Intégrales doubles et triples - M

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Intégrales doubles et triples - M"

Transcription

1 Intégrales s et - 1/27

2 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > x On peut alors délimiter une surface par : le graphe de f, l axe Ox, les droites x = a, x = b, puis lui associer un nombre réel noté S appelé aire de la surface (l unité de mesure étant un cube de coté 1). 2/27

3 Valeurs approchées - Intégrale définie Rappels Approximation Une valeur approchée I n de S peut être obtenue en partageant I en n parties égales x = a,, x k = a + k b a n,, x n = b, x i = x i+1 x i et en calculant la somme des aires des rectangles de base b a n et de hauteurs f (x 1 ),, f (x n ) : I n = b a [f (x 1 ) + + f (x k ) + + f (x n )] n éfinition (Propriété admise): Si f est continue sur [a, b] alors lim n a Subdivision avec n=5 (b-a)/n x b Valeur approchøe = Valeur exacte = x n f (x i ) x i = I(f ). I(f ) sera appelée intégrale définie de la fonction f continue entre les bornes a et b i=1 3/27

4 1.1- Intégrale ouble 1.1- éfinition 1.2-Interprétation graphique 1)- Première 1.3- Calcul de l Intégrale ouble 2) euxième 1.4- Propriétés de l intégrale ouble 1.5- Changement de l intégrale éfinition: Intégrale ouble un domaine inscrit dans le rectangle [a, b] [c, d] (borné, connexe de IR 2 ), f une fonction définie continue sur (prolongée par zéro à l extérieur de ) on subdivise [a, b] en n parties {x = a, x 1,..., x i,..., x n = b}, x i = x i x i 1 on { subdivise [c, d] en m parties y = c, y 1,..., y j,..., y m = d }, y j = y j y j 1 r ij = [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] un rectangle élémentaire ainsi on a subdivisé en n m parties (r ij ) i,j l intégrale de f sur est définie par I(f ) = f (x, y)dxdy = lim n m r ij n i=1 j=1 m f (x i, y j ) x i y j 4/27

5 1.2- Interprétation graphique 1.1- éfinition 1.2-Interprétation graphique 1)- Première 1.3- Calcul de l Intégrale ouble 2) euxième 1.4- Propriétés de l intégrale ouble 1.5- Changement de l intégrale S f surface représentative de f dans un repère orthonormé p ij = [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] [, f (x i, y j )] un parallélépipède élémentaire et v ij = f (x i, y j ) x i y j le volume de p ij I(f ) = f (x, y)dxdy = v ij = volume de V lim n m r ij V est le volume intérieur au cylindre droit de section limité par la surface S f d équation z=f(x,y) et le plan z = Cas particulier: Si f (x, y) = 1 alors dxdy = aire de. ds = dxdy est l élément d aire en coordonnées cartésiennes i j 5/27

6 1) Calcul de l Intégrale ouble 1.1- éfinition 1.2-Interprétation graphique 1)- Première 1.3- Calcul de l Intégrale ouble 2) euxième 1.4- Propriétés de l intégrale ouble 1.5- Changement de l intégrale 1)- Première un domaine borné de IR 2 de frontière Γ intersectée au plus en deux points par toute droite d équation x=cte, (Γ est continuement différentiable sauf en un nombre fini de points) (r ij ) i,j une subdivision de en rectangles élémentaires si f est une fonction de deux variables définie et continue sur, l intégrale de f sur est définie par: I(f ) = f (x, y) dxdy = lim f (x i, y j ) x i y j = rij i j { b y2 (x) a y 1 (x) f (x, y) dy [a, b] est la projection orthogonale de sur (Ox) [y 1 (x), y 2 (x)] est l intersection de avec la droite x = cte } dx 6/27

7 Première (démo) 1.1- éfinition 1.2-Interprétation graphique 1)- Première 1.3- Calcul de l Intégrale ouble 2) euxième 1.4- Propriétés de l intégrale ouble 1.5- Changement de l intégrale Partant de I(f ) = lim (lim f (x i, y j ) y j ) x i i j on remarque que lim f (x i, y j ) y j = j y2 (x i ) y 1 (x i ) b I(f ) = lim A(x i ) x i = i I(f ) = f (x, y) dxdy = f (x i, y) dy = A(x i ) d où a b A(x)dx { } y2 (x) f (x, y) dy a y 1 (x) dx 7/27

8 Exemple 1.1- éfinition 1.2-Interprétation graphique 1)- Première 1.3- Calcul de l Intégrale ouble 2) euxième 1.4- Propriétés de l intégrale ouble 1.5- Changement de l intégrale Calculer I = x dxdy avec [ ] = (x, y) IR 2 / x 1, y 2x [a, b] = [, 1], [y 1 (x), y 2 (x)] = [, 2x] { 1 } 2x 1 I = x dy dx = x [ y] 2x dx I = 1 2x 2 dx = [ 2x 3 3 ] 1 = 2 3 8/27

9 2) euxième 1.1- éfinition 1.2-Interprétation graphique 1)- Première 1.3- Calcul de l Intégrale ouble 2) euxième 1.4- Propriétés de l intégrale ouble 1.5- Changement de l intégrale un domaine borné de IR 2 de frontière Γ intersectée au plus en deux points par toute droite d équation y=cte, (Γ est continuement différentiable sauf en un nombre fini de points) (r ij ) i,j une subdivision de en rectangles élémentaires si f est une fonction de deux variables définie et continue sur, l intégrale de f sur est définie par: I(f ) = f (x, y) dxdy = lim f (x i, y j ) x i y j = rij i j { d x2 (y) c x 1 (y) f (x, y) dx [c, d] est la projection orthogonale de sur (Oy) [x 1 (y), x 2 (y)] est l intersection de avec la droite y = cte } dy 9/27

10 euxième (démo) 1.1- éfinition 1.2-Interprétation graphique 1)- Première 1.3- Calcul de l Intégrale ouble 2) euxième 1.4- Propriétés de l intégrale ouble 1.5- Changement de l intégrale Partant de I(f ) = lim { lim } f (x i, y j ) x i y j j i on remarque que lim f (x i, y j ) x i = i x2 (y j ) x 1 (y j ) d I(f ) = lim B(y j ) y j = j I(f ) = f (x, y) dxdy = f (x, y j ) dx = B(y j ) d où c d c B(y)dy { } x2 (y) f (x, y) dx x 1 (y) dy 1/27

11 Exemple 1.1- éfinition 1.2-Interprétation graphique 1)- Première 1.3- Calcul de l Intégrale ouble 2) euxième 1.4- Propriétés de l intégrale ouble 1.5- Changement de l intégrale Calculer I = x dxdy avec [ ] = (x, y) IR 2 / x 1, y 2x [ y ] [c, d] = [, 2], [x 1 (y), x 2 (y)] = 2, 1 I = 2 I = 1 2 { } 1 x dx dy = 2 y 2 2 [ x 2 2 ] 1 y 2 (1 y 2 4 ) dy = 1 [y y dy ] 2 = /27

12 1.4- Propriétés de l Intégrale ouble 1.1- éfinition 1.2-Interprétation graphique 1)- Première 1.3- Calcul de l Intégrale ouble 2) euxième 1.4- Propriétés de l intégrale ouble 1.5- Changement de l intégrale Elles découlent de celles de l intégrale simple. Pour f et g intégrables sur. a) Propriétés liées à la fonction I(f + g) = I(f ) + I(g) et I(λf ) = λi(f ) si f = I(f ) λ IR b) Propriétés liées au domaine si ( 1 2 ) = et si l aire de ( 1 2 ) est nulle = f (x, y) dxdy = f (x, y) dxdy + f (x, y) dxdy /27

13 1.5- Changement de l intégrale 1.1- éfinition 1.2-Interprétation graphique 1)- Première 1.3- Calcul de l Intégrale ouble 2) euxième 1.4- Propriétés de l intégrale ouble 1.5- Changement de l intégrale a) Rappel sur l intégrale simple Soit ϕ une application de [t 1, t 2 ] sur [a, b], dérivable et inversible, on pose x = ϕ(t) b a f (x)dx = t2 t 1 f [ϕ(t)]ϕ (t)dt où ϕ(t 1 ) = a et ϕ(t 2 ) = b L expression suivante est équivalente à celle ci-dessus. b a f (x)dx = [a,b] f (x)dx = ϕ 1 ([a,b]) f [ϕ(t)] ϕ (t) dt Remarque: Suivant le signe de ϕ (t), ϕ 1 ([a, b]) = [t 1, t 2 ] ou [t 2, t 1 ], ce qui conduit à ϕ (t) (t 2 t 1 ) > pour (a < b). 13/27

14 b) Changement de une intégrale 1.1- éfinition 1.2-Interprétation graphique 1)- Première 1.3- Calcul de l Intégrale ouble 2) euxième 1.4- Propriétés de l intégrale ouble 1.5- Changement de l intégrale On admettra sans démonstration le théorème suivant: f (x, y)dxdy = =ϕ 1 () f [ϕ(u, v)] J(u, v) dudv où les fonctions x et y admettent des dérivées partielles continues sur ϕ(u, v) = [x(u, v), y(u, v)] une application inversible de IR 2 (portant sur u et v) sur IR 2 (portant sur x et y), telle que = ϕ( ) = = ϕ 1 () et J(u, v) = x u y u x v y v = x u(u, v)y v(u, v) x v(u, v)y u(u, v) est le Jacobien de ϕ qui ne doit pas s annuler sur pour que l application ϕ soit inversible. 14/27

15 c) Cas particulier important: les coordonnées polaires 1.1- éfinition 1.2-Interprétation graphique 1)- Première 1.3- Calcul de l Intégrale ouble 2) euxième 1.4- Propriétés de l intégrale ouble 1.5- Changement de l intégrale On considère les variables x(ρ, θ) = ρ cos θ, y(ρ, θ) = ρ sin θ le Jacobien est alors J(ρ, θ) = x ρ y ρ = cos θ sin θ ρ sin θ ρ cos θ = ρ x θ y θ On vérifie les hypothèses précédentes en imposant à (ρ, θ) les deux contraintes suivantes ρ > et θ [α, α + 2π[ ds = ρdρdθ est l élément d aire en coordonnées polaires 15/27

16 d) Application : calcul de l aire du disque 1.1- éfinition 1.2-Interprétation graphique 1)- Première 1.3- Calcul de l Intégrale ouble 2) euxième 1.4- Propriétés de l intégrale ouble 1.5- Changement de l intégrale Soit le disque de rayon a centré à l origine d un repère orthonormé, d inéquation x 2 + y 2 a 2 le domaine est défini par: θ [, 2π[, ρ > et ρ 2 a 2 = = { (ρ, θ) IR 2 / < ρ a et θ [, 2π[} On remarque que le disque est transformé en un rectangle dans le plan (ρ, θ). Aire de = dxdy = ρ dρdθ = 2π { a } 2π [ ] ρ 2 a ρdρ dθ = dθ = aire de = πa /27

17 éfinition de 2.1- éfinition 2.2- Propriétés de 2.3- Calcul de 2.4- Changement de un domaine borné et connexe de IR 3, inscrit dans le parallélépipède [a, b] [c, d] [e, h] f une fonction définie continue sur le domaine, prolongée par zéro à l extérieur de {x =a,..., x i,..., x n =b} subdivision de [a, b], x i =x i x i 1 {y =c,..., y j,..., y m =d} subdivision de [c, d], y j =y j y j 1 {z =e,..., z k,..., z p =h} subdivision de [e, h], z k =z k z k 1 p ijk = [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] [z k 1 z k ] (p ijk ) i,j,k subdivision de en parallélépipèdes élémentaires l intégrale de f sur est définie par : I(f )= f (x, y, z)dxdydz = lim f (x i, y j, z k ) x i y j z k p ijk i j k Cas particulier: Si f (x, y, z) = 1 alors dxdydz = Volume de dv = dxdydz est l élément de volume en 17/27

18 Propriétés de 2.1- éfinition 2.2- Propriétés de 2.3- Calcul de 2.4- Changement de Elles découlent de celles de l intégrale simple et de l intégrale pour f et g intégrables sur. 1) Propriétés liées à la fonction I(f + g) = I(f ) + I(g) et I(λf ) = λi(f ) λ IR Si f alors I(f ) 2) Propriétés liées au domaine Si 1 2 = et si le volume de 1 2 est nul alors f (x, y, z) dxdydz = f (x, y, z) dxdydz + f (x, y, z) dxdydz /27

19 Calcul de 2.1- éfinition 2.2- Propriétés de 2.3- Calcul de 2.4- Changement de 1) Première Soit f une fonction définie et continue sur, l intersection de par tout plan d équation z=cte est un ensemble connexe de IR 2 I(f ) = lim p ijk lim k i j I(f )= f (x, y, z) dxdydz = f (x i, y j, z k ) x i y j z k h e { } f (x, y, z) dxdy dz δ(z) [e, h] est la projection orthogonale de sur (Oz) δ(z) est l intersection de avec le plan z = cte 19/27

20 Exemple d application 2.1- éfinition 2.2- Propriétés de 2.3- Calcul de 2.4- Changement de I = dx dy dz avec [ ] = (x, y, z) R 3 / x, y, z, x + y + z 1 Ici [e, h] { = [, 1] } δ(z) = (x, y) IR 2 / x, y, z, x + y 1 z { 1 } 1 I = dz = aire de δ(z)dz I = 1 dxdy δ(z) [ (1 z) 2 2 ] dz = [ (1 z)3 6 ] 1 = volume de = 1 6 2/27

21 euxième 2.1- éfinition 2.2- Propriétés de 2.3- Calcul de 2.4- Changement de Soit f une fonction définie et continue sur, l intersection de par toute droite parallèle à (oz) est un intervalle connexe de IR { I(f ) = lim lim } f (x i, y j, z k ) z k x i y j p ijk i j k { } z2 (x,y) I(f )= f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dz dxdy δ z 1 (x,y) δ est la projection orthogonale de sur le plan (xoy) [z 1 (x, y), z 2 (x, y)] est l intersection de avec la droite d: intersection des deux plans x =cte et y =cte 21/27

22 Exemple d application 2.1- éfinition 2.2- Propriétés de 2.3- Calcul de 2.4- Changement de I = dxdydz avec [ ] = (x, y, z) R 3 / x, y, z, x + y + z 1 Ici δ = { } (x, y) IR 2 / x, y, x + y 1 et [z 1 (x, y), z 2 (x, y)] = [, 1 x y] { } 1 x y I = dz dxdy = (1 x y)dxdy = δ δ { 1 } 1 x 1 ] 1 x (1 x y)2 (1 x y)dy dx = [ dx 2 ] 1 (1 y)3 I = [ = volume de = /27

23 2.4- Changement de l intégrale triple 2.1- éfinition 2.2- Propriétés de 2.3- Calcul de 2.4- Changement de 1) Cas général f (x, y, z)dxdydz = f [Φ(u, v, w)] J(u, v, w) dudvdw =Φ 1 () où Φ(u, v, w) = [x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)] est une application inversible de IR 3 (portant sur u,v et w) sur IR 3 (portant sur x,y et z), on a = Φ( ) = Φ 1 () les fonctions x, y et z admettent des dérivées partielles continues sur, où J le Jacobien de Φ est défini par: J = J(u, v, w) = x u y u z u x v y v z v x w y w z w = z x v u x w y v y w +z x w v x u y w y u +z x u w x v y u y v. J =z u(x vy w x wy v)+z v(x wy u x uy w)+z w(x uy v x vy v) sur. Ce Jacobien ne doit pas s annuler sur pour que l application Φ soit inversible. 23/27

24 Coordonnées cylindriques 2.1- éfinition 2.2- Propriétés de 2.3- Calcul de 2.4- Changement de 2) Les coordonnées cylindriques les variables x(ρ, θ, z) = ρ cos θ, y(ρ, θ, z) = ρ sin θ, z = z les conditions d inversibilité ρ > et θ [α, α + 2π[ le Jacobien J(ρ, θ, z) = x ρ y ρ z ρ x θ y θ z θ x z y z z z = cos θ sin θ ρ sin θ ρ cos θ 1 = ρ dv = ρdρdθdz est l élément de volume en coordonnées cylindriques 24/27

25 Application: Calcul du volume du cylindre 2.1- éfinition 2.2- Propriétés de 2.3- Calcul de 2.4- Changement de Soit le cylindre droit d axe de rotation (Oz), d inéquations x 2 + y 2 a 2 et z h le domaine est défini par: θ [, 2π[, ρ >, ρ 2 a 2 et z h = { } = (ρ, θ, z) IR 3 / < ρ a, θ [, 2π[ et z h volume de = dxdydz = ρdρdθdz = { h 2π { a } } ρdρ dθ dz = volume du cylindre = πa 2 h le cylindre est transformé en parallèlépipède dans l espace (ρ, θ, z) 25/27

26 Les coordonnées sphèriques 2.1- éfinition 2.2- Propriétés de 2.3- Calcul de 2.4- Changement de les variables x(r, θ, ϕ) = r cos θ cos ϕ, y(r, θ, ϕ) = r sin θ cos ϕ, z = r sin ϕ les conditions d inversibilité r >, θ [α, α + 2π[ ] et ϕ π 2, π [ 2 le Jacobien J(r, θ, ϕ) = x r y r z r x θ y θ z θ x ϕ y ϕ z ϕ J(r, θ, ϕ) = r 2 cos ϕ = cos θ cos ϕ sin θ cos ϕ sin ϕ r sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ sin ϕ r cos ϕ dv = r 2 cos ϕdrdθdϕ est l élément de volume en coordonnées sphèriques 26/27

27 Application: calcul du volume de la sphère 2.1- éfinition 2.2- Propriétés de 2.3- Calcul de 2.4- Changement de Soit la sphère de rayon "a" centrée à l origine d un repère orthonormé, d inéquation x 2 + y 2 + z 2 a 2 le domaine est défini par: θ [, 2π[, r >, ϕ ] π 2, π 2 [ et r 2 a 2 = { ] = (r, θ, ϕ) IR 3 / < r a, θ [, 2π[, et ϕ π 2, π [} 2 volume de = dxdydz = r 2 cos(ϕ)drdθdϕ = π 2 π 2 { 2π { a cos ϕ r 2 dr } dθ } dϕ = volume de la sphère= 4 3 πa3 Remarque : la sphère est transformée en parallèlépipède dans l espace (r, θ, ϕ) 27/27

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement

Plus en détail

Révision d algèbre et d analyse

Révision d algèbre et d analyse Révision d algèbre et d analyse Chapitre 9 : Intégrales triples Équipe de Mathématiques Appliquées UTC Mai 2013 suivant Chapitre 9 Intégrales triples 9.1 Motivation, définition et calcul de l intégrale

Plus en détail

CHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées.

CHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées. CHAPITRE 10 Jacobien, changement de coordonnées ans ce chapitre, nous allons premièrement rappeler la définition du déterminant d une matrice Nous nous limiterons au cas des matrices d ordre 2 2et3 3,

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les

Plus en détail

Cours de Mécanique du point matériel

Cours de Mécanique du point matériel Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Fonctions de plusieurs variables Bernard Ycart Ce chapitre contient des techniques que vous utiliserez très souvent en physique, mais les justifications

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2 Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

= 1 si n = m& où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4... En fait,! n m

= 1 si n = m& où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4... En fait,! n m 1 épartement de Physique, Université Laval, Québec Pierre Amiot, 1. La fonction delta et certaines de ses utilisations. Clientèle Ce texte est destiné aux physiciens, ingénieurs et autres scientifiques.

Plus en détail

Repérage d un point - Vitesse et

Repérage d un point - Vitesse et PSI - écanique I - Repérage d un point - Vitesse et accélération page 1/6 Repérage d un point - Vitesse et accélération Table des matières 1 Espace et temps - Référentiel d observation 1 2 Coordonnées

Plus en détail

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.

Plus en détail

Chapitre 1 Cinématique du point matériel

Chapitre 1 Cinématique du point matériel Chapitre 1 Cinématique du point matériel 7 1.1. Introduction 1.1.1. Domaine d étude Le programme de mécanique de math sup se limite à l étude de la mécanique classique. Sont exclus : la relativité et la

Plus en détail

Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné :

Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné : Enoncés : Stephan de Bièvre Corrections : Johannes Huebschmann Exo7 Plans tangents à un graphe, différentiabilité Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Calcul des intégrales multiples. Abdesselam BOUARICH Université Sultan Moulay Slimane Faculté des sciences de Beni Mellal

Calcul des intégrales multiples. Abdesselam BOUARICH Université Sultan Moulay Slimane Faculté des sciences de Beni Mellal Calcul des intégrales multiples Abdesselam BOUARICH Université Sultan Moulay Slimane Faculté des sciences de Beni Mellal 1 8 6 4 2 2 4 6 8 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 2 Table des matières 1 Intégrales doubles

Plus en détail

Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1

Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Définition: La cinématique est une branche de la mécanique qui étudie les mouements des corps dans l espace en fonction du temps indépendamment des causes

Plus en détail

Propriétés électriques de la matière

Propriétés électriques de la matière 1 Propriétés électriques de la matière La matière montre des propriétés électriques qui ont été observées depuis l antiquité. Nous allons distinguer les plus fondamentales de ces propriétés. 1 Propriétés

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48 Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation

Plus en détail

Cours Fonctions de deux variables

Cours Fonctions de deux variables Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté

Plus en détail

Fonctions de deux variables. Mai 2011

Fonctions de deux variables. Mai 2011 Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs

Plus en détail

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires 1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013

Plus en détail

STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE

STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur

Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie

Plus en détail

Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables

Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements

Plus en détail

Erratum de MÉCANIQUE, 6ème édition. Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 10 11 m 3 kg 1 s 2

Erratum de MÉCANIQUE, 6ème édition. Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 10 11 m 3 kg 1 s 2 Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 1 11 m 3 kg 1 s 2 Erratum de MÉCANIQUE, 6ème édition Page xxv (dernier tiers de page) le terme de Coriolis est supérieur à 1% du poids) Chapitre 1 Page

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables UNIVERSITÉ DE POITIERS Parcours Renforcé Première Année 2009/2010 Paul Broussous Fonctions de plusieurs variables Seconde version corrigée Table des matières 1. Un peu de topologie. 1.1. Distance euclidienne,

Plus en détail

Introduction à l'electromagnétisme

Introduction à l'electromagnétisme Introduction à l'electromagnétisme 5 novembre 2014 Table des matières 1 Systèmes de coordonnées et vecteurs 6 1.1 Systèmes de coordonnées................................... 6 1.1.1 Repère cartésien...................................

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

Chapitre 0 Introduction à la cinématique

Chapitre 0 Introduction à la cinématique Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables.

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables. EXAMEN CORRIGE ANALYSE IV 9-6-9 informations: http://cag.epfl.ch sections IN + SC Prénom : Nom : Sciper : Section : Informations () L épreuve a une durée de 3 heures et 45 minutes. () Les feuilles jaunes

Plus en détail

Utilisation d espaces de Sobolev fractionnaires en reconstruction tomographique d objets binaires

Utilisation d espaces de Sobolev fractionnaires en reconstruction tomographique d objets binaires Utilisation d espaces de Sobolev fractionnaires en reconstruction tomographique d objets binaires M. Bergounioux & E. Trélat MAPMO Université d Orléans Journées du GDR - MOA Porquerolles 19-21 Octobre

Plus en détail

Créer des figures dynamiques en 3 dimensions avec GeoGebra 5

Créer des figures dynamiques en 3 dimensions avec GeoGebra 5 Créer des figures dynamiques en 3 dimensions avec GeoGebra 5, 1/46 I. Pour débuter...3 IV. 9. Obtenir une sphère ou un cône tronqué...21 I. 1. Téléchargement...3 V. Illustration d'exercices...22 I. 2.

Plus en détail

Le planimètre polaire

Le planimètre polaire Le planimètre polaire Document d accompagnement des transparents. Bruno eischer Introduction Dans mon exposé à La Rochelle, ou au séminaire de l IREM de Besançon, j ai volontairement consacré une longue

Plus en détail

Michel Henry Nicolas Delorme

Michel Henry Nicolas Delorme Michel Henry Nicolas Delorme Mécanique du point Cours + Exos Michel Henry Maître de conférences à l IUFM des Pays de Loire (Le Mans) Agrégé de physique Nicolas Delorme Maître de conférences à l université

Plus en détail

Lois de probabilité à densité Loi normale

Lois de probabilité à densité Loi normale DERNIÈRE IMPRESSIN LE 31 mars 2015 à 14:11 Lois de probabilité à densité Loi normale Table des matières 1 Lois à densité 2 1.1 Introduction................................ 2 1.2 Densité de probabilité

Plus en détail

Programme de mathématiques TSI1

Programme de mathématiques TSI1 Programme de mathématiques TSI1 1. PROGRAMME DE DÉBUT D ANNÉE I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes 1 2. Géométrie élémentaire du plan 3 3. Géométrie élémentaire de l espace

Plus en détail

Electricité et magnétisme - TD n 10 Induction

Electricité et magnétisme - TD n 10 Induction Electricité et magnétisme - TD n 1 Induction 1. Inductance mutuelle - transformateur On considère un solénoïde de section circulaire, de rayon R 1, de longueur, et constitué de N 1 spires. A l intérieur

Plus en détail

COURS DE MATHÉMATIQUES

COURS DE MATHÉMATIQUES COURS DE MATHÉMATIQUES Première S Valère BONNET valere.bonnet@gmail.com 0 juin 009 Lycée PONTUS DE TYARD 3 rue des Gaillardons 700 CHALON SUR SAÔNE Tél. : 33 03 85 46 85 40 Fax : 33 03 85 46 85 59 FRANCE

Plus en détail

BACCALAUREAT GENERAL

BACCALAUREAT GENERAL ACCALAUREAT GENERAL Session 2009 MATHÉMATIQUES - Série ES - Enseignement de Spécialité Liban EXERCICE 1 1) 2) C 3) C 4) A Explication 1. Chacun des logarithmes existe si et seulement si x > 4 et x > 2

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours. Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un

Plus en détail

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation

Plus en détail

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire

Plus en détail

Concours de recrutement interne PLP 2009

Concours de recrutement interne PLP 2009 Concours de recrutement interne PLP 2009 Le sujet est constitué de quatre exercices indépendants. Le premier exercice, de nature pédagogique au niveau du baccalauréat professionnel, porte sur le flocon

Plus en détail

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS David Ryckelynck Centre des Matériaux, Mines ParisTech David.Ryckelynck@mines-paristech.fr Bibliographie : Stabilité et mécanique non linéaire,

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Les travaux doivent être remis sous forme papier.

Les travaux doivent être remis sous forme papier. Physique mathématique II Calendrier: Date Pondération/note nale Matériel couvert ExercicesSérie 1 : 25 septembre 2014 5% RH&B: Ch. 3 ExercicesSérie 2 : 23 octobre 2014 5% RH&B: Ch. 12-13 Examen 1 : 24

Plus en détail

Exercices et corrigés Mathématique générale Version β

Exercices et corrigés Mathématique générale Version β Université libre de Bruxelles Années académiques 2008-2050 Université catholique de Louvain Exercices et corrigés Mathématique générale Version β Laurent Claessens Nicolas Richard Dernière modification

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières

Plus en détail

Nombre dérivé et tangente

Nombre dérivé et tangente Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

Tutorat 2 de Mathématiques (1ère année)

Tutorat 2 de Mathématiques (1ère année) Tutorat 2 de Mathématiques (ère année) 9//200 Transformée de Radon et Tomographie par Rayons X Compte-rendu à déposer svp le casier de mon bureau. N hésitez pas à me contacter en cas de difficultés majeures

Plus en détail

Mesure d angles et trigonométrie

Mesure d angles et trigonométrie Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi

Plus en détail

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions :

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions : Probabilités I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : 1- Définitions : Ω : Ensemble dont les points w sont les résultats possibles de l expérience Des évènements A parties de Ω appartiennent à A une

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007 Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires

Plus en détail

Géométrie en trois dimensions

Géométrie en trois dimensions 1 Géométrie en trois dimensions Il s agit de visualiser des objets en trois dimensions sur un plan, pour nous l écran de l ordinateur. Pour ce faire, nous allons simplifier les choses au maximum. Nous

Plus en détail

RELATIONS DES CONTACTS HERTZIENS

RELATIONS DES CONTACTS HERTZIENS RELATIONS DES CONTACTS HERTZIENS 2004-203 Frédy Oberson et Fred Lang LES RELATIONS DES CONTACTS HERTZIENS Lorsque deux solides non conformes sont mis en contact 2, ils se touchent initialement en un point

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2 BTS Mécanique et Automatismes Industriels Équations différentielles d ordre, Année scolaire 005 006 . Définition Notation Dans tout ce paragraphe, y désigne une fonction de la variable réelle x. On suppose

Plus en détail

Université de Caen. Relativité générale. C. LONGUEMARE Applications version 2.0. 4 mars 2014

Université de Caen. Relativité générale. C. LONGUEMARE Applications version 2.0. 4 mars 2014 Université de Caen LMNO Relativité générale C. LONGUEMARE Applications version.0 4 mars 014 Plan 1. Rappels de dynamique classique La force de Coulomb Le principe de moindre action : lagrangien, hamiltonien

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation

Plus en détail

Principes de la Mécanique

Principes de la Mécanique Chapitre 1 Principes de la Mécanique L expérience a montré que tous les phénomènes observés dans la nature obéissent à des lois bien déterminées. Ces lois peuvent être, en plus, déterministes ou indéterministes.

Plus en détail

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé X-ENS PSI - 009 Un corrigé Première partie.. Des calculs élémentaires donnent χ A(α) = χ B(α) = X X + et χ A(α)+B(α) = X X + 4α + 4 On en déduit que Sp(A(α)) = Sp(B(α)) = {j, j } où j = e iπ 3 Sp(A(α)

Plus en détail

DYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES

DYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES A 99 PHYS. II ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,

Plus en détail

Fonction inverse Fonctions homographiques

Fonction inverse Fonctions homographiques Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. 14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,

Plus en détail

Correction de l épreuve intermédiaire de mai 2009.

Correction de l épreuve intermédiaire de mai 2009. Licence de Gestion. 3ème Année Année universitaire 8-9 Optimisation Appliquée C. Léonard Correction de l épreuve intermédiaire de mai 9. Exercice 1 Avec les notations du cours démontrer que la solution

Plus en détail

Mathématiques assistées par ordinateur

Mathématiques assistées par ordinateur Mathématiques assistées par ordinateur Chapitre 4 : Racines des polynômes réels et complexes Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Année 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/ eiserm/cours # mao Document

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Plan du cours : électricité 1

Plan du cours : électricité 1 Semestre : S2 Module Physique II 1 Electricité 1 2 Optique géométrique Plan du cours : électricité 1 Partie A : Electrostatique (discipline de l étude des phénomènes liés aux distributions de charges stationnaires)

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Infographie et Image Informatique. Infographie 3D. Gérard-Michel COCHARD cochard@u-picardie.fr Sébastien CHOPLIN sebastien.choplin@upicardie.

Infographie et Image Informatique. Infographie 3D. Gérard-Michel COCHARD cochard@u-picardie.fr Sébastien CHOPLIN sebastien.choplin@upicardie. Infographie et Image Informatique Gérard-Michel COCHARD cochard@u-picardie.fr Sébastien CHOPLIN sebastien.choplin@upicardie.fr Infographie 3D 3. 4. 5. 6. Transformations géométriques 3D Projections Types

Plus en détail

Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009. Descriptifs. (Page vide)

Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009. Descriptifs. (Page vide) Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009 Descriptifs (Page vide) Sujet 001 Épreuve pratique de mathématiques Descriptif Étude d une fonction dépendant d un paramètre Étant donné une fonction dépendant

Plus en détail

Licence de Mathématiques 3

Licence de Mathématiques 3 Faculté des sciences et techniques Département de mathématiques 2004-2005 Licence de Mathématiques 3 M62 : Fonctions réelles de plusieurs variables Laurent Guillopé www.math.sciences.univ-nantes.fr/~guillope/m62/

Plus en détail

Séquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire

Séquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire Séquence 10 Géométrie dans l espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l espace 5. Droites et plans de l espace 6. Synthèse Dans cette séquence,

Plus en détail

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B EXERCICE 1 (12 points) Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Résolution d une équation différentielle On considère

Plus en détail

Fonctions Analytiques

Fonctions Analytiques 5 Chapitre Fonctions Analytiques. Le plan complexe.. Rappels Soit z C, alors!(x,y) IR 2 tel que z = x + iy. On définit le module de z comme z = x 2 + y 2. On peut aussi repérer z par des coordonnées polaires,

Plus en détail

Introduction à la Topologie

Introduction à la Topologie Introduction à la Topologie Licence de Mathématiques Université de Rennes 1 Francis Nier Dragoş Iftimie 2 3 Introduction Ce cours s adresse à des étudiants de Licence en mathématiques. Il a pour objectif

Plus en détail