Intégrales doubles et triples - M

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1 Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27

2 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > x On peut alors délimiter une surface par : le graphe de f, l axe Ox, les droites x = a, x = b, puis lui associer un nombre réel noté S appelé aire de la surface (l unité de mesure étant un cube de coté 1). 2/27

3 Valeurs approchées - Intégrale définie Rappels Approximation Une valeur approchée I n de S peut être obtenue en partageant I en n parties égales x = a,, x k = a + k b a n,, x n = b, x i = x i+1 x i et en calculant la somme des aires des rectangles de base b a n et de hauteurs f (x 1 ),, f (x n ) : I n = b a [f (x 1 ) + + f (x k ) + + f (x n )] n éfinition (Propriété admise): Si f est continue sur [a, b] alors lim n a Subdivision avec n=5 (b-a)/n x b Valeur approchøe = Valeur exacte = x n f (x i ) x i = I(f ). I(f ) sera appelée intégrale définie de la fonction f continue entre les bornes a et b i=1 3/27

4 1.1- Intégrale ouble 1.1- éfinition 1.2-Interprétation graphique 1)- Première 1.3- Calcul de l Intégrale ouble 2) euxième 1.4- Propriétés de l intégrale ouble 1.5- Changement de l intégrale éfinition: Intégrale ouble un domaine inscrit dans le rectangle [a, b] [c, d] (borné, connexe de IR 2 ), f une fonction définie continue sur (prolongée par zéro à l extérieur de ) on subdivise [a, b] en n parties {x = a, x 1,..., x i,..., x n = b}, x i = x i x i 1 on { subdivise [c, d] en m parties y = c, y 1,..., y j,..., y m = d }, y j = y j y j 1 r ij = [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] un rectangle élémentaire ainsi on a subdivisé en n m parties (r ij ) i,j l intégrale de f sur est définie par I(f ) = f (x, y)dxdy = lim n m r ij n i=1 j=1 m f (x i, y j ) x i y j 4/27

5 1.2- Interprétation graphique 1.1- éfinition 1.2-Interprétation graphique 1)- Première 1.3- Calcul de l Intégrale ouble 2) euxième 1.4- Propriétés de l intégrale ouble 1.5- Changement de l intégrale S f surface représentative de f dans un repère orthonormé p ij = [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] [, f (x i, y j )] un parallélépipède élémentaire et v ij = f (x i, y j ) x i y j le volume de p ij I(f ) = f (x, y)dxdy = v ij = volume de V lim n m r ij V est le volume intérieur au cylindre droit de section limité par la surface S f d équation z=f(x,y) et le plan z = Cas particulier: Si f (x, y) = 1 alors dxdy = aire de. ds = dxdy est l élément d aire en coordonnées cartésiennes i j 5/27

6 1) Calcul de l Intégrale ouble 1.1- éfinition 1.2-Interprétation graphique 1)- Première 1.3- Calcul de l Intégrale ouble 2) euxième 1.4- Propriétés de l intégrale ouble 1.5- Changement de l intégrale 1)- Première un domaine borné de IR 2 de frontière Γ intersectée au plus en deux points par toute droite d équation x=cte, (Γ est continuement différentiable sauf en un nombre fini de points) (r ij ) i,j une subdivision de en rectangles élémentaires si f est une fonction de deux variables définie et continue sur, l intégrale de f sur est définie par: I(f ) = f (x, y) dxdy = lim f (x i, y j ) x i y j = rij i j { b y2 (x) a y 1 (x) f (x, y) dy [a, b] est la projection orthogonale de sur (Ox) [y 1 (x), y 2 (x)] est l intersection de avec la droite x = cte } dx 6/27

7 Première (démo) 1.1- éfinition 1.2-Interprétation graphique 1)- Première 1.3- Calcul de l Intégrale ouble 2) euxième 1.4- Propriétés de l intégrale ouble 1.5- Changement de l intégrale Partant de I(f ) = lim (lim f (x i, y j ) y j ) x i i j on remarque que lim f (x i, y j ) y j = j y2 (x i ) y 1 (x i ) b I(f ) = lim A(x i ) x i = i I(f ) = f (x, y) dxdy = f (x i, y) dy = A(x i ) d où a b A(x)dx { } y2 (x) f (x, y) dy a y 1 (x) dx 7/27

8 Exemple 1.1- éfinition 1.2-Interprétation graphique 1)- Première 1.3- Calcul de l Intégrale ouble 2) euxième 1.4- Propriétés de l intégrale ouble 1.5- Changement de l intégrale Calculer I = x dxdy avec [ ] = (x, y) IR 2 / x 1, y 2x [a, b] = [, 1], [y 1 (x), y 2 (x)] = [, 2x] { 1 } 2x 1 I = x dy dx = x [ y] 2x dx I = 1 2x 2 dx = [ 2x 3 3 ] 1 = 2 3 8/27

9 2) euxième 1.1- éfinition 1.2-Interprétation graphique 1)- Première 1.3- Calcul de l Intégrale ouble 2) euxième 1.4- Propriétés de l intégrale ouble 1.5- Changement de l intégrale un domaine borné de IR 2 de frontière Γ intersectée au plus en deux points par toute droite d équation y=cte, (Γ est continuement différentiable sauf en un nombre fini de points) (r ij ) i,j une subdivision de en rectangles élémentaires si f est une fonction de deux variables définie et continue sur, l intégrale de f sur est définie par: I(f ) = f (x, y) dxdy = lim f (x i, y j ) x i y j = rij i j { d x2 (y) c x 1 (y) f (x, y) dx [c, d] est la projection orthogonale de sur (Oy) [x 1 (y), x 2 (y)] est l intersection de avec la droite y = cte } dy 9/27

10 euxième (démo) 1.1- éfinition 1.2-Interprétation graphique 1)- Première 1.3- Calcul de l Intégrale ouble 2) euxième 1.4- Propriétés de l intégrale ouble 1.5- Changement de l intégrale Partant de I(f ) = lim { lim } f (x i, y j ) x i y j j i on remarque que lim f (x i, y j ) x i = i x2 (y j ) x 1 (y j ) d I(f ) = lim B(y j ) y j = j I(f ) = f (x, y) dxdy = f (x, y j ) dx = B(y j ) d où c d c B(y)dy { } x2 (y) f (x, y) dx x 1 (y) dy 1/27

11 Exemple 1.1- éfinition 1.2-Interprétation graphique 1)- Première 1.3- Calcul de l Intégrale ouble 2) euxième 1.4- Propriétés de l intégrale ouble 1.5- Changement de l intégrale Calculer I = x dxdy avec [ ] = (x, y) IR 2 / x 1, y 2x [ y ] [c, d] = [, 2], [x 1 (y), x 2 (y)] = 2, 1 I = 2 I = 1 2 { } 1 x dx dy = 2 y 2 2 [ x 2 2 ] 1 y 2 (1 y 2 4 ) dy = 1 [y y dy ] 2 = /27

12 1.4- Propriétés de l Intégrale ouble 1.1- éfinition 1.2-Interprétation graphique 1)- Première 1.3- Calcul de l Intégrale ouble 2) euxième 1.4- Propriétés de l intégrale ouble 1.5- Changement de l intégrale Elles découlent de celles de l intégrale simple. Pour f et g intégrables sur. a) Propriétés liées à la fonction I(f + g) = I(f ) + I(g) et I(λf ) = λi(f ) si f = I(f ) λ IR b) Propriétés liées au domaine si ( 1 2 ) = et si l aire de ( 1 2 ) est nulle = f (x, y) dxdy = f (x, y) dxdy + f (x, y) dxdy /27

13 1.5- Changement de l intégrale 1.1- éfinition 1.2-Interprétation graphique 1)- Première 1.3- Calcul de l Intégrale ouble 2) euxième 1.4- Propriétés de l intégrale ouble 1.5- Changement de l intégrale a) Rappel sur l intégrale simple Soit ϕ une application de [t 1, t 2 ] sur [a, b], dérivable et inversible, on pose x = ϕ(t) b a f (x)dx = t2 t 1 f [ϕ(t)]ϕ (t)dt où ϕ(t 1 ) = a et ϕ(t 2 ) = b L expression suivante est équivalente à celle ci-dessus. b a f (x)dx = [a,b] f (x)dx = ϕ 1 ([a,b]) f [ϕ(t)] ϕ (t) dt Remarque: Suivant le signe de ϕ (t), ϕ 1 ([a, b]) = [t 1, t 2 ] ou [t 2, t 1 ], ce qui conduit à ϕ (t) (t 2 t 1 ) > pour (a < b). 13/27

14 b) Changement de une intégrale 1.1- éfinition 1.2-Interprétation graphique 1)- Première 1.3- Calcul de l Intégrale ouble 2) euxième 1.4- Propriétés de l intégrale ouble 1.5- Changement de l intégrale On admettra sans démonstration le théorème suivant: f (x, y)dxdy = =ϕ 1 () f [ϕ(u, v)] J(u, v) dudv où les fonctions x et y admettent des dérivées partielles continues sur ϕ(u, v) = [x(u, v), y(u, v)] une application inversible de IR 2 (portant sur u et v) sur IR 2 (portant sur x et y), telle que = ϕ( ) = = ϕ 1 () et J(u, v) = x u y u x v y v = x u(u, v)y v(u, v) x v(u, v)y u(u, v) est le Jacobien de ϕ qui ne doit pas s annuler sur pour que l application ϕ soit inversible. 14/27

15 c) Cas particulier important: les coordonnées polaires 1.1- éfinition 1.2-Interprétation graphique 1)- Première 1.3- Calcul de l Intégrale ouble 2) euxième 1.4- Propriétés de l intégrale ouble 1.5- Changement de l intégrale On considère les variables x(ρ, θ) = ρ cos θ, y(ρ, θ) = ρ sin θ le Jacobien est alors J(ρ, θ) = x ρ y ρ = cos θ sin θ ρ sin θ ρ cos θ = ρ x θ y θ On vérifie les hypothèses précédentes en imposant à (ρ, θ) les deux contraintes suivantes ρ > et θ [α, α + 2π[ ds = ρdρdθ est l élément d aire en coordonnées polaires 15/27

16 d) Application : calcul de l aire du disque 1.1- éfinition 1.2-Interprétation graphique 1)- Première 1.3- Calcul de l Intégrale ouble 2) euxième 1.4- Propriétés de l intégrale ouble 1.5- Changement de l intégrale Soit le disque de rayon a centré à l origine d un repère orthonormé, d inéquation x 2 + y 2 a 2 le domaine est défini par: θ [, 2π[, ρ > et ρ 2 a 2 = = { (ρ, θ) IR 2 / < ρ a et θ [, 2π[} On remarque que le disque est transformé en un rectangle dans le plan (ρ, θ). Aire de = dxdy = ρ dρdθ = 2π { a } 2π [ ] ρ 2 a ρdρ dθ = dθ = aire de = πa /27

17 éfinition de 2.1- éfinition 2.2- Propriétés de 2.3- Calcul de 2.4- Changement de un domaine borné et connexe de IR 3, inscrit dans le parallélépipède [a, b] [c, d] [e, h] f une fonction définie continue sur le domaine, prolongée par zéro à l extérieur de {x =a,..., x i,..., x n =b} subdivision de [a, b], x i =x i x i 1 {y =c,..., y j,..., y m =d} subdivision de [c, d], y j =y j y j 1 {z =e,..., z k,..., z p =h} subdivision de [e, h], z k =z k z k 1 p ijk = [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] [z k 1 z k ] (p ijk ) i,j,k subdivision de en parallélépipèdes élémentaires l intégrale de f sur est définie par : I(f )= f (x, y, z)dxdydz = lim f (x i, y j, z k ) x i y j z k p ijk i j k Cas particulier: Si f (x, y, z) = 1 alors dxdydz = Volume de dv = dxdydz est l élément de volume en 17/27

18 Propriétés de 2.1- éfinition 2.2- Propriétés de 2.3- Calcul de 2.4- Changement de Elles découlent de celles de l intégrale simple et de l intégrale pour f et g intégrables sur. 1) Propriétés liées à la fonction I(f + g) = I(f ) + I(g) et I(λf ) = λi(f ) λ IR Si f alors I(f ) 2) Propriétés liées au domaine Si 1 2 = et si le volume de 1 2 est nul alors f (x, y, z) dxdydz = f (x, y, z) dxdydz + f (x, y, z) dxdydz /27

19 Calcul de 2.1- éfinition 2.2- Propriétés de 2.3- Calcul de 2.4- Changement de 1) Première Soit f une fonction définie et continue sur, l intersection de par tout plan d équation z=cte est un ensemble connexe de IR 2 I(f ) = lim p ijk lim k i j I(f )= f (x, y, z) dxdydz = f (x i, y j, z k ) x i y j z k h e { } f (x, y, z) dxdy dz δ(z) [e, h] est la projection orthogonale de sur (Oz) δ(z) est l intersection de avec le plan z = cte 19/27

20 Exemple d application 2.1- éfinition 2.2- Propriétés de 2.3- Calcul de 2.4- Changement de I = dx dy dz avec [ ] = (x, y, z) R 3 / x, y, z, x + y + z 1 Ici [e, h] { = [, 1] } δ(z) = (x, y) IR 2 / x, y, z, x + y 1 z { 1 } 1 I = dz = aire de δ(z)dz I = 1 dxdy δ(z) [ (1 z) 2 2 ] dz = [ (1 z)3 6 ] 1 = volume de = 1 6 2/27

21 euxième 2.1- éfinition 2.2- Propriétés de 2.3- Calcul de 2.4- Changement de Soit f une fonction définie et continue sur, l intersection de par toute droite parallèle à (oz) est un intervalle connexe de IR { I(f ) = lim lim } f (x i, y j, z k ) z k x i y j p ijk i j k { } z2 (x,y) I(f )= f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dz dxdy δ z 1 (x,y) δ est la projection orthogonale de sur le plan (xoy) [z 1 (x, y), z 2 (x, y)] est l intersection de avec la droite d: intersection des deux plans x =cte et y =cte 21/27

22 Exemple d application 2.1- éfinition 2.2- Propriétés de 2.3- Calcul de 2.4- Changement de I = dxdydz avec [ ] = (x, y, z) R 3 / x, y, z, x + y + z 1 Ici δ = { } (x, y) IR 2 / x, y, x + y 1 et [z 1 (x, y), z 2 (x, y)] = [, 1 x y] { } 1 x y I = dz dxdy = (1 x y)dxdy = δ δ { 1 } 1 x 1 ] 1 x (1 x y)2 (1 x y)dy dx = [ dx 2 ] 1 (1 y)3 I = [ = volume de = /27

23 2.4- Changement de l intégrale triple 2.1- éfinition 2.2- Propriétés de 2.3- Calcul de 2.4- Changement de 1) Cas général f (x, y, z)dxdydz = f [Φ(u, v, w)] J(u, v, w) dudvdw =Φ 1 () où Φ(u, v, w) = [x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)] est une application inversible de IR 3 (portant sur u,v et w) sur IR 3 (portant sur x,y et z), on a = Φ( ) = Φ 1 () les fonctions x, y et z admettent des dérivées partielles continues sur, où J le Jacobien de Φ est défini par: J = J(u, v, w) = x u y u z u x v y v z v x w y w z w = z x v u x w y v y w +z x w v x u y w y u +z x u w x v y u y v. J =z u(x vy w x wy v)+z v(x wy u x uy w)+z w(x uy v x vy v) sur. Ce Jacobien ne doit pas s annuler sur pour que l application Φ soit inversible. 23/27

24 Coordonnées cylindriques 2.1- éfinition 2.2- Propriétés de 2.3- Calcul de 2.4- Changement de 2) Les coordonnées cylindriques les variables x(ρ, θ, z) = ρ cos θ, y(ρ, θ, z) = ρ sin θ, z = z les conditions d inversibilité ρ > et θ [α, α + 2π[ le Jacobien J(ρ, θ, z) = x ρ y ρ z ρ x θ y θ z θ x z y z z z = cos θ sin θ ρ sin θ ρ cos θ 1 = ρ dv = ρdρdθdz est l élément de volume en coordonnées cylindriques 24/27

25 Application: Calcul du volume du cylindre 2.1- éfinition 2.2- Propriétés de 2.3- Calcul de 2.4- Changement de Soit le cylindre droit d axe de rotation (Oz), d inéquations x 2 + y 2 a 2 et z h le domaine est défini par: θ [, 2π[, ρ >, ρ 2 a 2 et z h = { } = (ρ, θ, z) IR 3 / < ρ a, θ [, 2π[ et z h volume de = dxdydz = ρdρdθdz = { h 2π { a } } ρdρ dθ dz = volume du cylindre = πa 2 h le cylindre est transformé en parallèlépipède dans l espace (ρ, θ, z) 25/27

26 Les coordonnées sphèriques 2.1- éfinition 2.2- Propriétés de 2.3- Calcul de 2.4- Changement de les variables x(r, θ, ϕ) = r cos θ cos ϕ, y(r, θ, ϕ) = r sin θ cos ϕ, z = r sin ϕ les conditions d inversibilité r >, θ [α, α + 2π[ ] et ϕ π 2, π [ 2 le Jacobien J(r, θ, ϕ) = x r y r z r x θ y θ z θ x ϕ y ϕ z ϕ J(r, θ, ϕ) = r 2 cos ϕ = cos θ cos ϕ sin θ cos ϕ sin ϕ r sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ sin ϕ r cos ϕ dv = r 2 cos ϕdrdθdϕ est l élément de volume en coordonnées sphèriques 26/27

27 Application: calcul du volume de la sphère 2.1- éfinition 2.2- Propriétés de 2.3- Calcul de 2.4- Changement de Soit la sphère de rayon "a" centrée à l origine d un repère orthonormé, d inéquation x 2 + y 2 + z 2 a 2 le domaine est défini par: θ [, 2π[, r >, ϕ ] π 2, π 2 [ et r 2 a 2 = { ] = (r, θ, ϕ) IR 3 / < r a, θ [, 2π[, et ϕ π 2, π [} 2 volume de = dxdydz = r 2 cos(ϕ)drdθdϕ = π 2 π 2 { 2π { a cos ϕ r 2 dr } dθ } dϕ = volume de la sphère= 4 3 πa3 Remarque : la sphère est transformée en parallèlépipède dans l espace (r, θ, ϕ) 27/27