 )) sin() o(5 ) ( 0 + o(4 )) ln( + ) sin() ( o(4 )) ( 0 + o(4 )) ln( + ) sin() ( o(4 )) ln( + ) sin() ( + ( ) + 3 ( 4 ) + 4 ( ) + o(4 )) ln( + ) sin() ( o( 4 )) ln( + ) sin() o(6 ) 9

10 o(4 ) o(4 ) o(4 ) 3 + o(4 ) o( 4 ) 4 + o(4 ) o(4 ) o( 4 ) 4 + o( 4 ) 4 + o( 4 ) o( 4 ) e + + cos () o(4 ) Allez à : Eercice 3 Correction eercice 4.. Avec o(4 ) o(4 ) u() ( ) 3 ( + X) X + 3 ( 3 ) X + o(x ) + 3 X 9 X + o(x ) X o( ) X + o( ) o(x ) o( ) u() + 3 ( + + o( )) 9 ( + o( )) o( ) Avec v() + + ( + X) + X 8 X + o(x ) X + X + o( ) o(x ) o( ) v() + ( + ) 8 ( + o( )) + o( ) o( ) f() ( ) + o( ) o( ) La courbe admet une tangente d équation y à l origine 6. On pose X 0+, donc X > 0. 0

11 f() ( ) ( X 3 + X + X + ) 3 X + X + ( + X + X + X X + X X 3 ) X ( + X + X + X 3 ) X 3 ( + X + X ) X f(x) X 6 X 7 X + o(x ) X 6 7 X + o(x) o ( ) La courbe admet une asymptote horizontale d équation y en On pose X 0 donc X < 0. f() ( ) ( X 3 + X + X + ) 3 X + X + ( + X + X + X X + X X 3 ) u(x) + v(x) X X ( + X + X + X 3 ) X + 3 X + 9 X + o( ) + + X X + o(x ) X 3 ( + X + X ) X X + 7 X + o(x ) X X X + o(x) o ( ) La courbe admet une asymptote d équation y 5 + en, comme au voisinage de 6 f() ( ) o ( ) < 0 La courbe est au-dessous de l asymptote. Allez à : Eercice 4 Correction eercice 5.. f() + X + X + ( ) X + o(x ) + X 8 X + o(x ) Avec X +, X + o( ) et o(x ) o( ) f() + ( + ) 8 ( + o( )) + o( ) o( ). Une équation de la tangente en 0 est y + f() ( + ) o( ) ( o()) Cette epression est positive dans un voisinage de 0 donc la courbe est au-dessus de la tangente dans un voisinage de On pose X 0 lorsque +. f() + X + X X + X + X X + X + + X + X X X Car X > 0. En utilisant le développement ité du. on en déduit que

12 f() + X X + o(x ) X X X + o(x) o ( ) Une équation de l asymptote en + est y + f() ( + ) o ( ) (3 8 + o ( )) Cette epression est positive lorsque que + donc la courbe est au-dessus de l asymptote en +. Allez à : Eercice 5 Correction eercice 6.. f() ( ) ln + ( )[ln + ln ] Au voisinage de 0, f() ( )[ln( + ) ln( )] ( ) [ o(3 ) ( o(3 ))] ( ) [ o( 3 )] o( 3 ) o( 3 ) Une équation de la tangente en 0 est y, et comme f() ( ) o(3 ) est du signe de lorsque est proche de 0. Si > 0 la tangente est au dessous de la courbe. Si < 0 la tangente est au dessus de la courbe. Remarque : Attention au raisonnement suivant, si f() o( 3 ) alors f () o( ), si f () admet un développement ité à l ordre, par eemple parce que f est de classe C 3 dans un voisinage de 0, alors ce développement est celui-là, autrement dit on ne peut pas dériver un développement ité sans justifier que la fonction dérivée admet un développement ité. Par contre on peut toujours intégrer un développement ité.. On pose t, f(t) ( t ) ln + t t t ln t Lorsque +, t 0 et au voisinage de 0, t t + t t t t t ln t + t t ln t + t t t ln t + t t ( t t3 + o(t 3 )) t o ( ) On trouve le développement ité en 0 de t t ln t+ t à l aide du. t + o(t) o 3 ( ) 0 donc la droite d équation y est asymptote à la courbe. Comme f() X 4 + o 3 ( ) est strictement négatif lorsque +, la courbe est au dessus de l asymptote. Allez à : Eercice 6

13 Correction eercice 7... En intégrant f () o( 4 ) f() f(0) o(5 ) o(5 ) Car f(0) arctan(0) 0 g() Allez à : Eercice 7 arctan() sin() o(5 ) o(5 ) 3 ( o( )) 3 ( o( )) 6 ( o( )) 0 + o( ) o(5 ) o(5 ) o( ) o( ) 5 + o( ) 6 ( 0 + o( )) 6 ( o( )) ( o( )) 6 ( 3 + ( ) + o( )) o( ) 0 + o( ) Correction eercice 8. f () ( 4 4 ) ( X) ( ) X + o(x) + X + o(x) f () ( 4 ) ( o( 4 )) 5 + o( 5 ) Allez à : Eercice 8 f() f(0) o(6 ) π o(6 ) Correction eercice 9. ch() ln( + ) ( + + o(3 )) ( o(3 )) + + ( 3 + ) 3 + o( 3 ) o(3 ) 3

14 6 o(3 ) o(3 ) 3 o(3 ) o( 3 ) + o(3 ) o( 3 ) o( 3 ) o( 3 ) Allez à : Eercice 9 ch() ln( + ) cos() o( 3 ) Correction eercice 0.. On pose t π t + π, cos() cos (t + π ) sin(t) f() e sin(t) e t+o(t) e T + T + T! + o(t ) + ( t + o(t )) + t + o(t ) + o(t )! En posant T t + o(t ), T t + o(t ) et o(t ) o(t ) f() + ( t + o(t )) + t + o(t ) + o(t ) t + t! + o(t ) ( π ) + ( π ) + o (( π ) ). On pose t + t π g() 4 arctan ( + t) ln( + t) Le dénominateur et le numérateur s annulent en t 0. Il faut trouver un développement ité à l ordre (au moins) du numérateur et du dénominateur. Pour le dénominateur il n y a pas de problème, par contre le développement ité de h(t) π arctan( + t) ne fait pas parti des formules connues, 4 pour cela on va chercher un développement à l ordre de sa dérivée. h (t) + ( + t) + + t + t + t + t + t + t ( t + o(t)) + t + o(t) h(t) h(0) t + t 4 + o(t ) π 4 arctan() t + t 4 + o(t ) t + t 4 + o(t ) g() t + t 4 + o(t ) t t + o(t ) + t 4 + o(t) t + o(t) ( + t + o(t)) ( + t + o(t)) 4 + ( + 4 ) t + o(t) t 4 + o(t) + o(( )) 4 Allez à : Eercice 0 Correction eercice. Première méthode : 4

15 f est C + donc f admet un développement ité à n importe quel ordre, on peut appliquer la formule de Taylor-Young f(0) cos ( π 3 ) f () sin() f (0) sin ( π 3 ) 3 f () cos() f ( π 3 ) cos (π 3 ) f (3) () sin() f (3) ( π 3 ) sin (π 3 ) 3 f (4) () cos() f (4) ( π 3 ) cos (π 3 ) cos() 3 ( π 3 ) 4 ( π 3 ) + 3 ( π 3 ) ( π 3 )4 + o (( π 3 )4 ) Allez à : Eercice Deuième méthode On pose t π 3 t + π 3 f() cos (t + π 3 ) cos(t) cos (π 3 ) sin(t) sin (π 3 ) ( t! + t4 4! + o(t4 )) t3 (t 3! + o(t4 )) 3 Allez à : Eercice 3 t 4 t + 3 t t4 + o(t 4 ) 3 ( π 3 ) 4 ( π 3 ) + 3 ( π 3 ) ( π 3 )4 + o (( π 3 )4 ) Correction eercice. On pose t, + t + t f() ( + t) ( + t ) ( + t) Allez à : Eercice ( + (t ) + ( ) (t ) + o(t ) ( + t 4 t 3 + o(t )) ( t + 3t + o(t )) ) ( t ( 3) t + o(t )) ( + ( + 4 ) t + (3 3 ) t + o(t )) ( 7 79 t t + o(t )) 7 79 ( ) ( ) + o(( ) ) Correction eercice 3. On pose t + t 5

16 ln( + t) t f() ( + t) t e t ln(+t) t t + o(t ) t t + o(t) f() e t+o(t) ee t+o(t) e ( t + o(t)) e e t Allez à : Eercice 3 Correction eercice 4.. On pose π, soit t + π, + o(t) e e ( ) + o(( )) f() e sin(t+π ) e cos(t) e t +t4 4 +o(t4) ee t +t4 4 +o(t4) ee X e( + X + X + o(x ) Avec X t + t4 4 + o(t4 ), X t4 4 + o(t4 ) et o(x ) o(t 4 ) f() e ( t + t4 4 + o(t4 ) + (t4 4 + o(t4 )) + o(t 4 )) e e t + e 6 t4 + o(t 4 ). e e ( π ) + e 6 ( π )4 + o (( π )4 ) f() e e ( π ) + o (( π ) ) π e ( π ) 3. donc Allez à : Eercice 4 f() e ( π ) π e ( π ) ( π e ) f() e π ( π e ) Correction eercice 5.. sin ( π ) et ln est C+ au voisinage de, donc f admet un développement ité à n importe quel ordre. On pose t π t + π Avec f() ln (sin (t + π t )) ln(cos(t)) ln ( + o(t3 )) ln( + T) T T + o(t ). On pose t π t + π T t + o(t3 ), T o(t 3 ) et o(t ) o(t 3 ) f() T T + o(t ) t ( π + o(t3 ) ) + o (( π 3 ) ) f() e ln(+cos()) e t+ π ln(+cos(t+ π )) e 6 t+ π ln( sin(t)) g(t)

17 g est une fonction C + au voisinage de 0 donc elle admet un développement ité à n importe quel ordre. On fait d abord un développement ité à l ordre 3 de ln( sin (t)) t + π π + t π t+ π π + T π ( T + T T 3 + o(t 3 )) t ( π π + (t π ) ( t 3 π ) + o(t 3 )) t ( π π + 4t π 8t3 π 3 + o(t3 )) ln( sin (t)) ln ( t + t3 6 + o(t3 )) ln( + T) T T + T3 3 + o(t3 ) Avec T t + t3 6 + o(t3 ), T ( t + t3 6 + o(t3 )) ( t + t3 6 + o(t3 )) t + o(t 3 ), T 3 t 3 + o(t 3 ) et o(t 3 ) o(t 3 ) ln( sin (t)) T T + T3 3 + o(t3 ) t + t3 6 + o(t3 ) t + o(t 3 ) + t3 + o(t 3 ) + o(t 3 ) 3 t t + t3 + o(t3 ) Cette fois il fallait bien faire un développement ité à l ordre 3 en T parce que le premier terme de T est en t. t + π ln( sin (t)) π ( + t π ) ln ( t + t o(t3 )) t ( π π + 4t π 8t3 π 3 + o(t3 )) ( t t + t3 + o(t3 )) π ( t + ( π ) t + ( 4 π + π + ) t3 + o(t 3 )) Avec f() e t+ π π t (4 π + ) t + ( 8 π 3 + π + π ) t3 + o(t 3 ) ln( sin(t)) e π t (4 π +)t +( 8 π 3+ π + π )t3 +o(t 3 ) e T + T + T + T3 6 + o(t3 ) T π t (4 π + ) t + ( 8 π 3 + π + π ) t3 + o(t 3 ) T ( π t (4 π + ) t + ( 8 π 3 + π + π ) t3 + o(t 3 )) ( π t (4 π + ) t + ( 8 π 3 + π + π ) t3 + o(t 3 )) 4 π t ( π (4 π + ) + π (4 π + )) t3 + o(t 3 ) 4 π t ( 6 π + 4 π ) t3 + o(t 3 ) T 3 8 π 3 t3 + o(t 3 ) et o(t 3 ) o(t 3 ) 7

18 f() + T + T + T3 6 + o(t3 ) Allez à : Eercice 5 + π t (4 π + ) t + ( 8 π 3 + π + π ) t3 + o(t 3 ) π 3 t3 + o(t 3 ) + o(t 3 ) π t ( 6 π + 4 π ) t3 + o(t 3 ) + π t + ( 4 π + π ) t + ( 8 π 3 + π + π 8 π π + 4 3π 3) t3 + o(t 3 ) + π t + ( π 4 π ) t + ( 0 3π 3 6 π π ) t3 + o(t 3 ) + π ( π ) + ( π 4 π ) ( π ) + ( 0 3π 3 6 π π ) ( π )3 + o (( π )3 ) Correction eercice 6.. On pose t t +. f() ln(t + ) ln ( ( + t )) ln() + ln ( + t ) ln() + t (t ) + o(t ) ln() + t t 8 + o(t ) ln() + ( ) + o(( ) ) 8 On peut utiliser la même méthode ou utiliser la formule de Taylor pour les polynômes de degré 3 g() 3 g() + g ()( ) + g ( ) () + g ( )3 ()! 3! g() 3 0 g () 3 g () 7 g () 6 g () 0 g () 6 g () 6 g() 7( ) + 5( ) + ( ) 3 7( ) + 5( ) + o(( ) ) Allez à : Eercice 6 ln() ln() 3 ( ) 8 + o(( ) ) 7( ) + 5( ) + o(( ) ) 8 + o( ) 7 + 5( ) + o( ) ln() ln() 3 4 Correction eercice 7.. Comme on va diviser par, il faut faire un d.l. de sin() à l ordre 5.. f() o(5 ) 0 + o(4 ) f() On peut prolonger f par continuité en posant f(0). ( 0 + o(4 ))

19 f admet un d.l. à l ordre, donc f (0) eiste et f (0) (le coefficient de dans le d.l. de f()). 6 On rappelle que l on ne peut pas conclure des résultats identiques sur les dérivées d ordre supérieures si on n a pas montré auparavant que la fonction admettait une dérivée à l ordre voulue. 3. g() ln ( sin() ) ln ( 0 + o(4 )) ln( + X) X X + X3 3 X4 4 + o(x4 ) Avec X o(4 ), X o(4 ) et X 3 X 4 o(x 4 ) o( 4 ) g() X X + X3 3 X4 4 + o(x4 ) ( ) + o(4 ) o(4 ) Allez à : Eercice o(4 ) Correction eercice 8. f() tend vers lorsque tend vers 0, donc f est prolongeable par continuité 0, et sin() sont C + donc ces fonctions admettent des développement ité à n importe quelle ordre, leur quotient aussi. Il va y avoir une simplification par, donc il faut faire un développement ité du numérateur et du dénominateur à l ordre 5, est un polynôme de degré inférieur à 5, son développement ité est luimême. f() o(5 ) 0 + o(4 ) Là, il y a deu techniques, soit la division suivant les puissances croissantes ou utiliser la formule Je vais faire une division 0 + o(4 ) 0 + o(4 ) o(4 ) o(4 ) o( 4 ) o( 4 ) o( 4 ) +X. Allez à : Eercice 8 f() + sin() o( 4 ) Correction eercice 9. ln(ch()) ln ( o(4 )) ln( + X) X X + o(x ) Avec X o(4 ), X o(4 ) et o(x ) o( 4 ) 9

20 ln(ch()) o(4 ) (4 4 + o(4 )) + o( 4 ) 4 + o(4 ) ln( + ) ( o(3 )) o(4 ) f() ln(ch()) ln( + ) 4 + o(4 ) o(4 ) + o( ) o( ) f() o( ) Allez à : Eercice 9 + o( ) o( ) o( ) 8 + o( ) 8 + o( ) o( ) Correction eercice 0. ln(cos()) ln ( o(4 )) ln( + X) X X + o(x ) Avec X o(4 ), X o(4 ) et o(x ) o( 4 ) ln(cos()) o(4 ) (4 4 + o(4 )) + o( 4 ) 4 + o(4 ) f() ln(cos()) ln( ) f() o( ) ln( ) ( o(3 )) o(4 ) 4 + o(4 ) o(4 ) + + o( ) o( ) o( ) 4 + o( ) 4 + o( ) o( ) 0 + o( ) 3 + o( ) o( ) o( )

21 Allez à : Eercice 0 Correction eercice... ln(ch()) ln ( + + o( )) + o( ) On pourra mettre en facteur au numérateur sh() + o() On pourra mettre en facteur au dénominateur ln(ch()) f () sh() g () f () g () Il suffit de faire un développement ité à l ordre 4 au numérateur et 3 au dénominateur, car après simplificateur de par, il y aura un en facteur donc des développements à l ordre de f et de g suffisent ln(ch()) ln ( o(4 )) ln( + X) X X + o(x ) Avec X o(4 ) et donc X o(4 ) et o(x o( 4 ) Par conséquent f() ln(ch()) o(4 ) ( + o( )) ( o( )) o(4 ) + o( 4 ) + ( 4 8 ) 4 + o( 4 ) 4 + o(4 ) ( + o( )) sh() o(3 ) ( o( )) + o( ) o( ) ( + o( )) ( 6 + o( )) ( + ( ) + o( )) ( 6 + o( )) o( 3 ) f() 0 0 il suffit de poser f(0) 0 pour prolonger f par continuité en 0. Alors f (0). Allez à : Eercice f() f(0) o( 3 ) 4 + o( ) Correction eercice. Et ln( + ) sh() 0 cos() 0

22 on pourra mettre en facteur au numérateur et au dénominateur, puis simplifier par, il faut donc faire des développements ités à l ordre pour finalement obtenir un développement ité à l ordre 3. cos() o(5 ) o(5 ) ( o(3 )) ln( + ) sh() ( o(4 )) ( o(4 )) ( o(3 )) ( + o(3 )) Je me suis contenter de faire des développements à l ordre 4 parce que les deu factorisations par (donc par ) permettent d obtenir le produit de par un produit de développements ités à l ordre 3 (qui donne un développement ité à l ordre 3) c est-à-dire un développement ité à l ordre 5. Si on avait fait des développements ités de ln( + ) et de sh() à l ordre 5, on aurait juste constaté que les deu termes de degré 5 n auraient servi à rien (donc rien de bien grave). ln( + ) sh() ( o(3 )) ( o(3 )) ( + [ ] + [ 4 ] 3 + o( 3 )) Allez à : Eercice ( o( 3 )) ( o(3 )) f() ( o(3 ) o( 3 )) o( 3 ) Il reste à faire une division suivant les puissances croissantes o( 3 ) o( 3 ) o( 3 ) o( 3 ) o( 3 ) o( 3 ) o( 3 ) o( 3 ) o( 3 ) o( 3 ) +o( 3 ) Et finalement f() o( 3 ) Correction eercice 3..

23 ln( + sh()) ln ( o(3 )) ln( + X) X X + X3 3 + o(x3 ). 3. Avec X o(3 ), X ( o(3 )) ( + 3 et o(x 3 ) o( 3 ) 6 + o(3 )) + o( 3 ), X o( 3 ) ln( + sh()) X X + X3 3 + o(x3 ) o(3 ) + o( 3 ) o( 3 ) + o( 3 ) o(3 ) g() ln( + sh()) sin() sin() o(3 ) o(3 ) o(3 ) ( + + o( )) 6 + o( ) + + o( ) 6 + o( ) 6 + o( ) X + o(x) + X Avec X + 6 o( ) et o(x) o( ) o( ) 6 + o( ) On aurait aussi pu faire une division suivant les puissances croissantes g() ( + + o( )) ( o( )) + ( + 6 ) + o( ) o( ) g() ( o( )) donc g est prolongeable par continuité par la fonction définie par : { g() si 0 si 0 Allez à : Eercice 3 Correction eercice 4... cos() () sin() o(5 ) cos() o(5 ) + ()4 4 + o(5 ) o(5 ) 3

24 f() 9 ( o(5 )) ( o(5 )) + ( o(5 )) Et Allez à : Eercice 4 Correction eercice 5... (9 + ) + ( ) 3 + ( ) 5 + o( 5 ) o( 5 ) f() 9 0 ()5 + o( 5 ) o( 5 ) o( 5 ) f() f() o( 5 ) o( 5 ) o() ~ o() f() 0 f() sin() sh() ( o(5 )) ( o(5 )) ( 0 + o(4 )) ( o(4 )) ( + ( ) + ( ) 4 + o( 4 )) ( o( 4 )) o( 6 ) Il faut faire un développement ité au même ordre du dénominateur h() o( 6 ) o(6 ) o( 4 ) o(4 ) + ( 6 90 ) 4 + o( 4 ) o( 4 ) ( o( 4 )) ( o(4 )) Allez à : Eercice 5 h() o( 4 ) Correction eercice 6.. f() tend vers lorsque tend vers 0, donc f est prolongeable par continuité 0, et sin() sont C + donc ces fonctions admettent des d.l. à n importe quelle ordre, leur quotient aussi. Il va y avoir une simplification par, donc il faut faire un d.l. du numérateur et du dénominateur à l ordre 5, est un polynôme de degré inférieur à 5, son d.l. est lui-même. f() o(5 ) 0 + o(4 ) Là, il y a deu techniques, soit la division suivant les puissances croissantes ou utiliser la formule 4 +X.

25 Je vais faire une division 0 + o(4 ) 0 + o(4 ) o(4 ) o(4 ) o( 4 ) o( 4 ) o( 4 ) f() + sin() o( 4 ). Il faut évidemment réduire au même dénominateur f() sin () sh () sh () sin () sin () sh () Le terme de plus petit degré du dénominateur est 4 car sin () sh () ~ 0 4 Pour que cette fonction admette un développement ité il faut que le terme de plus bas degré du numérateur soit en 4. sh () sin () est paire, cette fonction est nulle en 0, le terme en est 0 car sh () sin () ( ) ( ) + ( + ) Tout va bien, le terme de plus bas degré de cette fonction est en 4 (le terme en 3 est nul car la fonction est paire. cette fonction admet un développement ité en 0 et il y aura une simplification par 4. Pour faire un développement ité à l ordre 4, il faut faire un développement ité à l ordre du numérateur et du dénominateur. sh () ( o(6 )) ( o(5 )) ( o(5 )) ( o(5 )) ( + ( ) + ( ) 4 + o( 5 )) ( o( 5 )) o( 7 ) On remarquera que le développement ité à l ordre 6 de sh () permet de trouver le développement ité à l ordre 7 de sh () 5

26 sin () ( o(6 )) ( 0 + o(5 )) ( 0 + o(5 )) ( 0 + o(5 )) ( + ( 6 6 ) + ( ) 4 + o( 5 )) ( o( 5 )) o( 7 ) sh () sin () o( 7 ) ( o( 7 )) o( 7 ) sin () sh () ( o( 5 )) ( o( 5 )) 3. f() (cos()) 3 e 3 ln(cos()) 4 ( o(3 )) ( 3 + o(3 )) 4 ( + o( 3 )) 4 + o( 7 ) f() sh () sin () sin () sh () o( 7 ) 4 + o( 7 ) 3 + o(3 ) + o( 3 ) 3 + o(3 ) Il faut déjà faire un développement ité à l ordre 4 de 3 ln(cos()) On va diviser par donc il faut faire un développement ité de ln(cos()) à l ordre 6. ln(cos()) ln ( () + ()4 4 () o(6 )) ln ( o( 6 )) Avec ln( + X) X X + X3 3 + o(x3 ) X o( 6 ) X ( o( 6 )) ( o( 6 )) ( ) 6 + o( 6 ) o( 6 ) X o( 6 ) o(x 3 ) o( 6 ) il était bien inutile de faire un développement ité à l ordre 6 de ln ( + X), l ordre 3 suffit car le terme de plus bas degré de X est. ln(cos()) ln( + X) X X + X3 3 + o(x3 ) o( 6 ) o( 6 ) o( 6 ) o( 6 ) 3 3 ln(cos()) 3 ( o( 6 )) o( 4 ) + o( 6 ) 6

27 Avec f() e 3 ln(cos()) e o( 4) e 6 e o( 4) e 6 e X e 6 ( + X + X + o(x )) X o( 4 ) X o( 4 ) et o(x ) o( 4 ) f() e 6 ( + X + X + o(x )) e 6 ( o( 4 ) o( 4 ) + o( 4 )) Allez à : Eercice 6 Correction eercice 7. e 6 ( o( 4 )) e 6 4e e o( 4 ) X + o(x) 3 X + o(x). On pose X, X tend vers 0 lorsque tend vers l infini. Car X > X + 3 X + X + 3X + X X + 3X + X X X X X + X X 3 X + o(x) 3 X + o() Allez à : Eercice 7 ( ) ( 3 + X 0 + o()) 3 Correction eercice 8. f() sin 3 () (e ) ( + o()) 3 ( + + o( ) ) ( 3 + o( 3 ))( + o( )) Allez à : Eercice 8 Correction eercice 9. 3 ( + o()) ( + o()) 5 ( + o()) 5 + o( 5 ) Ni cos() ni sin () n admettent de développement ité en 0, il faut absolument réduire au même dénominateur. cos() sin () cos() sin () sin () Le dénominateur s annule en 0, il faut faire attention! Le terme de plus bas degré est 4, cela se voit. Si le terme de plus bas degré du numérateur est p avec p < 4, la fonction n admet pas de développement ité en 0. Etudions brièvement cos() sin (), cette fonction s annule en 0, il n y a pas de terme constant, elle est paire donc il n y a pas de terme en et 3, il reste à regarder le terme en : cos() ( + ) le premier terme est, (sin()) ( ) donc le premier terme est aussi, il n y a pas de terme en. Cette étude justifie le fait que cette fonction admet un développement 7

28 ité en 0. De plus il y aura une simplification par 4 il faut donc faire des développement ité à l ordre pour pouvoir obtenir un développement ité à l ordre 3. cos() ( o(5 )) o(7 ) On notera qu un développement ité à l ordre 5 de cos() suffit pour obtenir un développement ité à l ordre 7 de cos(). sin () ( o(6 )) ( 0 + o(5 )) ( 0 + o(5 )) ( 0 + o(5 )) ( ( ) + ( 0 + ( 6 ) ( 6 ) + 0 ) 4 + o( 5 ) ( o( 5 )) o( 7 ) On notera qu un développement ité à l ordre 6 de sin () suffit pour obtenir un développement ité à l ordre 7 de sin (). Cela vient du fait que le développement ité de sin() commence par. On en déduit que : cos() sin () o(7 ) ( o( 7 )) o( 7 ) sin () ( o( 5 )) o( 7 ) En faisant une troncature du développement ité de sin () trouver ci-dessus. cos() sin () o( 7 ) o( 3 ) o( 7 ) 3 + o( 3 ) La première (et plus délicate) partie est finie, il faut trouver le développement ité d un quotient de fonction dont le dénominateur ne s annule pas. On peut faire une division suivant les puissance croissante mais ici on peut appliquer la formule, cela me parait plus simple o( 3 ) 3 + o( 3 ) 3 + o( 3 ) +X ( o( 3 )) + X X + X + o(x ) o( 3 ) Avec X 3 + o( 3 ), X o( 3 ) et o(x ) o( 3 ). On remarquera qu un d.l. à l ordre du d.l. de X + o(x) pose un problème parce que o(x) +X o( ) or on souhaite obtenir un d.l. à l ordre o( 3 ) + X X + X + o(x ) On en déduit que : ( 3 + o( 3 ) 3 + o( 3 )) + o( 3 ) + o( 3 ) o( 3 )

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