STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE

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1 ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point matériel Equilibre graphique des corps sous forces coplanaires Equilibre analytique des corps sous forces coplanaires Systèmes triangulés plans, équilibre des cordes Equilibre des corps solides dans l espace Effet du frottement sur l équilibre Centres de gravité Moments quadratiques de surface Copyright Gaston Nicolet CH-1700 Fribourg, tout droit réservé

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3 INTRODUCTION Le texte de ce document date de plus de 35 ans et servait à cette époque d introduction aux notions simples de mécanique rationnelle. Il comprenait deux parties distinctes dans l enseignement : la statique analytique d une part, transmise par un physicien, la statique graphique d autre part, enseignée par un ingénieur. La combinaison de ces deux types de solution des problèmes de statique permit de condenser en un seul volume les notions de base de la statique. Le lecteur sera peut être étonné de trouver tout d abord une présentation graphique des règles de solution et seulement ensuite la solution par la méthode analytique. Le but de cette technique d étude de cas est de faire sentir aux futurs ingénieurs les actions des efforts entre les diverses pièces d une construction. Présentons brièvement les divers chapitres de cet ouvrage. Chapitre 1 : Introduction au calcul vectoriel Après les définitions des divers vecteurs, ce chapitre traite de la somme et de la différence de vecteurs, des diverses projections de vecteurs sur des plans et sur des axes. Les composantes des vecteurs dans le plan et dans l espace servent d introduction aux opérations courantes en statique analytique. Les produits scalaire et vectoriels de deux vecteurs s utilisent non seulement en statique, mais également en cinématique et dynamique. Enfin, la dérivée d un vecteur trouve une place des plus modeste dans ce chapitre. Chapitre 2 : Opérations avec les forces La notion de force est fondamentale dans la recherche des équilibres des corps solides. Elle est définie au début de ce chapitre avec la présentation de diverses règles appliquées par la suite. La combinaison de deux ou plusieurs forces permet de définir la force résultante pour un ensemble de forces coplanaires ou spatiales au moyen du dessin ou par calcul des projections dans un repère orthonormé. Le moment d une ou de plusieurs forces par rapport à un point ou par rapport à un axe ainsi que les couples de forces complètent cette introduction aux forces. Chapitre 3 : Equilibre du point matériel Beaucoup de problèmes simples de statique peuvent se résoudre au moyen de la notion de point matériel, point caractérisé seulement par une masse sans volume. Les actions mécaniques entre les divers corps sont présentées et le principe fondamental de l action et de la réaction entre les corps est introduit. L équilibre graphique du point matériel est décrit en détail et les conditions d équilibre sont exposées méthodiquement. Une première approche sur les systèmes triangulés à barres articulées permet de résoudre les problèmes élémentaires. Après la recherche graphique des forces, la méthode analytique traite des problèmes statiquement déterminés dans le plan, dans les systèmes triangulés et dans l espace. Un exemple simple de poutre triangulée introduit, en complément, le calcul des efforts en tenant compte du poids propre d une part, en admettent les barres non articulées sans frottement, remplacées par des poutres, d autre part. Chapitre 4 : Equilibre graphique des corps dans le plan Après avoir entrevu la combinaison des forces et la recherche de résultante dans le cas général, la construction du polygone funiculaire est donnée en détail avec des exemples classiques. L étude continue avec l équilibre des corps soumis à l action de 2, 3 et 4 forces, grâce à l utilisation de la ligne de fermeture. Le cas général d équilibre graphique est traité, accompagné d exemples. L équilibre des ensembles de corps solides permet de mettre en pratique le principe de l action et de la réaction et la méthode de résolution. Finalement, le principe de superposition des forces est démontré et appliqué à l équilibre des arcs à trois articulations. Ce chapitre fondamental présente la solution graphique de l équilibre des corps - Statique : 1 -

4 Introduction solides. Remarque importante : L échelle donnée pour les dynames correspond à celle de leur construction sur le papier. Les figures sont réduites à environ 75 %. Chapitre 5 : Equilibre analytique des corps dans le plan La réduction d un systèmes de forces coplanaires quelconque fait apparaître deux grandeurs fondamentales dans les solutions analytiques : la résultante générale et le couple principal. La statique analytique pourrait se résumer en une seule phrase : Pour qu un corps solide soit en équilibre, il faut et il suffit que la résultante générale soit nulle et le couple principal soit aussi nul. Les conditions analytiques d équilibre sont exposées et appliquées aux corps simples, aux corps composés et aux arcs à trois articulations. Chapitre 6 : Systèmes triangulés plans Les règles de formation des systèmes triangulés plans sont décrites et les exemples usuels sont présentés. La recherche des quelques tensions dans les barres utilise soit la méthode graphique de Culmann, soit la méthode analytique de Ritter. La construction du plan de Cremona complète cette présentation. L effet du poids propre et des charges complémentaires fait l objet de quelques remarques importantes. Le chapitre se termine par une présentation de l équilibre des cordes et des câbles. Chapitre 7 : Equilibre des corps solides dans l espace La définition de la résultante générale et du couple principal d un ensemble de forces spatiales quelconque est reprise et approfondie afin de tirer les conditions générales d équilibre graphique et analytique. L équilibre des poulies motrices et des roues dentées est traité dans des exemples graphiques ou analytiques. Plusieurs exemples d équilibre analytique et graphique de corps solides dans l espace sont traités et discutés. Chapitre 8 : Equilibre des corps solides soumis au frottement Ce chapitre introduit des notions élémentaires sur l effet du frottement entre les corps dans la recherche de leur équilibre. Le frottement de glissement au repos est décrit avec les diverses possibilités de directions des forces d appui. Le frottement de glissement en mouvement entre deux corps constitue la deuxième étude. Quelques exemples paraissant simples montrent les difficultés de trouver des solutions valables et conformes à la réalité. Le frottement particulier des courroies et des câbles complète ces frottements de glissement. Enfin, le frottement de roulement s introduit dans la discussion. La combinaison des frottements de glissement et de roulement est discutée dans un exemple simple. Chapitre 9 : Centres de gravité, moments quadratiques de surface Après la définition générale du centre de gravité des corps, cette notion est appliquée aux lignes, surfaces et corps solides. Le texte traite surtout les surfaces usuelles et de leurs diverses variantes. En complément, les moments statiques de surface sont définis plus précisément et servent d introduction aux moments quadratiques de surface. Ces derniers sont traités systématiquement : moments quadratiques axiaux, moment quadratique produit. L effet de la rotation du système d axes rectangulaire autour du centre de gravité permet de définir les axes principaux de gravité. Enfin, l utilisation du cercle de Mohr-Land facilite la recherche des moments quadratiques, des axes principaux de gravité et des axes conjugués. Exemples De nombreux exemples dans chaque chapitre complètent l exposé de la théorie parfois assez revêche. - Statique : 2 -

5 CHAPITRE 1 ÉLÉMENTS DE CALCUL VECTORIEL L exposé de la mécanique est fortement facilité par l utilisation du calcul vectoriel. On appelle grandeur vectorielle des grandeurs dirigées, c est-à-dire caractérisées par une direction et un sens alors que les grandeurs scalaires sont des grandeurs définies seulement par leur intensité. 1.1 VECTEURS Définition d un axe Un axe est une droite sur laquelle on a choisi (fig. 1.1) : 1. un sens positif. 2. un point origine, 3. une unité de longueur Une droite non orientée est appelée support en calcul vectoriel. Figure 1.1 Axe x O x et vecteurs AB et CD Définition d un vecteur On appelle vecteur un segment de droite AB porté sur un axe (fig.1.1). Le point A est l origine du vecteur, le point B est son extrémité. Le vecteur se note V 1 = AB et se lit vecteur AB. Lorsque le sens du vecteur coïncide avec le sens positif de l axe, le vecteur est dit positif ; le vecteur est dit négatif dans le cas contraire. On indique le sens du vecteur dans l écriture en le désignant par deux lettres qui représentent son origine et son extrémité dans l ordre : origine extrémité. Sur la figure AB est positif, CD est négatif. Un vecteur se définit par quatre grandeurs : 1. son point origine ou point d application, 2. sa direction qui correspond à celle de son support, 3. son sens défini précédemment par le sens de l axe, 4. son module : c est la longueur du segment de droite, mesurée avec l unité de longueur adoptée. Le module du vecteur est un nombre essentiellement positif ou nul. Le module du vecteur AB se note AB Mesure algébrique d un vecteur La mesure algébrique d un vecteur AB sur l axe x O x est le nombre réel défini comme suit : 1. sa valeur absolue est la longueur du segment de droite AB. 2. son signe : positif lorsque le vecteur possède le même sens que l axe, négatif dans le cas contraire. La mesure algébrique du vecteur se note AB. - Statique : 3 -

6 Statiques graphique et analytique Si deux points A et B d un axe représentent deux vecteurs AB et BA, les mesures algébriques de ces vecteurs sont opposés : AB + BA = Abscisse d un point L abscisse d un point M porté sur l axe x O x est représenté par la mesure algébrique O d un vecteur OM. Le point O est l origine des abscisses, le point M est un point de l axe. Figure 1.2 Abscisse du point M A tout point d un axe peut s associer un nombre réel qui est son abscisse ; à tout nombre réel, on peut associer un point de l axe ayant pour abscisse x Vecteur nul Le vecteur est nul lorsque l origine et l extrémité du vecteur sont confondues. Ce vecteur est noté SORTES DE VECTEURS Définitions Deux ou plusieurs vecteurs sont : 1. colinéaires s ils possèdent le même support, 2. parallèles si leurs supports sont parallèles, 3. concourants si leurs supports sont concourants, 4. coplanaires si leurs supports se trouvent dans un même plan Sens de deux vecteurs parallèles Deux vecteurs parallèles sont de même sens si leurs extrémités sont situées toutes deux dans le même demi plan limité par la droite passant par leurs origines (fig. 1.3, à gauche). Ils sont dits de sens contraire si leurs extrémités sont situées dans chacun des demi plans limités par la droite qui joint leurs origines. Sens des deux vecteurs parallèles Figure 1.3 Vecteurs équipollents - Statique : 4 -

7 1. Eléments de calcul vectoriel Vecteurs équipollents Deux vecteurs sont équipollents lorsque (fig. 1.3 à droite) 1. leurs supports sont parallèles ou confondus, 2. leurs modules sont égaux, 3. leurs sens sont les mêmes. Si deux vecteurs AB et CD sont équipollents, on écrit alors : AB == CD. Cette expression traduit l égalité vectorielle définie précédemment et se lit : vecteur AB équipollent au vecteur CD Vecteurs opposés Deux vecteurs sont opposés (fig. 1.4) si : 1. leurs supports sont parallèles, 2. leurs sens sont contraires, 3. leurs modules sont égaux. Figure 1.4 Vecteurs opposés Les vecteurs AB et CD étant opposés sur la figure, on écrit alors : AB == - CD ou CD == - AB Vecteurs libres, glissants et liés Vecteur libre Un vecteur est dit libre lorsqu il est possible de remplacer ce vecteur par un vecteur équipollent quelconque. Vecteur glissant Un vecteur est dit glissant lorsqu il est possible de remplacer ce vecteur par un vecteur colinéaire et équipollent. Vecteur lié Un vecteur est dit lié lorsqu il ne peut pas se remplacer par un autre vecteur. 1.3 SOMME DE DEUX OU PLUSIEURS VECTEURS Somme de deux vecteurs Soit deux vecteurs libres quelconques V 1 et V 2 (fig. 1.5 à gauche). La somme des deux vecteurs V 1 et V 2 est un vecteur libre S = AB ayant pour origine un point A quelconque et pour - Statique : 5 -

8 Statiques graphique et analytique extrémité le point B obtenu en portant le vecteur AB 1 équipollent à V 1, puis à la suite le vecteur B 1 B équipollent à V 2. Quelle que soit la position du point origine A, on a successivement : V 1 = AB 1 et V 2 = B 1 B, AB 1 + B 1 B = AB. Finalement, on obtient : AB = S = V 1 + V 2. Figure 1.5 Somme de deux vecteurs Commutativité de la somme La somme de deux vecteurs reste inchangée lorsqu on permute ces deux vecteurs (fig. 1.5 à droite). La figure montre immédiatement les relations suivantes : AB 1 == B 2 B == V 1 et B 1 B == AB 2 == V 2, AB 1 + B 1 B = AB et AB 2 + B 2 B = AB, d où : AB 1 + B 1 B = AB 2 + B 2 B, ou encore sous la forme : V 1 + V 2 = V 2 + V 1. L addition vectorielle est une opération commutative. La somme de deux vecteurs V 1 et V 2 non parallèles est représentée par la diagonale issue du point A dans le parallélogramme dont les côtés consécutifs sont des vecteurs d origine A équipollents aux vecteurs donnés V 1 et V 2. C est la règle dite du parallélogramme Somme de plusieurs vecteurs Soit plusieurs vecteurs libres V 1, V 2, V 2,..., V n-1, V n. On appelle somme de ces vecteurs, pris dans cet ordre, le vecteur libre obtenu, en construisant à partir d un point quelconque A le contour polygonal composé des vecteurs équipollents aux vecteurs donnés, portés les uns à la suite des autres, dont l origine coïncide avec le point origine du contour et l extrémité avec l extrémité du dernier vecteur équipollent (fig. 1.6). - Statique : 6 -

9 1. Eléments de calcul vectoriel Figure 1.6 Somme de plusieurs vecteurs A partir de la définition de la somme de deux vecteurs, on peut écrire successivement : V 1 + V 2 = AB 2, AB 2 + V 3 = AB 3, AB 3 + V 4 = AB 4, AB n-1 + V n = AB = S. Finalement : V 1 + V 2 + V V n-1 + V n == S. En partant des propriétés de la somme de deux vecteurs, on peut énoncer les propriétés suivantes : 1. La somme de plusieurs vecteurs est indépendante de l ordre dans lequel ces vecteurs sont composés; 2. La somme de plusieurs vecteurs reste inchangée si l on remplace deux ou plusieurs vecteurs par leur somme. C est la propriété associative de l addition des vecteurs. On peut écrire : (V 1 + V 2 ) + (V 3 + V 4 ) = (V 1 + V 2 + V 3 ) + V La somme de plusieurs vecteurs s écrit sous la forme généralisée suivante : r n r S = V. i i= Produit d un vecteur par un nombre réel Le produit d un vecteur V, non nul, par un nombre réel r, r 0, est un vecteur libre P obtenu de la manière suivante (fig. 1.7 à gauche) : 1. Le support de P est parallèle ou confondu à celui de V, 2. Si le nombre réel est positif, les vecteurs V et P sont de même sens, 3. Si le nombre réel est négatif, les vecteurs V et P sont de sens contraires, 4. Le module de P est égal au produit de la valeur absolue de r par le module de V : - Statique : 7 -

10 Statiques graphique et analytique P = r. V. Le vecteur P obtenu est noté : P = r. V. Cas particulier 1. Si r = 0, le vecteur P est nul. 2. Si V = 0, le vecteur P est nul. 3. Pour r = 1, le vecteur P est équipollent au vecteur V : P == V. 4. Pour r = -1, le vecteur P est opposé au vecteur V : P == - V. Figure 1.7 Produit d un vecteur par un scalaire Différence de deux vecteurs Propriétés de la multiplication d un vecteur par un nombre réel On démontre facilement les propriétés suivantes : 1. Propriétés distributives : (r 1 + r 2 ) V = r 1 V + r 2 V. r (V 1 + V 2 ) = r V 1 + r V Propriétés associatives : r 1 (r 2 V) = r 1 r 2 V Différence de deux vecteurs Soit deux vecteurs V 1 et V 2. La différence entre les vecteurs V 1 et V 2, prise dans cet ordre, est le vecteur libre D tel que le vecteur V 1 soit la somme des vecteurs V 2 et D. Soit à calculer la différence (fig. 1.7 à droite) : V 1 V 2 = D. En appliquant les règles énoncées précédemment, on obtient : - V 2 = -1. V 2, et V 1 = V 2 + D = D + V 2, ou encore : D = V 1 V PROJECTION DE VECTEURS Projection cylindrique d un vecteur sur un plan Soit P le plan de projection et D la direction des projetantes non parallèle au plan P (fig. 1.8). La projection cylindrique du vecteur AB est un vecteur ab obtenu par l intersection sur le plan P des deux droites Aa et Bb parallèles à la direction D. La projection du vecteur AB sur le plan P est notée : - Statique : 8 -

11 1. Eléments de calcul vectoriel ab = proj P AB. Cas particuliers : 1. Si le vecteur AB est parallèle au plan P, sa projection cylindrique sur P est un vecteur équipollent ab : AB == ab. 2. Si le vecteur AB est parallèle à la direction D, sa projection sur le plan P est un vecteur nul. 3. Si deux vecteurs V 1 et V 2 sont équipollents, leurs projections cylindrique sur le même plan sont des vecteurs équipollents : Si V 1 == V 2 alors proj P V 1 == proj P V Si deux vecteurs sont parallèles ou colinéaires, leur rapport est égal à celui de leur projection : Si V 1 = r V 2 alors proj P V 1 == r. proj P V 2. Projection cylindrique d un vecteur Figure 1.8 Projection de deux vecteurs parallèles Projection cylindrique de la somme de plusieurs vecteurs La projection cylindrique de la somme de plusieurs vecteurs sur un plan P est égale à la somme des projections de ces vecteurs sur le même plan. Soit par exemple trois vecteurs V 1, V 2 et V 3 (fig. 1.9). La somme de trois vecteurs est obtenue en portant des vecteurs équipollents aux vecteurs donnés les uns à la suite des autres pour former un contour polygonal O A B C tel que : OA == V 1 AB == V 2 BC == V 3 et V 1 + V 2 + V 3 == OC = S. Les projections cylindriques des extrémités des vecteurs équipollents aux vecteurs donnés sur le plan P déterminent les points o, a, b, c sur la figure 9. On obtient ainsi : oa == v 1 = proj P V 1 ab == v 2 = proj P V 2 bc == v 3 = proj P V 3 oc = oa + ab + bc = v 1 + v 2 + v 3. Mais le vecteur oc est la projection cylindrique du vecteur S sur le plan P : oc = proj P S. Finalement, on peut écrire : Proj P (V 1 + V 2 + V 3 ) = proj P V 1 + proj P V 2 + proj P V 3. - Statique : 9 -

12 Statiques graphique et analytique Figure 1.9 Projection cylindrique de la somme de plusieurs vecteurs Projection d un vecteur sur un axe La projection, parallèlement à un plan P, d un vecteur AB sur un axe x x est le vecteur ab de même sens que AB, déterminé sur l axe par son intersection avec les plans P 1 et P 2 parallèles à P et passant, l un par l origine du vecteur, l autre par son extrémité. La projection du vecteur AB sur l axe x x est notée par : ab = proj x AB. Le vecteur projection est positif s il est de même sens que l axe ; il est négatif dans le cas contraire (fig. 1.10). Figure 1.10 Projection d un vecteur sur un axe Cas particulier : 1. Lorsque le vecteur AB est parallèle à l axe x x, la projection ab est un vecteur équipollent à AB : ab == AB. 2. Lorsque le vecteur AB est parallèle au plan P, la projection de AB sur l axe est un vecteur nul. 3. Les projections d un vecteur, parallèlement à un plan P, sur deux axes parallèles de même sens sont égales entre elles. - Statique : 10 -

13 1. Eléments de calcul vectoriel 4. Le rapport des projections de deux vecteurs parallèles ou colinéaires sur le même axe est égal au rapport des modules des vecteurs Projection de la somme de plusieurs vecteurs sur un axe Théorème La projection sur un axe, parallèlement à un même plan P, de la somme de plusieurs vecteurs, est égale à la somme algébrique des projections de ces vecteurs sur l axe. Figure 1.11 Projection de la somme de plusieurs vecteurs sur un axe Soit par exemple trois vecteurs V 1, V 2, V 3, un axe x x, un plan de référence P. La construction de la somme de ces trois vecteurs à partir d un point O quelconque est constituée par le contour polygonal O A B C composé des vecteurs équipollents aux vecteurs donnés : OA == V 1 AB == V 2 BC == V 3, et la somme : OC = OA + AB + BC == V 1 + V 2 + V 3. Les projections des extrémités des vecteurs équipollents sur l axe x x, parallèlement à un même plan P, déterminent respectivement les points o, a, b et c. On peut donc écrire : oa = proj x OA = projx V 1, ab = proj x AB = projx V 2, bc = proj x BC = projx V 3, et : oc == proj x V 1 + proj x V 2 + proj x V 3, avec : oc = proj x OC. Finalement, on obtient : proj x (V 1 + V 2 + V 3 ) = proj x V 1 + proj x V 2 + proj x V 3. Les projections des vecteurs V 1, V 2, V 3 sur l axe x x sont colinéaires de telle sorte que leur somme est égale à la somme des mesures algébriques de leurs projections. La mesure algébrique de la projection sur un axe d une somme de plusieurs vecteurs est égale à la somme des mesures algébriques des projections des vecteurs sur cet axe Projections orthogonales 1. Projection orthogonale d un vecteur La droite D est perpendiculaire au plan P. Le module de la projection orthogonale d un vecteur sur le plan vaut : ab = AB cos α, α étant l angle aigu entre le support du vecteur et sa projection. - Statique : 11 -

14 Statiques graphique et analytique 2. Projection orthogonale d un vecteur sur un axe La mesure algébrique de la projection orthogonale d un vecteur sur un axe est égale au produit de la mesure algébrique de ce vecteur par le cosinus de l angle compris entre l axe et le support su vecteur : ab = AB cos α. La mesure algébrique de la projection orthogonale de la somme de plusieurs vecteurs sur un axe est égale à la somme des produits des mesures algébriques de ces vecteurs par le cosinus des angles axe support. Pour les trois vecteurs de l exemple précédent, on a par exemple : oc = OA cos α 1 + AB cos α 2 + BC cos α COMPOSANTES DANS UN REPÈRE CARTÉSIEN ORTHONORMÉ Composantes d un vecteur dans un repère orthonormé plan Soit V un vecteur situé dans un plan rapporté à un repère cartésien x Ox et y Oy. Les axes x Ox et y Oy sont perpendiculaires; les axes sont dit alors rectangulaires. Les vecteurs unitaires des axes sont représentés par les vecteurs i et j d origine O. Ils possèdent le même module c est-à-dire même mesure algébrique +1 sur chacun des axes. Le repère est dit orthonormé. En désignant par v x la projection du vecteur V sur l axe x Ox, projection effectuée parallèlement à l axe y Oy et par v y le projection sur l axe y Oy parallèlement à l axe x Ox, on aura : V = v x + v y. Figure 1.12 Composantes d un vecteur dans un repère orthonormé plan Comme les vecteurs v x et i sont colinéaires et la projection sur l axe x Ox est une composante du vecteur V, il est possible d exprimer cette projection au moyen de la relation : v x = X. i. De même, les vecteurs v y et j sont colinéaires et la projection sur l axe y Oy est l autre composante du vecteur V. Il est possible d exprimer cette projection au moyen de la relation : v y = Y. j. Dans ces deux expressions, X et Y sont des nombres réels. Ce sont les composantes scalaires du vecteur V. Les deux valeurs X et Y définissent, à une équipollence près, un vecteur libre V du plan. Ainsi, il devient possible d écrire : V = X. i + Y. j. - Statique : 12 -

15 1. Eléments de calcul vectoriel Cas particuliers : 1. Si V = 0, les projections sont nulles : X = 0, Y = 0 et réciproquement. 2. Si V est parallèle à l axe x Ox, alors Y = 0 et réciproquement. Le vecteur V et sa projection v x sont équipollents. 3. Si V est parallèle à l axe y Oy, alors X = 0 et réciproquement. Le vecteur V et sa projection v y sont équipollents Composantes d un vecteur dans un repère orthonormé trirectangle Soit V un vecteur de l espace rapporté à un repère cartésien x Ox, y Oy, z Oz. Les axes x Ox, y Oy et z Oz sont deux à deux perpendiculaires. Le trièdre de référence est dit trirectangle. Les vecteurs unitaires des axes sont représentés par les vecteurs i, j et k d origine O. Ils ont le même module c est-à-dire la même mesure algébrique +1 sur chacun des axes. Le repère ainsi défini est dit orthonormé. Les plans xoy, yoz et zox sont les plans de coordonnées. En désignant par v x la projection du vecteur V sur l axe x Ox parallèlement au plan yoz, par v y la projection du vecteur V sur l axe y Oy parallèlement au plan zox et par v z la projection du vecteur V sur l axe z Oz parallèlement au plan xoy, on peut écrire : V == v x + v y + v z. Figure 1.13 Composantes d un vecteur dans un repère orthonormé trirectangle Comme les vecteurs v x et i sont colinéaires sur l axe x Ox, il est possible d exprimer cette projection au moyen de la relation : v x = X. i. De même, les deux autres projections du vecteur V sur les axes y Oy et z Oz s expriment par les relations : v y = Y. j v z = Z. k. Dans ces expressions, X, Y et Z sont des nombres réels. Ce sont les composantes scalaires du vecteur V. Les valeurs X, Y et Z définissent, à une équipollence près, un vecteur libre V de l espace. - Statique : 13 -

16 Statiques graphique et analytique Par suite, on écrit : V = X. i + Y. j + Z. k. Cas particuliers : 1. Si le vecteur V = 0, les projections sont nulles : X = 0, Y = 0, Z = 0 et réciproquement. 2. Si le vecteur V est parallèle à un plan de coordonnées, sa projection sur l axe perpendiculaire à ce plan est nulle. Par exemple, si V est parallèle au plan xoy, sa projection sur l axe z Oz est nulle. 3. Si le vecteur V est parallèle à l un des axes, sa projection sur le plan perpendiculaire à cet axe est nulle. Par exemple, Si V est parallèle à l axe y Oy, sa projection sur le plan zox est nulle. 4. La projection du vecteur V coplanaire sur le plan xoy, vu précédemment, est un cas particulier de ce cas général Relations entre le vecteur et ses composantes Si X, Y, Z sont les composantes scalaires du vecteur libre V dans le repère orthonormé, le module du vecteur s exprime simplement par : r V = X + Y + Z. La position du vecteur V dans l espace est repérée au moyen des trois angles directeurs α, β et γ compris entre 0 et π. Les cosinus directeurs se trouvent par les expressions : cos α = X / V, cos β = Y / ( V, cos γ = Z / V. Comme les axes du système de coordonnées sont trirectangles, les cosinus directeurs sont reliés entre eux par la relation : cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1. Figure 1.14 Relations entre le vecteur V et ses composantes rectangulaires Composantes dans l espace Composantes dans le plan Dans le plan contenant le vecteur, l angle α est mesuré par rapport à l axe x Ox. Les mesures algébriques des composantes s obtiennent par : r 2 2 V = X + Y. La position du vecteur V dans le plan est repérable par l angle α qui se calcule par la relation usuelle : - Statique : 14 -

17 1. Eléments de calcul vectoriel cos α = X / V. ou encore plus simplement à partir des deux valeurs scalaires : tan α = Y / X. 1.6 PRODUIT SCALAIRE DE DEUX VECTEURS Angle des deux vecteurs On appelle angle de deux vecteurs libres, l angle α compris entre les deux supports des vecteurs de telle sorte que : 0 α π. L angle est nul si les deux vecteurs sont parallèles et de même sens. Il est égal à π s ils sont parallèles et de sens contraires. Angle des deux vecteurs Figure 1.15 Produit scalaire de deux vecteurs Définition du produit scalaire de deux vecteurs Le produit scalaire de deux vecteurs est le nombre réel égal au produit des modules de ces vecteurs par le cosinus de leur angle. Ce produit s écrit sous la forme suivante : V. 1 V 2 = V 1. V 2 cos α. Comme l angle α est aussi l angle du vecteur V 1 avec le vecteur V 2 que celui de V 2 avec V 1, on a aussi : V. 1 V 2 = V. 2 V 1. Le produit scalaire de ceux vecteurs est donc commutatif. En partant de la définition du produit scalaire de deux vecteurs, on peut dire que le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit des mesures algébriques de ces vecteurs, sur un axe portant l un de ces vecteurs, de ce dernier par la projection orthogonale de l autre sur lui. On a ainsi : V 1 = V. 1 cos α, et V 2 = V. 2 cos α. D où la relation générale du produit scalaire : V 1. V 2 = V 1. V 2 cos α = V 1. V 2 = V 2. V 1. - Statique : 15 -

18 Statiques graphique et analytique Influence de l angle α des deux vecteurs sur le produit scalaire Pour deux vecteurs de module V 1 et V 2, le produit scalaire est : 1. maximal pour α = 0, 2. nul pour α = π/2, 3. minimal pour α = π. Si α est aigu, cos α > 0, le produit scalaire des deux vecteurs est positif, réciproque exacte. Si α est obtus, cos α < 0, le produit scalaire des deux vecteurs est négatif, réciproque exacte. Si α est droit, le produit scalaire est nul Carré scalaire d un vecteur Le carré scalaire d un vecteur V est le produit scalaire de ce vecteur par lui-même. Puisque dans ce cas l angle est nul, donc le cos α = 1, le produit scalaire est égal au carré du module du vecteur. En désignant par V 2 le carré scalaire du vecteur, il est possible d écrire : V 2 = V. V = V 2. Dans le cas d axes orthonormés, le carré scalaire des vecteurs unitaires des axes vaut : i. i = i 2 = 1, j. j = j 2 = 1, k. k = k 2 = Expression analytique du produit scalaire de deux vecteurs Soit deux vecteurs V 1 et V 2. Le produit scalaire de ces deux vecteurs doit s exprimer en fonction des composantes scalaires (X 1, Y 1, Z 1 ) et (X 2, Y 2, Z 2 ). Les vecteurs unitaires des axes sont i, j et k. Les vecteurs V 1 et V 2 valent : V 1 = X. 1 i + Y. 1 j + Z. 1 k, V 2 = X. 2 i + Y. 2 j + Z. 2 k. Le produit scalaire des deux vecteurs s écrit : V. 1 V 2 = (X. 1 i + Y. 1 j + Z. 1 k). (X. 2 i + Y. 2 j + Z. 2 k) ou encore : V. 1 V 2 = X 1 X. 2 i. i + Y 1 X. 2 j. i + Z 1 X 2. k. i + X 1 Y. 2 i. j + Y 1 Y. 2 j. j + Z 1 Y. 2 k. j + X 1 Z. 2 i. k + Y 1 Z. 2 j. k + Z 1 Z. 2 k. k. Si les axes sont orthonormés, on a : i. j = i. k = j. k = 0. i. i = j. j = k. k = 1. Le produit scalaire des deux vecteurs s écrit alors simplement sous la forme : V. 1 V 2 = X 1 X 2 + Y 1 Y 2 + Z 1 Z 2. Le produit scalaire de deux vecteurs est égal à la somme des produits des composantes scalaires de même nom ou de même axe. - Statique : 16 -

19 1. Eléments de calcul vectoriel 1.7 PRODUIT VECTORIEL DE DEUX VECTEURS Définition du produit vectoriel de deux vecteurs Soit deux vecteurs V 1 et V 2 de l espace orienté et normé. Le produit vectoriel du vecteur V 1 par le vecteur V 2 est le vecteur W défini comme suit : 1. sa direction est perpendiculaire au plan défini par les deux vecteurs V 1 et V son sens est tel que le trièdre formé par V 1, V 2 et W est direct. 3. son module vaut : W = V1. V 2. sin(v 1, V 2 ), c est-à-dire le produit des modules des vecteurs V 1 et V 2 par le sinus de leur angle. Le produit vectoriel du vecteur V 1 par le vecteur V 2 s écrit : et se lit : W égale V 1 vectoriel V 2. W = V 1 V 2 Figure 1.16 Produit vectoriel de deux vecteurs Remarques 1. Le produit vectoriel est représenté par un vecteur libre alors que le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. 2. La définition du produit vectoriel semble être en défaut lorsque V 1 et V 2 son colinéaires puisque le plan n est plus défini. En vérité, sin α = 0 dans ce cas particulier. Le produit vectoriel est donc nul. Le produit vectoriel est aussi nul si l un des deux vecteurs est nul. 3. Le trièdre V 1, V 2, W est direct lorsqu un observateur placé sur OM, ayant ses pieds en O et regardant V 1, trouve le trièdre situé à sa gauche. Pour trouver pratiquement le sens du vecteur W en gardant les pieds sur terre, on peut imaginer une vis à filetage à droite, placée dans l axe du vecteur W, entraînée par le rayon V 1 dans le sens de V 2. Le sens de W correspond alors au sens du déplacement axial de la vis fictive. 4. En abaissant une perpendiculaire à V 1 à partir de l extrémité de V 2, on peut écrire la relation : W = V 1. V 2 sin α = V 1. v 2T = aire (O A B C). Le module du produit vectoriel est mesuré dans le même nombre que l aire du parallélogramme construit sur les vecteurs équipollents OA, OC aux vecteurs V 1 et V 2. - Statique : 17 -

20 Statiques graphique et analytique Propriétés du produit vectoriel 1. Le vecteur W change de sens lorsqu on considère V 2 comme premier vecteur et V 1 comme second vecteur, autrement dit si l on permute les deux vecteurs. On aura ainsi : V 1 V 2 = - V 2 V Quels que soient les vecteurs V 1 et V 2 et les nombres réels a et b, on aura : (a V 1 ) (b V 2 ) = a b (V 1 V 2 ). 3. Quels que soient les vecteurs V 1, V 2, V 3, on a : V 1 (V 2 + V 3 ) = V 1 V 2 + V 1 V 3. Le produit vectoriel est distributif par rapport à l addition. 4. Quels que soient les vecteurs V 1, V 2, V 3, V 4, on peut écrire successivement : (V 1 + V 2 ) (V 3 + V 4 ) = V 1 (V 3 + V 4 ) + V 2 (V 3 + V 4 ) ou encore sous la forme développée : (V 1 + V 2 ) (V 3 + V 4 ) = V 1 V 3 + V 1 V 4 + V 2 V 3 + V 2 V Si i, j, k représentent les vecteurs unitaires des axes dans un système d axes orthonormés, les produits vectoriels de ces vecteurs valent : i i = 0, car dans tous les trois cas, sin(0) = 0. j j = 0, k k = 0, i j = - j i = k, j k = - k j = i, k i = - i k = j. Figure 1.17 Distributivité du produit vectoriel par rapport à l addition Le plan P est perpendiculaire au vecteur V 1 - Statique : 18 -

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