Séquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire

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1 Séquence Repérage dans le plan Équations de droites Sommaire 1 Prérequis Repérage dans le plan 3 Équations de droites 4 Synthèse de la séquence 5 Exercices d approfondissement Séquence MA0 1

2 1 Prérequis A Repérage sur une droit graduée, dans le plan repéré À savoir Sur une droite graduée, on peut repérer un point par son abscisse ; réciproquement chaque nombre réel correspond à un point de la droite, point dont il est l abscisse Exemple Sur l axe gradué ci-dessous : A B C O I D E 0 1 le point A a pour abscisse ( 3 ), le point B a pour abscisse (, 5), le point C a pour abscisse ( 1), le point D a pour abscisse ( ), le point E a pour abscisse ( 4, 5 ) environ Sur l axe gradué ci-dessous : E D C B A O I -3,5-0 0,5 1,6 5 le nombre 5 correspond au point A, le nombre,6 correspond au point B, le nombre 0,5 correspond au point C, le nombre correspond au point D, le nombre 3,5 correspond au point E Séquence MA0 3

3 À savoir Sur une droite graduée, on peut calculer la distance entre deux points dont on connaît les abscisses Pour calculer la distance entre A et B sur un axe, on effectue la différence entre «l abscisse la plus grande» et «l abscisse la plus petite» Exemple Sur l axe gradué ci-dessous : A B C O I D E 0 1 La distance DE est égale à : DE = "abscisse la plus grande" "abscisse la plus petite" = "abscisse de E" "abscisse de D" = 45, = 5, La distance CD est égale à : CD = "abscisse la plus grande" "abscisse la plus petite" = "abscisse de D" "abscisse de C" = ( 1)= 3 La distance CA est égale à : CA = "abscisse la plus grande" "abscisse la plus petite" = ( 1) ( 4)= 3 La distance BO est égale à : BO = "abscisse la plus grande" "abscisse la plus petite" = 0 (, 5)=, 5 Plan repéré À savoir Dans le plan muni d un repère orthogonal, on peut repérer un point par son abscisse et son ordonnée ; réciproquement chaque couple de nombres réels correspond à un point du plan, point dont ce couple est le couple (abscisse ; ordonnée) Exemples Dans le plan ci-dessous, muni d un repère : le point A a pour abscisse 3 et pour ordonnée 1,5 ; le point B a pour abscisse ( ) et pour ordonnée,5 ; le point C a pour abscisse ( 1,5) et pour ordonnée 0 ; le point D a pour abscisse ( 1) et pour ordonnée (,5) ; le point E a pour abscisse 0,5 et pour ordonnée ( 0,75) environ 4 Séquence MA0

4 Dans le même plan ci-dessous : le couple ( ; 3) correspond au point F ; le couple (1 ; 3) correspond au point G ; le couple (0 ; 1,5) correspond au point H ; le couple ( 3 ; 3) correspond au point J ; le couple ( 1 ; 4) correspond au point K K G B A 1 C 0 1 E D J H F B Fonction affine, représentation par une droite Fonction affine, représentation par une droite À savoir Dans le plan muni d un repère orthogonal, une fonction affine est représentée par une droite Voir séquence 1 Séquence MA0 5

5 C Figures de géométrie plane Figures particulières À savoir Se souvenir des propriétés géométriques des figures particulières étudiées au collège : quadrilatères, triangles, cercles, polygones réguliers Principaux théorèmes À savoir Se souvenir des principaux théorèmes de géométrie étudiés au collège : théorème de Thalès, réciproque de ce théorème, théorème de Pythagore, réciproque de ce théorème Trigonométrie À savoir Se souvenir des définitions du cosinus d un angle, de son sinus et de sa tangente, ainsi que des relations qui les lient D Solides de géométrie dans l espace Solides particuliers À savoir Se souvenir des propriétés géométriques des solides particuliers étudiés au collège : parallélépipède rectangle, prisme droit, cylindre, pyramides, cônes, sphères 6 Séquence MA0

6 Repérage dans le plan A Activités Activité 1 Vendée Globe La carte ci-dessous représente l océan Atlantique dans une projection équirectangulaire, c est-à-dire une projection de la sphère terrestre sur un plan, où l on s est arrangé pour que les parallèles et les méridiens se coupent à angle droit (ce qui n est pas le cas dans la réalité), avec une distance constante entre deux méridiens (ce qui n est pas le cas dans la réalité) et la même distance entre deux parallèles successifs où qu ils soient situés (ce qui n est pas non plus le cas dans la réalité) Ici on a même choisi un quadrillage carré (c est-à-dire que l on a pris la même distance entre deux parallèles successifs qu entre deux méridiens successifs), ce qui est le reflet de la réalité à proximité de l équateur, mais pas du tout aux pôles On a donc une déformation de la réalité : plus on va vers les pôles, plus les territoires sont étirés, aussi bien en longueur qu en largeur Sur cette carte de l Atlantique on veut représenter la position de cinq concurrents du Vendée-Globe au 7 février 009 Placer tout d abord Les Sables d Olonne, ville de départ et d arrivée de l épreuve, dont les coordonnées sont (1 W ; 47 N) Puis localiser les Açores, iles de l Atlantique que les concurrents contournent, et dont les coordonnées sont (8 W ; 39 N) On connaît la position de trois des concurrents Marc : (37 W ; 38 N) Arnaud : (37 W ; 14 N) Steve : (3 W ; 0 S) Placez-les sur la carte, en les nommant par leur initiale Séquence MA0 7

7 On sait que Dee est exactement au milieu du segment [MA] La placer sur la carte en la nommant D Calculer les coordonnées de sa position On s intéresse à un cinquième concurrent, Brian, dont on notera la position B On sait qu Arnaud est exactement au milieu du segment [BS] Placer sur la carte la position de Brian Calculer les coordonnées de sa position Activité Cadastre Le plan cadastral d une commune est quadrillé en carreaux de 10 m sur 10 m Chaque ligne du quadrillage est numérotée à partir d un point (0 ; 0) correspondant à un repère géodésique de l IGN Un géomètre doit borner un terrain qui vient d être acheté Sur l extrait du cadastre ci-dessous figure le quadrillage, le repère IGN, une route, un chemin et l emplacement de deux poteaux téléphoniques 8 Lire les coordonnées des points I, P 1, P On connaît la position de quatre points délimitant le terrain Ce sont les points P 1, A ( 1 ; 7), B(6 ; 7) et P 3, emplacement d un futur poteau téléphonique, situé de façon que P soit le milieu du segment [P 1 P 3 ] CHEMIN 3 Placer ces points sur le graphique Calculer les coordonnées du point P 3, ainsi que celles du point C, milieu du segment [P 1 A] Ign P 1 ROUTE P 1 0 Calculer la longueur des côtés [AB] et [B P 3 ], longueurs exprimées en décamètres Le propriétaire souhaite amener l électricité à partir du chemin, jusqu au point B, en implantant un poteau en A ou en C Quel emplacement faut-il choisir (A ou C) pour que la portion de ligne traversant le terrain soit la plus courte possible? 8 Séquence MA0

8 B Cours 1 Repérage d un point Coordonnées a) Repère Pour pouvoir repérer chaque point du plan de manière non-ambiguë, on peut fixer dans le plan deux axes gradués, sécants Définition On dit que le plan est muni d un repère lorsque l on a fixé dans ce plan deux axes gradués sécants On dit que le repère est orthogonal si les deux axes sont perpendiculaires On dit que le repère est orthonormé s il est orthogonal et si l unité de longueur est la même sur les deux axes y y y 1 J 1 0 I x 1 J 1 0 I x 1 J 1 0 I x Repère quelconque Repère orthogonal Repère orthonormé Remarque Même si ce n est pas toujours indispensable, on travaillera presque toujours dans un repère orthogonal (voire orthonormé) b) Coordonnées d un point Pour repérer un point du plan dans un repère orthogonal (O, I, J), on projette ce point orthogonalement sur chacun des deux axes gradués du repère La graduation correspondant au projeté sur le premier axe est appelée l abscisse du point Séquence MA0 9

9 La graduation correspondant au projeté sur le deuxième axe est appelée l ordonnée du point y Remarques M Si le repère n est pas orthogonal, on projette parallèlement aux deux axes 1 0-1,5 = x M J 5 = y M I 1 x L ordre dans lequel on considère les deux axes, pour établir un repère du plan, est fondamental, puisqu il permet de décider quelle graduation est l abscisse du point, et quelle graduation en est l ordonnée On note habituellement les abscisses des points avec la lettre x, x suivie en indice du nom du point, et les ordonnées avec la lettre y, y suivie en indice du nom du point Pour le point A, on notera x A et y A ; pour B, x B et y B ; pour M, x M et y M etc Propriété Dans le plan muni d un repère (O, I, J), on peut repérer un point M par son abscisse x M et son ordonnée y M Ces deux nombres sont appelés les coordonnées du point On note les coordonnées d un point sous la forme d un couple de nombres, le premier étant nécessairement l abscisse du point, et on écrit souvent ce couple immédiatement après le point On a donc une écriture de la forme : A xa; ya, Remarque x On trouve aussi le couple écrit verticalement : A A y A ( ) ou B ( x B ; 35, ), ou C ( 13, ; 0, ) Milieu d un segment Comme on a pu le voir dans l activité initiale, il est aisé de calculer les coordonnées du milieu d un segment lorsque l on connaît les coordonnées des extrémités de ce segment Propriété ( ) ( ) Si l on connaît les coordonnées de deux points du plan, A x A;yA et B x B;y B, les coordonnées du milieu du segment [AB] sont égales à : x = x A +x B milieu et : y = y A +y B milieu 10 Séquence MA0

10 Démonstration Considérons deux points A et B dont on connaît les coordonnées dans un repère du plan (repère orthogonal sur le dessin ci-contre, mais qui pourrait être quelconque) Appelons M le milieu du segment [AB] Projetons orthogonalement les points A, B et M sur l axe Ox On obtient les points A, B et M qui nous définissent les abscisses x A, x B et x M Supposons, pour la suite, que x B > x A Traçons le segment [CB] parallèlement à l axe Ox, x C étant le point d intersection de ce segment avec [AA ] On appelle K le point d intersection de ce segment avec [MM ] Dans le triangle ABC, les droites (AC) et (MK) sont parallèles et M est le milieu du segment [AB] On en déduit (théorème de Thalès) que K est le milieu de [CB] et donc que : BC = BK Or BC = B'A' et BK = B'M' (rectangles) On a donc : B'A' = B'M' C A y K M A' M' B' X A O X M X B x B Comme l abscisse de B est supérieure à celle de A, l abscisse de M est aussi supérieure à celle de A, et on a : B'A' = xb xa et B'M' = xb x M (voir les pré-requis) On en déduit que : xb xa = ( xb xm) x x Ce qui nous donne : x A + B M = Le résultat serait inchangé si l abscisse de B, et donc celle de M, étaient inférieures à celle de A (faites le calcul) On fait de même avec les ordonnées Remarque L abscisse du milieu d un segment est la moyenne des abscisses des extrémités de ce segment L ordonnée du milieu d un segment est la moyenne des ordonnées des extrémités de ce segment Exemple On considère, dans le plan repéré, les points A, B, C et D dont les coordonnées sont : A ( 13, ; 0),B( 85, ;, ),C( 09, ; 0, ) etd( 3, 5;, 4) Il semble, si l on place les points sur un graphique, que l on ait un parallélogramme Est-ce réellement le cas? Séquence MA0 11

11 Représentons ci-dessous les points dans un repère (que l on a pris pour une fois non-orthogonal) y D 1 J C 0 I 1 A x B Il semble effectivement que l on ait un parallélogramme, mais la précision du dessin n est pas suffisante pour en être sûr Pour vérifier si c est le cas, calculons les coordonnées du milieu M du segment [AC] On a : 13, + 0, 9 xm = ( ) = = + 0 0, 0, et ym = 01, Puis calculons les coordonnées du milieu K du segment [BD] On a : ( xk = 85, )+ 35, ( = et yk =, )+ 4, 0, = 0,1 On constate que l on obtient les mêmes coordonnées Les points M et K sont donc confondus Ceci signifie que les deux diagonales du quadrilatère se coupent en leur milieu On a donc bien un parallélogramme 3 Distance entre deux points La propriété que nous allons voir nécessite que l on soit dans un repère orthonormé Nous allons utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la distance entre deux points du plan, points dont on connaît les coordonnées dans un repère orthonormé 1 Séquence MA0

12 Propriété Si l on connaît les coordonnées de deux points du plan, ( ) ( ) A x A;yA et B x B;y B, dans un repère orthonormé (O, I, J), la ( ) ( ) distance AB est égale à : AB= x A x B + y A y B Démonstration Considérons deux points A et B dont on connaît les coordonnées dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan y Projetons orthogonalement les points A A et B sur l axe (OI) On obtient les points A et B qui nous définissent les abscisses x A et x B Traçons le segment [CB] parallèlement à l axe (OI), C étant le point d intersection de ce segment avec [AA ] Le triangle ABC est rectangle en C puisque les axes sont perpendiculaires C A' X A 0 B B' x X B On en déduit (théorème de Pythagore) que : AB = AC + CB Or on peut calculer les distances AC et CB à l aide des coordonnées des points On a CB = A'B' (rectangle), et donc : CB = A'B' = xb xa ou xa x B (voir les pré-requis) De la même façon en projetant les points A et B sur l axe (OJ) on obtient : AC = ya yb ou yb ya L égalité résultant du théorème de Pythagore s écrit alors : ( ) + ( ) AB = yb ya xb xa On peut noter que cette égalité ne dépend pas de l expression de chacune des distances AC et CB, puisque : ( yb ya) = ( ya yb) et ( xb xa) = ( xa xb) Enfin, puisqu une distance est un nombre positif, on a : ( ) + ( ) AB = yb ya xb xa Séquence MA0 13

13 Remarque Pour établir cette propriété, il est indispensable que les axes soient perpendiculaires, puisque l on a besoin d avoir un triangle ABC rectangle en C Il est aussi indispensable que l on mesure les distances avec les mêmes unités dans toutes les directions, pour pouvoir utiliser le théorème de Pythagore Il nous faut donc un repère orthonormé Exemple Reprenons, mais dans un repère orthonormé, les points A, B, C et D de l exemple précédent, dont les coordonnées sont : A ( 13, ; 0),B( 85, ;, ),C( 09, ; 0, ) etd( 3, 5;, 4) Pour montrer que ABCD est un parallélogramme, comparons les distances AB et CD, et les distances BC et DA On a : ( ) + ( ) = ( ) + ( ) AB = yb ya xb xa, 0 85, 13, =, 065 Et : ( ) + ( ) = ( ) + ( ( )) = CD = yd yc xd xc 4, 0, 35, 09,, 065 Ce qui nous donne : AB = CD De même on a : ( ) + ( ) = ( ) + ( ( )) = BC = yb yc xb xc, 0, 85, 09, 9565, ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = Et : DA = yd ya xd xa 4, 0 35, 13, 9, 565 Ce qui nous donne : BC = DA Un quadrilatère non croisé ayant ses côtés opposés deux à deux de même longueur est un parallélogramme On a donc prouvé que ABCD est un parallélogramme 14 Séquence MA0

14 C Synthèse du cours Milieu d un segment Propriété Si l on connaît les coordonnées de deux points du plan, ( ) ( ) A x A;yA et B x B;y B, dans un repère quelconque (O, I, J), les coordonnées du milieu du segment [AB] sont égales à : x = x A +x B et : y = y A +y B milieu milieu Distance entre deux points Propriété Si l on connaît les coordonnées de deux points du plan, ( ) ( ) A x A;yA et B x B;y B, dans un repère orthonormé (O, I, J), la distance AB est égale à : AB= ( x A x B) + ( y A y B) D Exercices d apprentissage Exercice 1 coordonnées sont : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A 13, ; 4,B 15, ; 1,C 17, ; 3,,D 07, ; 56,,E 1,; 06, etf 11,; 16, triangles ABC et DEF? Calculer les coordonnées du milieu du segment [AD], celles du milieu du segment [BE], et celles du milieu du segment [CF] Que peut-on conclure pour les triangles ABC et DEF? Exercice Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère les points A, B, C et K dont les coordonnées sont : A ( 43, ; 4),B( 16, ; 1),C( 160, ; ) etk( 05, ; 0, ) Faire une figure représentant ces points Séquence MA0 15

15 Représenter le triangle DEF, symétrique de ABC par rapport au point K Calculer les coordonnées des points D, E et F Exercice 3 Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère les points A, B et C dont les coordonnées sont : ( ) ( ) ( ) A 3, ; 38,,B 11, ; 1 etc 5, ;, Faire une figure représentant ces points et placer le point D tel que ABCD soit un parallélogramme Calculer les coordonnées du milieu du segment [AC] En déduire les coordonnées du point D Exercice 4 Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère les points A, B, C, D et E, dont les coordonnées sont : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A 13, ;,B 3, 5; 1,C 17, ; 3,,D 15, ; 0,6 et E 0, 9;, 1 Faire une figure représentant ces points Que peut-on conjecturer pour les droites (AB) et (DE)? Calculer les coordonnées du milieu du segment [AC] Démontrer que les droites (AB) et (DE) sont parallèles Exercice 5 Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on considère les points A, B, C, D, E et K, dont les coordonnées sont : A 5, ; 6,B 85, ; 0,C 65, ; 6,D 35, ; 6, 45, ; , ; 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E etk ( ) Faire une figure représentant ces points Que peut-on conjecturer pour les points A, B, C, D et E? Calculer les distances KA, KB, KC, KD et KE Que peut-on conclure pour les points A, B, C, D et E? Exercice 6 Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on considère les points A, B, C, D et E, dont les coordonnées sont : ( ) ( ) D( 06, ; 1, 3 16, ) ( ) + A 06, ; 16,,B 06, 1, 3; 04,,C 06, ; 08,, ( ) et E 18, ; 16, Faire une figure représentant ces points Que peut-on conjecturer sur la nature des triangles ABC, ABD et ABE? Calculer les distances AB, AC, AD et AE Déterminer la nature précise des triangles ABC, ABD et ABE 16 Séquence MA0

16 Exercice 7 Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on considère les points A et B, dont les coordonnées sont : ( ) ( ) A 5; 1 etb 6; 4 On trace le cercle de centre A et de rayon AB La tangente à ce cercle passant par B coupe l axe (OJ) au point C Faire une figure représentant les points, le cercle et la tangente Calculer le rayon du cercle Déterminer les coordonnées du point C Exercice 8 Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on considère les points A, B et C, dont les coordonnées sont : ( ) ( ) ( ) A ;,B 4 ; 4 etc 6 ; 4 On trace le cercle de centre A et de rayon AB On veut déterminer une valeur approchée de l angle BAC Faire une figure représentant les points et le cercle Montrer que C est sur le cercle de centre A et de rayon AB Déterminer les coordonnées du point D, point diamétralement opposé au point C sur le cercle Vérifier que le triangle BCD est rectangle en B Déterminer une valeur approchée de l angle BDC En déduire une valeur approchée de l angle BAC Séquence MA0 17

17 3 Équations de droites A Activités 1 Location à la journée Une société de location de voiture à la journée fait payer un forfait de 4,50 (quelle que soit la distance parcourue), plus 0,50 par km parcouru dans la journée On note f la fonction qui donne le montant d une facture (en euros) en fonction de la distance parcourue (en km) Calculer le montant d une facture pour une distance parcourue de 50 km, puis pour une distance parcourue de 150 km, puis pour une distance parcourue de x km Représenter graphiquement la fonction f qui donne le montant d une facture (en euros) en fonction de la distance parcourue (en km) ; on prendra un repère orthonormé du plan, 1 cm représentant 10 km sur l axe des abscisses et 10 euros sur l axe des ordonnées Des factures de bricoleurs Deux amis bricoleurs, Alain et Bernard, ont acheté dans le même magasin des dalles en teck pour construire une terrasse et des poutres pour soutenir cette terrasse Alain a acheté 10 poutres et 50 dalles et a payé 95 Bernard, quant à lui, a acheté 40 dalles et s est fait rembourser 0 poutres Il a payé 180 On note x le prix (en euros) d une poutre et y le prix (en euros) d une dalle Traduire par deux égalités les factures des deux amis À partir de l égalité traduisant la facture de Bernard, exprimer y en fonc- tion de x En déduire alors, à l aide de l égalité traduisant la facture d Alain, la valeur de x Puis celle de y 18 Séquence MA0

18 3 Médiatrice d un segment Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on considère les points A et B, dont les coordonnées sont : A 4; 115, et B 8; 3, 5 ( ) ( ) On considère un point M quelconque de ce plan, dont les coordonnées sont : M x; y ( ) On veut chercher à quelle condition ce point M est sur la médiatrice du segment [AB] Faire une figure représentant les points et la médiatrice de [AB] Calculer, en fonction de x et y, y la distance AM Calculer de même, en fonction de x et y, y la distance BM A quelle condition géométrique le point M est-il sur la médiatrice de [AB]? En élevant les distances au carré, et en utilisant la question, traduire cette condition géométrique par une égalité portant sur x et y B Cours 1 Droites et fonctions affines a) Droites et fonctions affines Nous avons vu à la séquence 1 et à l activité 1 de ce chapitre que les fonctions affines, c est-à-dire les fonctions qui s expriment par f ( x)= ) ax + b, étaient représentées graphiquement, dans un repère quelconque, par des droites Un point de coordonnées x; y ( ) appartient à la droite représentant la fonction f si ses coordonnées vérifient la relation : y = ax + b Exemple Reprenons la fonction f de l activité 1, définie par f( x)= 05, x + 45, On a vu qu elle est représentée par la droite (AB), points A et B dont les coordonnées sont : ( ) ( ) A 50; 9, 5 et B 150; 79, 5 Regardons les points C et D dont les coordonnées sont : C( 73, ; 805, ) et D ( 751, ; 405, ) Il semble que ces points soient sur la droite Est-ce le cas? Séquence MA0 19

19 90 y 80 B y = 0,5x + 4, D 30 A 0 10 C x Réponse Pour répondre à cette question, regardons si les coordonnées de ces points vérifient l équation : y = 05, x + 45, Pour le point C, a-t-on yc = 05, xc + 45,? C est-à-dire : 8, 05 = 0, 5 7, 3+ 4, 5? La réponse est non, puisque 05, 73, + 45, = 815, Le point C n est donc pas un point de la droite Pour le point D, a-t-on yd = 05, xd + 45,? C est-à-dire :405, = 05, 751, + 45,? La réponse est oui, puisque 0, 5 75, 1+ 4, 5 = 4, 05 Le point D est donc bien un point de la droite Dénition La relation y = ax + b qui caractérise les points de la droite (AB) est appelée équation de la droite (AB) Remarque Il est important de retenir que le mot «équation» est ici utilisé dans un sens différent du sens habituel Il ne s agit pas ici d une égalité qui nous permettra de déterminer la valeur d une inconnue, mais plutôt d un critère d appartenance à une droite b) Équations de droites Nous allons maintenant regarder si toute droite du plan, dans un repère quelconque, a une équation du type de celle que l on vient de voir ( y = ax + b), c est-àdire si toute droite du plan représente une fonction affine 0 Séquence MA0

20 Pour cela considérons une droite du plan, et prenons deux points distincts quelconques de cette droite, A et B, de coordonnées A( xa; ya) et B ( xb; yb) Cherchons alors s il existe une fonction affine f telle que : ya f xa et yb f xb Autrement dit cherchons deux nombres réels a et b tels que : = ( ) = ( ) ya = axa + b et yb = axb+ b La première égalité impose que : b = ya axa La deuxième égalité nous donne alors : yb = axb + ya axa Soit : yb ya = a( xb xa ) On peut alors déterminer a, a mais à condition que ( xb xa) 0 (puisqu il va falloir diviser) Il nous faut donc envisager deux cas distincts y y y A A A y A y B B y B B x A x B x x A = x B x Figure 1 Figure 1 er cas : ( xb xa) 0 c est-à-dire xb xa (voir figure 1) Dans ce cas on peut diviser par xb xa ( ) et on obtient : a y y = B A xb xa y y On peut alors trouver la valeur de b : b = y ax = y B A A A A x xb x A A réduite, puisque l essentiel ici n est pas d avoir explicitement les valeurs de a et b, b mais d avoir prouvé qu ils existent On a donc montré que la droite (AB) est bien la représentation graphique d une fonction affine, et donc qu elle a bien une équation du type y = ax + b Séquence MA0 1

21 e cas : ( xb xa)= 0 xb = xa (voir figure ) Dans ce cas on ne peut pas diviser par xb xa de fonction affine satisfaisant les deux égalités proposées ( ) On ne peut donc pas trouver Mais on peut remarquer que, dans ce cas, la droite (AB) est parallèle à l axe des ordonnées, et que tous les points de cette droite ont nécessairement la même abscisse ( x A ) Ceci suffit à caractériser cette droite On dira que l égalité x = x A est une équation de cette droite Propriété Toute droite, non parallèle à l axe des ordonnées, a une équation de la forme y = ax + b Toute droite, parallèle à l axe des ordonnées, a une équation de la forme x = c où c est une constante Remarque On peut modifier les écritures de ces équations, ce qui fait qu une droite a plusieurs équations, de forme différente, mais toutes équivalentes Par exemple, la droite obtenue à l activité 1, dont une équation est y = 05, x + 45, a aussi pour équations : y 05, x = 45, ; y = x + 9 ; x = y 9 ; x y + 9= 0 ; 5x 10y = 45; etc L équation y = 05, x + 45, est appelée l équation réduite de la droite c) Coefficient directeur ; ordonnée à l origine Intéressons-nous particulièrement aux droites non parallèles à l axe des ordonnées, et regardons quelle interprétation graphique on peut faire des deux coefficients a et b qui interviennent dans l équation de ces droites : y = ax + b Pour le nombre b, b cela est assez simple, puisqu on voit facilement que le point de coordonnées ( 0; b) appartient à la droite Le coefficient b est donc l ordonnée du point de la droite qui a comme abscisse 0 On l appelle l ordonnée à l origine de la droite Pour le nombre a, a on a vu dans le calcul précédent (recherche d une fonction y y affine) que l on a nécessairement : a = B A On voit sur les figures ci-dessous qu il représente le coefficient de proportionnalité entre l augmentation en xb xa abscisse entre deux points, et l augmentation en ordonnée Séquence MA0

22 y y A y (x A B - x A ) B y B H b (y B - y A ) (y B - y A ) y B B x A x B y A A (x B - x A ) H x xa xb x b Figure 1 Figure Sur la figure 1, qui représente une droite correspondant à une fonction affine croissante, le coefficient a est la tangente de l angle BAH Sur la figure, qui représente une droite correspondant à une fonction affine décroissante, le coefficient a est l opposé de la tangente de l angle BAH (car yb ya est négatif) Le coefficient a indique donc, par son signe, si la droite «monte» ou «des- cend», et par sa valeur absolue, la «pente» de la droite On l appelle le coefficient directeur (puisqu il donne la direction) de la droite Définitions Si une droite a pour équation y = ax + b dans un repère du plan : b est l ordonnée du point de la droite qui a comme abscisse 0 On l appelle l ordonnée à l origine de la droite a indique la «pente» de la droite On l appelle le coefficient directeur de la droite Remarque Les droites parallèles à l axe des ordonnées, donc ayant une équation de la forme x = c, n ont ni coefficient directeur, ni ordonnée à l origine Savoir-faire Maintenant que l on a bien établi la signification de l équation d une droite, voyons quels savoir-faire de base doivent être maîtrisés Séquence MA0 3

23 a) Savoir tracer une droite dont on nous donne l équation Exemple y 5,5 C 4 Le plus simple est de déterminer, à l aide de l équation, les coordonnées de deux points de la droite et de les placer dans le repère choisi Il n y a plus qu à tracer la droite passant par ces deux points Dans un repère du plan, représenter les droites D 1, D et D 3 dont les équations respectives sont : 3 11 y = 08, x 3; y = x + ; x = 35, 10 Droite D 1 L ordonnée à l origine est ( 3 ), donc un premier point peut être le point A de coordonnées ( 0; 3) Pour un deuxième point, B, choisissons son abscisse, par exemple x B = 5 Son ordonnée y B vérifie alors : yb = 0, 8xB 3= 0, 8 5 3= 1 Le point B a donc comme coordonnées ( 5; 1) La droite D 1 est donc la droite (AB) Voir graphique ci-dessous Droite D L ordonnée à l origine est 11 D 3 F = 55,, donc un premier point peut être le point C de coordonnées ( 0; 5, 5) E D Pour un deuxième point, E, choisissons son abscisse, par exemple x E = 5 Son ordonnée y E vérifie alors : ye = xe + = + = Le point E a donc comme coordonnées ( 5; 4) 1 B D 1 La droite D est donc la droite (CE) Voir graphique ci-contre Droite D ,5 5 x L équation de cette droite nous montre qu elle est parallèle à l axe des ordonnées, et que ses points ont pour abscisse 3,5 On peut donc prendre comme points G de cette droite le point F de coordon- -3 A nées ( 35, ; 3), et le point G de coordonnées ( 35, ; ) La droite D 3 est donc la droite (FG) Voir graphique ci-contre 4 Séquence MA0

24 b) Vérifier par le calcul si un point est sur une droite dont on nous donne l équation Voir l exemple du 1 a) c) Connaissant l une de ses coordonnées, trouver l autre coordonnée d un point d une droite dont on nous donne l équation, Exemple Reprenons l exemple du 1 a), donc la droite d équation y = 05, x + 45, Quelle est l ordonnée du point de la droite qui a pour abscisse ( 17)? Quelle est l abscisse du point de la droite qui a pour ordonnée 13,77? Déterminer les coordonnées d un point de la droite Réponses Pour obtenir l ordonnée du point de la droite qui a pour abscisse ( 17), remplaçons x par ( 17) dans l équation y = 05, x + 45, Cela nous donne : y = 05, ( 17)+ 45, = 4 Le point de la droite qui a pour abscisse ( 17) est donc le point de coordonnées 17; 4 ( ) Pour obtenir l abscisse du point de la droite qui a pour ordonnée 13,77, remplaçons y par 13,77 dans l équation y = 05, x + 45, Cela nous donne : 13, 77 = 0, 5x + 4, 5 Soit : 0, 5x = 13, 77 4, 5 = 9, 7 C est-à-dire : x = 9, 7 = 18, 54 Le point de la droite qui a pour ordonnée 13,77 est donc le point de coordonnées ( 18, 54 ; 13, 77) Pour déterminer les coordonnées d un point de la droite, je peux choisir arbitrairement son abscisse, ou son ordonnée L autre coordonnée s obtient par un calcul analogue aux précédents Ici, choisissons par exemple son abscisse : 10 Son ordonnée vérifie alors : y = 05, , = 95, Un point de la droite est donc le point de coordonnées ( 10 ; 9, 5) d) Déterminer l équation d une droite dont on nous donne deux points Exemple Déterminer l équation de la droite passant par les points A et B de coordonnées : ( ) ( ) A 11; 7 et B 5; 5 Séquence MA0 5

25 Déterminer l équation de la droite passant par le point C de coordonnées : C 4, ; 1, ( ) et de coefficient directeur ( 3 ) Déterminer l équation de la droite passant par les points E et F de coordonnées : ( ) ( ) E 11, ; 7 et F 11, ; 5 Réponses Puisque les abscisses des deux points sont différentes, l équation de la droite est de la forme y = ax + b On a vu que le coefficient directeur, a, a s obtient par : y y 5 a = = ( 7 B A ) 1 = = 075, xb xa Pour trouver l ordonnée à l origine, b, b il suffit de traduire que le point A (ou le point B) est sur la droite Ce qui nous donne : ya = 075, xa + b Soit : 7 = 0, b= 8, 5 + b On obtient : b = 7+ 8, 5= 15, Une équation de la droite (AB) est donc : y = 075, x + 15, Puisque l on nous donne le coefficient directeur de la droite, celle-ci a une équation de la forme y = ax + b Ici on a : y = 3 x + b Pour trouver l ordonnée à l origine, b, b il suffit de traduire que le point C est sur la droite Ce qui nous donne : yc = 3 xc + b Soit : 1= 3 4, + b= 1, 6+ b On obtient : b = 1+ 1, 6= 116, Une équation de la droite est donc : y = 3x + 116, Puisque les abscisses des deux points sont égales, l équation de la droite est de la forme x = c Ici on a donc : x = xe = 11, Une équation de la droite (EF) est donc : x = 11, À savoir Si une droite passe par les points A et B dont les coordonnées sont ( ) ( ) alors le coefficient directeur de la droite est A xa; ya et B xb; yb, y y égal à : a = B A xb xa 6 Séquence MA0