Examen d informatique première session 2004

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Examen d informatique première session 2004"

Transcription

1 Examen d informatique première session 2004 Le chiffre à côté du titre de la question indique le nombre de points sur 40. I) Lentille électrostatique à fente (14) Le problème étudié est à deux dimensions. Dans une enceinte conductrice rectangulaire au potentiel 0 sont placés des conducteurs de potentiels imposés y (indice j) 20 0 volts 1000 volts volts 1000 volts Toute l enceinte est a 0 volts x (indice i) Les cotes sont exprimees en prenant comme unite le pas du reseau Fig. 1 Le but de l exercice est de calculer le potentiel électrostatique V (x, y), puis le champ électrique E(x, y), à l intérieur de l enceinte, hormis sur les conducteurs. Il s agit de déterminer numériquement la solution unique de l équation : V = 0 entre les conducteurs V a les valeurs imposées sur les conducteurs On effectue le calcul de V uniquement aux points d un réseau régulier 1 appliqué sur l enceinte, c est à dire en des points tels que x = i et y = j, i et j étant des entiers nuls ou positifs. Dans ces conditions la solution est obtenue de la façon suivante : 1. pour tous les points situés sur un conducteur, y compris l enceinte, on attribue à V la valeur du potentiel de ce conducteur 2. pour tous les autres points de l enceinte on attribue à V une valeur initiale nulle puis on calcule tous les V (i, j) par la formule : V (i, j) = V (i 1, j) + V (i, j 1) + V (i + 1, j) + V (i, j + 1) 4 (moyenne arithmétique des quatre points adjacents) 3. on réitére l étape 2. jusqu à obtenir une convergence satisfaisante. 1) Question préliminaire : écrire une fonction qui initialise à zéro un tableau de double à deux indices de dimensions quelconques. 2) Ecrire un programme qui calcule le potentiel pour un nombre d itérations fixé par l utilisateur et imprime les valeurs finales dans un premier fichier sous la forme : v(0,0) v(0,1) 1 dont on choisit le pas comme unité de longueur :08 :

2 v(0,105) v(1,0) v(1,1) v(1,105) v(60,0) v(60,1) v(60,105) <- une ligne blanche <- une ligne blanche <- une ligne blanche 3) Compléter le programme précédent pour que le calcul s arrête dès que l une des deux conditions suivantes est réalisée : le nombre d itérations fixé par l utilisateur est dépassé V (i, j) itération n+1 V (i, j) itération n ε pour chacune des valeurs de i et j hors conducteurs, ε étant choisi par l utilisateur. 4) Calculer une valeur approchée du vecteur champ électrique en tout point du réseau (hors conducteurs) en utilisant dy y(x + h) y(x h) la formule de dérivation approchée :, h étant un accroissement suffisamment petit. La dx 2h formule de dérivation doit être programmée dans une fonction. Les résultats seront imprimés dans un second fichier et selon la même présentation que le potentiel mais avec les deux composantes du champ sur chaque ligne. Réponse : #include<stdio.h> #include<math.h> #define NI 61 #define NJ 106 void zero(double x[],int ni,int nj) int i,j; for(i=0;i<ni;i++) for(j=0;j<nj;j++) x[i*nj+j]=0; double derivee(double fp,double fm,double h) return((fp-fm)/2/h); int main(void) double v[ni][nj],v0=1000,ex,ey,eps=1e-3,u; int i,j,k,i1=20,i2=40,j1min=30,j1max=50,j2min=55,j2max=75,nit=1000,ind; FILE *fich0,*fich1; fich0=fopen("lentille_electro_0.res","w"); fich1=fopen("lentille_electro_1.res","w"); // Initialisation des potentiels zero(&v[0][0],ni,nj); for(j=j2min;j<=j2max;j++) v[i1][j]=v0; v[i2][j]=v0; // Calcul du potentiel for(k=1;k<=nit;k++) printf("k=%d\n",k); for(ind=0,i=1;i<ni-1;i++) :08 :

3 for(j=1;j<nj-1;j++) if((i==i1 i==i2) && ((j1min<=j && j<=j1max) (j2min<=j && j<=j2max))) continue; u=v[i][j]; v[i][j]=(v[i-1][j]+v[i][j-1]+v[i+1][j]+v[i][j+1])/4; if(fabs(v[i][j]-u)>eps) ind=1; if(ind==0) break; printf("nombre d iterations effectuees=%d\n",k); for(i=0;i<ni;i++) for(j=0;j<nj;j++) fprintf(fich0,"%lg\n",v[i][j]); fprintf(fich0,"\n"); // Calcul du champ for(i=1;i<ni-1;i++) for(j=1;j<nj-1;j++) if((i==i1 i==i2) && ((j1min<=j && j<=j1max) (j2min<=j && j<=j2max))) continue; Ex=derivee(v[i+1][j],v[i-1][j],1); Ey=derivee(v[i][j+1],v[i][j-1],1); fprintf(fich1,"%lg %lg\n",ex,ey); fclose(fich0); fclose(fich1); return (0); II) Probabilité de recouvrement (13) On lance deux pièces identiques de rayon r dans une boîte circulaire de rayon R. D d d Fig. 2 1) Question préliminaire : écrire une fonction qui calcule le carré de la distance de deux points du plan dont les coordonnées sont fournies en argument :08 :

4 2) Ecrire un programme qui calcule la probabilité de recouvrement des deux pièces par une méthode de tirage aléatoire (utiliser la fonction alea()). 3) Compléter ce programme pour faire écrire dans un fichier la probabilité précédente en fonction de r, R ayant une valeur fixée. 4) Indiquer quelques conditions nécessaires que doivent vérifier les résultats. Réponse : #include<stdio.h> #include<math.h> #include<fonctions_magistere.h> void t(double *x,double *y,double dif) *x=2*dif*(alea()-0.5); *y=2*dif*(alea()-0.5); double dist2(double x1,double y1,double x2,double y2) return((x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2)); int main(void) int i,imax=10000,s,j,nj; double R,r,dif,x1,y1,x2,y2,dif2,d2,rmin,rmax,dr,r1,r2,tet2,dpi=2*acos(-1); FILE *fich_1,*fich_2; fich_1=fopen("proba_deux_pieces_1.res","w"); fich_2=fopen("proba_deux_pieces_2.res","w"); R=1; rmin=0.; rmax=r/2; dr=rmax-rmin; nj=51; for(j=0;j<nj;j++) r=rmin+dr*j/(nj-1); dif=r-r; dif2=dif*dif; d2=4*r*r; // Premiere methode on tire dans un carre de cote 2(R-r) et on enleve ce qui est en trop for(s=0,i=1;i<=imax;i++) do t(&x1,&y1,dif); while(dist2(0,0,x1,y1)>dif2); do t(&x2,&y2,dif); while(dist2(0,0,x2,y2)>dif2); if(dist2(x1,y1,x2,y2)>d2) continue; s++; printf("r=%lg r=%lg probabilite=%lg\n",r,r,(double)s/imax); fprintf(fich_1,"%lg %lg\n",r,(double)s/imax); // Seconde methode on tire dans un cercle de rayon R-r for(s=0,i=1;i<=imax;i++) r1=dif*sqrt(alea()); r2=dif*sqrt(alea()); tet2=dpi*alea(); x2=r2*cos(tet2); y2=r2*sin(tet2); if(dist2(r1,0,x2,y2)>d2) continue; s++; printf("r=%lg r=%lg probabilite=%lg\n",r,r,(double)s/imax); fprintf(fich_2,"%lg %lg\n",r,(double)s/imax); fclose(fich_1); fclose(fich_2); return(0); :08 :

5 III) Chute d une météorite (13) On étudie la chute d une météorite assimilée à un point matériel dans le champ de pesanteur terrestre, lancée suivant la verticale vers le centre de la Terre. On tient compte du frottement exercé sur le point matériel par l atmosphère par une force proportionnelle au carré de la vitesse du corps et à la masse volumique de l air, cette dernière étant elle même une fonction de l altitude. z z v 0 0 R O Terre Fig. 3 Avec ces hypothèses, et sachant qu on étudie la chute depuis une altitude donnée jusqu au sol, le théorème de l énergie cinétique permet d écrire : d(v 2 ) = 2g R2 dz z 2 + v2 vl 2 e z R h avec : On note : z abscisse de la météorite sur un axe ayant pour origine le centre de la Terre v = dz/dt vitesse de la météorite à tout instant 2 g accélération de la pesanteur au niveau de la mer R rayon de la Terre v l vitesse limite qu atteindrait la météorite si l accélération de la pesanteur et la pression atmosphérique avaient à toute altitude les valeurs qu elles ont à la surface de la Terre h constante de décroissance de la pression atmosphérique avec l altitude z 0 l abscisse initiale de la météorite v 0 sa vitesse initiale On voit que la fonction v 2 est solution d une équation différentielle du premier ordre du type : dy/dx = f(x, y) y étant la fonction inconnue, x la variable et f une fonction donnée, caractérisant l équation différentielle. Comme c est une équation du premier ordre la donnée de la valeur y 0 de y pour une valeur particulière x 0 de x détermine 2 toujours négative puisqu il s agit d une chute :08 :

6 une solution unique. La méthode la plus simple pour résoudre numériquement cette équation de façon approchée consiste à développer y au premier ordre : y(x + δx) = y(x) + δx (dy/dx) = y(x) + δx f(x, y) Cette expression permet de calculer une valeur approchée de y(x + δx) à partir de la donnée de y(x), cette valeur approchée étant d autant plus exacte que l accroissement δx (appelé pas d intégration) est plus petit. On calcule donc y(x 0 + δx) à partir de y(x 0 ) = y 0, puis en réitérant, y(x 0 + 2δx) à partir de y(x 0 + δx), et ainsi de suite. On obtient une suite de valeurs approchées de la solution. 1) On demande d écrire un programme qui, utilisant cette méthode, permet de calculer la vitesse de la météorite en fonction de sa position sur la verticale, depuis une altitude donnée jusqu à la surface de la Terre. Le terme 1 e z R h ainsi que l équation différentielle doivent être programmés chacun dans une fonction. Prendre les valeurs numériques suivantes : g=9.81 m.s 2 R=6400 km v l =150 m.s 1 h=8 km z 0 =R+60 km v 0 =10 km.s 1 pas en z, δz =-10 m et faire imprimer les résultats dans un fichier sous la forme : z0 v0 z0 + dz v(z0 + dz) z0 + 2dz v(z0 + 2dz) etc. 2) Indiquer quelques conditions nécessaires que doivent vérifier les résultats. Réponse : #include <stdio.h> const double R=6.4e6; double f(double z) double vl=150,vl2=vl*vl,h=8e3; return (1/vl2*exp(-(z-R)/h)); double ed(double z,double vv) const double g=9.81; return (2*g*(-R*R/z/z+vv*f(z))); int main(void) int i,np; double z,vv,z0,vv0,dz; FILE *fich; fich=fopen("chute_meteorite.res","w"); z0=r+6e4; vv0=1e8; dz=-10; vv=vv0; z=z0; while(z>r) fprintf(fich,"%lg %lg\n",z,sqrt(vv)); vv=vv+dz*ed(z,vv); z=z+dz; v 2 l :08 :

7 :08 :

RAPPELS DE MATHEMATIQUES. ORTHOPHONIE Première année. Dr MF DAURES

RAPPELS DE MATHEMATIQUES. ORTHOPHONIE Première année. Dr MF DAURES RAPPELS DE MATHEMATIQUES ORTHOPHONIE Première année 27 28 Dr MF DAURES 1 RAPPELS DE MATHEMATIQUES I - LES FONCTIONS A - Caractéristiques générales des fonctions B - La fonction dérivée C - La fonction

Plus en détail

Erratum de MÉCANIQUE, 6ème édition. Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 10 11 m 3 kg 1 s 2

Erratum de MÉCANIQUE, 6ème édition. Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 10 11 m 3 kg 1 s 2 Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 1 11 m 3 kg 1 s 2 Erratum de MÉCANIQUE, 6ème édition Page xxv (dernier tiers de page) le terme de Coriolis est supérieur à 1% du poids) Chapitre 1 Page

Plus en détail

Professeur Eva PEBAY-PEYROULA

Professeur Eva PEBAY-PEYROULA UE3-1 : Physique Chapitre 2 : Électrostatique Professeur Eva PEBAY-PEYROULA Année universitaire 2010/2011 Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés. II- Électrostatique Finalité du chapitre

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Sections : L1 Santé - 1 Olivier CAUDRELIER oc.polyprepas@orange.fr Chapitre 1 : Equations aux dimensions 1. Equation aux dimensions a) Dimension

Plus en détail

Concours CASTing 2011

Concours CASTing 2011 Concours CASTing 2011 Épreuve de mécanique Durée 1h30 Sans calculatrice Le candidat traitera deux exercices parmi les trois proposés dans le sujet. Dans le cas où les trois exercices seraient traités partiellement,

Plus en détail

Utilisation de python pour le calcul numérique

Utilisation de python pour le calcul numérique Utilisation de python pour le calcul numérique Résumé L objectif de ce TP est de découvrir quelques possibilités de python pour le calcul numérique. Il pourra également vous servir de référence si vous

Plus en détail

Fonctions de deux variables. Mai 2011

Fonctions de deux variables. Mai 2011 Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs

Plus en détail

Chapitre 0-2 Introduction générale au cours de BCPST1

Chapitre 0-2 Introduction générale au cours de BCPST1 Chapitre 0-2 Introduction générale au cours de BCPST Extrait du programme I. Les grandeurs en sciences physiques Définition : une grandeur est une observable du système On peut la mettre en évidence a.

Plus en détail

Chapitre 1. Cinématique et Dynamique. 1.1 Grandeurs cinématiques. 1.1.1 Base cartésienne

Chapitre 1. Cinématique et Dynamique. 1.1 Grandeurs cinématiques. 1.1.1 Base cartésienne Chapitre 1 Cinématique et Dynamique 1.1 Grandeurs cinématiques En classe de 2 e nous avons introduit les grandeurs cinématiques utilisées pour décrire le mouvement d un point matériel : l abscisse curviligne,

Plus en détail

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes. Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de

Plus en détail

Champ et potentiel électrostatique. 1 Cas d une distribution de charges ponctuelles. Outils mathématiques. 1.1 Rappel (ou pas) : notion de champ

Champ et potentiel électrostatique. 1 Cas d une distribution de charges ponctuelles. Outils mathématiques. 1.1 Rappel (ou pas) : notion de champ 2 Champ et potentiel électrostatique Les e ets électriques peuvent être décrits par deux grandeurs que nous allons étudier dans ce chapitre : le champ électrostatique (grandeur vectorielle) et le potentiel

Plus en détail

Test d auto-évaluation 2010

Test d auto-évaluation 2010 SwissPhO Olympiade Suisse de Physique 2010 Test d auto-évaluation 2010 Ce test permet aux intéressés d évaluer leurs capacités à résoudre des problèmes et de reconnaître des lacunes dans certaines notions.

Plus en détail

Aire sous une courbe et calcul de primitives

Aire sous une courbe et calcul de primitives Aire sous une courbe et calcul de primitives Le calcul de primitives d une fonction et celui de l aire de la surface bordée par le graphique de cette fonction sont intimement liés. Les exemples qui suivent

Plus en détail

Les Conditions aux limites

Les Conditions aux limites Chapitre 5 Les Conditions aux limites Lorsque nous désirons appliquer les équations de base de l EM à des problèmes d exploration géophysique, il est essentiel, pour pouvoir résoudre les équations différentielles,

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

BACCALAURÉAT BLANC 2013

BACCALAURÉAT BLANC 2013 BACCALAURÉAT BLANC 203 Série S Corrigé Exercice. a) On traduit les données de l énoncé et on représente la situation par un arbre pondéré. PF ) = 2, PF 2) = 3, P F ) = 5 00 = 20, P F 2 ) =,5 00 = 3 3,5,

Plus en détail

Cours MF101 Contrôle de connaissances: Corrigé

Cours MF101 Contrôle de connaissances: Corrigé Cours MF101 Contrôle de connaissances: Corrigé Exercice I Nous allons déterminer par analyse dimensionnelle la relation entre la Trainée D et les autres paramètres. F D, g,, V, ρ, ν) = 0 1) où D représente

Plus en détail

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B EXERCICE 1 (12 points) Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Résolution d une équation différentielle On considère

Plus en détail

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007 Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Précession du périhélie de Mercure

Précession du périhélie de Mercure Préparation à l Agrégation de Sciences Physiques ENSP - Montrouge François Levrier Problème de mécanique Précession du périhélie de Mercure 1 er décembre 25 Ce problème, qui est basé en partie sur celui

Plus en détail

Ce document a été mis en ligne par le Canopé de l académie de Bordeaux pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel.

Ce document a été mis en ligne par le Canopé de l académie de Bordeaux pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel. Ce document a été mis en ligne par le Canopé de l académie de Bordeaux pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel. Ce fichier numérique ne peut être reproduit, représenté,

Plus en détail

SUJET DE BREVET METROPOLE JUIN 2014

SUJET DE BREVET METROPOLE JUIN 2014 SUJET DE BREVET METROPOLE JUIN 2014 SERIE GENERALE Exercice n 1 : (5 points) Voici un octogone régulier ABCDEFGH. 1) Représenter un agrandissement de cet octogone en l inscrivant dans un cercle de rayon

Plus en détail

1 Fonctions de plusieurs variables

1 Fonctions de plusieurs variables Université de Paris X Nanterre U.F.R. Segmi Année 006-007 Licence Economie-Gestion première année Cours de Mathématiques II. Chapitre 1 Fonctions de plusieurs variables Ce chapitre est conscré aux fonctions

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Baccalauréat S Métropole 21 juin 2011

Baccalauréat S Métropole 21 juin 2011 Baccalauréat S Métropole 1 juin 011 EXERCICE 1 Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment. 4 points Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 10 4. Dans un pays,

Plus en détail

5.1 Équilibre électrostatique d un conducteur

5.1 Équilibre électrostatique d un conducteur 5 CONDUCTEURS À L ÉQUILIBRE 5.1 Équilibre électrostatique d un conducteur Dans un isolant, les charges restent à l endroit où elles ont été apportées (ou enlevées). Dans un conducteur, les charges sont

Plus en détail

BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n 1 Janvier 2012 - durée : 2 heures

BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n 1 Janvier 2012 - durée : 2 heures BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n 1 Janvier 2012 - durée : 2 heures Les calculatrices sont autorisées. L orthographe, le soin et la présentation sont notés sur 4 points. Activités numériques (12 points)

Plus en détail

PREMIERE PARTIE : THEORIE

PREMIERE PARTIE : THEORIE Examen de Physique, juin 2014 BA1 EN INFORMATIQUE EXAMEN DE PHYSIQUE juin 2014 Nom : Prénom : PREMIERE PARTIE : THEORIE Question 1 (10 points) : a. [3] Quelles sont les propriétés qui doivent être fournies

Plus en détail

ORDRE DE RÉACTION : MÉTHODES DE

ORDRE DE RÉACTION : MÉTHODES DE ORDRE DE RÉACTION : MÉTHODES DE RÉSOLUTION Table des matières 1 Méthodes expérimentales 2 1.1 Position du problème..................................... 2 1.2 Dégénérescence de l ordre...................................

Plus en détail

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12 TS. 01/013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 0/11/1 Exercice 1 : ( 6,5 pts) Première partie : Démonstration à rédiger { Démontrer que si ( ) et (v n ) sont deux suites telles

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la

Plus en détail

2. Déplacement d une charge ponctuelle dans un champ magnétique uniforme stationnaire

2. Déplacement d une charge ponctuelle dans un champ magnétique uniforme stationnaire Chapitre VII Forces électromagnétiques VII.a. Force de Lorentz La force à laquelle est soumis, à un instant t, un point matériel de charge q, situé en M et se déplaçant à une vitesse v(t) par rapport à

Plus en détail

Cours fonctions, expressions algébriques

Cours fonctions, expressions algébriques I. Expressions algébriques, équations a) Développement factorisation Développer Développer un produit, c est l écrire sous forme d une somme. Réduire une somme, c est l écrire avec le moins de termes possibles.

Plus en détail

Concours CCP 2001 PSI PREMIER PROBLEME

Concours CCP 2001 PSI PREMIER PROBLEME c A vos cours 2001 1 Concours CCP 2001 PSI PREMIERE COMPOSITION DE SC. PHYSIQUES (Durée : 4 heures) Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies

Plus en détail

ARISTOTE, GALILÉE ET NEWTON (6 points)

ARISTOTE, GALILÉE ET NEWTON (6 points) ARISTOTE, GALILÉE ET NEWTON (6 points) Pour cet exercice, l'utilisation de la calculatrice est autorisée Trois siècles avant notre ère, le célèbre savant grec Aristote affirmait qu "une masse d or, de

Plus en détail

Physique. De la Terre à la Lune : Programme Apollo, 15 ans d aventure spatiale

Physique. De la Terre à la Lune : Programme Apollo, 15 ans d aventure spatiale Physique TSI 4 heures Calculatrices autorisées De la Terre à la Lune : Programme Apollo, 15 ans d aventure spatiale 2012 Ce problème aborde quelques aspects du Programme Apollo, qui permit à l Homme de

Plus en détail

3.1 Circulation du champ d une charge ponctuelle A(Γ)

3.1 Circulation du champ d une charge ponctuelle A(Γ) Chapitre 3 Le potentiel électrostatique Le champ électrostatique peut être caractérisé simplement à l aide d une fonction que nous appellerons potentiel électrostatique. Cette fonction scalaire est souvent

Plus en détail

SESSION 2014 MATHÉMATIQUES. Série : SCIENCES ET TECHNOLOGIES DU MANAGEMENT ET DE LA GESTION STMG. DURÉE DE L ÉPREUVE : 3 heures COEFFICIENT : 3

SESSION 2014 MATHÉMATIQUES. Série : SCIENCES ET TECHNOLOGIES DU MANAGEMENT ET DE LA GESTION STMG. DURÉE DE L ÉPREUVE : 3 heures COEFFICIENT : 3 BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE SESSION 2014 MATHÉMATIQUES Série : SCIENCES ET TECHNOLOGIES DU MANAGEMENT ET DE LA GESTION STMG DURÉE DE L ÉPREUVE : 3 heures COEFFICIENT : 3 Calculatrice autorisée, conformément

Plus en détail

CHAPITRE III : Travail et énergie

CHAPITRE III : Travail et énergie CHPITRE III : Travail et énergie III. 1 En principe, les lois de Newton permettent de résoudre tous les problèmes de la mécanique classique. Si on connaît les positions et les vitesses initiales des particules

Plus en détail

Le microscope à force atomique (AFM)

Le microscope à force atomique (AFM) DEGURSE Jean-François L3 Physique Le microscope à force atomique (AFM) Méthodes informatiques pour la physique Année 2007/2008 Sommaire I. Présentation 1. Introduction page 3 2. Le microscope à force atomique

Plus en détail

Exercice 1 : Balance des Paiements (4 points)

Exercice 1 : Balance des Paiements (4 points) Université Paris Ouest-Nanterre La Défense Master Economie U.F.R. SEGMI Premier Semestre 2009-2010 Macroéconomie Ouverte Chargé de T.D. : Romain Restout Cours de Olivier Musy Contrôle Continu (14/12/2009)

Plus en détail

www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/two-electrons-240-10-10m-proton-shown-figure-find-magnitudenet-electrical-force-exert-pro-q2852180

www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/two-electrons-240-10-10m-proton-shown-figure-find-magnitudenet-electrical-force-exert-pro-q2852180 Deux électrons sont initialement au repos à une distance de 1 m l un de l autre. Il y a alors répulsion électrique entre les électrons. Quelle sera la vitesse des électrons quand ils seront loin l un de

Plus en détail

1 ère S La petite voiture Physique Mécanique

1 ère S La petite voiture Physique Mécanique Page 1 sur 5 1 ère S Physique Mécanique - Enoncé - Remarques préliminaires : - n prendra g = 9,8 N.kg -1. - n traaille dans un référentiel terrestre supposé galiléen. Un jouet, une «petite oiture», est

Plus en détail

Résume du cours de Mécanique Analytique

Résume du cours de Mécanique Analytique Résume du cours de Mécanique Analytique jean-eloi.lombard@epfl.ch 22 janvier 2009 Table des matières 1 Équations de Lagrange 1 1.1 Calcul des variations....................... 3 1.2 Principe de moindre

Plus en détail

DS n 6 (1h30) Chap D3+D4 27/03/2015. DEVOIR SURVEILLÉ n 6 Un petit tour à la fête foraine CALCULATRICE INTERDITE!!!

DS n 6 (1h30) Chap D3+D4 27/03/2015. DEVOIR SURVEILLÉ n 6 Un petit tour à la fête foraine CALCULATRICE INTERDITE!!! DEVOIR SURVEILLÉ n 6 Un petit tour à la fête foraine CALCULATRICE INTERDITE!!! Brenda Semeda-Moreiro, une élève de, décide de passer tout son week-end à réviser le contrôle de physique prévu pour lundi.

Plus en détail

1 Outils mathématiques pour la Physique

1 Outils mathématiques pour la Physique Licence 3 Sciences de la Terre, de l Univers et de l Environnement Université Joseph-Fourier TUE 302 : Outil Physique et Géophysique 1 Outils mathématiques pour la Physique k Daniel.Brito@ujf-grenoble.fr

Plus en détail

FICHE DE RÉVISION DU BAC

FICHE DE RÉVISION DU BAC Introduction Pré-requis : Etude de fonctions dérivées logarithmes et exponentielles continuité Plan du cours 1. Intégrales 2. Primitives 1. Intégrales A. Aire sous la courbe Méthode des rectangles : Pour

Plus en détail

Electrocinétique et magnétostatique

Electrocinétique et magnétostatique Chapitre 3 Electrocinétique et magnétostatique 3.1 Electrocinétique - Vecteur densité de courant Un courant électrique correspond à des charges électriques mobiles. On appelle vecteur densité de courant

Plus en détail

Chapitre 4. Travail et puissance. 4.1 Travail d une force. 4.1.1 Définition

Chapitre 4. Travail et puissance. 4.1 Travail d une force. 4.1.1 Définition Chapitre 4 Travail et puissance 4.1 Travail d une force 4.1.1 Définition En physique, le travail est une notion liée aux forces et aux déplacements de leurs points d application. Considérons une force

Plus en détail

Baccalauréat ES Asie 19 juin 2013 Corrigé

Baccalauréat ES Asie 19 juin 2013 Corrigé accalauréat E sie 19 juin 201 orrigé EXERIE 1 ommun à tous les candidats On ne demandait aucune justification dans cet exercice. 4 points 1. b. 2. a.. c. 4. c. La longueur de l intervalle [ 1; 1] est 2

Plus en détail

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures) CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un

Plus en détail

L oscillateur OSCILLATEUR HARMONIQUE. Chapitre 1. I. Introduction, définitions. I.1. Exemple. I.2. Caractérisation du mouvement

L oscillateur OSCILLATEUR HARMONIQUE. Chapitre 1. I. Introduction, définitions. I.1. Exemple. I.2. Caractérisation du mouvement Chapitre 1 OSCILLATEUR HARMONIQUE harmonique étudié dans ce chapitre est un oscillateur mécanique constitué d un ressort et d une masse. Cet exemple simple permettra L oscillateur d introduire le concept

Plus en détail

Mathématiques appliquées à l informatique

Mathématiques appliquées à l informatique Mathématiques appliquées à l informatique Jean-Etienne Poirrier 15 décembre 2005 Table des matières 1 Matrices 3 1.1 Définition......................................... 3 1.2 Les différents types de matrices.............................

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Optimisation de trajectoire pour une mission Ariane 5

Optimisation de trajectoire pour une mission Ariane 5 Optimisation de trajectoire pour une mission Ariane 5 Ludovic Goudenège (sur la base d un projet de Pierre Martinon) ENSTA - Module IN103 Septembre 2012 Plan 1 Quelques données et chiffres 2 Dynamique

Plus en détail

Concours AVENIR 8 mai 2011 EPREUVE DE PHYSIQUE. DUREE : 1h30mn Coefficient 5 CONSIGNES SPECIFIQUES

Concours AVENIR 8 mai 2011 EPREUVE DE PHYSIQUE. DUREE : 1h30mn Coefficient 5 CONSIGNES SPECIFIQUES NOM :. PRENOM : NUMERO DE CANDIDAT :... EPREUVE DE PHYSIQUE DUREE : 1h30mn Coefficient 5 CONSIGNES SPECIFIQUES Lire attentivement les consignes afin de vous placer dans les meilleures conditions de réussite

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques Cours de mathématiques Thomas Rey classe de première ES ii Table des matières 1 Les pourcentages 1 1.1 Variation en pourcentage............................... 1 1.1.1 Calcul d une variation............................

Plus en détail

TS Physique D Aristote à aujourd hui Exercice résolu

TS Physique D Aristote à aujourd hui Exercice résolu P a g e 1 TS Physique Eercice résolu Enoncé -34 avant JC : Aristote déclare qu une masse d or, de plomb ou de tout autre corps pesant tombe d autant plus vite qu elle est plus grosse et, en particulier,

Plus en détail

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

Principes de la Mécanique

Principes de la Mécanique Chapitre 1 Principes de la Mécanique L expérience a montré que tous les phénomènes observés dans la nature obéissent à des lois bien déterminées. Ces lois peuvent être, en plus, déterministes ou indéterministes.

Plus en détail

Cours Fonctions de deux variables

Cours Fonctions de deux variables Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014 Durée : 4 heures Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats Les trois parties A, B et C sont indépendantes Une fabrique de desserts glacés

Plus en détail

Relations fondamentales de la dynamique des milieux continus déformables

Relations fondamentales de la dynamique des milieux continus déformables Relations fondamentales de la dynamique des milieux continus déformables Lois universelles de la physique des milieux continus conservation de la masse bilan de quantité de mouvement bilan de moment cinétique

Plus en détail

Théorie des graphes. Introduction. Programme de Terminale ES Spécialité. Résolution de problèmes à l aide de graphes. Préparation CAPES UCBL

Théorie des graphes. Introduction. Programme de Terminale ES Spécialité. Résolution de problèmes à l aide de graphes. Préparation CAPES UCBL Introduction Ces quelques pages ont pour objectif de vous initier aux notions de théorie des graphes enseignées en Terminale ES. Le programme de Terminale (voir ci-après) est construit sur la résolution

Plus en détail

Chapitre 4 : Etude Energétique

Chapitre 4 : Etude Energétique Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 4 : Energétique SMPC1 Chapitre 4 : Etude Energétique I Travail et Puissance d une force I.1)- Puissance d une force Soit un point matériel M de vitesse!!/!,

Plus en détail

CHAPITRE II : STATIQUE

CHAPITRE II : STATIQUE CHPITRE II : STTIQUE - Généralités : I. NTIN DE RCE : En mécanique, les forces sont utilisées pour modéliser des actions mécaniques diverses (actions de contact, poids, attraction magnétique, effort ).

Plus en détail

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE ANNÉE 2006 CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée : 2 Heures Coefficient : 1 Ce sujet comporte (dans l énoncé d origine, pas

Plus en détail

TD 1 de Langage C module Outils pour l'informatique Industrielle - Corrigés des Tds : http://www-lagis.univ-lille1.fr/~macaire/td.

TD 1 de Langage C module Outils pour l'informatique Industrielle - Corrigés des Tds : http://www-lagis.univ-lille1.fr/~macaire/td. Exercice 1 TD 1 de Langage C module Outils pour l'informatique Industrielle - Corrigés des Tds : http://www-lagis.univ-lille1.fr/~macaire/td.htm Exercices de base de Programmation Arbre Programmatique

Plus en détail

Fonctions de référence Variation des fonctions associées

Fonctions de référence Variation des fonctions associées DERNIÈRE IMPRESSION LE 9 juin 05 à 8:33 Fonctions de référence Variation des fonctions associées Table des matières Fonction numérique. Définition.................................. Ensemble de définition...........................3

Plus en détail

Modèle d une automobile.

Modèle d une automobile. Modèle d une automobile. On modélise une automobile par deux disques homogènes identiques de masse m de rayon a, de moment d inertie J = (1/) m a par rapport à leurs axes respectifs, de centre C, en contact

Plus en détail

Repérage d un point - Vitesse et

Repérage d un point - Vitesse et PSI - écanique I - Repérage d un point - Vitesse et accélération page 1/6 Repérage d un point - Vitesse et accélération Table des matières 1 Espace et temps - Référentiel d observation 1 2 Coordonnées

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2 BTS Mécanique et Automatismes Industriels Équations différentielles d ordre, Année scolaire 005 006 . Définition Notation Dans tout ce paragraphe, y désigne une fonction de la variable réelle x. On suppose

Plus en détail

Les algorithmes de base du graphisme

Les algorithmes de base du graphisme Les algorithmes de base du graphisme Table des matières 1 Traçage 2 1.1 Segments de droites......................... 2 1.1.1 Algorithmes simples.................... 3 1.1.2 Algorithmes de Bresenham (1965).............

Plus en détail

Lois de probabilité à densité Loi normale

Lois de probabilité à densité Loi normale DERNIÈRE IMPRESSIN LE 31 mars 2015 à 14:11 Lois de probabilité à densité Loi normale Table des matières 1 Lois à densité 2 1.1 Introduction................................ 2 1.2 Densité de probabilité

Plus en détail

DS n o 5 TS1 2012 Chutes des boulets (8 points, 1h45)

DS n o 5 TS1 2012 Chutes des boulets (8 points, 1h45) DS n o 5 TS1 2012 Chutes des boulets (8 points, 1h45) Exercice 1 Galilée à Pise (5,5 points) O i Selon la légende, Galilée (1564-1642) aurait étudié la chute des corps en lâchant divers objets du sommet

Plus en détail

Utiliser les propriétés Savoir réduire un radical savoir +,-,x,: Utiliser les propriétés des puissances Calculer avec des puissances

Utiliser les propriétés Savoir réduire un radical savoir +,-,x,: Utiliser les propriétés des puissances Calculer avec des puissances ARITHMETIQUE 1 C B A Numération Ecrire en lettres et en chiffres Poser des questions fermées autour d un document simple (message, consigne, planning ) Connaître le système décimal Déterminer la position

Plus en détail

Nom :... Prénom :... Section :... No :... Exercice 1 (6 points) EPFL, Physique Générale I SIE & SMX, 2010-2011 Examen 14.01.2011

Nom :... Prénom :... Section :... No :... Exercice 1 (6 points) EPFL, Physique Générale I SIE & SMX, 2010-2011 Examen 14.01.2011 EPFL, Physique Générale I SIE & SMX, 200-20 Examen 4.0.20 Nom :... Prénom :... Section :... No :... Les seuls objets autorisés sont: Le formulaire "résumé mécanique" disponible sur le moodle une feuille

Plus en détail

TD : Oscillateur harmonique

TD : Oscillateur harmonique TD : Oscillateur harmonique Observation du chromosome X par microscopie à force atomique. À gauche : nanoparticules observées par microscopie à force atomique (AFM, SP1-P2). Image du Dr. K. Raghuraman

Plus en détail

Cours préparatoires de physique

Cours préparatoires de physique Cours préparatoires de physique Août 2012 L. Dreesen LA DYNAMIQUE, LES LOIS DE NEWTON Août 2012 L. Dreesen 1 Table des matières Introduction Force La première loi de Newton La troisième loi de Newton La

Plus en détail

Exercices théoriques

Exercices théoriques École normale supérieure 2008-2009 Département d informatique Algorithmique et Programmation TD n 9 : Programmation Linéaire Avec Solutions Exercices théoriques Rappel : Dual d un programme linéaire cf.

Plus en détail

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe

Plus en détail

Système formé de deux points

Système formé de deux points MPSI - 2005/2006 - Mécanique II - Système formé de deux points matériels page /5 Système formé de deux points matériels Table des matières Éléments cinétiques. Éléments cinétiques dans R.......................2

Plus en détail

Chapitre I. Calcul vectoriel. Nous nous placerons dorénavant toujours dans une base orthonormée directe.

Chapitre I. Calcul vectoriel. Nous nous placerons dorénavant toujours dans une base orthonormée directe. Chapitre I INTRODUCTION ATHÉATIQUE I.A. I.A.1. Calcul vectoriel Produit vectoriel Plaçons-nous dans un espace vectoriel euclidien à trois dimensions. En faisant subir des rotations identiques aux trois

Plus en détail

CH12 : Solide en mouvement de translation

CH12 : Solide en mouvement de translation BTS électrotechnique 1 ère année - Sciences physiques appliquées CH12 : Solide en mouvement de translation Motorisation des systèmes Enjeu : Problématique : En tant que technicien supérieur, il vous revient

Plus en détail

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1 Définition Une matrice n m est un tableau rectangulaire de nombres (réels en général) à n lignes et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice. Notation.

Plus en détail

Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Liban

Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Liban Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Liban EXERCICE 1 : 4 Points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n est demandée. Pour chacune des questions, une

Plus en détail

Session de Juillet 2001. Durée 2 H Documents interdits.

Session de Juillet 2001. Durée 2 H Documents interdits. Session de Juillet 2001 Durée 2 H Documents interdits. Exercice 1 : Oscillations forcées de dipôles électriques Lors d une séance de travaux pratiques, les élèves sont conduits à étudier les dipôles en

Plus en détail

Cours d électricité. Circuits électriques en courant constant. Mathieu Bardoux. 1 re année

Cours d électricité. Circuits électriques en courant constant. Mathieu Bardoux. 1 re année Cours d électricité Circuits électriques en courant constant Mathieu Bardoux mathieu.bardoux@univ-littoral.fr IUT Saint-Omer / Dunkerque Département Génie Thermique et Énergie 1 re année Objectifs du chapitre

Plus en détail

1 Exercices d introduction

1 Exercices d introduction Université Paris 7 - Denis Diderot 2013-2014 TD 4 : accélération, mouvement parabolique, mouvement oscillant 1 Exercices d introduction 1. Evolution de la population mondiale Année (1er janvier) 1500 1600

Plus en détail

PY401os (2011-2012) Vous pouvez prévisualiser ce test, mais s'il s'agit d'une tentative réelle, vous serez bloqué en raison de : Navigation du test

PY401os (2011-2012) Vous pouvez prévisualiser ce test, mais s'il s'agit d'une tentative réelle, vous serez bloqué en raison de : Navigation du test Navigation PY401os (2011-2012) Collège École de Commerce PER Université Impressum Connecté sous le nom «Bernard Vuilleumier» (Déconnexion) Réglages Outils de travail Outils de travail Accueil Cours Collège

Plus en détail

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image

Plus en détail

TD 9 Problème à deux corps

TD 9 Problème à deux corps PH1ME2-C Université Paris 7 - Denis Diderot 2012-2013 TD 9 Problème à deux corps 1. Systèmes de deux particules : centre de masse et particule relative. Application à l étude des étoiles doubles Une étoile

Plus en détail