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1 23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une somme d argent, appelée intérêt, qui sera respectivement de 4,20 et de 2,80. 4,20 2,80 Vérifier que l intérêt est proportionnel au capital placé : 0, Eprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 % 2 Calcul de l intérêt Aleandre place 300 pendant 4 mois au tau annuel de 9 %. Le capital placé est C 300. La période de placement est le mois. 0,09 Calculer le tau mensuel : t 0, Calculer l intérêt pour un mois : C t 2,25. Pour 4 mois : 2, On voit que l intérêt I s obtient par le calcul : I C t n où n est le nombre de mois. Claire place 200 pendant 3 trimestres au tau annuel de 6 %. Donner le capital placé : C ,06 Calculer le tau trimestriel : t 0,05. 4 Donner le nombre de trimestres de placement n 3. Calculer l intérêt : I C t n 200 0, Stéphane place 600, du 0 avril au 25 juin, au tau annuel de 4,5 %. Donner le capital placé : C 600 0,045 Calculer le tau par jour : t 0, Déterminer le nombre n de jours de placement : du 0 au 30 avril : 20 ; en mai : 3 ; en juin : 25 Au total : n 76 Calculer l intérêt : I C t n 600 0, ,7 Laure place 600 pendant 8 quinzaines, au tau annuel de 3 %. Donner le capital placé : C

2 0,03 Calculer le tau par quinzaine : t 24 Donner le nombre de quinzaines de placement n 8 0,03 Calculer l intérêt : I C t n calculer un intérêt? Calculer l intérêt produit par un capital de 900 placé, pendant 8 mois, au tau de 7,5 % l an. On applique la formule I C t n en déterminant précisément : Le capital placé : C 900 La période de placement : c est le mois. 0,075 Le tau périodique est donc égal à : t 2 Le nombre de périodes de placement : n 8 0,075 On a donc : I Eercices page 66 I capital 0,045 2 Tau annuel d intérêt : 6 % 3 I 5,3 4 I,99 6

3 24 VALEUR ACQUISE Valeur acquise M. Ducoin a placé 200 pendant 80 jours, au tau annuel de 9 %. 0,09 Calculer l intérêt produit : I Calculer la valeur acquise : Représentation graphique Un capital de 200 est placé au tau annuel de 9 %. 0,09 Calculer l intérêt produit au bout de jours : I 200 0,3. Calculer la valeur acquise au bout de jours : 0,3 200 Quel est le tpe de fonction ainsi eprimé et la nature de sa représentation graphique? Fonction affine. Calculer pour 0 : 200 ; Calculer pour 200 : 260 Représenter graphiquement ci-dessous la valeur acquise en fonction du nombre de jours pour

4 calculer une valeur acquise? Calculer la valeur acquise par un capital de 750 placé, au tau annuel de 7 %, du 4 mai au 20 août. Le nombre de jours de placement est n 08 0,07 On a donc l intérêt : I ,75 La valeur acquise est : 750 5,75 765,75 calculer une durée de placement pour obtenir une valeur acquise donnée? Combien de temps doit-on placer un capital de 540, au tau annuel de 2 %, pour obtenir une valeur acquise de 55,70? On désigne par le nombre de jours de placement. 0,2 La valeur acquise est : ,70. Résoudre cette équation : 540 0,8 55,70 0,8,7,7 : 0,8 65 D où la durée du placement : 65 jours. Eercices page 68 Valeur acquise : 66,05 2 Capital à placer : Durée du placement : 50 jours 4 0, Segment de droite d etrémités (0 ; 000) ; (00 ; 025) 63

5 25 TAUX MOYEN DE PLACEMENT Définition du tau moen M. Cumul a placé un capital de pendant 20 jours, au tau annuel de 8 %. Il place une nouvelle somme de 7 000, pendant 90 jours, au tau annuel de 2 %. Il place enfin une troisième somme de 9 000, pendant 60 jours, au tau annuel de 6 %. Calculer l intérêt produit par le premier placement : 0, Calculer l intérêt produit par le deuième placement : 0, Calculer l intérêt produit par le troisième placement : 0, Calculer l intérêt total : I Soit t le tau annuel unique qui aurait permis d obtenir le même intérêt total I, avec les mêmes durées de placement. t t t I t I ( ) t. On connaît la valeur de I. Calculer t : t t 0,0876 (arrondir à 4 décimales) En déduire le tau unique de placement : 8,76 %. calculer le tau moen de plusieurs placements? Calculer le tau moen des placements suivants : 540 placés au tau annuel de 4,5 %, pendant 90 jours. 870 placés au tau annuel de 7,5 %, pendant 60 jours. 630 placés au tau annuel de 2 %, pendant 45 jours. 64

6 On calcule l intérêt total produit en additionnant les intérêts produits par chaque placement : 0,045 0,075 0,2 I I 26,40 En calculant avec le tau moen t, cet intérêt est : t t t I t On peut mettre en facteur : I ( ) I t 358,75 t t On a donc une équation de la forme : 358,75 t 26,40 On en déduit : 26,40 t 0,0736 (arrondir à 4 décimales). 358,75 Le tau moen de placement est : 7,36 %. Eercices page 70 Tau moen des placements : 7,68 % 2 Tau moen du crédit : 3,64 % 65

7 Problèmes pages 7 et 72 Montant des capitau placés : 350 ; I 4,88 3 I 9,44 4 Valeur des deu capitau : et Durée du placement : 90 jours. 6 0,05 ; segment de droite d etrémités (0 ; 0) et (00 ; 5) 7 Tau moen des 3 placements : 4,68 % 8 Tau moen des placements : 8,2 % 0, , ,5 ; 2 037,5 Durée Intérêts Valeur acquise (en mois) produits (en ) (en ) 7, , , , , ,50 p. Le premier capital est le plus élevé, car il est placé moins longtemps. 2. A ; B Tau de placement : 7 % 4. Sa valeur atteindra au bout de 240 jours. q ; 2 2, Fonctions affines représentées par des droites. 3. Si 25, 2 Si 25, 2 Si 25, 2 s Montant total des intérêts produits : 28,35 0,045 d A) , ,75 ; 203,75 3. Durée Intérêt Valeur acquise (en mois) (en euros) (en euros) 0,75 200,75 2,50 20,50 3 3,75 203, B) Segment de droite C). Différence entre deu termes consécutifs constante. 2. 0,75 ; 200,75 D). U n U 0,75 (n ) 200 0,75n 2. U 0 207,5 E). n mois. f. Part de chacun : 750 ; 975 ; Pourcentage prélevé : 66,67 % 3. a) 6,88 b) 56,88 c) 3 ans 0,06 g Durée du 2 e placement : 80 jours. 3. Tau annuel : 5 % ; valeur acquise :

8 26 ESCOMPTE VALEUR ACTUELLE Valeur nominale M. Vébot achète un lot de marchandises à son fournisseur M. Domac. En règlement, il signe un document par lequel il s engage à paer 200, le 8 mai 200. Quelle est la valeur nominale de l effet signé par M. Vébot? 200 Quelle est la date d échéance de l effet signé par M. Vébot? 8 mai Escompte Pour des besoins de trésorerie, M. Domac négocie l effet de commerce le 22 mars 200 à sa banque. Calculer le nombre n de jours entre le 22 mars et le 8 mai : ,25 Calculer l escompte : E ,75 3 Valeur actuelle Le 22 mars 200, la valeur de l effet est égale à sa valeur nominale diminuée de l escompte. Cette valeur est appelée valeur actuelle de l effet au 22 mars 200. Calculer cette valeur actuelle : ,75 76,25 calculer un escompte? Calculer le montant de l escompte d un effet de valeur nominale 6 240, échéant dans 90 jours, escompté au tau annuel de 3,2 %. 0,32 La valeur nominale est C ; le tau par jour est t. Le nombre de jours à courir est n 90 0,32 D où l escompte E ,92 calculer une valeur actuelle? Calculer la valeur actuelle de l effet de l eercice précédent. La valeur nominale est : ; l escompte est : 205,92 Valeur actuelle : , ,08 Eercices page 74 Montant de l escompte et valeur actuelle : 2,7 et 97,3 ; 24 et Valeur actuelle :

9 27 AGIO TAUX RÉEL D ESCOMPTE Agio M. Maire négocie à sa banque un effet de valeur nominale 2 000, échéant dans 60 jours (tau annuel d intérêt : 3,5 %). Outre l escompte, la banque prélève une commission fie de 0, sur laquelle doit être appliquée la TVA au tau de 9,6 %. 0,35 Calculer l escompte : Calculer la TVA : 0 0,96,96 Calculer la retenue totale effectuée par la banque : 45,96 56,96 Calculer la somme perçue par M. Maire : ,96 943,04 2 Tau réel d escompte M. Guèze remet à l escompte, le er mars, un effet de valeur nominale 2 400, échéant le 30 avril. Les conditions de la banque sont les suivantes : escompte : 3,2 % ; commission d endos : 0,60 % ; commission de service : 2, sur laquelle s applique la TVA au tau de 9,6 %. Calculer le nombre de jours entre le er mars et le 30 avril : Calculer l agio : 0,32 Escompte : ,20 55,20 2,96 69,55 t Compléter : ,55 En déduire la valeur de t en résolvant l équation (arrondir à 4 décimales) : 69,55 t 0,73875 t 0,739, soit 7,39 % calculer un agio? Un commerçant remet à l escompte, le mai, un effet de valeur nominale 2 00, échéant le 29 juillet. La banque propose les conditions suivantes : escompte : 0,40 % ; commission d endos : 0,80 % ; commission de manipulation : 0, sur laquelle s applique la TVA au tau de 9,6 %. On appliquera deu jours de banque. Calculer l agio et la valeur nette à porter au crédit du commerçant. 68

10 Nombre de jours du mai au 29 juillet : 79. On ajoute 2 jours : 8. On calcule ensemble le montant de l escompte et la commission d endos. 0,2 Tau à appliquer :,20 % Montant : ,92 Commission tae : 0,96,96 Agio 52,92,96 64,88 Valeur nette 2 035,2 calculer un tau réel d escompte? Calculer le tau réel d escompte dans l eercice précédent. Le tau réel d escompte t est tel que : valeur nominale t t D où : ,88 On résout l équation en t : t Le tau réel d escompte est : 3,73 %. nombre de jours agio. 64, ,3732 Eercices Agio : 43,83 Valeur nette : 396,7 pages 76 Tau réel : 25,43 % 69

11 Date d échéance : 45 jours après le 5 avril, soit le 20 mai. 2 Valeur nominale de la traite : 5 397,3 3 Jour de la négociation : 3 avril. 4 5 Problèmes pages 77 et 78 Date de Date Nombre Valeur Valeur négociation d échéance de jours nominale actuelle 0 avril 20 juin ,53 22 mai 2 juillet septembre 4 décembre septembre 30 novembre ,3 873,60 Valeur Tau Nombre Escompte Valeur nominale de jours actuelle % 90 22,5 977, % ,2 % % ,25 % 20 9,33 780, % % 50 7,75 62,25 400,5 % 90 40,25 359,75 6 Tau d escompte: 2%; second effet: 800 et 60 jours jours. 2. Banque A : 20,0 ; 449,99 Banque B : 20,57 ; 449,43 3. Banque A : 9,6 % ; banque B : 9,69 % 8. 3,28 ; 2 2, ,4 3. On trace le graphique sur la 6 e semaine. 4. On lit l abscisse du point d intersection ,625 ; 2, Fonctions linéaires. 3. La banque A est plus avantageuse. p Tau réel d escompte : 24,64 % q. Montant de l escompte : Agio : 240 ; valeur nette : Segment de droite d etrémités (0 ; 40) et ( ; 640) Tau réel de l escompte : 4,4 %. s. Agio : 4,35 2. Valeur nette : 458,65 d.,95 35 ; 2 2, Fonctions affines La banque A est la plus intéressante pour

12 28 EFFETS ÉQUIVALENTS Définition de l équivalence On considère les deu effets suivants, escomptés le 8 mai (tau d escompte 0 %) : er effet : valeur nominale : 975, date d échéance : 23 juin. 2 e effet : valeur nominale : 990, date d échéance : 6 août. Calculer la valeur actuelle du premier effet : n 36 0, , ,75 965,25 Calculer la valeur actuelle du second effet : n , , ,75 965,25 calculer la valeur nominale d un effet équivalent? Quelle doit être la valeur nominale d un effet dont l échéance est le 3 juin, pour qu il soit équivalent le 4 avril à un effet de 780, paable le 4 mai (tau d escompte 5 %)? On désigne par la valeur nominale du nouvel effet. Nombre de jours à courir de l effet remplacé : du 4 avril au 4 mai, il a : 30 jours. 0,5 Valeur actuelle de l effet remplacé : ,25. Nombre de jours à courir du nouvel effet : du 4 avril au 3 juin, il a : 60 jours. 0,5 Valeur actuelle du nouvel effet : 60 0,025 0,975. On écrit alors «l équation d équivalence» obtenue en égalant les valeurs actuelles au er avril : 0, , ,25 On résout l équation : ,975 La valeur nominale de l effet est : 790. calculer la date d échéance d un effet équivalent? Le 3 novembre, une traite de valeur nominale échéant le 9 décembre est remplacée par une traite de valeur nominale Déterminer la date d échéance du nouvel effet (tau : 2,5 %). 7

13 Nombre de jours à courir de l effet remplacé : jours. 0,25 Valeur actuelle de l effet remplacé : ,20 On désigne par n le nombre de jours à courir du nouvel effet. 0, Valeur actuelle du nouvel effet : n n Les valeurs actuelles doivent être égales : 3 697, ,8 D où n 94,8 et n On compte 72 jours après le 3 novembre : la date d échéance du nouvel effet est le 4 janvier de l année suivante. n Eercices page 80 Valeur nominale : 894,25 au tau de 2 %. 2 Nombre de jours à courir du 2 e effet : Valeur nominale de la nouvelle lettre de change : 904,82 72

14 29 PAIEMENT À CRÉDIT Principe du paiement à crédit Louis veut acheter un magnétoscope dont le pri est 394. Pour régler son achat, le vendeur lui propose : soit de régler comptant les 394 ; soit de paer comptant 00, et le reste en deu traites de 50 chacune, la première dans un mois, la seconde dans deu mois (tau : 6 %). Comparons les deu modes de paiement. 0,6 Calculer la valeur actuelle de la première traite : ,6 Calculer la valeur actuelle de la seconde traite : Calculer la valeur actuelle du second mode de paiement : calculer le montant des traites dans un paiement à crédit? Pour rembourser une dette de 700, Stéphane accepte de verser immédiatement 20, puis le solde en quatre traites mensuelles de même valeur nominale, la première dans un mois. Quelle est la valeur nominale de chaque traite (tau d escompte 6 %)? Calculer le solde à paer : Soit la valeur nominale de chaque traite. La somme des valeurs actuelles des traites est : 0,6 0,6 0,6 0, ,6,6 48,6 4 ( 2 3 4) ,4 2 Cette somme doit être égale au solde à paer : 46, d où 50. Le montant de chaque traite est ,4 calculer la valeur nominale d un effet unique remplaçant plusieurs effets? Le 5 mars, on remplace les trois effets suivants : 300 échéant le 4 avril, 900 échéant le 4 avril, 400 échéant le 4 mai, par un effet unique échéant le 3 juin. 73

15 Calculer la valeur nominale de cet effet (tau d escompte 2 %). Calculer la somme des valeurs actuelles des trois effets au 5 mars : 0,2 er effet : ,2 2 e effet : ,2 3 e effet : Somme 577 Soit la valeur nominale de l effet unique. Du 5 mars au 3 juin, il a 90 jours. Valeur actuelle de l effet unique au 5 mars : 0,2 90 0,03 0,97. Cette valeur actuelle doit être égale à la somme des valeurs actuelles des effets remplacés : 0, d où 625,77 (arrondir à 2 décimales) La valeur nominale de l effet unique est : 625,77. Eercices page 82 Valeur nominale : 2 586,48 au tau de 2 %. 2 Échéance de l effet unique : 24 juin. 3 Valeur nominale : 229,7 Problèmes pages 83 et 84 Valeur nominale : 04,2 2 Valeur nominale : Tau d escompte : 2 % 4 On prend un tau de 2 %. a. 47,42 b. 484, c. 55,0 2. Valeur nominale : 383,69 et 653,69 5. Montant des traites : F 2. Date du versement : 32 jours après le 5 janvier, soit le 28 mai ,52 ; date d échéance : le 6 novembre. 7. Date d échéance : le 23 juillet. 2. Non, on n utilise pas le tau. 8. Pri d achat : 7 437,29 2. Valeur nominale : 950,43 9 Valeur nominale : 483,02 p a. Valeur de chacune des 6 traites : b. Date d échéance : le 29 novembre. q re possibilité : e possibilité : ; 4 % 3 e possibilité : 500 ;

16 30 PUISSANCES D UN NOMBRE Puissances d un nombre Dans un jeu radiophonique, chaque bonne réponse double le gain du concurrent. La cagnotte de départ se monte à. Quel est le gain après une série de trois bonnes réponses? de di bonnes réponses? À la première bonne réponse, on a 2, à la deuième, 4, à la troisième, 8. À la diième bonne réponse, le gain est Puissances de di Écrire les nombres suivants sous forme d un décimal : 0 2 ; 0 3 ; , , Écrire les nombres suivants sous forme d un décimal : 0 2 ; 0 3 ; ,0, 0 3 0,00, 0 6 0, Écriture scientifique d un nombre décimal Écrire sous forme de décimau les nombres suivants : 0, , 4,68 0 2, Que constate-t-on? Proposer deu autres écritures du même nombre utilisant d autres puissances de di. Ces nombres sont égau à ,8 0 0, Parmi les écritures précédentes, une seule est le produit d un décimal à un seul chiffre non nul avant la virgule et d une puissance de di, c est le nombre : 4, effectuer des calculs sur des eposants? Vérifier les égalités suivantes ; (par eemple, en comptant le nombre de facteurs. Ne pas utiliser la calculatrice) : (2 5) (2 5) (2 5) (2 2) (5 5) (0 0 0) (0 0 0)

17 Eercices page ; 26 ; 8 ; ,09 ; 0,26 ; 0,656. 3, ;, ;, ;,2 0 3 ; 4, ; ; 0,00 05 ; 0, ; 0 5 ; ; 0 6 ; 0 2 ; 76

18 3 RACINE CARRÉE D UN RÉEL POSITIF Racine carrée d un réel positif Une pièce carrée a une aire de A 9 m 2. Quelle est la longueur c d un côté? Pour calculer l aire d un carré, on utilise la formule : A c 2. Le nombre cherché a pour carré 9 ; c est c 3 car Eemple de nombre irrationnel Utiliser la calculatrice pour trouver une valeur approchée de 2. La calculatrice donne pour 2 le nombre :, À l aide de la calculatrice, élever ce nombre au carré, on obtient : 2. Une valeur approchée de 2 arrondie à trois décimales est : 2,44. calculer une racine carrée? En général, il faut utiliser la touche de la calculatrice. Par eemple, on a : 5 2,236 ; ; 0, ,79 ; 0, ,25 (arrondir éventuellement à trois décimales). effectuer des calculs sur des radicau? Soit deu nombres a et b positifs. On a : a b 2 ab et a b 2 a 2 b 2 ab. On en déduit que a b a b. a b ( a) 2 On a (avec b 0) : 2 et 2. ( b) 2 a a On en déduit que ; b 0. b b Vérifier ces deu formules en complétant le tableau : a b a b a b a b a b a b a b ,4,96,4 a b a b a b a b Eercices page 88,73 ; 2,45 ; 2,65 ; 3,6. 2,5 ; 40 ; 0,2 ; ; 2 2 3; 5 2; ; ; ; ; ; 20 0; 3 ; 22 7;

19 32 SUITES GÉOMÉTRIQUES Définition d une suite géométrique En 2000, une entreprise a fabriqué montres. Son plan de développement prévoit une augmentation de la production de 5 % par an pendant plusieurs années. Quelle sera la production en 200, en 2002, en 2003, en 2004? En 200, on aura : , soit montres. En 2002, on aura : , En 2003, on aura : , En 2004, on aura : , ,3 (arrondi à ). On obtient une suite de cinq nombres (ou termes) : u ; u ; u ; u ; u ,3 Calculer le rapport de deu termes consécutifs de la suite : u u ,05 ;,05 ; u u u 4 u 3 u 5 u ,3,05 ;, Le rapport de deu termes consécutifs est constant. On en déduit que : u 2 u,05 ; u 3 u 2,05 ; u 4 u 3,05 ; u 5 u 4,05. 2 Calcul du terme de rang n Écrire les si premiers termes de la suite géométrique de premier terme u 5 et de raison q 3: u 5 ; u 2 5 ; u 3 45 ; u 4 35 ; u ; u Pour obtenir u 3 à partir de u, on multiplie u par q 2 Pour obtenir u 4 à partir de u, on multiplie u par q 3 Pour obtenir u 6 à partir de u, on multiplie u par q 5 savoir si une suite de nombres est une suite géométrique? Voici une suite de nombres : u 2,5, u 2 37,5, u 3 2,5, u 4 337,5, u 5 92,5. 78

20 u 2 u u 3 u 2 37,5 2,5 337,5 92,5 Calculer : 3, 3, 3, 2,7. 2,5 37,5 2,5 377,5 La suite proposée est-elle une suite géométrique? Pourquoi? Non ; 3. Modifier un des cinq nombres pour obtenir une suite géométrique. Justifier la modification. u 5 337,5 3 02,5. u 4 u 3 u 5 u 4 u 5 u 4 utiliser la formule : un u q n? Calculer le premier terme d une suite géométrique de cinquième terme 272 et raison 2. Avec : u 5 272, q 2 et n 5, la formule précédente permet d écrire : 272 u 2 4 Résoudre cette équation du premier degré d inconnue u. Le premier terme est u 7. Eercices page 90 oui, u, q 3. 2 non. 3 oui, u, q ; 3,6 ; 4,32 ; 5,8 ; 6,22 ; 7, ; 99,2 ; 79,36 ; 63,49 ; 50,79 ; 40,63. 6 ; ; 4 ; 8 ; ; ; ,

21 Problèmes pages 9 et 92 kilo hecto déca 0 0 unité déci 0, 0 centi 0,0 0 2 milli 0, ,3 0 3 ; 5,4 0 5 soit 0,002 3 et ; 3 5 ; 3 5 ; ) m 2; 2) a 7, m 2, n 2; 3) par eemple m 4 et n 3; 4) m 3; 5) m 4; 6) m 8; 7) m 7; 8) m 23 ; 9) m 3; 0) m 3; ) m 2; 2) tous entiers tels que m n km/s ;,5 0 8 km min 20 s jours soit environ ans 9 mois. 7.,5 0 8 km. 2. 5,2 ua km. 8 9, km 9 est un est un eiste n eiste nombre nombre pas positif négatif p 3,42. q 3 7; 4 2; 2 ; s A 3 3; B 0 3; C ; D 4; 7 E 4 d A 2 A. f 3,362 ; 3,46 ; 3,46. g 3,605 ; 3,46 ; 3,473. h 0 9 s 3,7 ans. j. u ; q, ; k. re proposition : suite arithmétique, r 76 2 e proposition : suite géométrique, q, ; 296 ; 372 ; 448 ; 524 ; 600 ; 676 ; 220 ; 277 ; 337 ; 400 ; 466 ; 534 ; 607. l M : 278 ; N : 767 ; P : 460 ; total : m. u 5; u 2 5,5 ; u 3 6,05 ; u 4 6,66 ; u 5 7,32 ; u 6 8,05 ; u 7 8,86 ; u 8 9,74 ; u 9 0, entre 7 et 8 ans. w. A0 : 9 987,6 cm 2 ; A : 4 989,6 cm 2 ; A2 : 2 494,8 cm 2 ; A3 : 247,4 cm 2 ; A4 : 623,7 cm u 9 987,6 ; q 0,5. 3. On plie la feuille en deu suivant un ae qui est la médiatrice de la longueur ,5 mm 20 mm (3) 2 ( 3)

22 33 TRACÉS DE FIGURES PLANES Eemple de construction géométrique : la médiatrice d un segment À partir du segment [AB] ci-contre, effectuer les constructions suivantes : Tracer un arc de cercle de centre A et de raon 3,5 cm. Tracer un arc de cercle de centre B et de même raon. Ces deu arcs se coupent en deu points M et N. Justifier que M et N sont à égale distance de A et de B : AM AN et BM BN. Comme les deu cercles ont le même raon, on a : AM AN BM BN. Tracer la droite (MN). Vérifier sur la figure que (MN) est perpendiculaire à [AB] et qu elle coupe le segment [AB] en son milieu. construire le cercle circonscrit à un triangle rectangle? On sait qu un triangle rectangle est inscrit dans un cercle dont le diamètre est l hpoténuse. Le centre du cercle est donc le milieu O de l hpoténuse. Figure supposée construite Construction A C A C Construire la médiatrice de [BC], repérer le point O et tracer le cercle circonscrit O au triangle. O A M N B B B construire la tangente à un cercle en un point donné T? Figure supposée construite Construction O O La tangente au cercle en T est perpendiculaire au raon [OT]. Prolonger ce raon d une longueur égale TA puis construire T T la médiatrice de [OA]. C est la tangente cherchée. 8

23 construire le cercle circonscrit à un triangle? Figure supposée construite : Construction : A A B O C B O C Le centre du cercle circonscrit au triangle est à égale distance des sommets A et B, il appartient donc à la médiatrice de [AB]. Il est aussi à égale distance des sommets B et C, il appartient donc à la médiatrice de [BC]. Construire ces médiatrices, déduire des constructions précédentes le centre du cercle circonscrit au triangle et tracer ce cercle. Eercices page 94 2 M M r = 4 cm (D) (D) M N 3 4 M I (D) N A B 82

24 34 RELATIONS DANS LE TRIANGLE RECTANGLE Relation de Pthagore Notations : a, b et c sont les longueurs des côtés [BC], [AC] et [AB] respectivement. C b a 2 Relations trigonométriques A c B utiliser la relation de Pthagore? Pour calculer le troisième côté d un triangle rectangle Dans le triangle ABC ci-contre, on a AB 2 cm et AC 3 cm. Pour calculer BC, on applique la relation de Pthagore : AC 2 AB 2 BC 2. D où : BC 2 AC 2 AB 2. A En remplaçant AB et AC par leurs valeurs, on obtient : BC et BC 25 5 cm B 7 Pour reconnaître un triangle rectangle 8 (les dimensions sont indiquées sur les figures). Pour le triangle ABC, on a : AC 2 BC AB Pour le triangle MNP, on a : MN 2 NP MP C 5 M 3 2 A 25 4 C B P 20 N calculer le sinus, le cosinus et la tangente d un angle donné? Pour calculer le sinus de 45, on effectue la séquence suivante (qui dépend de la calculatrice consulter le mode d emploi) : 45 0,707 De même, calculer : sin 2 0,208 ; cos 24 0,94 ; tan 85,430 calculer l angle dont le sinus, le cosinus ou la tangente est donné? Pour calculer l angle dont le sinus est 0,325, on effectue la séquence suivante (qui dépend de la calculatrice consulter le mode d emploi) : 0,325 9,0 De même, calculer : l angle tel que cos 0,866 30,0 l angle tel que tan 2 63,4 83

25 Eercices page 96 c 25 ; b 24 ; a 6. 2 sont rectangles : T et T 4. 3 sin A 0,6 ; cos A 0,8 sin B 0,8 ; cos B 0,6 A 37 ; B 53. c = 5 B a = 3 A b = 4 C Le cercle de centre M et de raon MA est le cercle circonscrit au triangle ABC. 2. (AB) est la médiatrice de MN. 2. La nature du quadrilatère AMBN est un losange. 4 Les deu triangles AIB et AIC aant même base (BI BC) et même hauteur ont la même aire. 5. A Problèmes pages 97 et 98 O (C) z 7. Nombre de feuilles dans une surface d m 2 : 6 feuilles. 2. Masse : 5 grammes. 8. Aire d une feuille : mm Masse d une rame de 500 feuilles : g. 3. Pri en euros d une rame : 3, Nombre de rames Pri à paer (en ) 358,75 046,25 252,50 5. Pri de 40 rames : ,0 m 2 ; 2,6 m 2 ; 75,83 m enfants. 5 p sin A 7 ; A 45,6 4 cos A 7 ; A 52,2 B 2. (AB) est tangente au cercle. 6 (D ) E q AB 0,39 BC 3,33 s h 20,5 m d. Mesure de l angle : 4,6 2. Distance réellement parcourue : AC 00,3 m. f 97,5 m ; h 22,4 m. A M O N B (D 2 ) 84

26 35 INTÉRÊTS COMPOSÉS Principe des intérêts composés M. Darin place à sa banque un capital C 0 000, au tau annuel de 5 %, pendant un an. Calculer l intérêt produit au bout d une année : , Calculer la valeur acquise C au bout de l année : Quel est le coefficient multiplicateur qui permet de passer du capital placé C à la valeur acquise C : C C,05 Cette valeur acquise est elle-même placée de nouveau pendant un an, au même tau. Calculer la valeur acquise C 2 à la fin de la deuième année : 0 500, Montrer que C 2 C,05 2 : C 2 C,05 (C,05),05 C,05 2 On place C 2 dans les mêmes conditions, une troisième année. Calculer la valeur acquise C 3 à la fin de la troisième année : 025,05 576,25 Montrer que C 3 C,05 3 : C 3 C 2,05 (C,05 2 ),05 C,05 3 Quelle est la nature de la suite formée par C, C, C 2, C 3? Suite géométrique de raison,05. Quel est l intérêt total I produit par ce placement pendant les trois années? I 576, ,25. calculer une valeur acquise? Un capital de est placé, à intérêts composés, pendant 2 ans, au tau annuel de 6 %. La capitalisation des intérêts est mensuelle. Calculer la valeur acquise. On applique la formule C C( t) n. Le capital est C La période est ici le mois. 0,06 Le tau mensuel est : t 0, Le nombre de mois est : n D où la valeur acquise : C 4 000, À la calculatrice, on effectue : On obtient : C 4 508,64 (arrondir au centième). 85

27 calculer un intérêt? Calculer le montant des intérêts dans l eemple précédent. On obtient le montant I des intérêts en retranchant le capital de la valeur acquise : I 4 508, ,64. calculer un capital? Un capital est placé, à intérêts composés, pendant 3 ans, au tau annuel de 4 %. La capitalisation des intérêts est annuelle. La valeur acquise obtenue est 2 63,32. Calculer le capital placé. D après la formule, on a : 2 63,32 C, ,32 On en déduit : C 2 63,32,004 3.,004 3 À la calculatrice, on effectue : On obtient : C (arrondir à l unité). Eercices page 00 Valeur acquise : 620,53 ; montant des intérêts : 220,53. 2 Valeur acquise : 570,37 ; montant des intérêts : 370,37. 3 Capital placé : 250 ; montant des intérêts : 65,62. 86

28 36 AMORTISSEMENT Amortissement constant Une machine est achetée hors tae par une entreprise. On estime sa durée de fonctionnement à 4 ans. On suppose que, chaque année, la perte de valeur (l annuité d amortissement) est égale à 25 % de sa valeur d origine. Calculer l annuité d amortissement : , Compléter le tableau. Année Valeur Annuité Valeur nette d acquisition d amortissement comptable en fin d année Donner la nature de la suite formée par les valeurs nettes comptables : C est une suite arithmétique de raison Amortissement dégressif Une entreprise a acheté une machine hors tae, amortissable en 5 ans. L annuité d amortissement se calcule en appliquant un tau de 40 % sur la valeur nette comptable en début d eercice. Compléter les trois premières lignes du tableau : Année Valeur nette Annuité Valeur nette comptable d amortissement comptable début d eercice fin d eercice En 2002, il reste 2 années à courir. On constate que l annuité 432 0,40 72,8 est inférieure au rapport 432 : Dans ce cas, on termine le tableau en amortissement constant. Terminer le tableau. 87

29 construire un tableau d amortissement constant? Un matériel acheté hors tae est amorti suivant le principe des amortissements constants en 5 ans. Construire le tableau d amortissement. L annuité d amortissement est : D où le tableau : Année Valeur Annuité Valeur nette d acquisition d amortissement comptable en fin d année construire un tableau d amortissement dégressif? Une machine achetée doit être amortie en 5 ans suivant le principe des amortissements dégressifs (tau 40 %). Construire le tableau d amortissement. Année Valeur Annuité Valeur nette nette comptable d amortissement comptable début d eercice fin d eercice Eercices page 02 Année Valeur Annuité Valeur nette d acquisition d amortissement en fin d année

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