STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE"

Transcription

1 ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point matériel Equilibre graphique des corps sous forces coplanaires Equilibre analytique des corps sous forces coplanaires Systèmes triangulés plans, équilibre des cordes Equilibre des corps solides dans l espace Effet du frottement sur l équilibre Centres de gravité Moments quadratiques de surface Copyright Gaston Nicolet CH-1700 Fribourg, tout droit réservé

2

3 INTRODUCTION Le texte de ce document date de plus de 35 ans et servait à cette époque d introduction aux notions simples de mécanique rationnelle. Il comprenait deux parties distinctes dans l enseignement : la statique analytique d une part, transmise par un physicien, la statique graphique d autre part, enseignée par un ingénieur. La combinaison de ces deux types de solution des problèmes de statique permit de condenser en un seul volume les notions de base de la statique. Le lecteur sera peut être étonné de trouver tout d abord une présentation graphique des règles de solution et seulement ensuite la solution par la méthode analytique. Le but de cette technique d étude de cas est de faire sentir aux futurs ingénieurs les actions des efforts entre les diverses pièces d une construction. Présentons brièvement les divers chapitres de cet ouvrage. Chapitre 1 : Introduction au calcul vectoriel Après les définitions des divers vecteurs, ce chapitre traite de la somme et de la différence de vecteurs, des diverses projections de vecteurs sur des plans et sur des axes. Les composantes des vecteurs dans le plan et dans l espace servent d introduction aux opérations courantes en statique analytique. Les produits scalaire et vectoriels de deux vecteurs s utilisent non seulement en statique, mais également en cinématique et dynamique. Enfin, la dérivée d un vecteur trouve une place des plus modeste dans ce chapitre. Chapitre 2 : Opérations avec les forces La notion de force est fondamentale dans la recherche des équilibres des corps solides. Elle est définie au début de ce chapitre avec la présentation de diverses règles appliquées par la suite. La combinaison de deux ou plusieurs forces permet de définir la force résultante pour un ensemble de forces coplanaires ou spatiales au moyen du dessin ou par calcul des projections dans un repère orthonormé. Le moment d une ou de plusieurs forces par rapport à un point ou par rapport à un axe ainsi que les couples de forces complètent cette introduction aux forces. Chapitre 3 : Equilibre du point matériel Beaucoup de problèmes simples de statique peuvent se résoudre au moyen de la notion de point matériel, point caractérisé seulement par une masse sans volume. Les actions mécaniques entre les divers corps sont présentées et le principe fondamental de l action et de la réaction entre les corps est introduit. L équilibre graphique du point matériel est décrit en détail et les conditions d équilibre sont exposées méthodiquement. Une première approche sur les systèmes triangulés à barres articulées permet de résoudre les problèmes élémentaires. Après la recherche graphique des forces, la méthode analytique traite des problèmes statiquement déterminés dans le plan, dans les systèmes triangulés et dans l espace. Un exemple simple de poutre triangulée introduit, en complément, le calcul des efforts en tenant compte du poids propre d une part, en admettent les barres non articulées sans frottement, remplacées par des poutres, d autre part. Chapitre 4 : Equilibre graphique des corps dans le plan Après avoir entrevu la combinaison des forces et la recherche de résultante dans le cas général, la construction du polygone funiculaire est donnée en détail avec des exemples classiques. L étude continue avec l équilibre des corps soumis à l action de 2, 3 et 4 forces, grâce à l utilisation de la ligne de fermeture. Le cas général d équilibre graphique est traité, accompagné d exemples. L équilibre des ensembles de corps solides permet de mettre en pratique le principe de l action et de la réaction et la méthode de résolution. Finalement, le principe de superposition des forces est démontré et appliqué à l équilibre des arcs à trois articulations. Ce chapitre fondamental présente la solution graphique de l équilibre des corps - Statique : 1 -

4 Introduction solides. Remarque importante : L échelle donnée pour les dynames correspond à celle de leur construction sur le papier. Les figures sont réduites à environ 75 %. Chapitre 5 : Equilibre analytique des corps dans le plan La réduction d un systèmes de forces coplanaires quelconque fait apparaître deux grandeurs fondamentales dans les solutions analytiques : la résultante générale et le couple principal. La statique analytique pourrait se résumer en une seule phrase : Pour qu un corps solide soit en équilibre, il faut et il suffit que la résultante générale soit nulle et le couple principal soit aussi nul. Les conditions analytiques d équilibre sont exposées et appliquées aux corps simples, aux corps composés et aux arcs à trois articulations. Chapitre 6 : Systèmes triangulés plans Les règles de formation des systèmes triangulés plans sont décrites et les exemples usuels sont présentés. La recherche des quelques tensions dans les barres utilise soit la méthode graphique de Culmann, soit la méthode analytique de Ritter. La construction du plan de Cremona complète cette présentation. L effet du poids propre et des charges complémentaires fait l objet de quelques remarques importantes. Le chapitre se termine par une présentation de l équilibre des cordes et des câbles. Chapitre 7 : Equilibre des corps solides dans l espace La définition de la résultante générale et du couple principal d un ensemble de forces spatiales quelconque est reprise et approfondie afin de tirer les conditions générales d équilibre graphique et analytique. L équilibre des poulies motrices et des roues dentées est traité dans des exemples graphiques ou analytiques. Plusieurs exemples d équilibre analytique et graphique de corps solides dans l espace sont traités et discutés. Chapitre 8 : Equilibre des corps solides soumis au frottement Ce chapitre introduit des notions élémentaires sur l effet du frottement entre les corps dans la recherche de leur équilibre. Le frottement de glissement au repos est décrit avec les diverses possibilités de directions des forces d appui. Le frottement de glissement en mouvement entre deux corps constitue la deuxième étude. Quelques exemples paraissant simples montrent les difficultés de trouver des solutions valables et conformes à la réalité. Le frottement particulier des courroies et des câbles complète ces frottements de glissement. Enfin, le frottement de roulement s introduit dans la discussion. La combinaison des frottements de glissement et de roulement est discutée dans un exemple simple. Chapitre 9 : Centres de gravité, moments quadratiques de surface Après la définition générale du centre de gravité des corps, cette notion est appliquée aux lignes, surfaces et corps solides. Le texte traite surtout les surfaces usuelles et de leurs diverses variantes. En complément, les moments statiques de surface sont définis plus précisément et servent d introduction aux moments quadratiques de surface. Ces derniers sont traités systématiquement : moments quadratiques axiaux, moment quadratique produit. L effet de la rotation du système d axes rectangulaire autour du centre de gravité permet de définir les axes principaux de gravité. Enfin, l utilisation du cercle de Mohr-Land facilite la recherche des moments quadratiques, des axes principaux de gravité et des axes conjugués. Exemples De nombreux exemples dans chaque chapitre complètent l exposé de la théorie parfois assez revêche. - Statique : 2 -

5 CHAPITRE 1 ÉLÉMENTS DE CALCUL VECTORIEL L exposé de la mécanique est fortement facilité par l utilisation du calcul vectoriel. On appelle grandeur vectorielle des grandeurs dirigées, c est-à-dire caractérisées par une direction et un sens alors que les grandeurs scalaires sont des grandeurs définies seulement par leur intensité. 1.1 VECTEURS Définition d un axe Un axe est une droite sur laquelle on a choisi (fig. 1.1) : 1. un sens positif. 2. un point origine, 3. une unité de longueur Une droite non orientée est appelée support en calcul vectoriel. Figure 1.1 Axe x O x et vecteurs AB et CD Définition d un vecteur On appelle vecteur un segment de droite AB porté sur un axe (fig.1.1). Le point A est l origine du vecteur, le point B est son extrémité. Le vecteur se note V 1 = AB et se lit vecteur AB. Lorsque le sens du vecteur coïncide avec le sens positif de l axe, le vecteur est dit positif ; le vecteur est dit négatif dans le cas contraire. On indique le sens du vecteur dans l écriture en le désignant par deux lettres qui représentent son origine et son extrémité dans l ordre : origine extrémité. Sur la figure AB est positif, CD est négatif. Un vecteur se définit par quatre grandeurs : 1. son point origine ou point d application, 2. sa direction qui correspond à celle de son support, 3. son sens défini précédemment par le sens de l axe, 4. son module : c est la longueur du segment de droite, mesurée avec l unité de longueur adoptée. Le module du vecteur est un nombre essentiellement positif ou nul. Le module du vecteur AB se note AB Mesure algébrique d un vecteur La mesure algébrique d un vecteur AB sur l axe x O x est le nombre réel défini comme suit : 1. sa valeur absolue est la longueur du segment de droite AB. 2. son signe : positif lorsque le vecteur possède le même sens que l axe, négatif dans le cas contraire. La mesure algébrique du vecteur se note AB. - Statique : 3 -

6 Statiques graphique et analytique Si deux points A et B d un axe représentent deux vecteurs AB et BA, les mesures algébriques de ces vecteurs sont opposés : AB + BA = Abscisse d un point L abscisse d un point M porté sur l axe x O x est représenté par la mesure algébrique O d un vecteur OM. Le point O est l origine des abscisses, le point M est un point de l axe. Figure 1.2 Abscisse du point M A tout point d un axe peut s associer un nombre réel qui est son abscisse ; à tout nombre réel, on peut associer un point de l axe ayant pour abscisse x Vecteur nul Le vecteur est nul lorsque l origine et l extrémité du vecteur sont confondues. Ce vecteur est noté SORTES DE VECTEURS Définitions Deux ou plusieurs vecteurs sont : 1. colinéaires s ils possèdent le même support, 2. parallèles si leurs supports sont parallèles, 3. concourants si leurs supports sont concourants, 4. coplanaires si leurs supports se trouvent dans un même plan Sens de deux vecteurs parallèles Deux vecteurs parallèles sont de même sens si leurs extrémités sont situées toutes deux dans le même demi plan limité par la droite passant par leurs origines (fig. 1.3, à gauche). Ils sont dits de sens contraire si leurs extrémités sont situées dans chacun des demi plans limités par la droite qui joint leurs origines. Sens des deux vecteurs parallèles Figure 1.3 Vecteurs équipollents - Statique : 4 -

7 1. Eléments de calcul vectoriel Vecteurs équipollents Deux vecteurs sont équipollents lorsque (fig. 1.3 à droite) 1. leurs supports sont parallèles ou confondus, 2. leurs modules sont égaux, 3. leurs sens sont les mêmes. Si deux vecteurs AB et CD sont équipollents, on écrit alors : AB == CD. Cette expression traduit l égalité vectorielle définie précédemment et se lit : vecteur AB équipollent au vecteur CD Vecteurs opposés Deux vecteurs sont opposés (fig. 1.4) si : 1. leurs supports sont parallèles, 2. leurs sens sont contraires, 3. leurs modules sont égaux. Figure 1.4 Vecteurs opposés Les vecteurs AB et CD étant opposés sur la figure, on écrit alors : AB == - CD ou CD == - AB Vecteurs libres, glissants et liés Vecteur libre Un vecteur est dit libre lorsqu il est possible de remplacer ce vecteur par un vecteur équipollent quelconque. Vecteur glissant Un vecteur est dit glissant lorsqu il est possible de remplacer ce vecteur par un vecteur colinéaire et équipollent. Vecteur lié Un vecteur est dit lié lorsqu il ne peut pas se remplacer par un autre vecteur. 1.3 SOMME DE DEUX OU PLUSIEURS VECTEURS Somme de deux vecteurs Soit deux vecteurs libres quelconques V 1 et V 2 (fig. 1.5 à gauche). La somme des deux vecteurs V 1 et V 2 est un vecteur libre S = AB ayant pour origine un point A quelconque et pour - Statique : 5 -

8 Statiques graphique et analytique extrémité le point B obtenu en portant le vecteur AB 1 équipollent à V 1, puis à la suite le vecteur B 1 B équipollent à V 2. Quelle que soit la position du point origine A, on a successivement : V 1 = AB 1 et V 2 = B 1 B, AB 1 + B 1 B = AB. Finalement, on obtient : AB = S = V 1 + V 2. Figure 1.5 Somme de deux vecteurs Commutativité de la somme La somme de deux vecteurs reste inchangée lorsqu on permute ces deux vecteurs (fig. 1.5 à droite). La figure montre immédiatement les relations suivantes : AB 1 == B 2 B == V 1 et B 1 B == AB 2 == V 2, AB 1 + B 1 B = AB et AB 2 + B 2 B = AB, d où : AB 1 + B 1 B = AB 2 + B 2 B, ou encore sous la forme : V 1 + V 2 = V 2 + V 1. L addition vectorielle est une opération commutative. La somme de deux vecteurs V 1 et V 2 non parallèles est représentée par la diagonale issue du point A dans le parallélogramme dont les côtés consécutifs sont des vecteurs d origine A équipollents aux vecteurs donnés V 1 et V 2. C est la règle dite du parallélogramme Somme de plusieurs vecteurs Soit plusieurs vecteurs libres V 1, V 2, V 2,..., V n-1, V n. On appelle somme de ces vecteurs, pris dans cet ordre, le vecteur libre obtenu, en construisant à partir d un point quelconque A le contour polygonal composé des vecteurs équipollents aux vecteurs donnés, portés les uns à la suite des autres, dont l origine coïncide avec le point origine du contour et l extrémité avec l extrémité du dernier vecteur équipollent (fig. 1.6). - Statique : 6 -

9 1. Eléments de calcul vectoriel Figure 1.6 Somme de plusieurs vecteurs A partir de la définition de la somme de deux vecteurs, on peut écrire successivement : V 1 + V 2 = AB 2, AB 2 + V 3 = AB 3, AB 3 + V 4 = AB 4, AB n-1 + V n = AB = S. Finalement : V 1 + V 2 + V V n-1 + V n == S. En partant des propriétés de la somme de deux vecteurs, on peut énoncer les propriétés suivantes : 1. La somme de plusieurs vecteurs est indépendante de l ordre dans lequel ces vecteurs sont composés; 2. La somme de plusieurs vecteurs reste inchangée si l on remplace deux ou plusieurs vecteurs par leur somme. C est la propriété associative de l addition des vecteurs. On peut écrire : (V 1 + V 2 ) + (V 3 + V 4 ) = (V 1 + V 2 + V 3 ) + V La somme de plusieurs vecteurs s écrit sous la forme généralisée suivante : r n r S = V. i i= Produit d un vecteur par un nombre réel Le produit d un vecteur V, non nul, par un nombre réel r, r 0, est un vecteur libre P obtenu de la manière suivante (fig. 1.7 à gauche) : 1. Le support de P est parallèle ou confondu à celui de V, 2. Si le nombre réel est positif, les vecteurs V et P sont de même sens, 3. Si le nombre réel est négatif, les vecteurs V et P sont de sens contraires, 4. Le module de P est égal au produit de la valeur absolue de r par le module de V : - Statique : 7 -

10 Statiques graphique et analytique P = r. V. Le vecteur P obtenu est noté : P = r. V. Cas particulier 1. Si r = 0, le vecteur P est nul. 2. Si V = 0, le vecteur P est nul. 3. Pour r = 1, le vecteur P est équipollent au vecteur V : P == V. 4. Pour r = -1, le vecteur P est opposé au vecteur V : P == - V. Figure 1.7 Produit d un vecteur par un scalaire Différence de deux vecteurs Propriétés de la multiplication d un vecteur par un nombre réel On démontre facilement les propriétés suivantes : 1. Propriétés distributives : (r 1 + r 2 ) V = r 1 V + r 2 V. r (V 1 + V 2 ) = r V 1 + r V Propriétés associatives : r 1 (r 2 V) = r 1 r 2 V Différence de deux vecteurs Soit deux vecteurs V 1 et V 2. La différence entre les vecteurs V 1 et V 2, prise dans cet ordre, est le vecteur libre D tel que le vecteur V 1 soit la somme des vecteurs V 2 et D. Soit à calculer la différence (fig. 1.7 à droite) : V 1 V 2 = D. En appliquant les règles énoncées précédemment, on obtient : - V 2 = -1. V 2, et V 1 = V 2 + D = D + V 2, ou encore : D = V 1 V PROJECTION DE VECTEURS Projection cylindrique d un vecteur sur un plan Soit P le plan de projection et D la direction des projetantes non parallèle au plan P (fig. 1.8). La projection cylindrique du vecteur AB est un vecteur ab obtenu par l intersection sur le plan P des deux droites Aa et Bb parallèles à la direction D. La projection du vecteur AB sur le plan P est notée : - Statique : 8 -

11 1. Eléments de calcul vectoriel ab = proj P AB. Cas particuliers : 1. Si le vecteur AB est parallèle au plan P, sa projection cylindrique sur P est un vecteur équipollent ab : AB == ab. 2. Si le vecteur AB est parallèle à la direction D, sa projection sur le plan P est un vecteur nul. 3. Si deux vecteurs V 1 et V 2 sont équipollents, leurs projections cylindrique sur le même plan sont des vecteurs équipollents : Si V 1 == V 2 alors proj P V 1 == proj P V Si deux vecteurs sont parallèles ou colinéaires, leur rapport est égal à celui de leur projection : Si V 1 = r V 2 alors proj P V 1 == r. proj P V 2. Projection cylindrique d un vecteur Figure 1.8 Projection de deux vecteurs parallèles Projection cylindrique de la somme de plusieurs vecteurs La projection cylindrique de la somme de plusieurs vecteurs sur un plan P est égale à la somme des projections de ces vecteurs sur le même plan. Soit par exemple trois vecteurs V 1, V 2 et V 3 (fig. 1.9). La somme de trois vecteurs est obtenue en portant des vecteurs équipollents aux vecteurs donnés les uns à la suite des autres pour former un contour polygonal O A B C tel que : OA == V 1 AB == V 2 BC == V 3 et V 1 + V 2 + V 3 == OC = S. Les projections cylindriques des extrémités des vecteurs équipollents aux vecteurs donnés sur le plan P déterminent les points o, a, b, c sur la figure 9. On obtient ainsi : oa == v 1 = proj P V 1 ab == v 2 = proj P V 2 bc == v 3 = proj P V 3 oc = oa + ab + bc = v 1 + v 2 + v 3. Mais le vecteur oc est la projection cylindrique du vecteur S sur le plan P : oc = proj P S. Finalement, on peut écrire : Proj P (V 1 + V 2 + V 3 ) = proj P V 1 + proj P V 2 + proj P V 3. - Statique : 9 -

12 Statiques graphique et analytique Figure 1.9 Projection cylindrique de la somme de plusieurs vecteurs Projection d un vecteur sur un axe La projection, parallèlement à un plan P, d un vecteur AB sur un axe x x est le vecteur ab de même sens que AB, déterminé sur l axe par son intersection avec les plans P 1 et P 2 parallèles à P et passant, l un par l origine du vecteur, l autre par son extrémité. La projection du vecteur AB sur l axe x x est notée par : ab = proj x AB. Le vecteur projection est positif s il est de même sens que l axe ; il est négatif dans le cas contraire (fig. 1.10). Figure 1.10 Projection d un vecteur sur un axe Cas particulier : 1. Lorsque le vecteur AB est parallèle à l axe x x, la projection ab est un vecteur équipollent à AB : ab == AB. 2. Lorsque le vecteur AB est parallèle au plan P, la projection de AB sur l axe est un vecteur nul. 3. Les projections d un vecteur, parallèlement à un plan P, sur deux axes parallèles de même sens sont égales entre elles. - Statique : 10 -

13 1. Eléments de calcul vectoriel 4. Le rapport des projections de deux vecteurs parallèles ou colinéaires sur le même axe est égal au rapport des modules des vecteurs Projection de la somme de plusieurs vecteurs sur un axe Théorème La projection sur un axe, parallèlement à un même plan P, de la somme de plusieurs vecteurs, est égale à la somme algébrique des projections de ces vecteurs sur l axe. Figure 1.11 Projection de la somme de plusieurs vecteurs sur un axe Soit par exemple trois vecteurs V 1, V 2, V 3, un axe x x, un plan de référence P. La construction de la somme de ces trois vecteurs à partir d un point O quelconque est constituée par le contour polygonal O A B C composé des vecteurs équipollents aux vecteurs donnés : OA == V 1 AB == V 2 BC == V 3, et la somme : OC = OA + AB + BC == V 1 + V 2 + V 3. Les projections des extrémités des vecteurs équipollents sur l axe x x, parallèlement à un même plan P, déterminent respectivement les points o, a, b et c. On peut donc écrire : oa = proj x OA = projx V 1, ab = proj x AB = projx V 2, bc = proj x BC = projx V 3, et : oc == proj x V 1 + proj x V 2 + proj x V 3, avec : oc = proj x OC. Finalement, on obtient : proj x (V 1 + V 2 + V 3 ) = proj x V 1 + proj x V 2 + proj x V 3. Les projections des vecteurs V 1, V 2, V 3 sur l axe x x sont colinéaires de telle sorte que leur somme est égale à la somme des mesures algébriques de leurs projections. La mesure algébrique de la projection sur un axe d une somme de plusieurs vecteurs est égale à la somme des mesures algébriques des projections des vecteurs sur cet axe Projections orthogonales 1. Projection orthogonale d un vecteur La droite D est perpendiculaire au plan P. Le module de la projection orthogonale d un vecteur sur le plan vaut : ab = AB cos α, α étant l angle aigu entre le support du vecteur et sa projection. - Statique : 11 -

14 Statiques graphique et analytique 2. Projection orthogonale d un vecteur sur un axe La mesure algébrique de la projection orthogonale d un vecteur sur un axe est égale au produit de la mesure algébrique de ce vecteur par le cosinus de l angle compris entre l axe et le support su vecteur : ab = AB cos α. La mesure algébrique de la projection orthogonale de la somme de plusieurs vecteurs sur un axe est égale à la somme des produits des mesures algébriques de ces vecteurs par le cosinus des angles axe support. Pour les trois vecteurs de l exemple précédent, on a par exemple : oc = OA cos α 1 + AB cos α 2 + BC cos α COMPOSANTES DANS UN REPÈRE CARTÉSIEN ORTHONORMÉ Composantes d un vecteur dans un repère orthonormé plan Soit V un vecteur situé dans un plan rapporté à un repère cartésien x Ox et y Oy. Les axes x Ox et y Oy sont perpendiculaires; les axes sont dit alors rectangulaires. Les vecteurs unitaires des axes sont représentés par les vecteurs i et j d origine O. Ils possèdent le même module c est-à-dire même mesure algébrique +1 sur chacun des axes. Le repère est dit orthonormé. En désignant par v x la projection du vecteur V sur l axe x Ox, projection effectuée parallèlement à l axe y Oy et par v y le projection sur l axe y Oy parallèlement à l axe x Ox, on aura : V = v x + v y. Figure 1.12 Composantes d un vecteur dans un repère orthonormé plan Comme les vecteurs v x et i sont colinéaires et la projection sur l axe x Ox est une composante du vecteur V, il est possible d exprimer cette projection au moyen de la relation : v x = X. i. De même, les vecteurs v y et j sont colinéaires et la projection sur l axe y Oy est l autre composante du vecteur V. Il est possible d exprimer cette projection au moyen de la relation : v y = Y. j. Dans ces deux expressions, X et Y sont des nombres réels. Ce sont les composantes scalaires du vecteur V. Les deux valeurs X et Y définissent, à une équipollence près, un vecteur libre V du plan. Ainsi, il devient possible d écrire : V = X. i + Y. j. - Statique : 12 -

15 1. Eléments de calcul vectoriel Cas particuliers : 1. Si V = 0, les projections sont nulles : X = 0, Y = 0 et réciproquement. 2. Si V est parallèle à l axe x Ox, alors Y = 0 et réciproquement. Le vecteur V et sa projection v x sont équipollents. 3. Si V est parallèle à l axe y Oy, alors X = 0 et réciproquement. Le vecteur V et sa projection v y sont équipollents Composantes d un vecteur dans un repère orthonormé trirectangle Soit V un vecteur de l espace rapporté à un repère cartésien x Ox, y Oy, z Oz. Les axes x Ox, y Oy et z Oz sont deux à deux perpendiculaires. Le trièdre de référence est dit trirectangle. Les vecteurs unitaires des axes sont représentés par les vecteurs i, j et k d origine O. Ils ont le même module c est-à-dire la même mesure algébrique +1 sur chacun des axes. Le repère ainsi défini est dit orthonormé. Les plans xoy, yoz et zox sont les plans de coordonnées. En désignant par v x la projection du vecteur V sur l axe x Ox parallèlement au plan yoz, par v y la projection du vecteur V sur l axe y Oy parallèlement au plan zox et par v z la projection du vecteur V sur l axe z Oz parallèlement au plan xoy, on peut écrire : V == v x + v y + v z. Figure 1.13 Composantes d un vecteur dans un repère orthonormé trirectangle Comme les vecteurs v x et i sont colinéaires sur l axe x Ox, il est possible d exprimer cette projection au moyen de la relation : v x = X. i. De même, les deux autres projections du vecteur V sur les axes y Oy et z Oz s expriment par les relations : v y = Y. j v z = Z. k. Dans ces expressions, X, Y et Z sont des nombres réels. Ce sont les composantes scalaires du vecteur V. Les valeurs X, Y et Z définissent, à une équipollence près, un vecteur libre V de l espace. - Statique : 13 -

16 Statiques graphique et analytique Par suite, on écrit : V = X. i + Y. j + Z. k. Cas particuliers : 1. Si le vecteur V = 0, les projections sont nulles : X = 0, Y = 0, Z = 0 et réciproquement. 2. Si le vecteur V est parallèle à un plan de coordonnées, sa projection sur l axe perpendiculaire à ce plan est nulle. Par exemple, si V est parallèle au plan xoy, sa projection sur l axe z Oz est nulle. 3. Si le vecteur V est parallèle à l un des axes, sa projection sur le plan perpendiculaire à cet axe est nulle. Par exemple, Si V est parallèle à l axe y Oy, sa projection sur le plan zox est nulle. 4. La projection du vecteur V coplanaire sur le plan xoy, vu précédemment, est un cas particulier de ce cas général Relations entre le vecteur et ses composantes Si X, Y, Z sont les composantes scalaires du vecteur libre V dans le repère orthonormé, le module du vecteur s exprime simplement par : r V = X + Y + Z. La position du vecteur V dans l espace est repérée au moyen des trois angles directeurs α, β et γ compris entre 0 et π. Les cosinus directeurs se trouvent par les expressions : cos α = X / V, cos β = Y / ( V, cos γ = Z / V. Comme les axes du système de coordonnées sont trirectangles, les cosinus directeurs sont reliés entre eux par la relation : cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1. Figure 1.14 Relations entre le vecteur V et ses composantes rectangulaires Composantes dans l espace Composantes dans le plan Dans le plan contenant le vecteur, l angle α est mesuré par rapport à l axe x Ox. Les mesures algébriques des composantes s obtiennent par : r 2 2 V = X + Y. La position du vecteur V dans le plan est repérable par l angle α qui se calcule par la relation usuelle : - Statique : 14 -

17 1. Eléments de calcul vectoriel cos α = X / V. ou encore plus simplement à partir des deux valeurs scalaires : tan α = Y / X. 1.6 PRODUIT SCALAIRE DE DEUX VECTEURS Angle des deux vecteurs On appelle angle de deux vecteurs libres, l angle α compris entre les deux supports des vecteurs de telle sorte que : 0 α π. L angle est nul si les deux vecteurs sont parallèles et de même sens. Il est égal à π s ils sont parallèles et de sens contraires. Angle des deux vecteurs Figure 1.15 Produit scalaire de deux vecteurs Définition du produit scalaire de deux vecteurs Le produit scalaire de deux vecteurs est le nombre réel égal au produit des modules de ces vecteurs par le cosinus de leur angle. Ce produit s écrit sous la forme suivante : V. 1 V 2 = V 1. V 2 cos α. Comme l angle α est aussi l angle du vecteur V 1 avec le vecteur V 2 que celui de V 2 avec V 1, on a aussi : V. 1 V 2 = V. 2 V 1. Le produit scalaire de ceux vecteurs est donc commutatif. En partant de la définition du produit scalaire de deux vecteurs, on peut dire que le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit des mesures algébriques de ces vecteurs, sur un axe portant l un de ces vecteurs, de ce dernier par la projection orthogonale de l autre sur lui. On a ainsi : V 1 = V. 1 cos α, et V 2 = V. 2 cos α. D où la relation générale du produit scalaire : V 1. V 2 = V 1. V 2 cos α = V 1. V 2 = V 2. V 1. - Statique : 15 -

18 Statiques graphique et analytique Influence de l angle α des deux vecteurs sur le produit scalaire Pour deux vecteurs de module V 1 et V 2, le produit scalaire est : 1. maximal pour α = 0, 2. nul pour α = π/2, 3. minimal pour α = π. Si α est aigu, cos α > 0, le produit scalaire des deux vecteurs est positif, réciproque exacte. Si α est obtus, cos α < 0, le produit scalaire des deux vecteurs est négatif, réciproque exacte. Si α est droit, le produit scalaire est nul Carré scalaire d un vecteur Le carré scalaire d un vecteur V est le produit scalaire de ce vecteur par lui-même. Puisque dans ce cas l angle est nul, donc le cos α = 1, le produit scalaire est égal au carré du module du vecteur. En désignant par V 2 le carré scalaire du vecteur, il est possible d écrire : V 2 = V. V = V 2. Dans le cas d axes orthonormés, le carré scalaire des vecteurs unitaires des axes vaut : i. i = i 2 = 1, j. j = j 2 = 1, k. k = k 2 = Expression analytique du produit scalaire de deux vecteurs Soit deux vecteurs V 1 et V 2. Le produit scalaire de ces deux vecteurs doit s exprimer en fonction des composantes scalaires (X 1, Y 1, Z 1 ) et (X 2, Y 2, Z 2 ). Les vecteurs unitaires des axes sont i, j et k. Les vecteurs V 1 et V 2 valent : V 1 = X. 1 i + Y. 1 j + Z. 1 k, V 2 = X. 2 i + Y. 2 j + Z. 2 k. Le produit scalaire des deux vecteurs s écrit : V. 1 V 2 = (X. 1 i + Y. 1 j + Z. 1 k). (X. 2 i + Y. 2 j + Z. 2 k) ou encore : V. 1 V 2 = X 1 X. 2 i. i + Y 1 X. 2 j. i + Z 1 X 2. k. i + X 1 Y. 2 i. j + Y 1 Y. 2 j. j + Z 1 Y. 2 k. j + X 1 Z. 2 i. k + Y 1 Z. 2 j. k + Z 1 Z. 2 k. k. Si les axes sont orthonormés, on a : i. j = i. k = j. k = 0. i. i = j. j = k. k = 1. Le produit scalaire des deux vecteurs s écrit alors simplement sous la forme : V. 1 V 2 = X 1 X 2 + Y 1 Y 2 + Z 1 Z 2. Le produit scalaire de deux vecteurs est égal à la somme des produits des composantes scalaires de même nom ou de même axe. - Statique : 16 -

19 1. Eléments de calcul vectoriel 1.7 PRODUIT VECTORIEL DE DEUX VECTEURS Définition du produit vectoriel de deux vecteurs Soit deux vecteurs V 1 et V 2 de l espace orienté et normé. Le produit vectoriel du vecteur V 1 par le vecteur V 2 est le vecteur W défini comme suit : 1. sa direction est perpendiculaire au plan défini par les deux vecteurs V 1 et V son sens est tel que le trièdre formé par V 1, V 2 et W est direct. 3. son module vaut : W = V1. V 2. sin(v 1, V 2 ), c est-à-dire le produit des modules des vecteurs V 1 et V 2 par le sinus de leur angle. Le produit vectoriel du vecteur V 1 par le vecteur V 2 s écrit : et se lit : W égale V 1 vectoriel V 2. W = V 1 V 2 Figure 1.16 Produit vectoriel de deux vecteurs Remarques 1. Le produit vectoriel est représenté par un vecteur libre alors que le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. 2. La définition du produit vectoriel semble être en défaut lorsque V 1 et V 2 son colinéaires puisque le plan n est plus défini. En vérité, sin α = 0 dans ce cas particulier. Le produit vectoriel est donc nul. Le produit vectoriel est aussi nul si l un des deux vecteurs est nul. 3. Le trièdre V 1, V 2, W est direct lorsqu un observateur placé sur OM, ayant ses pieds en O et regardant V 1, trouve le trièdre situé à sa gauche. Pour trouver pratiquement le sens du vecteur W en gardant les pieds sur terre, on peut imaginer une vis à filetage à droite, placée dans l axe du vecteur W, entraînée par le rayon V 1 dans le sens de V 2. Le sens de W correspond alors au sens du déplacement axial de la vis fictive. 4. En abaissant une perpendiculaire à V 1 à partir de l extrémité de V 2, on peut écrire la relation : W = V 1. V 2 sin α = V 1. v 2T = aire (O A B C). Le module du produit vectoriel est mesuré dans le même nombre que l aire du parallélogramme construit sur les vecteurs équipollents OA, OC aux vecteurs V 1 et V 2. - Statique : 17 -

20 Statiques graphique et analytique Propriétés du produit vectoriel 1. Le vecteur W change de sens lorsqu on considère V 2 comme premier vecteur et V 1 comme second vecteur, autrement dit si l on permute les deux vecteurs. On aura ainsi : V 1 V 2 = - V 2 V Quels que soient les vecteurs V 1 et V 2 et les nombres réels a et b, on aura : (a V 1 ) (b V 2 ) = a b (V 1 V 2 ). 3. Quels que soient les vecteurs V 1, V 2, V 3, on a : V 1 (V 2 + V 3 ) = V 1 V 2 + V 1 V 3. Le produit vectoriel est distributif par rapport à l addition. 4. Quels que soient les vecteurs V 1, V 2, V 3, V 4, on peut écrire successivement : (V 1 + V 2 ) (V 3 + V 4 ) = V 1 (V 3 + V 4 ) + V 2 (V 3 + V 4 ) ou encore sous la forme développée : (V 1 + V 2 ) (V 3 + V 4 ) = V 1 V 3 + V 1 V 4 + V 2 V 3 + V 2 V Si i, j, k représentent les vecteurs unitaires des axes dans un système d axes orthonormés, les produits vectoriels de ces vecteurs valent : i i = 0, car dans tous les trois cas, sin(0) = 0. j j = 0, k k = 0, i j = - j i = k, j k = - k j = i, k i = - i k = j. Figure 1.17 Distributivité du produit vectoriel par rapport à l addition Le plan P est perpendiculaire au vecteur V 1 - Statique : 18 -

Chapitre 0 Introduction à la cinématique

Chapitre 0 Introduction à la cinématique Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à

Plus en détail

Cours de Mécanique du point matériel

Cours de Mécanique du point matériel Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement

Plus en détail

Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1

Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Définition: La cinématique est une branche de la mécanique qui étudie les mouements des corps dans l espace en fonction du temps indépendamment des causes

Plus en détail

Mesure d angles et trigonométrie

Mesure d angles et trigonométrie Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi

Plus en détail

GUIDE D UTILISATION «MECA PRO» Etude de l équilibre d un solide soumis à trois forces

GUIDE D UTILISATION «MECA PRO» Etude de l équilibre d un solide soumis à trois forces GUIDE D UTILISATION «MECA PRO» Etude de l équilibre d un solide soumis à trois forces Etude de l équilibre d un solide soumis à trois forces non parallèles Si un solide soumis à l'action de 3 forces A

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Principes de la Mécanique

Principes de la Mécanique Chapitre 1 Principes de la Mécanique L expérience a montré que tous les phénomènes observés dans la nature obéissent à des lois bien déterminées. Ces lois peuvent être, en plus, déterministes ou indéterministes.

Plus en détail

Programme de mathématiques TSI1

Programme de mathématiques TSI1 Programme de mathématiques TSI1 1. PROGRAMME DE DÉBUT D ANNÉE I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes 1 2. Géométrie élémentaire du plan 3 3. Géométrie élémentaire de l espace

Plus en détail

Chapitre 1 Cinématique du point matériel

Chapitre 1 Cinématique du point matériel Chapitre 1 Cinématique du point matériel 7 1.1. Introduction 1.1.1. Domaine d étude Le programme de mécanique de math sup se limite à l étude de la mécanique classique. Sont exclus : la relativité et la

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

Michel Henry Nicolas Delorme

Michel Henry Nicolas Delorme Michel Henry Nicolas Delorme Mécanique du point Cours + Exos Michel Henry Maître de conférences à l IUFM des Pays de Loire (Le Mans) Agrégé de physique Nicolas Delorme Maître de conférences à l université

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

Chapitre 2 : Caractéristiques du mouvement d un solide

Chapitre 2 : Caractéristiques du mouvement d un solide Chapitre 2 : Caractéristiques du mouvement d un solide I Rappels : Référentiel : Le mouvement d un corps est décris par rapport à un corps de référence et dépend du choix de ce corps. Ce corps de référence

Plus en détail

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation

Plus en détail

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires 1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013

Plus en détail

Utiliser les propriétés Savoir réduire un radical savoir +,-,x,: Utiliser les propriétés des puissances Calculer avec des puissances

Utiliser les propriétés Savoir réduire un radical savoir +,-,x,: Utiliser les propriétés des puissances Calculer avec des puissances ARITHMETIQUE 1 C B A Numération Ecrire en lettres et en chiffres Poser des questions fermées autour d un document simple (message, consigne, planning ) Connaître le système décimal Déterminer la position

Plus en détail

Forces et Interactions

Forces et Interactions Février 2013 Cours de physique sur les Forces et les Interactions page 1 1 Objectifs Forces et Interactions Le but de ce cours est d'introduire la notion de force et d'étudier la statique, c'est-à-dire

Plus en détail

LA PHYSIQUE DES MATERIAUX. Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE

LA PHYSIQUE DES MATERIAUX. Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE LA PHYSIQUE DES MATERIAUX Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE Pr. A. Belayachi Université Mohammed V Agdal Faculté des Sciences Rabat Département de Physique - L.P.M belayach@fsr.ac.ma 1 1.Le réseau

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2 BTS Mécanique et Automatismes Industriels Équations différentielles d ordre, Année scolaire 005 006 . Définition Notation Dans tout ce paragraphe, y désigne une fonction de la variable réelle x. On suppose

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Induction électromagnétique

Induction électromagnétique Induction électromagnétique Sommaire I) Théorie de l induction électromagnétique..2 A. Introduction 2 B. Notion de force électromotrice 3 C. Loi de Faraday..5 D. Quelques applications.7 Spire circulaire

Plus en détail

Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009. Descriptifs. (Page vide)

Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009. Descriptifs. (Page vide) Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009 Descriptifs (Page vide) Sujet 001 Épreuve pratique de mathématiques Descriptif Étude d une fonction dépendant d un paramètre Étant donné une fonction dépendant

Plus en détail

Repérage d un point - Vitesse et

Repérage d un point - Vitesse et PSI - écanique I - Repérage d un point - Vitesse et accélération page 1/6 Repérage d un point - Vitesse et accélération Table des matières 1 Espace et temps - Référentiel d observation 1 2 Coordonnées

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté Chapitre 4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 4.1 Introduction Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à

Plus en détail

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire

Plus en détail

Mouvement et vitesse . A A B

Mouvement et vitesse . A A B Chapitre 1 Mouvement et vitesse I/ Caractère relatif d'un mouvement Le mouvement d'un objet est décrit par rapport à un autre objet qui sert de référence ( le référentiel) exemple : assis dans une voiture

Plus en détail

LES LOIS PHYSIQUES APPLIQUÉES AUX DEUX-ROUES : 1. LA FORCE DE GUIDAGE

LES LOIS PHYSIQUES APPLIQUÉES AUX DEUX-ROUES : 1. LA FORCE DE GUIDAGE LES LOIS PHYSIQUES APPLIQUÉES AUX DEUX-ROUES : 1. LA FORCE DE GUIDAGE 2. L EFFET GYROSCOPIQUE Les lois physiques qui régissent le mouvement des véhicules terrestres sont des lois universelles qui s appliquent

Plus en détail

1S Modèles de rédaction Enoncés

1S Modèles de rédaction Enoncés Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC

Plus en détail

Plan du cours : électricité 1

Plan du cours : électricité 1 Semestre : S2 Module Physique II 1 Electricité 1 2 Optique géométrique Plan du cours : électricité 1 Partie A : Electrostatique (discipline de l étude des phénomènes liés aux distributions de charges stationnaires)

Plus en détail

1 Définition. 2 Systèmes matériels et solides. 3 Les actions mécaniques. Le système matériel : Il peut être un ensemble.un sous-ensemble..

1 Définition. 2 Systèmes matériels et solides. 3 Les actions mécaniques. Le système matériel : Il peut être un ensemble.un sous-ensemble.. 1 Définition GÉNÉRALITÉS Statique 1 2 Systèmes matériels et solides Le système matériel : Il peut être un ensemble.un sous-ensemble..une pièce mais aussi un liquide ou un gaz Le solide : Il est supposé

Plus en détail

Erratum de MÉCANIQUE, 6ème édition. Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 10 11 m 3 kg 1 s 2

Erratum de MÉCANIQUE, 6ème édition. Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 10 11 m 3 kg 1 s 2 Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 1 11 m 3 kg 1 s 2 Erratum de MÉCANIQUE, 6ème édition Page xxv (dernier tiers de page) le terme de Coriolis est supérieur à 1% du poids) Chapitre 1 Page

Plus en détail

Concours de recrutement interne PLP 2009

Concours de recrutement interne PLP 2009 Concours de recrutement interne PLP 2009 Le sujet est constitué de quatre exercices indépendants. Le premier exercice, de nature pédagogique au niveau du baccalauréat professionnel, porte sur le flocon

Plus en détail

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par

Plus en détail

10 leçon 2. Leçon n 2 : Contact entre deux solides. Frottement de glissement. Exemples. (PC ou 1 er CU)

10 leçon 2. Leçon n 2 : Contact entre deux solides. Frottement de glissement. Exemples. (PC ou 1 er CU) 0 leçon 2 Leçon n 2 : Contact entre deu solides Frottement de glissement Eemples (PC ou er CU) Introduction Contact entre deu solides Liaisons de contact 2 Contact ponctuel 2 Frottement de glissement 2

Plus en détail

LA FORCE CENTRIFUGE. En effet, cette force tend à expulser les voitures en dehors d un virage serré.

LA FORCE CENTRIFUGE. En effet, cette force tend à expulser les voitures en dehors d un virage serré. LA ORCE CENTRIUGE Introduction La force centrifuge est assez connue du public, elle fait d ailleurs l objet d une question pouvant être posée pour l obtention du permis de conduire. En effet, cette force

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

DISQUE DUR. Figure 1 Disque dur ouvert

DISQUE DUR. Figure 1 Disque dur ouvert DISQUE DUR Le sujet est composé de 8 pages et d une feuille format A3 de dessins de détails, la réponse à toutes les questions sera rédigée sur les feuilles de réponses jointes au sujet. Toutes les questions

Plus en détail

Intégrales doubles et triples - M

Intégrales doubles et triples - M Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Les quatre opérations sur les nombres entiers Statistiques et probabilités I. Code Unités Devoirs Code Unités Devoirs

Les quatre opérations sur les nombres entiers Statistiques et probabilités I. Code Unités Devoirs Code Unités Devoirs 1 re secondaire 2 e secondaire Les quatre opérations sur les nombres entiers Statistiques et probabilités I MAT-1005-2 2 3 MAT-2008-2 2 3 (+, -, x, ) dans l ensemble des entiers Z. Ce premier cours portant

Plus en détail

Problèmes sur le chapitre 5

Problèmes sur le chapitre 5 Problèmes sur le chapitre 5 (Version du 13 janvier 2015 (10h38)) 501 Le calcul des réactions d appui dans les problèmes schématisés ci-dessous est-il possible par les équations de la statique Si oui, écrire

Plus en détail

Mécanique. 1 Forces. 1.1 Rappel. 1.2 Mesurer des forces. 3BC - AL Mécanique 1

Mécanique. 1 Forces. 1.1 Rappel. 1.2 Mesurer des forces. 3BC - AL Mécanique 1 3BC - AL Mécanique 1 Mécanique 1 Forces 1.1 Rappel Pour décrire les effets d une force, nous devons préciser toutes ses propriétés : son point d application ; sa droite d action, c est-à-dire sa direction

Plus en détail

Mesure de la dépense énergétique

Mesure de la dépense énergétique Mesure de la dépense énergétique Bioénergétique L énergie existe sous différentes formes : calorifique, mécanique, électrique, chimique, rayonnante, nucléaire. La bioénergétique est la branche de la biologie

Plus en détail

Nombre dérivé et tangente

Nombre dérivé et tangente Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative

Plus en détail

COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE

COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE Le cours de la première année concerne les sujets de 9ème et 10ème années scolaires. Il y a bien sûr des différences puisque nous commençons par exemple par

Plus en détail

Voyez la réponse à cette question dans ce chapitre. www.hometownroofingcontractors.com/blog/9-reasons-diy-rednecks-should-never-fix-their-own-roof

Voyez la réponse à cette question dans ce chapitre. www.hometownroofingcontractors.com/blog/9-reasons-diy-rednecks-should-never-fix-their-own-roof Une échelle est appuyée sur un mur. S il n y a que la friction statique avec le sol, quel est l angle minimum possible entre le sol et l échelle pour que l échelle ne glisse pas et tombe au sol? www.hometownroofingcontractors.com/blog/9-reasons-diy-rednecks-should-never-fix-their-own-roof

Plus en détail

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)

Plus en détail

Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés

Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : affixe d un point, représentation d un point-image dans le plan complexe, argument

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les

Plus en détail

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes. Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

EXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2

EXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2 EXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2 NOMBRES ET CALCUL Exercices FRACTIONS Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : 3 R1 demi, tiers, quart, dixième, centième. Utiliser

Plus en détail

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S )

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble

Plus en détail

Les moments de force. Ci-contre, un schéma du submersible MIR où l on voit les bras articulés pour la récolte d échantillons [ 1 ]

Les moments de force. Ci-contre, un schéma du submersible MIR où l on voit les bras articulés pour la récolte d échantillons [ 1 ] Les moments de force Les submersibles Mir peuvent plonger à 6 000 mètres, rester en immersion une vingtaine d heures et abriter 3 personnes (le pilote et deux observateurs), dans une sphère pressurisée

Plus en détail

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux. - Section Audioprothésiste / stage i-prépa intensif -

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux. - Section Audioprothésiste / stage i-prépa intensif - POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section Audioprothésiste / stage i-prépa intensif - 70 Chapitre 8 : Champ de gravitation - Satellites I. Loi de gravitation universelle : (

Plus en détail

Précision d un résultat et calculs d incertitudes

Précision d un résultat et calculs d incertitudes Précision d un résultat et calculs d incertitudes PSI* 2012-2013 Lycée Chaptal 3 Table des matières Table des matières 1. Présentation d un résultat numérique................................ 4 1.1 Notations.........................................................

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Créer des figures dynamiques en 3 dimensions avec GeoGebra 5

Créer des figures dynamiques en 3 dimensions avec GeoGebra 5 Créer des figures dynamiques en 3 dimensions avec GeoGebra 5, 1/46 I. Pour débuter...3 IV. 9. Obtenir une sphère ou un cône tronqué...21 I. 1. Téléchargement...3 V. Illustration d'exercices...22 I. 2.

Plus en détail

PHY 235 : T.D corrigés 2011. est plongée dans un champ uniforme orthogonal à, un cercle de rayon. Si

PHY 235 : T.D corrigés 2011. est plongée dans un champ uniforme orthogonal à, un cercle de rayon. Si PHY 235 : TD corrigés 2011 Force de Lorentz 29(M) Sachant que le flux du champ magnétique est conservatif, décrire (qualitativement) la trajectoire d une particule chargée dans un champ magnétique non

Plus en détail

Géométrie en trois dimensions

Géométrie en trois dimensions 1 Géométrie en trois dimensions Il s agit de visualiser des objets en trois dimensions sur un plan, pour nous l écran de l ordinateur. Pour ce faire, nous allons simplifier les choses au maximum. Nous

Plus en détail

Révision d algèbre et d analyse

Révision d algèbre et d analyse Révision d algèbre et d analyse Chapitre 9 : Intégrales triples Équipe de Mathématiques Appliquées UTC Mai 2013 suivant Chapitre 9 Intégrales triples 9.1 Motivation, définition et calcul de l intégrale

Plus en détail

DYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES

DYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES A 99 PHYS. II ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,

Plus en détail

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin

Plus en détail

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 % 23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une

Plus en détail

Exprime sur ce document, toutes les idées qui te passent par la tête lorsque tu entends le mot force.

Exprime sur ce document, toutes les idées qui te passent par la tête lorsque tu entends le mot force. Chapitre 1 : Rappel sur la notion de force 1) Mes représentations Exprime sur ce document, toutes les idées qui te passent par la tête lorsque tu entends le mot force. Constatation La perception du mot

Plus en détail

Les correcteurs accorderont une importance particulière à la rigueur des raisonnements et aux représentations graphiques demandées.

Les correcteurs accorderont une importance particulière à la rigueur des raisonnements et aux représentations graphiques demandées. Les correcteurs accorderont une importance particulière à la rigueur des raisonnements et aux représentations graphiques demandées. 1 Ce sujet aborde le phénomène d instabilité dans des systèmes dynamiques

Plus en détail

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX EN CONCEPTION MÉCANIQUE

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX EN CONCEPTION MÉCANIQUE ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, texte revu et augmenté en 007 RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX EN CONCEPTION MÉCANIQUE Traction et compression simples Cisaillement simple

Plus en détail

Le planimètre polaire

Le planimètre polaire Le planimètre polaire Document d accompagnement des transparents. Bruno eischer Introduction Dans mon exposé à La Rochelle, ou au séminaire de l IREM de Besançon, j ai volontairement consacré une longue

Plus en détail

SYSTEME DE PARTICULES. DYNAMIQUE DU SOLIDE (suite) Table des matières

SYSTEME DE PARTICULES. DYNAMIQUE DU SOLIDE (suite) Table des matières Physique Générale SYSTEME DE PARTICULES DYNAMIQUE DU SOLIDE (suite) TRAN Minh Tâm Table des matières Applications de la loi de Newton pour la rotation 93 Le gyroscope........................ 93 L orbite

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Collège Henri Meck lundi 4 mai 2009 Molsheim BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES N 2. ( Extraits d'épreuves du brevet de 2007 et 2008 ) PRESENTATION 4 pts

Collège Henri Meck lundi 4 mai 2009 Molsheim BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES N 2. ( Extraits d'épreuves du brevet de 2007 et 2008 ) PRESENTATION 4 pts Collège Henri Meck lundi 4 mai 2009 Molsheim BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES N 2 ( Extraits d'épreuves du brevet de 2007 et 2008 ) PRESENTATION 4 pts Rappel : Présenter les parties de l'épreuve sur feuilles

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

LÈVE-PERSONNE ORIOR MISE EN SITUATION.

LÈVE-PERSONNE ORIOR MISE EN SITUATION. LÈVE-PERSONNE ORIOR MISE EN SITUATION. Le lève-personne ORIOR permet de transférer en toute sécurité dans le cadre d un usage domestique une personne à mobilité réduite d un support à un autre, d un lit

Plus en détail

Chapitre 2. Matrices

Chapitre 2. Matrices Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce

Plus en détail

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2 Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R

Plus en détail

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

Réponds. Réponds. questions. questions. détermine la relation entre le poids et la masse d un objet

Réponds. Réponds. questions. questions. détermine la relation entre le poids et la masse d un objet ( P P B P C bjectifs distinguer le poids et la masse d un objet utiliser la relation de proportionnalité entre le poids et la masse énoncer et utiliser la condition d équilibre d un solide soumis à deux

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007 Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires

Plus en détail

Utilisation du logiciel Cabri 3D de géométrie dans l espace (*)

Utilisation du logiciel Cabri 3D de géométrie dans l espace (*) Dans nos classes 645 Utilisation du logiciel Cabri 3D de géométrie dans l espace (*) Jean-Jacques Dahan(**) Historiquement, la géométrie dynamique plane trouve ses racines chez les grands géomètres de

Plus en détail

Mathématiques autour de la cryptographie.

Mathématiques autour de la cryptographie. Mathématiques autour de la cryptographie. Index Codage par division Codage série Code cyclique Code dual Code linéaire Corps de Galois Elément primitif m séquence Matrice génératrice Matrice de contrôle

Plus en détail

C est un mouvement plan dont la trajectoire est un cercle ou une portion de cercle. Le module du vecteur position OM est constant et il est égal au

C est un mouvement plan dont la trajectoire est un cercle ou une portion de cercle. Le module du vecteur position OM est constant et il est égal au 1 2 C est un mouvement plan dont la trajectoire est un cercle ou une portion de cercle. Le module du vecteur position est constant et il est égal au rayon du cercle. = 3 A- ouvement circulaire non uniforme

Plus en détail

NOTICE DOUBLE DIPLÔME

NOTICE DOUBLE DIPLÔME NOTICE DOUBLE DIPLÔME MINES ParisTech / HEC MINES ParisTech/ AgroParisTech Diplômes obtenus : Diplôme d ingénieur de l Ecole des Mines de Paris Diplôme de HEC Paris Ou Diplôme d ingénieur de l Ecole des

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme

Plus en détail

Chapitre 5 : Le travail d une force :

Chapitre 5 : Le travail d une force : Classe de 1èreS Chapitre 5 Physique Chapitre 5 : Le travail d une force : Introduction : fiche élève Considérons des objets qui subissent des forces dont le point d application se déplace : Par exemple

Plus en détail

SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique

SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique DOMAINE P3.C3.D1. Pratiquer une démarche scientifique et technologique, résoudre des

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

avec E qui ne dépend que de la fréquence de rotation.

avec E qui ne dépend que de la fréquence de rotation. Comment régler la vitesse d un moteur électrique?. Comment régler la vitesse d un moteur à courant continu? Capacités Connaissances Exemples d activités Connaître le modèle équivalent simplifié de l induit

Plus en détail

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS David Ryckelynck Centre des Matériaux, Mines ParisTech David.Ryckelynck@mines-paristech.fr Bibliographie : Stabilité et mécanique non linéaire,

Plus en détail

Dérivation : cours. Dérivation dans R

Dérivation : cours. Dérivation dans R TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2004

Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2004 Durée : 4 heures Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 4 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. X suit la loi de durée de vie sans vieillissement ou encore loi eponentielle de paramètre λ ;

Plus en détail

Cours IV Mise en orbite

Cours IV Mise en orbite Introduction au vol spatial Cours IV Mise en orbite If you don t know where you re going, you ll probably end up somewhere else. Yogi Berra, NY Yankees catcher v1.2.8 by-sa Olivier Cleynen Introduction

Plus en détail

Mécanique : Cinématique du point. Chapitre 1 : Position. Vitesse. Accélération

Mécanique : Cinématique du point. Chapitre 1 : Position. Vitesse. Accélération 2 e B et C 1 Position. Vitesse. Accélération 1 Mécanique : Cinéatique du point La écanique est le doaine de tout ce qui produit ou transet un ouveent, une force, une déforation : achines, oteurs, véhicules,

Plus en détail